吴翼 世界大赛赛题选讲

D u min max D v , C v , u ( v , u ) G

最外侧的点的权值为0 最大化每个D(u) Dijkstra 算法


ACRush 以压倒性优势夺冠 （$5,000） Qizichao 位列第二 （$2,000）



...C. ..C. ..C.



判断一个N*M（N,M≤100）的巧克力 进行若干次切割后（每次只能够垂直或者水平切割） 是否能够分割成k(k<16)块面积分别为S1, S2…Sk的 小块



F(n,m,S)表示n*m的巧克力能不能分解成S集合内 的小块 预处理所有可能的面积所对应的可能的小块的集合 枚举分割线 查表进行转移




给出一个N*M的方格纸，在方格内可以任意填写字母a 到z，但是必须保证，任意一行从左到右字母的字典序 必须保证不降，同时任意一列也必须保证字典序不降。 现在一些格子已经填上了一些字母，现在要求将剩余没 有填写的空格子填满，同时要使得整个方格纸上满足双 调不降的要求。问总的方案数取模10007的值。 Small dataset N,M≤4 Large dataset N,M≤10
B





容斥原理加速 修改状态 F(P,k,c)表示当前边界线为P，填写了前c个字母， 并且第c个字母严格分布在第1～k列 转移时仅讨论第k列是否存在字母c 复杂度为O(CM2N+M)



有2N个珠子顺次排放在(1,0)，(2,0)，……，(2N,0)。每个 珠子有一个颜色，并且一定存在N种不同的颜色，同时任意 一种颜色都有两个相应颜色的珠子。 现在要将相应的珠子用线连起来，连线要求除了在开始和结 尾连接两个珠子的地方之外，不能与直线y=0有任何一个交 点，同时要求连线上的任意部分必须水平或者垂直，并且所 有的拐点都必须是整点。 问最优情况下，所有连线上纵坐标最大的点的纵坐标，与纵 坐标最小的点的纵坐标的差值最小是多少。 无解输出-1。 Small dataset N≤20 Large dataset N≤500




给定一个N行M列（N,M≤8）的格子地图 有一个机器人需要从(0,0)出发经过每个格子一次且 恰好一次，最后到达(1,0)， 要求机器人第 个 NM i （1≤i≤3）到达的格子恰好 4 为(xi,yi) 求总的方案数


搜索剪枝 剪枝1：距离剪枝
◦ 时间T处于(x,y)，要在S到达(a,b)，若|x-a|+|y-b|>S-T 则当前路径一定不合法




给出平面上N个通讯站各自的坐标，第i个通讯站的数据传送 范围Ri，它会向在范围内的其他通讯站传送数据。 目前所有通讯站均使用旧的通信协议A。 现在有一个新的通信协议B，如果我们第i个站从协议A升级 至协议B，则我们会得到一个转换的收益Si（Si可正，可负）。 同时，升级有一个重要的限制：如果一个通讯站升级到B， 那么它可以传送到数据的站也必须升级到B——因为使用A协 议的通讯站无法解析B协议，而B协议却可以解析A协议下传 送的信息。 问如何选择通讯站的集合使得收益最大化。 数据规模满足： Small dataset N≤15 Large dataset N≤500





设点x的高度为hx 对于一个面<x,y,z>，设hx<hy<hz 对于一条边<x,y>（山脊），定义边的高度 h(x,y)=min{hx,hy} 显然一个湖的高度必然与某一条边的高度相同 一个面至多与一个湖泊相关 BF Algorithm:
◦ 从高到低枚举所有可行高度 ◦ 对于每一个面计算被当前湖泊覆盖了怎样的区域 ◦ Flood Fill 找出每一个湖泊的形状


朴素的状态压缩动态规划或者记忆化搜索只能够通 过小数据 改进状态的表示方法 观察某种特定字母所占区域的轮廓线（黄色） 轮廓线必然为一条单调路径 a a a b b b 若路径P1与P2不严格相 a a a b b c 交且P1上存在某点严格 a a b b c e 处于P2上方，则称P1<P2 b b b b c e 对于字母x的轮廓P1,x和P2,x b b b e e e 必然满足P1,x < P2,x
b b c e e e



F(P,c)表示处理了前c个字母，边界线为P 轮廓线共C(N+M,N)=184756 平方级别的转移时间过大，考虑优化 观察紧贴P的格子中填有字母c的格子 考虑下凸点（橘红色格子） 枚举这些点是否填写字母c 容斥原理 复杂度为O(C2N+M+M)
A
C

剪枝2：精确距离剪枝
◦ 距离计算采用BFS而非粗略的曼哈顿距离计算

剪枝3：度数剪枝
◦ 抽象成图论模型，题目要求求出一条Hamiltonian Path ◦ 除了起点和终点每个点的度数至少为2，否则无解

剪枝4：连通性剪枝
◦ 当前图不连通必然无解 ◦ 考虑如下几种产生孤立区域情况（深紫色格子）
程序



最小割 minimum weighted closure Si>0，连边<Source,i> cap = Si Si<0，连边<i,Sink> cap = -Si 选择x必须要选择y，连边<x,y> cap = inf 答案为正收益和减去最小割 对于割集，要么是损失正收益要么是负收益 x,y必然处于同一个集合



优化转移： 所有转移将形成一棵树形结构 将一个连通块看成一个整体 如下图

每个连通块只有两种选择 树形DP，转移均摊O(1)，总复杂度O(N2)

Problem1:
◦ 给定一颗N个结点的带边权的树 ◦ 1号点在树上到任意其他点经过的边不超过30条 ◦ 对于每个点i，分别求出距离i第K远的点的距离

集体赛事
◦ ACM/ICPC World Finals (WF)



第一次中国举办，由哈尔滨工程大学承办 上海交通大学第三次夺得世界冠军 清华大学位列第六





给定一颗N个点的树，每个点是一个城堡 进攻城堡k会死去die[k]个士兵 攻下城堡k之后需要派cap[k]个士兵留守 一个进攻方案即派遣军队从某一个城堡出发，经过 每条边至多两次，占领所有的城堡 问在最佳进攻方案中最少需要多少士兵才能够占领 所有城堡？ N<100



留守的士兵相当于死去 枚举起始点，进行树形动态规划 每个点的决策为按照什么顺序遍历其孩子 目标是使得占领所有城堡之后存活的士兵最少 结论： 按照子树的存活人数从大到小依次遍历子树




给定一个N行M列（N≤20，M≤9）的地形图，某 一些格子是不能占用的 要从现在要从左上角向右下角挖一个河道，要求河 道本身不能自相接处（否则的话河流的走势会产生 歧义） C C... 右侧两个河道是不合法的 C.C.C CCCC 求总方案数 CCC.C



考虑相邻的面p1:<x,y,z>和p2:<x,y,w> 设p1上的水位高度为h1，p2为h2 则必然有
◦ h1=h2；或者 ◦ h1,h2<=h(x,y)

抽象得到不等关系
◦ h2<=max{h(x,y),h1}



考虑平面图的对偶图 每个区域抽象成点 每条边(u,v)有权值C(u,v)（对应边的高度） 每个点u有权值D(u)（对应面上的水位高度） 满足不等关系

容易发现连线方式一定如图

动态规划 f [l ][r ][up ][lo] true or false 表示区间[l,r]内，y>0的平面内（后面我们简称为 上方）花费高度不超过up，y<0平面内（后面我们 简称为下方）花费高度不超过lo的连线方案是否可 行。



f[l][r][up]表示，区间[l,r]内，上方利用不超过up的 高度，要使得存在可行连接方案，下方最少需要的 花费的高度。 考虑连通块： f[i][up]表示区间恰好为[L[i],R[i]]，上方使用不超过 up的空间，要是的存在可行连接方案，下方最少需 要的高度。


给出平面上的N个点，第i个点Pi的坐标为(xi,yi)，求 所有可能构成的三角形周长的最小值（这里三角形 即使退化成线段也认为是三角形）。 数据保证任意两个点不会重合。 Small dataset N≤10000 Large dataset N≤1000000



类似平面上最近点对的分治算法 假设当前分治后得到的最优解是P 考虑分割线两侧的带状区域 对于P/2*P的box 每个box内至多存在常数个点 复杂度O(NlogN) 常数？ 可以证明box内至多8个点
◦ 给定h[1…N]，可以花费1的代价使得h[i]-1 ◦ 要求花最少的代价使得h中peak的数量不超过P ◦ Peak: h[l…r]满足[l..r]内h值全部相同，且大于h[l-1]和 h[r+1]

Problem2:
清华大学 计算机科学实验班 吴翼

三大个人赛事
◦ ◦ ◦ ◦ International Olympiad in Informatics (IOI) Google Code Jam (GCJ) Topcoder Open (TCO) Topcoder Collegiate Challenge (TCCC)
剪枝1
No.1 *