多因素方差分析
方差分析(单因素、多因素方差分析)
单因素方差分析1.基本理解方差分析：是一种利用实验获取数据并进行分析的统计方法，经常用于研究不同效应对指定实验的影响是否显著。
方差分析用于检验连续型随机变量在三及以上分类数据不同水平上的差异情况。
方差分析包括：单因素方差分析、多元素方差分析、多元方差分析、协方差分析、重复测量方差分析。
在问卷数据中：单因素方差分析使用较多。
单因素方差分析：用于检验单个因素取不同水平是某因变量的均值是否有显著的变化，也可进一步用于因变量均值的多重比较（检验某些水平下的实验结果具体区别于其他水平的显著差异）。
图1检验步骤2.单因素方差分析操作步骤操作步骤第一步：首先将数据导入spss中并进行赋值后，点击分析、比较平均值、单因素ANOVA检验。
图2单因素方差分析第一步操作步骤第二步：进入图中对话框后将需检验的变量放入因变量列表中，在因子中放入分类变量，点击事后比较勾选假定等方差（LSD），不假定等方差（塔姆黑泥T2）点击继续。
图3单因素方差分析事后比较勾选3.当因素方差分析结果后点击线性进入图中下方选项框、勾选描述、方差齐性检验点击继续、确定。
图4单因素方差分析选项勾选然后单因素方差分析的描述、方差齐性、假设检验就出来了。
图5单因素方差分析结果单因素方差分析事后两两比较结果。
图6事后比较结果4.结果整理将首先将描述统计的结果粘贴复制到Excel表格中进行整理，保留均值和标准差及前面的内容，后在后面加入ANOVA表中的F和p值，将整理好的两两比较结果粘贴到表格的最后，最后将整理好的结果粘贴到Word文档中进行整理。
可参考图中结果整理。
（注：一般在看结果时首先看ANOVA表的结果，看显著情况，显著（p<0.05）看方差齐性检验的结果，若方差齐性检验的结果方差齐（p>0.05），然后再看事后比较的结果，方差齐看LSD，方差不齐看塔姆黑泥的结果，同样差异的显著看事后比较每行对应的显著性（若p<0.05，代表比较的对象显著。
多因素方差分析结果解读
多因素方差分析结果解读多因素方差分析（MultivariateAnalysisofVariance，简称MANOVA）是一种用于检验多个自变量对一个因变量的影响的统计分析方法，它主要应用于研究多个自变量的整体影响，以及多个自变量之间的交互影响。
在多因素方差分析中，研究者需要对自变量、因变量、因素、水平、抽样设计和拟合统计模型等参数进行合理安排并给出具体分析方法、统计检验方法以及分析结果解读方法，以便得出准确的分析结果。
本文主要就如何正确解读多因素方差分析结果做一个讨论。
首先要明确的是，多因素方差分析结果从两个角度进行解读：整体的影响和交互的影响。
在解读多因素方差分析结果的整体影响时，关键是检验多个自变量对因变量的影响，这通常是通过检验拟合模型的F统计量来实现的，如果F统计量达到显著性水平（一般认为是α=0.05），则可以得出多个自变量对因变量有统计学意义的整体影响的结论，但不能准确判断具体哪个自变量对因变量最有影响力，需要进一步解读它们之间的交互影响。
多因素方差分析的另一个重点是检验多个自变量之间的交互影响，它是检验多个自变量对因变量的影响的补充，可以更精确地判断出多个自变量之间的某种特定关系。
这里有几种常用的检验交互影响的方法：F检验、Wilks’检验、Hotelling-Lawley Trace检验以及Bartlett-Box F检验、Roy’s大F检验等，其中F检验用于检验各个因素与交互因素之间的关系；Wilks’检验和Hotelling-Lawley Trace检验用于检验因素之间以及因素与交互因素之间的关系；Bartlett-Box F检验和Roy’s大F检验则用于检验因素、交互因素与因变量之间的关系。
总的来说，在解读多因素方差分析结果时，要同时检验多个自变量对因变量的影响和多个自变量之间的交互影响，不仅要给出准确的分析方法和统计检验方法，而且要根据检验结果准确解读分析结果，以便正确地概括出多个自变量对因变量的整体影响及多个自变量之间的具体关系，以达到准确仿真分析实际情况的目的。
SPSS教程-多因素方差分析
多因素方差分析多因素方差分析是对一个独立变量是否受一个或多个因素或变量影响而进行的方差分析。
SPSS调用“Univariate”过程，检验不同水平组合之间因变量均数，由于受不同因素影响是否有差异的问题。
在这个过程中可以分析每一个因素的作用，也可以分析因素之间的交互作用，以及分析协方差，以及各因素变量与协变量之间的交互作用。
该过程要求因变量是从多元正态总体随机采样得来，且总体中各单元的方差相同。
但也可以通过方差齐次性检验选择均值比较结果。
因变量和协变量必须是数值型变量，协变量与因变量不彼此独立。
因素变量是分类变量，可以是数值型也可以是长度不超过8的字符型变量。
固定因素变量(Fixed Factor)是反应处理的因素;随机因素是随机地从总体中抽取的因素。
[例子]研究不同温度与不同湿度对粘虫发育历期的影响，得试验数据如表5-7。
分析不同温度和湿度对粘虫发育历期的影响是否存在着显著性差异。
表5-7 不同温度与不同湿度粘虫发育历期表数据保存在“DATA5-2.SAV”文件中，变量格式如图5-1。
1）准备分析数据在数据编辑窗口中输入数据。
建立因变量历期“历期”变量，因素变量温度“A”，湿度为“B”变量，重复变量“重复”。
然后输入对应的数值，如图5-6所示。
或者打开已存在的数据文件“DATA5-2.SAV”。
图5-6 数据输入格式2）启动分析过程点击主菜单“Analyze”项，在下拉菜单中点击“General Linear Model”项，在右拉式菜单中点击“Univariate”项，系统打开单因变量多因素方差分析设置窗口如图5-7。
图5-7 多因素方差分析窗口3）设置分析变量设置因变量:在左边变量列表中选“历期”，用向右拉按钮选入到“Dependent Variable：”框中。
设置因素变量:在左边变量列表中选“a”和“b”变量，用向右拉按钮移到“Fixed Factor(s):”框中。
可以选择多个因素变量。
方差分析公式单因素方差分析多因素方差分析的计算公式
方差分析公式单因素方差分析多因素方差分析的计算公式方差分析公式计算单因素和多因素方差分析的方法是统计学中常用的数据分析技术。
方差分析可以用来比较两个或多个组之间的均值是否存在显著差异。
在本文中，将介绍单因素方差分析和多因素方差分析的计算公式和步骤。
一、单因素方差分析的计算公式单因素方差分析适用于只有一个自变量（因素）的情况下比较多个组的均值是否存在差异。
在进行单因素方差分析时，需要计算以下几个统计量。
1. 总平方和（SST）：总平方和表示各组数据与整体均值之间的偏差总和。
其计算公式如下：SST = Σ(xi - x)²其中，xi为每个观察值，x为所有观察值的均值。
2. 组内平方和（SSW）：组内平方和表示各组数据与各组均值之间的偏差总和。
其计算公式如下：SSW = Σ(xi - x i)²其中，xi为每个观察值，x i为各组观察值的均值。
3. 组间平方和（SSB）：组间平方和表示各组均值与整体均值之间的偏差总和。
其计算公式如下：SSB = Σ(ni * (x i - x)²)其中，ni为每个组的观察次数，x i为各组观察值的均值，x为所有观察值的均值。
4. 平均平方和（MSW和MSB）：平均平方和表示各组之间的平均差异程度。
其计算公式如下：MSW = SSW / (n - k)MSB = SSB / (k - 1)其中，n为总观察次数，k为组的个数。
5. F统计量：F统计量用于检验组间均值是否存在显著差异。
其计算公式如下：F = MSB / MSW二、多因素方差分析的计算公式多因素方差分析适用于两个或更多个自变量（因素）的情况下比较多个组的均值是否存在差异，并确定各因素之间的交互影响。
在进行多因素方差分析时，需要计算以下几个统计量。
1. 总平方和（SST）：总平方和的计算方式与单因素方差分析相同。
2. 组内平方和（SSW）：组内平方和的计算方式与单因素方差分析相同。
SPSS多因素方差分析
SPSS多因素方差分析多因素方差分析（ANOVA）是广泛应用于统计学中的一种技术，用于研究多个因素对一个或多个连续变量的影响。
这个方法可以帮助研究者确定哪些因素对所研究的问题有显著影响，以及不同因素之间的交互效应。
在SPSS中进行多因素方差分析的步骤如下：第一步是收集数据并导入SPSS中。
确保数据集中包含所有要研究的变量，包括一个或多个连续变量和一个或多个因素变量。
连续变量是要研究的主要变量，而因素变量是要考察其对结果变量的影响的自变量。
第二步是选择“分析”菜单中的“通用线性模型（GLM）”选项。
在该对话框中，将结果变量拖放到因变量窗口，并将因素变量拖放到因子1-因子n窗口中。
确保正确选择了想要研究的因素变量。
第三步是进行前提条件检验。
在多因素方差分析中，要检验因变量是否满足正态性假设和方差齐性假设。
在“通用线性模型（GLM）”对话框中，选择“图形”选项卡并勾选“残差统计”。
第四步是进行主要分析。
在“通用线性模型（GLM）”对话框中，选择“因子”选项卡。
在这里，可以选择添加交互项以考察不同因素之间的交互效应。
第五步是进行后续分析。
如果主要分析显示有显著的组间差异，则可以进行进一步的事后比较以确定哪些组之间有显著差异。
在“通用线性模型（GLM）”对话框中，选择“事后比较”选项卡，并选择适当的事后比较方法。
第六步是解释结果并报告分析结果。
通过主效应（主要因素的影响）和交互效应（不同因素之间的影响）来解读分析结果。
同时，也要包括各组之间的均值和差异的置信区间。
多因素方差分析在实际应用中有很多场景，比如在医学研究中，可以使用多因素方差分析来确定一些治疗对疾病的治疗效果；在教育研究中，可以使用多因素方差分析来确定不同教育方法对学生学习成绩的影响。
总之，SPSS提供了一个强大的工具来进行多因素方差分析。
通过遵循上述步骤，研究者可以在自己的数据集上进行多因素方差分析，并从中获取有关因素对结果变量的影响以及因素之间相互作用的重要信息。
多因素方差分析公式了解多因素方差分析的计算公式
多因素方差分析公式了解多因素方差分析的计算公式多因素方差分析公式——了解多因素方差分析的计算公式多因素方差分析是一种统计方法，用于分析多个因素对观察结果的影响。
它通过比较不同因素水平下的观察值差异来判断这些因素对实验结果的影响程度。
在多因素方差分析中，我们需要了解与计算一些重要的公式。
1. 多因素方差分析的总平方和（SS_total）公式：SS_total = SS_between + SS_within其中，SS_total是总平方和，表示所有观测值与总均值之间的偏离程度；SS_between是组间平方和，表示不同因素水平下的观测值与总均值之间的偏离程度；SS_within是组内平方和，表示同一因素水平下的观测值与该水平下的均值之间的偏离程度。
2. 多因素方差分析的组间平方和（SS_between）公式：SS_between = ∑(ni * (μi - μ)²)其中，ni是第i组的观测值个数，μi是第i组观测值的均值，μ为所有观测值的总均值。
3. 多因素方差分析的组内平方和（SS_within）公式：SS_within = ∑∑((Xij - μi)²)其中，Xij表示第i组的第j个观测值，μi为第i组观测值的均值。
4. 多因素方差分析的组间平均平方（MS_between）公式：MS_between = SS_between / (k - 1)其中，k为不同因素水平的个数。
5. 多因素方差分析的组内平均平方（MS_within）公式：MS_within = SS_within / (N - k)其中，N为总观测值的个数。
6. 多因素方差分析的F统计量公式：F = MS_between / MS_withinF统计量用于判断不同因素水平的均值之间的差异是否显著。
若F 值大于某个临界值，则认为不同因素水平的均值存在显著差异。
通过以上公式，我们可以计算出组间平方和、组内平方和、组间平均平方、组内平均平方和F统计量，从而进行多因素方差分析。
多因素方差分析的重要公式解析
多因素方差分析的重要公式解析在统计学中，方差分析是一种重要的统计分析方法，用于检验多个变量对于一个因变量的影响是否显著。
而多因素方差分析则是对多个自变量对因变量产生的影响进行分析和比较。
在进行多因素方差分析时，我们需要了解和掌握一些重要的公式，以便正确、准确地进行分析和研究。
一、总平方和（SS_T）总平方和是指因变量的总变异程度，它包括各个观测值与所有观测值的平均值之差的平方和。
总平方和可以用以下公式来计算：SS_T = Σ((X_ij - X_bar)^2)其中，X_ij表示第i个处理条件下的第j个观测值，X_bar表示全部观测值的平均值，Σ表示求和。
二、因素平方和（SS_A、SS_B、SS_AB、SS_E）在多因素方差分析中，我们通常需要考虑多个因素对因变量的影响。
因素平方和是指各个因素对总平方和的贡献，可以用以下公式来计算：SS_A = n * Σ((X_bar_i - X_bar)^2)SS_B = m * Σ((X_bar_j - X_bar)^2)SS_AB = Σ((X_ij - X_bar_i - X_bar_j + X_bar)^2)SS_E = SS_T - SS_A - SS_B - SS_AB其中，n表示第一个自变量的水平数，m表示第二个自变量的水平数。
三、均方（MS_A、MS_B、MS_AB、MS_E）均方是指因素平方和除以相应的自由度。
均方可以用以下公式来计算：MS_A = SS_A / df_AMS_B = SS_B / df_BMS_AB = SS_AB / df_ABMS_E = SS_E / df_E其中，df_A、df_B、df_AB、df_E分别代表因素A、因素B、交互作用AB和误差的自由度。
四、F值（F_A、F_B、F_AB）F值是用来判断各个因素是否对因变量的影响具有统计显著性。
F 值可以用以下公式来计算：F_A = MS_A / MS_EF_B = MS_B / MS_EF_AB = MS_AB / MS_E根据所得的F值，我们可以参照F分布表，找出对应的临界值，从而判断因素的显著性。
多因素方差分析结果解读
多因素方差分析结果解读多因素方差分析是一种统计学方法，用于衡量研究变量之间的统计关系，以了解不同变量之间的交互作用。
多因素方差分析(ANOVA)可以使科学家、工程师和其他研究者探索并发现不同因素（变量）之间的关系，以便对有效的解释和可视化的信息进行解读。
本文将讨论多因素方差分析结果解读的基本概念，以及基于多因素方差分析数据分析结果正确解读的重要性。
首先，需要了解多因素方差分析的基本知识和步骤。
“多因素方差分析”是一种在统计学中用来确定多个变量之间关系的统计方法。
它可以在每个变量之间检测不同水平的均方差，以了解变量之间的交互作用。
这种分析通过定义变量并应用严格的统计标准来识别和分析变量之间的关系。
多因素方差分析的结果解释是有价值的，因为它们可以帮助研究者了解不同变量之间的关系，从而推断其中的交互作用。
多因素方差分析结果的正确解读可以帮助科学家和其他研究者更好地了解和探究变量之间的关系，以便建立准确有效的模型。
进行多因素方差分析时，最重要的是执行正确的统计分析，以便对数据进行准确描述。
多因素方差分析结果解释也是一种重要的工具，可以帮助研究者确定变量之间的关系，从而建立有效的模型。
正确的解释需要考虑变量之间的相关性，以及它如何影响整个分析的结果。
多因素方差分析的结果可以很好地说明变量之间的关系。
研究者可以根据结果检查各个变量之间的相关性，以及每个变量如何影响研究结果。
多因素方差分析结果解释可以帮助研究者更好地识别和分析变量之间的关系，从而建立有效的模型。
多因素方差分析结果解释的重要性在于它可以帮助研究者更加准确地了解研究问题，并对不同变量之间的相互作用做出准确的推断。
多因素方差分析的结果可以帮助研究者了解具体的研究内容，从而更好地回答研究问题。
总之，多因素方差分析结果解释在研究变量之间关系的统计学中十分重要，可以帮助研究者更加准确地了解研究变量之间的关系，并对不同变量之间的相互作用做出准确的推断。
正确理解和使用多因素方差分析结果解释，可以帮助研究者更好地利用和分析其研究结果，从而产生更有效的解决方案。
多因素方差分析
a i b j c
总离差平方和：SST yijk y
i j k
k
1 c yij. yijk c k 1 1 a c y. j . yijk ac i 1 k 1
y111 y112 …y11c y121 y122 …y12c y211 y212 …y21c y221 y222 …y22c … … y1b1 y1b2 …y1bc y2b1 y2b2 …y2bc ⁞ … yab1 yab2 …yabc
⁞
⁞ ya11 ya12 …ya1c
⁞ ya21 ya22 …ya2c
ij 0, i 1,2,, a, j 1,2,..., b
i j 0
FA
MS A MS B FB MS E MS E
FAB
MS AB MS E
FA F a 1, ab c 1
FB F b 1, ab c 1 FAB F a 1 b 1 , ab c 1
SS A ， 的自由度是a-1 a 1 SS MS B B ， 的自由度是b-1 因素B的均方： b 1 交互作用的均方： ， 的自由度是(a-1)(b-1) SS E MS E ab c 1 a 1 b 1 a 1 b 1 ab c 1 abc 1
两因素非重复试验的方差分析
3.1 与两因素等重复试验的方差分析差异
1 在因素A和因素B的每个水平组合上 Ai , B j 仅做一次试验，从而仅有一个观测数据，即 c 1 模型为：
B
多因素方差分析的重要公式详解
多因素方差分析的重要公式详解多因素方差分析是一种常用的统计分析方法，可以用于研究实验设计中多个自变量对因变量的影响。
它通过计算各种不同因素所引起的变异程度来确定因素之间的差异是否显著。
本文将详细解析多因素方差分析中的重要公式，帮助读者更好地理解和运用这一方法。
1. 总变异(SST)公式总变异是指因变量整体的变异情况，可以通过计算各观测值与总体均值之间的离差平方和来得到。
总变异公式如下：SST = Σ(yij - ȳ..)^2其中，yij表示第i个处理水平下的第j个观测值，ȳ..表示所有观测值的均值。
2. 处理效应(SSA)公式处理效应是指不同因素水平对因变量的影响程度，可以通过计算各处理水平下观测值与总体均值之间的离差平方和来得到。
处理效应公式如下：SSA = rΣ(ȳi. - ȳ..)^2其中，ȳi.表示第i个处理水平下的观测值均值，r表示每个处理水平下的观测次数。
3. 误差(SSW)公式误差是指无法被因素解释的随机因素引起的变异，可以通过计算各观测值与其所在处理水平均值之间的离差平方和来得到。
误差公式如下：S SW = Σ(yij - ȳi.)^24. 自由度(df)公式自由度是指数据集中独立变动的观测个数。
在多因素方差分析中，自由度的计算有以下几个关键公式：- 总自由度(dft) = 总处理次数 - 1 = I - 1- 处理自由度(dfa) = 处理水平数 - 1 = a - 1- 误差自由度(dfe) = 总观测次数 - 总处理次数 = N - I其中，I表示总处理次数，a表示处理水平数，N表示总观测次数。
5. 均方(MS)公式均方是指各来源变异的均值，可以通过总平方和除以相应的自由度来得到。
均方公式如下：- 处理均方(MSA) = SSA / dfa- 误差均方(MSE) = SSW / dfe6. F比值公式F比值是判断因素之间差异是否显著的依据，可以通过处理均方除以误差均方来计算。
多因素方差分析
多因素⽅差分析01.前⾔在前⾯我们讲过简单的单因素⽅差分析，这⼀篇我们讲讲双因素⽅差分析以及多因素⽅差分析，双因素⽅差分析是最简单的多因素⽅差分析。
单因素分析就是只考虑⼀个因素会对要⽐较的均值产⽣影响，⽽多因素分析是有多个因素会对均值产⽣影响。
需要注意的是⼀个因素可能会有不同的⽔平值，即不同的取值。
⽐如要判断某⼀款药对某种病症有没有效果，服⽤不同的剂量效果应该是不⼀样的，虽然因素都是服药这⼀个因素，但是不同的药剂量代表不同的⽔平。
双因素（多因素）⽅差分析⼜可以分为两种，⼀种是有交互作⽤的，⼀种是没有交互作⽤的。
啥意思呢？什么是交互作⽤呢？⽐如我们⼤家所熟知的，⽜奶和药是不可以⼀起吃的，如果单独喝⽜奶有助于⾝体蛋⽩质的补充，如果单独吃药可以有助于治疗病症，但是⽜奶和药同时吃就会把两者的作⽤抵消掉。
这种两者之间的相互作⽤就可以理解成是交互作⽤，当然了，有的时候交互是正向呢，有的时候是负向的。
02.⽆交互作⽤⽅差分析现在有如下⼀份不同品牌不同地区的产品销量数据表，想要看⼀下不同品牌和不同地区这两个因素是否对销量有显著性影响：我们先来看看⽆交互作⽤的双因素⽅差分析具体怎么做呢，所谓的⽆交互也就是假设品牌和地区之间是没有交互作⽤的，相互不影响，只是彼此单独对销量产⽣影响。
前⾯单因素⽅差分析中，我们是⽤F值去检验显著性的，多因素⽅差分析也同样是⽤F值.F = 组间⽅差/组内⽅差。
对于没有交互作⽤的多因素，可以单纯理解为多个单因素。
也就是你可以单独去看品牌对销量的影响，然后再单独去看地区对销量的影响。
那单独怎么看呢？这就回到了我们前⾯讲过的单因素⽅差分析。
我们先来计算品牌的组内平⽅和:SSA = (每个品牌的均值 - 全部销量均值)^2*每个品牌内样本数 = (344.20-328.45)^2*5 + (347.80-328.45)^2*5 + (337.00-328.45)^2*5 + (284.80-328.45)^2*5 = 13004.55我们再来计算地区的组内平⽅和:SSB = (每个地区的均值 - 全体销量均值)^2*每个地区内样本数 = (339.00-328.45)^2*4 + (330.25-328.45)^2*4 + (339.25-328.45)^2*4 + (318.25-328.45)^2*4 = 2011.7接着我们来计算全部平⽅和：SST = (每个值-总体均值)^2 = 17888.95除此之外还有⼀个平⽅和：SSE = SST - SSA - SSB这部分是除品牌和地区以外的其他因素所产⽣的，称为随机误差平⽅和。
多因素方差分析原理
107.634
.000
父母药物滥用
10.361
2
5.180
.911
.406
父母教养方式 * 父母药物滥用
26.238
6
4.373
.769
.597
Error
500.661
88
5.689
Total
30104.000
100
Corrected Total
2614.360
99
a. R Squared = .808 (Adjus ted R Squared = .785)
• 各实验处理之间的方差一致—即实验处理 内的方差彼此间无显著差异。
方差分析的几个概念和符号
• 离均差 • 离均差之和 • 离均差平方和（SS） • 方差（2 S2 ）也叫均方（MS） • 标准差：S • 自由度： df • 关系： MS= SS/ df
方差分析的步骤
• 一、求平方和 总平方和(SST) 组间平方和(SSB) 组内平方和(SSW) SST= SSW+ SSB
方差分析的基本思想
• 方差分析（ANOVA）是由英国统计学家 R.A.Fisher首创，为纪念Fisher，以F命名， 故方差分析又称 F 检验 （F test）。用于推 断多个总体均数有无差异。是一种典型的 还原论思想。
方差分析的基本思想
• 方差分析与t检验的区别 t检验只适宜检验两个平均数之间是否存在 差异。对于一个复杂的问题，t检验只能进 行多组平均数两两之间的差异检验。而方 差分析可以同时检验两个或多个平均数之 间的差异以及几个因素水平之间的交互作 用。
• 方差分析的主要功能是分析因变量的总变 异中不同来源的变异。
方差分析的基本假设
06_多因素方差分析
比较(comparison): 对各处理水平平均数之间差异的估 价。当一个处理的主效应显著，且处理的水平多于2 时，需要进一步揭示主效应显著的意义，即那些水平 之间比较是差异显著的。 组间变异(between-group variation):接受不同处理的被 试的分数围绕总平均数的变化。 组内变异(with-group variation):每个组内被试分数围 绕组平均分数的变化。这个变异是由随机误差造成的， 将各处理组内的变异相加，即是整个实验的实验误差。 无关变量：指一个研究中除了自变量以外所有可能对 因变量产生影响的因素。
完全随机实验设计的方差分析
• 适用条件:一个自变量，自变量有两个或多 于两个水平（P2） • 被试分配
A1 S1 S5 S9 S13 A2 S2 S6 S10 S14 A3 S3 S7 S11 S15 A4 S4 S8 S12 S16
（3）检验的假设和实验设计模型
H 0 : 1 2 p 或 H 0 : j 0, j 1,2,, p 即无处理效应 模型： ij j ij , i 1,2,, n, j 1,2,, p y
两因素完全随机实验设计的计算表
a1 b1 3 6 4 3 a1 b2 4 6 4 2 a1 b3 5 7 5 2 a2 b1 4 5 3 3 a2 b2 8 9 8 7 a2 b3 12 13 12 11
* two-factors randomized experiment anova. DATA LIST/ A 1 B 3 Y 5-6. BEGIN DATA 113 116 114 113 124 126 124 122 135 137 135 132 214
多因素方差分析
多因素方差分析定义:多因素方差分析中的控制变量在两个或两个以上，研究目的是要分析多个控制变量的作用、多个控制变量的交互作用以及其他随机变量是否对结果产生了显著影响。
前提：1总体正态分布.当有证据表明总体分布不是正态分布时，可以将数据做正态转化。
2变异的相互独立性.3各实验处理内的方差要一致。
进行方差分析时,各实验组内部的方差批次无显著差异，这是最重要的一个假定，为满足这个假定，在做方差分析前要对各组内方差作齐性检验.多因素方差分析的三种情况：只考虑主效应,不考虑交互效应及协变量；考虑主效应和交互效应，但不考虑协变量；考虑主效应、交互效应和协变量。
一、多因素方差分析1选择分析方法本题要判断控制变量“组别”和“性别”是否对观察变量“数学”有显著性影响，而控制变量只有两个，即“组别”、“性别”，所以本题采用双因素分析法,但需要进行正态检验和方差齐性检验。
2建立数据文件在SPSS17.0中建立数据文件，定义4个变量:“人名”、“数学”、“组别”、“性别”。
控制变量为“组别”、“性别”,观察变量为“数学”。
在数据视图输入数据，得到如下数据文件：3正态检验（P>0。
05，服从正态分布)正态检验操作过程:“分析”→“描述统计”→“探索”，出现“探索”窗口，将因变量“成绩”放入“因变量列表”，将自变量“组别"、“性别”放入“因子列表",将“人名”放入“标注个案”；点击“绘制"，出现“探索:图"窗口，选中“直方图”和“带检验的正态图”，点击“继续”；点击“探索”窗口的“确定"，输出结果。
因变量是用户所研究的目标变量。
因子变量是影响因变量的因素，例如分组变量。
标注个案是区分每个观测量的变量。
带检验的正态图(Normality plots with test，复选框）:选择此项，将进行正态性检验,并生成正态Q —Q概率图和无趋势正态Q-Q概率图。
表1 控制变量为“组别"的正态性检验结果，Shapiro-Wilk的p值0.884、0。
医学统计学课件-第十一章多因素试验的方差分析
方差分析的可视化
箱线图
箱线图用于可视化不同组之间的 数据差异和离群值。
散点图
散点图可帮助观察不同因素之间 的关联性和趋势。
条形图
条形图可以形象地展示不同组之 间的差异。
总结
方差分析的优点和不足
方差分析可以有效比较多个组之间的差异，但对样本的分布和方差的要求较高。
方差分析在医学领域的应用情况
方差分析在医学研究中被广泛应用于比较不同治疗方案、药物疗效等。
医学统计学课件-第十一 章多因素试验的方差分析
在这一章节中，我们将深入探讨多因素试验的方差分析，了解其优点、缺点 以及在医学领域的应用。
多因素试验简介
什么是多因素试验
多因素试验是指在同一实验中考察两个或两个以上的因素对试验结果的影响。
多因素试验的优点和缺点
多因素试验能够揭示多个因素之间的交互作用，但实施上需要考虑实验设计和样本量的增加。
方两个或多个 样本均值之间的差异。
ANOVA表的构造
ANOVA表用于展示方差分析的结果，包括组间平 方和、组内平方和、总平方和和F值。
方差分析的假设
方差分析的假设包括各组样本来自正态分布总体、 各组方差相等、观测值的独立性。
方差分析的限制条件
方差分析的未来发展趋势
随着统计学和数据分析方法的发展，方差分析也将不断提升其效能和应用范围。
多因素方差分析
二因素方差分析及交互作用检验
二因素方差分析用于研究两个因素对观测结果的影响，并检验它们之间是否存在交互作用。
三因素方差分析及其它多因素方差分析方法
除了二因素方差分析外，还有三因素方差分析及其他多因素方差分析方法，可以应用于复杂 实验设计。
多因素方差分析的主要应用场景
单因素方差分析与多因素方差分析
单因素方差分析与多因素方差分析在统计学中，方差分析是一种常用的统计方法，用于比较多个样本或组之间是否存在显著性差异。
它分为单因素方差分析和多因素方差分析两种类型。
本文将对这两种分析方法进行详细讲解，并探讨其应用场景及步骤。
一、单因素方差分析单因素方差分析适用于只有一个自变量（或称因素）的情况。
它的目的是通过比较组间的差异，确定各组之间是否存在显著性差异。
以下是进行单因素方差分析的步骤：1. 设定假设：在进行方差分析之前，首先需要设定空假设和备择假设。
空假设（H0）通常假设各组的总体均值相等，备择假设（Ha）则假设至少有一组的总体均值与其他组不同。
2. 收集数据：收集与研究对象相关的数据，确保样本的选择具有代表性，并满足方差分析的基本要求。
3. 计算平方和：根据收集到的数据，计算总平方和（SST），组内平方和（SSW）和组间平方和（SSB）。
总平方和表示总体误差的方差，组内平方和表示各组内部误差的方差，组间平方和表示不同组之间的差异。
4. 计算均方：根据平方和计算均方，即总均方（MST），组内均方（MSW）和组间均方（MSB）。
均方是指平方和除以自由度。
5. 计算F值：通过计算方差比（F值）来检验组间差异的显著性。
F值越大，说明组间差异越显著。
6. 进行假设检验：基于计算的F值和设定的显著性水平，进行假设检验。
如果计算得到的F值大于临界值，则拒绝空假设，认为组间存在显著差异。
7. 进行事后比较：如果拒绝了空假设，需要进一步进行事后比较，确定具体哪些组之间存在显著差异。
一般常用的事后比较方法有Tukey、LSD等。
二、多因素方差分析多因素方差分析适用于有两个以上自变量的情况。
它能够同时考察多个自变量对因变量的影响，并进一步分析这些自变量之间的交互效应。
以下是进行多因素方差分析的步骤：1. 设定假设：与单因素方差分析一样，需要设定空假设和备择假设。
2. 收集数据：收集与研究对象相关的数据，确保样本的选择具有代表性，并满足方差分析的基本要求。
多因素方差分析.完美版PPT
SSB
1 b anj1
x2 . j.
x2 ...
abn
SSSTn1
a i1
b
xi2j.
j1
x.2.. abn
S A S B S S S T S A S S B ,S S e S S T S S SS T
计算步骤
计算排列如下表：
表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行
的平均
xij., xi.., x. j.
E(Me)SE(a(S bn eS1))2
检验H01，H02，H03的统计量
检验两个主效应及一个交互效应的下述三个统计量中， 分母全部采用MSe即可。 检验H01，H02，H03的统计量分别为：
FA
MS A MS e
,
FB
MS B MS e
FAB
MS AB MSe
从前述的各均方期望可知，只有当各H0成立时，上述三 个分子才是2的无偏估计量，此时各统计量均服从F分布；若 某个H0不成立，则相应的分子将有偏大的趋势，从而使对应 的统计量也有偏大的趋势，因此可用F分布上单尾分位数进行 检验。
选择最适发酵条件
原
料
种
类
30℃
(A)
温 度（B） 35℃
40℃
1 41 49 23 25 11 13 25 24 6
22 26 18
2 47 59 50 40 43 38 33 36 8
22 14 18
3 35 53 50 43 38 47 44 55 33 26 29 30
固定因素
本题中显然温度是一个因素，原料种类是另一个因素。这 两个因素各有三个水平。由于它们的影响都是可控制、可重复 的，因此都是固定因素。在同样温度、原料下所做的几次实验 应视为重复，它们之间的差异是由随机误差所造成的
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因子A 出生时
对照组 6.20 5.80 8.25
围产期 23.06 窒息组 21.46
11.43
因子B
出生后20分钟
11.50 13.37 24.10 25.56 30.40 18.19
出生后30分钟
14.53 11.40 12.37 10.52 13.66 18.20
用混合效应作方差分析时，离
不论协同或拮抗作用均意味着
A、B药同时使用的作用不等于单 独作用之和。两药有无协同作用或
拮抗作用，只要检验假设：
H03： - = 或H03： - = -
A药
不用 (a=1)
例题的统计量
B药 不用 （b=1） 用(b=2)
y111=0.8 y112=0.9 y113=0.7
y121=0.9 y122=1.1 y123=1.0
Error
2.685
16
.168
Total
775.984
24
Corrected Total
6.903
23
a. R Squared = .611 (Adjusted R Squared = .441)
F 3.591 4582.977 .012 .459 4.763 11.346 .311 7.954 .290
B
s A s B s 处 s s A 理 s s B s 2 . 9 6 1 . 92 6 0 . 9 5 7 0 0 . 0 . 5 3 76
各自的自由度分别为：
df总 N 1 12 1
df处理 nAnB 1 2 2 1 3
dfA nA 1 2 1 1
dfB nB 1 2 1 1
方差分析变异来源：
CxN 21.532121.95075
s总 s x2 ABK C0.820.92..2..02 1.9507 35.042
ABK
s 处 s 理 x 2 A / n B C 2 . 4 2 3 . 0 2 3 . 6 2 6 . 3 2 1 . 5 9 0 2 . 97 6
7
.603
Intercept
769.081
1
769.081
A
2.017E-03
1 2.017E-03
B
7.707E-02
1 7.707E-02
C
.799
1
.799
A*B
1.904
1
1.904
B*C
5.227E-02
1 5.227E-02
A*C
1.335
1
1.335
A * B* C
4.860E-02
1 4.860E-02
Sig. .016 .000 .914 .508 .044 .004 .585 .012 .598
方差分析的随机效应模型 方差分析中的因子有选择
型与随机型之分，若数据资料 中涉及到因子水平是研究者关 心的因子水平全体，则该因子 属于选择型因子；相应的模型 称为固定效应模型。
若数据资料中涉及到因子水平只是 研究者关心的因子水平总体的一个 样本，则该因子属于随机型因子； 若你的研究中有某些因子是随机型 因子或全为随机型因子时，方差分 析的模型与固定效应模型相同，但 关于主效应、和交互效应的假定及 F统计量的计算公式有些不同。
df AB nA 1nB 1 2 12 1 1
df误差 df总 df处理 11 3 8
三因子方差分析
例题 某研究者以大白鼠作试验， 观察指标是肝重与体重之比（5%）， 主要想了解正氟醚对观察指标的作用， 同时要考察用生理盐水和用戊巴比妥 作为诱导药对正氟醚毒性作用有无影 响，对不同性别大白鼠诱导的作用有 何不同，以及对不同性别大白鼠正氟 醚的作用是否相同。
F .
.05 5
.30 0
.49 1
Sig . .
.94 7
.82 4
.80 3
a. Cannot compute the error degrees of freedom using Satterthwaite's method
b. MS(A * B)
c. MS(Error)
方差分析的混合效应模型 例题：设某人研究围产期窒息对 新生儿中血中次黄嘌呤浓度是否 有影响，同时还了解新生出生一 小时内次黄嘌呤浓度是否有变化。 他随机抽取围产期窒息9名，不窒 息的正常新生儿9名（作为对照） 对每组的9名新生儿随机安排三个 不同时间，测定血中次黄嘌呤浓 度如下：
Sig. .000 .000 .000 .000 .000
注意：当因子A与B间的交互作用有统计学意 义时，对A（或B）的单独作用的解释须小心。 本例，用B药时，用A药病人比不同时用A药的 病人的红细胞数均数大，不用B药时，用A药 病人比不同时用A药的病人的红细胞数均数也 大，故可说明A药有效。但有时可能出现这种 情况，用B药时，用A药病人比不同时用A药的 病人的红细胞数均数大，不用B药时，用A药 病人比不同时用A药的病人的红细胞数均数小， 此时就不能简单地说A药有利于病人红细胞数 增加，需分别就用B药和不用B药两种情况说 明A药的作用。对B作用的作用的解释也是如 此。Leabharlann 均差平方和与自由度的计算与
固定效应相同，但无效假设与F
统计量不同。它们的计算公式
为： FA MSA MSe
FB MSB MSAB
FAB MSABMSe
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable: Y
Type III Sum
Source
of Squares
19.507 1.688 .907 .368
1
19.507 1950. 750
1
1.688 168. 750
1
.907 90.750
1
.368 36.750
Error
.080
8
.010
Tota l
22.550
12
Corrected Total
3.043
11
a. R Squared = .974 (Adjusted R Squared = . 964)
AB
s误 s s 差 总 s s处 s 3 理 .04 2 .9 26 5 0 .0 28 50
s A sx 2 A / n B n C 5 . 4 2 9 . 9 2 / 3 2 1 . 5 9 0 1 . 6 7 8 5
A
s B sx 2 B / n A n C 6 . 0 2 9 . 3 2 / 3 2 1 . 5 9 0 0 . 9 7 0 5
用 (a=2)
y211=1.3 y212=1.2
y213=1.1
y221=2.1 y222=2.2
y223=2.0
方差分析表
变异来源
处理间模型 因子A 因子B A与B的交互作用 误差 总的
SS df
2.9625 3 1.6875 1 0.9075 1 0.3675 1 0.0800 8 3.0425 11
本例研究目的之一为A药的使 用是否会引起病人的红细胞数
变化。检验H01： + = + 研究目的之二为B药的使用是 否会引起病人的红细胞数的变
化。检验H02： + = +
研究目的之三为A药与B 药是否有交互作用。所谓有协 同作用，是指同时用A、B两药 起的作用大于单独用A药和B药 的作用之和。所谓有拮抗作用， 是指同时用A、B两药起的作用 小于单独用A药各B药的作用之 和。
a=2 91 , 60
85 , 88 90 , 74 76 , 62
a=3 85 , 67
90 , 71 65 , 79 75 , 96
用随机效应模型作为方差分析 时，离均差平方和与自由度的 计算与固定效应相同，但无效 假设与F统计量的计算有所不同。
它们的计算公式为：
FA MSA MSAB
FB MSB MSAB
一、二因子方差分析
例：A、B两药治疗缺铁性贫血12例，试验结果如下：
四种疗法治疗缺铁性贫血后红细胞增加数（1012/L）
疗法
红细胞增加数
一般疗法
0.8 0.9 0.7
一般疗法加A药 1.3 1.2 1.1
一般疗法加B药 0.9 1.1 1.0
一般疗法加A药加B药 2.1 2.2 2.0
总体均数记号
实例 某医院管理者欲了解血压计
与量血压的医生对血压测定结果是
否有影响。他在医院中随机抽取3
台血压计，4名医生，对24名体检
者测量血压，下面是舒张压的观察
结果，请作分析。
血压计 医生甲（b=1） 医生乙(b=2) 医生丙(b=3) 医生丁(b=4)
a=1 60 , 97
84 , 63 70 , 99 74 , 68
Err or
666 .750
B
Hypothesis 100.125
Err or
666 .750
A* B
Hypothesis 666.750
Err or
271 5.500
df Mean Square
1
.
.a
.
2
6.1 25
6 111.125b
3
33. 375
6 111.125b
6 111.125
12 226.292c
FAB MSABMSe
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable: Y
Type III Sum
Sou rce
of Squares
Intercept Hypothesis145548.375
Err or
.