2-12高中数学核动力

高 考 热 点 聚 焦
线，进而速度的大小与方向是变化的，进而求出速度方向与
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x轴正方向相同、相反的两个时间段．
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菜
单
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第二章
函数、导数及其应用
【尝试解答】 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4，即当 0≤t≤4 时，P 点在 x 轴正方向运动，当 t＞4 时，P 点向 x
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菜
单
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第二章
函数、导数及其应用
●命题新动向●
积分的交汇
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在近几年的各地模拟试题中，对微积分内容的考查又注
重了与函数、几何概型、二项式定理、数列等知识的交汇， 是一个新的命题动向，复习中应予以重视．
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等于(
)
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【解析】 ∫1(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|1＝(e＋1)－1＝e. 0 0
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【答案】 C
菜
单
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函数、导数及其应用
2．(2011· 山东高考)有曲线 y＝x3，y＝x2 围成的密闭图形 的面积是(
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) 1 B. 4 7 D. 12
1 A. 12 1 C. 3
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【解析】
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y＝x2 由 y＝x3
得交点坐标为(0,0)，(1,1)，因此所 1 3 1 41 1 x － x 0＝ .故选 A. 3 4 12
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求面积为
1 2 3 S＝∫0(x －x )dx＝
【答案】 A
菜
单
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函数、导数及其应用
3．(2012· 湖北高考)已知二次函数 y ＝f(x)的图象如图所示， 则它与 x 轴所
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围图形的面积为( 2π A. 5 3 C. 2
(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积 分的和或差； (3)分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；
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(5)计算所求定积分的值．
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菜
单
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函数、导数及其应用
求下图中阴影部分的面积．
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【思路点拨】 准被积函数．
观察图象要仔细，求出积分上下限，找
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菜
单
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菜
单
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菜
单
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第 12 节
定积分与微积分基本定理(理)
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菜
单
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1．(2011· 福建高考)∫1(ex＋2x)dx 0 A．1 C．e B．e－1 D．e＋1
2 1 x－1＝ . 3
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2 【答案】 3
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菜
单
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5．(2012· 山东高考)设 a＞0.若曲线 y＝ x与直线 x＝a，y
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＝0 所围成封闭图形的面积为 a2，则 a＝________.
1 2 10x ，0≤x≤2， 从而得到 y＝xf(x)＝ －10x2＋10x，1＜x≤1. 2 所以围成的面积为 ∫2010x2dx＋∫11(－10x2＋10x)dx＝5，所以围成的图 S＝ 4 2
1
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5 形的面积为 . 4
5 【答案】 4
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做变速直线运动的速度 v，等于其加速度函数 a＝a(t)在时间 区间[a，b]上的定积分∫ba(t)dt. a
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菜
单
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(2)如果变力 F(x)使得物体沿力的方向由 x＝a 运动到 x＝b(a ＜b)，则变力 F(x)对物体所做的功 W＝∫bF(x)dx. a
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菜
单
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(2012· 上海高考)已知函数 y＝f(x)的图象是折线段 ABC，
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其中
1 A(0,0)、B2，5、C(1,0)，函数
y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象
) 4 B. 3 π D. 2
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【解析】 根据图象可得：y＝f(x)＝－x2＋1，再由定积
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分 的 几 何 意 义 ， 可 求 得 面 积 为 S ＝ ∫ 1 1 ( － x2 ＋ 1)dx ＝ －
1 4 3 | 1 －3x ＋x －1＝3.
)
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(xlnx－x)′＝lnx，于是 S10＝(xlnx－x)|e ＝(elne－e)－(0 1 －1)＝1.
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在等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20 成等差，即 1,16， S30－17 成等差， ∴32＝1＋S30－17 得 S30＝48. 【答案】 C
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菜
单
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菜
单
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2
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解得 t＝0 或 t＝6. t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，舍去．
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∴t＝6.
菜
单
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【归纳提升】 定积分在物理中的应用，主要包括①求
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变速直线运动的路程；②求变力所做的功两部分内容． (1)要求一个物体在一段时间内的位移，只要求出其运动 的速度函数，再利用微积分基本定理求出该时间段上的定积 分即可，即物体做变速直线运动的路程 s，等于其速度函数 v ＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a， b]上的定积分∫bv(t)dt.另外物体 a
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菜
单
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一物体沿直线以v(t)＝t2 －3t＋6(单位：
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m/s)的速度运动，则其前30s内的平均速度为________． 【思路点拨】 求路程还是位移． 利用定积分求出前30内的路程，分清是
菜 单
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菜
单
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【归纳提升】
求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤：
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(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交
点的横坐标，定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特 别要注意分清被积函数上、下位置；(3)写出平面图形面积 的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分， 求出平面图形的面积.
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轴负方向运动．故 t＝6 时，点 P 离开原点的路程： s1＝∫4(8t－2t2)dt－∫6(8t－2t2)dt 0 4 ＝
2 2 34 4t －3t 0－ 2 2 36 4t －3t 4
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【答案】 261 m/s
菜 单
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有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速
度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)，求
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(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和 位移； (2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值． 【思路点拨】 注意到v(t)＝8t－2t2 是开口向下的抛物
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●考情全揭密●
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从近几年的高考来看微积分基本定理，考查的频率不 高，一般以客观题出现，难度较小，着重于基础知识、基本
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方法的考查．
从命题方向看，2014年高考仍将以使用微积分基本定理 计算定积分和使用定积分，求曲边图形的面积为主．
与 x 轴围成的图形的面积为________．
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【规范解答】 根据题意得，
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1 10x，0≤x≤2， f(x)＝ －10x＋10，1＜x≤1. 2
菜 单
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【解析】 由已知得 1 2 4 以 a ＝ ，所以 a＝ . 2 3 9 S＝∫a 0 2 3a 2 3 2 xdx＝ 3x20＝ a ＝a ，所 3 2
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4 【答案】 9
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菜
单
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【归纳提升】 1.计算简单定积分的步骤：
(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数，指
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数函数与常数的和或差；
菜
单
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函数、导数及其应用
●针对训练● 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 又已知(xlnx)′＝lnx
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＋1，且 S10＝∫e lnxdx，S20＝17，则 S30 为( 1 A．33 C．48 【解析】 由已知得， B．46 D．50
128 ＝ . 3
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当 t＝6 时，点 P 的位移为： ∫6(8t－2t2)dt＝ 0

菜 单

2 36 4t － t 0＝0. 3
2
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(2)依题意∫t0(8t－2t2)dt＝0， 23 即 4t － t ＝0， 3
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【答案】 B
菜 单
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4 ． (2012· 西 高 考 ) 计 算 定 积 分 ∫ 1 1 (x2 ＋ sin x)dx ＝ 江 －
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________.
【解析】
∫1
－1
(x ＋sin x)dx＝
2
1 3 3x －cos
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【思路点拨】
本题考查利用微积分基本定理求定积
分，其关键是求出被积函数的原函数．
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菜
单
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单
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