2009年普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅰ理

2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）
理科数学（必修+选修H）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

第I卷1至2页。

第II卷3
至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷
考生注意：
1 •答题前，考生在答题卡上务必用0 • 5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、
填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2 •每小题选出答案后，用2E铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3 •本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

参考公式：
如果事件A, B互斥，那么球的表面积公式
P(A B) = P(A) P(B)S = 4 T R2
如果事件A, B相互独立，那么其中R表示球的半径
P(A B) =P(A) P(B)球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么v =4R
3
n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径
R(k)二C：P k(1-P严(k =0,2||(,n)
一、选择题
1 •设集合A= {4, 5, 7, 9}, B= { 3, 4, 7, 8, 9},全集U=A U B，则集合C U (A p| B) 中的元素共有
A • 3个
B • 4个C. 5个 D • 6个
2.已知—=2 i，则复数z=
1 +i
A • -1+3i
B • 1-
3i
C. 3+i D •
3-i
3.不等式|二<1的解集为
A . &0 < x C1)U {xx n l} B. {x0〈x〈1}
C . :x -1 x 0}
D . :xx 0?
2 2
x y 2
4•设双曲线—2 =1 (a> 0, b> 0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心
a b
率等于
A . J3B. 2 C . V5 D .76
5. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。

若从甲、乙两组中各
选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
A . 150 种
B . 180 种
C . 300 种
D . 345 种
6. 设a、b、c是单位向量，且a・b=0，贝U (a-c)(b-c)的最小值为
A. -2 B . 2-2 C . -1 D . 1-2
7. 已知三棱柱ABC -ABQ1的侧棱与底面边长都相等，A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为
4 _■
8.如果函数心cos2x
「’的图像关于点,0
中心对称，那么|「|的最小值为
9.已知直线y=x+1与曲线y =1 n(x • a)相切，则a的值为
-1 -2
10 .已知二面角〉-丨-［为60o，动点P、Q分别在面〉、1内，P到］的距离为.3 , Q到:的距离为2^3，贝U P、Q两点之间距离的最小值为
A. -2
B. 2 C . 2、3 D . 4
11•函数f(x)的定义域为R,若f(x 1)与f(x-1)都是奇函数，则
A • f (x)是偶函数
B • f (x)是奇函数
C • f(x)=f(x 2)
D • f (x 3)是奇函数
2
x 2
12.已知椭圆C : y =1的右焦点为F ,右准线为I，点A l，线段AF交C于点B ,
2
AF^| =
若FA =3击,则|
A •,2
B • 2
C .、、3
D • 3
第II卷
注意事项：
1 •答题前，考生在答题卡上务必用直径0. 5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2 •每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选题其他答案标号，在试卷上作答无效。

3 •第II卷共10小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

10 7 3 3 7
13 • (x—y)的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 _______________ 。

14 •设等差数列「aj的前n项和为S n，若S9 =72，则32 84 a g= ___________________ 。

15 • 直三棱柱ABC - A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB = AC = AAi = 2 ,
BAC =120，则此球的表面积等于_____________ 。

3
16 • 若x ，则函数y =tan2xtan x的最大值为_______________ 。

4 2
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17 •(本小题满分10分)
在厶ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、C,已知a2-c2=2b，且
sin A cosC = 3 cosA siC 求b。

18 •(本小题满分12分)
如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD _底面ABCD , A^ 2
DC 二SD = 2，点M 在侧棱SC上，.ABM =60
(I)证明：M是侧棱SC的中点。

(II )求二面角S-AM -B的大小。

19. (本小题满分12分)
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0. 6,乙获胜的概率为0. 4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。

(I)求甲获得这次比赛胜利的概率；
(II )设•表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求•得分布列及数学期望。

20. (本小题满分12分)
1 n +1
在数列｛aj 中，-1,a n1 二(1 • -)a n-
n 2
(I)设b n=色，求数列｛b n｝的通项公式；
n
(II)求数列｛a n｝的前n项和S n
21. (本小题满分12分)
如图，已知抛物线E: y2二x与圆M : (x-4)2• y2二r2(r 0)相交于A、B、C、D四
个点。

(I)求r的取值范围；
(II )当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。

22. (本小题满分12 分)
设函数f x = x33bx23cx在两个极值点为、x2，且x^「Oh 1,21.
(I)求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点b,c的
区域;
(II)证明：一10岂f x2< -
2。