小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们解开许多几何谜题。
蝴蝶定理的名字听起来是不是很有趣？就好像一只美丽的蝴蝶在几何图形中翩翩起舞。
那到底什么是蝴蝶定理呢？让我们一起来揭开它神秘的面纱。
想象一下有一个四边形，它的两条对角线相交于一点。
在这个四边形中，相对的两个三角形的面积之间存在着一种特殊的关系，这就是蝴蝶定理所描述的内容。
比如说，我们有一个四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。
那么根据蝴蝶定理，三角形 AOB 和三角形 DOC 的面积之积等于三角形 AOD 和三角形 BOC 的面积之积。
可能你会觉得有点抽象，那我们通过一个具体的例子来感受一下。
假设四边形 ABCD 是一个平行四边形，AB 平行于 CD，AD 平行于BC。
AC 和 BD 相交于点 O。
因为平行四边形的对边相等且平行，所以三角形 ABC 和三角形 ADC 的面积相等。
又因为三角形 AOB 和三角形BOC 分别以 AO 和 OC 为底边时，它们的高相同，所以三角形 AOB 和三角形 BOC 的面积之比就等于 AO 与 OC 的长度之比。
同样的道理，三角形 AOD 和三角形 DOC 的面积之比也等于 AO 与OC 的长度之比。
这就意味着三角形 AOB 和三角形 BOC 的面积之积等于三角形 AOD 和三角形 DOC 的面积之积，这正是蝴蝶定理的体现。
蝴蝶定理在解决一些几何问题时非常有用。
比如，当我们已知四边形中某些部分的面积，要求其他部分的面积时，就可以运用蝴蝶定理来找到答案。
再比如，如果我们知道了两个三角形的面积关系，以及对角线的交点位置，也可以通过蝴蝶定理求出整个四边形的面积。
那小朋友们在学习蝴蝶定理的时候，可能会遇到一些困难。
这是很正常的，因为几何需要我们有一定的空间想象力和逻辑思维能力。
不过别担心，我们可以通过多做一些练习题，多画一些图形来帮助自己理解。
小学几何之蝴蝶定理大全
小学几何之蝴蝶定理大全一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。
定理2：等分点结论（鸟头定理）如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的3 1 35 4 20定理3：任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）1）S1∶S2 =S4∶S3 或S1×S3 = S 2× S4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2 ）AO∶OC = （S1＋S2）∶（S4＋S3）梯形中的比例关系（梯形蝴蝶定理）1）S1∶S3 =a2∶b2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S1∶S3∶S2∶S4=a 2∶b2ab∶abS1 : S2 = a : b4）S 的对应份数为（a+b）2定理 4：相似三角形性质2) S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理 5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ ECS △ BGA ∶ S △BGC = S △ AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题分析例 1、如图， AD DB ， AE EF FC ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米， 多少平方厘米？1) BCHABC 的面积是例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且AD 1 AB，21ABC中，，D为BC的中点， E 为AB上的一点，且BE= AB,已知四边3形EDCA的面积是35 ，求三角形ABC的面积.例4、例 1 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是 4 平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平B三角形DEF 的面积.BE 1BC ，31CF CA ，求4例3、如图，在三角形方厘米？例7、（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园陆地的面积是 6.92 平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？例8、如图：在梯形ABCD 中，三角形AOD 的面积为9 平方厘米，25 平方厘米，求梯形ABCD 的面积。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。
蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。
二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。
解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。
2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。
解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。
3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。
解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)在小学奥数的几何部分，蝴蝶定理是一个非常有用的工具，它可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。
蝴蝶定理主要描述了在四边形中，当两条对角线互相垂直时，四边形被分成四个小三角形，而这四个小三角形的面积之间存在一定的关系。
蝴蝶定理的内容如下：设四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，交于点O。
设四个小三角形的面积分别为S1、S2、S3、S4。
那么，蝴蝶定理可以表述为：S1 + S2 = S3 + S4。
这个定理听起来可能有些抽象，但实际上它的应用非常广泛。
我们可以通过蝴蝶定理来解决一些看似复杂的问题。
下面，我将通过一些例子来展示蝴蝶定理的应用。
例1：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC =8cm，BD = 6cm。
如果三角形ABC的面积是24cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。
由于三角形ABC的面积是24cm²，所以S1 = 24cm²。
又因为AC = 8cm，BD = 6cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 8cm6cm = 24cm²。
因此，三角形ADC的面积也是24cm²。
例2：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC = 10cm，BD = 5cm。
如果三角形ABC的面积是20cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：同样地，根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。
由于三角形ABC的面积是20cm²，所以S1 = 20cm²。
又因为AC = 10cm，BD = 5cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 10cm 5cm = 25cm²。
因此，三角形ADC的面积是25cm²。
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解开许多几何难题。
让我们先来直观地感受一下蝴蝶定理是什么。
想象一下有一个四边形，它的两条对角线相交于一点。
然后分别从这个交点向四边形的四个顶点连线，这样就把四边形分成了四个三角形。
奇妙的是，这四个三角形的面积之间存在着一种特殊的关系，这就是蝴蝶定理所描述的内容。
蝴蝶定理的基本形式是：在一个梯形中，两条对角线相交，位于对角线交点两侧的三角形面积相等。
比如说，有一个梯形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。
那么三角形 AOD 的面积就等于三角形 BOC 的面积。
为什么会有这样神奇的结论呢？我们来试着证明一下。
假设梯形的上底是 a，下底是 b，高是 h。
那么三角形 ABD 的面积可以用公式“底×高÷2”来计算，也就是（a ＋ b)×h÷2。
而三角形 AOD 和三角形 AOB 分别以 AO 和 BO 为底边，它们的高是相同的，都等于梯形的高 h。
假设三角形 AOD 的面积是 S1，三角形 AOB 的面积是 S2，那么根据三角形面积公式，我们可以得到：S1 ： S2 ＝ AO ： BO同样地，三角形 BOC 和三角形 DOC 的面积比也是 BO ： AO。
因为三角形 ABD 和三角形 ABC 的面积是固定的，所以：S1 ＋ S2 ＝三角形 ABD 的面积三角形 BOC 的面积S2 ＋ S1 ＝三角形 ABC 的面积三角形 AOD 的面积这就说明三角形 AOD 的面积等于三角形 BOC 的面积，也就是蝴蝶定理的结论。
蝴蝶定理在解决实际问题中非常有用。
比如说，有一道题：在一个梯形中，已知上底是 6 厘米，下底是 10 厘米，其中一条对角线把梯形分成了两个三角形，其中一个三角形的面积是 18 平方厘米，求另一个三角形的面积。
我们就可以利用蝴蝶定理，先求出梯形的高，然后再计算另一个三角形的面积。
小学几何之蝴蝶定理大全
小学几何之蝴蝶定理大全小学几何之蝴蝶定理大全一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。
定理2：等分点结论（鸟头定理）在△ABC中，D为BC的中点，连接AD并延长交EF于点G，则有：frac{S_{\triangle AEG}}{S_{\triangleBGC}}=\frac{AD}{BC}$frac{S_{\triangle AFG}}{S_{\triangle BGC}}=\frac{AB-AD}{BC}$定理3：任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）1）上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积：或 $S_1\times S_3=S_2\times S_4$2）AO∶OC=（S1＋S2）∶（S4＋S3）梯形中的比例关系（梯形蝴蝶定理）1）上、下部分的面积比等于上、下边的平方比：2）左、右部分的面积相等3）$4）S的对应份数为（a+b）2定理4：相似三角形性质1）$\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{h}{H}$ 2）$\frac{S_1}{S_2}=\frac{a^2}{A^2}$定理5：燕尾定理S_{\triangle ABG}:S_{\triangle AGC}=S_{\triangle BGE}:S_{\triangle GEC}=S_{\triangle BGA}:S_{\triangle BGC}=S_{\triangle AGF}:S_{\triangle GFC}=S_{\triangle AGC}:S_{\triangle BCG}=S_{\triangle ADG}:S_{\triangle DGB}=二、例题分析例1、如图，AD=DB，AE=EF=FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，求ABC的面积。
删除明显有问题的例题）例4、如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
小学几何之蝴蝶定理大全
小学几何之蝴蝶定理大全一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质1）HhC c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题分析例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？CFEADBCBE FDA例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4、例1 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形。
小学奥数之几何蝴蝶定理问题
几何之蝴蝶(húdié)定理一、基本(jīběn)知识点定理(dìnglǐ)1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于(děngyú)对应底边之比。
S1 : S2 = a : b定理(dìnglǐ)2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED的面积占三角形△ABC的面积的定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S1∶S2 =S4∶S3或 S1×S3 = S2×S4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO∶OC = （S1＋S2）∶（S4＋S3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S1∶S3 =a2∶b2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S1∶S3∶S2∶S4 =a2∶b2∶ab∶ab4）S的对应份数为（a+b）2定理4：相似三角形性质1）2） S1∶S2 = a2 ∶A2定理(dìnglǐ)5：燕尾定理S△ABE ∶ S△AEC = S△BGE ∶ S△GEC = BE∶ECS△BGA ∶ S△BGC = S△AGF ∶ S△GFC = AF∶FCS△ADC ∶ S△DCB = S△ADG ∶ S△DGB = AD∶DB二、例题(lìtí)例1、如图，，，已知阴影(yīnyǐng)部分面积为平方厘米，的面积(miàn jī)是多少平方厘米？例2、有一个(yī ɡè)三角形ABC的面积为1，如图，且，，，求三角形的面积.例3、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4如图，ABCD是直角梯形，求阴影(yīnyǐng)部分的面积和。
（单位(dānwèi)：厘米）例5、两条对角线把梯形(tīxíng)ABCD分割成四个三角形。
小学几何之蝴蝶定理完整版
小学几何之蝴蝶定理 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】CFE ADBCBEFDA几何之蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质1） HhC c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题分析例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4、例1 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。
小学几何之蝴蝶定理大全
小学几何之蝴蝶定理大全一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质1）HhC c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题分析例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？CFEADBC B EFD A例2、有一个三角形ABC的面积为1，如图，且12AD AB=，13BE BC=，14CF CA=，求三角形DEF的面积.例3、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积.例4、例1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
小学几何之蝴蝶定理大全
小学几何之蝴蝶定理大全一、基本知识点定理1:同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。
S i : S2 = a : b定理2:等分点结论（鸟头定理）如图，三角形△ AED的面积占三角形△ ABC的面积的3 125 4 20定理3:任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）1）S i : S2 =S4: S3 或S i x S3 = S 2 x S4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2 ）AO： OC = （S i+ S2）：（ S+ SO梯形中的比例关系（梯形蝴蝶定理）1）S : S3 =a2: b2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S i : S3 : S2: S =a2: b2: ab : ab4）S的对应份数为（a+b）2定理4:相似三角形性质、a b c h 1)A B CH2) S : S = a 2: A 2定理5:燕尾定理SA ABG :S A AGC : =S ABGE :SA GEC =BE : EC S A BGA:SA BGC : =S A AGF : :SA GFC =AF : FC S A AGC:SA BCG : =S AADG:SA DGB=AD :DB二、例题分析例1、如图，AD DB , AE EF FC ，已知阴影部分面积为 5平方厘米, 多少平方厘米？ABC 的面积是A1例2、有一个三角形 ABC 的面积为1,如图，且AD 丄AB , BE21例3、如图，在三角形 ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且 BE=—AB,已知四边3例4、例1如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示） ，求 另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）例6、如下图，图中 BO=2DO 阴影部分的面积是 4平方厘米，求梯形 ABCD 勺面积是多少平三角形DEF 的面积.1BC , CF3-CA ，求 4形EDCA 勺面积是35,求三角形 ABC 的面积.B方厘米?例7、（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC 面积为2平方千米，△ COD 的面积为3平方千米，公园陆地的 面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米?例8、如图：在梯形 ABCD 中，三角形 AOD 的面积为 25平方厘米，求梯形 ABCD 的面积。
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解决许多看似复杂的几何问题。
让我们先来看看蝴蝶定理到底说的是什么。
蝴蝶定理通常是指在一个梯形中，连接两条对角线，会形成四个三角形。
位于梯形对角线两侧的两个三角形的面积相等。
简单来说，就像是一只蝴蝶的两个翅膀，面积是一样的。
那为什么这个定理如此重要呢？想象一下，当我们面对一个梯形的图形，需要计算其中某些部分的面积时，如果能够运用蝴蝶定理，就可以省去很多繁琐的计算步骤，迅速得出答案。
这对于提高我们解决问题的效率和准确性可是非常有帮助的。
为了更好地理解蝴蝶定理，让我们通过一些具体的例子来感受一下它的神奇之处。
比如说，有一个梯形 ABCD，其中 AB 平行于 CD，两条对角线 AC 和 BD 相交于点 O。
假设三角形 AOD 的面积是 6 平方厘米，三角形BOC 的面积是 8 平方厘米。
那么根据蝴蝶定理，三角形 AOB 的面积就等于三角形 DOC 的面积。
那我们怎么来求出这两个未知三角形的面积呢？我们可以这样思考：因为三角形 AOD 和三角形 BOC 的面积已知，我们设三角形 AOB 的面积为 x 平方厘米，那么三角形 DOC 的面积也为 x 平方厘米。
根据梯形中三角形面积的关系，我们可以得到：三角形 AOD 的面积乘以三角形 BOC 的面积等于三角形 AOB 的面积乘以三角形 DOC 的面积。
也就是 6×8 ＝ x×x，解得 x ＝4√3 平方厘米。
再来看一个例子。
有一个梯形，上底是 4 厘米，下底是 6 厘米，高是 5 厘米。
连接两条对角线后，其中一个三角形的面积是 10 平方厘米。
那么另一个与它相对的三角形的面积是多少呢？我们先根据梯形的面积公式：（上底＋下底）×高÷2，算出这个梯形的总面积是（4 ＋ 6）×5÷2 ＝ 25 平方厘米。
小学几何之蝴蝶定理大全
小学几何之蝴蝶定理大全一、基本知识点定理1:同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比S i : S2 = a : ba b等于对应底边之比。
定理2:等分点结论(鸟头定理)如图，三角形△AED的面积占三角形△ ABC的面积的20定理3:任意四边形中的比例关系(蝴蝶定理)1) S i : S2 =S4 : S3 或S i X S3 = S2X S4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2 ) AO： OC = (S i+ S2)：( S4+ S3)梯形中的比例关系(梯形蝴蝶定理)1) S i : S3 =a2: b2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2) 左、右部分的面积相等B b C3) S i : S3 : S2 : S4 =a2: b2: ab : ab4) S的对应份数为(a+b) 2定理4:相似三角形性质2) S i : S 2 = a 2 : A 2定理5:燕尾定理S AABG:S A AGC : =S A BGE : :S A GEC =BE : ECS A BGA : :S A BGC : =S A AGF :S A GFC =AF : FC S A AGC : :S A BCG : =S A ADG:S A DGB=AD :DB二、例题分析例1、如图，AD DB , AE EF FC ，已知阴影部分面积为 5平方厘米, 多少平方厘米？ABC 的面积是例2、有一个三角形 ABC 的面积为1，如图，且AD - AB , BE21例3、如图，在三角形 ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且 BE=—AB,已知四边3例4、例1如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示） 另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）例6、如下图，图中 BO=2DO 阴影部分的面积是 4平方厘米，求梯形 ABCD 勺面积是多少平三角形DEF 的面积.-BC , CF3-CA ，求 4形EDCA 勺面积是35,求三角形 ABC 的面积.，求B方厘米?例7、（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ,被对角线AC、BD分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？例8、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米25平方厘米，求梯形ABCD的面积。
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理——蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解开许多几何难题。
蝴蝶定理的名字听起来很有趣，是不是让你联想到了一只美丽的蝴蝶在几何图形中翩翩起舞？其实，这个定理之所以叫这个名字，是因为它的图形看起来有点像一只蝴蝶。
那蝴蝶定理到底说的是什么呢？咱们先来看看它的基本形式。
假设有一个梯形，两条对角线相交于一点。
在这个梯形中，通过对角线相交点作两条平行于梯形底边的直线，分别与梯形的两条腰相交。
那么，位于梯形上下两个部分的三角形面积相等。
比如说，有一个梯形 ABCD，上底是 AD，下底是 BC，对角线 AC和 BD 相交于点 O。
过点 O 作 EF 平行于 AD 和 BC，分别交 AB 于点E，交 CD 于点 F。
那么三角形 AOD 和三角形 BOC 的面积是相等的。
可能有的同学会问，为什么会这样呢？我们来试着解释一下。
为了更好地理解，我们可以把梯形的面积看作是由多个部分组成的。
首先，三角形 ABD 和三角形 ACD 的面积是相等的，因为它们都以AD 为底边，并且顶点 B 和 C 到 AD 的距离是相等的，也就是这两个三角形的高相等。
那么，三角形 ABD 的面积减去三角形 AOD 的面积，就等于三角形AOB 的面积；三角形 ACD 的面积减去三角形 AOD 的面积，就等于三角形 DOC 的面积。
因为三角形 ABD 和三角形 ACD 的面积相等，所以三角形 AOB 的面积就等于三角形 DOC 的面积。
蝴蝶定理在解决实际问题中非常有用。
比如，当我们已知梯形中某些部分的面积，要求其他部分的面积时，就可以运用这个定理来快速找到答案。
再举个例子，假如梯形 ABCD 中，三角形 AOD 的面积是 6 平方厘米，三角形 BOC 的面积是 9 平方厘米，那么三角形 AOB 的面积是多少呢？根据蝴蝶定理，我们知道三角形 AOB 的面积乘以三角形 DOC的面积等于三角形 AOD 的面积乘以三角形 BOC 的面积。
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解开许多几何难题。
让我们先来直观地感受一下什么是蝴蝶定理。
想象有一个四边形，它的两条对角线相交于一点。
然后，分别从这个交点向四边形的四个顶点连线，这样就把四边形分成了四个三角形。
蝴蝶定理说的就是：在这四个三角形中，相对的两个三角形的面积乘积是相等的。
听起来可能有点抽象，那咱们通过一个具体的例子来看看。
假设有一个平行四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。
连接 AO、BO、CO 和DO。
三角形AOB 和三角形COD 就是相对的两个三角形。
那为什么会有这样神奇的定理呢？这就得从三角形的面积公式说起啦。
我们都知道三角形的面积等于底乘以高除以 2。
在这个四边形中，因为对角线把四边形分成的四个三角形，它们的高和底之间存在着巧妙的关系。
比如说，三角形 AOB 和三角形 BOC，它们都以 BO 为底边。
但是顶点 A 和顶点 C 到 BO 的距离（也就是高）是相等的。
这是因为平行四边形的对边是平行且相等的，所以从顶点 A 和顶点 C 向 BO 作垂线，这两条垂线的长度是一样的。
再来看，如果我们把三角形 AOB 的面积记为 S1，三角形 BOC 的面积记为 S2，三角形 COD 的面积记为 S3，三角形 DOA 的面积记为S4。
根据前面说的面积关系，我们可以得到一些等式。
因为三角形 AOB 和三角形 BOC 等底等高，所以 S1 ： S2 ＝ AO ：OC。
同理，S2 ： S3 ＝ BO ： OD，S3 ： S4 ＝ CO ： OA，S4 ： S1 ＝ DO ： OB。
然后，通过交叉相乘，我们就能发现 S1×S3 ＝ S2×S4，这就是蝴蝶定理的核心内容。
蝴蝶定理在解决几何问题的时候可太有用啦！比如说，当我们知道了其中三个三角形的面积，就可以很快算出第四个三角形的面积。
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解开许多几何难题。
让我们先来想象一下一只美丽的蝴蝶。
蝴蝶定理的图形就有点像一只蝴蝶展开的翅膀。
那它到底是怎么回事呢？蝴蝶定理通常是指在一个梯形中，连接两条对角线，形成的四个三角形。
其中，相对的两个三角形的面积是相等的。
比如说，梯形ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，那么三角形 AOD 和三角形BOC 的面积是相等的。
为什么会有这样神奇的结论呢？我们来一起探究一下。
为了更好地理解，我们可以假设梯形的上底是 a，下底是 b，高是 h。
那么梯形的面积就可以表示为（a ＋ b）× h ÷ 2。
三角形 ABD 的面积是 b × h ÷ 2，三角形 ACD 的面积是 a × h ÷ 2。
因为三角形 ABD 和三角形 ACD 都共用了三角形 AOD 上面的那个顶点，并且它们的底边分别是梯形的上底和下底，高都是梯形的高。
所以，三角形 ABD 的面积减去三角形 AOD 的面积，就等于三角形ACD 的面积减去三角形 AOD 的面积。
这也就意味着三角形 AOB 的面积等于三角形 DOC 的面积。
是不是觉得有点神奇？在实际的解题中，蝴蝶定理可是非常有用的。
比如说，当我们知道了梯形中一部分三角形的面积，就可以通过蝴蝶定理快速求出其他三角形的面积。
举个例子，如果在一个梯形中，三角形AOD 的面积是6 平方厘米，三角形 BOC 的面积是 8 平方厘米，并且上底是 4 厘米，下底是 6 厘米，求梯形的面积。
首先，根据蝴蝶定理，我们知道三角形 AOD 和三角形 BOC 的面积乘积等于三角形 AOB 和三角形 DOC 的面积乘积。
因为三角形 AOD 的面积是 6 平方厘米，三角形 BOC 的面积是 8 平方厘米，所以三角形 AOB 和三角形 DOC 的面积乘积就是 6×8 ＝ 48 平方厘米。
蝴蝶定理
蝴蝶定理:这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学刊》1944年2月号，由于其几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以此命名。
蝴蝶定理Butterfly Theorem 蝴蝶原理XM=MY W.G.霍纳1815年定义蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”，不为中点时满足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。
[1-2]蝴蝶定理的证明验证编辑方法一证：过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，SL，ST，容易证明△ESD∽△CSF，蝴蝶定理的证明图∴ES/CS=ED/FC，根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2，∴ES/CS=EL/CT，又∵∠E=∠C，∴△ESL∽△CST，∴∠SLN=∠STM，∵S是AB的中点所以OS⊥AB，∴∠OSN=∠OLN=90°，取OM中点X，在Rt△MTO和△OSM中，TX=OX=MX=SX，∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）。
同理，O，T，M，S四点共圆，∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON，∴∠SON=∠SOM，∵OS⊥AB，∴MS=NS。
证毕。
方法二从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。
类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y''。
蝴蝶定理的证明（证明过程见图片）证明方法二3推广编辑该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。
1.在椭圆中椭圆中的蝴蝶定理如图一，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M(o，r)（b>r>0）。
（I）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率（II）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2>0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4>0）。
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几何之蝴蝶定理
一、 基本知识点
定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b
定理2：等分点结论( 鸟头定理)
如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的
20
3
4153=
⨯
定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)
1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4
上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积
2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）
梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)
1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2
上、下部分的面积比等于上、下边的平方比
2）左、右部分的面积相等
3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2
∶ab ∶ab
4）S 的对应份数为（a+b ）2
定理4：相似三角形性质
C
F
E
A
D
B
C
B
E
F
D
A
1）
H
h
C c B b A a ===
2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2
定理5：燕尾定理
S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC
S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC
S △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB
二、 例题分析
例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？
例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，1
4
CF CA =，求三角形DEF 的面积.
例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=
1
3
AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角
形ABC 的面积.
例4、例1 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）
例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）
例6、如下图，图中BO=2DO ，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？
例7、（小数报竞赛活动试题）
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面
积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
例8、如图：在梯形ABCD 中，三角形AOD 的面积为9平方厘米，三角形BOC 的面积为25平方厘米，求梯形ABCD 的面积。
25
9O D
C
B
A
例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）
四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O （如图）所示。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的
1
3
，且 2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
D
A
O
C
例10、左下图所示的ABCD 的边BC 长10cm ，直角三角形BCE 的直角边EC 长8cm ，已知
两块阴影部分的面积和比△EFG 的面积大10cm 2
，求CF 的长。
例11、长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 边上的任一点。
求图中阴影部分的面积是多少？
例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部
分的面积。
例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三角形BDF的面积。
例14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？
例15、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且ADG
∆的面积比EFG
∆的面积大6平方厘米。
?
的面积是多少平方厘米
ABC
∆
A
B C
D E
F
G
三、练习题
1、如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？
2、如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4 cm2，△CED的面积是
6cm 2。
问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？
3、如右图BE=
3
1BC ，CD=4
1
AC ，那么三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的______.
D
E
C
B
A
5、如图所示，已知ABCD 是长方形，AE : ED = CF : FD = 1 : 2，三角形DEF 的面积是16平方厘米，求三角形ABE 的面积是多少平方厘米？
6、 如右图，ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，己知三角面积如下图所示(单位：平方
厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米。
7、正方形ABFD 的面积为100平方厘米，直角三角形ABC 的面积，比直角三角形（CDE 的面积大30平方厘米，求DE 的长是多少？
8、 已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，ABC ∆的面积是
42
2cm ，P 是BC 上任意一点，P 到
AB ,AC 的距离是,x y ，那么x y +
= ；
9、如右图所示，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB ；延长BC 至E ，使CE=2BC ；延长CA 至F ，使AF=3AC ，求三角形DEF 的面积。
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2
16
8D
B
A。