〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(理)高考仿真模拟试题及答案解析一
2018届高三普通高校统一招生考试仿真卷(一)数学(理)试卷(含答案)
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（一）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合M N =I （ ） A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,02．若复数2i 1i z ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（为虚数单位），则z =（ ） A ． B ．C ．12D ．2 3．如图所示的阴影部分是由轴及曲线sin y x =围成，在矩形区域OABC 内随机取一点，班级 姓名 准考证号 考场号 座位号则该点取自阴影部分的概率是（）A．2πB．12C．1πD．3π4．已知()cos2cos2ααπ⎛⎫+=π-⎪⎝⎭，则tan4απ⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．4-B．C．13-D．135．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A．2 B．422+C．42+D．42+6．已知实数，y满足2210x yxy+-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，若z x my=+的最大值为10，则m=（）A．B．C．D．7．已知()201720162018201721f x x x x=++++L，下列程序框图设计的是求()0f x的值，在“ ”中应填的执行语句是（）开始i =1,n =2018结束i ≤2017？是否输入x 0S =2018输出SS =Sx 0S =S+ni =i +1A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+8．若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．()0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞9．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B，当P ，A ，B不共线时，PAB △面积的最大值是（ ） A ．B CD 10．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率e =，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOF OAF ∠=∠，AOF △的面积为，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213612x y -=B ．221186x y -=C ．22193x y -=D ．2213x y -=11．设锐角ABC △的三个内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，2A C =，则ABC △周长的取值范围为（ ） A．(0,2B ．(0,3C ．(2+D ．(2+12．若关于的方程e 0e exx xx m x ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，e 2.71828=L 为自然对数的底数，则3122312111e e e x x x xx x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．1 B ． C ．1m - D ．1m +第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(二)数学(理)试题含答案
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（二）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
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第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1z的共轭复数为（）AB C D2．若双曲线221yxm-=的一个焦点为()3,0-，则m=（）A．B．C．D．643()fx）ABC D4．函数()12xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,x∈+∞的值域为D，在区间()1,2-上随机取一个数x，则x D∈的概率是（）A．12B．13C．14D．15．记()()()()72701272111x a a x a x a x-=+++++⋅⋅⋅++，则012a a a+++6a⋅⋅⋅+的值为（）A．1 B．2 C．129 D．21886．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．163C．203D．87．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（）A ．一鹿、三分鹿之一B．一鹿C．三分鹿之二D．三分鹿之一8）A．B．C．D．9．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（）A ．12B ．18C ．120D ．12510．当实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p ，而由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为（ ）A ．12B ．23C ．35D ．4311．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）AB1- C1D12．已知函数()e e x x f x -=+（其中是自然对数的底数），若当0x >时，()e 1x mf x m -+-≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十一)答案
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十一)答案1．B 【解析】由题意知z =2i 1ii 1i i i+++==-，故选B ． 2．C 【解析】易知B ={−2，−1，0，1，2}，又{|0}A x x =≥，则A ∩B ={0，1，2}，故选C ． 3．B 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由13S =1137()1321322a a a +⨯⨯==182，解得7a =14，所以9112a a -=2(7a +2d )−(7a +4d )=7a =14，选B ．4．C 【解析】由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y =x 并平移，知当直线过点B 时，z 取得最大值，由210280-+=⎧⎨+-=⎩x y x y ，得B(3，2)，故z 的最大值为1，故选C ．5．B 【解析】圆2220+-=x y y 可化为22(1)1+-=x y ，故圆心坐标为(0，1)，又弦AB的中点坐标为13(,)22-，故弦AB 的垂直平分线的斜率为−1，故所求直线方程为x +y −1=0．6．D 【解析】从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02．7．C 【解析】 通解 由11(1)+=+n x n，得1ln (1)ln(1)=++x n n ，由1(1)=+ny n，得1ln ln(1)=+y n n l ，则ln 1ln +=x n y n ，又11(1)11(1)+++==+n n x n n y n n，因而ln =y y， ln ln =x y y x ，即x y =y x ，故选C ． 优解 11(1)+=+n x n=11()++n n n ，1(1)=+n y n =1()+nn n， yx =1(1)()1()++⨯+n n n n n n =11()1()++⨯+n n n nn n=x y ，故选C ． 8．A 【解析】由22,0()ln ,0⎧-+⎪=⎨>⎪⎩≤x x x f x x x x，作出函数|()|=y f x 的大致图象如图所示，当0>x时，2ln 1ln ()()-''==x x f x x x ，令()0'=f x ，得=x e，此时1|()|=f e e，|()|f x 在(e ，+∞)上单调递减，1|()|()<=f x f e e，且当x 趋近于+∞时，|()|f x 趋近于0，数形结合知，满足|()|f x =a 有4个解时，a 的取值范围为(0，1e)．9．B 【解析】 由()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，知其最小正周期为π，因而2ω=；()f x 的最大值为()6πf ，因而sin()13πϕ+=，又||2πϕ<，所以6πϕ=，()sin(2)6π=+f x x ．由26π+x =k π(k ∈Z )得122ππ=-+k x (k ∈Z )，因而(712π，0)不是函数()f x 的图象的对称中心，由262ππ+=x +k π(k ∈Z )，得62ππ=+k x (k ∈Z )，因而76π=x 是函数()f x 的图象的对称轴；由2π+2k π≤3262ππ+≤x +2k π(k ∈Z )，得6π+k π≤x ≤23π+k π(k ∈Z )，所以函数()f x 在[6π，23π]上单调递减．故选B ．10．D 【解析】解法一 设00(,)P x y (00>x )，由题意知1||||=PO OF ，因而22200+=x y c ，又2112= PQ F F ，所以02=c x ，则22034=c y ．又00(,)P x y 在双曲线上，因而22144-=a b，得1=e ，故选D ．解法二如图，由题意知12||||||==PO OF OF ，则12∆PF F 为直角三角形，又2112=PQ F F ，所以∠POy =30°，则∠12PF F =30°，1||=PF ，2||=PF c ，2-=c a ，因而离心率1=e ，故选D ．11．B 【解析】如图，由题意知当平面ABD ⊥平面BCD 时，三棱锥A −BCD 的体积最大，此时BC 为三棱锥A −BCD 的外接球中小圆1O 的直径，作小圆1O 的另一条直径DE ，则AD ⊥DE ，连接EA ，则EA 为外接球的直径，2223=+=EA DE AD ，即外接球的半径为2，其体积34()322π=⨯=V ，故选B ．12．C 【解析】由题意可构造函数2()(1)()ϕ=-x x f x ，则2()2(1)()(1)()ϕ''=-+-x x f x x f x(1)[2()(1)()]'=-+-x f x x f x ，当1<x 时，()ϕ'x >0，因而()ϕx 在(−∞，1)上为增函数，由于函数()f x ，2(1)=-y x 的图象关于直线x =1对称，因而()ϕx 在(1，+∞)上为减函数，则不等式2(2017)(2018)(2)++>x f x f 化为(2018)(2)ϕϕ+>x ， 因而|20181|1+-<x ，解得−2 018<x <−2 016，故选C ．13．30【解析】6(+ax的展开式的通项为1+r T =66C ()-⋅r r r ax =36626C --r r ra x ， 当3632-=r 时，2=r ，此时246C 60=a ，解得22=a ， 而当3602-=r 时，4=r ，则常数项为426C 30=a ．14．[1，3]【解析】通解 由题意知∠DAB =45°，且| AB |=1，设|PD |=x ，则0≤x ≤1，=+ AP AD PD ，=+=+BP BC CP AD CP ，因而2()()⋅=--⋅--=+⋅+⋅+⋅ PA PB AD DP AD CP AD AD CP AD DP DP CP−x )cos 135°cos 45°−x (1−x )=2x +x +1=213()24++x ∈[1，3]． 优解以B 为坐标原点，AB 及BD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知B (0，0)，A (−1，0)，设P (x ，1)，其中0≤x ≤1，则⋅ P A P B =(−1−x ，−1)·(−x ，−1)=2x +x +1=213()24++x ∈[1，3]． 15．4π+8【解析】由三视图，可得该几何体为一棱长为2的正方体切掉两个底面半径为1，高为2的二分之一圆柱后剩余的部分，因而其侧面积为S =2π×1×2+2×2×2=4π+8． 16．[−5，−3]【解析】若55=c a ，则55>a b ，则前面不会有{}n b 的项，∵{}n b 单调递增，{}n a 单调递减，∴i b (i =1,2,3,4)<5b <5a <i a (i =1,2,3,4)，∴55>a b ，即025>+k ，得4<-k ，∴当n ≥6时，必有≠n n c a ，即=n n c b ，此时应有65≥b a ，即6+k ≥1，得k ≥−5， ∴−5≤k <−4．若55=c b ，则55≥b a ，同理，前面不能有{}n b 的项，即454>≥a b b ，∵{}n a 单调递减，{}n b 单调递增，∴当n ≥6时，55>>≥n n b b a a ，∴当n ≥6时，=n n c b ．由55≥b a ，即5+k ≥1，得k ≥−4，由45≥a b ，即2≥5+k ，得k ≤−3，∴−4≤k ≤−3．综上得，−5≤k ≤−3，即实数k 的取值范围是[−5，−3]． 17．【解析】(1)222cos cos +=+-A C b a c a c b ，可化为222cos cos +=+-c A a C bac a c b ， 由余弦定理得，222cos cos +=+-c A a C bac a c b ，即2cos (cos cos )+=B c A a C b （2分）由正弦定理得，2cos (sin cos sin cos )sin +=B C A A C B ， ∴2cos sin()sin +=B A C B ．（4分）在∆ABC 中，sin()sin +=A C B 且sin 0≠B ， ∴1cos 2=B ，∴B =60°， 又A +B +C =180°，∴A +C =2B ，因而A ，B ，C 成等差数列．（6分）(2)1sin 2∆===ABC S ac B ，因而6=ac ．（8分） 又222222cos 6=+-=+-=≥b a c ac B a c ac ac ， 当且仅当a =c 时取等号，因而b ，此时a =c ，∆ABC 为正三角形．（12分）18．【解析】(1)每名同学的不同选报方法有3种，因而4名同学的不同选报方法总数为43，记“甲、乙2名同学都选报A 专业”为事件M ，不同的选报方法数为23，则所求概率为P (M )=243139=．（4分）(2) 甲、乙2名同学没有选报同一专业，则不同的选报方法总数为223A 354⨯=．（6分） (i)记“这3个专业恰有1个专业没人选报”为事件N ，其选报方法数为223A 224⨯=，则所求概率为P (N )=244549=．（8分） (ii)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P (ξ=0)=222A 245427⨯=，P (ξ=1)=1312222C 2C A 24549⨯+⨯=， P (ξ=2)=221122222C A C C 21543+⨯=， P (ξ=3)=12C 225427⨯=， 因而ξ的分布列为Eξ=0×427+1×49+2×3+3×27=3，（11分）Dξ=2222444441422(0)(1)(2)(3)32739333273-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=．（12分）19．【解析】(1)由题意知，EC ⊥BC ，FC ⊥DC ．∵折起后E 、F 重合于点P ，∴PC ⊥BC ，PC ⊥DC ，又BC ∩DC =C ， ∴PC ⊥平面ABCD ．∵BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC ．（2分）又在四边形ABCD 中，∠BAC =∠DAC ，AB =AD ，∴BD ⊥AC ，又AC ∩PC =C ， ∴BD ⊥平面P AC ，又BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面P AC ．（6分）(2)由(1) 知PC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0，0，0)， B (−12，0)，−12，0)，A (0，−2，0)，M (0，−1，从而BD0，0)， MD=(2，12，−2)． 设平面MBD 的法向量为m =(x ，y ，z )，（8分）则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ BD MD m m，即010222=+-=⎪⎩x y z ，则x =0，令y =3，则z故m =(0，3为平面MBD 的一个法向量．（10分）又BA ⊥平面PBC ，因而平面PBC 的一个法向量为 BA−32，0)．∴cos<m ， BA >=||⋅⋅BABA m |m |=−34， 设平面PBC 与平面MBD 所成的二面角为θ， ∴sin θ=4，即平面PBC 与平面MBD所成二面角的正弦值为4．（12分） 20．【解析】(1)2=p， 由椭圆的对称性，知E 为椭圆的右焦点，连接MF ， 由椭圆的定义知|MF |+|ME |=4，则|MF |=4−7533=．（2分） 设(,)M M M x y ，过点M 作准线的垂线，垂足为H ， 由抛物线的定义知|MF |=|MH |=53，因而==M y ，43=-M x p ，代入22214+=x y b中，得2248193+=p b2=p 联立， 得p =2，2b =3，所以椭圆的方程为22143+=x y ，抛物线的方程为24=-y x ．（6分） (2)由(1)知E (1，0)，若直线l 的斜率存在，设直线方程为(1)=-y k x ，由22143(1)⎧+=⎪⎨⎪=-⎩x y y k x 得2222(34)84120+-+-=k x k x k ． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，∴1x +2x =22834+k k，1x ·2x =2241234-+k k ．（8分） 假设点N 存在，其坐标为(m ，0)，其中− 2≤m ≤2，1122(,)(,)⋅=-⋅-NA NB x m y x m y =1212()()(1)(1)-⋅-+-⋅-x m x m k x k x = 22221212(1)()()+-++++k x x m k x x m k=222222224128(1)()3434-+-+++++k k k m k m k k k=2222(485)31234--+-+m m k m k ．若⋅ NA NB 为定值，则满足2248531243---=m m m ，得118=m ，定值为13564-．（10分） 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不妨设其与椭圆22143+=x y 的交点为A (1，32)，B (1，−32)，又N (118，0)， 则⋅ NA NB =(−38，32)·(−38，−32)=13564-．（11分）综上，在椭圆的长轴上存在点N (118，0)，使得⋅ NA NB =13564-，为定值．（12分）21．【解析】(1)由题意得()'f x =(1ln )+m x ，令()'f x =0，得1=x e．（2分）当m >0时，在(0，1e)上，()'f x <0，则()f x 单调递减，在(1e，+∞)上，()'f x >0，则()f x 单调递增；当m <0时，在(0，1e)上，()'f x >0，则()f x 单调递增，在(1e，+∞)上，()'f x <0，则()f x 单调递减．（4分）综上，当m >0时，()f x 的单调递减区间为(0，1e )，单调递增区间为(1e，+∞)；当m <0时，()f x 的单调递减区间是(1e ，+∞)，单调递增区间是(0，1e)．（5分） (2)原问题等价于当x ∈(0，2]时，min max ()()>f x g x ， 当m >0时，由(1)知min 111()()ln1==++mf x f m e e e e=1． 2()2(2)'=+=+ax ax ax g x xe ax e x ax e ．(i)当a ≥0时，()'g x >0，即()g x 在(0，2]上单调递增， 因而2()(2)41=>≤a g x g e ，不合题意．（7分） (ii)当a <0时，由()'g x =0，得2=-x a， 若−2a≥2，即−1≤a <0，()'g x ≥0在(0，2]上恒成立，因而()g x 在(0，2]上单调递增， 2()(2)4=≤a g x g e ，由241<a e ，得a <−ln 2，因而−1≤a <−ln 2．（9分） 若−2a <2，即a <−1，()g x 在(0，−2a ]上单调递增，在(−2a，2]上单调递减， 因而()g x ≤g(−2a )=224-e a ，由224-e a<1，得a <−2e ，由于−2e>−1，所以a <−1． （11分）综上所述，实数a 的取值范围为(−∞，−ln 2)．（12分）22．【解析】(1)由题意，知圆C 的直径为|AB |=2，圆心的直角坐标为C ，12)，极坐标为C (1，6π)，且圆C 过点O ．设圆C 上任意一点Q 的极坐标为Q (ρ，θ)，如图，连接QC ，OC ，OQ ，则∠COQ =θ−6π．解法一 在△OCQ 中，222||||||2||||cos()6πθ=+--QC OQ OC OQ OC ，即2112cos()6πρρθ=+--，化为2cos()6πρθ=-，即圆C 的极坐标方程为2cos()6πρθ=-．解法二 延长OC 交圆C 于点D ，连接DQ ，在Rt △ODQ 中，2cos()6πρθ=-，即圆C 的极坐标方程为2cos()6πρθ=-．（5分）(2)解法一 因为直线l 与圆C 过原点O 的切线m 垂直，所以直线l 的倾斜角为6π，又直线l 过P (0，−1)，故可设直线l的参数方程为112⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩x y t (t 为参数)，将(1)中圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为220+-=x y y ，与直线l 的参数方程联立，得22311(1)(1)04222+-+--+=t t t ，即2320-+=t t ． 设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则1t =1，2t =2或1t =2，2t =1， 则|MN |= |1t −2t |=1．解法二 因为直线l 与圆C 过原点O 的切线垂直，所以直线l 的倾斜角为6π，斜率为l 过P (0，−1)，故直线l的方程为1=-y x−3y −3=0．圆心C12)到直线l的距离==d ，所以|MN．（10分） 23．【解析】设()|1||2|=+--f x x x ，则()f x =3,121,123,2-⎧⎪--<<⎨⎪⎩≤-≥x x x x ，∴()f x 的最大值为3．∵对任意实数x ，|x +1|−|2−x |≤a 都成立，即()f x ≤a ， ∴a ≥3．设()h x =|x +1|+|2−x |=21,13,1221,2-+-⎧⎪-<<⎨⎪-⎩≤≥x x x x x ，11 则()h x 的最小值为3．∵对任意实数x ，|x +1|+|2−x |≥a 都成立， 即()h x ≥a ，∴a ≤3．∴a =3．(2)由(1)知a =3．221222++-+≥m n a m mn n ∵2221122()()2()+-=-+-+-+-m n m n m n m mn n m n ， 且m >n >0， ∴21()()()-+-+-m n m n m n ≥=3，∴221222++-+≥m n a m mn n ．。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(15)答案
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十五)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．已知1i 1imn =+-，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则i m n +在复平面内对应的点到坐标原点的距离为A B ．3 C D ．52．已知全集U = R ，集合2{20}A x x x =-≥,22{log (1)}B x y x ==-，则()U A B =ð A ．[1,2) B ．(1,2) C ．(1,2] D ．(),1[0,2]-∞- 3．已知命题2:,580p x x x ∀∈++>R ，则p ⌝为A ．2,580x x x ∀∈++<RB ．2000,580x x x ∃∈++R ≤ C ．2000,58<0x x x ∃∈++R D ．2,580x x x ∀∈++R ≤ 4．某学校为了提高学生的安全意识，防止安全事故的发生，拟在未来连续7天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天中恰好有2天连续的概率是 A ．221 B ．27 C ．37 D ．475．已知有限等差数列{}n a 共9项，其中前4项的和为3，后3项的和为4，则第5项为 A ．6766 B ．4744 C ．3733D ．16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设7()4a f =-，9()5b f =-，4()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <c <b 7．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为A ．38log 8-B ．39log 8-C ．38log 40-D ．310log 40-8．设函数())+cos(2+)f x x x ϕϕ=+π()2ϕ<的图象关于直线0x =对称，则()y f x =在π3π[,]48上的值域为 A．[ B ．[2,0]- C．( D ．(2,0)-9．已知实数x ，y 满足约束条件22441x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩≥2≤≥，向量(,)x y =a ，(3,1)=-b ，设z 表示向量a 在向量b 方向上的投影，则z 的取值范围是A ．3[,6]2- B ．[1,6]- C．[ D．[ 10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体中任意两个顶点间距离的最大值为AB ．5 C． D．11．已知双曲线2222: 1 (0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，22(0)AF F B λλ=>，其中A B 、为双曲线右支上的两点．若在△1AF B 中，190F AB ∠=︒，1F B ，则双曲线Γ的离心率的平方的值为A ．5+B ．5-C ．6D ．612．已知函数21(0) ()(2)1(0)x x f x f x x ⎧-=⎨-+>⎩≤，把函数1()()2g x f x x =-的零点中的偶数按从小到大的顺序排列成一个数列{}n a ，该数列的前n 项和为n S ，则10S = A ．40 B ．50 C ．90 D ．110 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知抛物线26y x =上的一点到焦点的距离是到y 轴距离的2倍，则该点的横坐标为 ． 14．已知5(1)ax +的展开式中3x 的系数与43()5x x+的展开式中第三项的系数相等，则a = ． 15．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是 ． 16．设函数()e (0,0)mf x x x m x=+≠≠在1x =处的切线与(e 1)20160x y --+=平行， ()ln 1kf s t t +≥在(0,),(1,e]s t ∈+∞∈上恒成立，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足12a =，前n 项和为n S ，若* 2(1)()n n S a n =-∈N ． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设22212(log )(log )n n n b a a +=-，若n n n c a b =，求{}n c 的前n 项和n T ． 18．(本小题满分12分)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD = DC = CB = 1，∠ABC =60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF =1．MFEDCBA(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为θ(90θ︒≤)，试求cos θ的取值范围． 19．(本小题满分12分)随着人们的生活水平的提高，越来越多的人重视自身健康，除了加强身体锻炼，也会购买保健品服用．某保健品公司为了解某城市市民的年龄构成，按1%的比例从年龄在20～80岁（含20岁和80岁）之间的市民中随机抽取600人进行调查，并将年龄按[20,30)，[30,40)，[40 ,50)，[50 ,60)，[60 ,70)，[70,80]进行分组，绘制成频率分布直方图，如图所示．规定年龄在 [20，40)岁的人为“青年人”，[40，60）岁的人为“中年人”，[60，80]岁的人为“老年人”．(l)根据频率分布直方图估计该城市60岁以上（含60岁）的人数，若每一组中的数据用该组区间的中点值来代表，试估算所调查的600人的平均年龄；(2)将上述人口分布的频率视为该城市年龄在2080岁的人口分布的概率，从该城市年龄在2080岁的市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．20．(本小题满分12分)已知直线:l y x =圆22:4O x y +=，椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b+=>>的离心率e =，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)已知动直线1l (斜率存在)与椭圆E 交于P ，Q 两个不同的点，且△OPQ 的面积1OPQ S ∆=，若N 为线段PQ 的中点，问：在x 轴上是否存在两个不同的定点A ，B ，使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值？若存在，求出A ，B 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．(本小题满分12分)已知函数21()ln ,() (0)2f x xg x ax bx a ==+≠．(1)若当2a =-时，函数()()()h x f x g x =-在其定义域上是增函数，若函数2()e e ,[0,ln 2]x x x b x ϕ=+∈，求函数()x ϕ的最小值；(2)设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线，分别交1C 、2C 于点M 、N ,则是否存在点R ,使1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线平行？若存在，求出点R 的横坐标；若不存在，请说明理由．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P 的直角坐标为3(3,)2--，曲线C 的极坐标方程为5ρ=，直线l 过点P 且与曲线C相交于A 、B 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若8AB =，求直线l 的直角坐标方程． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知函数2()f x ax x a =+-的定义域为[]1,1- (1)若(0)(1)f f =，解不等式3()14f x ax -<+；(2)若1a ≤，求证：5()4f x ≤．2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十五)答案1．C 【解析】通解 由已知可得(1i)(1i)(1)(1)i m n n n =+-=++-，因为,m n 是实数，所以101n n m -=⎧⎨+=⎩，故21m n =⎧⎨=⎩，即i 2i m n +=+，i m n +在复平面内对应的点为(2,1)，其到坐标C ．优解 2(1i)i 1i 1i 221i m m m m n +==+=+--，故122mm n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21m n =⎧⎨=⎩， 故i 2i m n +=+．i m n +在复平面内对应的点为(2,1)故选C ．2．B 【解析】由已知得(,0][2,)A =-∞+∞，(0,2)U A ∴=ð，又(,1)(1,)B =-∞-+∞，()(1,2)U A B ∴=ð，故选B ．3．B 【解析】由全称命题的否定为特称命题可知，命题2:,580p x x x ∀∈++>R 的否定为：20,580x x x ∃∈++R ≤，故选B ．4．D 【解析】连续7天中随机选择3天，有3735C =种情况，其中恰好有2天连续，有4+3+3+3+3+4=20种情况，所以所求的概率为204357=，故选D ． 5．A 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意可知111434 3 29865(9)(6)422a d a a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⨯⎪+-+=⎪⎩，解得1137,2266a d ==，5137674226666a ∴=+⨯=，故选A ． 6．B 【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(,0]-∞上单调递增，()f x ∴在[0,)+∞ 上单调递减，且77()()44a f f =-=，99()()55b f f =-=，又4()3c f =，且4790345<<<，c a b >>，故选B ． 7．B 【解析】运行该程序，13π10sin log 1112S =++=，2n =；113311sin πlog 211log 2S =++=+，3n =；1113333π11log 2sinlog 310log 62S =+++=+，4n =； 1111333310log 6sin 2πlog 410log 249log 8S =+++=+=+，5n =，故输出的39log 8S =-，故选B ．8．A 【解析】由题意得函数π()2sin(2)6f x x ϕ=++，因为其图象关于直线0x =对称，所以ππ20π ()62k k ϕ⨯++=+∈Z ，即ππ ()3k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π3ϕ=，ππ()2sin(2)2cos263f x x x =++=．当π3π44x ≤≤时，π3π224x ≤≤，所以()y f x =在π3π[,]48上的值域为[．9．C 【解析】由题意作出222441x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩≥≤≥，所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，向量a 在向量b方向上的投影)||z x y ⋅==-a b b ，由可行域知，(,)(2,0)x y ==a 时，向量a 在向量b=；当1(,3)2=a 时，向量a 在向量b方向上的投影最小，且最小值为=，所以z的取值范围是[．=210．D 【解析】由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，其中AD，AB ，AG 两两垂直，平面AEFG ⊥平面ABCE ，BC ∥AE ∥GF ，3AB AD AG BCGF =====，1DE =，根据几何体的结构特征可得AC AF ==，GC BF ==，5CE BE =，BG CF ==4AE =，EF =CE =体中任意两个顶点间距离的最大值为G FEDCB A11．B 【解析】∵22(0)AF F B λλ=>，故2,,A F B 三点共线．在1AF B ∆中，190F AB ∠=，1|||F B AB =，故1AF B ∆是等腰直角三角形．设2||AF m =，由122AF AF a -=，得12||2||2AF a AF a m =+=+，又1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+，∴2||2BF a =， 又122BF BF a -=，∴1||4BF a =，依题意11|||BF AF ，即4)a a m +，1)m a =，在12Rt F AF ∆中，22212||||4AF AF c +=，即22282)4a a c +-=，即2225c a =-，∴25e =- 12．C 【解析】当0x ≤时，1()212x g x x =--，其零点为0和-1．当02x <≤时，有220x -<-≤，则2()(2)12x f x f x -=-+=， 当24x <≤时，有022x <-≤，则4()(2)121x f x f x -=-+=+ 当46x <≤时，有224x <-≤，则6()(2)122x f x f x -=-+=+ 当68x <≤时，有426x <-≤，则8()(2)123x f x f x -=-+=+ 以此类推当222n x n <+≤()n N ∈时，22()(2)12x n f x f x n --=-+=+．结合函数图象可知方程1()02f x x -=在(0,2]，(2,4]，(4,6]，…，(2,22]n n +上的根依次为2，4，6，…，2n +2．即函数1()()2g x f x x =-的零点中的偶数按从小到大的顺序排列成的数列为0，2，4，6，…，2n +2，其通项公式为22n a n =-，前n 项和为(22)(1)2n n n S n n -==-，所以1090S =，C 正确． 13．32【解析】设该点的横坐标为0x ，则由抛物线的定义得00322x x +=，解得032x =．14．35【解析】5(1)ax +=5(1)ax +的展开式的通项为155()k k k k k k T C ax C a x +==，令3k =，则3x 的系数为333510C a a =，同理43()5x x +的展开式正第三项的系数为224354()525C ⨯=，所以3541025a =，35a =．15．1，故三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边长等于所以这个三棱柱的表面积等于132232⨯+⨯⨯=16．]+∞【解析】由题意可得´()e e 1f x m =-=-，所以1m =， 当(0,)s ∈+∞，(1,e]t ∈时，()0,()ln 10f s g t t t >=+>， 由()ln 1kf s t t +≥可得ln 1()t t k f s +≥在(0,)s ∈+∞，(1,e]t ∈上恒成立， 即max ln 1]()t t k f s +≥[， 故只需求出()f x 在(0,)+∞上的最小值和()g x 在(1,e]上的最大值即可， 由1()e f x x x =+可得2221e 1´()e x f x x x -=-=．由´()0f x >可得x >或x <，由´()0f x <可得0x <<或0x <<，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，在(上单调递减，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为f = 由()ln 1g x x x =+可得´()ln 10g x x =+>在(1,e]上恒成立，所以()g x 在(1,e]上的最大值为(e)eln e 1e 1g =+=+，所以k =所以实数k 的取值范围是]+∞． 17．【解析】(1)由条件可知，当2n ≥时，112()n n n n n a S S a a --=-=-，即12n n a a -=，又12a =， （2分）{}n a ∴是首项为2，公比为2的等比数列，2n n a ∴=． （5分）(2)由(1)可知22(1)21n b n n n =+-=+，则(21)2n n c n =+⨯， （6分）23252(21)2n n T n ∴=⨯+⨯+++⨯①，23123252(21)2n n T n +∴=⨯+⨯+++⨯②， （9分）①-②可得123114(12)62(222)(21)262(21)212n n n n n T n n -++--=++++-+⨯=+⨯-+⨯-1(21)22n n +=-+⨯-，1(21)22n n T n +∴=-⨯+． （12分）18．【解析】(1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ,1AD DC CB === ,∠ABC =60°,∴2AB =，∴2222cos 603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=,∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥． （3分）又平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE 平面ABCD =AC ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACFE ． （5分）(2)由(1)知,可分别以CA ,CB ,CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令FM =λ(0≤λ，则C (0,0,0)，A，B (0,1,0)，M (λ,0,1)， ∴ AB,1,0)，BM =(λ, ‒1,1)． （6分） 设1n =(x ,y ,z )为平面MAB 的法向量， 由110AB BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取x =1，则1n‒λ)为平面MAB 的一个法向量，（8分） 易知 n 2=(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量, ∴ cos θ=1212|||⋅==⋅n n |n n （10分）∵0≤λ∴当λ=0时，cos θ， 当λ时，cos θ有最大值12，∴cos θ∈1]2． （12分）19．【解析】 (1)由频率分布直方图可知60岁以上（含60岁）的频率为(0.0l+0.01)×10=0.2，故样本中60岁以上（含60岁）的人数为600×0.2=120，故该城市60岁以上（含60岁）的人数为120÷1% =12000． （4分） 所调查的600人的平均年龄为25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）． （6分） (2)通解 由频率分布直方图知，“老年人”所占的频率为15，所以从该城市年龄在20~80岁的市民中随机抽取1人,，抽到“老年人”的概率为15，分析可知X 的所有可能取值为0,1,2,3,P (X =0)=00331464()()55125C =，P (X =1)=11231448()()55125C =，P (X =2)= 22131412()()55125C =， P (X =3)= 3303141()()55125C =．（10分） 所以X 的分布列为EX =0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35．（12分）优解 由题意知每次抽到“老年人”的概率都是15，且X ~B (3,15)，P (X =k )=3311()(1)55k k k C --，k =0,1,2,3,所以X 的分布列为故EX =3×15=35． （12分）20．【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ==l 被圆O 截得的弦长为2，所以1b =， （2分）221,4,1e b a b =∴==， ∴椭圆E 的方程为2214x y +=． （4分）(2)设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线1l 的方程为y kx m =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得222(14)8440k x kmx m +++-=，则判别式 222(8)4(14)(44)0km k m ∆=-+->，2214m k ∴<+．2121222844,1414km m x x x x k k -+=-=++，12PQ x x =-=， （6分）原点O 到直线1l的距离1d =则1112OPQS PQ d ∆=⋅==，2214m k ∴+，令214k n +=，则2m n ，22n m ∴=，22142k m +=．N 为PQ 的中点，1224214N x x km x k +∴==-+，122214Ny y my k +==+， 22142k m +=，2N k x m ∴=-，12N y m=，22212N N x y ∴+=． （9分）假设在x 轴上存在两个不同的定点(,0),(,0)()A s B t s t ≠满足题意，则直线NA 的斜率1N N y k x s =-，直线NB 的斜率2N N yk x t=-， 222122212112()()24()()N N N N N N N N N x y x k k x s x t x s t x st x s t x st--∴==⋅=-⋅---++-++． 当且仅当0s t +=，2st =-时，1214k k =-，则s t ==s t ==综上所述，存在两个不同的定点A，(B或(A，B ，使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值． （12分）21．【解析】(1)依题意2()ln h x x x bx =+-．()h x 在其定义域(0,)+∞上的增函数，1´()20h x x b x ∴=+-≥在(0,)+∞上恒成立，12b x x∴+≤在(0,)+∞上恒成立． 0x >，12x x ∴+≥12x x=，即x 时等号成立． ∴b的取值范围为(-∞． （2分）设xt e =，则函数()x ϕ可化为2y t bt =+，[1,2]t ∈，即22()24b b y t =+-，∴当12b-≤，即2b -≤≤2y t bt =+在[1,2]上为增函数，当1t =时，函数2y t bt =+取得最小值，且min 1y b =+ 当122b<-<，即42b -<<-时，当2b t =-时，函数2y t bt =+取得最小值，且2min 4b y =-当22b-≥，即4b -≤时，函数2y t bt =+在[1,2]上为减函数，当2t =时，函数2y t bt =+ 取得最小值，且min 42y b =+．综上所述，当2b -≤≤()x ϕ的最小值为1b +； 当42b -<<-时，()x ϕ的最小值是24b -；当4b -≤时，()x ϕ的最小值是42b +． （6分） (2)设点P 、Q 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，且120x x <<， 则点M 、N 的横坐标均为122x x x +=． 曲线1C 在点M 处的切线的斜率1122k x x =+，曲线2C 在点N 处的切线的斜率122()2a x x kb +=+， 假设曲线1C 在点M 处的切线与曲线2C 在点N 处的切线平行，则12k k =， 即122x x =+12()2a x xb ++， 则22212121122()()()2x x a x x b x x x x --=+-+=222211()()22a ax bx x bx +-+=22121211()()()()ln ln lnx g x g x f x f x x x x -=-=-=， ∴22211211212(1)2()ln 1x x x x x x x x x --==++． （9分）设211x u x =>，则2(1)ln ,11u u u u-=>+ ① 令2(1)()ln ,11u r u u u u-=->+，则22214(1)()(1)(1)u r u u u u u -'=-=++． ∵1u >，∴()0r u '>，∴()r u 在(1,)+∞上单调递增，故()0r u >， 则2(1)ln 1u u u ->+，这与①矛盾，故假设不成立， 故不存在点R ，使曲线1C 在点M 处的切线与曲线2C 在点N 处的切线平行． （12分） 22．【解析】(1)由2525ρρ=⇒=，得2225x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为2225x y +=． （4分） (2)设直线l 的参数方程为3cos 3sin 2x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），① 将参数方程①代入圆的方程2225x y +=，得2412(2cos sin )550,t t αα-+-= （6分）216[9(2cos sin )55]0αα∴∆=++>，上述方程有两个相异的实数根，设1t 、2t ，128AB t t ∴=-=化简有23cos 4sin cos 0ααα+=，解得cos 0α=或3tan 4α=-，从而可得直线l 的直角坐标方程为30x +=或34150x y ++=． （10分） 23．【解析】(1)(0)(1)f f =，即1a a a -=+-，则1a =-，2()1f x x x ∴=-++∴不等式化为234x x x -+<-+， （2分） ①当1<x -≤0时，不等式化为234x x x -<-+，0x <<；②当01x ≤≤时，不等式化为234x x x -+<-+，102x ∴<≤．综上，原不等式的解集为1{}2x x <<． （6分）(2)由已知[1,1]x ∈-，1x ∴≤，又1a ≤，则22222155()(1)(1)11()244f x a x x a x x x x x x x x =-+-++-+=-+=--+≤≤≤．（10分）。
2018年高考理科数学模拟试卷(共三套)(含答案)
2018年高考理科数学模拟试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48 B．36 C．30 D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A． B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A． B．C．D．12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2） D．（1，﹣2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为人．14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为．15．计算=（用数字作答）16．已知f（x）=，若f （x﹣1）＜f（2x+1），则x的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．18．云南省20XX年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．（1）求证：AM⊥SD；（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率等于，P 是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9•=1．（1）求椭圆E的方程；（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．21．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=e x﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=ln（e x+x3﹣1）﹣lnx，若∀x＞0，f（g（x））＜f（x），求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．==（﹣1）r x10﹣2r，4．解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．故答案为：325．14．解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|=，∵|AB|≥|CD|，∴≥•，即b≥c，则b2=c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，则e2=≥，则e≥．故答案为：[，+∞）．15．解：由===．故答案为：．16．解：∵已知f（x）=，∴满足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上单调递增．若f（x﹣1）＜f（2x+1），则|x﹣1|＜|2x+1|，∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，故答案为：{x|x＞0，或x＜﹣2}．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）∵当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2，∴a n=，n≥2，∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）=2S n2，∴S n﹣S n﹣1=2S n S n﹣1，∴﹣2，n≥2，∴数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣，∵a1=S1=1，∴a n=，（2）设f（n）=，则==＞1，∴f（n）在n∈N*上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，∵f（n）min=f（1）=，∴0＜k≤18．解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，乙校的合格率P2==96%．可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X0123PE（X）=0+1×+2×+3×=．19．证明：（1）∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC，∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，∴SM⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴SM⊥AM，∵底面ABCD是矩形，M是BC的中点，AB=1，BC=2，∴AM2=BM2==，AD=2，∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，∵SD⊂平面DMS，∴AM⊥SD．解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设SM=t，则M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），A（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，t，0），=（﹣1，0，1），=（0，t，0），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，0），设平面MAS的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设二面角B﹣SA﹣M的平面角为θ，∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，∴sinθ=，cosθ==，∴cosθ===，解得t=，∵SM⊥平面ABCD，SM=，∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V S﹣=== ABCD．20．解：（1）由题意可知：设题意的方程：（a＞b＞0），e==，则c=a，设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，则m+n=2a，线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，则n2+（2c）2=m2，9m•n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=，解得：a=3，c=，则b==1，∴椭圆标准方程：；（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，∴直线l的斜率存在．设直线l：y=kx+m，则由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0∵l与椭圆交于不同的两点M，N，∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=﹣=﹣，∴m=②把②代入①式中得（）2﹣（k2+9）＜0∴k＞或k＜﹣，∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）．21．解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，f′（x）=e x﹣e，可得f′（1）=0，故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣1；（2）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（3）设F（x）=e x﹣x﹣1，则F′（x）=e x﹣1，∵x=0时，F′（x）=0，x＞0时，F′（x）＞0，∴F（x）在[0，+∞）递增，∴x＞0时，F（x）＞F（0），化简得：e x﹣1＞x，∴x＞0时，e x+x3﹣1＞x，设h（x）=xe x﹣e x﹣x3+1，则h′（x）=x（e x﹣ex），设H（x）=e x﹣ex，H′（x）=e x﹣e，由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）＞0，x＜1时，H′（x）＜0，∴x＞0时，H（x）的最小值是H（1），x＞0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，化简得e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，x＜e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，lnx＜ln（e x+x3﹣1）＜lnx+x，即0＜ln（e x+x3﹣1）﹣lnx＜x，即x＞0时，0＜g（x）＜x，当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，得f（g（x））＜f（x）满足条件，当a＞1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，∴0＜x≤lna时，f（g（x））＞f（x），与已知∀x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，综上，a的范围是（﹣∞，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数），普通方程为2x+y﹣6=0，极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，曲线C的极坐标方程为ρ=，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲线C 的普通方程为=1；（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，当sin（θ+45°）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．2018年高考理科数学模拟试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（∁R A）∩B 等于（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜3}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx 4．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，4]5．已知角α是第二象限角，直线2x+（t anα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A． B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．27．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）A．﹣112 B．112 C．56 D．﹣568．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3 C．2D．9．记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x ﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A．m e=m0=B．m e=m0＜C．m e＜m0＜D．m0＜m e＜11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20 D．4612．函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（）A．是奇函数 B．为f（x）的一个对称中心C．f（x）在上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．15．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2则θ的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6=51，a5=13．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的通项公式是b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．19．在三棱椎A﹣BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2，在底面BCD内作CE ⊥CD，且CE=．（1）求证：CE∥平面ABD；（2）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）．（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间[a，b]；（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC 的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos （θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．2．解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜3}，∴（C R A）∩B={x|x≤﹣2或x≥1}∩{x|﹣2＜x＜3}={x|1≤x＜3}．故选：A．3．解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．4．解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：D．5．解：由题意得：k=﹣=，故tanα=﹣，故cosα=﹣，故选：D．6．解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：=（﹣2）r C8r x4﹣r，7．解：（﹣）8的展开式的通项为T r+1令4﹣r=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣2）2C82=112，故选：B．8．解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨•丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．9．解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，∴=，∴（﹣ax2）=，∴a=﹣，故选：B．10．解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数m e=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜m e＜，故选：D．11．解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．12．解：把函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=2sin（2x++φ+π）=﹣2sin（2x++φ）的图象，再根据所得关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x++φ）=2cos2x．由于f（x+）=2cos（2x+）=﹣sin2x是奇函数，故A正确；当x=时，f（x）=0，故（，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确；在上，2x∈（﹣，﹣），f（x）没有单调性，故C不正确；在（0，）上，2x∈（0，π），f（x）单调递减，故D正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y 轴上的截距最小，z有最大值为6．故答案为：6．14．解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：15．解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b ＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴，∴2b=a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3，∴c2+4=9，∴c=，∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为﹣x2=1．故答案为：﹣x2=1．16．解：由|+|=2，|﹣|=2，可得：+2=12，﹣2=4，∴=8≥2，=2，∴cosθ=≥．∴θ∈．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则∵S6=51，∴×（a1+a6）=51，∴a1+a6=17，∴a2+a5=17，∵a5=13，∴a2=4，∴d=3，∴a n=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；（2）b n==﹣2•8n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n==（8n﹣1）．18．解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A．∴第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，∴第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，∴P（A）=×=．（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．∴X的可能取值为3，5，6，7，∴P（X=3）=×=，P（X=5）=×+×=，P（X=6）=×+×=，P（X=7）=×=，∴X的分布列为：X3567P数学期望EX=3×+5×+6×+7×=．19．（1）证明：∵BD=CD=2，BC=4，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，∵CE⊥CD，∴CE∥BD，又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CE∥平面ABD；（2）解：如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，由题意AD=DC=2，∴Rt△ADC中，AC=4，设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2，设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，连接BG，在△BCE中，∵BC=4，CE=，∠BCE=135°，∴BE=，在Rt△DCE中，DE==，于是在Rt△ADE中，AE==3，在△ABE中，BG2=AB2+BE2﹣AE2=，∴在△BFG中，cos∠BFG==﹣，∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为﹣．20．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．21．（1）证明：令f′（x）=0，得mx2﹣（m+2）x+1=0．（*）因为△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b （a＜b）．因为m≥1，所以a+b=＞0，ab=＞0，所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]．故函数f（x）存在单调递减区间；（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=﹣x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．显然x=1是该方程的一个根．令g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=．当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C 有且只有一个公共点．[选修4-1：几何证明选讲]22．解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD•DC=AD•DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得a=3 或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]24．解：（1）当a=2时，，由于f（x）≥2，则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤；②当1≤x≤1时，1≥2，无解；③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．2018年高考理科数学模拟试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i（i为虚数单位），则z=（）A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4]D．（2，4]3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgD．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小4．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n（n，m∈N*）且a1=5，则a8=（）+mA．40 B．35 C．12 D．55．设a=（），b=（），c=ln，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣38．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（）A．94.20元 B．240.00元C．282.60元D．376.80元9．当函数f（x）=sinx+cosx﹣t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（）A．B． C． D．2π10．有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（）A．B．C．D．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（）A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣e，e）C．（﹣1，1）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=．14．有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）．15．若等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=．16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos（A+）=．（1）求角A的大小；（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆12345借（还）书等待时间T1（分钟）频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆12345借（还）书等待时间T2（分钟）频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B ﹣DE﹣F的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（ii）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵z（1﹣i）2=1+i，∴，故选：C．2．解：集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}={x|1≤x ≤4}=[1，4]；B={y|y=3x+2，x∈R}={y|y＞2}=（2，+∞），则A∩B=（2，4]．故选：D．3．解：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故B，C，D正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故A 不正确．故选：A．4．解：数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，则S n+1=S n+S1=S n+5．可得a n+1=5．则a8=5．故选：D．5．解：b=（）=＞（）=a＞1，c=ln＜1，∴b＞a＞c．故选：B．6．解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，故选：D．7．解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2），若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．故选：A．8．解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造成本约为=×240≈282.60元．故选：C．9．解：f（x）=2sin（x+）﹣t，令f（x）=0得sin（x+）=，做出y=sin（x+）在[0，2π]上的函数图象如图所示：∵f（x）在[0，2π]上恰好有3个零点，∴=sin=，解方程sin（x+）=得x=0或x=2π或x=．∴三个零点之和为0+2π+=．故选：B．10．解：由题意得：p===，故选：B．11．C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是z=0.4x+0.3y由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，由可得A（50，100），此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，故选：C．12．解：函数f（x）为“复合5解“，∴f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），∴f（t）=2，∵当x＞0时，f（x）=，∴f（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（1）=1，∴t≥1，∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，∴t≥3∵f（3）=＞2，∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，则•=﹣•=﹣||•||•cosA=﹣5×8×=﹣32．14．解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④15．解：∵等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，∴=2，解得a1=．∴a n==．∴=．则++…+=3×==1﹣．故答案为：1﹣．16．解：由题意，可得A（，），AB⊥BF，∴（，﹣1）•（，﹣1）=0，∴﹣+1=0，∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin（A﹣）﹣cos（A+）=sin（A﹣）﹣cos（2π﹣A）=sin（A﹣）﹣cos（A+）=sinA﹣cosA﹣cosA﹣sinA=即cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，由正弦定理，得b2=2c2，即．a=，cosA==，解得：c=1，b=∴△ABC的面积S=bcsinA=．18．解：（1）根据已知可得T1的分布列：T1（分钟）12345P0.30.20.10.10.3T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．T2（分钟）12345P0.20.10.4 0.250.05T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．。
〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(理)第一次高考模拟试题及答案解析一
2018年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={x|﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|2≤x＜4} C．{x|x＜0或x＞2} D．{x|x≤0或x≥2}2．在复平面内，复数z=的共轭复数对应的点所在的象限（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知x＞0，则“a=4“是“x+≥4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，若输出的n=6，则输入整数p的最小值是．（）A．17 B．16 C．18 D．195．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为（）A．6 B．12 C．24 D．606．已知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（+）•=0，则双曲线的离心率e为（）A．2 B．3 C．D．7．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为（）A．B．C．D．8．有以下命题：①命题“∃x∈R，x2﹣x﹣2≥0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x﹣2＜0”；②已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79）则P（ξ≤﹣2）=0.21；③函数f（x）=﹣（）x的零点在区间（，）内；其中正确的命题的个数为（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个9．已知函数y=f（x）定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时xf′（x）＜﹣f（x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（），b=f（1），c=﹣2f（log2），则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b10．已知实数x，y满足：，则使等式（t+2）x+（t﹣1）y+2t+4=0成立的t取值范围为（）A．[﹣，）B．（﹣∞，﹣]∪（﹣，+∞）C．[﹣，1）D．[﹣，1）11．已知四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，又AB=3，BC=2，BD=4，且∠CBD=60°，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．25π12．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=dx，则二项式（ax2﹣）6展开式中的常数项为．14．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E 五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A=120°，b=1，且△ABC的面积为，则= ．16．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣3，﹣1）∪（1，2），则关于x的不等式+＜0的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．在等比数列{a n}中，a3=，S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=log2，且{b n}为递增数列，若C n=，求证：C1+C2+C3+…C n＜．18．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：，，f3（x）=2，，，f6（x）=xcosx．（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．19．已知某几何体直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（Ⅰ）求证：BN⊥平面C1B1N；（Ⅱ）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值；（Ⅲ）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1并求的值．20．定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．21．对于函数y=f（x）的定义域为D，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当f（x）的定义域为[m，n]时，值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的“Z区间”．对于函数f（x）=（a＞0）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在（e，1﹣e）处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）存在“Z区间”，求a的取值范围．选做题：（考生从以下三题中选做一题）选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB 的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．选修4-4：坐标系与参数方程．23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．选修4-5：不等式选讲．24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣5|，x∈R．（1）求不等式f（x）≤2x的解集；（2）如果关于x的不等式log a2＜f（x）在R上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={x|﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|2≤x＜4} C．{x|x＜0或x＞2} D．{x|x≤0或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】集合A为绝对值不等式的解集，由绝对值的意义解出，求出其和集合B的交集，求出后进行集合的运算即可．【解答】解：A=[0，2]，B=[﹣1，2]，所以A∩B=[0，2]=A，∁R（A∩B）{x|x＜0或x＞2}，故选：C．【点评】本题考查对集合的认识以及集合的基本运算，属基本题．2．在复平面内，复数z=的共轭复数对应的点所在的象限（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；规律型；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的除法化简复数，求出对应点的坐标，即可判断选项．【解答】解：复数z===﹣1﹣2i．复数z=的共轭复数对应的点（﹣1，2），所在的象限是第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数的几何意义，复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．已知x＞0，则“a=4“是“x+≥4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】结合基本不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若a=4，则根据基本不等式的性质可知x+=x+≥2=4，当且仅当x=，即x=2时取等号，即充分性成立．若a=16，x+=x+≥2=8，当且仅当x=，即x=4时取等号，此时满足x+≥4成立，但a=4不成立，即必要性不成立，故“a=4“是“x+≥4”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键．4．执行如图所示的程序框图，若输出的n=6，则输入整数p的最小值是．（）A．17 B．16 C．18 D．19【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算累加器S≥p时的n值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n循环前/0 1第一圈是 1 2第二圈是 3 3第三圈是7 4第四圈是15 5第五圈是31 6第六圈否故当S值不大于16时继续循环，故p的最小整数值为16．故选：B【点评】处理此类问题时，一定要注意多写几步，从中观察得出答案；本题若将n=n+1与S=S+2n ﹣1的位置调换一下，则情况又如何呢？同学们可以考虑一下．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为（）A．6 B．12 C．24 D．60【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a4+a6+a8+a10+a12=120，∴5a1+35d=120，解得a1+7d=24，∴2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=24．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．已知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（+）•=0，则双曲线的离心率e为（）A．2 B．3 C．D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先画出图形，如图，设OF的中点为C，则+=，由题意得AC⊥OF，根据三角形的性质可得AC=AF，又AF=OF，从而得出△AOF是正三角形，即双曲线的渐近线的倾斜角为60°，得出a，b的关系式，即可求出双曲线的离心率e．【解答】解：如图，设OF的中点为C，则+=，由题意得，•=0，∴AC⊥OF，∴AO=AF，又c=OF，OA：y=，A的横坐标等于C的横坐标，所以A（，），且AO=，AO2=，所以a=b，则双曲线的离心率e为=．故选C．【点评】本题给出以双曲线右焦点F为圆心的圆过坐标原点，在已知若（+）•=0的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．7．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为（0，0）圆心到直线y=k（x+3）的距离为要使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交，则＜1，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为=．故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．8．有以下命题：①命题“∃x∈R，x2﹣x﹣2≥0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x﹣2＜0”；②已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79）则P（ξ≤﹣2）=0.21；③函数f（x）=﹣（）x的零点在区间（，）内；其中正确的命题的个数为（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】①根据特称命题的否定进行判断；②根据正态分布的定义和性质判断；③利用根的存在性判断．【解答】解：①根据特称命题的否定是全称命题知：命题“存在x∈R，使x2﹣x﹣2≥0”的否定是：“对任意的x∈R，都有x2﹣x﹣2＜0”；所以正确．②因为正态分布的对称轴为x=1，所以P（ξ≤﹣2）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4）=1﹣0.79=0.21，所以正确．③因为f （）＜0，f （）＞0，所以根据根的存在性定理可知，正确． 故选A ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，综合性较强，涉及的知识点较多．9．已知函数y=f （x ）定义在实数集R 上的奇函数，且当x ∈（﹣∞，0）时xf ′（x ）＜﹣f （x ）成立（其中f ′（x ）是f （x ）的导函数），若a=f （），b=f （1），c=﹣2f （log 2），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】由f （x ）为奇函数得到f （﹣x ）=﹣f （x ），有xf ′（x ）+f （x ）＜0，由导数的积的运算得到[xf （x ）]′＜0，令F （x ）=xf （x ），则F （x ）为偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，由c=﹣2f （﹣2）=2f （2）=g （2），a=f （）=g （），b=f （1）=g （1），即可得到所求大小关系．【解答】解：当x ∈（﹣∞，0）时，xf ′（x ）＜﹣f （x ）， 即xf ′（x ）+f （x ）＜0， ∴[xf （x ）]′＜0， ∴令F （x ）=xf （x ），由函数y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， 则F （x ）为偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数， 由c=﹣2f （log 2）=﹣2f （﹣2）=2f （2）=g （2），a=f （）=g （），b=f （1）=g （1），由1＜＜2，可得b ＜a ＜c ．故选：A ．【点评】本题主要考查函数的性质及应用，考查奇偶函数的定义及应用，函数的单调性及应用，以及应用导数的运算法则构造函数的能力，是函数的综合题．10．已知实数x，y满足：，则使等式（t+2）x+（t﹣1）y+2t+4=0成立的t取值范围为（）A．[﹣，）B．（﹣∞，﹣]∪（﹣，+∞）C．[﹣，1）D．[﹣，1）【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；数形结合；转化思想；不等式．【分析】由题意作平面区域，从而化简可得t==1﹣，而几何意义是点A（﹣2，0）与阴影内的点的连线的斜率，从而结合图象解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，∵（t+2）x+（t﹣1）y+2t+4=0，∴t（x+y+2）+2x﹣y+4=0，∴t==1﹣，几何意义是点A（﹣2，0）与阴影内的点的连线的斜率，而k AB==，k AC==1，故≤＜1，故＜≤，故﹣≤1﹣＜﹣，故选：A．【点评】本题考查了数形结合的思想应用，同时考查了转化的思想应用，关键在于化简得到t=1﹣．11．已知四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，又AB=3，BC=2，BD=4，且∠CBD=60°，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．25π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；转化思想；综合法；球．【分析】由余弦定理求出CD=2，以AB、BC、CD、AB为长方体的长、宽、高构造长方体AGHF﹣BCDF，球O的半径R=，由此能求出球O的表面积．【解答】解：∵四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，又AB=3，BC=2，BD=4，且∠CBD=60°，∴CD==2，∴BC2+CD2=BD2，∴AB⊥平面BCD，BC⊥CD，∴以AB、BC、CD、AB为长方体的长、宽、高构造长方体AGHF﹣BCDF，则球O的半径R===，∴球O的表面积S=4=25π．故选：D．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．12．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】建立坐标系可得=（λ﹣μ，μ），A，B选项可举反例说明，通过P的位置的讨论，结合不等式的性质可得0≤λ+μ≤3，进而可判C，D的正误，进而可得答案．【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（﹣1，1），故=（1，0），=（﹣1，1），所以=（λ﹣μ，μ），当λ=μ=1时，=（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，但P不是BC的中点，故A错误；当λ=1，μ=0时，=（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，当λ=，μ=时，=（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，故满足λ+μ=1的点不唯一，故B错误；当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．故选C【点评】本题考查向量加减的几何意义，涉及分类讨论以及反例的方法，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=dx，则二项式（ax2﹣）6展开式中的常数项为15 ．【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】先利用定积分求出a的值，再利用二项展开式的通项公式求出展开式中的常数项．【解答】解：a=dx=lnx=2﹣1=1，则二项式（ax2﹣）6 =（x2﹣）6 的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x12﹣3r，令12﹣3r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为=15，故答案为：15．【点评】本题主要考查定积分的计算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E 五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有45 种．【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；整体思想；分析法；排列组合．【分析】设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，一一列举，根据分步计算原理可得．【解答】解：设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，则有BADC，CADB，DABC，BDAC，CDAB，DCAB，BCDA，DCBA，CDBA共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有5×9=45种，故答案为：45．【点评】本题考查错位排序法，需要分类讨论，列举要不重不漏，属于中档题．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A=120°，b=1，且△ABC的面积为，则= 2．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】先利用面积公式，求出边a=4，再利用正弦定理求解比值．【解答】解：由题意，=×c×1×sin120°∴c=4，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×（﹣）=21．∴a=∴==2．故答案为：2．【点评】本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解．16．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣3，﹣1）∪（1，2），则关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1）．【考点】类比推理．【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】观察发现ax2+bx+c＞0将x换成﹣x得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0，则解集也相应变化，﹣x∈（﹣1，2），则x∈（﹣2，1），不等式+＜0可看成前者不等式中的x用代入可得，分析可得答案．【解答】解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），发现﹣x∈（﹣1，2），则x∈（﹣2，1）若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣3，﹣1）∪（1，2），则关于x的不等式+＜0可看成前者不等式中的x用代入可得，则∈（﹣3，﹣1）∪（1，2），∴x∈（﹣1，﹣）∪（，1），故答案为：（﹣1，﹣）∪（，1）．【点评】本题考查了类比推理，通过已知条件发现规律，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．在等比数列{a n }中，a 3=，S 3=． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记b n =log 2，且{b n }为递增数列，若C n =，求证：C 1+C 2+C 3+…C n ＜．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】分类讨论；作差法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）讨论q=1，q ≠1，由等比数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到q ，和a 1，进而得到通项公式；（Ⅱ）由对数的运算性质，求得b n =2n ，化C n ===（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，预计不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）∵a 3=，S 3=，∴当q=1时，S 3=3a 1=，满足条件，∴q=1．当q ≠1时，a1q2=， =，解得a 1=6，q=﹣．综上可得：a n =或a n =6•（﹣）n ﹣1；（Ⅱ）证明：由题意可得b n =log 2=log 2=log 222n =2n ，则C n ===（﹣），即有C 1+C 2+C 3+…C n =（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=﹣＜．故原不等式成立．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、前n 项和公式，考查了分类讨论方法、和不等式的证明，注意运用裂项相消求和和不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．18．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：，，f3（x）=2，，，f6（x）=xcosx．（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数，先求出基本事件总数为，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，再求出满足条件的基本事件个数为，由此能求出结果．（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．分别求出对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）为奇函数；为偶函数；f3（x）=2为偶函数；为奇函数；为偶函数；f6（x）=xcosx为奇函数…所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；故基本事件总数为满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为故所求概率为．…（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．…，；故ξ的分布列为ξ 1 2 3 4P…．∴ξ的数学期望为．…【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型．解题时要注意排列组合和概率知识的合理运用．19．已知某几何体直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（Ⅰ）求证：BN⊥平面C1B1N；（Ⅱ）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值；（Ⅲ）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1并求的值．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角．【专题】计算题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BN ⊥平面C1B1N．（Ⅱ）求出平面NCB1的一个法向量，利用向量法能求出sinθ．（Ⅲ）设P（0，0，a）为BC上一点，利用向是琺能求出当PB=时，MP∥平面CNB1及此时的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两垂直．…以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则N（2，2，0），B1（0，4，0），C1（0，4，2），C（0，0，2），∵=4﹣4+0=0，=0，∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1，∵B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1B1N．解：（Ⅱ）设=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，则，取x=1，得=（1，1，2），∵=（2，﹣2，﹣2），∴sinθ===．（Ⅲ）∵M（1，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则=（﹣1，0，a），∵MP∥平面CNB1，∴，=﹣1+2a=0，解得a=，又PM⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB1，∴当PB=时，MP∥平面CNB1，∴=．…【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】综合题．【分析】（1）设A（x1，0），B（0，y1），M（x，y），则，由此能求出点M的轨迹C的方程．（2）设满足条件的点D（0，m），设l的方程为：，代入椭圆方程，得，设，．由以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，知，由此能导出存在满足条件的点D．【解答】解：（1）设A（x1，0），B（0，y1），M（x，y）则，|AB|=3==1（2）存在满足条件的D点．设满足条件的点D（0，m），则，设l的方程为：y=kx+，（k≠0），代入椭圆方程，得（k2+4）x2+2kx﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，∴y1+y2=k（x1+x2）+2．∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，∴，=，的方向向量为（1，k），=0，∴﹣﹣2mk=0即m=∵k2＞0，∴m=，∴0＜m＜，∴存在满足条件的点D．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．21．对于函数y=f（x）的定义域为D，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当f（x）的定义域为[m，n]时，值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的“Z区间”．对于函数f（x）=（a＞0）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在（e，1﹣e）处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）存在“Z区间”，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；分类讨论；分类法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）若a=1，则f（x）=lnx﹣x，f′（x）=，求出切线斜率，代入点斜式方程，可得答案；（Ⅱ）结合函数f（x）存在“Z区间”的定义，分类讨论满足条件的a的取值范围，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）若a=1，x=e，则f（x）=lnx﹣x，f′（x）=，则切点坐标为（e，1﹣e），切线斜率k=f′（e）=﹣1，∴函数f（x）在（e，1﹣e）处的切线方程为y﹣（1﹣e）=（﹣1）（x﹣e），即（e﹣1）x+ey=0．（Ⅱ）∵f（x）=（a＞0）．∴f′（x）=（a＞0）．列表如下x （﹣∞，0）（0，a） a （a，+∞）f′（x）﹣﹣0 ﹣f（x）减增极大值减设函数f（x）存在“Z区间”是[m，n]，（1）当0＜m＜n时，由f′（x）≥0得：≥0，解得0＜x≤a，即0＜x≤a时函数f（x）为增函数，当x=n时，取得最大值，当x=m时，取最小值，即，即方程alnx﹣x=x有两个解，即方程a=有两个解，做出y=的图象，由图象以及函数的导数可知，当x＞1时，y=在x=e处取得最小值2e，在x=a时，y=，故方程a=有两个解，由a≤得：a≤e2，此时正数a的取值范围是（2e，e2]．由f′（x）＜0得：＜0，解得x＞a，即x＞a时，函数f（x）为单调减函数，则当x=m时，取得最大值，当x=n时，取得最小值，即，两式相减可得，alnm﹣alnn=0，即m=n，不符合；当x≤0时，函数f（x）为减函数，则当x=m时取最大值，当x=n时，取得最小值，即，两式相减，可以得到+=1，回代到方程组的第一个式子得到1﹣﹣a=n，整理得到1﹣﹣n=a，由图象可知，方程由两个解，则a∈（，1]，综上正数a的取值范围是（，1]∪（2e，e2]【点评】本题考查的知识点是曲线在某点处的切线方程，新定义，分类讨论思想，难度稍大，中档偏上．选做题：（考生从以下三题中选做一题）选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB 的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题；选作题；转化思想；综合法．【分析】（1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理证明DE2=DB•DA，即可求出DE．（2）求出BE=2，OE=1，利用勾股定理求CE的长．【解答】（1）证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（2）解：∵DF2=DB•DA，DB=2，DF=4．∴DA=8，从而AB=6，则OC=3．又由（1）可知，DE=DF=4，∴BE=2，OE=1．从而在Rt△COE中，．【点评】本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程．23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2=0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|=即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2=4x，得t+2=0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣6，t1t2=2．|AB|=|t1﹣t2|===8．【点评】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．选修4-5：不等式选讲．。
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学(一)(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（一）（解析版）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·晋城一模]已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2Nx y x y =-=，则集合MN =（ ）A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,0【答案】D 【解析】解方程组22x y x y +=-=⎧⎨⎩，得20x y =⎧⎨=⎩．故(){}2,0MN =．选D ．2．[2018·台州期末]（i 为虚数单位） ）A ．2B ．1C ．12D ．2【答案】C11i 22z ∴=-=，选C ．3．[2018·德州期末]如图所示的阴影部分是由x 轴及曲线sin y x=围成，在矩形区域O A B C 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）A ．2πB ．12C ．1πD ．3π【答案】A【解析】由题意，得矩形区域O A B C 的面积为1π1πS =⨯=，阴影部分的面积为O A B C 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为212πS P S ==．故选A ．4．[2018·滁州期末]）A ．4-B ．4C ．13-D ．13【答案】C 【解析】sin 2cos tan 2ααα-=-⇒=，C ．5．[2018·陕西一模]《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（ ）A ．2 B．4+C．4+D．4+【答案】C【解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几C ．6．[2018·天津期末]已知实数x ，y 满足2210x yx y +-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，若zx m y=+的最大值为10，则m=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】作出可行域，如图A B C △内部（含边界），其中()2,4A ，()2,1B ，()1,1C -，若A 是最优解，则2410m+=，2m=，检验符合题意；若B 是最优解，则210m+=，8m =，检验不符合题意，若8m =，则z 最大值为34；若C 是最优解，则110m-+=，11m =，检验不符合题意；所以2m =，故选B ．7．[2018·蚌埠一模]已知()201720162018201721f x xxx =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A ．2018ni=- B ．2017ni=- C ．2018ni=+D ．2017ni=+【答案】A 【解析】不妨设01x =，要计算()120182017201621f =+++++，开始i =1,n =2018结束i ≤2017？是否输入x 0S =2018输出SS =Sx 0S =S+ni =i +1首先201812018S =⨯=，下一个应该加2017，再接着是加2016，故应填2018n i=-．8．[2018·达州期末]若函数()24xf x a=--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．()0,+∞ C ．()3,4 D ．()3,+∞【答案】C【解析】如图，若()24xf x a=--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则()34a ∈，，故选C ．9．[2018·朝阳期末]阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k>且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 距离之P ，A ，B 不共线时，P A B △面积的最大值是（ ） A．BC3D3【答案】A【解析】如图，以经过A ，B 的直线为x 轴，线段A B 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；则：()10A -，，()10B ，，设()Px y ，，P A P B＝；∴，两边平方并整理得：()222261038x y x xy +-+=⇒-+=．∴P A B△面积的最大值是122⨯⨯=选A ．10．[2018·郴州一中]双曲线2222:1(0,0)x y Ca b ab-=>>的离心率3e =，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，A O FO A F∠=∠，A O F△的面积为，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213612xy-= B ．221186xy-= C ．22193xy-= D ．2213xy-=【答案】C【解析】由点A 所在的渐近线为0,b x a y-=三个该渐近线的倾斜角为α，则，A O F O A F∠=∠，所以直线A F的倾斜角为2α，2222ta n 2ta n 21ta n a b a bααα==--，与0b x a y-=联立解得122A O F a b S c a b c∴=⨯⨯==△，因为双曲线的离心率3e=b a∴=，与a b=联立得3a =，b =．故双曲线的方程为22193xy-=．故选C ．11．[2018·昆明一中]设锐角A B C △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且1c =，2A C=，则A B C △周长的取值范围为（ ）A ．(0,2+B ．(0,3+C ．(23++ D ．(23++【答案】C【解析】因为A B C △为锐角三角形，所以c o s 22C <<又因为2A C=，所以sin 2sin co s AC C=，又因为1c=，所以2co s a C=；由sin sin b c BC=，即2s in s in 34c o s 1s in s in c B C bC C C===-，所以24c o s 2c o s a b c C C++=+，令co s tC=，则(22t ∈⎭，又因为函数242yt t=+在(22⎭上单调递增，所以函数值域为(23++，故选：C ．12．[2018·济南期末]若关于x 的方程eeexxxx m x ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R，e2.71828=为自然对数的底数，则3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．eC ．1m-D ．1m+【答案】A 【解析】101t m t ++=+，()()2110t m t m ∴++++=，由韦达定理可得()1a b t t m +=-+，1a b t t m ⋅=+，()()3131131111x x x x t t e e ⎛⎫⎛⎫∴++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1313=+1=11+1=1t t t t m m ++-+++，乘可得：31223121111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为1，故选A ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(三)数学(理)试题含答案
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则A B =（ ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|12x x -<< C ．{}|02x x <<D ．{}|01x x <<2．设复数12i z =+（是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4- B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,43．()()6221x x -+的展开式中4x 的系数为（ ） A ．-160B ．320C ．480D ．6404．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．52π+B ．42π+C ．44π+D ．54π+5．过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：()2254x y ++=和圆2C ：()2225x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则r =（ ） A ．BCD ．6()f x 的最小正周期大于，则ω的取值范围为（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,2 C ．()1,2 D ．[)1,27．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为，，，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（） ABCD 8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据：sin150.2588≈，sin7.50.1305≈）A ．12B ．20C ．24D ．489．设π02x <<，则“2cos x x <”是“cos x x ＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）ABC ．19D11．已知()cos23,cos67AB =︒︒，()2cos68,2cos22BC =︒︒，则ABC △的面积为（ ） A ．2BC ．1D．212．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数均有()()()10x f x xf x '-+>成立，且()1e y f x =+-是奇函数，则不等式()e 0x xf x ->的解集是（ ） A ．(),e -∞B ．()e,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年高考数学(理科)模拟试卷一含答案解析.doc
2018年高考数学(理科)模拟试卷(一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016年四川)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是() A．6 B.5C．4D．31.B解析：由题意，A∩Z＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5.故选B.2．(2016年山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i,其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i2．B解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则2z＋z＝3a＋b i＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B.3．(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M1-1，该四棱锥最长棱的棱长为()图M1-1A．1 B.2 C.3D．23．C解析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，SA＝SC2＋AC2＝SC2＋AB2＋BC2＝3.故选C.图D1884．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A. B. C. D.4．C解析：f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为.进入循环体，a＝－，否，k＝1，a＝－2，否，k＝2，a＝1，ππππ6342π4 5．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n同时成立，则正整数n的最大值是() A．3B．4C．5D．65．B解析：因为[x]表示不超过x的最大整数．由[t]＝1，得1≤t<2，由[t2]＝2，得2≤t2<3.由[t3]＝3，得3≤t3<4.由[t4]＝4，得4≤t4<5.所以2≤t2<5.所以6≤t5<45.由[t5]＝5，得5≤t5<6，与6≤t5<45矛盾，故正整数n的最大值是4.6．(2016年北京)执行如图M1-2所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为()图M1-2A．1B．2C．3D．46．B解析：输入a＝1，则k＝0，b＝1；12此时a＝b＝1，输出k，则k＝2.故选B.7．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m＋n的值是()7．C解析：由题意，得＝88，n＝9.所以m＋n＝12.⎪⎩x≥0，图M1-3A．10B．11C．12D．1378＋88＋84＋86＋92＋90＋m＋957故选C.8．(2015年陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知分别生产1吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()项目A/吨B/吨甲31乙22原料限额128A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元8．D解析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，则利润z＝3x＋4y.⎧⎪3x＋2y≤12，由题意可得⎨x＋2y≤8，y≥0.其表示如图D189阴影部分区域：图D189当直线3x＋4y－z＝0过点A(2,3)时，z取得最大值，所以zmax＝3×2＋4×3＝18.故选D.9．(2016年新课标Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有() A．18个B．16个C．14个D．12个9．C解析：由题意，必有a1＝0，a8＝1，则具体的排法列表如下：10．(2016 年 天 津 )已知函数f(x)＝sin 2ω x ＋ sin ωx － (ω>0)，x ∈ ⎛ 1⎤ ⎛ 1⎤ ⎡5 ⎫ A. 0， ⎥ B. 0， ⎥∪⎢ ，1⎪ ⎛5⎤ ⎛ 1⎤ ⎡1 5⎤ C. 0， ⎥ D. 0， ⎥∪⎢ ， ⎥ 1－cos ω x sin ω x 1 2 ⎛ ⎛π ⎫ 10.D 解析：f(x)＝ ＋ － ＝ sin ω x － ⎪，f(x)＝0⇒sin ω x － ⎪ k π ＋⎛1 1⎫ ⎛5 5⎫ ⎛9 9⎫ ⎛1 1⎫ ⎛5 ⎫ ⎛ 1⎤ ⎡1 5⎤因此 ω ， ⎪∪ ， ⎪∪ ， ⎪∪…＝ ， ⎪∪ ，＋∞⎪⇒ω∈ 0， ⎥∪⎢ ， ⎥.故选4 ⎭ A ．3 B. C ．23 D. ∥PA ，所以 OE ⊥底面 ABCD ，则 O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即 O 为球心， PC ＝1 1 4 ⎛1 ⎫ 243π 7 PA2＋AC2＝ PA2＋8，所以由球的体积可得 π PA2＋8⎪3＝ ，解得 PA ＝ .故选1 12 2 2R.若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是()⎝ 8⎦ ⎝ 4⎦ ⎣8 ⎭⎝ 8⎦ ⎝ 8⎦ ⎣4 8⎦2 2 2 2 ⎝ ⎝ 4 ⎭ ＝0，π4所以 x ＝ (π，2π)，(k ∈Z)．ω⎝8 4⎭ ⎝8 4⎭ ⎝8 4⎭ ⎝8 4⎭ ⎝8 ⎭ ⎝ 8⎦ ⎣4 8⎦D.11．四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA底面ABCD ，AB ＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为⊥243π 16的同一球面上，则P A ＝()729211．B 解析：如图 D190，连接 AC ，BD 交于点 E ，取 PC 的中点 O ，连接 OE ，则 OE122 23 ⎝2 ⎭ 16 2B.12．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴两侧，若 OA ·OBA ．4 B. C. D. 10OA · OB ＝6，所以 x 1· x 2＋y 1· y 2＝6，从而(y 1· y 2)2＋y 1· y 2－6＝0，因为点 A ，B 位于 x 轴的两侧， 所以 y 1· y 2＝－3，故 m ＝3，不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y 1>0，又 F ，0⎪，所以 △S ABO ＋△S ⎝4⎭8 2 y1 2 8×3×(y 1－y 2)＋ × y 1＝ y 1＋，即 y 1＝ 时取等号，故其最小值为 .故选 B.|c|·|a| |c|·|b| 5a2 －y214．设F 是双曲线C ：x2b图D190→→＝6(O 为坐标原点△)，则 ABO 与△AOF 面积之和的最小值为()3 1317 2 2412．B 解析：设直线 AB 的方程为 x ＝ty ＋m ，点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线 AB 与 x轴的交点为 M (m,0)，将直线方程与抛物线方程联立，可得 y 2－ty －m ＝0，根据韦达定理有 y 1· y 2＝－m ，因为 →→⎛1 ⎫AFO 1 1 1 13 9 ＝2 2 4 8 2y1 ≥213 9 1 313 13y1 ·y1· · ＝ ，当且仅当 ＝9 6 13 3 132y1 13 2第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23 题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．13．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.13．2 解析：a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则 c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝ 5，|b |＝2 5，c·a c·b 5m ＋8a · c ＝5m ＋8，· c ＝8m ＋20.∵c 与 a 的夹角等于 c 与b 的夹角，∴ ＝ .∴8m ＋20 ＝ .解得 m ＝2.2 5b2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．16．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤ ”发生的概率为________．⎛π ⎫ ⎛5π ⎫ 6⎝ 6 ⎭ 1－0 ＋ π － ⎪ ⎪17．解：(1)设{a n }的公比为 q ，{b n }的公差为 d ，由题意知 q >0.由已知，有⎨c,2b )在双曲线上，有 － ＝1，则 e 2＝5，e ＝ 5. 11⎡ ⎤0，16.解析：由正弦函数的图象与性质知，当 x ∈⎢∪⎢ ，π ⎥时，sin x ≤ .⎥π 36 ⎦ ⎣ 6 ⎩14. 5 解析：根据双曲线的对称性，不妨设 F(c,0)，虚轴端点为(0，b )，从而可知点(－c2 4b2a2 b215．(2016 年北京)在(1－2x)6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)15．60 解析：根据二项展开的通项公式 T r ＋1＝C r6·(－2)r x r 可知，x 2 的系数为 C 26(－2)2＝60，故填 60.123⎣ ⎦ 2⎭ ⎝ 所以所求概率为 ＝ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分 )已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5 －3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．⎧⎪2q2－3d ＝2， ⎪q4－3d ＝10. 消去 d ，得 q 4－2q 2－8＝0.解得 q ＝2，d ＝2.所以{a n }的通项公式为 a n ＝2n －1，n ∈N *， {b n }的通项公式为 b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有 c n ＝(2n －1)2n －1，设{c n }的前 n 项和为 S n ， 则 S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n .两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3. 所以 S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.18．( 本 小 题 满 分 12 分 )(2014 年 大纲 )设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5,0.4，各人 是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．18．解：记 A 1 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备，i ＝0,1,2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备．(1)因为 P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i )＝C i2×0.52，i ＝0,1,2，∠P AB＝90°，BC＝CD＝AD，E为边AD的中点，异面直线P A与CD所成的角为90°.所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A·C＋B·A·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A)P(C)＋P(B)P(A)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.19．(本小题满分12分)(2016年四川)如图M1-4，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝12(1)在平面P AB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线P A与平面PCE所成角的正弦值．图M1-419．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形．所以CD∥EB.从而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)方法一，由已知，CD⊥P A，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA＝45°.所以AH＝.在△Rt P AH中，PH＝PA2＋AH2＝，所以sin∠APH＝＝.作Ay⊥AD，以A为原点，以AD，AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图D192所以PE＝(1,0，－2)，EC＝(1,1,0)，AP＝(0,0,2)PEEC→则sinα＝＝|n|·|AP|2×22＋－＋123所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.设BC＝1，则在Rt△P AD中，P A＝AD＝2.如图D191，过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知P A⊥平面ABCD，从而P A⊥CE.于是CE⊥平面P AH.所以平面PCE⊥平面P AH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角．在△Rt AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，22322AH1PH3图D191图D192方法二，由已知，CD⊥P A，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA＝45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC＝1，则在△Rt P AD中，P A＝AD＝2.→→所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，→→→设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，⎧⎪n·→＝0，由⎨⎪⎩n·→＝0，⎧⎪x－2z＝0，得⎨⎪⎩x＋y＝0.设x＝2，解得n＝(2，－2,1)．设直线PA与平面PCE所成角为α，|n·AP|2→1＝.1320．(本小题满分12分)(2016年新课标Ⅲ)设函数f(x)＝ln x－x＋1.(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1< <x ；20．解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ －1，令 f ′(x)＝0，解得 x ＝1.故当 x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln < －1，即 1< <x.ln c 令 g ′(x)＝0，解得 x 0＝ .21．解：(1)设椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1(a >b >0)，因为点 B(2， 2)在椭圆 C 上，所以 ＋ ＝1.②所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.因为直线 y ＝kx(k ≠0)与椭圆 ＋ ＝1 交于两点 E ，F ，(1)讨论f(x)的单调性；x －1ln x(3)设c >1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .1x当 0<x <1 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增； 当 x >1 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．(2)由(1)知，f(x)在 x ＝1 处取得最大值，最大值为 f(1)＝0. 所以当 x ≠1 时，ln x <x －1.1 1 x －1x x ln x(3)由题设 c >1，设 g (x)＝1＋(c －1)x －c x ， 则 g ′(x)＝c －1－c x ln c.c －1 lnln c当 x <x 0 时，g ′(x)>0，g (x)单调递增； 当 x >x 0 时，g ′(x)<0，g (x)单调递减．c －1由(2)知，1<ln c <c ，故 0<x 0<1.又 g (0)＝g (1)＝0，故当 0<x <1 时，g (x)>0. 所以 x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .21．( 本 小 题 满 分 12 分 )(2016 年 广 东 广 州 综 合 测 试一)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B(2， 2 )在椭圆C 上，直线y ＝kx(k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理 由．x2 y2a2 b2因为椭圆的左焦点为 F 1(－2,0)，所以 a 2－b 2＝4.①4 2a2 b2由①②，解得 a ＝22，b ＝2. x2 y28 4(2)因为椭圆 C 的左顶点为 A ，则点 A 的坐标为(－2 2，0)．x2 y28 4设点 E(x 0，y 0)(不妨设 x 0>0)，则点 F(－x 0，－y 0)．⎪⎩ 84 .所以 x 0＝ 2，则 y 0＝ .－ ⎝ 2⎫2⎫2⎪ ，即 x 2＋y 2＋ y ＝4.⎛ 4π ⎫(2，π)、B 2， ⎪.⎛4π 4π ⎫ 22．解：(1)将 A 、B 化为直角坐标为 A(2cos π，2sin π)，B 2cos ，2sin ⎪，即 A ，⎪⎨ d ＝ ＝⎧⎪y ＝kx ，联立方程组⎨x2 y2＋ ＝1消去 y ，得 x 2＝81＋2k22 1＋2k2 2 2k 1＋2k2k所以直线 AE 的方程为 y ＝ (x ＋2 2)．1＋ 1＋2k2因为直线 AE ，AF 分别与 y 轴交于点 M ，N ，2 2k ⎛ 2 2k ⎫令 x ＝0 得 y ＝ ，即点 M 0， ⎪.1＋ 1＋2k2 ⎝ 1＋ 1＋2k2⎭ ⎛ 2 2k ⎫同理可得点 N 0， ⎪.⎝ 1－ 1＋2k2⎭⎪ 2 2k 2 2k ⎪ 2 所以|MN |＝⎪ ⎪＝⎪1＋ 1＋2k2 1－ 1＋2k2⎪⎛ 设 MN 的中点为 P ，则点 P 的坐标为 P 0，－ ⎝＋|k|2⎫⎪.k ⎭.⎛ ⎛ 则以 MN 为直径的圆的方程为 x 2＋ y ＋ ⎪ ＝k ⎭ ⎝＋ |k| 2 2⎭ k令 y ＝0，得 x 2＝4，即 x ＝2 或 x ＝－2.故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1(2,0)，P 2(－2,0)，请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分 10 分)选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线C 的参数方程是⎧x ＝2cos θ ， ⎪⎩y ＝sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A 、B 的极坐标分别为A⎝ 3 ⎭(1)求直线AB 的直角坐标方程；(2)设M 为曲线C 上的动点，求点M 到直线AB 距离的最大值．⎝ 3 3 ⎭ B 的直角坐标分别为 A(－2,0)，B(－1，－ 3)，k AB ＝ － 3－0 －1＋2＝－ 3，∴直线 AB 的方程为 y －0＝－ 3(x ＋2)， 即直线 AB 的方程为 3x ＋y ＋2 3＝0.(2)设 M (2cos θ，sin θ)，它到直线 AB 的距离|2 3cos θ ＋sin θ ＋2 3| | 13 2θ ＋φ2＋2 3|，2 ⎧⎪x≤ ， ⎩ 解得 1<x ≤ ，或 <x < . ⎧⎪ ⎪ 5 所以原不等式的解集为⎨x ⎪1<x< ⎪⎩ ⎪∴d max ＝13＋2 3 .23．(本小题满分 10 分)选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x －2|－|2x －a|，a ∈R .(1)当a ＝3时，解不等式f(x)>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f(x)<0恒成立，求a 的取值范围． 23．解：(1)当 a ＝3 时，f(x)>0，即|x －2|－|2x －3|>0， 3 等价于⎨ 2 ⎪⎩x －1>0， ⎧⎪3<x<2， 或⎨2 ⎪⎩－3x ＋5>0，⎧⎪x≥2， 或⎨ ⎪－x ＋1>0. 3 3 5 2 2 33 ⎫⎪ ⎬. ⎪⎭ (2)f(x)＝2－x －|2x －a|，所以 f(x)<0 可化为|2x －a|>2－x ， ①即 2x －a >2－x ，或 2x －a <x －2.①式恒成立等价于(3x －2)min >a 或(x ＋2)max <a ， ∵x ∈(－∞，2)，∴a ≥4.。
高三数学全真模拟考试试题(一)理(含解析)
荆州中学2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(模拟一)选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合,则Ａ、 B、C、 D、【答案】D【解析】【分析】分别求出集合,,再利用交集定义就可求出结果【详解】则故选【点睛】本题主要考查了集合的交集及其运算,属于基础题、2、欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里特别重要,被誉为“数学中的天桥"、依照欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的A、第一象限 B。
第二象限 C、第三象限 D、第四象限【答案】Ｂ【解析】【分析】由欧拉公式(为虚数单位)可得:,再利用诱导公式化简,即可得到答案【详解】由欧拉公式(为虚数单位)可得:表示的复数对应的点为,此点位于第二象限故选【点睛】本题主要考查的是欧拉公式的应用,诱导公式,复数与平面内的点的一一对应关系,考查了学生的运算能力,转化能力。
3、要得到函数的图象,只需将函数的图象Ａ。
向左平移个周期Ｂ、向右平移个周期Ｃ、向左平移个周期D、向右平移个周期【答案】D【解析】【分析】利用函数的图象变换规律,三角函数的周期性,得出结果【详解】将函数的图象向右平移个单位,可得的图象,即向右平移个周期故选【点睛】本题考查了三角函数图像的平移,运用诱导公式进行化简成同名函数,然后运用图形平移求出结果,本题较为基础。
4。
某地区空气质量监测表明,一天的空气质量为优良的概率是,连续两天为优良的概率是,已知某天的空气质量为优良,则随后一天空气质量为优良的概率是A。
B。
C、 D、【答案】A【解析】试题分析:记“一天的空气质量为优良”,“第二天空气质量也为优良”,由题意可知,因此,故选Ａ、考点:条件概率。
视频5、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体各面中直角三角形的个数是A、 2 B。
2018-2019年最新高考总复习数学(理)高考仿真模拟试题及答案解析
第2题图2018年高三年级模拟考试（一） 数学（理）试卷本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．复数i1i+在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．右面的程序框图输出S 的值为A ．16B ．32C ．64D ．1283．若非空集合,,A B C 满足AB C =，且A 不是B否是k ≤4开始 k =1，S =1 S =S ·2k k =2k输出S结束第4题图的子集，则“x C ∈”是“x A ∈”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．24 B ．20+42C ．28D ．24+ 425．已知{}n a 是首项为2且公差不为0的等差数列，若136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前9项和等于A ．26B ．30C ．36D ．406．若不等式组3403400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是A ．37B ．73C ．34D.437．已知点()3,0A ，点P 在抛物线24y x =上，过点P 的直线与直线C DE BOA 第11题图1x =-垂直相交于点B ，||||PB PA =，则cos APB ∠的值为A ．12B ．13C．12-D ．13-8．若定义域均为D 的三个函数()f x ，()g x ，()h x 满足条件：x D ∀∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”．已知()21g x x =-，()3f x x b =+ ，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥恒成立，则实数b 的取值范围是A ．(10⎤-∞-⎦，B ．1010⎡⎤-⎣⎦， C．310⎡⎤-⎣⎦，D ．)10⎡+∞⎣，第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．） 9．261()x x+的展开式中含3x 项的系数为______．（用数字作答） 10．在△ABC 中，60A ∠=︒，1AC =，△ABC 的面积为3，则BC的长为 ．11．如图，圆O 的直径4AB =，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ，若30ABC ∠=︒，则AD 的长为______.12．若a ,b ,c 是单位向量，且0⋅=a b ，则()()-⋅-a c b c 的 最大值为 ．第14题图13．已知函数2()log f x x =.若0b a ＜＜,且()()f a f b =,则2a b +的取值范围是 ．14．图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）．比如第一行记为(0,1)，第二行记为(1,2)，第三行记为(4,5)，照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为 ，第n(n ∈N *)行中白圈与黑圈的“坐标”为________．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 15．（本小题13分）已知函数()()cos sin cos f x x x x =-． (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数)(x f 的最大值和最小值．……………………………第1行 …………………第2行 ............ ......... (3)……………………………甲 乙F E16．（本小题13分）中国天气网2016年3月4日晚六时通过手机发布的3月5日通州区天气预报的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的最高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温．（Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性；（Ⅱ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）在[8:00，23:00]内每个整点．．时刻的温差（最高气温与最低气温的差）依次记为t 1，t 2，t 3，…，t 16，求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3︒的概率．17．（本小题14分）如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，EF ∥AB ，EFEA ⊥，22AB EF == ，90AED ∠=︒，AEED =，H 为AD 的中第16题图点．（Ⅰ）求证：EH ∥平面FBD ； （Ⅱ）求证：EH ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角--B FD P 的大小为3π？若存在求出BP 的长，若不存在请说明理由.18．（本小题13分） 已知函数21()()axf x x x e a=--(a ≠0)． （Ⅰ）当12a =时，求函数()f x 的零点； （Ⅱ）求f(x)的单调区间； （Ⅲ）当0a >时，若02)(≥+ax f 对R x ∈恒成立，求a 的取值范围．19．（本小题14分） 已知椭圆M :2222x y +=. （Ⅰ）求椭圆M 的离心率；（Ⅱ）设O 为坐标原点，,,A B C 为椭圆M 上的三个动点，若四边形OABC 为平行四边形，判断ABC ∆的面积是否为定值，并说明理由．20．（本小题13分）已知数列{}n a 满足11a =，1n n n a a p +-=，其中N n *∈, p 是不为1的常数.（Ⅰ）证明：若{}n a 是递增数列，则{}n a 不可能是等差数列； （Ⅱ）证明：若{}n a 是递减的等比数列，则{}n a 中的每一项都大于其后任意()N m m *∈个项的和；（Ⅲ）若2p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．理科数学参考答案一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）1 2 3 4 5 6 7 8 ADABCBDD二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分） 9. 20； 10.13； 11.1；12.12+；13.()3+∞，； 14.()1314， , -1-1313+122n n -（，）．三、解答题（共6个小题，共80分） 15. 解：（Ⅰ）因为()()cos sin cos f x x x x =-()11sin 2cos 2122x x =-+ ……………………………………………4分21sin 2242x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． ………………………………………………6分 所以函数)(x f 的最小正周期22T ππ==． ……………………………7分（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ……………………8分所以当244x ππ-=，即4x π=时，函数)(x f 取得最大值0， (10)分 当242x ππ-=-，即8x π=-时，函数)(x f 取得最小值2122--． ……………………………12分所以()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为0和2122--．……………………………13分16. 解：（Ⅰ）最高气温与最低气温之间成正相关，即最高气温越高，相应地最低气温也越高．……………………………3分（Ⅱ）由图可以看出，最高气温曲线波动较小，因此最高气温方差小于最低气温方差．……………………………7分（Ⅲ）由图可得下表：整点时刻800:900:1000:1100:1200:1300:1400:1500:最高气温101112131313132123最低气温46810210311131210温差65431232131223整点时刻1600:1700:1800:1900:2000:2100:2200:2300:最高气温1123121086543最低气温865432231232温差14365431232131……………………………10分由表可知，连续两个整点时刻（基本事件）共有15个：（800:，900:），（900:，1000:），（1000:，1100:），（1100:，1200:），（1200:，1300:），（1300:，1400:），（1400:，1500:），（1500:，1600:），（1600:，1700:），（1700:，1800:），（1800:，1900:），（1900:，2000:），（2000:，2100:），（2100:，2200:），（2200:，2300:）．其中满足条件“恰好有一个时刻的温差不小于3 ”的事件（记为A）共有3个：（1100:，1200:），（1500:，1600:），（2000:，2100:）． 所以在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3︒的概率31()155P A ==． ……………………………13分17.（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，连结HO ，FO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 是BD 的中点， 又H 是AD 中点， 所以//OH AB ，12OH AB =． 而//EF AB ，12EF AB =， 所以//EF OH 且EF OH =， 所以四边形EHOF 为平行四边形， 所以//EH FO ，又因为FO ⊂平面FBD ，EH ⊄平面FBD ，OE FD CABH所以//EH 平面FBD ． (5)分（Ⅱ）证明：因为AE ED =，H 是AD 的中点，所以EHAD ⊥．因为//AB EF ，EF EA ⊥， 所以AB EA ⊥． 因为AB AD ⊥， 所以AB⊥平面AED ，因为EH ⊂平面AED ， 所以AB EH ⊥， 所以EH ⊥平面ABCD ．9分（Ⅲ）解：HE ，AD ，OH 两两垂直，如图．建立空间直角坐标系H －xyz ．则()100A ，，，0()10D -，，， ()011F ，， ()010O ，，，0()12C -，，设点()20()02P m m <≤，，，于是有()1,1,1DF =，(),1,1FP m =-． 设平面PDF 的法向量(),,x y z =n ，则PxyzOE FDC A BH00n n DF FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即00x y z mx y z ++=⎧⎨+-=⎩，．令1z =，得21x m =-，11m y m --=-． 所以21,,111n m m m --⎛⎫=⎪--⎝⎭． 平面BDF 的法向量()1,1,0OA =-． 所以cos 3n nOA OA π⋅=⋅ ，即()2221110,,11112212111m m m m m m --⎛⎫-⋅ ⎪--⎝⎭=--⎛⎫⎛⎫⋅++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，．所以1m =-．所以点P 的坐标为()120-，，，与点C 的坐标相同． 所以2BP BC ==． ……………………………14分18.解：(Ⅰ)令)(=x f ， 即0)1(2=--ax e ax x ． (1)分因为0>ax e ,所以012=--ax x ． ……………………………2分a41+=∆,因为0>a ,所以0>∆.所以方程012=--ax x 有两个不等实根：212a a a x a ++=，222a a ax a-+=．所以函数)(x f 有且只有两个零点212a a ax a++=和222a a a x a-+=. ………3分(Ⅱ)()()21ax f x a x x e a ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭． …………………………4分令()0f x '=，即()210a x x a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2x a=-或1x =． ………………5分当0a >时，列表得：x2(,)a-∞-2a- 2(,1)a- 1 (1,)+∞()f x '+ 0 － 0 + ()f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增……………………………6分 当0a <时，（1）若2a <- ，则21a -<，列表得 x2(,)a-∞-2a - 2(,1)a- 1 (1,)+∞()f x '－ 0 + 0 － ()f x单调递减极小值单调递增极大值单调递减……………………………7分（2） 若20a -<<，则 21a->，列表得 x(),1-∞1 21,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2a-2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x '－ 0 + 0 － ()f x单调递减极小值单调递增极大值单调递减……………………………8分综上，当0a >时，()f x 单调递增区间为2(,)a -∞-，(1,)+∞，单调递减区间为2(,1)a -；当2a <-时，()f x 单调递增区间为2(,1)a -，单调递减区间为2(,)a-∞-，(1,)+∞；当20a -<<时，()f x 单调递增区间为21,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为(),1-∞，2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． ……………………………9分(Ⅲ)因为0a >，所以当2x a <-时，有20x >， 2x a->，0a >， 所以210x x a-->，从而()0f x >． ……………………………10分当2x a≥-时，由（Ⅱ）可知函数在1x =时取得极小值1(1)0a f e a=-<．所以，()11af e a=-为函数()f x 在R 上的最小值． ……………………………11分由题意，不等式02)(≥+ax f 对x R ∈恒成立，所以得021≥+-ae aa ，解得2ln 0≤<a ．所以a的取值范围是(]0,ln2． …………………………………………13分19. 解：（Ⅰ）椭圆M 的标准方程为：2212x y +=所以2a =，1b =，1c =． 所以椭圆M的离心率22c e a ==. ……………………4分（Ⅱ）①若B 是椭圆的右顶点（左顶点一样），此时AC 垂直平分OB ．所以23(,)22A ，23(,)22C -，(2,0)B ． 3AC =，2OB =所以OAC ∆的面积1122OAC S AC OB ∆=⋅632=22411=⨯⨯⨯. …………6分②若B 不是椭圆的左、右顶点，设:(0)AC y kx m m =+≠，1122(,),(,)A x y C x y ，由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=，()()222216421220k m k m ∆=-+->，122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，122221my y k +=+．……………………9分因为四边形OABC 为平行四边形， 所以()12122242211,2km m k OB OA OC x x y y k ⎛⎫=+=++= ⎪+⎝+⎭-，． 所以22422121km m B k k -⎛⎫⎪⎝++⎭，， 代入椭圆方程，化简得D ACOBxy22214k m +=. …………………10分因为AC ()()221212x x y y =-+-2212121()4k x x x x =++-= 21k +()222242242121m km k k -⎛⎫- ⎪++⎝⎭-22222212121k k m k ++-=+261=2k m+. …………………11分点O到AC的距离d =21m k+. …………………12分 所以OAC ∆的面积2OACS AC d ∆1=⋅226162241m k m k1+=⨯⋅=+. 综上，OAC ∆的面积为定值64. ……………………………13分因为OAC ∆的面积等于ABC ∆的面积， 所以ABC ∆的面积为定值64. …………………………………………14分20. 解：(Ⅰ)因为{}n a 是递增数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=. (1)分由于11a =，所以21a p =+，231a p p =++.假设数列{}n a 是等差数列，那么1a ，2a ，3a 成等差数列. 所以2132a a a =+，因而20p p -=，解得1p =或0p =. (2)分由已知1p ≠，当0p =，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故p 的值不存在.所以数列{}n a 不可能是等差数列. ………………………………………………3分(Ⅱ) 因为{}n a 是递减数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=.因为11a =，所以21a p =-，231a p p =--. 因为数列{}n a 是等比数列，所以22(1)1p p p -=--，得12p =或0p =（舍去）. 则212a =，公比1q 2=，故11()2n n a -=. (4)分设12m n n n n <<<<…，那么11n n +≤，22n n +≤，…，mn m n +≤（1m ≥）．因为111122n n +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，221122n n +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (1122)n mn +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以1212111111222222mn n n n n n m+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……．……………5分因为12111(11111121122222212mn n n mn n m ++++-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-)... (6)分而11111111022222n m n m n a -+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即11122nm n a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫>-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以12111222n n n mn a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….即:数列{}n a 中的每一项大于其后任意()m m N *∈个项的和. ……………………7分(Ⅲ)由于{}21n a -是递增数列，所以21210n n a a +-->，所以2122210n n n n a a a a +--+->．①因为22122n n ->，所以212221n n n n a a a a +-->-. ②由①②知，2120n n a a +->，因此()2221222nn n n a a +-==-.③……9分因为{}2n a 是递减数列，同理得，2210n n a a --<，故()212122122n n n n a a ----=-=-.④由③④可知，()12nn n a a +-=-. ……………………11分因此()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()()()211222n -=+-+-++-()()()()112122112333nn n⎡⎤⋅-----⎣⎦===---.所以数列{}n a 的通项公式为()()2133nna n N *-=-∈. ………………………13分。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十)答案
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十)答案1．B 【解析】因为M ={0，1，2}，所以N ={y |y =2x ，x ∈M }={0，2，4}，所以M ∩N ={0，2}． 2．A 【解析】解法一 ∵z (3−4i)=1+2i ，∴z =12i (12i)(3+4i)510i34i (34i)(34i)25++-+==--+=12i 55-+， ∴z 的共轭复数为12i 55--，故选A ． 解法二 设z =x +y i(x ，y ∈R )，∵z (3−4i)=1+2i ，∴(x +y i)(3−4i)=1+2i ，因此(3x +4y )+(3y −4x )i=1+2i ，由复数相等得341432x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得 1525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴z=12i 55-+，z 的共轭复数为12i 55--，故选A ． 3．D 【解析】∵2017年夏季某旅游景点每天的游客人数x 服从正态分布N (1000，1002)，P (μ−3σ<X ≤μ+3σ)=0.997 4，∴P (|x −1 000|≤300)=0.997 4， ∴P (x >1 300)=10.99742-=0.001 3，∴P (x ≤1 300)=1−0.001 3=0.998 7，故选D ． 4．D 【解析】解法一 依题意，1a 2a 3a ·…·7a 8a 9a =512，由等比数列的性质得95a =92，所以5a =2．设公比为q ，因为10a =32，所以5q =16， 因此15a =10a ×5q =32×16=512，故选D ．解法二 依题意，1a 2a 3a ·…·7a 8a 9a =512，由等比数列的性质得95a =29，所以5a =2，又5a 、10a 、15a 成等比数列，所以15a =2105a a =32×16=512，故选D ．5．C 【解析】通解 设抛物线22x py =在M (2，0y )处的切线为y−0y =k (x −2)，又切线过点N (0，−1)，则−1−0y =k (0−2)，即k =012y +，∴切线方程为y −0y =012y +(x −2)，其中0y =2p ，将切线方程与2x =2py 联立，得22x p−0y =012y +(x −2)， 整理得2x −(2+p )x +2p =0，则Δ=(2+p )2−8p =0，解得p =2，则抛物线方程为2x =4y ，故选C ． 优解 由于2x =2py '，y '=x p ，因而抛物线在M (2，0y )处的切线的斜率k =2p ，其中0y =2p，则切线方程为y−2p =2p(x −2)．又切线与y 轴交于点N (0，−1)， 因而−1−2p =2p(0− 2)，得p =2，则抛物线方程为2x =4y ，故选C ． 6．A 【解析】由三视图知该几何体的直观图放在正方体中是如图所示的三棱锥A −BCD ，其外接球就是正方体的外接球．设外接球的半径为R ，因为正方体的棱长为2，其体对角线为外接球的直径，即2R V =43πR 3=43π3．故选A ．7．A 【解析】依题意，()cos()cos ()22x x x xe e e ef x x x f x -----=-=-=-，所以()f x 为奇函数，排除C 、D ；又当0<x <2π时，()f x >0，排除B ，故选A ． 8．D 【解析】解法一 ∵0<b <a <1，c >1，令xy a =，则它在R 上为减函数，∴ba >aa ，又令a y x =，则它在(0，+∞)上为增函数，∴a a >a b ，∴b a >ab ，A 不成立； 令x yc =，则它在R 上为增函数，∴b c <ac ，B 不成立； ∵0<b <a <1，c >1，∴log a c <log b c ，C 不成立； 令log c y x =，则它在(0，+∞)上为增函数， 由于ba <ab ，∴logc b a >log c a b ，D 成立． 解法二 令b =14，a =12，c =2，分别代入A 、B 、C 、D 四个选项检验知，D 正确，故选D ．9．C 【解析】由程序框图知，1a =2，i =1，2a =1212+-=−3，i =2，3a =1313-+=−12，i =3，4a =11()211()2+---=13，i =4，5a =113113+-=2，i =5，……，可知{}i a 构成周期为4的数列， 当i =2 018=4×504+2时，结束循环，输出1i a +，即输出的1i a +=−3，故选C ． 10．C 【解析】由2b cos B −a cos C =c cos A ，得2b cos B =a cos C +c cos A ，由正弦定理得2sin B cos B =sin A cos C +sin C cos A ，即2sin B cos B =sin(A +C )=sin B ，因为0<B <π，所以sin B ≠0，所以cos B =12． 由余弦定理得22=a 2+c 2−2a ccos B =a 2+c 2−ac ，即4=a 2+c 2−ac ≥2ac −ac =ac ，ac ≤4， 当且仅当a =c =2时等号成立，即∆ABC 为等边三角形时等号成立， 此时，∆ABC 的面积取得最大值，周长为6，故选C ．11．B 【解析】解法一 如图所示，取AB 的中点G ，连接GF 、1AG 、AE ，1AG ∩AE =H ，连接HF ，设正方体的棱长为a ，因为G 、F 分别为AB 、DC 的中点，所以GF ∥11A D ，所以平面11A D F 即平面11A D FG ．在Rt △1A AG 与Rt △ABE 中，因为1A A =AB ，AG =BE ，所以Rt △1A AG ≌Rt △ABE ，所以∠1GA A =∠EAG ， 因为∠1GA A +∠1AGA =90°，所以∠EAG +∠1AGA =90°，即AE ⊥1AG ， 又GF ⊥AE ，1AG ∩GF =G ，所以AE ⊥平面11A D F ， 所以∠HF A 是直线AF 与平面11A D F 所成的角． 在Rt △1A AG 中，AG =2a ，1A A =a ，所以AHa ，又AF， 所以sin ∠HF A =25，故选B ．解法二 如图，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A (2，0，0)，F (0，1，0)，1A (2，0，2)，1D(0，0，2)，E (2，2，1)，AE =(0，2，1)，AF=(−2，1，0)，11D A =(2，0，0)，1D F =(0，1，−2)，所以AE ·11D A =0+0+0=0，AE ·1D F=0+2−2=0，所以AE ⊥11A D ，1D F ⊥AE ，即AE为平面11A D F 的一个法向量．设直线AF 与平面11A D F 所成的角为α，则sin α=|cos<AE ，AF >|=25，故选B ．12．B 【解析】由抛物线的定义知|MF |=02p y +，则02p y +=054y ，解得0y =2p ，又点M (1，0y )在抛物线C 上， 代入C ：22x py =，得02py =1，得0y =1，p =12， 所以M (1，1)，抛物线C ：2x y =．因为斜率为k 的直线l 过点Q (−1，3)， 所以l 的方程为3(1)y k x -=+，联立方程得23(1)y k x x y-=+⎧⎨=⎩， 即230x kx k ---=，设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，由根与系数的关系得12123x x k x x k +=⎧⎨=--⎩，则直线AM 的斜率21111AM x k x -=-=11x +，直线BM 的斜率2222111BMx k x x -==+-， 121212(1)(1)1312AM BM k k x x x x x x k k =++=+++=--+=-，故选B ．13．(3，6)【解析】因为a =(2，4)，b =(−1，k)，且a ∥b ，所以2k +4=0，k =−2，所以2a +b =(4，8)+(−1，−2)=(3，6)．14．1 792【解析】依题意a =2(sin cos )x x dx π+⎰=(cos sin )(01)(10)220x x π-+=+--+=，所以8(=8，其展开式的通项1r T +=8Cr8(r r - =8C r (1)r-×82r-4r x -，令4−r =2，解得r =2，所以2x 项的系数为268C 2=1 792．15．20220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤≤≥所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，由题意可知，对于可行域内的任一点，均使不等式20x y k ++≥恒成立， 可知直线2y x z =-+经过点(−2，−2)时，2x y +有最小值−2×2−2=−6， 所以−6+k 0，1 6，当k =6时直线为2x +y+6=0．因为圆22(1)(2)25x y -+-=的圆心为(1，2)，半径为5， 所以圆心到直线的距离为d= 所以所求弦长为=16．7【解析】因为数列{}n a 满足1a =43，1n a +−1=n a (n a −1) (n ∈N *)， 所以1n n a a +-=2(1)n a ->0，1n a +>n a ， 因此数列{}n a 单调递增．由1a =43，1n a +−1=n a (n a −1)，得2a −1=43×(43−1)，2a =139，同理3a =13381，4a =134776561，3181152a =->1，41656116916a =-<1， 所以当n 4时，0<11n a -<1． 另一方面由1n a +−1=n a (n a −1)，得111111n n n a a a +=---， 所以n S =12111n a a a ++⋅⋅⋅+=(111a -−211a -)+(211a -−311a -)+…+(11n a -−111n a +-)=3−111n a +-． 当n =1时，1S =11a =34，其整数部分为0； 当n =2时，2S =34+913=1+2352，其整数部分为1； 当n 3时，n S =3−111n a +-∈(2，3)，其整数部分为2．综上，n S 的整数部分的所有可能值构成的集合为{0，1，2}，其真子集的个数为23−1=7． 17．【解析】(1)由sin()(3)cos()2b A ac B ππ-=-+及正弦定理和诱导公式，得sin cos (sin 3sin )(cos )B A A C B =--， 即sin cos sin cos 3sin cos B A A B C B +=， ∴sin()3sin cos B A C B +=，（3分） ∵sin()sin()sin 0B A C C π+=-=≠，∴1cos 3B =，sin B =∵sin b A =sin sin b Aa B==6．（5分） (2)∵△ABC 面积的最大值为ac 6， ∵b2223a c ac +-=32，∴28()3a c ac +-=32， 则2()a c + 48，∵a >0，c >0，∴a +ca +b +c∴△ABC 周长的最大值为（12分） 18．【解析】(1)延长BA ，CD 交于点P ，连接SP ．因为SA =AD =AB =1，BC =2，AD ∥BC ， 所以A 是BP 的中点，BP =2．因为SA =12BP ，所以SP ⊥SB ． （2分） 又平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ∩平面ABCD =AB ，AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面SAB ，因为SP ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SP ， 又BC ，SB ⊂平面SBC ，BC ∩SB =B ， 所以SP ⊥平面SBC ．因为SP ⊂平面SCD ，所以平面SBC ⊥平面SCD ． （5分）(2)易知SA ⊥AB ，SA ⊥AD ，AB ⊥AD ，故以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，1，0)，S (0，0，1)，（7分）易知AD=(0，1，0)为平面SAB 的一个法向量．设n =(x ，y ，z)为平面SCD 的法向量，因为SD =(0，1，−1)，DC=(1，1，0)，所以00DC SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即00x y y z +=⎧⎨-=⎩ 不妨取z =1，则y =1，x =−1，故n =(−1，1，1)为平面SCD 的一个法向量，（10分）所以cos<AD ，n=． 所以平面SAB 与平面SCD（12分） 19．【解析】(1)记“这3类节目各被抽到1个”为事件A ，由乘法计数原理可得，3类节目各取1个的事件数为111232C C C =12，事件总数为37C =35，则P (A )=1235．（3分） (2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P (ξ=0)=3437C 4C 35=，P (ξ=1)=214337C C 18C 35=， P (ξ=2)= 124337C C 12C 35=， P (ξ=3)= 3337C 1C 35=．（10分） 所以ξ的分布列为E (ξ)=0×435+1×1835+2×35+3×35=7．（12分）20．【解析】(1)依题意可得222221123a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩即24b +2b −3=0，解得2b =1，可得2a =4， 故椭圆E 的标准方程为224x y +=1．（3分） (2)(i)当直线AB 的斜率为0(或不存在)时，依题意知，点C 就是椭圆的短轴端点(或长轴端点)， 此时ABC S ∆=12×|OC |×|AB |=2．（5分） (ii)当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，依题意可得直线AB 的方程为y kx =(k ≠0)，联立方程得2214x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，故22414A x k =+，222414A k y k =+，所以|OA |2=2A x+2A y=224(1)14k k ++．由|AC |=|CB |知，∆ABC 为等腰三角形，因为O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB ，所以直线OC 的方程为y=−1kx ， 由22141x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得22244C k x k =+，2244C y k =+，所以|OC |2=2C x +2Cy =224(1)4k k ++，（9分）ABC S ∆=2OAC S ∆= |OA |×|OC2=≤222(14)(4)5(1)22k k k ++++=，所以ABC S ∆≥85， 当且仅当1+42k =2k +4，即k =±1时等号成立， 此时∆ABC 面积的最小值是85． 因为2>85，所以∆ABC 面积的最小值为85， 此时直线AB 的方程为y =x 或y =−x ．（12分）【备注】求解圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：(1)几何意义法，可以利用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决；(2)将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数的有界性、函数单调性以及基本不等式等方法求解．21．【解析】(1)∵函数()f x =2ln ax x - 0在[1，+∞)上恒成立，∴a2ln xx在[1，+∞)上恒成立． 令()g x =2ln xx (x 1)，则()g x '=2431ln 212ln x x xx x x x⨯-⨯-=，（2分）令()g x '=0，得12x e =．当1 x <12e 时，()g x '>0，∴()g x 在[1，12e )上单调递增， 当x >12e 时，()g x '<0，∴()g x 在(12e ，+∞)上单调递减， ∴当x =12e 时，()g x max =12e ，∴a ≥12e， 故实数a 的取值范围是[12e ，+∞)． （5分） (2)由(1)知，当a =12e时，()f x =21ln 2x x e - 0在[1，+∞)上恒成立， 当且仅当x =12e 时，等号成立．理由如下：11()f x x e x '=-=2x e ex-，令()f x '=0，得12x e =．（7分）当1 x <12e 时，()f x '<0，()f x 在[1，12e )上单调递减， 当x >12e 时，()f x '>0，()f x 在(12e ，+∞)上单调递增，∴当x 2时，21ln 2x x e ->0，因此22ln 22x x x e>>，（8分） ∴当x 2时，22122ln e x x x>>． 当x =2，3，4，5，…，n 时，212112()ln 2223>>-， 212112()ln 3334>>-， 212112()ln 4445>>-，……， 212112()ln(1)(1)1n n n n >>----， 212112()ln 1n n n n >>-+．（10分） 因此，当n 2时，111ln 2ln 3ln n ++⋅⋅⋅+>11111112()233411n n n n --+-+⋅⋅⋅+-=++．（12分） 22．【解析】(1) 4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．（3分）(2)通解由42x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)得直线l 的普通方程为x +y −4=0． 因为曲线C 的圆心为(2，0)，半径r =2，圆心到直线l 的距离d2==所以直线l 被曲线C 所截得的弦长为（10分）优解 设直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，且A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C ：22(2)4x y -+=，并整理得20t -=，得1t =0，2t所以|AB |=|1t −2t即直线l 被曲线C 截得的弦长为（10分）23．【解析】(1) ()f x =|2x −3|−|x +1|=4(1)332(1)234()2x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪-+-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩作出()f x 的图象如图所示，数形结合知()f x 的最小值()f x min =−52．因为不等式()f x ≤a 的解集是空集，所以实数a 的取值范围为(−∞，−52)．（5分）(2)存在0x ∈R ，使得20()f x ≤−2t +4|t |成立，等价于2()f x min ≤−2t +4|t |． 由(1)知()f x min =−52，所以|t |2−4|t |− 5≤0，解得0≤|t |≤5，故实数t 的取值范围为[−5，5]．（10分）。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十一)含答案
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十一)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．已知复数z 满足(i)i 2i z -⋅=+，则z =A ．1+iB ．1−iC ．−1−iD ．−1+i 2．已知集合{|0}A x x =≥，2{|4,}B x x x =∈Z ≤，则A ∩B =A ．{0，−1，−2}B ．{−1，−2}C ．{0，1，2}D ．{1，2} 3．已知等差数列{}n a 的前13项和为13S =182，则9112a a -=A ．7B ．14C ．21D ．284．已知x ，y 满足320210280--⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤x y x y x y ，则目标函数=-z x y 的最大值为A ．0B ．12C ．1D ．2 5．已知直线l 截圆2220+-=x y y 所得的弦AB 的中点坐标为13(,)22-，则弦AB 的垂直平分线方程为A ．x −y −1=0B ．x +y −1=0C ．x −y +1=0D ．x +y +1=06．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为A ．23B ．09C ．17D ．02 7．设*∈N n ，11(1)+=+n x n，1(1)=+ny n，则下列结论成立的是A ．xy >y x B ．x y <yx C ．xy =yx D ．x ，y 的大小关系与n 的取值有关8．已知22,0()ln ,0⎧-+⎪=⎨>⎪⎩≤x x x f x x x x，执行如图所示的程序框图，则输出的结果a 所在的范围为A ．(0，1e ) B ．(0，1e] C ．(0，e ) D ．(0，e ] 9．已知()sin()ωϕ=+f x x (0ω>，||2πϕ<)，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，若对任意的x ∈R ，()()6π≤f x f ，则下列结论不正确的是A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点(712π，0)对称 C ．函数()f x 的图象关于直线76π=x 对称D ．函数()f x 在区间[6π，23π]上单调递减10．已知双曲线22221-=x y a b(a >0，b >0)的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上一点，1∆POF 为等腰三角形，过P 作y 轴的垂线，延长后交双曲线的左支于点Q ，若2112=PQ F F ，则双曲线的离心率为ABC+1 D+111．已知等腰直角三角形ABC，BD 为底边上的高，沿BD 将三角形ABD 折起，当三棱锥A −BCD的体积最大时，该三棱锥外接球的体积为 A ．2π BC． D ．5π12．已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于直线x =1对称，其导函数为()'f x ，当x <1时，2()(1)()0'+-<f x x f x ，则不等式2(2017)(2018)(2)++>x f x f 的解集为 A ．(−∞，−2 016) B ．(−∞，−2 018)C ．(−2 018，−2 016)D ．(−∞，−2 018)∪(−2 016，+∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．已知6(+ax 的展开式中含3x 项的系数为60，则展开式的常数项为 ． 14．如图，在平行四边形ABCD 中，||2=AD ，向量AD 在AB 方向上的投影为1，且0⋅=BD DC ，点P 在线段CD 上，则0⋅=PA PB 的取值范围为．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为．16．已知数列{}n a 的通项公式为52-=nn a ，数列{}n b 的通项公式为=+n b n k ，设,,⎧=⎨>⎩≤n n nn n nn b a b c a a b ，若在数列{}n c 中，5≤n c c 对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知∆ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ， 且222cos cos +=+-A C b a c a c b．(1)求证：A ，B ，C 成等差数列；(2)若∆ABC b 的最小值，并判断此时∆ABC 的形状． 18．(本小题满分12分)某高校进行自主招生考试，有A 、B 、C 3个专业可供选报，每名考生必须选报且只能报其中1个专业，且选报每个专业的概率相等．现有甲、乙、丙、丁4名同学决定参加该校的自主招生考试，且每名同学对专业的选报是相互独立的．(1)求甲、乙2名同学都选报A 专业的概率； (2)已知甲、乙2名同学没有选报同一专业， (i)求这3个专业恰有1个专业没人选报的概率；(ii)这4名同学中选A 专业的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列、数学期望和方差． 19．(本小题满分12分)在如图1所示的平面图形中，ABEC 与ADFC 为全等的平行四边形，∠BAC =∠DAC =30°，AB =AD BE =DF =2，将△EBC 和△FDC 分别沿BC 、DC 折起，使E 、F 重合于点P ，如图2．(1)求证：平面PBD ⊥平面P AC ；(2)若M 为P A 的中点，求平面PBC 与平面MBD 所成二面角的正弦值． 20．(本小题满分12分)如图，已知椭圆1C ：22214+=x y b(b >0)的左焦点F 与抛物线2C ：22=-y px (p >0)的焦点重合，M 是1C 与2C 在第二象限内的交点，抛物线的准线与x 轴交于点E ，且7||3=ME ．(1)求椭圆1C 及抛物线2C 的方程；(2)过E 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点，则在椭圆的长轴上是否存在点N ，使得⋅NA NB 为定值?若存在，求出点N 的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 21．(本小题满分12分)已知函数()f x =ln 1++mmx x e(m ≠0)，()g x =2ax x e (a ∈R )． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)当m >0时，若对任意的1x ，2x ∈(0，2]，1()f x >2()g x 恒成立，求实数a 的取值范围．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，A (0，1)，B 0)，以AB 为直径的圆记为圆C ，圆C 过原点O 的切线记为m ，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)若过点P (0，−1)，且与直线m 垂直的直线l 与圆C 交于M 、N 两点，求|MN |． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|1||2||1||2|+--++-≤≤x x a x x 都成立． (1)求a 的值；(2)设m >n >0，求证：221222++-+≥m n a m mn n．2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十一)答案1．B 【解析】由题意知z =2i 1ii 1i i i+++==-，故选B ． 2．C 【解析】易知B ={−2，−1，0，1，2}，又{|0}A x x =≥，则A ∩B ={0，1，2}，故选C ．3．B 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由13S =1137()1321322a a a +⨯⨯==182，解得7a =14，所以9112a a -=2(7a +2d )−(7a +4d )=7a =14，选B ．4．C 【解析】由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y =x 并平移，知当直线过点B 时，z取得最大值，由210280-+=⎧⎨+-=⎩x y x y ，得B(3，2)，故z 的最大值为1，故选C ．5．B 【解析】圆2220+-=x y y 可化为22(1)1+-=x y ，故圆心坐标为(0，1)，又弦AB 的中点坐标为13(,)22-，故弦AB 的垂直平分线的斜率为−1，故所求直线方程为x +y −1=0． 6．D 【解析】从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02． 7．C 【解析】 通解 由11(1)+=+n x n，得1ln (1)ln(1)=++x n n ，由1(1)=+ny n，得1ln ln(1)=+y n n l ，则ln 1ln +=x n y n ，又11(1)11(1)+++==+n n x n n y n n， 因而ln ln =x xy y， ln ln =x y y x ，即x y =y x ，故选C ． 优解 11(1)+=+n x n=11()++n n n ，1(1)=+n y n=1()+nn n ， yx =1(1)()1()++⨯+n n n n n n =11()1()++⨯+n n n n n n=xy ，故选C ． 8．A 【解析】由22,0()ln ,0⎧-+⎪=⎨>⎪⎩≤x x x f x x x x，作出函数|()|=y f x 的大致图象如图所示，当0>x 时，2ln 1ln ()()-''==x x f x x x ，令()0'=f x ，得=x e ，此时1|()|=f e e，|()|f x 在(e ，+∞)上单调递减，1|()|()<=f x f e e ，且当x 趋近于+∞时，|()|f x 趋近于0，数形结合知，满足|()|f x =a 有4个解时，a 的取值范围为(0，1e )．9．B 【解析】 由()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，知其最小正周期为π，因而2ω=；()f x 的最大值为()6πf ，因而sin()13πϕ+=，又||2πϕ<，所以6πϕ=，()sin(2)6π=+f x x ．由26π+x =k π(k∈Z )得122ππ=-+k x (k ∈Z )，因而(712π，0)不是函数()f x 的图象的对称中心，由262ππ+=x +k π(k ∈Z )，得62ππ=+k x (k ∈Z )，因而76π=x 是函数()f x 的图象的对称轴；由2π+2k π≤3262ππ+≤x +2k π(k ∈Z )，得6π+k π≤x ≤23π+k π(k ∈Z )，所以函数()f x 在[6π，23π]上单调递减．故选B ．10．D 【解析】解法一 设00(,)P x y (00>x )，由题意知1||||=PO OF ，因而22200+=x y c ，又2112=PQ F F ，所以02=c x ，则22034=c y ．又00(,)P x y 在双曲线上，因而22223144-=c c a b，得1=e ，故选D ．解法二如图，由题意知12||||||==PO OF OF ，则12∆PF F 为直角三角形，又2112=PQ F F ，所以∠POy =30°，则∠12PF F =30°，1||=PF ，2||=PF c ，2-=c a ，因而离心率1=+e ，故选D ．11．B 【解析】如图，由题意知当平面ABD ⊥平面BCD 时，三棱锥A −BCD 的体积最大，此时BC 为三棱锥A −BCD 的外接球中小圆1O 的直径，作小圆1O 的另一条直径DE ，则AD ⊥DE ，连接EA ，则EA 为外接球的直径，2223=+=EA DE AD ，即外接球的半径为，其体积343π=⨯=V ，故选B ．12．C 【解析】由题意可构造函数2()(1)()ϕ=-x x f x ，则2()2(1)()(1)()ϕ''=-+-x x f x x f x(1)[2()(1)()]'=-+-x f x x f x ，当1<x 时，()ϕ'x >0，因而()ϕx 在(−∞，1)上为增函数，由于函数()f x ，2(1)=-y x 的图象关于直线x =1对称，因而()ϕx 在(1，+∞)上为减函数，则不等式2(2017)(2018)(2)++>x f x f 化为(2018)(2)ϕϕ+>x ，因而|20181|1+-<x ，解得−2 018<x <−2 016，故选C ．13．30【解析】6(ax的展开式的通项为1+r T =66C ()-⋅r rr ax =36626C --r r r a x ， 当3632-=r 时，2=r ，此时246C 60=a ，解得22=a ， 而当3602-=r 时，4=r ，则常数项为426C 30=a ．14．[1，3]【解析】通解 由题意知∠DAB =45°，且|AB |=1，设|PD |=x ，则0≤x ≤1，=+AP AD PD ，=+=+BP BC CP AD CP ，因而2()()⋅=--⋅--=+⋅+⋅+⋅PA PB AD DP AD CP AD AD CP AD DP DP CP(1−x )cos 135°cos 45°−x (1−x )=2x +x +1=213()24++x ∈[1，3]． 优解以B 为坐标原点，AB 及BD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知B (0，0)，A (−1，0)，设P (x ，1)，其中0≤x ≤1，则⋅PA PB =(−1−x ，−1)·(−x ，−1)=2x +x +1=213()24++x ∈[1，3]．15．4π+8【解析】由三视图，可得该几何体为一棱长为2的正方体切掉两个底面半径为1，高为2的二分之一圆柱后剩余的部分，因而其侧面积为S =2π×1×2+2×2×2=4π+8． 16．[−5，−3]【解析】若55=c a ，则55>a b ，则前面不会有{}n b 的项，∵{}n b 单调递增，{}n a 单调递减，∴i b (i =1,2,3,4)<5b <5a <i a (i =1,2,3,4)，∴55>a b ，即025>+k ，得4<-k ，∴当n ≥6时，必有≠n n c a ，即=n n c b ，此时应有65≥b a ，即6+k ≥1，得k ≥−5，∴−5≤k <−4．若55=c b ，则55≥b a ，同理，前面不能有{}n b 的项，即454>≥a b b ，∵{}n a 单调递减，{}n b 单调递增，∴当n ≥6时，55>>≥n n b b a a ，∴当n ≥6时，=n n c b ．由55≥b a ，即5+k ≥1，得k ≥−4，由45≥a b ，即2≥5+k ，得k ≤−3，∴−4≤k ≤−3．综上得，−5≤k ≤−3，即实数k 的取值范围是[−5，−3]． 17．【解析】(1)222cos cos +=+-A C b a c a c b ，可化为222cos cos +=+-c A a C bac a c b ， 由余弦定理得，222cos cos +=+-c A a C bac a c b， 即2cos (cos cos )+=B c A a C b （2分）由正弦定理得，2cos (sin cos sin cos )sin +=B C A A C B ， ∴2cos sin()sin +=B A C B ．（4分）在∆ABC 中，sin()sin +=A C B 且sin 0≠B ，∴1cos 2=B ，∴B =60°， 又A +B +C =180°，∴A +C =2B ，因而A ，B ，C 成等差数列．（6分）(2)1sin 2∆===ABC S ac B ，因而6=ac ．（8分） 又222222cos 6=+-=+-=≥b a c ac B a c ac ac ， 当且仅当a =c 时取等号，因而b ，此时a =c ，∆ABC 为正三角形．（12分）18．【解析】(1)每名同学的不同选报方法有3种，因而4名同学的不同选报方法总数为43，记“甲、乙2名同学都选报A 专业”为事件M ，不同的选报方法数为23，则所求概率为P (M )=243139=．（4分）(2) 甲、乙2名同学没有选报同一专业，则不同的选报方法总数为223A 354⨯=．（6分）(i)记“这3个专业恰有1个专业没人选报”为事件N ，其选报方法数为223A 224⨯=，则所求概率为P (N )=244549=．（8分） (ii)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P (ξ=0)=222A 245427⨯=， P (ξ=1)=1312222C 2C A 24549⨯+⨯=， P (ξ=2)=221122222C A C C 21543+⨯=， P (ξ=3)=12C 225427⨯=， 因而ξ的分布列为Eξ=0×427+1×49+2×13+3×227=43，（11分） Dξ=2222444441422(0)(1)(2)(3)32739333273-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=．（12分） 19．【解析】(1)由题意知，EC ⊥BC ，FC ⊥DC ．∵折起后E 、F 重合于点P ，∴PC ⊥BC ，PC ⊥DC ，又BC ∩DC =C ， ∴PC ⊥平面ABCD ．∵BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC ．（2分）又在四边形ABCD 中，∠BAC =∠DAC ，AB =AD ，∴BD ⊥AC ，又AC ∩PC =C ， ∴BD ⊥平面P AC ，又BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面P AC ．（6分）(2)由(1) 知PC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0，0，0)， B (−12，0)，−12，0)，A (0，−2，0)，M (0，−1，从而BD0，0)，MD，12，)． 设平面MBD 的法向量为m =(x ，y ，z )，（8分）则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩BD MD m m，即0102=+-=x y z ，则x =0，令y =3，则z故m =(0，3为平面MBD 的一个法向量．（10分）又BA ⊥平面PBC ，因而平面PBC 的一个法向量为BA−32，0)．∴cos<m ，BA >=||⋅⋅BABA m |m |=−34，设平面PBC 与平面MBD 所成的二面角为θ， ∴sin θ，即平面PBC 与平面MBD．（12分） 20．【解析】(1)2=p， 由椭圆的对称性，知E 为椭圆的右焦点，连接MF ， 由椭圆的定义知|MF |+|ME |=4，则|MF |=4−7533=．（2分） 设(,)M M M x y ，过点M 作准线的垂线，垂足为H ， 由抛物线的定义知|MF |=|MH |=53，因而==M y ，43=-M x p， 代入22214+=x y b 中，得2248193+=pb 2=p联立， 得p =2，2b =3，所以椭圆的方程为22143+=x y ，抛物线的方程为24=-y x ．（6分） (2)由(1)知E (1，0)，若直线l 的斜率存在，设直线方程为(1)=-y k x ，由22143(1)⎧+=⎪⎨⎪=-⎩x y y k x 得2222(34)84120+-+-=k x k x k ． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，∴1x +2x =22834+k k ，1x ·2x =2241234-+k k．（8分） 假设点N 存在，其坐标为(m ，0)，其中− 2≤m ≤2，1122(,)(,)⋅=-⋅-NA NB x m y x m y =1212()()(1)(1)-⋅-+-⋅-x m x m k x k x =22221212(1)()()+-++++k x x m k x x m k=222222224128(1)()3434-+-+++++k k k m k m k k k=2222(485)31234--+-+m m k m k． 若⋅NA NB 为定值，则满足2248531243---=m m m ，得118=m ，定值为13564-．（10分） 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不妨设其与椭圆22143+=x y 的交点为A (1，32)，B (1，−32)，又N (118，0)， 则⋅NA NB =(−38，32)·(−38，−32)=13564-．（11分） 综上，在椭圆的长轴上存在点N (118，0)，使得⋅NA NB =13564-，为定值．（12分）21．【解析】(1)由题意得()'f x =(1ln )+m x ，令()'f x =0，得1=x e．（2分）当m >0时，在(0，1e)上，()'f x <0，则()f x 单调递减，在(1e，+∞)上，()'f x >0，则()f x 单调递增；当m <0时，在(0，1e)上，()'f x >0，则()f x 单调递增，在(1e，+∞)上，()'f x <0，则()f x 单调递减．（4分）综上，当m >0时，()f x 的单调递减区间为(0，1e )，单调递增区间为(1e，+∞)；当m <0时，()f x 的单调递减区间是(1e ，+∞)，单调递增区间是(0，1e)．（5分）(2)原问题等价于当x ∈(0，2]时，min max ()()>f x g x ， 当m >0时，由(1)知min 111()()ln1==++mf x f m e e e e=1． 2()2(2)'=+=+ax ax ax g x xe ax e x ax e ．(i)当a ≥0时，()'g x >0，即()g x 在(0，2]上单调递增， 因而2()(2)41=>≤ag x g e，不合题意．（7分）(ii)当a <0时，由()'g x =0，得2=-x a， 若−2a≥2，即−1≤a <0，()'g x ≥0在(0，2]上恒成立，因而()g x 在(0，2]上单调递增，2()(2)4=≤a g x g e ，由241<a e ，得a <−ln 2，因而−1≤a <−ln 2．（9分）若−2a <2，即a <−1，()g x 在(0，−2a ]上单调递增，在(−2a，2]上单调递减， 因而()g x ≤g(−2a )=224-e a ，由224-e a<1，得a <−2e ，由于−2e>−1，所以a <−1． （11分）综上所述，实数a 的取值范围为(−∞，−ln 2)．（12分）22．【解析】(1)由题意，知圆C 的直径为|AB |=2，圆心的直角坐标为C12)，极坐标为C (1，6π)，且圆C 过点O ．设圆C 上任意一点Q 的极坐标为Q (ρ，θ)，如图，连接QC ，OC ，OQ ，则∠COQ =θ−6π．解法一 在△OCQ 中，222||||||2||||cos()6πθ=+--QC OQ OC OQ OC ，即2112cos()6πρρθ=+--，化为2cos()6πρθ=-， 即圆C 的极坐标方程为2cos()6πρθ=-．解法二 延长OC 交圆C 于点D ，连接DQ ，在Rt △ODQ 中，2cos()6πρθ=-，即圆C 的极坐标方程为2cos()6πρθ=-．（5分） (2)解法一 因为直线l 与圆C 过原点O 的切线m 垂直，所以直线l 的倾斜角为6π，又直线l 过P (0，−1)，故可设直线l的参数方程为112⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩x y t (t 为参数)，将(1)中圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为220+-=x y y ，与直线l的参数方程联立，得22311(1)(1)0422+-+---+=t t t ，即2320-+=t t ．设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则1t =1，2t =2或1t =2，2t =1， 则|MN |= |1t −2t |=1．解法二 因为直线l 与圆C 过原点O 的切线垂直，所以直线l 的倾斜角为6π，斜率为3，又直线l 过P (0，−1)，故直线l的方程为1=-y x，即x −3y −3=0．圆心C(，12)到直线l的距离==d ，所以|MN．（10分） 23．【解析】设()|1||2|=+--f x x x ，则()f x =3,121,123,2-⎧⎪--<<⎨⎪⎩≤-≥x x x x ，∴()f x 的最大值为3．∵对任意实数x ，|x +1|−|2−x |≤a 都成立，即()f x ≤a ， ∴a ≥3．设()h x =|x +1|+|2−x |=21,13,1221,2-+-⎧⎪-<<⎨⎪-⎩≤≥x x x x x ，则()h x 的最小值为3．∵对任意实数x ，|x +1|+|2−x |≥a 都成立， 即()h x ≥a ， ∴a ≤3． ∴a =3． (2)由(1)知a =3．221222++-+≥m n a m mn n∵2221122()()2()+-=-+-+-+-m n m n m n m mn n m n ，且m >n >0，∴21()()()-+-+-m n m n m n ≥，∴221222++-+≥m n a m mn n．。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十一)(含答案)
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十一)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．已知复数z 满足(i)i 2i z -⋅=+，则z =A ．1+iB ．1−iC ．−1−iD ．−1+i 2．已知集合{|0}A x x =≥，2{|4,}B x x x =∈Z ≤，则A ∩B =A ．{0，−1，−2}B ．{−1，−2}C ．{0，1，2}D ．{1，2} 3．已知等差数列{}n a 的前13项和为13S =182，则9112a a -=A ．7B ．14C ．21D ．284．已知x ，y 满足320210280--⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤x y x y x y ，则目标函数=-z x y 的最大值为A ．0B ．12C ．1D ．2 5．已知直线l 截圆2220+-=x y y 所得的弦AB 的中点坐标为13(,)22-，则弦AB 的垂直平分线方程为A ．x −y −1=0B ．x +y −1=0C ．x −y +1=0D ．x +y +1=06．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A ．23B ．09C ．17D ．02 7．设*∈N n ，11(1)+=+n x n，1(1)=+ny n，则下列结论成立的是A ．xy >y x B ．x y <yx C ．xy =yx D ．x ，y 的大小关系与n 的取值有关8．已知22,0()ln ,0⎧-+⎪=⎨>⎪⎩≤x x x f x x x x，执行如图所示的程序框图，则输出的结果a 所在的范围为A ．(0，1e ) B ．(0，1e] C ．(0，e ) D ．(0，e ] 9．已知()sin()ωϕ=+f x x (0ω>，||2πϕ<)，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，若对任意的x ∈R ，()()6π≤f x f ，则下列结论不正确的是A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点(712π，0)对称 C ．函数()f x 的图象关于直线76π=x 对称D ．函数()f x 在区间[6π，23π]上单调递减10．已知双曲线22221-=x y a b(a >0，b >0)的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上一点，1∆POF 为等腰三角形，过P 作y 轴的垂线，延长后交双曲线的左支于点Q ，若2112=PQ F F ，则双曲线的离心率为 AB 3C 2+1D 311．已知等腰直角三角形ABC 2，BD 为底边上的高，沿BD 将三角形ABD 折起，当三棱锥A −BCD 的体积最大时，该三棱锥外接球的体积为 A ．2π B ．32C ．43D ．5π 12．已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于直线x =1对称，其导函数为()'f x ，当x <1时，2()(1)()0'+-<f x x f x ，则不等式2(2017)(2018)(2)++>x f x f 的解集为 A ．(−∞，−2 016) B ．(−∞，−2 018)C ．(−2 018，−2 016)D ．(−∞，−2 018)∪(−2 016，+∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．已知6(ax x的展开式中含3x 项的系数为60，则展开式的常数项为 ． 14．如图，在平行四边形ABCD 中，||2=AD ，向量AD 在AB 方向上的投影为1，且0⋅=BD DC ，点P 在线段CD 上，则0⋅=PA PB 的取值范围为．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为．16．已知数列{}n a 的通项公式为52-=nn a ，数列{}n b 的通项公式为=+n b n k ，设,,⎧=⎨>⎩≤n n nn n n nb a bc a a b ，若在数列{}n c 中，5≤n c c 对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知∆ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ， 且222cos cos +=+-A C ba c a c b． (1)求证：A ，B ，C 成等差数列； (2)若∆ABC的面积为2，求b 的最小值，并判断此时∆ABC 的形状． 18．(本小题满分12分)某高校进行自主招生考试，有A 、B 、C 3个专业可供选报，每名考生必须选报且只能报其中1个专业，且选报每个专业的概率相等．现有甲、乙、丙、丁4名同学决定参加该校的自主招生考试，且每名同学对专业的选报是相互独立的．(1)求甲、乙2名同学都选报A 专业的概率； (2)已知甲、乙2名同学没有选报同一专业， (i)求这3个专业恰有1个专业没人选报的概率；(ii)这4名同学中选A 专业的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列、数学期望和方差． 19．(本小题满分12分)在如图1所示的平面图形中，ABEC 与ADFC 为全等的平行四边形，∠BAC =∠DAC =30°，AB =AD BE =DF =2，将△EBC 和△FDC 分别沿BC 、DC 折起，使E 、F 重合于点P ，如图2．(1)求证：平面PBD ⊥平面P AC ；(2)若M 为P A 的中点，求平面PBC 与平面MBD 所成二面角的正弦值． 20．(本小题满分12分)如图，已知椭圆1C ：22214+=x y b(b >0)的左焦点F 与抛物线2C ：22=-y px (p >0)的焦点重合，M 是1C 与2C 在第二象限内的交点，抛物线的准线与x 轴交于点E ，且7||3=ME ．(1)求椭圆1C 及抛物线2C 的方程；(2)过E 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点，则在椭圆的长轴上是否存在点N ，使得⋅NA NB 为定值?若存在，求出点N 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数()f x =ln 1++mmx x e(m ≠0)，()g x =2ax x e (a ∈R )． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)当m >0时，若对任意的1x ，2x ∈(0，2]，1()f x >2()g x 恒成立，求实数a 的取值范围．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，A (0，1)，B 30)，以AB 为直径的圆记为圆C ，圆C 过原点O 的切线记为m ，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)若过点P (0，−1)，且与直线m 垂直的直线l 与圆C 交于M 、N 两点，求|MN |． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|1||2||1||2|+--++-≤≤x x a x x 都成立． (1)求a 的值；(2)设m >n >0，求证：221222++-+≥m n a m mn n ．2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十一)答案1．B 【解析】由题意知z =2i 1ii 1i i i+++==-，故选B ． 2．C 【解析】易知B ={−2，−1，0，1，2}，又{|0}A x x =≥，则A ∩B ={0，1，2}，故选C ． 3．B 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由13S =1137()1321322a a a +⨯⨯==182，解得7a =14，所以9112a a -=2(7a +2d )−(7a +4d )=7a =14，选B ．4．C 【解析】由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y =x 并平移，知当直线过点B 时，z 取得最大值，由210280-+=⎧⎨+-=⎩x y x y ，得B(3，2)，故z 的最大值为1，故选C ．5．B 【解析】圆2220+-=x y y 可化为22(1)1+-=x y ，故圆心坐标为(0，1)，又弦AB 的中点坐标为13(,)22-，故弦AB 的垂直平分线的斜率为−1，故所求直线方程为x +y −1=0．6．D 【解析】从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02． 7．C 【解析】 通解 由11(1)+=+n x n，得1ln (1)ln(1)=++x n n ，由1(1)=+ny n，得1ln ln(1)=+y n n l ，则ln 1ln +=x n y n ，又11(1)11(1)+++==+n n x n n y n n， 因而ln ln =x xy y， ln ln =x y y x ，即x y =y x ，故选C ． 优解 11(1)+=+n x n=11()++n n n ，1(1)=+n y n =1()+nn n，yx =1(1)()1()++⨯+n n n n n n =11()1()++⨯+n n n n n n=xy ，故选C ． 8．A 【解析】由22,0()ln ,0⎧-+⎪=⎨>⎪⎩≤x x x f x x x x，作出函数|()|=y f x 的大致图象如图所示，当0>x 时，2l n 1l n ()()-''==x x f x x x ，令()0'=f x ，得=x e ，此时1|()|=f e e，|()|f x 在(e ，+∞)上单调递减，1|()|()<=f x f e e ，且当x 趋近于+∞时，|()|f x 趋近于0，数形结合知，满足|()|f x =a 有4个解时，a 的取值范围为(0，1e)．9．B 【解析】 由()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，知其最小正周期为π，因而2ω=；()f x 的最大值为()6πf ，因而sin()13πϕ+=，又||2πϕ<，所以6πϕ=，()sin(2)6π=+f x x ．由26π+x =k π(k ∈Z )得122ππ=-+k x (k ∈Z )，因而(712π，0)不是函数()f x 的图象的对称中心，由262ππ+=x +k π(k ∈Z )，得62ππ=+k x (k ∈Z )，因而76π=x 是函数()f x 的图象的对称轴；由2π+2k π≤3262ππ+≤x +2k π(k ∈Z )，得6π+k π≤x ≤23π+k π(k ∈Z )，所以函数()f x 在[6π，23π]上单调递减．故选B ．10．D 【解析】解法一 设00(,)P x y (00>x )，由题意知1||||=PO OF ，因而22200+=x y c ，又2112=PQ F F ，所以02=c x ，则22034=c y ．又00(,)P x y 在双曲线上，因而22223144-=c c a b，得31=e ，故选D ．解法二如图，由题意知12||||||==PO OF OF ，则12∆PF F 为直角三角形，又2112=PQ F F ， 所以∠POy =30°，则∠12PF F =30°，1||3=PF c ，2||=PF c ， 32-=c c a ，因而离心率31=e ，故选D ．11．B 【解析】如图，由题意知当平面ABD ⊥平面BCD 时，三棱锥A −BCD 的体积最大，此时BC 为三棱锥A −BCD的外接球中小圆1O 的直径，作小圆1O 的另一条直径DE ，则AD ⊥DE ，连接EA ，则EA 为外接球的直径，2223=+=EA DE AD 334333π=⨯=V ，故选B ．12．C 【解析】由题意可构造函数2()(1)()ϕ=-x x f x ，则2()2(1)()(1)()ϕ''=-+-x x f x x f x(1)[2()(1)()]'=-+-x f x x f x ，当1<x 时，()ϕ'x >0，因而()ϕx 在(−∞，1)上为增函数，由于函数()f x ，2(1)=-y x 的图象关于直线x =1对称，因而()ϕx 在(1，+∞)上为减函数，则不等式2(2017)(2018)(2)++>x f x f 化为(2018)(2)ϕϕ+>x ，因而|20181|1+-<x ，解得−2 018<x <−2 016，故选C ．13．30【解析】6(+ax x 的展开式的通项为1+r T =66C ()(-⋅r rr ax x=36626C --r r r a x ， 当3632-=r 时，2=r ，此时246C 60=a ，解得22=a ， 而当3602-=r 时，4=r ，则常数项为426C 30=a ．14．[1，3]【解析】通解 由题意知∠DAB =45°，且|AB |=1，设|PD |=x ，则0≤x ≤1，=+AP AD PD ，=+=+BP BC CP AD CP ，因而2()()⋅=--⋅--=+⋅+⋅+⋅PA PB AD DP AD CP AD AD CP AD DP DP CP(1−x )cos 135°2x cos 45°−x (1−x )=2x +x +1=213()24++x ∈[1，3]． 优解以B 为坐标原点，AB 及BD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知B (0，0)，A (−1，0)，设P (x ，1)，其中0≤x ≤1，则⋅PA PB =(−1−x ，−1)·(−x ，−1)=2x +x +1=213()24++x ∈[1，3]． 15．4π+8【解析】由三视图，可得该几何体为一棱长为2的正方体切掉两个底面半径为1，高为2的二分之一圆柱后剩余的部分，因而其侧面积为S =2π×1×2+2×2×2=4π+8．16．[−5，−3]【解析】若55=c a ，则55>a b ，则前面不会有{}n b 的项，∵{}n b 单调递增，{}n a 单调递减，∴i b (i =1,2,3,4)<5b <5a <i a (i =1,2,3,4)，∴55>a b ，即025>+k ，得4<-k ，∴当n ≥6时，必有≠n n c a ，即=n n c b ，此时应有65≥b a ，即6+k ≥1，得k ≥−5，∴−5≤k <−4．若55=c b ，则55≥b a ，同理，前面不能有{}n b 的项，即454>≥a b b ，∵{}n a 单调递减，{}n b 单调递增，∴当n ≥6时，55>>≥n n b b a a ，∴当n ≥6时，=n n c b ．由55≥b a ，即5+k ≥1，得k ≥−4，由45≥a b ，即2≥5+k ，得k ≤−3，∴−4≤k ≤−3．综上得，−5≤k ≤−3，即实数k 的取值范围是[−5，−3]． 17．【解析】(1)222cos cos +=+-A C b a c a c b ，可化为222cos cos +=+-c A a C bac a c b ， 由余弦定理得，222cos cos +=+-c A a C bac a c b， 即2cos (cos cos )+=B c A a C b （2分）由正弦定理得，2cos (sin cos sin cos )sin +=B C A A C B ， ∴2cos sin()sin +=B A C B ．（4分）在∆ABC 中，sin()sin +=A C B 且sin 0≠B ， ∴1cos 2=B ，∴B =60°， 又A +B +C =180°，∴A +C =2B ，因而A ，B ，C 成等差数列．（6分） (2)1333sin 242∆===ABC S ac B ac ，因而6=ac ．（8分） 又222222cos 6=+-=+-=≥b a c ac B a c ac ac ， 当且仅当a =c 时取等号，因而b 6，此时a =c 6，∆ABC 为正三角形．（12分）18．【解析】(1)每名同学的不同选报方法有3种，因而4名同学的不同选报方法总数为43，记“甲、乙2名同学都选报A 专业”为事件M ，不同的选报方法数为23，则所求概率为P (M )=243139=．（4分）(2) 甲、乙2名同学没有选报同一专业，则不同的选报方法总数为223A 354⨯=．（6分）(i)记“这3个专业恰有1个专业没人选报”为事件N ，其选报方法数为223A 224⨯=，则所求概率为P (N )=244549=．（8分） (ii)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P (ξ=0)=222A 245427⨯=， P (ξ=1)=1312222C 2C A 24549⨯+⨯=， P (ξ=2)=221122222C A C C 21543+⨯=， P (ξ=3)=12C 225427⨯=， 因而ξ的分布列为Eξ=0×427+1×49+2×13+3×227=43，（11分） Dξ=2222444441422(0)(1)(2)(3)32739333273-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=．（12分） 19．【解析】(1)由题意知，EC ⊥BC ，FC ⊥DC ．∵折起后E 、F 重合于点P ，∴PC ⊥BC ，PC ⊥DC ，又BC ∩DC =C ， ∴PC ⊥平面ABCD ．∵BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC ．（2分）又在四边形ABCD 中，∠BAC =∠DAC ，AB =AD ，∴BD ⊥AC ，又AC ∩PC =C ， ∴BD ⊥平面P AC ，又BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面P AC ．（6分）(2)由(1) 知PC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0，0，0)， B，−12，0)，−12，0)，A (0，−2，0)，M (0，−13，从而BD =(30，0)，MD 312，)． 设平面MBD 的法向量为m =(x ，y ，z )，（8分）则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩BD MD m m ，即303130222=+-=⎪⎩x x y z ，则x =0，令y =3，则z 3， 故m =(0，33为平面MBD 的一个法向量．（10分）又BA ⊥平面PBC ，因而平面PBC 的一个法向量为BA =(32，−32，0)． ∴cos<m ，BA >=||⋅⋅BABA m |m |=−34，设平面PBC 与平面MBD 所成的二面角为θ，∴sin θPBC 与平面MBD（12分） 20．【解析】(1)242-=pb ， 由椭圆的对称性，知E 为椭圆的右焦点，连接MF ， 由椭圆的定义知|MF |+|ME |=4，则|MF |=4−7533=．（2分） 设(,)M M M x y ，过点M 作准线的垂线，垂足为H ， 由抛物线的定义知|MF |=|MH |=53， 因而22756()()333=-=M y ，43=-M x p， 代入22214+=x y b 中，得2248193+=p b 242-=pb 联立， 得p =2，2b =3，所以椭圆的方程为22143+=x y ，抛物线的方程为24=-y x ．（6分） (2)由(1)知E (1，0)，若直线l 的斜率存在，设直线方程为(1)=-y k x ，由22143(1)⎧+=⎪⎨⎪=-⎩x y y k x 得2222(34)84120+-+-=k x k x k ． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，∴1x +2x =22834+k k，1x ·2x =2241234-+k k ．（8分） 假设点N 存在，其坐标为(m ，0)，其中− 2≤m ≤2，1122(,)(,)⋅=-⋅-NA NB x m y x m y =1212()()(1)(1)-⋅-+-⋅-x m x m k x k x =22221212(1)()()+-++++k x x m k x x m k=222222224128(1)()3434-+-+++++k k k m k m k k k=2222(485)31234--+-+m m k m k ．若⋅NA NB 为定值，则满足2248531243---=m m m ，得118=m ，定值为13564-．（10分） 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不妨设其与椭圆22143+=x y 的交点为A (1，32)，B (1，−32)，又N (118，0)， 则⋅NA NB =(−38，32)·(−38，−32)=13564-．（11分） 综上，在椭圆的长轴上存在点N (118，0)，使得⋅NA NB =13564-，为定值．（12分）21．【解析】(1)由题意得()'f x =(1ln )+m x ，令()'f x =0，得1=x e．（2分）当m >0时，在(0，1e)上，()'f x <0，则()f x 单调递减，在(1e，+∞)上，()'f x >0，则()f x 单调递增；当m <0时，在(0，1e)上，()'f x >0，则()f x 单调递增，在(1e，+∞)上，()'f x <0，则()f x 单调递减．（4分）综上，当m >0时，()f x 的单调递减区间为(0，1e )，单调递增区间为(1e，+∞)；当m <0时，()f x 的单调递减区间是(1e ，+∞)，单调递增区间是(0，1e)．（5分）(2)原问题等价于当x ∈(0，2]时，min max ()()>f x g x ， 当m >0时，由(1)知min 111()()ln1==++mf x f m e e e e=1． 2()2(2)'=+=+ax ax ax g x xe ax e x ax e ．(i)当a ≥0时，()'g x >0，即()g x 在(0，2]上单调递增， 因而2()(2)41=>≤ag x g e，不合题意．（7分）(ii)当a <0时，由()'g x =0，得2=-x a， 若−2a≥2，即−1≤a <0，()'g x ≥0在(0，2]上恒成立，因而()g x 在(0，2]上单调递增， 2()(2)4=≤a g x g e ，由241<a e ，得a <−ln 2，因而−1≤a <−ln 2．（9分）若−2a <2，即a <−1，()g x 在(0，−2a ]上单调递增，在(−2a，2]上单调递减， 因而()g x ≤g(−2a )=224-e a ，由224-e a <1，得a <−2e，由于−2e>−1，所以a <−1． （11分）综上所述，实数a 的取值范围为(−∞，−ln 2)．（12分）22．【解析】(1)由题意，知圆C 的直径为|AB |=2，圆心的直角坐标为C(2，12)，极坐标为C (1，6π)，且圆C 过点O ．设圆C 上任意一点Q 的极坐标为Q (ρ，θ)，如图，连接QC ，OC ，OQ ，则∠COQ =θ−6π．解法一 在△OCQ 中，222||||||2||||cos()6πθ=+--QC OQ OC OQ OC ，即2112cos()6πρρθ=+--，化为2cos()6πρθ=-， 即圆C 的极坐标方程为2cos()6πρθ=-．解法二 延长OC 交圆C 于点D ，连接DQ ，在Rt △ODQ 中，2cos()6πρθ=-，即圆C 的极坐标方程为2cos()6πρθ=-．（5分） (2)解法一 因为直线l 与圆C 过原点O 的切线m 垂直，所以直线l 的倾斜角为6π，又直线l 过P (0，−1)，故可设直线l 的参数方程为32112⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩x y t (t 为参数)，将(1)中圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2230+-=x y x y ，与直线l 的参数方程联立，得223131(1)3(1)0422+-+---+=t t t ，即2320-+=t t ．设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则1t =1，2t =2或1t =2，2t =1， 则|MN |= |1t −2t |=1．解法二 因为直线l 与圆C 过原点O 的切线垂直，所以直线l 的倾斜角为6π，斜率为33，又直线l 过P (0，−1)，故直线l的方程为13=-y xx −3y −3=0．圆心C(2，12)到直线l的距离==d ，所以|MN．（10分） 23．【解析】设()|1||2|=+--f x x x ，则()f x =3,121,123,2-⎧⎪--<<⎨⎪⎩≤-≥x x x x ，∴()f x 的最大值为3．∵对任意实数x ，|x +1|−|2−x |≤a 都成立，即()f x ≤a ， ∴a ≥3．设()h x =|x +1|+|2−x |=21,13,1221,2-+-⎧⎪-<<⎨⎪-⎩≤≥x x x x x ，则()h x 的最小值为3．∵对任意实数x ，|x +1|+|2−x |≥a 都成立， 即()h x ≥a ， ∴a ≤3． ∴a =3． (2)由(1)知a =3．221222++-+≥m n a m mn n∵2221122()()2()+-=-+-+-+-m n m n m n m mn n m n ， 且m >n >0，∴21()()()-+-+-m n m n m n ≥321()()()---m n m n m n =3， ∴221222++-+≥m n a m mn n ．。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷ⅡⅢ)理科数学(一)答案
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅱ/Ⅲ)理科数学(一)答案1．C 【解析】根据题意，集合A ={x |2x −2x >0}={x |x <0或x >2}，B ={x |y}={x |x 1}，U B ð={x |x <1}，从而A ∪U B ð={x | x <1或x >2}，故选C ．2．C 【解析】解法一 因为(1+i)z =2，所以z =221i (1i)(1i)=++-=1−i ， 所以|z |=|1−C ．解法二 因为(1+i)z =2，所以|(1+i)||z |=|2||z |=2，即|z，故选C ． 3．B 【解析】由(4)f x +=()f x 知()f x 是周期为4的周期函数，又()f x 是定义在R 上的偶函数，故(4)f =(0)f =−1，(1)f =(1)f -，又−1∈[−2，0]，所以(1)f -=−12-=−12， 所以(1)f =−12，(1)f +(4)f =−32，选B ． 4．B 【解析】x ，y 的变化如下表：x =9，y =8时，满足x <2y ，则输出y 的值为8．选B ．5．C 【解析】作出约束条件2024020x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤对应的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y =−3x 并平移知，当直线经过点A 时，z 取得最大值，当直线经过点B 时，z 取得最小值，由2240x x y =⎧⎨-+=⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，即A (2，3)，故z max =9．由24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得02x y =⎧⎨=⎩，即B (0，2)，故z min =2，故z 的最大值与最小值之差为7，选C ．6．C 【解析】当n =1时，()f x =3x 为幂函数，且在(0，+∞)上单调递增，故p 是真命题，则¬p 是假命题；“∃x ∈R ，2x +2>3x ”的否定是“∀x ∈R ，2x +2 3x ”，故q 是假命题，¬q 是真命题．所以p ∧q ，¬p ∧q ，¬p ∧¬q 均为假命题，p ∧¬q 为真命题，选C ． 7．B 【解析】由三视图知，商鞅铜方升是由一个圆柱和一个长方体组合而成的，故其体积为(5.4−x )×3×1+π×(12)2×x =16.2−3x +14πx =12.6，又π=3，故x =1.6．故选B ． 8．C 【解析】由已知，得R (32，A )，则RP =(−1，−A )，RQ =(1，−A )，于是RP RQ ⋅=A 2−1=3，得A =2，又51222T =-，∴T =4，ω=2T π=2π，由2π·12+φ=2kπ，k ∈Z 及|φ|<2π，得φ=−4π，故()f x =2sin(2πx −4π)．因为()g x 与()f x 的图象关于x =1对称，则()g x =f (2−x )=2sin[2π(2−x )−4π]=2sin[π−(2πx +4π)]=2sin(2πx +4π)．9．D 【解析】∵直线y(x +c )过左焦点1F ，且其倾斜角为30°， ∴∠12PF F =30°，∠21PF F =60°，∴∠21F PF =90°，即1F P ⊥2F P ． ∴|2PF |=12|12F F |=c ，|1PF |=|12F F |sin 60°c ， 由双曲线的定义得2a =|1PF |−|2PFc −c ， ∴双曲线C 的离心率e=c a==+1，选D ． 10．B 【解析】令2()g x ax bx c =++，则()2g x ax b '=+，()[()()]xf x eg x g x ''=+，∵1x =-是函数2()()xf x ax bx c e =++的一个极值点， 所以有(1)(1)0g g '-+-=，得c a =．设2()()()(2)h x g x g x ax b a x a b '=+=++++，若0b =，则0a c =≠，2()(1)h x a x =+，()h x '在1x =-的两侧不变号，与1x =-是函数 2()()x f x ax bx c e =++的一个极值点矛盾，故0b =一定不成立，选择B ．11．A 【解析】设球的半径为r ，则4π2r =864169π，得r如图，过A 作AD 垂直于BC ，垂足为D ，过S 作底面ABC 的垂线1SO ，垂足为1O ，依题意可得1O 在直线AD 上， AD a ，1AO =23a ，故1SO =a ．设O 是球心，连接OA ，依题意可得OA =r 1OO =−r ，在直角三角形1OO A 中，)222， 得到2a −2413a =0，得a =2413，选A ． 12．C 【解析】依题意知P (−1，0)，F (1，0)，设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，由|FB |=2|F A |，得2x +1=2(1x +1)，即2x =21x +1 ①，∵P (−1，0)，则AB 的方程为y=kx +k ，与2y =4x 联立，得2k 2x +(22k −4)x +2k =0，则Δ=(22k −4)2−44k >0，即2k <1，1x 2x =1 ②，由①②得1x =12，则A (12)，∴k2=． ∴1x +2x =52，|AB，选C ．13．2【解析】由二项式系数的性质可得5n =，522155C 1()C r r r r r rr T ax a x -+==，得2r =，由225C 40a =，得24a =，又*a ∈N ，所以2a =．14|a |=2，|b |=1可得24=a ，21=b ，由( a −2b ) ·(2a +b )=9可得222329-⋅-=a a b b ，即233219⨯-⋅-⨯=a b ，得到1⋅=-a b ，故||+===a b ．a −2b =(1，2)−(2x ，−4)=(1−2x ，6)，2a +b =(2，4)+(x ，−2)=(2+x ，2)， 因为向量a −2b 与2a +b 平行，所以(1−2x )×2−6(2+x )=0，解得x =−1， 故a ·b =(1，2)·(−1，−2)=−1−4=−5．15．9【解析】通解 设等差数列{n a }的公差为d ，由7S =11S 可得71a +762⨯d =111a +11102⨯d ， 即21a +17d =0，得到d =−2171a ， 所以n S =n 1a +(1)2n n -d =n 1a +(1)2n n -×(−2171a )=−117a (n −9)2+81171a ， 由1a >0可知−117a <0．故当n =9时，n S 最大． 优解 根据7S =11S 可得8a +9a +10a +11a =0．由等差数列的性质可得9a +10a =0，由1a >0可知9a >0，10a <0．当所有正数项相加时，n S 取得最大值，所以前9项和9S 最大． 16．，]【解析】由正弦定理，可将2c ab-cos B =cos A ，化简得(2sin C −sin A )cosB −sin B cos A =0，得sinC (2cos B −1)=0，根据题意sin C ≠0，所以cos B =12，又B 为△ABC 的内角，故B =3π．因为b ， B =3π，由正弦定理可知sin sin sin a b cA B C===2，即a =2sin A ，c =2sin C ，△ABC 的周长L +2sin A +2sin C +2sin(23π−C )+2sin CC +6π)，其中6π<C <2π，因此△ABC 的周长L 的取值范围是，]． 17．【解析】(1)当n =1时，41a =21a +21a +1，∴21a −21a +1=0，得1a =1．由4n S =2n a +2n a +1得41n S + =21n a ++21n a ++1，两式相减可得41n a +=21n a +−2n a +2an+1−2n a ，（3分） ∴(1n a ++n a )( 1n a +−n a −2)=0． ∵n a >0，1n a ++n a >0，∴1n a +−n a =2，即数列{n a }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴n a =1+(n −1)×2=2n −1．（5分）(2) n b =3n ·n a =(2n −1)·3n，（6分） ∴n T =1×3+3×32+5×33+…+(2n −1)·3n， ∴3n T =1×32+3×33+5×34+…+(2n −1)·13n +，（8分）两式相减可得−2n T =3+2(32+33+…+3n )−(2n −1)·13n +=3+2×213(13)13n ---−(2n −1)×13n +=−2(n −1)·13n +−6．可得n T =(n −1)·13n ++3．（12分）【备注】等差、等比数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活运用等差、等比数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量． 18．【解析】(1)样本中轿车的销售单价在[14，16)内的轿车数是2100200x x ⨯⨯=，样本中轿车的销售单价在[18，20)内的轿车数是2100200y y ⨯⨯=， 依据题意，有2002200x y =⨯，即2x y =， ①根据频率分布直方图可知(0.120.0250.05)21x y ⨯++++⨯=，② 由①②得0.15x =，0.075y =．（3分）根据频率分布直方图估计这100辆轿车销售单价的平均数为8101012121414160.02520.0520.120.1522222++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+ 161818200.120.075222++⨯⨯+⨯⨯=0.45+1.1+2.6+4.5+3.4+2.85=14.9(万元) （5分） (2) 若将频率视为概率，从这批轿车中有放回地随机抽取3辆，求至少有1辆轿车的销售单价在[14，16)内的概率为0331C (0.3)(0.7)10.3430.657-⨯=-=．（7分） (3) 因为销售单价在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20]的轿车的分层抽样比为1：2：4：6：4：3，故在抽取的20辆轿车中，销售单价在[10，12)内的轿车有220220⨯=(辆)，（9分） X 的所有可能取值为0，1，2，则02218220C C (0)C P X ===153190，11218220C C 36(1)C 190P X ====1895，22220C (2)C P X ===1190．（10分）所以X 的分布列为()E X =0×153190+1×1895+2×1190=15．（12分） 【备注】概率问题是近几年新课标高考的热点，利用频率分布直方图、频数分布表解答实际问题是命题的新亮点．这类题往往借助熟悉的知识点，结合实际生活中比较新颖的材料进行命制．19． 【解析】(1)设线段AD 的中点为F ，连接EF ，B F ．在△PAD 中，因为EF 为△PAD 的中位线，所以EF ∥P D ． 又EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PC D ． 在底面直角梯形ABCD 中，FD ∥BC ，且FD =BC ， 故四边形DFBC 为平行四边形，FB ∥C D ．（3分） 又FB ⊄平面PCD ，CD⊂平面PCD ，所以FB ∥平面PC D ．又EF ⊂平面EFB ，FB ⊂平面EFB ，且EF ∩FB =F ，所以平面EFB ∥平面PC D ． 又BE ⊂平面EFB ，所以BE ∥平面PC D ．（5分）(2)以A 为坐标原点，AD 的方向为y 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设PA =2，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，D (0,2,0)，C (2,2,0)，B (2,1,0)，AP =(0,0,2)，AB =(2,1,0)，PD =(0,2, −2)，DC =(2,0,0)．（7分）设n =(x ,y ,z )是平面PAB 的法向量，则00AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即020z x y =⎧⎨+=⎩， 令x =1，得y =−2，z =0，则n =(1, −2,0)是平面PAB 的一个法向量，（9分）同理，m =(0, −1, −1)是平面PCD 的一个法向量．所以cos<m ,n >=||||⋅==⋅m n m n ，所以平面P AB 与平面PCD （12分） 20．【解析】(1)依题意，知a =2，c =1，2b =3，则m =21b =13． 直线l ：y=k (x +2)，设B (2x ，2y )．联立方程，得223412(2)x y y k x ⎧+=⎨=+⎩，得32x +42k (x +2)2−12=0，即(42k +3)2x +162k x +162k −12=0．（3分）由根与系数的关系及A (−2，0)，得−22x =22161243k k -+， 则2x +2=226843k k -++2=21243k + ，于是2y =k (2x +2)=21243kk +．（5分） (2)由(1)知，A (−2，0)，2x +2=21243k +，则|AB |2x （6分）直线l '：x =−k y−1，设M (3x ，3y )，N (4x ，4y )， 联立方程，得2213412x ky x y =--⎧⎨+=⎩，得3(−ky −1)2+42y −12=0， 即(32k +4)2y +6ky −9=0，其判别式Δ=362k +36(32k +4)=144(2k +1)，则|3y −4y （8分）|MN ·|3y −4y |=2212(1)34k k ++．（10分）|AB |=|MN |=2212(1)34k k ++，即166k +224k −152k −23=0， 即(2k −1)(164k +382k +23)=0，得k =1(k =−1舍去)， 故直线l 的方程为x +y +1=0．（12分）【备注】(1)研究直线与圆锥曲线的位置关系一般是先联立方程，再利用根与系数的关系进行求解，涉及弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活运用；(2)在设直线方程时，常有两种设法：一是设直线方程为y=kx +m ，这种设法要注意考虑斜率不存在的情况，二是设直线方程为x =ty +n ，这种设法不包含直线与x 轴平行的情况．21．【解析】(1) ()f x '=2m x ++x =222x x mx +++ (x >−2)，（1分）设()g x =2x +2x +m ，令()g x =0，则Δ=4−4m ， ①当m ≥1时，Δ=4−4m ≤0，()g x ≥0恒成立，故()f x '≥0在x >−2上恒成立，即函数()f x 在(−2，+∞)上单调递增．（3分） ②当0<m <1时，Δ=4−4m >0，不妨设方程()g x =2x +2x +m =0的两根为1x '，2x '，且1x '<2x '，则有1x '>−2，2x '则()g x >0在(−2，1x ')，(2x '，+∞)上成立，即()f x '>0在(−2，1x ')，(2x '，+∞)上成立，则函数()f x 在(−2，1x ')，(2x '，+∞)上单调递增； ()g x <0在(1x '，2x ')上成立，即()f x '<0在(1x '，2x ')上成立，故函数()f x 在(1x '，2x ')上单调递减．（4分）③当m =0时，方程()g x =2x +2x +m =0的根为x =−2或0，则当x ∈(0，+∞)时，g (x )>0，即()f x '>0，则函数()f x 在(0，+∞)上单调递增；当x ∈(−2，0)时，()g x <0，即()f x '<0，则函数()f x 在(−2，0)上单调递减．（5分） ④当m <0时，Δ=4−4m >0，设方程()g x =2x +2x +m =0的两根为3x ，4x ，且3x <4x ，则有3x<−2，4x−1，则()f x '>0在(4x ，+∞)上成立，故函数()f x 在(4x ，+∞)上单调递增；()f x '<0在(−2，4x )上成立，故函数()f x 在(−2，4x )上单调递减．（6分） (2)因为()f x '=2m x ++x ，x >−2，0<m ≤2，所以()f x '=2mx ++x >0在(0，2]上恒成立，故函数()f x 在(0，2]上单调递增．（7分）不妨设0<1x 2x 2，则|1()f x −2()f x | t |112x +−212x +|可化为2()f x +22t x + 1()f x +12t x +．（8分） 设()h x =()f x +2t x +=m ln(x +2)+ 212x +1+2t x +，则1()h x 2()h x ， 所以()h x 为(0，2]上的减函数，即()h x '=2m x ++x −2(2)tx +≤0在(0，2]上恒成立，等价于m (x +2)+x (x +2)2−t ≤0在(0，2]上恒成立，即t ≥m (x +2)+x (x +2)2在(0，2]上恒成立． 又0<m ≤2，所以2(x +2)+x (x +2)2≥m (x +2)+x (x +2)2，（9分） 对于函数y =2(x +2)+x (x +2)2=3x +42x +6x +4，因为y '=32x +8x +6>0在(0，2]上恒成立，故y =3x +42x +6x +4在(0，2]上是增函数，即y max =23+4×22+12+4=40，所以m (x +2)+x (x +2)2≤40， 所以t ≥40，即t 的最小值为40．（12分）【备注】函数的单调性、极值、最值是高考命题的重点与热点，函数与导数、不等式结合的题目成为整套试卷的压轴题，因而预测2017年高考对函数的单调性、极值、最值等问题还会继续考查，但已知条件中函数表达式的结构不会太复杂，试卷会在函数表达式很简单的基础上加大问题设置上的变化，在不增加题意理解难度的基础上，力争考查更多的知识与能力．22．【解析】(1)∵ρ=4cos(θ−3π)=2cos θθ， ∴2ρ=2ρcos θρsin θ，由互化公式得，C 的直角坐标方程是2x +2y −2x −y =0．∵ρcos(θ−3π)=2，∴ρcos θsin θ=4，由互化公式得，l 的直角坐标方程是xy −4=0．（5分）(2)设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )( 1x <2x )，由22(1)(4(1)0x y x y ⎧-+-=⎪⎨--=⎪⎩，解得1111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，2211x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．令zx −2y ，则点P 与点B 重合时z 取得最大值，∴z max（10分）23．【解析】(1)通解 ()f x 5对于x ∈R 恒成立等价于|x +1|+|x −a | 5对于x ∈R 恒成立，因为|x +1|+|x −a | |x +1+a −x |=|a +1|，所以|a +1| 5，故a +1 5或a +1 −5，解得a 4或a −6，即实数a 的取值范围为(−∞，−6]∪[4，+∞)． （5分）优解 |x +1|+|x −a |表示数轴上的动点x 到两定点−1，a 的距离之和，故当a 4或a −6时，|x +1|+|x −a | 5对于x ∈R 恒成立，即实数a 的取值范围为(−∞，−6]∪[4，+∞)．（5分）(2)因为|x +1|+|x −1| |x +1+1−x |=2，所以()f x min =2，即t =2，故m +n =2，又m ，n 为正实数，所以1m +1n =(2m n +)(1m +1n )=12(1+1+n m +m n ) 12×(2+2)=2，当且仅当m =n =1时取等号．（10分）。
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OyxC ．OyxD ．2018高考仿真模拟试题数学试题(二)（理科）1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
满分150分，考试时间120分钟.2．答题前考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息.3．考试作答时，请将答案正确填写在答题卡上。
第一卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数iz 11-=，则z 的共轭复数是（ ）A ．11i +B ．1i +C ．11i- D ．1i -2．已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则（ ）A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∧⌝是假命题3．执行右图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）， 则输出的S 值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是（ ）5．将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能的值为（ ）A ．4π-B ．4π C ．43π D ．43π-OyxA ．OyxB ．6．若22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．120B ．180C ．45D ．907．已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 的离心率为2，若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（ ） A ．y x 82= B ．y x 162= C ．y x 3382=D ．y x 33162= 8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（ ）A ．364π B ．348π C ．316π D ．38π9．已知131<≤k ，函数k x f x --=|12|)(的零点分别为,1x 2x)(21x x <，函数|12|)(-=x x g 12+-k k的零点分别为,3x 4x )(43x x <，则)()(1234x x x x -+-的最小值为（ ）A ．3log 2B ．6log 2C ．3D ．110．已知,x y R ∈且⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+0034y y x y x ,则存在R θ∈,使得(4)cos sin 20x y θθ-++=的概率为（ ）A ．18π-B ．24π-C ．8πD ．4π 第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。
把答案填写在答题卡相应位置上。
11．已知3tan()4απ-=，且3(,)22ππα∈，则sin()2πα+= ． 12．设全集R U =，集合2{|0}A x x =<≤，{|1}B x x =<，则集合=)(B A C U ． 13．为了落实大学生村官下乡建设社会主义新农村政策，将5名大学生村官分配到某个镇的3个村就职，每镇至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种．14．已知ABC ∆中，D 是BC 边的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，若AC AF AB AE μλ==,,其中0,0>>μλ，则λμ的最小值是 ．15．形如)0(1>=x x y x α的函数称为“幂指型函数”，它的求导过程可概括成：取对数——两边对x 求导——代入还原；例如：)0(>=x x y x ，取对数x x y ln ln =，对x 求导1ln 1+='x y y，代入还原)1(ln +='x x y x ；给出下列命题:①当1=α时，函数)0(1>=x x y x α的导函数是()0ln 112>-='x x x x y x；②当0>α时，函数)0(1>=x x y x α在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛α1,0e 上单增，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1αe 上单减；③当e e b 11>α时，方程()0,0,1,0>≠≠>=x b b x b x αα有根；④当0<α时，若方程()0,1,0log >≠>=x b b x x b α有两根，则11<<b eeα；其中正确的命题是 ．三、解答题：本大题6个小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题12分）已知在公差0≠d 的等差数列{}n a 中，643+=a S ，1341,,a a a 成等比数列,其前前n 项为n S .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前n 项和.17．（本小题12分）已知函数()R x x x x f ∈--=21cos 2sin 23)(2 （Ⅰ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数()x f 取得最大值和最小值时x 的值； （Ⅱ）设锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 的对应边分别是c b a ,,，且*,1N c a ∈=，若向量()A m sin ,1=与向量()B n sin ,2=平行，求c 的值。
18．在四棱锥P ABCD -中,侧面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,底面ABCD 是直角梯形,//AB CD ,90ADC ∠=,1AB AD PD ===,2CD =. （Ⅰ）求证:BC ⊥平面PBD ;（Ⅱ）设Q 为侧棱PC 上一点,PQ PC λ=,试确定λ的值,使得二面角Q BD P --为45x yO BFM N QA19．（本小题满分12分）成都市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰。
若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如下： （I ）求获得参赛资格的人数；（II ）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；（III ）若知识竞赛分初赛和复赛，在初 赛中每人最多有5次选题答题的机会，累 计答对3题或答错3题即终止，答对3题 者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一 个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为91，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望。
20．(本题满分13分)如图，设F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，MN 为椭圆的长轴，P 为椭圆C 上一点，且||[2,6]PF ∈．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(8,0)Q -， ①求证：对于任意的割线QAB ，恒有AFM BFN ∠=∠； ②求三角形ABF ∆面积的最大值．21．（本小题满分14分）设函数2()ln ()2af x x x a =+--，a R ∈.（Ⅰ）若函数()f x 在1[, 2]2上单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求函数)(x f 的极值点；（III ）设x m =为函数()f x 的极小值点，()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,且120x x m <<<，AB 中点为0(,0)C x ，比较)(0x f '与0的大小.数学模拟试题（理科）参考答案一、选择题：DCDAC BBDAA 二、填空题： 11．45-， 12．(2,)+∞， 13．90， 14．1， 15．①②④ 三、解答题：16．解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差0≠d17. 解：（1）1)62sin(12cos 212sin 232122cos 12sin 23)(--=--=-+-=πx x x x x x f …3分 1)62sin(23,32623,12512≤-≤-∴≤-≤-∴≤≤-ππππππx x x …………4分 所以当1)62sin(=-πx ,即262ππ=-x ，得3π=x 时)(x f 取得最大值；当23)62sin(-=-πx ，即362ππ-=-x ，得12π-=x 时，)(x f 取得最小值；…………6分（2）因为向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =平行， 所以A B sin 2sin =,即2,1,2===b a a b ， …………8分由余弦定理C C c cos 45cos 212412-=⨯⨯-+=，1cos 0,20<<∴<<C C π512<<∴c ，即51<<c ，，又2=∴∈*c N c ，经检验符合三角形要求…………12分18.解：(Ⅰ)平面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,所以PD ⊥平面ABCD ,所以PD AD ⊥, 以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -.则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1).A B C P (1,1,0)DB =,(1,1,0)BC =-, 所以0BC DB ⋅= ,BC DB ⊥, 又由PD ⊥平面ABCD ,可得PD BC ⊥,所以BC ⊥平面PBD (Ⅱ)平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-,(0,2,1)PC =-,PQ PC λ=,(0,1)λ∈ 所以(0,2,1)Q λλ-,设平面QBD 的法向量为(,,)a b c n =,(1,1,0)DB =,(0,2,1)DQ λλ=-,由0DB ⋅=n ,0DQ ⋅=n ,得 所以,02(1)0a b b c λλ+=⎧⎨+-=⎩, 所以2(1,1,)1λλ--n =,所以222cos 452222()1BC BCλλ⋅===+-n n , 注意到(0,1)λ∈,得21λ=- 19.解：(1) (0.005+0.0043+0.032)×20×500=0.25×500=125(2) (40×0.0065+60×0.0140+80×0.0170+100×0.0050+120×0.0043+140×0.0032)×20 =(0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448)×20=78.48 (3) 设甲答对每一道题的概率为p 则91)1(2=-p 32=⇒p2782710311)5(2710)1()1()1()4(,31)1()3(54322322333=--===--+-===-+==ξξξξP P P P C P P P C P P P P ，，可能取得值为 ξ∴的分布列为ξ3 4 5 P312710278278527104313⨯+⨯+⨯=∴ξE =2710720．解：（Ⅰ）2211612x y +=； （Ⅱ）①易知直线AB 斜率存在．当AB 的斜率为0时，显然0AFM BFN ∠=∠=，满足题意， 当AB 的斜率不为0时，设AB l : 8(0)x my m =-≠，11(,)A x y ，22(,)A x y ，由 22228(34)48144011612x my m y my x y =-⎧⎪⇒+-+=⎨+=⎪⎩． ∴222222248412(34)24(4)04m m m m ∆=-⨯+=->⇒>，1224834m y y m +=+，12214434y y m =+．则 121222AF BF y y k k x x +=+++ 1212211212(6)(6)66(6)(6)y y y my y my my my my my -+-=+=----12121226()(6)(6)my y y y my my -+=--，又 1212221444826()2603434mmy y y y m m m -+=⋅-⋅=++，∴0AF BF k k +=，从而AFM BFN ∠=∠． 综合可知：对于任意的割线QAB ，恒有AFM BFN ∠=∠．②由①，22121724||||234ABF QBF QAFm S S S QF y y m ∆∆∆-=-=⋅-=+， 2222724727233163(4)162316344m m m m -==≤=-+⋅-+-，当且仅当2216344m m -=-，即2213m =±（此时适合于0>∆的条件）时取等号． ∴ 三角形ABF ∆面积的最大值是33．法Ⅱ：换元法：令24(0)m t t -=>，则 2227247272723316343162483m t m t t t-==≤=+++． 21．解：（1）21221()2()x ax f x x a x x -+'=+-=依题意得，在区间1[, 2]2上不等式22210x ax -+≥恒成立. 又因为0x >，所以12(2)a x x≤+.所以222a ≤，2a ≤所以实数a 的取值范围是(, 2]-∞.（2）2221()x ax f x x-+'=，令2()221h x x ax =-+①显然，当0a ≤时，在(0,)+∞上()0h x >恒成立，这时()0f x '>，此时，函数()f x 没有极值点； ②当0a >时，（ⅰ）当0∆≤，即02a <≤时，在(0,)+∞上()0h x ≥恒成立，这时()0f x '≥，此时，函数()f x 没有极值点； （ⅱ）当0∆>，即2a >时，易知，当222222a a a a x --+-<<时，()0h x <，这时()0f x '<； 当2202a a x --<<或222a a x +->时，()0h x >，这时()0f x '>；所以，当2a >时，222a a x --=是函数()f x 的极大值点；222a a x +-=是函数()f x 的极小值点. 综上，当2a ≤时，函数()f x 没有极值点；当2a >时，222a a x --=是函数()f x 的极大值点；222a a x +-=是函数()f x 的极小值点. （3）由已知得2211122222()ln ()02()ln ()02a f x x x a a f x x x a ⎧=+--=⎪⎪⎨⎪=+--=⎪⎩两式相减，得：()112122ln ()2x x x x x a x +-+-…①由'1()2()f x x a x =+-，得'0001()2()f x x a x =+-…………② 得①代入②，得 '001201212()2()(2)f x x a x x a x x x =+-=++-+ =221222*********(1)211ln ln ()()1x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-=-+--⎢⎥+⎢⎥⎣⎦令),1(12+∞∈=x x t ，且)1(ln 122)(>-+-=t t t t t ϕ，0)1()1()(22<+--='t t t t ϕ()t ϕ∴在),1(+∞上递减，0)1()(=<∴ϕϕt ，0)(,021<'∴<x f x x。