6.4万有引力理论的成就
【学霸笔记】物理必修二6.4万有引力理论的成就
第四节 万有引力理论的成就一、天体质量的求解1、思路一：“地上公式”法（亦称为自力更生法）已知中心天体的半径R 和中心天体的重力加速度g ：；，G g R M mg RGMm 22== 2、思路二：“天上公式”法（亦称为借助外援法）①已知中心天体匀速圆周运动的周期T 、轨道半径r 、；，）、、（23222244:GTr M r T m r GMm R r T ππ== ②已知中心天体匀速圆周运动的线速度v 、轨道半径r 、；，）、、（Gr v M r v m r GMm R r v 222:== ③中心天体匀速圆周运动的线速度v 、公转周期T 、；，，）、、（GT v M T v r v m r GMm R T v ππ22:322=== 3、说明：①环绕天体的质量只能给出不能求出。
②要想求某天体的质量只能将其作为中心天体来研究。
③求中心天体质量的几种情景。
A 已知环绕天体的轨道半径、线速度、周期（线速度、频率）中的任意两个。
B 已知中心天体的重力加速度和半径。
二、天体密度的求解1、思路一：“地上公式”法已知中心天体的半径R 和中心天体的重力加速度g ：GR g R V G g R M mg R GMm R g πρπ4334:322====，；，）、（2、思路二：“天上公式”法①已知中心天体匀速圆周运动的周期T 、轨道半径r 、天体半径为R323323222233444:R GT r R V GT r M r T m r GMm R r T πρπππ====，；，）、、（ 特别注意：吐过卫星绕天体表面运行时，天体密度ρ＝3πGT 2，即只要测出卫星环绕天体表面运动周期T ，就可算中心天体的密度。
②已知中心天体匀速圆周运动的线速度v 、轨道半径r 、天体半径为R3232224334:GR r v R V G r v M r v m r GMm R r v πρπ====，；，）、、（ ③中心天体匀速圆周运动的线速度v 、公转周期T 、天体半径为R323322833422:GR T v R V G T v M T v r v m r GMm R T v πρπππ=====，；，，）、、（3、说明：①一般情况求中心天体的密度必须知道中心天体的半径。
6.4万有引力理论的成就
分析
根据太阳对地球的引力提供地球绕太阳 做圆周运动的向心力列出相关方程，再根据 地球表面重力等于万有引力列出方程联立求 解。
解：设T为地球绕太阳运动的周期，则由
万有引力定律和动力学知识得
mM G R2
m
4 2
T2
r
对地球表面物体
m’又有
m'
g
G
mm' r2
两式联立得
M
4 2mr 3
gR2T 2
M 2 1030 kg
（D ）
A.甲的运行的周期一定比乙的 B. 甲距地面的高度一定比乙的高 C. 甲的向心力一定比乙的小 D. 甲的加速度一定比乙的大
课堂练习
1 . 在研究宇宙发展演变的理论中， 有一种学说叫做“宇宙膨胀说”.这种学
说认为万有引力常量G在缓慢地减小，根
据这一理论，在很久很久以前，太阳系中 地球的公转情况与现在相比（ B ）
✓难点
根据已有条件求中心天体的质量。通过类 比思维、归纳总结建立模型来加深理解。
内容解析
一 . 实验室称量地球的质量
如何称量地球的质量？显然我们找不到足够 大的天平。但科学的迷人之处正在于此，我们可 以用万有引力来“称量”地球的质量！
那么，我们如何用万有引力来称量地球的质 量呢？
如果不考虑地球自转的影响，地面上质量为
计算预测了这颗未知大行星 在天空中的位置。然而，他的预 测没有引起有关天文学家的重视。
1845年夏季，法国天文工作 者勒威耶，也独立地通过计算预 测了天王星轨道外这颗未知大行 星在天空中的位置。德国柏林天 文台台长伽勒，根据勒威耶的预 报位置，于l846年9月23日果然发 现了这颗大行星。其发现位置与 勒威耶预报的位置仅差52分，与 亚当斯预报的位置仅差27分。
6.4万有引力理论的成就
2
1 2 2h h = gt ⇒ g = 2 2 t
2hr M= 2 Gt
2
牢记
不同星球表面的力学规律相同，只是重力 不同星球表面的力学规律相同，只是重力 加速度g不同 不同， 加速度 不同，在解决其他星球表面上的 力学问题时， 力学问题时，若要用到重力加速度应该是 该星球的重力加速度， 竖直上抛运动、 该星球的重力加速度，如：竖直上抛运动、 平抛运动、竖直平面内的圆周运动， 平抛运动、竖直平面内的圆周运动，都要 用该星球的重力加速度。 用该星球的重力加速度。
地球绕太阳做匀速圆周运动？ 地球绕太阳做匀速圆周运动？
个小问题。 例2、回答下面 个小问题。 、回答下面3个小问题 ①如果以水星绕太阳做匀速圆周运 动为研究对象， 动为研究对象，需要知道哪些量 才能求得太阳的质量？ 才能求得太阳的质量？ 需要知道水星做匀速圆周运动的公转 周期T及公转半径 周期 及公转半径 r
4π 2 r 3 M= GT 2
需要条件：月球公转周期 ； 需要条件：月球公转周期T； 月球轨道半径r 月球轨道半径
注意
1、上面三式中，因为线速度与角速度实际操作中 、上面三式中， 不好测量，周期好测量， 不好测量，周期好测量，所以我们用得最多的 公式将会是第三个 2、在处理这部分知识时，大家头脑一定要清醒， 、在处理这部分知识时，大家头脑一定要清醒， 右边中向心力公式， 右边中向心力公式，向心力应用的对象是做圆 周运动的物体，对地月系统来说就是月球。 周运动的物体，对地月系统来说就是月球。所 以左边公式中的m是月球质量 是月球质量、 是月球做圆周 以左边公式中的 是月球质量、T是月球做圆周 运动的周期即公转周期、 是月球做圆周运动的 运动的周期即公转周期、r是月球做圆周运动的 半径即地心到月心的距离。 半径即地心到月心的距离。左边是万有引力公 是月球质量M则是中心天体即地球的质量 式，m是月球质量 则是中心天体即地球的质量、 是月球质量 则是中心天体即地球的质量、 r是两球心距离即地心到月心的距离。 是两球心距离即地心到月心的距离。 是两球心距离即地心到月心的距离
64万有引力理论的成就.doc
6.4万有引力理论的成就教学过程卡文迪许在实验室测出了引力常量，表明了万有引力定律同样适用于地面上的任意两 个物体，用实验方法进一步证明了万有引力定律的普适性．同时，引力常量的测出，使得包括计算星体质量在内的关于万有引力定律的计算成为可能，使得万有引力定律有了真正的实 用价值．因此万有引力理论的成就是本章的重点．万有引力定律在天文学上应用广泛，它与牛顿第二定律、圆周运动的知识相结合，可用 来求解天体的质量和密度，分析天体的运动规律．万有引力定律与实际问题、现代科技相联 系，可以用来发现新问题，开拓新领域．把万有引力定律应用在天文学上的基本方法是：将天体的运动近似看作匀速圆 周运动处理，运动天体所需要的向心力来自于天体间的万有引力．因此，处理本节问 题时要注意把万有引力公式与匀速圆周运动的一系列向心力公式相结合，就可推导 出适用于天体问题的公式，并且在应用这些公式时，一定要正确认识公式中各物理量 的意义．具体应用时根据题目中所给的实际情况，选择适当公式进行分析和求解．通过本节课的学习我们要掌握计算中心天体的质量的两种方法：一是利用中心天体表 面物体所受的重力m9等于中心天体对物体的引力，即,2RMm G mg =由此解出 是利用围绕中心天体运动的天体来求解，即r T m r m r v m rGMm 222224πω=== 来求解．天体的质量算出后，还可以利用M p V=来求天体的密度． 教学重点运用万有引力定律计算天体的质量．教学难点在具体的天体运动中应用万有引力定律解决问题．课时安排1课时三维目标知识与技能1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用．2．会用万有引力定律计算天体的质量．过程与方法1．理解运用万有引力定律处理天体问题的思路、方法，体会科学定律的意义．2．了解万有引力定律在天文学上的重要应用，理解并运用万有引力定律处理天体问题 的思路方法．情感态度与价值观1．通过测量天体的质量、预测未知天体的学习活动，体会科学研究方法对人类认识自然的重要作用，体会万有引力定律对人类探索和认识未知世界的作用．2．通过对天体运动规律的认识，了解科学发展的曲折性，感悟科学是人类进步不竭的 动力．教学过程导入新课故事导入◆在1781年3月13日，这是一个很平常的日子，晴朗而略带寒意的夜晚，英国天文学家威廉·赫歇尔(1738～1822)跟往常一样，在其妹妹加罗琳(1750～1848)的陪同下，用自己制造的口径为16厘米、焦距为213厘米的反射望远镜，对着夜空热心地进行巡天观测．当他把望远镜指向双子座时，他发现有一颗很奇妙的星星，乍一看像是一颗恒星，一闪一闪地发光，引起了他的怀疑．经过一段时间的观测和计算这后，这颗一直被看作是“彗星”的新天体，实际上是一颗在土星轨道外面的大行星——天王星．天王星被发现以后，天文学家们都想目睹这颗大行星的真面目．在人们观测和计算中，发现天王星理论计算位置与实际观测位置总有误差，就是这一误差，引起了人们对“天外星”的探究，并于1846年9月23日发现了太阳系的第八颗行星——海壬星．海王星被称为“从笔尖上发现的行星”，原因就是计算出来的轨道和预测的位置跟实际观测的结果非常接近．你知道科学家在推测海王星的轨道时，应用的物理规律主要有哪些吗?情景导入◆1“9·11”恐怖事件发生后，美国为了找到本·拉登的藏身地点，使用了先进的侦察卫星．据报道：美国将多颗最先进的KH—tl、KH一12“锁眼”系列照相侦察卫星调集到中亚地区上空，“锁眼”系列照相侦察卫星绕地球沿椭圆轨道运动，近地点26 5 km(指卫星离地的最近距离)、远地点6 50 km(指卫星离地面的最远距离)，质量13．6 t～18．2 t，这些照相侦察卫星上装有先进的CCD数字照相机，能够分辨出地面上0．1 ｍ大小的目标，并自动地将照片转给地面接收站及指挥中心．由开普勒定律知道：如果卫星绕地球做圆周运动的圆轨道半径跟椭圆轨道韵半长轴相等，那么，卫星沿圆轨道运动的周期跟卫星沿椭圆轨道运动的周期相同．。
教育部参赛-万有引力理论的成就-尹香君
6.4《万有引力理论的成就》教案【教学背景】本节教材简要介绍了万有引力理论在天文学上的重要应用，是对万有引力定律的一个具体理解和应用。
通过这一节课的学习，一方面要使学生了解运用万有引力定律解决问题的思路和方法，另一方面还要能体会到科学定律对人类探索未知世界的作用，激发学习兴趣和对科学的热爱之情。
【教材分析】本节教材简要介绍了万有引力理论在天文学上的重要应用，即“计算天体的质量”，“发现未知天体”。
教材首先通过“科学真是迷人”，在不考虑地球自转影响的情况下，认为地面上的物体所受重力和引力相等，进而得到只要知道了地球表面的重力加速度和引力常量G，即可计算出地球的质量。
最后从科学史的角度，简要介绍了亚当斯和勒维耶发现海王星的过程，都显示了万有引力理论的巨大成就。
本节内容是这一章的重点，是万有引力定律在实际中的具体应用．利用万有引力定律除了可求出中心天体的质量外还可发现未知天体．【学情分析】学生在学习本节内容之前，已经学习了匀速圆周运动的相关知识，知道匀速圆周运动的向心力由合外力提供，初步掌握了利用牛顿第二定律和向心力表达式处理匀速圆周运动的方法。
在前一节又学习了万有引力定律，但不熟悉运用万有引力定律解决实际问题的思路和方法。
学生对天文学的研究方法相对比较陌生，不了解万有引力理论所取得的成就。
【教学目标】知识与技能方面：（1）通过“称量地球质量”、“计算天体质量”的学习，学会运用万有引力定律计算天体的质量；（2）通过“发现未知天体”，“成功预测彗星的回归”等内容的学习，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
过程与方法方面：运用万有引力定律计算天体质量，体验运用万有引力解决问题的基本思路和方法。
情感态度与价值观方面：（1）.通过“发现未知天体”、“成功预测彗星的回归”的学习，体会科学定律在人类探索未知世界的作用；（2）.通过了解我国天文观测技术的发展，激发学习的兴趣，养成热爱科学的情感。
【重难点】重点：计算天体的质量难点：运用万有引力定律解决问题的思路和方法【教学方法】为更好地完成教学目标，突破重难点，结合本节课的要求和特点我采用的教学方法为目标导学法、教师引领学生自主探究法、发现法、多媒体演示法等多种方法综合运用。
高中物理必修2课件：6.4 万有引力理论的成就
六、课堂总结
本节课我们学习了地球质量测定——天体质量
测定——天体轨道的演算推测,直观地了解了万有
引力定律在人类认识学科自网 然界奥秘中发挥的巨大作
用!
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理论来源于实践，反过来又可以指导实践。
所以在人们后来的探索前进道路上,仍旧难忘牛顿
等前辈科学家的功勋。
知识梳理
一.求解天体运动问题的基本思路
6400km ，引力常量Ｇ=6.67×10-11Nm2/kg2，试估算地球
的质量。
M
gR2 G
9.8 (6.4106 )2 6.67 1011
kg
6.01024 kg
2.已知月球的质量是7.3×1022kg，半径是1.7×103km，
月球表面的自由落体加速度有多大？这对宇航员在月球表
二、计算天体的质量
同步练习
3.不同行星与太阳的距离r和围绕太阳公转的周期T都是各不相同的， 但是不同行星的r，T计算出来的太阳质量必须是一样的！这里得到 的计算太阳质量的公式能否保证这一点？
4.能否利用人造卫星的相关信息 测量地球质量?
某人造地球卫星沿圆形轨道 运行，轨道半径是6.8×103km， 周期是5.6×103s。试从这些数据 估算地球的质量。
3
m
V
3 r 3 GT 2R 3
当r≈R时
3 GT
2
二.应用三 发现未知天体
基本思路.
当一个已知行星的实际轨道和理论计算 的轨道之间有较大的误差时，说明还有未 知的天体给这个行星施加引力.然后应用万 有引力定律，结合对天体的观测资料，便 计算出了另一天体的轨道，进而在计算出 的位置观察新的天体。
人教版高一物理必修2第六章6.4万有引力理论的成就课件
拓展：天体密度的计算
（1）利用天体质量表达式推 出天体的密度
M＝ gR2
G
3g
4GR
（2）利用天体质量表达式推
出天体的密度
3r 3
GT 2 R3
M 4 2r3
GT 2
当r=R时
3
GT 2
三、发现未知天体
阅读课文，回答问题： （1）笔尖下发现的行星是哪颗行星？ （2）人们用类似的方法又发现了哪颗行星？ （3） 已知太阳质量M，天体的公转周期T， 试推导天体公转半径。
G Mm m 2r
r2
若已知天体公转半径r和线速度v
G Mm m v 2
r2
r
【自主检测】
要计算地球的质量,除已知的一些常数外,还必须 知道某些数据,现给出下列各组数据,可以计算出 地球质量的有(ABC ) A.已知地球的半径R 和地球表面重力加速度g B.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r 和线速度v C.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T和线 速度v D.地球的公转周期T和公转半径r
合
解析：设M是太阳质量，m是某个
作 探
建立物理模型
行星的质量，r是行星与太阳之间 的距离，T是行星公转周期。
究
F引 F向
太阳
G Mm 4 2mr
r2
T2
太阳的质量
行星绕太阳做匀速圆周运动
M
4 2r 3
GT 2
结论：测出行星的公转周期Ｔ和 它与太阳的距离r，就可以算出太 阳的质量。
若已知天体公转半径r和角速度ω
4.万有引力理论的成就
曹冲称象
那给我们一个弹簧秤（台秤）或者是船是 否就可以称量地球的质量呢？
答案是:否定的.
6.4《万有引力理论的成就》课件
小结：
１、处理天体Βιβλιοθήκη 动问题的关键是：万有引力提供 做匀速圆周运动所需的向心力．
Mm F向 G 2 r ２、忽略地球自转,物体所受重力等于地球 对物体的引力.
Mm mg G 2 R
3 联立上面三式得： 2 GT
代入数值： G 6.67 1011 N m2 kg 2 可得： 6.98 103 kg / m3
T 4.5 103 s
二、发现未知天体
１、海王星的发现
理论轨道 实际轨道
亚当斯[英国]
勒维耶[法国]
海王星
1846.9.23
发现天王 星轨道偏 离
2. 我国第一颗绕月球探测卫星“嫦娥一号”于 2007年10月24日18时05分在西昌卫星发射中心 由“长征三号甲”运载火箭发射升空，经多次变 轨于11月7日8时35分进入距离月球表面200公里， 周期为127分钟的圆轨道。已知月球的半径和万 有引力常量，则可求出（ ABD ）
A．月球质量 B．月球的密度 C．探测卫星的质量 D．月球表面的重力加速度
2 2 F m r mr ( ) T
2
2．计算表达式
而行星运动的向心力是由万有引力提供的，所以
Mm 2 2 G 2 mr ( ) r T
由此可以解出
4 r M GT 2
2 3
如果测出行星绕太阳公转周期 T ，它们之间的 距离r，就可以算出太阳的质量．
同样，根据月球绕地球的运转周期和轨道半径， 就可以算出地球的质量．
三、重力、万有引力和向心力
重力和向心力是万有引力的两个分力 两极: 赤道: F万=G F万=G+F向 G F万
6.4万有引力理论的成就
得
3 r 3 GT 2 R 3
练习1：已知卫星绕行星表面运行的周期是T，试 求行星的平均密度。
GMm 2 m R 2 R T
2
4 2 R 3 M 2 GT
行星的密度
M 4 R V GT 2
2
3
3 ：
17:57
ACD
【跟踪发散】 1－1： (2011· 江苏卷)一行星绕恒星 做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为 T， 速度为 v.引力常量为 G，则( ) v3T A．恒星的质量为 2πG 4π2v3 B．行星的质量为 GT2 vT C．行星运动的轨道半径为 2π 2πv D．行星运动的加速度为 T
海王星
英国的亚当斯和法国的勒维耶
实际轨道
理论轨道
海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的 不一致．于是几位学者用亚当斯和勒维列的方法预言另 一颗新星的存在． 在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现 了这颗新星——冥王星．
尽管冥王星外 面太阳光已经非常 的微弱，但是，黑 暗寒冷的太阳系边 缘依然牵动着人们 的心，搜索工作从 来没有停止过。 美国2001年发 射，并于2006至 2008年访问冥王星 的宇宙飞船
4
万有引力理论的成就
GMm v 4 2 ma m mr mr 2 2 r r T
2
2
阿基米德在研究杠杆原理后，曾经说过一句什么名言？
“给我一个支点， 我可以撬动球。”
那给我们一个杠杆(天平)是 否就可以称量地球的质量了 呢？ 答案是:否定的.
那我们又是怎么知道巨大的地球的质量呢?
三、计算中心天体的密度
（1）利用天体表面的重力加速度来求天体的密度 由
Mm mg G 2 R 4 M R3 3
6.4 万有引力理论的成就
海王星
海王星的实际轨道由英国 剑桥大学的学生亚当斯和法 国年轻的天文爱好者勒维耶 据天王星的观测资料各自独 立地利用万有引力定律计算 出来的.
柏林天文台
1846年9月23日晚, 由德国的伽勒在柏 林天文台用望远镜 在勒维耶预言的位 置附近发现了这颗 行星——海王星
万有引力定律在天文学中具有的重要意义
“给我一个支点， 我可以撬动球。”
那给我们一个杠杆(天 平)是否就可以称量地 球的质量了呢？
答案是:否定的.
那我们又是怎么知道巨大的地球的质量呢?
“科学真是迷人”
卡文迪许把自己的实验说成是“称量地球的质量” 是不无道理的。在实验室称量几个铅球之间的作用力， 就可以称量地球，这不能不说是一个科学奇迹。
人教版必修2
第六章 万有引力与航天
第四节 万有引力理论的成就
回顾所学内容
(1)物体做圆周运动的向心力公式是什么？分别写
出F向心m力rv2与线F速度m、r角速2 度F以及m周r期(的2T关)系2 式。
(2)万有引力定律的表达式？
F
G
Mm r2
(3)重力和万有引力的关系？
重力是万有引力的一个分力
阿基米德在研究杠杆原理后，曾经说过什么？
就连一个外行人、著名文学家马克·吐温满怀激情地 说：“科学真是迷人。根据零星的事实，增添一点猜想， 竟能赢得那么多收获！”
这话虽然出自一位外行人之口，却道出了科学发现 的精髓。
我们能否计算太阳的质量知行星,是万有引力理论威力和价 值的最生动例证.
在1781年发现的第七个行 星—天王星的运动轨道，总是 同根据万有引力定律计算出来 的有一定偏离.当时有人预测， 肯定在其轨道外还有一颗未发 现的新星,这就是后来发现的 第八大行星—海王星.
6.4万有引力l理论的成就
练习：
已知月球表面的重力加速度是地球表面 重力加速度的1/6 ，月球的半径为 1740km，试求月球的质量
二、万有引力理论的成就
一.测量天体的质量
1.测量地球的质量
思考： （1）根据所学的知识你能解 释为什么可以不考虑地球自转的影 响？
（2）测量地球质量运用了 处理天体运动问题的那种思路？
F引
问题1：笔尖下发现的行星是哪一颗 行星？
问题2：人们用类似的方法又发现了 哪颗行星？
总结：
万有引力理论的成就： 一.测量天体的质量或密度 二：发现未知天体
强化训练： 1：利用下列哪组数据可以举算出地球的质量 （ ABCD ） A:已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g B:已知卫星围绕地球运动的轨道半径r和周期T C:已知卫星围绕地球运动的轨道半径r和线速度V D:已知卫星围绕地球运动的线速度V和周期T
6.4.万 有 引 力 理论 的成就
万有引力定律
万有引力定律的内容是： 式中各物理量的含义及单位： 万有引力定律的适用条件是什么？ 你认为万有引力定律的发现有何深远意义？
卡文迪许(英国) 1731-1810
能称出地球质量的人
金属丝
扭
秤
T形架
装
置
平面镜
光源
刻度尺
扭秤实验的测量结果
G 6.671011N m2 / kg2
万有引力常量
尝试说明卡文迪许在测 G值时巧妙在哪里？ 引力常量的测定有何实际意义？ 联系以往所学知识，测微小量的实验？
对称和谐美
F
G
m1m2 r2
简洁含蓄美
6.4 万有引力理论的成就(课件)
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物 体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次 方成反比。
F G m1m2 r2
万有引力的发现，给天文学的研究开辟了一条康 庄大道。可以应用万有引力定律“称量”地球的质量、 计算天体的质量、发现未知天体，这些累累硕果体现 了万有引力定律的巨大的理论价值。
2r
不需要，已经被约去，我 们只能求中心天体的质量
同样的道理，如果已知卫星运动的周期和卫星与
行星之间的距离，也可以算出行星的质量。目前观测 人造卫星的运动，是测量地球质量的重要方法之一。
2、环绕法测量天体质量
环绕天体所需向心力由中心天体对环绕天体的万 有引力提供
F万 F向
G
Mm R2
mw2r
4 2r 3
M
4 2r 3
GT 2
由开普勒第三定律可知，所有行星轨道半径的三 次方跟它公转周期的二次方的比值K对于同一个中心天 体都相等。Gπ是常数，所以可以满足。
【思考与讨论】
1．行星绕太 阳运动时轨道 半径的三次方 与公转周期的 平方的比值k 跟什么因素有
关？
2．在什么情 况下用此方法 计算天体的质 量？计算出的 是运行天体的 质量还是中心 天体的质量？
环绕法 解：卫星绕地球做圆周运动的向心力由地
球对卫星的万有引力提供，有 G Mm m( 2 )2 r
r2
T
得地球质量：M
4 2r 3
GT 2
4 2 (6.8106 )3
6.67 10 11 (5.6 103 )2 kg
5.9 10 24 kg
4、木星是绕太阳公转的行星之一,而木星的周围又有卫星绕 木星公转。如果要通过观测求得木星的质量,需要测量哪些量？ 试推导用这些量表示的木星质量的计算式。
6.4 万有引力理论的成就
6.4 万有引力理论的成就教学目标(1)了解地球表面物体的万有引力两个分力的大小关系，计算地球质量；(2)行星绕恒星运动、卫星的运动的共同点：万有引力作为行星、卫星圆周运动的向心力，会用万有引力定律计算天体的质量；(3)了解万有引力定律在天文学上有重要应用。
思路与方法通过数据分析找到地球表面物体万有引力与两个分力——重力和物体随地球自转的向心力的大小关系，得到结论向心力远小于重力，万有引力大小近似等于重力，从而推导地球质量的计算表达式。
通过对太阳系九大行星围绕太阳运动的分析，根据万有引力作为行星圆周运动的向心力，计算太阳的质量；进一步类比联想推理到月亮、人造卫星围绕地球圆周运动求地球质量等，最后归纳总结建立模型——中心天体质量的计算。
引入：伽利略在研究杠杆原理后，曾经说过一句名言“给我一个支点，我可以撬动地球。
”天平测量地球的质量？ 一、“科学真是迷人”——地球质量的称量（1）称量条件：不考虑地球自转的影响。
物体m 在纬度为θ的位置，万有引力指向地心，分解为两个分力：m 随地球自转围绕地轴运动的向心力和重力。
给出数据：地球半径R 、纬度θ（取900）计算两个分力的大小比值，引导学生得出结论：向心力远小于重力，万有引力大小近似等于重力。
（2）称量原理：地面上物体所受的重力等于地球对它的万有引力：mg ＝GMm ／R 2。
（3）称量结果：M ＝gR 2／G ＝5.96×1024kg 。
二、 计算天体的质量——卫星在天文研究中的地位（1）运动模型：行星绕太阳的运动近似为匀速圆周运动，太阳对行星的万有引力提供向心力。
（2）基本方程：22GMm r mr ω=，2T ωπ=。
（3）太阳质量：2324M r π=。
（4）方法推广：通过观测天体卫星的运动而测量该天体质量，是测量天体质量的重要方法之一。
（5）测量天体的密度：根据M=ρV 设星体半径为R ，V=343R π 则ρ=M V =3233r GT R π 如果星体半径未知，则只要发射一颗贴着星体表面飞行的卫星，使R=r 上式可变为ρ=23GT π 三、发现未知天体——万有引力定律地位的确立（1）发现过程：①由最外侧天体轨道的“古怪”现象提出猜想；②根据轨道的“古怪”情况和万有引力定律计算“新”天体的可能轨道；③根据计算出的轨道预测可能出现的时刻和位置；④进行实地观察验证。
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§6.4万有引力理论的成就
班级 姓名
【自主学习】
一、计算天体的质量
1．地球质量的计算
利用地球表面的物体：若不考虑地球自转，质量为m 的物体的重力等于地球对物体的____， 即mg ＝
则地球的质量：M = 。
由此式可知只要知道g 、R 的值，就可计算出地球的质量。
2．太阳质量的计算
利用某一行星：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力由它们之间的________提
供。
即 。
则太阳的质量：M = 。
由此式可知只要测出行星绕太阳运动的________和________就可以计算出太阳的质量。
3．其他行星的质量计算
仿照计算太阳质量的方法，利用绕行星运转的卫星：若测出该卫星与行星间的距离r 和转动
周期T ，同理G Mm r 2＝
由此式可得出行星的质量M ＝ 。
二、发现未知天体
1．已发现天体的轨道推算
18世纪，人们观测到太阳系第七个行星——天王星的轨道和用 计算出来的
轨道有一些偏差。
2．未知天体的发现
根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出未知天体的轨道，
如 、 、 就是这样发现的。
【规律总结】
1.应用万有引力定律解决天体运动问题的两条思路：
(1)所有做圆周运动的天体，所需要的向心力都来自万有引力。
因此，向心力等于万有引力，
是我们研究天体运动建立方程的基本关系式，即G Mm r 2＝ma ，式中的a 是向心加速度，根据
问题的条件可分别选用：a ＝v 2r ，a ＝ω2r ，a ＝4π2T 2r 。
(2)物体在地球(天体)表面时受到的引力近似等于物体的重力，即G Mm R 2＝mg ，式中的R 为地
球(天体)的半径，g 为地球(天体)表面物体的重力加速度。
（严格的说，物体在地球(天体)表面时受到的引力不等于物体的重力）
2．常用的几个关系式
设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动。
(1)由 得v ＝
GM r ，r 越大，天体的v 越 。
(2)由 得ω＝
GM r 3，r 越大，天体的ω越 。
(3)由 得T ＝2πr 3
GM
，r 越大，天体的T 越 。
(4)由 得a n ＝GM r
2，r 越大，天体的a n 越 。
【典例探究】
1．(多选)已知万有引力常量G ，现给出下列各组数据，可以计算出地球质量的有( )
A ．已知地球的半径R 和地面的重力加速度g
B ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r 和线速度v
C ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r 和周期T
D ．地球公转的周期T ′及运转半径r ′
2．在某行星上，宇航员用弹簧秤称得质量为m 的砝码重力为F ，乘宇宙飞船在靠近该星球表面
空间飞行，测得其环绕周期为T 。
根据这些数据求该星球的质量和密度。
【巩固练习】
3．关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法中正确的是( )
A ．天王星、海王星和冥王星，都是运用万有引力定律、经过大量计算后而发现的
B ．在18世纪已经发现的7个行星中，人们发现第七个行星——天王星的运动轨道总是同根据
万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是有人推测，在天王星轨道外还有一个行星，是它的存在引起了上述偏差
C ．第八个行星，是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经大量计算而发现的
D ．冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维列合作研究后共同发现的
4．（多选）已知地球的质量为M ，月球的质量为m ，月球绕地球的轨道半径为r ，周期为T ，万
有引力常量为G ，则月球绕地球运转轨道处的重力加速度大小等于( )
A.
Gm r 2 B.
GM r 2 C.4π2T 2 D.4π2
T 2r
5．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A 、B 两颗天体各有一颗靠近表面飞行的
卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断正确的是( )
A ．天体A 、
B 表面的重力加速度与它们的半径成正比
B ．两颗卫星的线速度一定相等
C ．天体A 、B 的质量可能相等
D ．天体A 、B 的密度一定相等
6．(河北正定中学高一检测)火星绕太阳运转可看成是匀速圆周运动，设火星运动轨道的半径为
r ，火星绕太阳一周的时间为T ，万有引力常量为G ，则可以知道( )
A ．火星的质量m 火＝4π2r 3
GT 2 B ．火星的平均密度ρ火＝3πGT 2 C ．太阳的平均密度ρ火＝3πGT D ．太阳的质量m 太＝4π2r 3
GT 7．(多选)有一宇宙飞船到了某行星附近(该行星没有自转运动)，以速度v 绕行星表面做匀速圆
周运动，测出运动的周期为T ，已知引力常量为G ，则下列结论正确的是( )
A ．该行星的半径为vT 2π
B ．该行星的平均密度为3πGT 2
C ．该行星的质量为2v 3
T g π D ．该行星表面的自由落体加速度为2πv T
8．继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太
空中风尘仆仆地穿行后，美航天局和欧航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日(北京时间7月1日)抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族．这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕周期为T ，万有引力常量为G .求土星的质量和平均密度．
【自助餐】
9．(多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的
恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2.则可知( )
A ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2
B ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为1∶1
C ．m 1做圆周运动的半径为25
L D ．m 2做圆周运动的半径为35
L
【学后反思】。