第三章电阻电路的一般分析
电路原理与电机控制第3章电路的一般分析方法
1
2 - 22V+ 3
3Ω
I
8A 1Ω 1Ω
25A
4
U1 = –9.43V U4 = 2.5V
U3 = 22V
I = –2.36 A
17
• 例2. 列写下图含VCCS电路的节点电压方程。
• 解： (1) 先把受控源当作独立
源列方程；
IS1
1 R2
+ UR2 _
1
R1
1 R2
1 R1
25
I
4
U3–U2 = 22
解得
U1 = –11.93V U2 = –2.5V
U3 = 19.5V I = –2.36 A
16
• 解二：以节点②为参考节点，即U2=0
节点电压方程如下
(1 3
1 4
)U1
1 4
U3
11
4Ω 3A
U3 (1 1)U4 17
U3 = 22
解得：
1
I1 2A
2 1
I2 +U –
2
+
2
3
I
3
用节点电压表示受控源的控制量为：
2I2 –
U U1 U2 1 U1 U2
3
3
I2
U1 2
3
3 24
1
5
U1 U 2
2 0
解之：
U1
20 7
V,
U2
16 7
V
3 3
所求电流为：I
15
• 例1. 电路如图所示，求节点电压U1、U2、U3。
第三章 电阻电路的一般分析
第三章电阻电路的一般分析电路的一般分析是指方程分析法，它是以电路元件的约束特性(VCR)和电路的拓扑约束特性(KCL,KVL)为依据，建立以支路电流或回路电流，或结点电压为变量的回路方程组，从中解出所要求的电流、电压、功率等。
方程分析法的特点是：（1）具有普遍适用性，即无论线性和非线性电路都适用；（2）具有系统性，表现在不改变电路结构，应用KCL，KVL,元件的VCR建立电路变量方程，方程的建立有一套固定不变的步骤和格式，便于编程和用计算机计算。
本章的重点是会用观察电路的方法，熟练运用支路法、回路法和结点电压法的“方程通式”写出支路电流方程、回路方程和结点电压方程，并加以求解。
3-1 在一下两种情况下，画出图示电路的图，并说明其节点数和支路数(1)每个元件作为一条支路处理；(2)电压源(独立或受控）和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理。
解:(1)每个元件作为一条支路处理时，图(a)和(b)所示电路的图分别为题解3-1图(a1)和(b1)。
图(a1)中节点数6b==n，支路数11图(b1)中节点数7=bn，支路数12=(2)电压源和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理时，图(a)和图(b)所示电路的图分别为题解图(a2)和(b2)。
图(a2)中节点数4b=n，支路数8=图(b2)中节点数15b=n，支路数9=3-2指出题3-1中两种情况下，KCL,KVL独立方程数各为多少？解：题3－1中的图(a)电路，在两种情况下，独立的KCL方程数分别为(1)51==4n1--1=6-1-=n (2)3独立的KVL方程数分别为(1)61=84+--n+=1b1=111b (2)5+6+--n=图(b)电路在两种情况下，独立的KCL方程数为(1)61=5-=1n-7n (2)41=1-=-独立的KVL方程数分别为(1)6+1=95b1-n+=-=1271b (2)51=-n++-3-3对题图(a)和(b)所示G，各画出4个不同的树，树支数各为多少？解：一个连通图G 的树T 是这样定义的：(1) T 包含G 的全部结点和部分支路；(2) T 本身是连通的且又不包含回路。
第03章电阻电路的一般分析
例3 列支路电流法方程。
a
解：
I1 7
+ 70V
–
I2
1+
5U
_
7 I3 11 +
U 2-
节点a: –I1–I2+I3=0 回路1: 7I1–11I2 - 70 +5U =0 回路2: 11I2+7I3 - 5U =0 增补方程：
b
U=7I3
（1-18）
§3.4 网孔电流法
网孔电流——假想每个网孔中有一个网孔电流。方向可 任意假设。
（1-22）
理想电流源(恒流源)支路的处理
①若恒流源支路仅有一个网孔电流穿过，则该网孔电 流= ± 该恒流源电流(同方向取+，否则取-)。 ②非上述情况时:设恒流源两端电压，当作恒压源列方 程。然后增补恒流源电流与网孔电流的关系方程。
例2 列网孔电流方程。
R1
R2 im2 I3s
+ im1 I5s
第三章
电阻电路的一般分析
重点: 1.支路电流法; 2. 网孔电流法; 3.回路电流法; 4.节点电压法。
对于简单电路，通过电阻串、并联关系或 Y—△等效变换关系即可求解。如：
i总 R
R
R i=?
+
-u
2R
2R
2R 2R
i总
i总
u 2R
+
- u 2R
111 u i i总 2 2 2 16R
例4 列网孔电流方程。
解:网孔电流方向如图所示。 (R1 + R3)i1-R3i3=-U2
+
U1 _
R1
iS
R3 i1
+
第3章(学1)
1 -1 0 0
0 -1 1 0
0 0 1 -1
0 1 0 -1
图的结点和支路的关联性质
3. 降阶矩阵：
把Aa的任一行划掉，余下的(n-1) b矩阵用A表示， 并称为降阶矩阵。
-1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 -1
A =
二. 基本回路矩阵
3. 割集矩阵元素 设有向图的结点数为 n，支路数为 b，则该图 的独立割集数为(n-1)。对每个割集编号，并指定 一个割集方向。可得割集矩阵为一个(n-1) b的矩 阵，用Q表示。 Q 的行对应割集，列对应支路，它的任一元素定义为： 1 表示支路k与割集j关联并方向一致。
qjk=
-1 表示支路k与回路j关联并方向相反。 0 表示支路k与割集j无关
回路2：–u3 + u4 – u5 = 0
回路3： u1 + u5 + u6 = 0
(3)
4 3
+ u – S
独立回路：独立方程所对应的回路。
2
支路电流的方程如下： i1 + i2 – i6 =0 – i2 + i3 + i4 =0 – i4 – i5 + i6 =0
R2 i2 1 i3
R4 i4
支路电流法的未知数是各支路电流；网孔（回 路）电流法的待求量是网孔（回路）电流。 假设网孔（回路）中有网孔（回路）电流存在， 各支路电流用网孔（回路）电流的代数和求得。 网孔电流法仅适用于平面网络。回路电流法不 仅适用于平面网络，也适用于立体网络。网孔 电流法是回路电流法的特例。
回路电流法：以回路电流为未知量列写电路方程分析电路 的方法。
电路分析基础第3章
R11im1+ R12 im2 = us11
R21im1 + R22im2 = uS22
R11=R1+R2 R22=R2+R3 R12=R21=R2 自阻
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY 自阻总是正
R1 i1
a
R3
网孔1所有电阻之和
网孔2所有电阻之和
互阻 网孔1、2的公共电阻
i2 R2 + im1 + uS 1 uS2 – – b
us + 2
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
R1
L1
L2
R2
us -
+
L
1
i2
4 3
i4
R2
5
2
i5
C
1 3
4
5
R1
i2 i4 i5
有向图
返回
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
§3-2 KCL和KVL的独立方程数
1、KCL的独立方程数
2
1 1 4 3 5 2 3
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电路分析基础
1
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
第三章 电阻电路的一般分析
重点：
支路电流法
网孔电流法 回路电流法 节点电压法
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
目的：找出求解线性电路的一般分析方法 。 对象：含独立源、受控源的电阻网络的直流稳态解。 (可推广应用于其他类型电路的稳态分析中） 应用：主要用于复杂的线性电路的求解。 基础： 电路的连接关系—KCL，KVL定律 元件特性(约束)(对电阻电路，即欧姆定律) 相互独 立
电路原理第三章 电阻电路的一般分析
例3.
I1 7 + 70V –
求支路电流(电路中含有受控源）
a I2 1 I3
解 11 + U _ 2
节点a：–I1–I2+I3=0
7I1–11I2=70-2U 11I2+7I3= 2U
7
+
2U
_ b
增补方程：U=7I3
利用支路电流与受控 电源控制量的关系
得 I1=8/3A； I2＝14/3A； I3＝22/3A；
6 4
＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
上述四个方程并不相互独立，可由任意三个推 出另一个，即只有三个是相互独立的。
结论
n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
独立方程对应的节点称为独立节点。
2.KVL的独立方程数 KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1)
结 论
n个结点、b条支路的电路, 独立的 KCL和KVL方程数为：
例
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基 本回路。 1
4
8 3
5
6 7 2
5 8 6 7
4 8 3 6
4 8 2 3
3.2 KCL和KVL的独立方程数
1.KCL的独立方程数
2 1 1 4 3 5 2 3 2 3 4 1 1
i1 i4 i6 0 i1 i2 i3 0 i 2 i5 i 6 0 i3 i4 i5 0
整理得:
(R1+R2) im1 – R2 im2 = us1- uS2 -R2im1 + (R2+R3) im2 = uS2-us3 R11=R1+R2 R22=R2+R3 R11im1+ R12 im2 = us11 R21im1 + R22im2 = uS22
第3章 电阻电路的一般分析
解2. I1 7 + 70V –
a
增补方程：I2=6A 11 由于I2已知，故只列写两个方程。 a：–I1+I3=6 7
I2
1 6A b
I3
避开电流源支路取回路： 1: 7I1＋7I3=70
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例6.
I1 7
+ 70V –
列写支路电流方程（电路中含有受控源）。 a
I2 1 + 5U _ b 11 2 I3 + 7 U _ 解
返 回
支路、结点、路径、回路和网孔的概念。 (1)连通图 图G的任意两结点间至少有一条路径 时，称图G为连通图。非连通图至少 存在两个分离部分。
(2) 子图
若图G1中所有支路和结点都是图G中 的支路和结点，则称G1是G的子图。
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(3)树 (Tree)
T是连通图G的一个子图, 并满足条件：
依据:
KCL、KVL以及元件的VCR。
方法: 根据列方程时所选变量不同，可分为支路电流法、
网孔电流法、回路电流法和结点电压法。
返 回 上 页 下 页
对于线性电阻电路，电路方程是一组线性代数方程。
例1
3
I1 R1 uS1 + –
a I2 I3
R2 + – b 2 独立？ R3 求I1、I2和I3?
1 uS2
独立回路＝2，选为网孔。
+ –
R3
i1 il 1 i3 il 2 i2 il 2 il 1
uS2
b
回路1：R1 il1-R2(il2- il1) +uS2-uS1=0 回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0 自电阻 (R1+ R2) il1 -R2 il2 = uS1-uS2
电阻电路一般分析习题
第三章电阻电路的一般分析习题一、填空题。
1、对于n个节点b条支路的连通图，其树支数为.二、计算题。
1.求图1所示电路的电压U和受控源发出的功率。
解：独立回路的选择以及回路绕行方向如图2所示，列回路电流方程为：/“=4A，/2=2A(6+3+3)∕11+3×∕zi+3×∕z2=3,单连支回路数为解：用结点法求出U=32V,1=1.6ΛEA"人心一、+、，50-15/U—151 ..受控源的电流为-------- + -------- =4A10 4受控源发出的功率为-151X4=96W2.用回路法求图2所示电路的电流I。
6QI1 ----- 1—即有I=I 13=-1.25A(2+2+2)/—2×5—2x4=—u ∣ M 1=2×(5-7)1 1 1∖l , 11. 11. , ti. ------- +一÷—)v.—v>—匕=/<——-R i +R2 R. ---------- R 1l R.2R 13 5 R 1V+(—+—+—)⅛-—½=0R3叫&-R5 --v 1--v,+(—+—+—)½=e+以RJ1.&&R 凡K求得：I 13—=-1.25A123.图3所示电路，用回路法求I 。
图3ς-=i∩ςτ+z n-'n-'m=i n-z rκ+l nι-【=力-力-力£⅛+oι=⅛t+z∕-7-⅛-ι=f∕-z∕ε+7-o=t z-1+7-=力z z-,zε5Ω图9I l=lΛ-2∕,+10∕2-∕3=5(∕X-2∕1-∕2+3∕3=-10U x=I(I3-I2)z1 1 1、〃1rr w s∙1(R+R+y+0)U川—v U“2=⅛+-7-_/u ZH+(，+，)U〃2=仇KI KAκ5补充方程，=-上」R∖+R?14 .列出图14所示电路的结点电压方程（其中④为参考结点）(RR+丁+B)Unl-KU la=i si+ι∖∣+0Kyι∖∣∕∖4^⅛^+⅛+⅛^2=^R∣+R215 .电路如图15所示，求：（1）以4为参考结点，列写结点1、2、3的结点方程。
天津商业大学 大二电路第三章
二、有向图和无向图 有向图：对每条支路都规定了参考方向 的图，也称定向图（directed graph） 支路参考方向：有向图中支路参考方 向通常是支路电流参考方向，也是与其 关联的支路电压参考方向。 无向图：支路无方向的图。
is i1 i3 i4
（a）无向图 图3-2 有向图的概念 （b）有向图
（流入为正）
（3）选择（b-n+1）个独立回路,规定回路 绕向，列出KVL方程，此处选择3个网孔作为 u1 u 2 u3 0 独 （沿回路方向 u3 u 4 u5 0 电压降为正） 立回路，则有： u 2 u4 u6 0
R i R i R i u 0 将支路电流表示的支路电压表达式代入：
is Rs + Us -
R1 i1 i4 R4 i5
（a）
R2 R3 i2 i3 R5
（b） 图3-1 图的概念 （c）
1.
2.
3.
说明：结点与支路各为一个整体 支路必须交于结点，止于结点； 结点不依赖于支路存在（允许孤立结点）； 串联支路可视为一条支路。 例：
图3-1（a）电路中，有5结点、7支路（b） ；也可 视为4结点6支路（c） 。
i2
i5
§3-2 KCL和KVL的独立方程数
①
一、KCL的独立方程数
i6
i1
独立方程 ② i 在一组方程中，若任 i i 一个方程无法由其它方程 ④ 得到，这些方程线性无关， 图3-3 KCL独立方程 则称这些线性无关的方程是独立方程。 由此可见，所谓独立方程，只在方程 组中有意义。 对于给定的电路，能够列出多少个独立 方程呢？
1 1 2 2 3 3 S1
R3i3 R4 i4 R5 i5 R5 i S 5 0 R2 i2 R4 i4 R6 i6 0
第6讲 第三章 电阻电路的一般分析(一)
2. 独立方程的列写
1.从电路的n个结点பைடு நூலகம்任意选择n-1个结点列写KCL方程 2.选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程
n=4 b=6
当一条支路仅含电流源而不存 在与之并联的电阻时，无法将 支路电压以支路电流表示
元件VCR
KCL
求解
KVL
3. 支路电流方程的列写步骤
• 标定各支路电流（电压）的参考方向； • 从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程 • 选择基本回路，结合元件的特性方程列写b-(n-1)个KVL方程 求解上述方程，得到b个支路电流； • 进一步计算支路电压和进行其它分析 需要注意的是： 支路电流法列写的是 KCL和KVL方程，所以方程列写 方便、直观，但方程数较多，宜于利用计算机求解。人工 计算时，适用于支路数不多的电路。 若将支路的电流用支路电压表示，然后带入KCL方程，连 同支路电压的KVL方程，可以得到以支路电压为变量的b个方程 ——支路电压法
第六讲 电阻电路的一般分析 （一）
• 知识点:
1. 电路的图 2. KCL和KVL的独立方程数 3. 支路电流法、网孔电流法
• 教学目标:
1. 了解电路分析中一些常用的名词 2. 掌握KCL和KVL的独立方程数及其在电路求解中的应用 3. 理解支路电流法、网孔电流法进行电路分析的一般思路
1
电路的图
-I1-I2+I3=0 7I1-11I2+35I3=70 11I2-28I3=0
支路电流法特点： • 支路电流法是最基本的方法，在方程数目不多的情况下可以 使用，由于支路电流法需要同时列写KCL和KVL方程，方程 数较多，且规律性不强，手工求解比较繁琐，也不便于计算 机编程求解。
网孔电流法
第三章--电阻电路的一般分析
i1 R1 ① R3 i3
i2
us+1
-
imu1sR2+2
im2
+ us3
-
-
(1)标出网孔电流的参考方向；
②
(2)以各自的网孔电流方向为绕行方向，
列KVL方程； 注意：im1和im2都流过R2！
孔1： R1 im1+R2 im1-R2im2 = us1 -us2 孔2：-R2 im1+R2 im2 +R3 im2 = us2-us3
3
③
4
5
④6
4个方程相加结果为0，不是相互独立的。
把任意3个方程相加起来，必得另一个方程。
相差一个符号，原因是各电流在结点① ② ③若
是流入(出)，则在结点④就是流出(入) 。
2019年9月13日星期
9
五
上述4个方程中，任意3个是独立的。
对具有n个结点的电路，独立的KCL方程为任意 的(n-1)个 。 与独立方程对应的结点叫做独立结点。
现在介绍有关 “图论”的初步知识， 目的是研究电路的连 接性质，并讨论电路 方程的独立性问题。
因为KCL和KVL与元件的性质无关， 所以讨论电路方程的独立性问题时，可以用一
个简单的线段来表示电路元件。
2019年9月13日星期
3
五
用线段代替元件，称支路。 线段的端点称结点 。
这样得到的几何结构图称为 图形，或“图(Graph)”。
二、 KVL的独立方程数 与KVL的独立方程对应的回路称独立回路。
因此，要列出KVL的独立方程组，首先要找出与之 对应的独立回路组。
有时，寻找独立回路组不是一件容易的事。利用 “树”的概念会有助于寻找一个图的独立回路组。
第3章 电阻电路的一般分析答案
第三章 电阻电路的一般分析一、是非题 (注:请在每小题后[ ]内用"√"表示对,用"×"表示错).1. 利用节点ＫＣＬ方程求解某一支路电流时，若改变接在同一节点所有其它已知支路电流的参考方向，将使求得的结果有符号的差别。
[×] .2. 列写ＫＶＬ方程时,每次一定要包含一条新支路才能保证方程的独立性。
[√] .3. 若电路有ｎ个节点，按不同节点列写的ｎ－１个ＫＣＬ方程必然相互独立。
[√] .4. 如图所示电路中，节点Ａ的方程为： (1/R 1 +1/ R 2 +1/ R 3)Ｕ =I S +ＵS /R 3 [×]解：关键点：先等效，后列方程。
图A 的等效电路如图B ：节点Ａ的方程应为： 332)11(R U I U R R S S A +=+ .5. 在如图所示电路中, 有 12232/1/1/S S A I U R U R R +=+ [√]解：图A 的等效电路如图B ：.6. 如图所示电路,节点方程为:12311()S S G G G U GU I ++-=； 3231S G U G U I -=； 13110GU GU -=. [×]解：图A 的等效电路如图B ：S S U G I U G G 1121)(+=+.7. 如图所示电路中,有四个独立回路。
各回路电流的取向如图示, 则可解得各回路 电流为: Ｉ1＝１Ａ；Ｉ2＝２Ａ； Ｉ3＝３Ａ；Ｉ4＝４Ａ。
[×] 解：;11A I = ;22A I =;33A I = ;7344A I =+=二、选择题(注:在每小题的备选答案中选择适合的答案编号填入该题空白处,多选或不选按选错论).1.对如图所示电路，下列各式求支路电流正确的是 Ｃ_。
(Ａ) 12112E E I R R -=+; (Ｂ) 222E I R =(Ｃ) AB L LUI R =.2. 若网络有b 条支路、n 个节点,其独立ＫＣＬ方程有_Ｃ_个,独立ＫＶＬ方程有_Ｄ__个,共计为_Ａ_个方程。
第三章DIANLU
–
解
KCL方程： i1 + i2 - i3 - i4=0 i3 + i4 - i5 + i6=0
(1) (2)
R4 i4 i1 R1 uS + – a
+ 3 R3
u2
i3
– b i6 i5 + u 4 –
KVL方程： R1i1- R2i2= uS R2i2+ R3i3 +R5i5= 0 R3i3- R4i4= µ u2 (3) (4) (5)
i3 R3
R4
i4 3
R1
i1 R6
4
R5
i5 i6
+
uS –
2 i2 1 R1 R2
i3 R3 i1
+ R5
R4
(1) 标定各支路电流、电压的参考方向 i4 3 u1 =R1i1， u2 =R2i2， u3 =R3i3， u4 =R4i4， u5 =R5i5， u6 =–uS + R6i6 (b=6，6个方程，关联参考方向) (1)
例4. 列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。 R4 u2 + – i4 方程列写分两步： 3 i3 i R 3 b 6 a (1) 先将受控源看作独立源 i1 R1 uS + i2 + R5 c R2 u2 2 1 – i5 + u 4 – 列方程；
i1 (2) 将控制量用未知量表示，
im2
回路1 : R11 R1 R5 R4 回路2 : R22 R2 R6 R5 回路3 : R33 R4 R6 R3
互阻:两个网孔的共有电阻
R12 R21 R5 R13 R31 R4 R23 R32 R6
第三章电阻电路的一般分析
第三章电阻电路的一般分析本章内容：1．电路的图及KCL和KVL独立方程数 2．支路分析法3．网孔分析法4．回路电流法5．结点分析法本章重点：主要学习电阻电路的方程建立及一般分析方法（支路分析法、网孔分析法、节点分析法、回路分析法。
其中，支路分析法是最基本的方法）。
本章难点：独立回路数的确定, 回路分析法及节点分析法.§3-1 电路的图本节介绍有关图论的初步知识，学习应用图的方法选择电路方程的独立变量一、电路的图（G）数学上的图：是边（支路）和顶点（结点）的集合，每一条边都连到相应的顶点上，边是抽象的线段，当移去边时，顶点保留，当移去顶点时，应将顶点所连的支路移走。
1．电路的图（连通图G）：是将支路画成的抽象线段形成的节点和支路的集合，结点相对于数学图的顶点，支路相当于数学图中的边。
支路是实体。
KVL和KCL 与元件的性质无关，故可用图讨论其方程。
2．无向图：画出的没有方向的图为无向图3．有向图：画出的有方向的图为有向图4．连通图：任意两个结点之间至少有一条支路或路径时的图为连通图。
二、电路的图的画法（有几种，其中简便的画法）1．一般将电阻和电压源串联的组合，电阻和电流源并联的组合看成一条支路, 将流过同一个电流的每一个分支看成一条支路。
如（b）2．指定电流和电压的参考方向，一般选关联参考方向。
如图（c）(a) (b) (c)§3-2 KCL和KVL的独立方程数一、KCL的独立方程数（n个结点电路，KCL的独立方程是n-1个）将电路的有向图，结点和支路加以编号，如下图，对结点①②③④列写KCL 方程有由于每条支路与两个结点相联，其电流从一个节点流出，从另一个结点流入，一正，一负（从表达式可见），将上面4个方程相加，等式两边为0，说明4个方程不是独立的；将上面3个方程相加，等式两边不为0，说明3个方程是独立的。
可见，n个结点电路，n-1个结点的KCL方程是独立的一、KVL的独立方程数（b条支路，n个结点，KVL为b-(n-1)个）KVL的独立方程数等于独立回路数独立回路数等于基本回路数，回路与支路的方向无关，以无向图讨论。
电路原理 第三章
第三章电阻电路的一般分析一、教学基本要求电路的一般分析是指方程分析法，是以电路元件的约束特性（VCR）和电路的拓补约束特性（KCL、KVL）为依据，建立以支路电流或回路电流或结点电压为变量的电路方程组，解出所求的电压、电流和功率。
方程分析法的特点是：（1）具有普遍适用性，即无论线性和非线性电路都适用；（2）具有系统性，表现在不改变电路结构，应用KCL，KVL，元件的VCR建立电路变量方程，方程的建立有一套固定不变的步骤和格式，便于编程和用计算机计算。
本章学习的内容有：电路的图，KCL和KVL的独立方程数，支路电流法，网孔电流法，回路电流法，结点电压法。
本章内容以基尔霍夫定律为基础。
介绍的支路电流法、回路电流法和节点电压法适用于所有线性电路问题的分析，在后面章节中都要用到。
内容重点：会用观察电路的方法，熟练应用支路电流法，回路电流法，结点电压法的“方程通式”写出支路电流方程，回路电流方程，结点电压方程，并求解。
预习知识：线性代数方程的求解难点：1. 独立回路的确定2. 正确理解每一种方法的依据3. 含独立电流源和受控电流源的电路的回路电流方程的列写4. 含独立电压源和受控电压源的电路的结点电压方程的列写二、学时安排总学时：6三、教学内容§3－1 电路的图1. 网络图论图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。
图论的概念由瑞士数学家欧拉最早提出，欧拉在1736年发表的论文《依据几何位置的解题方法》中应用图的方法讨论了各尼斯堡七桥难题，见图3.1a和b所示。
图3.1 a 哥尼斯堡七桥 b 对应的图19～20世纪，图论主要研究一些游戏问题和古老的难题，如哈密顿图及四色问题。
1847年，基尔霍夫首先用图论来分析电网络，如今在电工领域，图论被用于网络分析和综合、通讯网络与开关网络的设计、集成电路布局及故障诊断、计算机结构设计及编译技术等等。
2. 电路的图电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应，如图3.2所示，所以电路的图是点线的集合。
第三章 电阻电路的一般分析
例
I1
＋ US1
①
＋
－
(
U S1 U S 2 1 1 1 U n1 IS3 R1 R2 R3 R1 R2 U S1 U S 2 IS3 R1 R2 U n1 1 1 1 R1 R2 R3
)
－
R1
R2
R3
IS3
对n=2的电路有
U n1
GU I G
I1 I l 1 I 2 I l1 I l 2 I3 Il2
据KVL得
R1 I1 R2 I 2 U S1 U S 2 R I R I U 3 3 S2 2 2
(不可解)
回路电流法比支路电流法求解的方程数少（n1）即只有(b-n+1)个。
由于有受控源，100=R12 ≠R21 = –1350 ！
例2．求uA 、iB
a iB 4Ω
6A
b + 20V
-
6Ω
iC
+ u A-
c
3Ω
2 uA
d
－ 2Ω 6iB ＋
a
b
c
o
解：回路取lbodb(2uA) 、 labdoa(iB) 、 lbcdb (iC)， lacdoa(6A) labdoa 7iB +3×6＝6iB -20 lbcdb 8iC+2×6 = 20
其系数规律为：
R11 ─自电阻,回路l1的所有电阻之和(恒正)(R22…Rmm 同)；
R12 、R21 ─互电阻,回路1、2的公有电阻“代数和”，Il1 、 Il2在互电阻上同方向时取正；反之取负。无受控源时相 等.
US11 ─ 回 路 l1 沿 Il1 方 向 上 电 压 源 电 位 升 的 代 数 和 (US22…USmm 同)。
电路分析基础第五版第3章
b
增补方程：U=7I3
解得： I1=-28.3A I2=-46.7A I3=-18.3A
注意 有受控源的电路，方程列写分两步：
① 先将受控源看作独立源列方程；
②将控制量用未知量表示，并代入①中所列的方 程，消去中间变量。
§3-4 网孔电流法
结点a： –I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
7I1–11I2=70-U
a
11I2+7I3= U 增补方程：I2=6A
I1 7 I2 11
+ 70V
1 6A + U
2
I3 7
解得：
–
-
I1=2A I2=6A I3=8A
b 设电流源 电压
a
解2
I1 7 I2 11
共2b个独立方程。
e
图
有向图
1. KCL的独立方程数
2
1
2
1 43
3
6
5
4
1
i1i4i6 0
2 i1i2i30 3 i2i5i6 0
4 i3i4i50
结论
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
n个节点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
2. KVL的独立方程数
2
1
2
对网孔列KVL方程：
明确 ①对应一个图有很多的树
②树支的数目是一定的 连支数：
bt n1
b lbb tb(n 1 )
②回路(Loop)
L是连通图的一个子图，构成一 条闭合路径，并满足：(1)连通，
3 第 三 章 电阻电路的一般分析
重点掌握
1. 图论有关概念、独立结点、独立回路。 图论有关概念、独立结点、独立回路。 2. 电路三大分析法： 电路三大分析法： 支路电流法 结点电压法 回路电流法（含网孔电流法） 回路电流法（含网孔电流法）
★§3.1 ★§
一、概念 i1 R1 R2 + uS – ② i2
支路与结点的移去： 支路与结点的移去：支路必须 终止在结点上， 终止在结点上，移去支路不意 味着移去结点，但移去结点必 味着移去结点， 须移去与之相连的所有支路， 须移去与之相连的所有支路， 因此可以存在孤立结点 孤立结点。 因此可以存在孤立结点。
6. 回路(loop)： 回路 ： 由支路所构成的一条闭合路径。 由支路所构成的一条闭合路径。 该闭合路径中与每个结点相关联 的支路数为2。 的支路数为 。 7. 网孔（mesh)：平面 网孔（ ： 图中的自然孔。 图中的自然孔。孔内区 域中不再含有任何支路 和结点。 和结点。 1 ②
i −i −i = 0
− i 2 + i 3 + i4 = 0 − i4 + i 5 − i 6 = 0 u1 + u2 + u3 = 0 − u3 + u4 + u5 = 0 − u2 − u4 + u6 = 0 u1 = R1 i1 − uS 1 u2 = R2 i2 u3 = R3 i3 u4 = R4 i4 u5 = R5 i5 + R5 i S 5 u6 = R6 i6
② ① ③
树支
④
连支
9.单连支回路（基本回路):只有一个连支 单连支回路（基本回路 只有一个连支 单连支回路 的回路。 个单连支回路. 的回路。有(b-n+1)个单连支回路 个单连支回路
3第三章电阻电路的一般分析
b 1 a 2 3 5
树支
7 8 e
选树 连支
6 9 d
图G
2 3 4
5
8
4
2 8 5 4
独立回路 l=5 3
例题：
该图可写出多少个独立的KCL、 KVL方程；该图具有多少个独立 的电流变量和电压变量。 答:该图共有5个结点，10条支路。 独立结点数为5-1=4个；独立回路数为10-4=6个。 所以可写出4个独立KCL方程，6个独立KVL方程。 该图中数支数为4个，连支数为6个。
US2=6V
－
根据回路电流和支路电流的关系
I1=IⅠ=6A ；I2=IⅡ=－2A ； I3=IⅠ+IⅡ=4A
2.电路如图所示，应用网孔分析法求网孔电流 及支路电流I。 0.5I _
6Ω +
解：（1） 选定网孔电流I1、
I I1 I2 2Ω 5Ω
I2的参考方向如图所示。
（2） 列网孔方程:
49
+ _
三、支路电流法解题步骤: (1)确定支路(电流)数b和节点数n b=6，n=4 (2)列出独立的KCL方程(n-1)=3个 R1 a : I 1 + I5 = I2 b: I2 = I3+ I4 I1 c: I3 + I6 = I1 + U 1 (3)列出独立的KVL方程 b-(n-1)=3=（网孔数） R2 b R3 a
(6 2) I1 2I 2 49
（3） 解方程组, 得
补充方程
2I1 (2 5) I 2 0.5I
I I1 I 2
I1 6.5 A, I 2 1.5 A, I 5 A
3.E1=1V，E3=6V，IS=6A，R1=3，R2=2， R3=1，R4=4，求网孔电流。
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网孔2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
R11il1 + R il 2 = usl1 12 一般形式： 一般形式： R21il1 + R22il 2 = usl 2
你能比较出什么规律吗？ 你能比较出什么规律吗？
网孔电流法分析（ 网孔电流法分析（续）
i1 R i2 R2 1 + il1 + uS1 b il2 uS2 – –
即两个网孔共有电阻之和， 即两个网孔共有电阻之和， 当两个网孔电流流过相关支 路方向相同时， 路方向相同时，互电阻取正 否则为负号。可见， 号；否则为负号。可见，当 网孔电流均取顺（或逆） 网孔电流均取顺（或逆）时 针方向时，互电阻均为负。 针方向时，互电阻均为负。
(R1+ R ) i -R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
–I1+I3=6 7I1＋7I3=70
I1 7Ω + 70V –
b
含受控源的情况
a 7Ω + 70V – I1 I2 11Ω + I3 1 U 7Ω + 2 _ 5U _ b
先将受控源看作独立源列方程； ① 先将受控源看作独立源列方程； 将控制量用未知量表示，并代入①中所列的方程， ② 将控制量用未知量表示，并代入①中所列的方程，消去 中间变量。 中间变量。
树
1 5
3
5、树支：构成树的支路 树支： 连支： 6、连支：属于图而不属于树的支路 树支数： t 树支数： b 连支数： 连支数：
= n −1
bl = b − bt = b − n +1
问题：你还能画出哪些不同的树。 问题：你还能画出哪些不同的树。
基本回路
1 5 2 6 4 3
观察：图的任意一个树，加入一个连支后， 观察：图的任意一个树，加入一个连支后，就形成一 个回路，且此回路除所加连支外均由树支组成， 个回路，且此回路除所加连支外均由树支组成， 基本回路。 这种回路称为单连支回路或基本回路 这种回路称为单连支回路或基本回路。 基本回路数： 基本回路数： l
网孔电流法分析（ 网孔电流法分析（续）
i1 R i2 R2 1 + il1 + uS1 b il2 uS2 – – i3 R3
网孔1
整理得： 整理得：
R11il1 + R12il 2 = usl1 R i + R i = u 21 l1 22 l 2 sl 2
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
R11il1 + R12il 2 = usl1 一般形式： 一般形式： R21il1 + R22il 2 = usl 2
uslk：网孔 在网孔电流方向的 网孔k在网孔电流方向的
电压升之和。 电压升之和。
网孔电流法的一般形式
个网孔的电路， 对于具有 l 个网孔的电路，有:
R11il1 + R12il 2 +L+ R1lill = usl1 R i + R i +L+ R i = u 21 l1 22 l 2 2l ll sl 2 L Rl1il1 + Rl2il 2 +L+ Rllill = usll
2b法示例 2b法示例
支路的VCR： ： 支路的 网孔的KVL： ： 网孔的
u1 = −uS1 + Ri1 1 u2 = R2i2 u3 = R3i3 u4 = R4i4 u5 = R5i5 + R5iS 5
电路的图
u1 + u2 + u3 = 0 −u3 + u4 + u5 = 0 −u2 − u4 + u6 = 0
1 1 −1 i1 0 7 −11 0 i2 = 64 0 11 7 i 6 3
i1 = 6A i2 = −2A i3 = 4A
P V = 420W 70 PV = −12W 6
求各元件的电流和电压
网孔电流法分析
i1 R i2 R2 1 + il1 + uS1 uS2 b il2 – – i3 R3 网孔数为2 网孔数为 2 。 选图示 的两个网孔电流， 的两个网孔电流，支路电 流可表示为： 流可表示为：
i1 = il1
i3 = il 2
i2 = il 2 − il1
列写的方程 网孔1： 网孔 ： R1 il1-R2(il2-il1) +uS2-uS1=0 网孔2： R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0 网孔 ：
问题：KCL、KVL方程中哪些是相互独立的呢？ 问题：KCL、KVL方程中哪些是相互独立的呢？ 方程中哪些是相互独立的呢
本章方法的适用性与基础
线性电路的一般分析方法 • 普遍性：对任何线性电路都适用。 普遍性：对任何线性电路都适用。 • 系统性：计算方法有规律可循。 系统性：计算方法有规律可循。 方法的基础 • 电路的连接关系—KCL，KVL定律。 电路的连接关系— 定律。 定律 • 元件的电压、电流关系特性VCR。 元件的电压、电流关系特性VCR。 VCR 复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及 复杂电路的一般分析法就是根据 及 元件的VCR列方程、解方程。 VCR列方程 元件的VCR列方程、解方程。
方程列写方便、直观，但方程数较多。 方法的特点 ：方程列写方便、直观，但方程数较多。
网孔电流法
以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列 写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。 写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。它仅 适用于平面电路。 适用于平面电路。 基本思想 为减少未知量(方程)的个数， 为减少未知量 (方程 )的个数 ， 假想每个回 路中有一个回路电流。 路中有一个回路电流 。 各支路电流可用回路电 流的线性组合表示，来求得电路的解。 流的线性组合表示，来求得电路的解。
Ri1 + R2i2 + R3i3 = uS1 1 −R3i3 + R4i4 + R5i5 = −R5iS 5 −R2i2 − R4i4 + R6i6 = 0
网孔的KVL可由电路图直接得到，你能办到吗？ 可由电路图直接得到，你能办到吗？ 网孔的 可由电路图直接得到
求各支路电流及各电源发出的功率
a I1 + 70V – 7Ω I2 11Ω 1 + 2 6V – b I3 7Ω
a I1 7Ω + 70V – I2 11Ω 6A I3 7Ω
b
两种求解方法
a I1 7Ω I2 11Ω + 1 6A + 2 70V U – _ b 设电流 源电压 I3 7Ω
–I1–I2+I3=0 7I1–11I2=70-U 11I2+7I3= U I2=6A
a I2 11Ω 6A I3 7Ω
1 5 2 6 4 3
重要结论：任意(n 1)个结点上可以 (n重要结论：任意(n-1)个结点上可以 得出(n 1)个独立的KCL方程 (n- 个独立的KCL方程。 得出(n-1)个独立的KCL方程。
2b法 2b法
1 5 2 6 4 3
电路的图中有n个结点，b条支路，求每个支路的电流 电路的图中有 个结点， 条支路， 个结点 条支路 电压。共计2b个所求量。 电压。共计 个所求量。 个所求量
①②③的 ①②③的KCL： ：
u6 = R6i6
−i1 + i2 + i6 = 0 −i2 + i3 + i4 = 0 −i4 + i5 − i6 = 0
支路1 支路 支路5 支路
或
支路电流法
支路的VCR： ： 支路的
u1 = −uS1 + Ri1 1 u2 = R2i2 u3 = R3i3 u4 = R4i4 u5 = R5i5 + R5iS 5 u6 = R6i6
–I1–I2+I3=0 7I1–11I2=70-5U 11I2+7I3= 5U U=7I3 增补方程
支路电流法的一般步骤
①标定各支路电流（电压）的参考方向； 标定各支路电流（电压）的参考方向； 个结点， 方程； ②选定(n–1)个结点，列写其 选定 个结点 列写其KCL方程； 方程 个独立回路， ③选定b–(n–1)个独立回路，指定回路绕行方向， 选定b–(n–1)个独立回路 指定回路绕行方向， 结合KVL和支路方程列写； 结合 和支路方程列写； 和支路方程列写 个支路电流； ④求解上述方程，得到 个支路电流； 求解上述方程，得到b个支路电流 ⑤进一步计算支路电压和进行其它分析。 进一步计算支路电压和进行其它分析。
第三章 电阻电路的一般分析
目的：求解电路中各元件的电流、电压。 目的：求解电路中各元件的电流、电压。
1、电路中有8个元件，需要求解16个未知量的值。 电路中有8个元件，需要求解16个未知量的值。 16个未知量的值 观察：电压源电压已知、电流源电流已知、 2、观察：电压源电压已知、电流源电流已知、电 流源电压等于电阻R 电压、 流源电压等于电阻R2电压、电压流电流等于电阻 电流。故需要求解12未知量的值， 12未知量的值 R1电流。故需要求解12未知量的值，即每个电阻 的电压与电流。 的电压与电流。 由欧姆定律， 3、由欧姆定律，只需要求解每个电阻的电流即可 求电压亦可），故只需要求解6个未知量。 ），故只需要求解 （求电压亦可），故只需要求解6个未知量。 根据KCL KVL列方程即可求解 KCL、 列方程即可求解。 4、根据KCL、KVL列方程即可求解。
重要结论：平面图的全部网孔是一 重要结论： 组独立的KVL方程。 KVL方程 组独立的KVL方程。
问题： 问题： 1、哪个是平面图。 、哪个是平面图。 2、画出每个图的树。 、画出每个图的树。 3、每个图的基本回路有几个，分别是 、每个图的基本回路有几个， 什么？ 什么？