有限体 具两元元素的群

Example GF(7)
Inverse of 550 in GFห้องสมุดไป่ตู้1759)
4.5多項式運算
一般多項式運算 係數取p的同餘之多項式運算 (係數屬於Zp) 係數屬於Zp, 並取多項式m(x)的同餘之多項 式運算, m(x) 的最高次方為某整數n

一般多項式運算

eg
let f(x) = x3 + x2 + 2 and g(x) = x2 – x + 1 f(x) + g(x) = x3 + 2x2 – x + 3 f(x) – g(x) = x3 + x + 1 f(x) x g(x) = x5 + 3x2 – 2x + 2

b整除 a b|a b為a的因數
4.3 EUCLID 演算法

求兩正整數的最大公因素(g.c.d) 輾轉相除法 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

a = kb+r r mod b a mod b = r

Ex. gcd(55,22)
4.4 有限體 GF(p)

Galois fields


GF(p) 為一整數集合 Zp ={0,1, … , p–1} a finite field 乘法反元素 w–1(multiplicative inverses) wZp, w 0, zZp , s.t. wz 1 (mod p) w–1 = z
GF(p)求乘法反元素

係數屬於Zp之多項式運算

modulo any prime We are most interested in mod 2
ie all coefficients are 0 or 1 eg. let f(x) = x3 + x2 and g(x) = x2 + x + 1 f(x) + g(x) = x3 + x + 1 f(x) g(x) = x5 + x2
多項式最大公因式GCD
EUCLID[a(x), b(x)] 1. A(x) = a(x); B(x) = b(x) 2. if B(x) = 0 return A(x) = gcd[a(x), b(x)] 3. R(x) = A(x) mod B(x) 4. A(x) ¨ B(x) 5. B(x) ¨ R(x) 6. goto 2



若gcd(m,b)=1 在取同餘m的情況下,b會 有乘法反元素 即正整數b<m, b–1 <m, s.t. bb–1 1 (mod m) 求乘法反元素利用EUCLID 演算法擴充
擴充EUCLID 演算法

EXTENDED EUCLID(m, b)
1. (A1, A2, A3)=(1, 0, m); (B1, B2, B3)=(0, 1, b) 2. if B3 = 0 return A3 = gcd(m, b); no inverse 3. if B3 = 1 return B3 = gcd(m, b); B2 = b–1 mod m 4. Q = A3 div B3 5. (T1, T2, T3)=(A1 – Q B1, A2 – Q B2, A3 – Q B3) 6. (A1, A2, A3)=(B1, B2, B3) 7. (B1, B2, B3)=(T1, T2, T3) 8. goto 2
群,環,體關係

圖4-1
4.2 同餘運算(modular arithmetic)


a=qn+r, 0r<n; q= a/n 若(a mod n) = (b mod n) => a, b同餘 (congruent modulo n) 除數 :If b0, a=mb, a,b,m Z =>
環(Ring)

Ring, {R,+,} 一具有兩個二元運算的元素集合(加法與乘法) 加法(addition)

交換群(an abelian group) A1~A5 M1.乘法封閉性 (closure): a,bR a bR M2.乘法結合性 (associative law): (ab)c=a(bc) M3.分配律 a(b+c)= ab+ac & (a+b)c= ac+bc

乘法(multiplication)


交換環(commutative ring)

M4.乘法交換性 a b=b a
整數域(Integral domain)

交換環(commutative ring) M5.乘法單位元素: a R,1R s.t. a1=1a=a 0不可為除數: a,b R and ab=0 a=0 or b=0 Ex.

S=Z+Z{0} {S,+,} is integral domain.
體(Field)

Field, {F,+,} 一具有兩個二元運算的元素集合(加法與 乘法),若a,b,c F遵守:

A1~M6, 即F為整數域 M7 乘法反元素: a F\{0}, a-1 F s.t. aa-1 =(a-1)a =1

Modular Polynomial Arithmetic

polynomial:



f(x) = q(x) g(x) + r(x) can interpret r(x) as being a remainder r(x) = f(x) mod g(x) 若無餘式(r(x) =0) => g(x) 整除 f(x) ( g(x)|f(x) ) 若 f(x) 無法表成兩個多項式的乘積 => 不可 分解(irreducible) or 質數(prime)多項式

if A5. 交換性 commutative ab=ba 交換群 (abelian group)
循環群(Cyclic Group)



引用群運算方式,定義成群的指數運算 (exponentiation) ex.: a3=aaa 單位元素 (identity): e=a0 a group G is cyclic if G中的每一元素都可 表示成ak 對於某個固定元素 aG, 其中 kZ a 是G的產生器(generator)
Chapter 4 有限體
群(Group)

Group, {G,} 具二元運算的元素集合 (a,b) 運算遵守:

A1. 封閉性 (closure): a,bG abG A2. 結合性 (associative law): (ab)c=a(bc) A3. 單位元素 (identity) e: ea=ae=a A4. 反元素 (inverses) a-1: aa-1=e