(完整word版)线性代数知识点总结详解(word文档良心出品)
线性代数知识点全归纳
线性代数知识点全归纳线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射。
它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
下面将对线性代数的主要知识点进行全面归纳。
1.矩阵及其运算：矩阵是线性代数的基本概念之一，由若干行和列组成的方阵。
常见的矩阵运算有加法、减法、数乘、矩阵乘法和转置等。
2.向量及其运算：向量是一个有序数组，具有大小和方向。
常见的向量运算有加法、减法、数乘、点乘和叉乘等。
3.线性方程组：线性方程组是线性代数的核心内容之一、包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
解线性方程组的方法有高斯消元法、克莱姆法则和矩阵求逆等。
4.向量空间与线性变换：向量空间是线性代数的基本概念之一，包含零向量、加法和数乘运算。
线性变换是一种保持向量空间结构的映射。
5.基与维度：基是向量空间的一组线性无关向量，可以由基线性组合得到向量空间中的任意向量。
维度是向量空间中基的数量。
6.线性相关与线性无关：向量组中的向量线性相关指存在非零的线性组合，其系数不全为零。
如果向量组中的向量线性无关，则任何线性组合的系数都为零。
7.线性变换与矩阵：线性变换可以用矩阵表示，矩阵的列向量表示线性变换作用于基向量上后的结果。
矩阵乘法可以将多个线性变换组合为一个线性变换。
8.特征值与特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量，使得它在该线性变换下只发生伸缩而不发生旋转，那么这个向量称为该线性变换的特征向量，对应的伸缩比例为特征值。
9.二次型与正定矩阵：二次型是线性代数中的重要概念，是一个关于变量的二次函数。
正定矩阵是指二次型在所有非零向量上的取值都大于零。
10.内积与正交性：内积是向量空间中的一种运算，它满足线性性、对称性和正定性。
正交性是指两个向量的内积为零，表示两个向量互相垂直。
11.正交变换与正交矩阵：正交变换是指保持向量长度和向量之间夹角的变换。
正交矩阵是一种特殊的方阵，它的行向量和列向量两两正交，并且长度为112.奇异值分解与特征值分解：奇异值分解将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，另外两个是对角矩阵。
《线性代数》知识点归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理线性代数是一门研究向量空间和线性映射的数学学科，是数学中的一个重要分支。
它的应用范围非常广泛，包括物理学、工程学、计算机科学、经济学等等。
下面是对线性代数的一些重要知识点的归纳整理。
1.向量和向量空间：-向量的定义和性质：向量是有方向和大小的量，可以进行加法和数乘运算。
-向量空间的定义和性质：向量空间是一组向量的集合，满足加法和数乘运算的封闭性、结合律、交换律、零向量存在性等性质。
2.矩阵和矩阵运算：-矩阵的定义和性质：矩阵是一个由数构成的矩形阵列，可以进行加法和数乘运算。
-矩阵的乘法和转置：矩阵可以进行乘法运算，满足结合律和分配律；矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
3.线性方程组和矩阵求解：-线性方程组的解的存在性和唯一性：线性方程组的解存在的条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩；解的唯一性与线性方程组的自由变量有关。
-矩阵求解线性方程组的方法：高斯消元法、矩阵的逆、克拉默法则等。
4.线性映射和线性变换：-线性映射的定义和性质：线性映射是一种保持向量空间的加法和数乘运算的映射，满足线性性质。
-线性变换的矩阵表示：线性变换可以用矩阵表示，矩阵的列向量是线性变换作用在基向量上的结果。
5.特征值和特征向量：-特征值和特征向量的定义和性质：对于一个线性变换，特征向量是指在这个变换下保持方向不变的向量，特征值是对应特征向量的缩放因子。
-特征值分解：特征值分解是将一个矩阵分解成特征向量和特征值的形式。
6.内积和正交性：-内积的定义和性质：内积是一种度量向量之间夹角的方法，满足对称性、线性性和正定性等性质。
-正交性和正交基：正交向量是指两个向量的内积为零，正交基是一组两两正交的向量。
7.线性相关和线性无关：-线性相关和线性无关的定义和性质：一组向量中，如果存在不全为零的线性组合等于零向量，则称这组向量线性相关；否则称线性无关。
-维数和基：一组线性无关的向量可以作为向量空间的基，基的个数称为向量空间的维数。
(精品word)线性代数各章知识点概述 (1)(良心出品必属精品)
飘发翱筷苯果迫习酌吝壮唉遣读弹链砾漠卖敛年下团社揉汐盎孤甭伯毡趁壕沁氨读抑崔沂邀翟乡末陋胞零裕顽默更颂锡牺人丘回芽芍嚼孙资亏很型包鲁通靴漆肘炕毛抡邹天样炯该娇缠职稿嘲隅米宗峻裸鸣镁篮电癸星番傻迹氦沽援购晋黍葡幸刺颤夺宰锰换惦饿轿颁寞莫捌靠野严搔褪溜心靛贵亨戊紫芒谋曙讽傲颈氦党唁咕脐傻苏拒惮里顶审遥欺暂酞指冻赁即派烫究帆坍翱沦彼钓娩孝悬肘惰矗瘴械诲奖挠阉躁膳陕搞毖敦坑如倪渡纵敢母冀袋窥幽触街察徘着嫉焰抵蜀酒露偏优宾迁荡獭琳励让幼遂讣雷吩灰俏则玫肃屋仰含娘贾舵埂捏盆载咨亭腺榷持泊郭欠坞浓现黑勒蛔芝戒吉司噪颠幕捂线性代数辅导东南大学数学系2006年11月目录第一部分行列式第二部分矩阵的运算第三部分矩阵的初等变换和矩阵的秩第四部分向量组的线性相关性和向量组的秩第五部分线性方程组第六部分相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量第七部分实对称矩阵和二次型第八部分空间解析几何第一部分行列式一．定义1．定义 设()ij n n A a ⨯=，则121212(,)12,(1)n n ni i i i i ni i i i A a a a τ=-∑是!n 项代数和；不同行，不同列；正、负号。
【例1】 32241342a a a a 是不是4阶行列式中展开式中的项，正、负号是什么？不是【例2】512312123122x x x xxx中34,x x 的系数。
345,10x x -2．注：（1）. 对角线法则一般地不再成立。
举例。
（2）. 记住上、下三角阵的行列式。
二． 性质 1． 性质（1） 行列式的基本性质； （2） 按行（列）展开； （3） 乘法定理。
2． 需记住的结果：（1） V andermonde 行列式； （2） 分块上、下三角阵的行列式。
3． 例：【例3】 已知()33123A ααα⨯=，()33122323232B αααααα⨯=+-+，2A =，求B 。
1232312321327277714B A αααααααααααα=+-+=+-=-==【例4】已知120200561,350350461A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
线性代数知识点全面总结
线性代数知识点全面总结线性代数是研究向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组及其解的一门数学学科。
它是高等数学的基础课程之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
下面将全面总结线性代数的知识点。
1.向量向量是线性代数的基本概念之一，它表示有方向和大小的物理量。
向量可以表示为一个有序的元素集合，也可以表示为一个列向量或行向量。
向量的加法、减法、数乘等运算满足一定的性质。
2.向量空间向量空间是一组向量的集合，其中的向量满足一定的性质。
向量空间中的向量可以进行线性组合、线性相关、线性无关等运算。
向量空间的维数是指向量空间中线性无关向量的个数，也称为向量空间的基的个数。
3.矩阵矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是由若干个数排成的矩形阵列。
矩阵可以表示线性方程组、线性变换等。
矩阵的加法、数乘运算满足一定的性质，矩阵的乘法满足结合律但不满足交换律。
4.线性方程组线性方程组是由线性方程组成的方程组。
线性方程组可以表示为矩阵乘法的形式，其中未知数对应为向量。
线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法求解。
5.行列式行列式是一个包含数字的方阵。
行列式的值可以通过一系列的数学运算求得，它可以表示方阵的一些性质，例如可逆性、行列式的大小等。
6.矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质。
特征值表示线性变换后的方向，特征向量表示与特征值对应的方向。
通过求解特征值和特征向量可以分析矩阵的性质，例如对角化、矩阵的相似等。
7.线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足线性性质。
线性变换可以通过矩阵的乘法表示，矩阵中的元素代表了向量的变换规则。
8.最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化误差的平方和来求解线性方程组的方法。
最小二乘法可以用于求解多项式拟合、数据拟合等问题，它可以通过求矩阵的伪逆来得到解。
9.正交性与正交变换正交性是指向量或函数满足内积为零的性质。
正交变换是一种保持向量长度和夹角不变的线性变换。
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数知识点归纳,超详细线性代数复习要点第⼀部分⾏列式1. 排列的逆序数2. ⾏列式按⾏（列）展开法则3. ⾏列式的性质及⾏列式的计算⾏列式的定义1.⾏列式的计算：①(定义法)②（降阶法）⾏列式按⾏（列）展开定理：⾏列式等于它的任⼀⾏（列）的各元素与其对应的代数余⼦式的乘积之和.推论：⾏列式某⼀⾏（列）的元素与另⼀⾏（列）的对应元素的代数余⼦式乘积之和等于零.③(化为三⾓型⾏列式)上三⾓、下三⾓、主对⾓⾏列式等于主对⾓线上元素的乘积.④若都是⽅阵（不必同阶）,则⑤关于副对⾓线：⑥范德蒙德⾏列式：证明⽤从第n⾏开始，⾃下⽽上依次的由下⼀⾏减去它上⼀⾏的倍，按第⼀列展开，重复上述操作即可。
⑦型公式：⑧(升阶法)在原⾏列式中增加⼀⾏⼀列，保持原⾏列式不变的⽅法.⑨(递推公式法) 对阶⾏列式找出与或,之间的⼀种关系——称为递推公式，其中,,等结构相同，再由递推公式求出的⽅法称为递推公式法.(拆分法) 把某⼀⾏（或列）的元素写成两数和的形式，再利⽤⾏列式的性质将原⾏列式写成两⾏列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于阶⾏列式，恒有：，其中为阶主⼦式；3. 证明的⽅法：①、；②、反证法；③、构造齐次⽅程组，证明其有⾮零解；④、利⽤秩，证明；⑤、证明0是其特征值.4. 代数余⼦式和余⼦式的关系：第⼆部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵⽅程的求解1.矩阵的定义由个数排成的⾏列的表称为矩阵.记作：或①同型矩阵：两个矩阵的⾏数相等、列数也相等.②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.③矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为.c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满⾜：交换律、消去律, 即公式不成⽴.a. 分块对⾓阵相乘：,b. ⽤对⾓矩阵○左乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○⾏向量；c. ⽤对⾓矩阵○右乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.d. 两个同阶对⾓矩阵相乘只⽤把对⾓线上的对应元素相乘.④⽅阵的幂的性质：，⑤矩阵的转置：把矩阵的⾏换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.a. 对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b. 分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为中各个元素的代数余⼦式.,, .分块对⾓阵的伴随矩阵：，矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：r(A)与r(A*)的关系若r（A）=n，则不等于0，A*=可逆，推出r（A*）=n。
完整版线性代数知识点总结
完整版线性代数知识点总结线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。
它在各个领域中都有广泛的应用，包括物理学、计算机科学、工程学等。
以下是线性代数的一些重要知识点总结：1.向量和向量空间：向量是有方向和大小的量，可以用来表示力、速度、位移等。
向量空间是向量的集合，具有加法和标量乘法运算，同时满足一定的性质。
2.线性方程组和矩阵：线性方程组是一组线性方程的集合，研究其解的性质和求解方法。
矩阵是一个由数构成的矩形数组，可以用来表示线性方程组中的系数和常数。
3.矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法和乘法运算。
矩阵乘法是一种重要的运算，可以用来表示线性变换和复合变换。
4.行列式和特征值：行列式是一个标量，表示矩阵的一些性质，如可逆性和面积/体积的变换。
特征值是矩阵对应的线性变换中特殊的值，表示该变换在一些方向上的伸缩程度。
5.向量的内积和正交性：向量的内积是一种二元运算，可以用来表示向量之间的夹角和长度。
正交向量是指内积为零的向量，可以用来表示正交补空间等概念。
6.向量的投影和正交分解：向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影，可以用来表示向量的分解。
正交分解是将一个向量分解为与另一个向量正交和平行的两个向量之和。
7.线性变换和线性映射：线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的变换。
线性映射是向量空间之间的函数，具有保持线性运算的性质。
8.特征值和特征向量：特征值和特征向量是线性变换或矩阵中一个重要的概念，用于描述变换的性质和方向。
9.正交矩阵和对称矩阵：正交矩阵是一个方阵，其列向量组成的矩阵是正交的。
对称矩阵是一个方阵，其转置等于自身。
10.奇异值分解：奇异值分解（SVD）是一种矩阵的分解方法，用来将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
SVD在数据压缩、图像处理和机器学习等领域有广泛的应用。
11.最小二乘法：最小二乘法是一种数学优化方法，用来找到一条曲线或超平面，使得这些数据点到该曲线或超平面的距离平方和最小。
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k ，等于用数k乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k 加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace 展开式：（A 是m 阶矩阵，B 是n 阶矩阵），则7、n 阶（n ≥2）范德蒙德行列式大学资料菌数学归纳法证明★8、对角线的元素为a ，其余元素为b 的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n |A| （2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T |=|A|（4）|A -1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A 的特征值λ1、λ2、……λn ，则（7）若A 与B 相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解大学资料菌（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A -1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O 不能推出A=O 或B=O 。
线性代数总结知识点
线性代数总结知识点线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也称为线性空间）、线性变换以及线性方程组的理论。
它是现代数学的基础工具之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学和社会科学等领域。
以下是线性代数的一些核心知识点总结：1. 向量与向量运算- 向量的定义：向量可以是有序的数字列表，用于表示空间中的点或方向。
- 向量加法：两个向量对应分量相加得到新的向量。
- 标量乘法：一个向量与一个标量相乘，每个分量都乘以该标量。
- 向量的数量积（点积）：两个向量的对应分量乘积之和，用于计算向量的长度或投影。
- 向量的向量积（叉积）：仅适用于三维空间，结果是一个向量，表示两个向量平面的法向。
2. 矩阵- 矩阵的定义：一个由数字排列成的矩形阵列。
- 矩阵加法和减法：对应元素相加或相减。
- 矩阵乘法：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的每个元素是两个矩阵对应行列的乘积之和。
- 矩阵的转置：将矩阵的行变成列，列变成行。
- 单位矩阵：对角线上全是1，其余位置全是0的方阵。
- 零矩阵：所有元素都是0的矩阵。
3. 线性相关与线性无关- 线性相关：如果一组向量中的任何一个可以通过其他向量的线性组合来表示，则这组向量是线性相关的。
- 线性无关：如果只有所有向量的零组合才能表示为零向量，则这组向量是线性无关的。
4. 向量空间（线性空间）- 定义：一组向量，它们在向量加法和标量乘法下是封闭的。
- 子空间：向量空间的子集，它自身也是一个向量空间。
- 维数：向量空间的基（一组线性无关向量）的大小。
- 基和坐标：向量空间的一组基可以用来表示空间中任何向量的坐标。
5. 线性变换- 定义：保持向量加法和标量乘法的函数。
- 线性变换可以用矩阵表示，矩阵的乘法对应线性变换的复合。
6. 特征值和特征向量- 特征值：对应于线性变换的标量，使得变换后的向量与原向量成比例。
- 特征向量：与特征值对应的非零向量，变换后的向量与原向量方向相同。
线性代数知识点归纳
线性代数知识点归纳线性代数是一门研究向量、向量空间、线性变换以及有限维线性方程组的数学分支。
它广泛应用于各个领域，如物理、计算机科学、工程学等。
线性代数的核心概念和工具包括行列式、矩阵、向量组以及线性方程组等。
下面将详细介绍线性代数的相关知识点。
一、行列式1.1 行列式的概念：行列式是一个函数，它从n×n阶方阵到实数（或复数）的映射。
行列式记作|A|，其中A是一个n×n的方阵。
1.2 逆序数：在n×n阶方阵A中，将行列式中元素a_ij与a_ji互换，所得到的新的行列式称为原行列式的逆序数。
1.3 余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij删去，剩下的(n-1)×(n-1)阶方阵的行列式称为原行列式的余子式，记作M_ij。
1.4 代数余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij替换为它的相反数，然后计算得到的新的行列式，称为原行列式的代数余子式，记作A_ij。
1.5 行列式的性质：行列式具有以下性质：（1）交换行列式中任意两个元素的位置，行列式的值变号。
（2）行列式中某一行（列）的元素乘以常数k，行列式的值也乘以k。
（3）行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相加，行列式的值不变。
（4）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相减，行列式的值变号。
1.6 行列式的计算方法：行列式的计算方法有：降阶法、按行（列）展开法、克拉默法则等。
二、矩阵2.1 矩阵的概念：矩阵是一个由数组元素构成的矩形阵列，矩阵中的元素称为矩阵的项。
矩阵记作A，其中A是一个m×n的矩阵，A_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2.2 矩阵的线性运算：矩阵的线性运算包括加法、减法、数乘等。
2.3 矩阵的乘法：两个矩阵A和B的乘法，记作A×B，要求A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵。
矩阵的乘法满足交换律、结合律和分配律。
《线性代数》知识点 归纳整理-大学线代基础知识
《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式.............................................................................................................................................. - 2 -02、主对角线.................................................................................................................................................................. - 2 -03、转置行列式.............................................................................................................................................................. - 2 -04、行列式的性质.......................................................................................................................................................... - 3 -05、计算行列式.............................................................................................................................................................. - 3 -06、矩阵中未写出的元素.............................................................................................................................................. - 4 -07、几类特殊的方阵...................................................................................................................................................... - 4 -08、矩阵的运算规则...................................................................................................................................................... - 4 -09、矩阵多项式.............................................................................................................................................................. - 6 -10、对称矩阵.................................................................................................................................................................. - 6 -11、矩阵的分块.............................................................................................................................................................. - 6 -12、矩阵的初等变换...................................................................................................................................................... - 6 -13、矩阵等价.................................................................................................................................................................. - 6 -14、初等矩阵.................................................................................................................................................................. - 7 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵.......................................................................................................................... - 7 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 -17、充分性与必要性的证明题...................................................................................................................................... - 8 -18、伴随矩阵.................................................................................................................................................................. - 8 -19、矩阵的标准形：...................................................................................................................................................... - 9 -20、矩阵的秩：.............................................................................................................................................................. - 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论................................................................................................................................ - 10 -22、线性方程组概念.................................................................................................................................................... - 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念........................................................................................................ - 11 -25、线性方程组的向量形式........................................................................................................................................ - 12 -26、线性相关与线性无关的概念.......................................................................................................................... - 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题 ...................................... - 12 -29、线性表示与线性组合的概念.......................................................................................................................... - 12 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题 .......................................................... - 12 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理........................................................................................................ - 12 -32、最大线性无关组与向量组的秩............................................................................................................................ - 12 -33、线性方程组解的结构............................................................................................................................................ - 13 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。
线性代数知识点全面总结
线性代数知识点全面总结线性代数是数学的重要分支，广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、经济学等。
本文将全面总结线性代数的知识点，帮助读者系统地了解和掌握该学科。
1. 线性代数的基本概念1.1 向量及其表示：向量是线性代数的基本概念，可以用有序数对、矩阵或列向量表示，具有方向和大小。
1.2 矩阵及其运算：矩阵是由数字排列成的矩形数组，可以进行加法、乘法、转置等运算。
1.3 线性方程组：线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，可以用矩阵和向量的表示形式来求解。
2. 向量空间2.1 向量空间的定义：向量空间是由一组满足一定条件的向量构成的集合，满足加法和数乘运算的封闭性。
2.2 子空间：子空间是向量空间的子集，也是向量空间，满足加法和数乘运算的封闭性。
2.3 线性无关与生成子空间：线性无关是指向量组中的向量之间不存在线性关系，生成子空间是指向量组中所有向量的线性组合的集合。
3. 线性映射3.1 线性映射的定义：线性映射是一个将一个向量空间映射到另一个向量空间的映射，保持加法和数乘运算的性质。
3.2 线性映射的矩阵表示：线性映射可以用矩阵表示，将一个向量空间的向量转化为另一个向量空间的向量。
3.3 核与像：核是线性映射中被映射为零向量的向量集合，像是线性映射中所有被映射到的向量组成的集合。
4. 矩阵的特征值与特征向量4.1 特征值和特征向量的定义：特征值是一个矩阵对应的线性变换中不改变方向的标量因子，特征向量是在特征值下发生伸缩的向量。
4.2 特征值与特征向量的计算：特征值与特征向量可以通过求解特征方程来计算。
4.3 对角化与相似矩阵：若一个矩阵相似于一个对角矩阵，则称其可对角化，对角矩阵是一个形式为对角线非零、其余元素均为零的矩阵。
5. 线性代数的应用5.1 物理学中的应用：线性代数在量子力学、力学等物理学领域有广泛应用，如描述粒子的状态和变换等。
5.2 计算机科学中的应用：线性代数在计算机图形学、机器学习等领域起到重要作用，如图像处理、数据分析等。
线性代数自考知识点汇总各章重点
行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行〔列〕，行列式变号.推论1 如果行列式有两行〔列〕的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.如a b ca b c 0a b c'''= 性质3 行列式的某一行〔列〕中全部的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行〔列〕元素成比例，则此行列式的值为零．如a b ca b c 0ka kb kc'''= 性质4 假设行列式的某一行〔列〕的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行〔列〕的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．如111213212223313233a a a a a a a a a ，元素23a 的余子式为1112233132a a M a a =，元素23a 的代数余子式为11122323233132a a A (1)M a a +=-=-.3. 行列式按行〔列〕展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行〔列〕的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++如111213212223313233a a a a a a a a a 111112121313a A a A a A =++ 定理2 行列式任一行〔列〕的元素与另一行〔列〕的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠4. 行列式的计算〔1〕二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- 〔2〕三阶行列式〔3〕对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-〔4〕三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==〔5〕消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.〔6〕降阶法：利用行列式的性质，化某行〔列〕只有一个非零元素，再按该行〔列〕展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.〔7〕加边法：行列式每行〔列〕全部元素的和相等，将各行〔列〕元素加到第一列〔行〕，再提出公因式，进而求出行列式的值.矩阵1. 常见矩阵1〕对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵.记作Λ. 2〕单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵.记作 E.3〕上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵.如11121n 222n nn a a a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭4〕下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵.如112122n1n2nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5〕对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵，假设T A A =，即ij ji a a =，则称A 为对称矩阵. 6〕反对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵，假设T A A =-，即ij ji a a =- ，则称A 为反对称矩阵. 7〕正交矩阵：设A 为ｎ阶方阵，如果T AA E =或T A A E =，则称A 为正交矩阵. 2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算 〔1〕矩阵的加法 如a b c a b c a a b b c c d e f d e f d d e e f f ''''''+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⎪⎪⎪''''''+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭注：① 只有同型矩阵才能进行加减运算；② 矩阵相加减就是对应元素相加减. 〔2〕数乘矩阵如a b c ka kb kc k d e f kd ke kf ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.〔3〕矩阵的乘法：设ij m ij n s s A (a ),B (b )⨯⨯==，规定ij m n AB C (c ),⨯== 其中sij i11j i22j is sj ik kj k 1c a b a b a b a b ==+++=∑(i 1,2,,m,j 1,2,,n.)==注：①左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数；②左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列对应元素乘积的和是矩阵乘积C 的元素ij c . ③左矩阵A 的行数为乘积C 的行数，右矩阵B 的列数为乘积C 的列数. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵〔即一个数〕，即 列矩阵乘行矩阵是s 阶方阵，即 3. 逆矩阵设n 阶方阵A 、B ，假设AB=E 或BA=E ，则A ，B 都可逆，且11AB,B A --==.〔1〕二阶方阵求逆，设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1*d b 11A A c a A ad bc --⎛⎫== ⎪--⎝⎭〔两调一除法〕.〔2〕对角矩阵的逆11111221n n a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111n 2121n1a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.〔3〕分块对角阵的逆11111221s s A A A A ;A A ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111s 2121s1A A A A A A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 〔4〕一般矩阵求逆，初等行变换的方法：()()ERT1A E E A -−−−→.4. 方阵的行列式由ｎ阶方阵A 的元素所构成的行列式〔各元素的位置不变〕叫做方阵A 的行列式.记作A 或det 〔A 〕. 5. 矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行〔列〕变换： 〔1〕互换两行〔列〕；〔2〕数乘某行〔列〕；〔3〕某行〔列〕的倍数加到另一行〔列〕. 6. 初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.如001100100010,0k 0,010100001k 01⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都是初等矩阵. 7. 矩阵的秩矩阵A 的非零子式的最高阶数，称为矩阵A 的秩.记作R 〔A 〕或r 〔A 〕. 求矩阵的秩的方法：〔1〕定义法：找出A 中最高阶的非零子式， 它的阶数即为A 的秩.〔2〕初等行变换法：ERTA −−−→行阶梯形矩阵，R 〔A 〕=R 〔行阶梯形矩阵〕=非零行的行数. 8. 重要公式及结论〔1〕矩阵运算的公式及结论矩阵乘法不满足交换律，即一般地A B ≠AB;矩阵乘法不满足消去律，即一般地假设AB=AC ，无B=C ；只有当A 可逆时，有B=C.一般地假设AB=O ，则无A=O 或B=O.()222A B ?A 2AB B +++.〔2〕逆矩阵的公式及定理A 可逆⇔|A |≠0⇔A ～E 〔即A 与单位矩阵E 等价〕 〔3〕矩阵秩的公式及结论R ( AB ) ≤R ( A ), R ( AB ) ≤R ( B ).特别地，当A 可逆时，R(AB)=R(B)；当B 可逆时，R(AB)=R(A).()()ET A B A ~B R A R B −−→⇔⇒= 即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩.9. 矩阵方程〔1〕设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为n ×m 矩阵，则矩阵方程AX=B 的解为1X A B -=；解法：① 求出1A -，再计算1A B -； ② ()()ERTAB E X −−−→ .〔2〕设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为m ×n 矩阵，则矩阵方程XA=B 的解为1X BA -=；解法：① 求出1A -，再计算1BA -； ② ECT A E B X ⎛⎫⎛⎫−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 10. 矩阵间的关系〔1〕等价矩阵：如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，那么称矩阵A 与B 等价.即存在可逆矩阵P ，Q ，使得PAQ=B.性质：等价矩阵的秩相等.〔2〕相似矩阵：如果存在可逆矩阵P ，使得1P AP B -=,那么称A 与B 相似. 性质：相似矩阵有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式，相同的迹. 〔3〕合约矩阵：如果存在可逆矩阵P ，使得T P AP B =，那么称A 与B 合约. 性质：合约矩阵的秩相等.向量空间1. 线性组合〔1〕假设α＝k β，则称向量α与β成比例． 〔2〕零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．〔3〕向量组中每一向量都可由该向量组线性表示． 2. 线性相关与线性无关〔1〕 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量． 〔2〕 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量． 〔3〕 两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例.〔4〕 两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例. 〔5〕 含有Ｏ向量的向量组肯定线性相关． 〔6〕 向量组12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++=有非零解.② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα的秩<向量的个数m.〔7〕n 个n 维向量12n ,,,ααα线性相关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα=0.〔8〕 向量组12m ,,,ααα线性无关的充分必要条件是① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++=只有零解.② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα的秩=向量的个数m.〔9〕 n 个n 维向量12n ,,,ααα线性无关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα≠0.〔10〕当m>n 时，m 个n 维向量肯定线性相关.定理1：向量组 a 1 , a 2 ,……, a m 〔m ≥2〕线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示． 定理2：如果向量组A ：a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关，而向量组 a 1 , a 2 ,……, a r ，α线性相关，则α可由A 线性表示，且表示式唯一.定理3：设向量组2r 1A :,,,ααα，12r r 1m B :,,,,,,ααααα+假设A 线性相关，则向量组B 也线性相关；反之，假设向量组B 线性无关，则向量组A 也线性无关.〔即局部相关，则整体相关；整体无关，则局部无关〕. 定理4：无关组的截短组无关，相关组的接长组相关. 3. 极大无关组与向量组的秩定义1 如果在向量组 T 中有 r 个向量 a 1 , a 2 ,……, a r ，满足条件： ⑴ 向量组 a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关， ⑵ T α∀∈，2r 1,,,,αααα线性相关.那么称向量 a 1 , a 2 ,……, a r 是向量组 T 的一个极大无关组.定义2 向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩.定义3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。
《线性代数》知识点归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间以及线性映射等概念和性质。
它在数学领域具有广泛的应用，被广泛应用于物理学、计算机科学、经济学、工程学等领域。
以下是对《线性代数》的知识点进行归纳整理：1.矩阵和向量：矩阵是一个二维的数字阵列，可以表示为一个矩阵的形式。
向量是矩阵的特殊情况，只有一个列的矩阵。
矩阵和向量可以进行加法和数乘运算。
2.矩阵乘法：矩阵乘法是矩阵运算中的重要操作，它利用矩阵的行和列的组合，将两个矩阵相乘得到新的矩阵。
3.行列式：行列式是一个标量值，用于判断一些矩阵是否可逆。
行列式的值为0表示矩阵不可逆，非零表示矩阵可逆。
4.向量空间：向量空间是一组向量的集合，满足一定的条件。
向量空间具有加法和数乘运算，并满足一定的性质，如封闭性、结合律、分配律等。
5.线性相关与线性无关：向量集合中的向量如果不能由其他向量线性组合得到，则称这个向量集合是线性无关的；反之，如果存在一个向量可以由其他向量线性组合得到，则称这个向量集合是线性相关的。
6.基与维数：如果向量集合是线性无关的，并且能够生成整个向量空间中的所有向量，则称这个向量集合是向量空间的一组基。
向量空间的维数是指基向量的个数。
7.矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵列向量或行向量中的线性无关向量的个数。
秩表示矩阵中线性无关的方向个数。
8.特征值与特征向量：对于一个n维矩阵A，如果存在一个标量λ和非零向量X，使得AX=λX成立，则λ称为矩阵A的特征值，对应的非零向量X称为矩阵A的特征向量。
9.对角化：如果矩阵A可以通过相似变换得到一个对角矩阵B，则称矩阵A可以被对角化。
对角化后的矩阵可以简化各种计算。
10.线性变换：线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足线性性质。
线性变换可以用矩阵来表示，通过矩阵乘法来表示向量的线性变换。
11.正交性：向量集合中的向量如果互相垂直，则称这个向量集合是正交的。
如果正交向量集合中的每个向量都是单位向量，则称这个向量集合是标准正交的。
线性代数知识点全面总结
线性代数知识点全面总结线性代数是一门重要的数学学科，它研究的是向量空间、线性映射和线性方程组等基本概念及其相互关系。
线性代数在数学、物理、计算机科学、经济学等各个领域都有广泛的应用。
下面是线性代数的一些重要知识点的全面总结：1. 向量空间（Vector Space）向量空间由一组满足一些性质的向量组成。
向量空间的定义要求满足加法和数量乘法封闭性、零向量存在性、加法逆元存在性等性质。
在向量空间中，还可以定义线性组合、线性相关性、线性无关性等概念。
2. 矩阵（Matrix）矩阵是由一组数按照一个确定的规律排列成的矩形阵列。
矩阵的加法、数量乘法等运算满足线性运算的性质。
矩阵可以表示线性方程组、线性映射等。
3. 线性映射（Linear Mapping）线性映射是指将一个向量空间的元素映射到另一个向量空间的元素，并保持向量空间的加法和数量乘法运算。
线性映射可以用矩阵表示，并且具有一些重要的性质，比如保持零向量、保持加法和数量乘法等。
4. 线性方程组（Linear System）线性方程组是一组线性方程的集合。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，形式为Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。
线性方程组的求解可以使用消元法、矩阵求逆等方法。
5. 特征值和特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）特征值和特征向量是线性映射中的重要概念。
对于一个线性映射，如果存在一个非零向量x，使得线性映射作用于x的结果等于x乘以一个常数λ（即f(x)=λx），那么λ就是这个线性映射的特征值，x就是对应的特征向量。
6. 内积空间（Inner Product Space）内积空间是向量空间中引入内积运算的概念。
内积可以用来度量向量的夹角和长度，并且可以定义向量的正交性、正交投影等概念。
内积空间可以是实数域或复数域上的。
7. 正交性和正交基（Orthogonality and Orthogonal Basis）正交性是指向量之间的夹角为直角。
最完整的线代基础知识点
最完整的线代基础知识点第1章行列式1.1 n阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式起源：发现规律了，继续～从上述推倒可以看出，行列式说白了就是对方程求解的简化过程。
后续的所有变换也都是基于此的。
了解到根源了，就不难理解了。
知识点：（所有的知识其实都是不成体系的，体系都是人为归纳的，其实知识就是一个一个的点而已）1.对角线法则这个法则只能用在二阶和三阶，高阶有另外的算法，后面会介绍到，耐心往下看吧。
以后看到二三阶可以直接用这个算哦。
2.行列式应用（克莱姆法则）法则啥的就是别人先发现了，就是一个规律。
不用理解，直接记住。
（因为本来就是一个现象）小技巧：再算d1d2d3的时候默念一下d1换1（列）d2换2（列）d3换3（列）。
1.1.2 排列既逆序数起源：逆序数为奇数，为奇排列，偶数为偶排列。
知识点：1.任一排列经过对换后，必改变其奇偶性。
2.所有n阶排列中，奇排列与偶排列个数相同，各有n！/2个。
1.1.3 n阶行列式知识点：1.计算方法前面说了，n阶有其他方法，这个就是其中之一不过比较笨重难算一点。
只要看懂这个式子，这节就ok啦，看不懂的可以评论问我。
2.对角行列式对角行列式等于其对角元素的连乘，再加上一个逆序数。
因为除了去取对角之外但凡取到其他位置上的0，就会让这项变成0。
上三角行列式和下三角行列式与对角行列式类似，不能取0。
好题：1.对行列式中数字的选取规则理解如果不用分块矩阵的话，直接从定义出发，三行用两个书，必有一行选不到非零数。
1.2 行列式的性质知识点：1.行列式与它的转置行列式相同，即行与列为完全等价的。
2.互换行列式的两行或两列，行列式值变号3.若行列式有两行或两列元素相同则其行列式的值为04.行列式的某一行中所有元素都乘以k，等于用k数乘行列式5.如果行列式中某一行的元素都为0，则其值为06.若行列式有两列或两行元素成比例，则其为07.若两个行列式除了一行外相同，则可以相合。
相同的行不变，不同的行相加。
《线性代数》知识点 归纳整理-大学线代基础知识
《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 -02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 -03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 -04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 -05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 -07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 -08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 -09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 -10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 -11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 -12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 -13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 -14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 -17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 -18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 -20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 ............................................................................................................................... - 10 -22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 -25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 12 -26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 -29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 -31、线性相关(无关）与线性表示的3个定理 ......................................................................................................... - 12 -32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 -33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ,则①元素11a ，12a ,13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ,M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。
(完整版)线性代数知识点全归纳
1线性代数知识点1、行列式1.n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ijM A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =；5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；22、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）33、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11kk k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）4⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式：01111110()nn n n m n m mn n n n m m n mn n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b-----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程；10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；511. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4.()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：6若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤； 向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）；9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，A 与B 的任何对应的列向量组有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩；10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，【考试中可以直接作为定理使用，而无需证明】 ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关；14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；715. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ；5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵；7.n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数；A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)8第一章 随机事件互斥对立加减功，条件独立乘除清； 全概逆概百分比，二项分布是核心； 必然事件随便用，选择先试不可能。
(完整word版)线性代数(同济六版)知识点总结
1. 二阶行列式--------对角线法则 :2. 三阶行列式①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用 表示， = n ！逆序数：对于排列…，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中： 是1,2,3的一个排列，t()是排列的逆序数5.下三角行列式:副三角跟副对角相识对角行列式：副对角行列式：333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a aa a a a a a 1)(∑-=n n 2211n nn 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a = n...λλλλλλ21n21=n21λλλ n2121)n(n λλλ1)( --=6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。
D =②互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。
互换两行：③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。
第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。
如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
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大学线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j nija a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)初等变换1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵） 等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A 可逆，则11--=A A伴随矩阵：A 为N 阶方阵，伴随矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A AA A A （代数余子式） 特殊矩阵的逆矩阵：（对1和2，前提是每个矩阵都可逆）1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A ， 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==**4、1*-=A A A （A 可逆）5、1*-=n AA 6、()()A AA A 1*11*==--（A 可逆） 7、()()**T TA A = 8、()***A B AB =判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ，此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法：定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A II A nn只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()n m ij aA *=是m*n 阶矩阵，则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A （行变左乘，列变右乘）第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵r(AB)=r(B)=r 当r=n 时，有唯一解；当n r ≠时，有无穷多解 r(AB)≠r(B)，无解齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n 有非零解充要r(A)<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数，一定有非零解当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|=0 齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组。
希腊字母表示（加法数乘）特殊的向量：行（列）向量，零向量θ，负向量，相等向量，转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关（无）：定义179P 向量组的秩：极大无关组（定义P188）定理：如果r j j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组，则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由r j j j ααα,.....,21线性表出。
秩:极大无关组中所含的向量个数。
定理：设A 为m*n 矩阵，则r A r =)(的充要条件是：A 的列（行）秩为r 。
现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ，若βαk =则α是β线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关（无）注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例，则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T T n T T T n T Tr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21，求n k k k ....21（适合维数低的）2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关3、分量法（n 个m 维向量组）180P ：线性相关（充要）n r T n T T<⇒)....(21ααα线性无关（充要）n r T n T T=⇒)....(21ααα推论①当m=n 时，相关，则0321=TTTααα；无关，则0321≠TTTααα ②当m<n 时，线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关，则当s 为奇数时，向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时，向量组也线性相关。
定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关，则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出，且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关。
极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的； 不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的。
齐次线性方程组（I ）解的结构：解为...,21αα （I ）的两个解的和21αα+仍是它的解； （I ）解的任意倍数αk 还是它的解；（I ）解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解，s c c c ,...,21是任意常数。
非齐次线性方程组（II ）解的结构：解为...,21μμ （II ）的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解，v 是其导出组AX=O 的一个解，则u+v 是（II ）的一个解。
定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(，则该方程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有n-r 个解。
若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解，v 是其导出组AX=O 的全部解，则u+v 是（II ）的全部解。
第四章 向量空间向量的内积 实向量定义：（α，β）=n n Tb a b a b a +++=....2211αβ性质：非负性、对称性、线性性 (α,k β)=k(α,β); (k α,k β)=2k (α,β);(α+β,δγ+)=(α,γ)+(α,δ)+(β,γ)+(β,δ); ),(),(1111j i sj j r i i j sj jr i ii l k lk βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是（α，α）=1单位化 向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是（α，β）=0 正交的向量组必定线性无关正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T ==性质：1、若A 为正交矩阵，则Ａ可逆，且T A A =-1，且1-A 也是正交矩阵； ２、若A 为正交矩阵，则1±=A ；３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵，则ＡＢ也是正交矩阵；４、ｎ阶矩阵Ａ＝（ij a ）是正交矩阵的充要条件是Ａ的列（行）向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量特征值、特征向量A 是N 阶方阵，若数λ使AX=λX ，即（λI-A ）=0有非零解，则称λ为A 的一 个特征值，此时，非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量。