人教版七年级下册数学重点知识点练习及答案解析——平行线的性质与判定综合应用
初一数学下册(人教版)第五章5.3知识点总结含同步练习及答案
描述:初一数学下册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第五章 相交线与平行线 5.3 平行线的性质一、学习任务1. 能够熟练的运用平行线的性质定理和判定定理解题.2. 发展空间观念、逻辑推理能力和有条理的表达能力.二、知识清单平行线的性质三、知识讲解1.平行线的性质平行线性质① 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;② 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等;③ 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.平行线间的拐点问题① 已知 ,如图,当点 处于以下位置时, 与 , 的关系是:② 已知 ,如图,当存在 个 点时, 的值.③ 已知 ,如图,当存在 个 点时,, 与 的关系.AB ∥CD E ∠E ∠B ∠D AB ∥CD n E ∠B +∠D +∠+∠+∠+⋯+∠E 1E 2E 3E n AB ∥CD n E ∠B ∠D ∠+∠+∠+⋯+∠E 1E 2E 3E n例题:四、课后作业(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学)AB ∥CD如图所示,已知直线 ,,则 _______.解:.AB ∥CD ∠1=50∘∠2=50∘答案:1. 如图,直线 ,直线 与 , 相交,,则 .A .B .C .D .Ba ∥bc a b ∠1=65∘∠2=()115∘65∘35∘25∘答案:2. 一辆汽车在公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向上平行行驶,那么两个拐弯的角度可能为 A .先向左转 ,再向左转 B .先向左转 ,再向右转 C .先向左转 ,再向右转 D .先向左转 ,再向左转 B()130∘50∘50∘50∘50∘40∘50∘40∘答案:3. 如图,,直线 分别交 、 于点 、 ,若 ,则 的度数为 .A .B .C .D .DAB ∥CD BC AB CD B C ∠1=50∘∠2()40∘50∘120∘130∘4. 如图,直线 ,, 交直线 于点,,则 的度数是 a ∥b AC ⊥AB AC b C ∠1=60∘∠2()高考不提分,赔付1万元,关注快乐学了解详情。
人教版七年级下册数学重点知识点练习及答案解析——平行线的性质讲练
人教版七年级下册数学重点知识点练习及答案解析——平行线的性质讲练一、知识点平行线的性质:性质1:两直线平行,同位角相等。
如图所示,如果a∥b,则= ;= ;= ;= .性质2:两直线平行,内错角相等。
如图所示,如果a∥b,则= ;= .性质3:两直线平行,同旁内角互补。
如图所示,如果a∥b,则+ = 180°;+ = 180°。
性质4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果a∥b,a∥c,则∥.二、考点点拨与训练考点1:平行线性质的基本应用典例:(2020·全国初三专题练习)如图,平行线AB,CD被直线AE所截,∠1=80°,则∠2的度数是( )A.80°B.90°C.100°D.110°【答案】C【解析】如图,∵∠1=80°,∴∠3=100°,∵AB∥CD,∴∠2=∠3=100°.故选C.方法或规律点拨此类问题主要考查了平行线的性质以及邻补角、对顶角等基本概念,能灵活运用定理进行分析推理是解此题的关键.巩固练习1、(2020·全国初三专题练习)如图,AB//CD,∠A=50°,则∠1的度数是()A.40°B.50°C.130°D.150°【答案】C【解析】解:∵AB∥CD,∴∠2=∠A=50°,∴∠1=180°﹣∠2=180°﹣50°=130°,故选:C.2、(2020·山东初二期末)如图,已知∠1=∠2,∠3=65°,那么∠4的度数是( )A.55°B.95°C.115°D.145°【答案】C【解析】解:Q∠1=∠2,∴a∥b,∴∠4+∠5=180°Q∠3=65°∴∠5=∠3=65°∴∠4=180°-65°=115°故选C.3、(2020·山东初二期末)如图,已知CD∥BE,如果∠1=60°,那么∠B的度数为()A.70°B.100°C.110°D.120°【答案】D【解析】解:∵∠1=60°,∴∠2=180°-60°=120°.∵CD∥BE,∴∠2=∠B=120°.故选:D.考点2:应用平行线的性质探究几何量之间的关系典例:(2019·武汉市梅苑学校初一期中)如图,在△ABC中,∠1=∠2,ED//BC,CD⊥AB于点D.求证:∠FGB=90°.【答案】答案见解析【解析】∵CD⊥AB(已知)∴∠CDB=90°(垂直定义)又∵DE ∥BC (已知)∴∠1=∠DCB (两直线平行,内错角相等)∵∠1=∠2(已知)∴∠2=∠DCB (等量代换)∴GF ∥DC (同位角相等,两直线平行)∴∠FGB =∠CDB (两直线平行,同位角相等)∵∠CDB =90°(已证)∴∠FGB =90°(等量代换).【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键.方法或规律点拨本题考查了平行线的判定与性质的综合应用,熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键.巩固练习1、(2019·浙江初一期中)如图,若//AB CD ,则α、β、γ之间的关系为______.【答案】180αβγ+-=o【解析】过点E 作EF ∥AB ,如图所示。
人教版七年级下数学第五章-相交线与平行线-知识点+考点+典型例题
【知识重点】1.两直线订交2.邻补角:有一条公共边,另一条边互为反向延伸线的两个角互为邻补角。
3.对顶角( 1)定义:有一个公共极点,且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延伸线,这样的两个角互为对顶角( 或两条直线订交形成的四个角中,不相邻的两个角叫对顶角)。
( 2)对顶角的性质:对顶角相等。
4.垂直定义:当两条直线订交所形成的四个角中,有一个角是90°那么这两条线相互垂直。
5.垂线性质:①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;②垂线段最短。
6.平行线的定义:在同一平面内,不订交的两条直线叫平行线,“平行”用符号“∥”表示,如直线a,b 是平行线,可记作“a∥ b”7.平行公义及推论(1)平行公义:过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
(2)推论:假如两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也相互平行。
注:(1)平行公义中的“有且只有”包括两层意思:一是存在性;二是独一性。
(2)平行拥有传达性,即假如a∥ b,b∥ c,则 a∥ c。
8.两条直线的地点关系:在同一平面内,两条直线的地点关系有订交和平行。
9.平行线的性质:(1)两直线平行,同位角相等(在同一平面内)(2)两直线平行,内错角相等(在同一平面内)(3)两直线平行,同旁内角互补(在同一平面内)10.平行线的判断(1)同位角相等,两直线平行;(在同一平面内)( 2)内错角相等,两直线平行;(在同一平面内)(3)同旁内角互补,两直线平行;(在同一平面内)( 4)假如两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也相互平行;增补:(5)平行的定义;(在同一平面内)( 6)在同一平面内,垂直于同向来线的两直线平行。
......11.平移的定义及特点定义:将一个图形向某个方向平行挪动,叫做图形的平移。
特点:①平移前后的两个图形形状、大小完整同样;②平移前与平移后两个图形的对应点连线平行且相等。
【典型例题】考点一:对有关观点的理解对顶角的性质,垂直的定义,垂线的性质,点到直线的距离,垂线性质与平行公义的差别等例 1:判断以下说法的正误。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定(1)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行. (2)平行公理的推论:平行于同一条直线的两条直线. (3)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线. (4)同位角相等,两直线平行. (5)内错角相等,两直线平行.(6)同旁内角互补,两直线平行.3、平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等. (2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一:余角、补角、对顶角与三线八角例题1:∠A的余角与∠A的补角互为补角,那么2∠A是()A.直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中,下列判断正确的是()A.4对同位角,2对内错角,4对同旁内角B.4对同位角,2对内错角,2对同旁内角C.6对同位角,4对内错角,4对同旁内角D.6对同位角,4对内错角,2对同旁内角【活学活用2】如图2-82,下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是()A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2:如果两个角的两边分别平行,而其中一个角比另一个角的4倍少30°,那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图,∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二:平行线的判定例题3:如图,已知∠EFB+∠ADC=180°,且∠1=∠2,试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行,那么这样的平行棱共有 ( )A .9对B .16对 C.18对 D .以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ,∠1=∠2,求证:DO ⊥AB.3、如图2-97,已知:∠1=∠2=,∠3=∠4,∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101,若要能使AB ∥ED ,∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ,若a ∥b ,a ⊥c ,b ⊥d ,则c 、d 的位置关系为( ) A.互相垂直 B .互相平行 C.相交 D .没有确定关系专题三:平行线的性质1、如图,110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行,则BOC ∠= . 2、如图,AB //CD ,BC //DE ,则∠B+∠D = .3、如图,直线AB 与CD 相交于点O ,OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=,则∠AOC 的度数是 .4、 如图,175,2120,375∠=∠=∠=,则4∠= .13 425、如图,//AB CD ,直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ,ED 平分BEF ∠,若172∠=,则2∠= .【例题讲解】例1:如图,已知:AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证:AD ∥EF 。
第3课时平行线及其性质七年级数学下册考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)
第3课时——平行线及其性质(答案卷)知识点一:平行线:1.平行线的定义:在同一平面内,的两条直线叫做平行线。
若直线a平行于直线b,则记作,读作。
注意:一定要在同一平面内。
且一定要时直线。
2.平行线的画法:过直线外一点画直线与已知直线平行的具体步骤:①将直角三角板的一条直角边与已知直线重合。
②将直尺与三角尺的另一直角边紧靠在一起。
③固定直尺不变,平移三角尺,使三角尺原来与已知直线重合的直角边与已知点重合。
④沿着三角尺该直角边画直线。
【类型一:确定平行线】1.在同一个平面内,不重合的两条直线的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.无法确定2.在长方体中,对任意一条棱,与它平行的棱共有()A.1条B.2条C.3条D.4条3.观察如图所示的长方体,与棱AB平行的棱有几条()A.4B.3C.2D.1【类型二:作图】4.如图所示,在∠AOB内有一点P.(1)过P画l1∥OA;(2)过P画l2∥OB;(3)用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系?5.在下面的方格纸中经过点C 画与线段AB 互相平行的直线l 1,再经过点B 画一条与线段AB 垂直的直线l 2.知识点二:平行公理及其推论:1. 平行公理:经过直线外一点, 条直线与这条直线平行。
有且只有:存在且唯一。
2. 平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
即若c b b a ∥,∥, 则a c 。
3. 垂直于同一直线的两直线平行:若c a b a ⊥⊥,,则b c 。
【类型一:对平行公理及其推论的判断理解】6.下列说法正确的是( )A .垂直于同一条直线的两直线互相垂直B .经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C .如果两条直线被第三条直线所截,那么同位角相等D .从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离7.下列说法正确的是( )A .a 、b 、c 是直线,若a ⊥b ,b ∥c ,则a ∥cB .a 、b 、c 是直线,若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cC .a 、b 、c 是直线,若a ∥b ,b ⊥c ,则a ∥cD .a 、b 、c 是直线,若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c8.同一平面内有四条直线a、b、c、d,若a∥b,a⊥c,b⊥d,则c、d的位置关系为()A.互相垂直B.互相平行C.相交D.没有确定关系9.下列说法中,正确的个数为()(1)过一点有无数条直线与已知直线平行(2)如果a∥b,a∥c,那么b∥c(3)如果两线段不相交,那么它们就平行(4)如果两直线不相交,那么它们就平行A.1个B.2个C.3个D.4个10.下列说法不正确的是()A.过马路的斑马线是平行线B.100米跑道的跑道线是平行线C.若a∥b,b∥d,则a⊥dD.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行知识点三:平行线的性质:1.两直线平行,同位角相等:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
七年级数学下册平行线的性质【十大题型】(举一反三)(人教版)
专题5.2 平行线的性质【十大题型】【人教版】【题型1 平行线的判定与性质的运用(计算与证明)】 (1)【题型2 平行线的判定与性质(书写过程)】 (5)【题型3 平行线与三角尺(直角顶点在平行线上)】 (9)【题型4 平行线与三角尺(直角顶点不在平行线上)】 (11)【题型5 平行线的判定与性质综合(角度之间的数量关系)】 (16)【题型6 平行线的判定与性质综合(求定值)】 (21)【题型7 平行线的判定与性质综合(规律问题)】 (31)【题型8 平行线的性质(折叠问题)】 (36)【题型9 平行线的应用(转角问题)】 (41)【题型10 平行线的判定与性质综合(旋转)】 (46)【知识点平行线的性质】【例1】(2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中)如图,点D,E在AC上,点F,G分别在BC,AB上,且DG∥BC,∠1=∠2.(1)求证:DB∥EF;(2)若EF∠AC,∠1=50°,求∠ADG的度数.【答案】(1)见解析(2)∠ADG=40°【分析】(1)利用两直线平行,内错角相等,再根据同位角相等,两直线平行即可得证;(2)先求出∠C,再根据两直线平行,同位角相等,即可得解.(1)证明:∠DG∥BC,∠∠1=∠DBC.又∠∠1=∠2,∠∠2=∠DBC,∠DB∥EF.(2)∠EF∠AC,∠∠CEF=90°.∠∠2=∠1=50°,∠∠C=90°-50°=40°.∠DG∥BC,∠∠ADG=∠C=40°.【点睛】本题考查平行线的判定和性质.熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键.【变式1-1】(2022·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心七年级期末)已知:如图,AE⊥BC,FG⊥BC,∠CEA=∠FGB,∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°.(1)求证:AB∥CD;(2)求∠C的度数.【答案】(1)证明见解析(2)∠C=30°【分析】(1)先证明AE∥GF,可得∠EAB=∠FGB,再证明∠CEA=∠EAB,从而可得答案;(2)由AB∥CD,可得∠D+∠CBD+∠ABC=180°,再把∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°代入进行计算即可.(1)证明:∵AE⊥BC,FG⊥BC,∠AE∥GF,∴∠EAB=∠FGB,∵∠CEA=∠FGB,∴∠CEA=∠EAB,∠AB∥CD;(2)解:由(1)得,AB∥CD,∴∠D+∠CBD+∠ABC=180°,∵∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°,∠∠ABC+70°+∠ABC+50°=180°∴∠ABC=30°,∴∠C=∠ABC=30°.【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质,方程思想的应用,掌握“平行线的判定与性质”是解本题的关键.【变式1-2】(2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中)如图,∠ABC中,∠BAC的角平分线交BC于D,点F在BA的延长线上,点E在线段CD上,EF与AC相交于点G,且∠BDA+∠CEG=180°.(1)求证:AD∥EF;(2)若点H在FE的延长线上,且∠EDH=∠C,则∠F与∠H相等吗?请说明理由.【答案】(1)见详解(2)∠F=∠H,说明见详解【分析】(1)根据∠BDA+∠CEG=180°,∠DEF+∠CEG=180°,可得∠BDA=∠DEF,根据同位角相等,两直线平行可判定AD∥EF;(2)根据∠EDH=∠C,可得DH∥AC,继而得到∠H=∠EGC,由对顶角∠AGF=∠EGC,可得∠H=∠AGF,由(1)AD∥EF可得∠DAG=∠AGF,∠BAD=∠F,再因为AD是∠BAC的角平分线,有∠DAG=∠BAD,即可证明∠F=∠H.(1)证明:∠∠BDA+∠CEG=180°,∠DEF+∠CEG=180°,∠∠BDA=∠DEF,∠AD∥EF.(2)解:∠F=∠H,理由如下:∠∠EDH=∠C,∠DH∥AC,∠∠H=∠EGC,∠∠AGF=∠EGC,∠∠H=∠AGF,∠AD∥EF,∠∠DAG=∠AGF,∠BAD=∠F,又∠AD是∠BAC的角平分线,∠∠DAG=∠BAD,∠∠F=∠H.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,角平分线的定义,熟练掌握并应用平行线的判定与性质是解答本题的关键.【变式1-3】(2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模)如图,已知AD⊥BC,EF⊥BC,∠1=∠2.(1)求证:EF∥AD;(2)求证:∠BAC+∠AGD=180°.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据垂直得出∠EFB=∠ADB=90°,根据平行线的判定得出EF∥AD;(2)根据平行线的性质得出∠1=∠BAD,由∠1=∠2得出∠2=∠BAD,根据平行线的判定得出DG∥BA,再根据平行线的性质即可得解.【详解】(1)证明:∠AD⊥BC,EF⊥BC,∠∠EFB=90°,∠ADB=90°(垂直的定义),∠∠EFB=∠ADB(等量代换),∠EF∥AD(同位角相等,两直线平行);(2)证明:∠EF∥AD,∠∠1=∠BAD(两直线平行,同位角相等),又∵∠1=∠2(已知),∠∠2=∠BAD(等量代换),∠DG∥BA(内错角相等,两直线平行),∠∠BAC+∠AGD=180°(两直线平行,同旁内角互补).【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质,熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.【题型2 平行线的判定与性质(书写过程)】【例2】(2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中)如图,∠1=∠2,∠A=∠D.求证:∠B=∠C.(请把下面证明过程补充完整)证明:∵1=∠2(已知)又∵∠1=∠3(____________)∴∠2=∠3(____________)∴AE∥FD(_____________)∴∠A=∠_____(______________)∵∠A=∠D(已知)∴∠D=∠BFD(等量代换)∠_____∥CD(__________________)∴∠B=∠C(____________)【答案】对顶角相等;等量代换;内错角相等,两直线平行;BFD;两直线平行,内错角相等;AB;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等.【分析】先利用对顶角的性质证明∠2=∠3,再证明AE∥FD,可证明∠A=∠BFD,可得∠D=∠BFD,再证明AB∥CD,从而可得答案.【详解】证明:∵1=∠2(已知)又∵∠1=∠3(对顶角相等)∴∠2=∠3(等量代换)∴AE∥FD(内错角相等,两直线平行)∴∠A=∠BFD(两直线平行,内错角相等)∵∠A=∠D(已知)∴∠D=∠BFD(等量代换)∠AB∥CD(内错角相等,两直线平行)∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等)【点睛】本题考查的是对顶角的性质,平行线的判定与性质,熟练的利用平行线的判定与性质进行证明是解本题的关键.【变式2-1】(2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习)阅读并完成下面的证明过程:已知:如图,AB∥EF,∠1=∠2,BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD,求证:BE⊥CE.证明:∠BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD.∠ABC∠∠ABE=∠EBC=12∠2=________=1∠BCD(角平分线定义)2又∠∠1=∠2,∠∠1=∠ECD()∠EF∥CD()又∠AB∥EF(已知)∠________________()∠∠ABC+∠BCD=180°()(∠ABC+∠BCD)=90°,∠∠ABE+∠2=12又∠AB∥EF,∠∠ABE=∠BEF()∠∠BEF+∠1=90°,∠∠BEC=90°,∠BE⊥CE()【答案】∠ECD;等量代换;内错角相等,两直线平行;AB∥CD;如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等;垂直定义.【分析】根据平行线的性质、平行线的判定以及垂直的定义进行分析即可解答.【详解】证明:∠BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD.∠ABC∠∠ABE=∠EBC=12∠BCD(角平分线定义)∠2=∠ECD=12又∠∠1=∠2,∠∠1=∠ECD(等量代换)∠EF∥CD(内错角相等,两直线平行)又∠AB∥EF(已知)∠AB∥CD(如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行)∠∠ABC+∠BCD=180°(两直线平行,同旁内角互补)(∠ABC+∠BCD)=90°,∠∠ABE+∠2=12又∠AB∥EF,∠∠ABE=∠BEF(两直线平行,内错角相等)∠∠BEF+∠1=90°,∠∠BEC=90°,∠BE⊥CE(垂直定义).故答案为:∠ECD;等量代换;内错角相等,两直线平行;AB∥CD;如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等;垂直定义.【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义等知识点,灵活运用平行线的判定与性质是解答本题的关键.【变式2-2】(2022·湖南·株洲景炎学校七年级期中)完成下面证明过程并写出推理根据:已知:如图所示,∠BAP与∠APD互补,∠1=∠2.求证:∠E=∠F.证明:∠∠BAP与∠APD互补(已知),即∠BAP+∠APD=180°,∠____________∥_____________(_____________________),∠∠BAP=∠APC(_____________________).又∠∠1=∠2,∠∠BAP-∠1=∠APC-∠2(等式的性质),即∠3=∠4,∠____________∥_____________(_____________________),∠∠E=∠F(_____________________).【答案】AB;CD;同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,内错角相等;AE;FP;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等【分析】根据平行线的判定与性质,结合图形完成填空即可求解.【详解】∠∠BAP与∠APD互补(已知),即∠BAP+∠APD=180°,∠AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),∠∠BAP=∠APC(两直线平行,内错角相等).又∠∠1=∠2,∠∠BAP-∠1=∠APC-∠2(等式的性质),即∠3=∠4,∠AE∥FP(内错角相等,两直线平行),∠∠E=∠F(两直线平行,内错角相等)故答案为:AB;CD;同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,内错角相等;AE;FP;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等.【点睛】本题考查了平行线的性质与判定进行证明,掌握平行线的性质与判定是解题的关键.【变式2-3】(2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中)推理填空:完成下面的证明过程.如图,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠DEF,求证:.DE∠BC证明:∠∠1+∠2=180°()∠2=∠3(_______________________________)∠∠1+∠3=180°∠______∥______(_____________________________)∠∠B=______(________________________________)∠∠B=∠DEF(已知)∠∠DEF=_______ (_______________________)∠DE∠BC()【答案】已知;对顶角相等;AB;EF;同旁内角互补,两直线平行;∠EFC;两直线平行,同位角相等;∠EFC;等量代换;内错角相等,两直线平行【分析】由于∠1+∠2=180°,∠2=∠3,则∠1+∠3=180°,根据同旁内角互补,两直线平行得到AB∥EF,则利用平行线的性质得∠B=∠CFE,由于∠B=∠DEF,所以∠DEF=∠CFE,于是根据平行线的判定得到DE∥BC.【详解】证明:∠∠1+∠2=180°(已知)∠2=∠3(对顶角相等)∠∠1+∠3=180°∠AB∥EF(同旁内角互补,两直线平行)∠∠B=∠EFC(两直线平行,同位角相等)∠∠B=∠DEF(已知)∠∠DEF=∠EFC(等量代换)∠DE∥BC(内错角相等,两直线平行)【点睛】本题考查了平行线的判定与性质:内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,同位角相等.掌握平行线的判定与性质是解题的关键.【题型3 平行线与三角尺(直角顶点在平行线上)】【例3】(2022·辽宁·阜新实验中学七年级期末)如图,含有30°角的直角三角板的两个顶点E、F放在一个长方形的对边上,点E为直角顶点,∠EFG=30°,延长EG交CD于点P,如果∠3=65°,那么∠2的度数是()A.100°B.105°C.115°D.120°【答案】C【分析】根据直角三角形两锐角互余得到∠1=25°,根据平角的定义得到∠AEF=90°-∠1=65°,根据平行线的性质即可得到结论.【详解】解:∠∠D=90°,∠3=65°,∠∠1=25°,∠∠FEG=90°,∠∠AEF=90°-∠1=65°,∠AD∥BC,∠∠2=180°-∠AEF=115°,故选:C.【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余和平行线的性质,关键是得出∠AEF与∠2互补.【变式3-1】(2022·浙江·金华市第四中学九年级阶段练习)将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置,下列结论:(1)∠1=∠2;(2)∠3=∠2;(3)∠2+∠4=90°;(4)∠4+∠5=180°,其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】根据两直线平行同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,及直角三角板的特殊性解答.【详解】解:∠纸条的两边平行,∠(1)∠1=∠2(两直线平行,同位角相等);(2)∠3=∠4(两直线平行,内错角相等);(4)∠4+∠5=180°(两直线平行,同旁内角互补)均正确;又∠直角三角板与纸条下线相交的角为90°,∠(3)∠2+∠4=90°,正确.故选:D.【点睛】本题考查平行线的性质,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.【变式3-2】(2022·山东青岛·七年级期中)将一块直角三角板ABC按如图方式放置,其中∠ABC=30°,A,B两点分别落在直线m、n上,∠1=20°,添加下列哪一个条件可使直线m∥n ()A.∠2=20°B.∠2=30°C.∠2=45°D.∠2=50°【答案】D【分析】根据平行线的判定定理求解即可.【详解】解:由平行线的判定可知,当∠2=∠ABC+∠1时,m∥n,即∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°,故选:D.【点睛】本题考查了平行线的判定,熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.【变式3-3】(2022·河南南阳·二模)小明把一副三角板按如图所示方式摆放,直角边CD与直角边AB相交于点F,斜边DE∥BC,∠B=30°,∠E=45°,则∠CFB的度数是()A.95°B.115°C.105°D.125°【例4】(2022·全国·八年级专题练习)如图,a∥b,一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上,若∠1=58°54′,则∠2的度数为()A.103°6′B.104°6′C.103°54′D.104°54′【答案】C【分析】设∠2的同位角为∠3,∠3的邻补角为∠5,三角板的一个锐角为∠4,根据等腰三角板的特点可求出∠4,根据三角形内角和即可求出∠5,再根据平角的性质即可求出∠3,进而根据两直线平行同位角相等即可求出∠2.【详解】设∠2的同位角为∠3,∠3的邻补角为∠5,三角板的一个锐角为∠4,如图,∠直角三角板含一个45°的锐角,∠该三角板为等腰三角形,∠∠4=45°,∠∠1=58°54′,又∠在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°,∠∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′,∠∠3+∠5=180°,∠∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′,∠a∥b,∠∠2=∠3,∠∠2=103°54′,故选:C.【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和等知识,掌握两直线平行同位角相等是解答本题的关键.【变式4-1】(2022·山西晋中·七年级期末)用一块含60°角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置,其中直尺的直角顶点与三角板的60°角顶点重合,直尺两边分别与三角板的两条直角边相交,若∠1=50°,则∠2的度数为()A.25°B.22.5°C.20°D.15°【答案】C【分析】如图,根据题意得到∠C=90°,AB∠DE,∠CDF=60°.先根据三角形内角和求出∠ABC=40°,再根据平行的性质求出∠CDE=40°,即可求出∠2=20°.【详解】解:如图,由题意得∠C=90°,AB∠DE,∠CDF=60°.∠∠C=90°,∠1=50°,∠∠ABC=180°-∠C-∠1=40°,∠AB∠DE,∠∠CDE=∠CBA=40°,∠∠CDF=60°∠∠2=∠CDF-∠CDE=20°.故选:C【点睛】本题考查了三角形的内角和定理,平行线的性质,熟知两个定理并理解题意得到已知条件是解题的关键.【变式4-2】(2022·福建·莆田市城厢区南门学校七年级阶段练习)如图,AB∥CD,将一副直角三角板作如下摆放,∠GEF=60°,∠MNP=45°.下列结论:①GE∥MP;②∠EFN=150°;③∠BEF=75°;④∠AEG=∠PMN.其中正确的是_______.【答案】①②③④【分析】①由题意得∠G=∠MPN=∠MPG=90°,利用内错角相等,两直线平行即可判定GE∥MP;②由题意得∠EFG=30°,利用邻补角即可求出∠EFN的度数;③过点F作FH⊥AB,可得FH∥CD,从而得到∠HFN=∠MNP=45°,可求得∠EFN=105°,再利用平行线的性质即可求出∠BEF;④利用角的计算可求出∠AEG=45°,从而可判断.【详解】解:①∵∠G=∠MPN=∠MPG=90°,∴GE∥MP,故①正确;②∵∠EFG=30°,∴∠EFN=180°−30°=150°,故②正确;③过点F作EH∥AB,如图,∵AB∥CD,∴FH∥CD,∴∠HFN=∠MNP=45°,∴∠EFN=150°−45°=105°,∵FH∥AB,∴∠BEF=180°−105°=75°;故③正确;④∵∠GEF=60°,∠BEF=75°,∴∠AEG=180°−60°−75°=45°,∴∠AEG=∠PMN=45°,故④正确.故答案为:①②③④.【点睛】本题考查平行线的性质与判定,解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用.【变式4-3】(2022·山东淄博·期末)如图所示,将一直角三角板放在AB,CD两条平行线之间:(1)图甲中,容易求得∠1+∠2=90°,请直接写出图乙中∠1,∠2的数量关系;(2)请问图丙中∠1,∠2的数量关系是什么?并加以说明;(3)请直接写出图丁中∠1,∠2的数量关系.【答案】(1)∠1+∠2=270°(2)∠2-∠1=90°;见解析(3)∠1=∠2+90°【分析】(1)过三角板的直角顶点作AB的平行线MN,得AB∥MN∥CD.根据两直线平行,同旁内角互补,即可得∠1,∠2的关系.(2)过三角板的直角顶点作AB的平行线MN,得AB∥MN∥CD.根据两直线平行,内错角相等,平角互补,即可得∠1,∠2的关系.(3)过点O作AB的平行线MN,得AB∥MN∥CD,据两直线平行,内错角相等,即可得∠1,∠2的关系.(1)如图,过三角板的直角顶点作AB的平行线MN,得AB∥MN∥CD∠∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°又∠∠3+∠4=90°∠∠1+∠3+∠2+∠4=180°+180°∠∠1+∠2=360°−90°=270°∠∠1+∠2=270°.(2)如图,过三角板的直角顶点作AB的平行线MN,得AB∥MN∥CD∠∠1=∠3,∠2+∠4=180°又∠∠3+∠4=90°∠∠1+180°−∠2=90°∠∠2−∠1=90°.(3)如图,过点O作AB的平行线MN,得AB∥MN∥CD∠∠MOC=∠2∠∠1=90°+∠MOC∠∠1=90°+∠2.【点睛】本题考查平行线的性质,解题的关键是掌握两直线平行,内错角相等,同旁内角互补;平角互补.【题型5 平行线的判定与性质综合(角度之间的数量关系)】【例5】(2022·黑龙江鹤岗·七年级期末)如图①,AB∥CD,M为平面内一点,若BM∠MC,则易证∠ABM与∠DCM互余.(1)如图②,AB∥CD.点M在射线EA上运动,猜想点M在点A和D之间时,∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系,并证明.(2)在(1)的条件下,当点M在射线EA的其它位置上时(不与点E,A,D重合)请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系.又∠AB∥CD,∠MF∥CD,∠∠DCM=∠FMC,∠∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC;(2)解:当点M在E、A两点之间时,如图3,∠BMC=∠DCM-∠ABM;过M作MF∥AB,交EC于F,则∠ABM=∠BMF,又∠AB∥CD,∠MF∥CD,∠∠DCM=∠FMC,∠∠BMC=∠CMF-∠BMF=∠DCM-∠ABM;当点M在AD的延长线上时,如图4,∠BMC=∠ABM-∠DCM.过M作MF∥AB,交EC于F,则∠ABM=∠BMF,又∠AB∥CD,∠MF∥CD,∠∠DCM=∠FMC,∠∠BMC=∠BMF-∠CMF=∠ABM-∠DCM.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质,关键是构建平行线,利用平行线的性质进行解答.解题时注意分类思想的运用.【变式5-1】(2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习)已知,点A,点B分别在线段MN,PQ上,且∠ACB-∠MAC=∠CBP.(1)如图1,求证:MN∥PQ;(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AG∥CH,以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH,AG交于点F和点E,如图2,试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系,并证明;(3)在(2)的条件下,若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN,并且∠ACB=80°,求∠CFB 的度数.(直接写出答案)【答案】(1)见解析(2)∠CFB−∠BEG=90°,证明见解析(3)∠CFB=130°【分析】(1)过C作CE∥MN,根据平行线的判定和性质即可得到结论;(2)过B作BR∥AG,根据平行线的性质得到∠BEG=∠EBR,∠RBF+∠CFB=180°,等量代换即可得到结论;(3)过E作ES∥MN,根据平行线的性质得到∠NAE=∠AES,∠QBE=∠BES,根据角平分线的定义得到∠NAE=∠EAC,∠CBD=∠DBP,根据四边形的内角和即可得到结论.(1)解:如图,过C作CE∥MN,∠∠1=∠MAC,∠∠2=∠ACB-∠1,∠∠2=∠ACB-∠MAC,∠∠ACB-∠MAC=∠CBP,∠∠2=∠CBP,∠CE∥PQ,∠MN∥PQ;(2)如图,过B作BR∥AG,∠AG∥CH,∠BR∥HF,∠∠BEG=∠EBR,∠RBF+∠CFB=180°,∠∠EBF=90°,∠∠BEG=∠EBR=90°-∠RBF,∠∠BEG=90°-∠RBF=90°-(180°-∠CFB),∠∠CFB-∠BEG=90°;(3)如图,过E作ES∥MN,∠MN∥PQ,∠ES∥PQ,∠∠NAE=∠AES,∠QBE=∠BES,∠BD和AE分别平分∠CBP和∠CAN,∠∠NAE=∠EAC,∠CBD=∠DBP,∠∠CAE=∠AES,∠∠EBD=90°,∠∠EBQ+∠PBD=∠EBC+∠CBD=90°,∠∠QBE=∠EBC,∠∠EBC=∠BES,(360°−∠ACB),∠∠AEB=∠AES+∠BES=∠CAE+∠EBC=12∠∠ACB=80°,∠∠AEB=140°,∠∠BEG=40°,∠∠CFB-∠BEG=90°,∠∠CFB=130°.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质,余角的性质,四边形的内角和,正确的作出辅助线是解题的关键.【变式5-2】(2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中)如图,∠1=∠2,∠D=∠CMG.(1)求证:AD∥NG;(2)若∠A+∠DHG=180°,试探索:∠ANB,∠NBG,∠1的数量关系;(3)在(2)的条件下,若∠ANB:∠BNG=2:1,∠1=100°,∠NBG=130°,求∠A的度数.【答案】(1)见解析(2)∠NBG+∠1−∠ANB=180°(3)∠A=105°【分析】(1)由∠1=∠2,∠1=∠GFC,得到∠2=∠CFG,于是得到CM∥DE,根据平行线的性质得到∠D=∠ACM,等量代换得到∠CMG=∠ACM,于是得到结论.(2)过B作BP∥AN交NG于P,由于AD∥NG,于是得到∠D=∠DHG,等量代换得到∠A+∠D=180°,得到AN∥DH,根据平行线的判定得到BP∥CM,由平行线的性质得到∠PBG+∠1=180°,等量代换即可得到结论;(3)由∠1+∠PBG=180°,∠1=100°,得到∠PBG=80°,由于∠NBG=130°,于是得到∠ANB=∠NBP=50°,根据已知条件得到∠ANB:∠BNG=2:1,即可得到结论.(1)证明:∠∠1=∠2,∠1=∠GFC,∠∠2=∠CFG,∠CM∥DE,∠∠D=∠ACM,∠∠D=∠CMG,∠∠CMG=∠ACM,∠AD∥NG;(2)解:∠NBG−∠ANB+∠1=180°;理由如下:过B作BP∥AN交NG于P,∠∠ANB=∠NBP,∠AD∥NG,∠∠D=∠DHG,∠∠A+∠DHG=180°,∠∠A+∠D=180°,∠AN∥DH,又∠CM∠DH,∠BP∥CM,∠∠PBG+∠1=180°,∠∠PBG=∠NBG−∠NBP=∠NBG−∠ANB,∠∠NBG−∠ANB+∠1=180°;(3)解:∠∠1+∠PBG=180°,∠1=100°,∠∠PBG=80°,∠∠NBG=130°,∠∠ANB=∠NBP=50°,∠∠ANB:∠BNG=2:1,∠∠BNP=25°,∠∠ANG=75°,∠∠A=105°.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质,对顶角的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.【变式5-3】(2022·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学七年级期中)如图1,AB∥CD,直线AE分别交AB、CD于点A、E.点F是直线AE上一点,连结BF,BP平分∠ABF,EP平分∠AEC,BP与EP交于点P.(1)若点F是线段AE上一点,且BF∠AE,求∠P的度数;(2)若点F 是直线AE 上一动点(点F 与点A 不重合),请写出∠P 与∠AFB 之间的数量关系并证明. 【答案】(1)45°(2)当F 点在A 点上方时,∠BPE =12∠AFB ,当F 点在A 点下方时,∠BPE =90°﹣12∠AFB【分析】(1)过点P 作PQ ∥AB ,过点F 作FH ∥AB ,由平行线的性质得∠ABP +∠CEP =∠BPE ,∠ABF +∠CEF =∠BFE ,再由垂直定义和角平分线定义求得结果;(2)分三种情况:点F 在EA 的延长线上时,点F 在线段AE 上时,点F 在AE 的延长线上时,分别进行探究便可.(1)解:过点P 作PQ ∥AB ,过点F 作FH ∥AB ,∠AB ∥CD ,∠AB ∥CD ∥PQ ∥FH ,∠∠ABP =∠BPQ ,∠CEP =∠EPQ ,∠ABF =∠BFH ,∠CEF =∠EFH ,∠∠ABP +∠CEP =∠BPQ +∠EPQ =∠BPE ,∠ABF +∠CEF =∠BFH +∠EFH =∠BFE ,∠BF ∠AE ,∠∠ABF +∠CEF =∠BFE =90°,∠BP 平分∠ABF ,EP 平分∠AEC ,∠∠ABP +∠CEP =12(∠ABF +∠CEF )=45°, ∠∠BPE =45°;(2)①当点F 在EA 的延长线上时,∠BPE =12∠AFB ,理由如下:如备用图1,过点P作PQ∥AB,过点F作FH∥AB,过点P作PQ∥AB,过点F作FH∥AB,过点P 作PQ ∥AB ,过点F 作FH ∥AB ,∠AB ∥CD ,∠AB ∥CD ∥PQ ∥FH ,∠∠ABP =∠BPQ ,∠CEP =∠EPQ ,180°﹣∠ABF =∠BFH ,∠AEC =∠EFH ,∠∠CEP +∠ABP =∠EPQ +∠BPQ =∠BPE ,∠BFH ﹣∠EFH =180°﹣∠ABF ﹣∠AEC =∠AFB , ∠BP 平分∠ABF ,EP 平分∠AEC ,∠∠CEP +∠ABP =12(∠AEC +∠ABF )=12(180°﹣∠AFB ), ∠∠BPE =90°﹣12∠AFB ;综上,当E 点在A 点上方时,∠BPE =12∠AFB ,当E 点在A 点下方时,∠BPE =90°﹣12∠AFB . 【点睛】此题考查平行线的性质:两直线平行内错角相等,两直线平行同位角相等,两直线平行同旁内角互补,以及角平分线的性质,在相交线问题中通常作平行线利用平行线的性质解答,将角度转化由此求出答案.解题中运用分类思想解答问题.【题型6 平行线的判定与性质综合(求定值)】【例6】(2022·湖南·株洲二中七年级期末)实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.如图1,一束光线m 射到平面镜a 上,被a 反射后的光线为n ,则入射光线m 、反射光线n 与平面镜a 所夹的锐角∠1=∠2.(1)如图2,一束光线m 射到平面镜a 上,被a 反射到平面镜b 上,又被b 反射.若被b 反射出的光线n 与光线m 平行,且∠1=50°,则∠2= °,∠3= °.(2)请你猜想:当射到平面镜a 上的光线m ,经过平面镜a 、b 的两次反射后,入射光线m 与反射光线n 平行时,两平面镜a 、b 间的夹角∠3的大小是否为定值?若是定值,请求出∠3,若不是定值,请说明理由.(3)如图3,两面镜子的夹角为α°(0<α<90),进入光线与离开光线的夹角为β°(0<β<90).试探索α与β的数量关系,并说明理由.【答案】(1)100;90;(2)90°(3)2α+β=180°【分析】(1)根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠4=50°,再利用平角的定义得∠5=80°,然后利用平行线的性质计算出∠2=100°,则∠6=40°,再利用三角形内角和定理计算∠3;(2)当∠3=90°时,根据三角形内角和定理得∠4+∠6=90°,则2∠4+2∠6=180°,利用平角的定义得到∠2+∠5=180°,然后根据平行线的判定得到m∥n;(3)由(1)可得,∠5=180°-2∠2,∠6=180°-2∠3,再根据∠2+∠3=180°-∠α,即可得出∠β=180°-∠5-∠6=2(∠2+∠3)-180°=2(180°-∠α)-180°=180°-2∠α.(1)解:如图:∠∠1=∠4=50°,∠∠5=180°-2×50°=80°,∠m∥n∠∠2+∠5=180°,∠∠2=100°,(180°-∠2)=40°,∠∠6=12∠∠3=180°-∠4-∠6=90°;故答案为:100,90;(2)当∠3=90°时,m∥n理由如下:∠∠3=90°,∠∠4+∠6=90°,∠2∠4+2∠6=180°,∠∠2+∠5=180°,∠m∥n;(3)解:如图3,由(1)可得,∠5=180°-2∠2,∠6=180°-2∠3,∠∠2+∠3=180°-∠α,∠∠β=180°-∠5-∠6=2(∠2+∠3)-180°=2(180°-∠α)-180°=180°-2∠α,∠α与β的数量关系为:2α+β=180°,故答案为:2α+β=180°.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理,解题时注意:同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补.【变式6-1】(2022·河北保定·七年级阶段练习)如图,直线AB∠CD,点M,N分别在直线AB,CD 上,H为直线CD下方一点.(1)如图1,MH和NH相交于点H,求证:∠MHN=∠AMH−∠CNH.(温馨提示:可过点H 作AB的平行线)(2)延长HN至点G,∠BMH的平分线ME和∠GND的平分线NE相交于点E,HM与CD相交于点F.①如图2,若∠BME=50°,∠END=30°,求∠MHN的度数;②如图2,当点F在点N左侧时,若∠BME的度数为x°,∠END的度数为y°,且x+y的值是一个定值,请问∠MHN的度数是否会随x的变化而发生改变?若不变,求出∠MHN的度数;若变化,请说明理由.③如图3,当点N在点F左侧时,②中其他条件不变,请问∠MHN的度数是否会随x的变化而发生改变?若不变,直接写出....∠MHN的度数;若变化,请说明理由.【答案】(1)见解析(2)①20°;②不变,180°−2(x°+y°);③不变,2(x°+y°)−180°【分析】(1)过点H作HQ∥AB.可得HQ∥CD,从而得到∠AMH=∠MHQ,∠CNH=∠NHQ,即可求证;(2)①根据∠BME=50°,∠END=30°,可得∠BMH=100°,∠GND=60°,从而得到∠AMH=180°−∠BMH=80°,∠CNH=60°.再由∠MHN=∠AMH−∠CNH,即可求解;②根据题意可得∠AMH=180°−2x°,∠CNH=2y°,再由∠MHN=∠AMH−∠CNH,即可求解;③过点H作OH∠AB,根据平行线的性质,可证得∠MHN=∠OHM−∠OHN=∠BMH−∠DNH.从而得到∠MHN=2x°+2y°−180°=2(x°+y°)−180°,即可求解.(1)证明:如图,过点H作HQ∥AB.∠HQ∥AB且AB∥CD,∠HQ∥CD,∠∠AMH=∠MHQ,∠CNH=∠NHQ,∠∠MHN=∠MHQ−∠NHQ=∠AMH−∠CNH;(2)解:①ME平分∠BMH,∠BME=50°,∠∠BMH=100°,∠NE平分∠DNG,∠DNE=30°,∠∠GND=60°,∠∠AMH=180°−∠BMH=80°,∠CNH=60°.由(1)可知:∠MHN=∠AMH−∠CNH=80°−60°=20°.∠∠MHN=20°;②∠ME平分∠BMH,∠BME=x°,∠∠BMH=2x°,∠NE平分∠DNG,∠DNE=y°,∠∠GND=2y°,∠∠AMH=180°−2x°,∠CNH=2y°,∠∠MHN=180°−2x°−2y°=180°−2(x°+y°).∠x+y为一个定值,∠∠MHN不会随x的变化而发生改变,度数为180°−2(x°+y°);③不变,∠MHN的度数为2(x°+y°)−180°.理由如下:如图,过点H作OH∥AB,∠∠BMH=∠OHM,∠AB∥CD,∠OH∥CD,∠∠DNH=∠OHN,∠∠MHN=∠OHM−∠OHN=∠BMH−∠DNH.∠ME平分∠BMH,∠BME=x°,∠∠BMH=2x°∠NE平分∠DNG,∠DNE=y°,∠∠GND=2y°,∠∠DNH=180°−2y°,∠∠MHN=2x°−(180°−2y°),∠∠MHN=2x°+2y°−180°=2(x°+y°)−180°.∠x+y为一个定值,∠∠MHN不会随x的变化而改变.【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定,有关角平分线的计算,熟练掌握平行线的性质和判定,利用类比思想解答是解题的关键.【变式6-2】(2022·福建龙岩·七年级期末)如图1,点A、D分别在射线BM、CN线上,BM∥CN,BM∠BC于点B,AE平分∠BAD交BC于点E,连接DE,∠1+∠2=90°.(1)求证:AE∠ED;(2)求证:DE平分∠ADC;(3)如图2,∠EAM和∠EDN的平分线交于点F,试猜想∠F的值是否为定值,若是,请予以证明;若不是,请说明理由.【答案】(1)见解析(1)证明:如图1,过点E作EG∥BM,则∠1=∠3,∠BM∥CN,∠EG∥CN,∠∠4=∠2,∠∠3+∠4=∠1+∠2=90°,∠∠AED=90°,∠AE∠ED.(2)证明:∠ AE平分∠BAD,∠∠BAD=2∠1,∠BM∥CN,∠∠BAD+∠CDA=180°,∠2∠1+∠CDA,(3)∠F为定值.证明:如图2,过点F作FH∥BM,设∠AFH=α,∠DFH=β,∠BM∥CN,∠FH∥CN,∠∠α+∠β=∠6+∠7,∠∠EAM和∠EDN的平分线交于点F,∠∠α+∠β=12(180°−∠1)+12(180°−∠2)=180°−12(∠1+∠2)=180°−45°=135°,∠∠F=∠α+∠β=135°,∠∠F为定值,∠F=135°,故答案为:∠F=135°.【点睛】本题主要考查垂线、角平分线的性质,解题的关键是掌握垂垂线的概念和角平分线与∠CFM互补(1)如图1,试判断直线AB与直线CD的位置关系,并说明理由.(2)如图2,∠BEF与∠EFD的平分线交于点P,EP的延长线与CD交于点G,H是MN上一点,且GH⊥EG,求证:PF∥GH.(3)如图3,在(2)的条件下,连接PH,K是GH上一点,使∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK,求证:∠HPQ的大小是定值.【答案】(1)平行;理由见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)根据同旁内角互补,两条直线平行,即可判断直线AB与直线CD平行;(2)先根据两条直线平行,同旁内角互补,再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,可得∠EPF=90°,进而证明PF∥GH;(3)根据角平分线定义,及角的和差计算即可求得∠HPQ的度数.(1)解:结论:AB∥CD;理由如下:∠∠MEB与∠CFM互补,∠MEB=∠AEF,∠∠AEF与∠CFM互补,∠AB∥CD.(2)∠EG平分∠BEF,∠∠PEF=1∠BEF,2又∠FP平分∠EFD,∠∠EFP=1∠EFD,2由(1)知AB∥CD,∠∠BEF+∠EFD=180°,∠∠PEF+∠EFP=90°,∠∠EPF=90°,【例7】(2022·辽宁·鞍山市第十四中学七年级阶段练习)如图,已知AB//CD,若按图中规律继续划分下去,则∠1+∠2+⋯+∠n等于()A.n•1800B.2n•1800C.(n−1)•1800D.(n−1)2•1800【答案】C【分析】根据第1个图形∠1+∠2=180°,第2个图形∠1+∠2+∠3=2×180°,第,3个图形∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°…,进而得出答案.【详解】(1)∠AB∠CD,∠∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补);(2)过点E作一条直线EF平行于AB,∠AB∠CD,∠AB∠EF,CD∠EF,∠∠1+∠AEF=180°,∠FEC+∠3=180°,∠∠1+∠2+∠3=360°;(3)过点E、F作EM、FN平行于AB,∠AB∠CD,∠AB∠EM∠FN∠CD,∠∠1+∠AEM=180°,∠MEF+∠EFN=180°,∠NFC+∠4=180°;∠∠1+∠2+3+∠4=540°;(4)中,根据上述规律,显然作(n-1)条辅助线,运用(n-1)次两条直线平行,同旁内角互补.即可得到n个角的和是180°(n-1).故选:C.【点睛】此题主要考查了平行线的性质,正确得出图中变化规律是解题关键.【变式7-1】(2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习)如图,已知直线AE,BF被直线AB所截,且AE//BF,AC1,BC1分别平分∠EAB,∠FBA;AC2,BC2分别平分∠BAC1和∠ABC1;AC3,BC3分别平分∠BAC2,∠ABC2…依次规律,得点C n,则∠C n的度数为()A.90−902n B.180−902n−1C.902n−1D.1802nAB∠CD.试求:(1)图(1)中∠A+∠C的度数,并说明理由.(2)图(2)中∠A+∠APC+∠C的度数,并说明理由.(3)图(3)中∠A+∠AEF+∠EFC+∠C的度数,并简要说明理由.(4)按上述规律,∠A+……+∠C(共有n个角相加)的和为【答案】(1)180°,理由见解析;(2)360°,理由见解析;(3)540°,理由见解析;(4)180°(n-1)【分析】(1)据两直线平行,同旁内角互补可得∠A+∠C=180°;(2)沿P作一条平行A B、CD的平行线PM,由两直线平行,同旁内角互补可得∠A+∠APM=180°,∠MPC+∠C=180°,故∠A+∠APC+∠C=360°;(3)根据第二题,同理可得∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°;(4)由以上规律,有两个角时,和为180°;有三个角时和为360°;有四个角时和为540°…故可得有n个角时,和为180°(n-1).【详解】解:(1)∠AB∠CD,∠∠A+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补);(2)过点P作一条直线PM平行于AB,∠AB∠CD,∠AB∠PM,∠CD∠PM∠AB,∠∠A+∠APM=180°,∠MPC+∠C=180°,∠∠A+∠APC+∠C=360°;(3)分别过点E、F作EM、FN平行于AB,∠AB∠CD,∠AB∠EM∠FN∠CD,∠∠A+∠AEM=180°,∠MEF+∠EFN=180°,∠NFC+∠C=180°;∠∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°;(4)由以上规律,有两个角时,和为180°;有三个角时和为360°;有四个角时和为540°…故可得有n个角时,和为180°(n-1).【点睛】本题主要考查两直线平行,同旁内角互补的性质,并考查学生通过计算总结规律的能力,是一道好题.【变式7-3】(2022·浙江·七年级阶段练习)阅读并探究下列问题.(1)如图①,将长方形纸片剪两刀,其中AB∥CD,则∠2与∠1、∠3有何关系?请进行证明.(2)如图②,将长方形纸片剪四刀,其中AB∥CD,则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系为.(3)如图③,将长方形纸片剪2016刀,其中AB∥CD,则共剪出个角.若将剪出的角(∠A、∠C除外)分别用∠E1、∠E2、∠E3…表示,则被剪出的这些角的关系为.(4)如图④,直线AB∥CD,∠EF A=∠HMN=x°,∠FGH=3x°,∠CNP=y°|2x+y−102|+√x+y−72=0由上述结论求∠GHM的度数.【答案】(1)∠1+∠3=∠2,证明见解析;(2)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4;(3)2017,∠A+∠C+∠E2+∠E4+…+∠E2014=∠E1+∠E3+…+∠E2015.(4)48°.【分析】(1)过E点作EF∠AB,则EF∠CD,根据两直线平行,内错角相等得到∠AEF=∠1,∠CEF=∠3,即有∠2=∠1+∠3;(2)分别过E、G、F分别作EM∠AB,GN∠AB,FP∠AB,根据两直线平行,内错角相等,同(1)一样易得到∠2+∠4=∠1+∠3+∠5;(3)综合(1)(2)易得开口向左的角的度数的和等于开口向右的角的度数的和.(4)利用(3)的结论得到∠BFG+∠GHM+∠MND=∠FGH+∠HMN,易计算出∠GHM.。
第4课时 平行线的判定与平移-七年级数学下册同步考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)
第4课时——平行线的判定与平移知识点一:判定的判定:1.同位角判定:两条直线被第三条所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。
简单说成。
2.内错角判定:两条直线被第三条所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。
简单说成。
3.同旁内角判定:两条直线被第三条所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。
简单说成。
4.平行公理判定:平行于同一直线的两直线平行。
5.垂直判定:垂直于同一直线的两直线平行。
【类型一:判定条件的确定】1.如图,点E在BC的延长线上,下列条件不能判定AB∥CD的是()第1题第2题A.∠2=∠4B.∠B=∠5C.∠5=∠D D.∠D+∠DAB=180°2.如图,直线a,b被直线c所截,下列条件中不能判定a∥b的是()A.∠1=∠2B.∠3+∠4=180°C.∠3=∠4D.∠2=∠33.如图,∠1和∠2分别为直线l 3与直线l 1和l 2相交所成角.如果∠1=62°,那么添加下列哪个条件后,可判定l 1∥l 2( )第3题 第4题A .∠2=118°B .∠4=128°C .∠3=28°D .∠5=28°4.如图,下列推理中,正确的是( )A .因为∠1=∠3,所以AB ∥CDB .因为∠1=∠3,所以AE ∥CFC .因为∠2=∠4,所以AB ∥CDD .因为∠2=∠4,所以AE ∥CF5.如图,下列说法中,正确的是( )A .若∠3=∠8,则AB ∥CDB .若∠1=∠5,则AB ∥CDC .若∠DAB +∠ABC =180°,则AB ∥CDD .若∠2=∠6,则AB ∥CD 【类型二:平行线的证明】6.如图,点G 在CD 上,已知∠BAG +∠AGD =180°,EA 平分∠BAG ,FG 平分∠AGC ,请说明AE ∥GF 的理由.解:因为∠BAG +∠AGD =180°( ),∠AGC +∠AGD =180°( ),所以∠BAG =∠AGC ( ).因为EA 平分∠BAG ,所以∠1=21 ( ). 因为FG 平分∠AGC , 所以∠2=21 , 得∠1=∠2( ),所以AE ∥GF ( ).7.〖我阅读〗“推理”是数学的一种基本思想,包括归纳推理和演绎推理.演绎推理是一种从一般到特殊的推理,它借助于一些公认的基本事实及由此推导得到的结论,通过推断,说明最后结论的正确.〖我会做〗填空(理由或数学式)已知:如图,∠1=∠E,∠B=∠D.求证:AB∥CD.证明:∵∠1=∠E()∴()∴+∠2=180°()∵∠B=∴+=180°∴AB∥CD()8.如图,点E、F分别在AB、CD上,AF⊥CE于点O,∠1=∠B,∠A+∠2=90°,求证:AB∥CD.请填空.证明:∵AF⊥CE(已知)∴∠AOE=90°()又∵∠1=∠B()∴()∴∠AFB=∠AOE()∴∠AFB=90°()又∵∠AFC+∠AFB+∠2=(平角的定义)∴∠AFC+∠2=()°又∵∠A+∠2=90°(已知)∴∠A=∠AFC()∴(内错角相等,两直线平行)9.完成下列推理过程:如图,已知∠A=∠EDF,∠C=∠F,求证:BC∥EF.10.如图,点E、F分别是AB、CD上的点,连接BD、AD、EC、BF,AD分别交CE、BF于点G、H,若∠DHF=∠AGE,∠ABF=∠C,求证:AB∥CD.11.如图,直线EF分别交直线AB、CD于点E、F,EG平分∠AEF交CD于点G.若∠1+2∠2=180°,求证:AB∥CD.【类型三:平行线的判定与性质】12.如图,∠1+∠2=180°,∠B=∠3.(1)求证:DE∥BC;(2)若∠C=74°,∠AED=2∠3,则∠CEF的度数为.13.如图,已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°.(1)求证:AD∥CE;(2)若DA平分∠BDC,DA⊥FE于点A,∠F AB=55°,求∠ABD的度数.14.如图,已知点D是△ABC中BC边上的一点,DE⊥AC于点E,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°.求证:DE∥BF;15.如图,点B,C在线段AD的异侧,点E,F分别是线段AB,CD上的点,已知∠1=∠2,∠3=∠C.(1)求证:AB∥CD;(2)若∠2+∠4=180°,求证:∠BFC+∠C=180°;(3)在(2)的条件下,若∠BFC﹣30°=2∠1,求∠B的度数.知识点二:平移:1.平移的定义:在平面内,把一个图形整体沿某一的方向移动,这种图形的,叫做平移变换,简称。
人教版七年级数学下册5-2平行线的性质和判定
平行线的性质和判定1,平行线的概念及公理一般地,在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.记作“a∥b”平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行2,平行线的判定两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行。
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行。
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行。
在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.简记为:在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.3,平行线的性质两直线平行,同位角相等。
两直线平行,内错角相等。
两直线平行,同旁内角互补。
同时垂直于两条平行直线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度相等,叫做这两条平行线间的距离,即平行线间的距离处处相等4,命题及定理判断一件事情的语句,叫做命题。
从长期的实践活动中总结出来的正确命题叫做公理。
通过正确的推理得出的真命题叫做定理.例1.下列说法中,错误的有().①若a与c相交,b与c相交,则a与b相交;②若a∥b,b∥c,那么a∥c;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④在同一平面内,两条直线的位置关系有平行、•相交、垂线三种A.3个 B.2个 C.1个 D.0个例2.如图所示,若∠1=∠2,则_____∥______,根据是__ ____.若∠1=∠3,则______∥______,根据是_____ ____.例3.根据图3完成下列填空(括号内填写定理或公理) A D(1)∵∠1=∠4(已知)∴∥()(2)∵∠ABC +∠ =180°(已知) B ∴AB∥CD()(3)∵∠ =∠(已知)∴AD∥BC()(4)∵∠5=∠(已知)∴AB∥CD()例4.下列命题中,是真命题的是()A.相等的两个角是对顶角C12345B .有公共顶点的两个角是对顶角C .一条直线只有一条垂线D .过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线例5.把命题“直角都相等”改写为“如果…,那么…”的形式是______________________.分析:将命题改写为“如果…,那么…”的形式,如果后面是题设,那么后面是结论。
2022-2023学年七年级数学下册《平行线的性质》精讲与精练高分突破含答案解析
5.3平行线的性质考点一:平行线的性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单地说:两直线平行,同位角相等.2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单地说:两直线平行,内错角相等.3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单地说:两直线平行,同旁内角互补.注意:是先有两直线平行,才有以上的性质,前提是“线平行”。
一个结论:平行线间的距离处处相等。
例如:应用于说明矩形(包括长方形、正方形)的对边相等,还有梯形的对角线把梯形分成分别以上底为底的两等面积的三角形,或以下底为底的两等面积的三角形。
(因为梯形的上底与下底平行,平行线间的高相等,所以,就有等底等高的三角形。
)考点二、命题判断一件事情的语句叫命题。
命题包括“题设”和“结论”两部分,可写成“如果……那么……”的形式。
例如:“明天可能下雨。
”这句语句______命题,而“今天很热,明天可能下雨。
”这句语句_____命题。
(填“是”或“不是”)①命题分为真命题与假命题,真命题指题设成立,结论也成立的命题(或说正确的命题)。
假命题指题设成立,但结论不一定或根本不成立的命题(或说错误的命题)。
②逆命题:将一个命题的题设与结论互换位置之后,形成新的命题,就叫原命题的逆命题。
注:原命题是真命题,其逆命题不一定仍为真命题,同理,原命题为假命题,其逆命题也不一定为假命题。
题型一:平行线的性质1.(2022秋·河南新乡·七年级校考期末)如图,AF 是BAC ∠的平分线,DF AC ∥,若135∠=︒,则BAF ∠的度数为( )A .17.5°B .35°C .55°D .70°2.(2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期末)如图,直线a b P ,一块含60︒角的直角三角板如图放置,若113∠=︒,则2∠的度数为( ).A .45︒B .47︒C .55︒D .57︒3.(2023春·全国·七年级专题练习)如图,AB CD P ,直线EF 交AB 于点E ,交CD 于点F ,EG 平分BEF ∠,交CD 于点G ,150∠=︒,则2∠等于( )A .50︒B .60︒C .65︒D .90︒题型二:根据平行线性质探究角的关系4.(2022春·浙江金华·七年级统考期末)将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置,下列结论:(1)12∠=∠;(2)34∠=∠;(3)2490∠+∠=︒;(4)45180∠+∠=︒.其中正确的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个5.(2023春·七年级单元测试)如图,平面内直线a b c ∥∥,点A ,B ,C 分别在直线a ,b ,c 上,BD 平分ABC ∠,并且满足αβ∠>∠,则α∠,∠β,γ∠关系正确的是( )A .2αβγ∠=∠+∠B .αβγ∠=∠+∠C .22αβγ∠=∠-∠D .2αβγ∠=∠+∠6.(2021春·浙江宁波·七年级校考期中)将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置,下列结论:(1)23∠∠=;(2)34∠∠=;(3)2+4=90∠∠︒;(4)5290∠-∠=︒,其中正确的个数是( ).A .1B .2C .3D .4题型三:根据平行线性质求角的大小7.(2022秋·重庆江北·七年级校考期末)如图,已知OP 平分AOB ∠,30AOB ∠=︒,PC OA ∥,则CPO ∠为( )A .30︒B .10︒C .15︒D .5︒8.(2023春·江苏·七年级专题练习)如图,直线m n ∥,AC BC ⊥于点C ,125∠=︒,则2∠的度数为( )A .125︒B .115︒C .110︒D .105︒9.(2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中)如图,12l l ∥,将一副直角三角板作如下摆成,图中点A 、B 、C 在同一直线上,则1∠的度数为( )A .80︒B .85︒C .75︒D .70︒题型四:平行线性质在生活应用问题10.(2022春·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期中)一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,与原来的方向恰好相反,那么两次拐弯的角度是( )A .第一次右拐50°,第二次左拐130°B .第一次左拐50°,第二次右拐50°C .第一次左拐50°,第二次左拐130°D .第一次右拐50°,第二次右拐50°11.(2022春·山西临汾·七年级统考期中)如图,木条a 、b 、c 通过B 、E 两处螺丝固定在一起,且40ABM ∠=︒,77BEF ∠=︒,将木条a 、木条b 、木条c 看作是在同一平面内的三条直线AC 、DF 、MN ,若使直线AC 、直线DF 达到平行的位置关系,则下列描述正确的是( )A .木条b 、c 固定不动,木条a 绕点B 顺时针旋转23B .木条b 、c 固定不动,木条a 绕点B 逆时针旋转103C .木条a 、c 固定不动,木条b 绕点E 逆时针旋转37D .木条a 、c 固定不动,木条b 绕点E 顺时针旋转15812.(2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习)为了亮化某景点,石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯,如图所示.A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转,B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转,两灯不间断照射,A 灯每秒转动30°,B 灯每秒转动10°,B 灯先转动2秒,A 灯才开始转动,当B 灯光束第一次到达BQ 之前,两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是( )A .1或6秒B .8.5秒C .1或8.5秒D .2或6秒题型五:平行线之间的距离13.(2023春·七年级单元测试)在同一平面内,设a 、b 、c 是三条互相平行的直线,已知a 与b 的距离为4cm ,b 与c 的距离为1cm ,则a 与c 的距离为( )A .1cmB .3cmC .5cm 或3cmD .1cm 或3cm14.(2023春·七年级课时练习)如图,12l l ∥,AB CD ∥,2CE l ⊥,2FG l ⊥.则下列结论正确的是( ).A .A 与B 之间的距离就是线段ABB .AB 与CD 之间的距离就是线段AC 的长度C .1l 与2l 之间的距离就是线段CE 的长度D .1l 与2l 之间的距离就是线段CD 的长度15.(2020春·湖南邵阳·七年级统考期末)如图,已知直线a // b // c ,直线d 与它们分别垂直且相交于A ,B ,C 三点,若AB=2,AC=6,则平行线b 、c 之间的距离是( )A .2B .4C .6D .8题型六:与命题有关的问题16.(2023春·广东江门·七年级统考期末)下列命题中,是假命题的是( )A .直角的补角是直角B .内错角相等,两直线平行C .一条直线有且只有一条垂线D .垂线段最短17.(2023春·七年级课时练习)关于原命题“如果a b =,那么22a b =”和它的逆命题“如果22a b =,那么a b =”,下列说法正确的是( )A .原命题是真命题,逆命题是假命题B .原命题、逆命题都是真命题C .原命题是假命题,逆命题是真命题D .原命题,逆命题都是假命题18.(2023春·全国·七年级专题练习)一栋公寓楼有5层,每层有一或两套公寓.楼内共有8套公寓.住户J 、K 、L 、M 、N 、O 、P 、Q 共8人住在不同公寓里.已知:(1)J 住在两套公寓的楼层.(2)K 住在P 的上一层.(3)二层只有一套公寓.(4)M 、N 住在同一层.(5)O 、Q 不同层.(6)Q 不住在一层或二层.(7)L 住在她所在层仅有的公寓里,且不在第一次或第五层.(8)M 在第四层;那么,J 住在第( )层.A .1B .2C .3D .5题型七:平行线的判定和性质的综合问题19.(2023秋·重庆沙坪坝·七年级校考期末)如图,AB CD ∥,连接CA 并延长至点H ,CF 平分ACD ∠,CE CF ⊥,90GAH AFC ∠∠=+︒.(1)求证AG CE ∥;(2)若120GAF ∠=︒,求AFC ∠的度数.20.(2023春·七年级单元测试)如图,180ADE BCF ∠+∠=︒,BE 平分ABC ∠,2ABC E ∠=∠.(1)求证:AD BC ∥;(2)求证:AB EF ∥;(3)若AF 平分BAD ∠,求证:90E F ∠+∠=︒.21.(2023春·江苏·七年级专题练习)已知 AM CN ∥,点B 在直线AM CN 、之间,88ABC ∠=︒.(1)如图1,请直接写出A ∠和C ∠之间的数量关系:_________.(2)如图2,A ∠和C ∠满足怎样的数量关系?请说明理由.(3)如图3,AE 平分MAB ∠,CH 平分NCB ∠,AE 与CH 交于点G ,则AGH ∠的度数为_________.一:选择题22.(2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末)如图,若a b ∥,211933'∠=︒,则1∠等于( )A .6027'︒B .6073'︒C .11933'︒D .11973'︒23.(2023春·七年级课时练习)如图,直线l 、n 分别截A ∠的两边,且l n ∥.根据图中标示的角,判断下列各角的度数关系,正确的是( )A .13∠=∠B .24∠∠=C .46180∠+∠=︒D .34180∠+∠=︒24.(2023春·七年级课时练习)如图,已知AB CD P ,BC 是ABD ∠的平分线,若3100∠=︒,则2∠的度数为( )A .40︒B .50︒C .60︒D .80︒25.(2023秋·吉林长春·七年级校联考期末)如图,AB CD P ,155FGB ∠︒=,FG 平分EFD ∠,则BEF ∠的大小为( )A .100︒B .110︒C .120︒D .130︒26.(2022春·四川巴中·七年级统考期中)如图,已知AB CD EF ∥∥,160∠=︒,320∠=︒,则2∠的度数是( )A .105︒B .120︒C .135︒D .140︒27.(2023秋·甘肃天水·七年级校考期末)如图,1260∠=∠=︒,376∠=︒,则4∠的度数为( )A .102︒B .103︒C .104︒D .105︒28.(2022春·全国·七年级专题练习)如图,点E 在AB 的延长线上,下列条件中能够判定AB CD P 的条件有( )①180BAD ABC ∠+∠=︒;②12∠=∠;③3=4∠∠;④5E ADC ∠+∠=∠.A .①②B .②④C .①③D .③④29.(2023春·全国·七年级专题练习)如图,已知180AEF EFC ∠+∠=︒,M N ∠=∠,求证12∠=∠;30.(2023秋·河南新乡·七年级校考期末)如图,已知12∠=∠,3=4∠∠,5A ∠=∠,试说明:BE CF ∥.完善下面的解答过程,并填写理由或数学式:解:∵3=4∠∠(已知)∴AE ∥______(______)∴5EDC ∠=∠(______)∵5A ∠=∠(已知)∴EDC ∠=______(等量代换)∴DC AB ∥(______)∴5180ABC ∠+∠=︒(______)即523180∠+∠+∠=︒∵12∠=∠(已知)∴513180∠+∠+∠=︒(______)即3180BCF ∠+∠=︒∴BE CF ∥(______).一、单选题31.(2023春·七年级课时练习)如图,已知直线AB CD ∥,130GEF ∠=︒,135EFH ∠=︒,则12∠+∠的度数为( )A .35︒B .45︒C .65︒D .85︒32.(2023春·七年级单元测试)如图,直线EF 分别与直线AB CD 、相交于点G H 、,已知1250∠=∠=︒,GM 平分HGB ∠交直线CD 于点M ,则GMD ∠的度数为( )A .115︒B .120︒C .125︒D .130︒33.(2023春·全国·七年级专题练习)如图,AB EF ∥,90BCD ∠︒=,探索图中角α,β,γ之间的关系式正确的是( )A .360αβγ++︒=B .90αβγ++︒=C .αγβ+=D .180αβγ++︒= 34.(2023春·全国·七年级专题练习)如图,AB CD EF ∥∥,则下列各式中正确的是( )A.①②④B.②③④C.①②③二、填空题37.(2023春·广东江门·七年级统考期末)如图,将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,当的度数为________.38.(2023春·广东江门·七年级统考期末)如图,已知AB CD ∥,点M ,N 分别在直线AB 、CD 上,90MEN ∠=︒,CNE ENF ∠=∠,则α∠与∠β的数量关系________.39.(2023春·江苏·七年级专题练习)如图,AB CD ABD ∠P ,和BDC ∠的角平分线交于点E ,延长BE 交CD 于点F ,232∠=︒,则3∠=_________.40.(2023春·江苏·七年级专题练习)如图,直线12l l ,被直线3l 所截,3l 分别交12l l ,于点A 和点B ,过点B 的直线4l 交1l 于点C .若1130260350∠∠∠=︒=︒=︒,,,则4∠=_________.41.(2022春·四川成都·七年级校考阶段练习)有一副直角三角板ABC 和DEC ,其中45B ∠=︒,60D ∠=︒,如图所示叠放,边CD 与边AB 交于点G ,过点G 作GH 平分AGC ∠,若GH BC ∥,则ECA ∠=______度.三、解答题42.(2023春·广东江门·七年级统考期末)如图,已知点A 、D 在直线EF 上,12180∠+∠=︒,DB 平分ADC ∠,AD BC ∥.(1)求证: AB DC ∥;(2)若128DAB ∠=︒,求DBC ∠的度数.43.(2023春·七年级单元测试)如图,已知123180BDC ∠=∠∠+∠=︒,.(1)求证:AD CE ∥;(2)若DA 平分BDC ∠,DA FE ⊥于点A ,55FAB ∠=︒,求ABD ∠的度数.44.(2023春·江苏·七年级专题练习)如图,直线a b ⊥r r ,垂足为O ,ABC V 与直线a 、b 分别交于点E 、F ,且90C ∠=︒,EG FH ,分别平分MEC ∠和NFC ∠.(1)当PD 平分ODF ∠时,(2)当DP OB ∥时,求PDE ∠(3)当DP FD ⊥时,∠ADP 2(1)如图1,若BAP ∠,PAG ∠,ACE ∠的数量关系为___________.(2)如图2,在(1)的条件下,若5DBA ACE ∠=∠,30PAG ∠=︒,求证AB AC ⊥;(3)点B 、C 分别在点D 、E 的下方,若AB AC ⊥,PAG FAC ∠=∠,请在备用图中画出相应的图形,并求出DBA ∠的度数.1.B【分析】根据两直线平行,同位角相等,可得1FAC ∠=∠,再根据角平分线的定义可得BAF FAC ∠=∠,从而可得结果.【详解】解:∵DF AC ∥,∴135FAC ∠=∠=︒,∵AF 是BAC ∠的平分线,∴35BAF FAC ∠=∠=︒,故B 正确.故选:B .【点睛】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,熟记平行线的性质是解题的关键.2.B【分析】由平行线的性质,已知113ABD ∠=∠=︒,再根据角的和差,平行公理推论,平行线的性质解得∠2度数,进而得出答案.【详解】过点B 作BD a ∥,∴2CBD ∠=∠,∵a b ∥,∴BD b ∥,又∵113∠=︒,∴113ABD ∠=∠=︒,∵60ABC ∠=︒,∴601347DBC ∠=︒-︒=︒,∴247∠=︒.故选:B .【点睛】本题考查了平行线的性质,平行公理的推论,角的和差,对顶角的性质,等量代换等相关知识点,重点掌握平行线的性质,难点过一点作已知直线的平行线辅助线.3.C【分析】由AB CD P ,1=50∠︒,根据两直线平行,同旁内角互补,即可求得BEF ∠的度数,又由EG 平分BEF ∠,求得BEG ∠的度数,然后根据两直线平行,内错角相等,即可求得2∠的度数.【详解】解:∥ AB CD ,1180BEF ∴∠+∠=︒,1=50∠︒ ,130BEF ∴∠=︒,EG 平分BEF ∠,1652BEG BEF ∴∠=∠=︒,265BEG ∴∠=∠=︒,故选:C .【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义,注意掌握两直线平行,同旁内角互补与两直线平行,内错角相等定理的应用.4.D【分析】根据两直线平行,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,可判断(1),(2),(4),由平角的定义可判断(3),逐一进行解答即可.【详解】解:∵纸条的两边互相平行,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠4+∠5=180︒,故(1)(2)(4)正确;∵三角板是直角三角板,∴∠2+∠4=1809090︒-︒=︒,故(3)正确;综上所述,正确的个数是4. 故选:D .【点睛】本题考查了平行线的性质以及平角的定义,熟记平行线的性质是解题的关键.5.A【分析】先根据平行线的性质可得1γα∠+∠=∠,2β∠=∠,从而可得ABC αβ∠=∠+∠,再根据角平分线的定义可得11212αβ∠=∠+∠,代入1γα∠+∠=∠即可得出答案.【详解】解:如图,a b c ∥∥,1γα∴∠+∠=∠①,2β∠=∠,12ABC γαβ∠∴∠+∠+∠=∠+∠=,BD Q 平分ABC ∠,1112212ABC αβ∠=∴∠=∠+∠,代入①得:1212αβγα∠+∠+∠=∠,2αβγ∴∠=∠+∠,【详解】解:AC BC ⊥Q 于点C ,90ACB ∴∠=︒,190ABC ∴∠+∠=︒,902565ABC ∴∠=︒-︒=︒,m n ∥,2180115ABC ∴∠=︒-∠=︒.故选:B .【点睛】本题主要考查平行线的性质,掌握两直线平行,同旁内角互补是解题的关键.9.C【分析】如图,过点C 作CM 1l ∥,则12l l CM ∥∥,根据平行线的性质可得∠1+∠ECM =180°,∠2=∠ACM ,再根据三角板的特点求解即可.【详解】解:如图,过点C 作CM 1l ∥,∵12l l ∥,∴12l l CM ∥∥,∴∠1+∠ECM =180°,∠2=∠ACM ,∵∠2=180°−45°=135°,∴∠ACM =135°,∴∠ECM =135°−30°=105°,∴∠1=180°−105°=75°,故选:C .【点睛】此题考查了平行线的性质,熟记“两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,同位角相等”及作平行线是解题的关键.10.C【分析】根据两直线平行,同旁内角互补判断即可.【详解】解:因为两次拐弯后,与原来的方向恰好相反,所以两次拐弯的方向相同,形成的角是同旁内角,且互补.故选:C .【点睛】此题主要考查了平行线的性质,利用两直线平行,同旁内角互补得出是解题关键.11.C【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可.【详解】解:A .木条b 、c 固定不动,木条a 绕点B 顺时针旋转23°,∴∠ABE =40°+23°=63°≠∠DEM ,∴AC 与DF 不平行,故A 不符合题意;B .木条b 、c 固定不动,木条a 绕点B 逆时针旋转103°,∴∠CBE =180°-(103°-40°)=117°≠∠DEM ,∴AC 与DF 不平行,故B 不符合题意;C .木条a 、c 固定不动,木条b 绕点E 逆时针旋转37°,∴∠DEM =77°-37°=40°=∠ABE ,∴AC //DF ,故C 符合题意;D .木条a 、c 固定不动,木条b 绕点E 顺时针旋转158°,∴∠DEM =360°-77°-158°=125°≠∠CBE ,∴AC 与DF 不平行,故D 不符合题意;故选:C .【点睛】此题考查了平行线的判定,熟记平行线的判定定理是解题的关键.12.C【分析】设A 灯旋转的时间为t 秒,求出t 的取值范围为016t <≤,再分①06t <≤,②612t <≤和③1216t <≤三种情况,先分别求出MAM '∠和PBP '∠的度数,再根据平行线的性质可得MAM PBP ''∠=∠,由此建立方程,解方程即可得.【详解】解:设A 灯旋转的时间为t 秒,A 灯光束第一次到达AN 所需时间为180630︒=︒秒,B 灯光束第一次到达BQ 所需时间为1801810︒=︒秒,B 灯先转动2秒,A 灯才开始转动,0182t ∴<≤-,即016t <≤,由题意,分以下三种情况:①如图,当06t <≤时,//AM BP '',30,10(2)MAM t PBP t ''∴∠=︒∠=︒+,//,//MN PQ AM BP '' ,1,1MAM PBP ''∴∠=∠∠=∠,MAM PBP ''∴∠=∠,即3010(2)t t ︒=︒+,解得1t =,符合题设;②如图,当612t <≤时,//AM BP '',18030(6)36030,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-︒-=︒-︒∠=︒+,//,//MN PQ AM BP '' ,2180,2180MAM PBP ''∴∠+∠=︒∠+∠=︒,MAM PBP ''∴∠=∠,即3603010(2)t t ︒-︒=︒+,解得8.5t =符合题设;③如图,当1216t <≤时,//AM BP '',30(12)30360,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-=︒-︒∠=︒+,同理可得:MAM PBP ''∠=∠,即3036010(2)t t ︒-︒=︒+,解得1916t =>,不符题设,舍去;综上,A 灯旋转的时间为1秒或8.5秒,故选:C .【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点,正确求出时间t 的取值范围,并据此分三种情况讨论是解题关键.13.C【分析】分①直线b 在直线a 、c 的之间和②直线c 在直线a 、b 的之间两种情况,根据平行线间的距离求解即可得.【详解】解:①如图,当直线b 在直线a 、c 的中间时,a 与b 的距离为4cm ,b 与c 的距离为1cm ,a ∴与c 的距离为()415cm +=;②如图,当直线c 在直线a 、b 的中间时,a 与b 的距离为4cm ,b 与c 的距离为1cm ,a ∴与c 的距离为()413cm -=;综上,a 与c 的距离为5cm 或3cm ,故选:C .【点睛】本题考查了平行线间的距离,正确分两种情况讨论是解题关键.14.C【分析】根据两点间的距离和平行线间的距离的性质逐项判断即可.【详解】解:A 、A 与B 之间的距离就是线段AB 的长度,不符合题意,故本项错误;B 、AB 与CD 之间的距离就是线段HI 的长度,不符合题意,故本项错误;C 、1l 与2l 之间的距离就是线段CE 的长度,符合题意,故本项正确;D 、1l 与2l 之间的距离就是线段CE 或GF 的长度,不符合题意,故本项错误.故答案为:C .【点睛】本题考查了两点间的距离和平行线间的距离的性质,解决本题的关键是掌握以上基本的性质.15.B【分析】依据直线a ∥b ∥c ,直线d 与它们分别垂直且相交于A ,B ,C 三点,即可得到AB 长为直线a 和b 之间的距离,BC 长为直线b 和c 之间的距离,AC 长为直线a 和c 之间的距离,再根据AB=2,AC=6,即可得出直线b 与直线c 之间的距离为4.【详解】解:∵直线a ∥b ∥c ,直线d 与它们分别垂直且相交于A ,B ,C 三点,∴AB 长为直线a 和b 之间的距离,BC 长为直线b 和c 之间的距离,AC 长为直线a 和c 之间的距离,又∵AB=2,AC=6,∴BC=6-2=4,即直线b 与直线c 之间的距离为4.故选:B .【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离,从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线,垂线段的长度叫两条平行线之间的距离.16.C【分析】根据补角的定义,平行线的判定,垂线的性质,逐项分析判断即可求解.【详解】解:A. 直角的补角是直角,是真命题,故该选项不符合题意;B. 内错角相等,两直线平行,是真命题,故该选项不符合题意;C. 同一平面内过直线上的一点有且只有一条垂线,原命题是假命题,符合题意;D. 垂线段最短,是真命题,故该选项不符合题意.故选:C .【点睛】本题考查了判断真假命题,掌握补角的定义,平行线的判定,垂线的性质是解题的关键.17.A【分析】根据互逆命题的定义即把一个命题的题设和结论互换和性质定理进行解答,即可求出答案.【详解】解:如果a b =,那么22a b =,所以原命题是真命题;命题“如果a b =,那么22a b =”的逆命题是如果22a b =,那么a b =,不一定成立,是假命题;故原命题是真命题,逆命题是假命题故选:A .【点睛】此题考查了互逆命题,掌握互逆命题的定义即两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题的关键.18.D【分析】首先根据已知,采取筛选法进行一个一个筛选,就能确定答案.【详解】解:由(4)和(8)得出M 和N 住在第四层.由(2)得K 只能在2或3层,又由(7)得出L 在3层且只有一户,K 在二层只有一户,P 则在一层.又由(5)和(6)知道O 只能在一层,Q 在五层.这时只有五层还有一套公寓,所以J 只能住在五层.故选:D .【点睛】用到的知识点是推理和论证,能根据已知,采取筛选法进行一个一个筛选是解此题的关键.19.(1)见解析(2)30AFC ∠=︒【分析】(1)根据平行线的性质及角平分线的定义推出AFC ACF ∠=∠,得到90ACF GAH ∠∠=+︒,根据垂直的定义求出90ACF ECH ∠∠+=︒,由此得到GAH ECH ∠=∠,即可推出结论;(2)根据平行线的性质推出2HAF ACD ACF =∠∠=∠,由90GAH ECH ACF ∠=∠=︒-∠,得到902120ACF ACF ︒-∠+∠=︒,求出30ACF ∠=︒即可.【详解】(1)证明:∵AB CD ∥,∴AFC DCF ∠=∠,∵CF 平分ACD ∠,∴DCF ACF ∠=∠,∴AFC ACF ∠=∠,∵90GAH AFC ∠∠=+︒,∴90ACF GAH ∠∠=+︒,∵CE CF ⊥,∴90ECF ∠=︒,∴90ACF ECH ∠∠+=︒,∴GAH ECH ∠=∠,∴AG CE ∥;(2)∵AB CD ∥,∴2HAF ACD ACF =∠∠=∠,∵90GAH ECH ACF ∠=∠=︒-∠,∴902120ACF ACF ︒-∠+∠=︒,∴30ACF ∠=︒,∴30AFC ∠=︒.【点睛】此题考查了平行线的性质和判定,角平分线的定义,正确掌握平行线的判定和性质是解题的关键.20.(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)求出ADF BCF Ð=Ð,根据平行线的判定得出即可;(2)根据角平分线的定义得出2ABC ABE ∠=∠,求出ABE E ∠=∠,根据平行线的判定得出即可;(3)根据平行线的性质得出180ADE BCF ∠+∠=︒,根据角平分线的定义得出12ABE ABC ∠=∠, 12BAF BAD ∠=∠,求出90ABE BAF ∠+∠=︒,根据三角形的内角和定理得出即可.【详解】(1)∵180ADE BCF ∠+∠=︒,180ADE ADF ∠+∠=︒,∴ADF BCF ∠=∠,∴AD BC ∥;(2)∵BE 平分ABC ∠,∴2ABC ABE ∠=∠,∵2ABC E ∠=∠,∴ABE E ∠=∠,∴AB EF ∥;(3)∵AD BC ∥,∴180DAB ABC ∠+∠=︒,∵BE 平分ABC ∠,AF 平分BAD ∠,∴12ABE ABC ∠=∠,12BAF BAD ∠=∠,∴90ABE BAF ∠+∠=︒,∴1809090AOB EOF Ð=°-°=°=Ð,∴18090E F EOF Ð+Ð=°-Ð=°.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定,角平分线的定义,三角形的内角和定理等知识点,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.21.(1)88A C ∠+∠=︒(2)92C A ∠-∠=︒,见解析(3)46︒【分析】(1)过点B 作BE AM ∥,利用平行线的性质即可求得结论;(2)过点B 作BE AM ∥,利用平行线的性质即可求得结论;(3)利用(2)的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论.【详解】(1)解:过点B 作BE AM ∥,如图,∴A ABE ∠=∠.∵BE AM ∥,AM CN ∥,∴BE AM CN ∥∥.∴C CBE ∠=∠.∵88ABC ∠=︒.∴88A C ABE CBE ABC ∠+∠=∠+∠=∠=︒.故答案为:88A C ∠+∠=︒;(2)解:A ∠和C ∠满足:92C A ∠-∠=︒.理由:过点B 作BE AM ∥,如图,∴A ABE ∠=∠.∵BE AM ∥,AM CN ∥,∴BE AM CN ∥∥.∴180C CBE ∠+∠=︒.∴180CBE C ∠=︒-∠.∵88ABC ∠=︒.∴88ABE CBE ∠+∠=︒.∴18088A C ∠+︒-∠=︒.∴92C A ∠-∠=︒;(3)解:设CH 与AB 交于点F ,如图,∵AE 平分MAB ∠,CH 平分NCB ∠,∥,∵a b24.B【分析】根据平行线的性质可求ABD ∠的度数,然后根据角平分线定义求解即可.【详解】解:AB CD P ,3100∠=︒,3100ABD ∴∠=∠=︒,BC 是ABD ∠的平分线,121502ABD ∴∠=∠=∠=︒.故选:B .【点睛】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,根据平行线的性质求出ABD ∠的度数是解题的关键.25.D【分析】利用平行线的性质,角平分线的性质计算.【详解】解:155AB CD FGB ∠=︒ ∥,,180BEF EFD ∴∠+∠=︒,180********GFD FGB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒,FG 平分EFD ∠,222550EFD GFD ∴∠=∠=⨯︒=︒,180********BEF EFD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒,故选:D .【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质,解题的关键是掌握平行线的性质.26.D【分析】由AB EF ∥,根据据两直线平行,内错角相等,可求出CDE ∠的度数,从而由3CEF AEF ∠=∠-∠可求得出CEF ∠的度数,再由CD EF ∥,根据两直线平行,同旁内角互补,求得2∠的度数即可.【详解】解:∵AB EF ∥,160∠=︒,∴160AEF ∠=∠=︒,∵320∠=︒,∴602040CEF ∠=︒-︒=︒,∵CD EF ∥,∴2180CEF ∠+∠=︒,∴218040140∠=︒-︒=︒.故选D .【点睛】本题主要考查平行线的性质.熟练掌握平行线的性质是解题的关键.27.C【分析】先根据对顶角相等可得5260∠=∠=︒,再根据平行线的判定可得a b P ,然后根据平行线的性质即可得.【详解】解:如图,260∠=︒ ,5260∴∠=∠=︒,160∠=︒ ,51∴∠=∠,a b ∴P ,4180180104376∠=︒-︒-︒=∴∠=︒,故选:C .【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键.28.B【分析】根据同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行三种判定方法进行判定即可.【详解】解:∵∠180BAD ABC ∠+∠=︒,∴BC AD ∥,故①不合题意;∵12∠=∠,∴AB CD P ,故②符合题意;∵3=4∠∠,∴BC AD ∥,故③不合题意;∵5E ADC ∠+∠=∠,5EDC ADC ∠+∠=∠,∴E EDC ∠=∠,∴AB CD P ,故④符合题意.故本题选:B .【点睛】本题考查平行线的判定,熟练掌握三种判定方法是解题关键.29.证明见解析【分析】先证明AB CD P ,再证明ME FN ∥,得到MEF EFN ∠=∠,利用等式的性质即可求解.【详解】证明:∵180AEF EFC ∠+∠=︒,∴AB CD P ,∴AEF DFE ∠=∠.∵M N ∠=∠,∴ME FN ∥,∴MEF EFN ∠=∠,∴AEF MEF EFD EFN ∠-∠=∠-∠,即12∠=∠.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,解题关键是牢记平行线的判定与性质.30.BC ;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;A ∠;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补;等量代换;同旁内角互补,两直线平行.【分析】按照所给的证明思路,利用平行线的判定与性质定理,完善证明过程即可.【详解】解:∵3=4∠∠(已知)∴AE BC ∥(内错角相等,两直线平行)∴5EDC ∠=∠(两直线平行,内错角相等)∵5A ∠=∠(已知)∴EDC A ∠=∠(等量代换)∴DC AB ∥(同位角相等,两直线平行)∴5180ABC ∠+∠=︒(两直线平行,同旁内角互补)即523180∠+∠+∠=︒∵12∠=∠(已知)∴513180∠+∠+∠=︒(等量代换)即3180BCF ∠+∠=︒∴BE CF ∥(同旁内角互补,两直线平行).故答案为:BC ;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;A ∠;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补;等量代换;同旁内角互补,两直线平行.【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解答此题的关键.31.D【分析】由130GEF ∠=︒,135EFH ∠=︒可得1324265︒∠+∠+∠+∠=,由AB CD P 得34180∠+∠=︒,进而可求出12∠+∠的度数.【详解】解:如下图所示,∵130GEF ∠=︒,∴13130︒∠+∠=,∵135EFH ∠=︒,∵AB EF ∥,∴AB CM DN EF ∥∥∥,∴BCM DCM CDN EDN αγ∠∠∠∠=,=,=,∵CDN EDN CDN βγ∠+∠∠+==①,90BCD CDN α∠+∠︒==②,由①②得:90αβγ+-︒=.即90αβγ++︒=故选:B .【点睛】此题考查了平行线的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用是解题的关键.34.D【分析】根据平行线的性质(两直线平行,内错角相等、两直线平行,同旁内角互补)即可得到结论.【详解】∵AB CD EF ∥∥,∴31BDC ∠=∠+∠,=1802BDC ∠︒-∠,∴311802∠=∠+︒-∠,∴231801∠+∠=︒+∠,故选:D .【点睛】本题考查了平行线的性质,熟记性质是解题关键.35.C【分析】分别过E 、F 作GE AB ∥,FH CD ∥,再根据平行线的性质可以得到解答.【详解】解:分别过E 、F 作GE AB ∥,FH CD ∥,∵AB CD ∥,∴AB GE FH CD ∥∥∥,∴180ABE BEG ∠+∠=︒,180CDE DEG ∠+∠=︒,∴360ABE BEG CDE DEG ∠+∠+∠+∠=︒,即360ABE BED CDE ∠+∠+∠=︒,①正确;∴1β∠= EF CD ∥,CNE ENF ∠=∠()121802ENC α∴∠=∠=︒-∠∵1130350∠∠=︒=︒,,∴12l l ∥,∴45∠=∠,∵260350∠∠=︒=︒,,∴5180605070∠=︒-︒-︒=︒,在BCG V 中,180180904545BCG BGC B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,30DCE ∠=︒ ,90453015ECA ACB BCG DCE ∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒.故答案为:15.【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定,角平分线定义,关键是理解平行线性质,灵活运用角的和差关系计算.42.(1)见解析(2)26DBC ∠=︒【分析】(1)由已知条件得出180BAD CDA ∠+∠=︒,根据同旁内角互补两直线平行,即可得证;(2)根据已知条件得出18012852ADC ∠=︒-︒=︒,根据角平分线的定义得出1262ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒,根据平行线的性质即可求解.【详解】(1)证明:∵12180∠+∠=︒,1180,2180DAB ADC ∠+∠=︒∠+∠=︒,∴180BAD CDA ∠+∠=︒,∴AB DC ∥;(2)解:∵180BAD CDA ∠+∠=︒,128DAB ∠=︒,∴18012852ADC ∠=︒-︒=︒,∵DB 平分ADC ∠,∴1262ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒,∵AD BC ∥,∴26DBC ADB ∠=∠=︒.【点睛】本题考查了平行线的性质与判定,角平分线的定义,掌握平行线的性质与判定是解题的关键.43.(1)见解析(2)110︒【分析】(1)根据同位角相等,两直线平行可判定AB CD ∥,得到2ADC ∠=∠,等量代换得出3180ADC ∠+∠=︒,即可根据同旁内角互补,两直线平行得解;(2)由CE AE ⊥,AD CE ∥得出90CEF DAF ∠∠==︒,再根据平行线的性质即可求出235ADC ∠=∠=︒,再根据角平分线的定义即可得解.【详解】(1)证明:∵1BDC ∠=∠,∴AB CD ∥,∴2ADC ∠=∠,∵23180∠+∠=︒,∴3180ADC ∠+∠=︒,∴AD CE ∥;(2)解:∵CE AE ⊥于E ,∴90CEF ∠=︒,由(1)知AD CE ∥,∴90CEF DAF ∠∠==︒,∴2ADC DAF FAB ∠=∠=∠-∠,∵55FAB ∠=︒,∴35ADC ∠=︒,∵DA 平分BDC ∠,1BDC ∠=∠,∴1270BDC ADC ∠=∠=∠=︒,∴18070110ABD ∠=︒-︒=︒.【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础.44.(1)180°(2)见解析【分析】(1)根据四边形的内角和解答即可;(2)根据四边形的内角和得出180OEC OFC ∠+∠=︒,由角平分线的定义得出()111809022CEG CFH MEC NFC ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒,过C 点作CD EG ∥,由平行线的性质与判定即可得出结论.【详解】(1)解:在四边形OECF 中由90C ∠=︒,a b ⊥r r ,得180OEC OFC ∠+∠=︒,故答案为:180°;(2)证明:在四边形OECF 中∵90C ∠=︒,a b ⊥r r ,得180OEC OFC ∠+∠=︒,∵180MEC OEC ∠=︒-∠,180NFC OFC ∠=︒-∠,∴()()180180MEC NFC OEC OFC ∠+∠=︒-∠+︒-∠∵90ODE ∠=︒,∴1409050PDE ∠=︒-︒=︒.(3)如图,∵DP FD ⊥,(4)如图,当PD 在EDF ∠的外部时,∵45EDF ∠=︒,23PDF ∠=∠同理可得:2453 PDF∠=⨯∴PDE EDF PDF∠=∠-∠【点睛】本题考查的是垂直的定义,角平分线的定义,平行线的性质,角的和差运算,清晰的分类讨论是解本题的,BAP PAC∴∠=∠∠BAP PAC∴∠=∠=∠故答案为:BAP∠=(2)证明:如图2,DBA BAG ∴∠=∠AP 平分BAC∠BAP PAC ∴∠=∠DBA BAG ∴∠=∠5DBA ACE ∠=∠ 在图3中,∵AB AC ⊥,∴90BAC ∠=︒,∵AP 平分BAC ∠,∴1452PAB PAC BAC ∠=∠=∠=︒,∵DM FG ∥,BAG DBA x∴∠=∠=45PAG PAB BAG x∴∠=∠+∠=︒+90BAC ∠=︒9090FAC BAG x∴∠=︒-∠=︒-PAG FAC∠=∠ 4590x x∴︒+=︒-解得:22.5x =︒,22.5DBA ∴∠=︒;在图4中,∵AB AC ⊥,∴90BAC ∠=︒,∵AP 平分BAC ∠,∴1452P AB P AC BAC ∠=∠=∠=''︒,∵DM FG ∥,BAG DBA x∴∠=∠=45P AG BAG P AB x ∴∠=∠-='∠-'︒()180********PAG P AG x x∴∠=︒-∠=︒--︒=︒-'90CAG x∠=︒- ()1801809090FAC CAG x x∴∠=︒∠=︒-︒-=︒+PAG FAC∠=∠ 22590x x∴︒-=︒+解得:67.5x =︒,67.5DBA ∴∠=︒;综上所述,DBA ∠的度数为22.5︒或67.5︒.【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义综合题;熟练和灵活运用其性质建立好等量关系是解决本题的关键.。
人教版七年级下册数学第五章平行线的性质与判定的证明-练习题及答
∵∠B-∠D=24°,
∴∠B=60°,
即∠BEF=60°.
∵EG平分∠BEF,
∴∠GEF= ∠BEF=30°.
3.已知:如图2-10,AB∥EF,BC∥ED,AB,DE交于点G.
求证:∠B=∠E.
解析:标注AB∥EF,BC∥ED
答案:证明:∵AB∥EF,
∴∠E=∠AGD.
∵BC∥ED,
平行线的性质与判定的证明
练习题
温故而知新可以为师以:
重点1.平行线的性质
(1)两直线平行,同位角相等;
(2)两直线平行,内错角相等;
(3)两直线平行,同旁内角互补.
2.平行线的判定
(1)同位角相等,两直线平行;
(2)内错角相等,两直线平行;
(3)同旁内角互补,两直线平行互补.
例1已知如图2-2,AB∥CD∥EF,点M,N,P分别在AB,CD,EF上,NQ平分∠MNP.(1)若∠AMN=60°,∠EPN=80°,分别求∠MNP,∠DNQ的度数;
由平行线性质找到角的关系.(标注∠1=∠ABC,∠2=∠CDE)
答案:证明:如图,过点C作CF∥AB,
∵直线AB∥ED,
∴AB∥CF∥DE,
∴∠1=∠ABC,∠2=∠CDE.
∵∠BCD=∠1+∠2,
∴∠ABC+∠CDE=∠BCD;
(2)解析:动画过点C作CF∥AB,由平行线性质找到角的关系.
(标注∠ABC+∠1=180°,∠2+∠CDE=180°)
答案:∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°.
证明:如图,过点C作CF∥AB,
∵直线AB∥ED,
∴AB∥CF∥DE,
人教版七年级下册数学第五章知识点归纳及相应练习题和答案
人教版七年级下册数学第五章知识点归纳及相应练习题和答案第五章:相交线与平行线1.两条相交的直线所成的四个角中,有一条公共边,而另一条边互为反向延长线。
具有这种关系的两个角互为邻角。
2.两条相交的直线所成的四个角中,有一个公共顶点,而一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线。
具有这种关系的两个角互为对顶角。
对顶角的性质是它们的度数相等。
3.两条相交的直线所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直。
垂线的性质是:⑴过一点作一条直线与已知直线垂直;⑵连结直线外一点与直线上各点的所在线段中,与作垂线的直线所成的角是直角。
4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,称为这个点到直线的距离。
5.两条直线被第三条直线所截,构成八个角。
在那些没有公共顶点的角中,⑴如果两个角分别在两条直线的同一侧,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做内错角;⑵如果两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做同旁内角;⑶如果两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一侧,具有这种关系的一对角叫做同旁外角。
6.在同一平面内,不相交的两条直线互相平行。
同一平面内的两条直线的位置关系只有平行和相交两种。
7.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。
8.平行线的判定:⑴两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。
简单说成:同位角相等,则直线平行。
⑵两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。
简单说成:内错角相等,则直线平行。
⑶两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。
简单说成:同旁内角互补,则直线平行。
9.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线互相垂直。
10.平行线的性质:⑴两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,即对应角相等。
人教版七年级下数学 小专题 平行线的性质与判定(含解析)
小专题(一)平行线的性质与判定1.填写推理理由:如图,CD∥EF,∠1=∠2.求证:∠3=∠ACB.证明:∵CD∥EF,∴∠DCB=∠2( ).∵∠1=∠2,∴∠DCB=∠1( ).∴GD∥CB( ).∴∠3=∠ACB( ).2.如图,已知EAB是直线,AD∥BC,AD平分∠EAC,试判定∠B与∠C的大小关系,并说明理由.3.如图,已知AD∥BE,∠A=∠E,求证:∠1=∠2.4.已知:如图,AD∥EF,∠1=∠2.求证:AB∥DG.5.(蓟县期中)已知:如图,∠1+∠2=180°,∠3=100°,OK平分∠DOH,求∠KOH的度数.6.如图,已知AB∥CD,∠B=40°,CN是∠BCE的平分线,CM⊥CN,求∠BCM的度数.7.如图,把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后,ED与BC的交点为G,点D,C分别落在D′,C′的位置上,若∠EFG=55°,求∠1,∠2的度数.8.如图,EF∥AD,AD∥BC,CE平分∠BCF,∠DAC=130°,∠FEC=15°,求∠ACF的度数.9.如图,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠3.请问:AD平分∠BAC吗?若平分,请说明理由.10.已知:如图,直线EF分别交AB,CD于点E,F,且∠AEF=66°,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.(1)求∠PEF的度数;(2)若已知直线AB∥CD,求∠P的度数.12.(萧山区月考)如图,已知直线l1∥l2,直线l3和直线l1,l2交于点C和D,直线l3上有一点P.(1)如图1,若P点在C,D之间运动时,问∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系是否发生变化,并说明理由;(2)若点P在C,D两点的外侧运动时(P点与点C,D不重合,如图2和3),试直接写出∠PAC,∠APB,∠PBD 之间的关系,不必写理由.小专题(一)平行线的性质与判定1.填写推理理由:如图,CD∥EF,∠1=∠2.求证:∠3=∠ACB.证明:∵CD∥EF,∴∠DCB=∠2(两直线平行,同位角相等).∵∠1=∠2,∴∠DCB=∠1(等量代换).∴GD∥CB(内错角相等,两直线平行).∴∠3=∠ACB(两直线平行,同位角相等).2.如图,已知EAB是直线,AD∥BC,AD平分∠EAC,试判定∠B与∠C的大小关系,并说明理由.解:∠B=∠C.理由:∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC.∵AD∥BC,∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠C.∴∠B=∠C.3.如图,已知AD∥BE,∠A=∠E,求证:∠1=∠2.证明:∵AD∥BE,∴∠A=∠EBC.∵∠A=∠E,∴∠EBC=∠E.∴DE∥AB.∴∠1=∠2.4.已知:如图,AD∥EF,∠1=∠2.求证:AB∥DG.证明:∵AD ∥EF , ∴∠1=∠BAD. ∵∠1=∠2, ∴∠BAD =∠2. ∴AB ∥DG .5.(蓟县期中)已知:如图,∠1+∠2=180°,∠3=100°,OK 平分∠DOH ,求∠KOH 的度数.解:∵∠1+∠2=180°,∴AB ∥CD.∴∠GOD =∠3=100°.∴∠DOH =180°-∠GOD =180°-100°=80°. 又∵OK 平分∠DOH ,∴∠KOH =12∠DOH =12×80°=40°.6.如图,已知AB ∥CD ,∠B =40°,CN 是∠BCE 的平分线,CM ⊥CN ,求∠BCM 的度数.解:∵AB ∥CD , ∴∠BCE +∠B =180°. ∵∠B =40°,∴∠BCE =180°-40°=140°. ∵CN 是∠BCE 的平分线,∴∠BCN =12∠BCE =12×140°=70°.∵CM ⊥CN ,∴∠BCM =90°-70°=20°.7.如图,把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后,ED与BC的交点为G,点D,C分别落在D′,C′的位置上,若∠EFG=55°,求∠1,∠2的度数.解:∵AD∥BC,∠EFG=55°,∴∠2=∠GED,∠1+∠GED=180°,∠DEF=∠EFG=55°.由折叠知∠GEF=∠DEF=55°.∴∠GED=110°.∴∠1=180°-∠GED=70°,∠2=110°.8.如图,EF∥AD,AD∥BC,CE平分∠BCF,∠DAC=130°,∠FEC=15°,求∠ACF的度数.解:∵AD∥BC,∴∠ACB+∠DAC=180°.又∵∠DAC=130°,∴∠ACB=50°.∵EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥BC.∴∠BCE=∠FEC=15°.又∵CE平分∠BCF,∴∠BCF=2∠BCE=30°.∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=20°.9.如图,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠3.请问:AD平分∠BAC吗?若平分,请说明理由.解:AD平分∠BAC.理由:∵AD⊥BC,EG⊥BC,∴∠ADC=∠EGC=90°.∴∠3=∠2,∠E=∠1.∵∠3=∠E,∴∠1=∠2,即AD平分∠BAC.10.如图所示,已知∠ABC=80°,∠BCD=40°,∠CDE=140°,试确定AB与DE的位置关系,并说明理由.解:AB∥DE.理由:过点C作FG∥AB,∴∠BCG=∠ABC=80°.又∠BCD=40°,∴∠DCG=∠BCG-∠BCD=40°.∵∠CDE=140°,∴∠CDE+∠DCG=180°.∴DE∥FG.∴AB∥DE.11.如图,直线l1,l2均被直线l3,l4所截,且l3与l4相交,给定以下三个条件:①l1⊥l3;②∠1=∠2;③∠2+∠3=90°.请从这三个条件中选择两个作为条件,另一个作为结论组成一个真命题,并进行证明.解:已知:l1⊥l3,∠1=∠2.求证:∠2+∠3=90°.证明:∵∠1=∠2,∴l1∥l2.∵l1⊥l3,∴l2⊥l3.∴∠3+∠4=90°.∵∠4=∠2,∴∠2+∠3=90°.12.已知:如图,直线EF分别交AB,CD于点E,F,且∠AEF=66°,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.(1)求∠PEF 的度数;(2)若已知直线AB ∥CD ,求∠P 的度数. 解:(1)∵∠AEF =66°,∴∠BEF =180°-∠AEF =180°-66°=114°. 又∵EP 平分∠BEF ,∴∠PEF =∠PEB =12∠BEF =57°.(2)过点P 作PQ ∥AB. ∴∠EPQ =∠PEB =57°. ∵AB ∥CD ,∴PQ ∥CD ,∠DFE =∠AEF =66°. ∴∠FPQ =∠PFO. ∵FP 平分∠DFE , ∴∠PFD =12∠DFE =33°.∴∠FPQ =33°.∴∠EPF =∠EPQ +∠FPQ =57°+33°=90°.13.(萧山区月考)如图,已知直线l 1∥l 2,直线l 3和直线l 1,l 2交于点C 和D ,直线l 3上有一点P.(1)如图1,若P 点在C ,D 之间运动时,问∠PAC ,∠APB ,∠PBD 之间的关系是否发生变化,并说明理由; (2)若点P 在C ,D 两点的外侧运动时(P 点与点C ,D 不重合,如图2和3),试直接写出∠PAC ,∠APB ,∠PBD 之间的关系,不必写理由.解:(1)当P 点在C ,D 之间运动时, ∠APB =∠PAC +∠PBD. 理由:过点P 作PE ∥l 1, ∵l 1∥l 2,∴PE ∥l 2∥l 1.∴∠PAC =∠APE ,∠PBD =∠BPE.∴∠APB =∠APE +∠BPE =∠PAC +∠PBD.(2)当点P 在C ,D 两点的外侧运动时,在l 2下方时,则∠PAC =∠PBD +∠APB ; 在l 1上方时,则∠PBD =∠PAC +∠APB.。
人教版七年级下册数学《平行线及其判定》期末复习讲义(含知识点和习题)
第五章《相交线与平行线》期末复习讲义5.2平行线及其判定【知识回顾】一.平行线1.定义:在同一平面内,__________的两条直线叫做平行线2.要点剖析(1):平行线的特征:在同一平面内;是直线;没有公共点。
(2)在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种,重合的直线视为一条直线。
(3)平行线是指的两条直线的位置关系,两条射线或线段平行,是指的它们所在的直线平行。
二.平行线的画法1.“一落”把三角尺的一边落在已知直线上2.“二靠”用直尺紧靠三角尺的另一边3.“三推”把三角尺沿着直尺推到三角尺的一边刚好过已知点的位置4.“四画”沿三角尺过已知点的边画直线三.平行公理及其推论1.平行公理:经过直线外一点,_________一条直线与这条直线平行2.平行公理的推论:如果两条直线都与_________直线平行,那么这两条直线也互相平行四.平行线的判定1.同位角相等,两直线_________2.内错角相等,两直线_________3.同旁内角互补,两直线___________4.在同一平面内,垂直于_______________的两条直线互相平行题型拓展题型1 平行公理及其推论的应用例1:1.如图,取一张长方形的硬纸板ABCD,将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合,EF 为折痕.把长方形ABEF平放在桌面上,另一个面CDEF无论怎么改变位置,总有CD∥AB存在,你知道为什么吗?例2:2.如图,取一张长方形的硬纸片ABCD对折,MN是折痕,把ABNM平摊在桌面上,另一个面CDMN不论怎样改变位置,总有MN∥∥.因此∥.题型2 综合运用各种判定方法判定两条直线平行例1:3.如图,∠1=47°,∠2=133°,∠D=47°,那么BC与DE平行吗?AB与CD呢?为什么?例2:4.阅读下面的推理过程,在括号内填上推理的依据,如图:因为∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°(已知)所以∠1=∠4,()所以a∥c.()又因为∠2+∠3=180°(已知)∠3=∠6()所以∠2+∠6=180°,()所以a∥b.()所以b∥c.()题型3 平行线判定的开放探究题例1:5.如图,∠A=60°,∠1=60°,∠2=120°,猜想图中哪些直线平行,并证明.例2:6.如图,直线a,b被c所截,∠1=50°,若要a∥b,则需增加条件(填图中某角的度数);依据是.题型4 平行线的判定在实际生活中的应用例1:7.如图所示,给你两块同样的三角板和一根直尺(直尺比桌子长),请你设计一个方案,检验桌子的相对边缘线是否平行?例2:8.在铺设铁轨时,两条直轨必须是互相平行的,如图,已经知道∠2是直角,那么再度量图中已标出的哪个角,就可以判断两条直线是否平行?为什么?课后提高训练9.下列说法错误的是()A.平行于同一条直线的两直线平行B.两直线平行,同旁内角互补C.对顶角相等D.同位角相等10.如图,下面哪个条件不能判断AC∥EF的是()A.∠1=∠2B.∠4=∠C C.∠1+∠3=180°D.∠3+∠C=180°11.如图,平面内有五条直线l1、l2、l3、l4、l5,根据所标角度,下列说法正确的是()A.l1∥l2B.l2∥l3C.l1∥l3D.l4∥l512.如图,在下列条件中,能判断AB∥CD的是()A.∠1=∠4B.∠BAD=∠BCDC.∠BAD+∠ADC=180°D.∠2=∠313.如图所示,下列推理正确的是()A.∵∠1=∠4(已知)∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)B.∵∠2=∠3(已知)∴AE∥DF(内错角相等,两直线平行)C.∵∠1=∠3(已知)∴AB∥DF(内错角相等,两直线平行)D.∵∠2=∠2(已知)∴AE∥DC(内错角相等,两直线平行)14.下列说法中正确的个数为()①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②两条直线被第三条直线所截,同位角相等③经过两点有一条直线,并且只有一条直线④在同一平面内,不重合的两条直线不是平行就是相交A.1个B.2个C.3个D.4个15.如图,下列能判定AB∥CD的条件有(填序号)①∠B+∠BCD=180°;②∠2=∠3;③∠1=∠4;④∠B=∠5;⑤∠D=∠5.16.如图,要使BE∥DF,需补充一个条件,你认为这个条件应该是(填一个条件即可).17.一副三角板按如图所示叠放在一起,其中点C、D重合,若固三角板定ABC,改变三角板AED的位置(其中A点位置始终不变),当∠CAD=时,ED∥AC.18.如图,直线a、b被直线c所截,现给出的下列四个条件:①∠4=∠7;②∠2=∠5;③∠2+∠3=180°;④∠2=∠7.其中能判定a∥b的条件的序号是.19.已知:∠A=∠C=120°,∠AEF=∠CEF=60°,求证:AB∥CD.20.如图,若∠1=42°,∠2=53°,∠3=85°,则直线l1与l2平行吗?判断并说明理由.21.如图,已知CD⊥AD于点D,DA⊥AB于点A,∠1=∠2,试说明DF∥AE.解:因为CD⊥AD(已知),所以∠CDA=90°().同理∠DAB=90°.所以∠CDA=∠DAB=90°().即∠1+∠3=∠2+∠4=90°.因为∠1=∠2(已知),所以∠3=∠4().所以DF∥AE().22.完成下列证明过程,并在括号内填上依据.如图,点E在AB上,点F在CD上,∠1=∠2,∠B=∠C,求证AB∥CD.证明:∵∠1=∠2(已知),∠1=∠4(),∴∠2=∠4(等量代换),∴().∴∠3=∠C().又∵∠B=∠C(已知),∴∠3=∠B(等量代换),∴AB∥CD().参考答案与解析1.解:∵四边形FECD是矩形,∴CD∥EF;又∵四边形ABEF是矩形,∴AB∥EF,∴CD∥AB.2.解:∵长方形的硬纸片ABCD对折,MN是折痕,∴MN∥AB,MN∥CD,即MN∥AB∥CD,∴AB∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行).故各空依次填AB、CD、AB、CD.3.解:BC∥DE,AB∥CD.理由如下:∵∠1=47°,∠2=133°,而∠ABC=∠1=47°,∴∠ABC+∠2=180°,∴AB∥CD;∵∠2=133°,∴∠BCD=180°﹣133°=47°,而∠D=47°,∴∠BCD=∠D,∴BC∥DE.4.解:因为∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°(已知),所以∠1=∠4,(同角的补角相等)所以a∥c.(内错角相等,两直线平行)又因为∠2+∠3=180°(已知)∠3=∠6(对顶角相等)所以∠2+∠6=180°,(等量代换)所以a∥b.(同旁内角互补,两直线平行)所以b∥c.(平行于同一条直线的两条直线平行).故答案为:同角的补角相等;内错角相等,两直线平行;对顶角相等;等量代换;同旁内角互补,两直线平行;平行于同一条直线的两条直线平行.5.解:如图,∵∠A=60°,∠1=60°,∴∠A=∠1,∴DE∥AC.又∵∠A=60°,∠2=120°,∴∠A+∠2=180°,∴EF∥AB.6.解:∵∠3=50°,1=50°,∴∠1=∠3,∴a∥b(同位角相等,两直线平行).故答案为:∠3=50°;同位角相等;两直线平行.7.解:(1)将直尺放在桌面上,使其与桌面一组对边相交;(2)将三角板一边贴近直尺,斜边贴近桌面边缘;(3)使另一个三角形同样方法放置,如果相符合说明对边平行,原理如图所示,若∠1=∠2则a∥b,再检查另一组对边是否平行.8.解:①通过度量∠3的度数,若满足∠2+∠3=180°,根据同旁内角互补,两直线平行,就可以验证这个结论;②通过度量∠4的度数,若满足∠2=∠4,根据同位角相等,两直线平行,就可以验证这个结论;③通过度量∠5的度数,若满足∠2=∠5,根据内错角相等,两直线平行,就可以验证这个结论.9. D10.C11.D12.C13.B14.B15.解:选项①中∵∠B+∠BCD=180°,∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),所以正确;选项②中,∵∠2=∠3,∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行),所以错误;选项③中,∵∠1=∠4,∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行),所以正确;选项④中,∵∠B=∠5,∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行),所以正确;选项⑤中,∠D=∠5,∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行),所以错误;故答案为:①③④.16.解:添加条件为:∠D=∠COE.理由如下:∵∠D=∠COE,∴BE∥DE(同位角相等,两直线平行).故答案为:∠D=∠COE(答案不唯一).17.解:如图所示:当ED∥AC时,∠CAD=∠D=30°;如图所示,当ED∥AC时,∠E=∠EAC=60°,∴∠CAD=60°+90°=150°;故答案为:30°或150°.18.解:当∠4=∠7时,a∥b,故①正确;当∠2=∠5时,无法证明a∥b,故②错误;当∠2+∠3=180°时,无法证明a∥b,故③错误;当∠2=∠7时,a∥b,故④正确;故答案为:①④.19.证明:∵∠A=∠C=120°,∠AEF=∠CEF=60°,∴∠A+∠AEF=180°,∠C+∠CEF=180°,∴AB∥EF,CD∥EF,∴AB∥CD.20.解:直线l1与l2平行,理由:∵∠1=∠4,∠2=∠5,∠1=42°,∠2=53°,∴∠4=42°,∠5=53°,又∵∠3=85°,∴∠3+∠5=85°+53°=138°,∴∠3+∠5+∠4=138°+42°=180°,∴l1∥l2(同旁内角互补,两直线平行).21.解:因为CD⊥AD(已知),所以∠CDA=90°(垂直的定义),同理∠DAB=90°.所以∠CDA=∠DAB=90°(等量代换),即∠1+∠3=∠2+∠4=90°.因为∠1=∠2(已知),所以∠3=∠4(等式的性质1),所以DF∥AE(内错角相等,两直线平行).22.证明:∵∠1=∠2(已知),∠1=∠4(对顶角相等),∴∠2=∠4(等量代换),∴CE∥BF(同位角相等,两直线平行).∴∠3=∠C(两直线平行,同位角相等).又∵∠B=∠C(已知),∴∠3=∠B(等量代换),∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).故答案为:对顶角相等;CE∥BF;同位角相等,两直线平行;C;两直线平行,同位角相等;内错角相等,两直线平行.。
七年级数学下册 专题 第6讲 平行线重点、考点知识总结及练习
专题第6讲平行线知识点1 平行公理及推论1. 在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:相交和平行.直线a与直线b不相交时,直线a与b互相平行,记作a∥b.2. 平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 【典例】1.如图,直线a,点B,点C.(1)过点B画直线a的平行线,能画几条?(2)过点C画直线a的平行线,它与(1)中所作的直线平行吗?【解析】解:(1)由平行公理可知,过直线a外的一点B画直线a的平行线,有且只有一条直线与直线a平行;(2)过点C画直线a的平行线,它与(1)中所作的直线平行.理由如下:如图,∵b∥a,c∥a,∴c∥b.【方法总结】本题考查了平行公理及其推论.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.在公理中,要准确理解“有且只有”的含义.从作图的角度说,它是“能但只能画出一条”的意思.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.平行公理的推论是判定两直线平行的一种常用方法,要牢固掌握.【随堂练习】1.下列说法中错误的个数是()(1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行;(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(3)在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交,平行两种;(4)不相交的两条直线叫做平行线.A.1个B.2个C.3个D.4个【解答】解:(1)在同一平面内,过直线外一点一点有且只有一条直线与已知直线平行,原来的说法错误;(2)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,原来的说法错误;(3)在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交,平行两种是正确的;(4)在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,原来的说法错误.故说法中错误的个数是3个.故选:C.2.请你动手试试,过一条直线外的一点作这条直线的平行线,能作几条?由此能得出一个什么数学结论.____________________________.【解答】解:过一条直线外的一点作这条直线的平行线,能做1条,理由是:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.故答案为:能做一条,过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.知识点2 平行线的判定1. 平行线的判定方法:判定方法1 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:同位角相等,两直线平行.如图1,∵∠4=∠2,∴a∥b.判定方法2 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:内错角相等,两直线平行.如图2,∵∠4=∠5,∴a∥b.判定方法3 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:同旁内角互补,两直线平行.如图3,∵∠4+∠1=180°,∴a∥b.2. 重要结论:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.注意:条件“同一平面”不能缺少,否则结论不成立.【典例】1.如图,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠E为直角,AB与CD平行吗?试说明理由.【解析】解:AB∥CD.理由:∵BE平分∠ABD(已知),∴∠ABD=2∠α(角平分线的定义).∵DE平分∠BDC(已知),∴∠BDC=2∠β(角平分线的定义),∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)(等量代换).∵∠E为直角,即∠E=90°(已知),∴∠α+∠β=90°(直角三角形的两个锐角互余),∴∠ABD+∠BDC=180°(等量代换).∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).【方法总结】首先根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠α,∠BDC=2∠β,根据等量代换可得∠ABD+∠BDC=2(∠α+∠β).由∠E为直角可得∠α+∠β=90°,进而得到∠ABD+∠BDC=180°,然后根据“同旁内角互补,两直线平行”可得答案.此题主要考查了平行线的判定,关键是掌握角平分线的定义和平行线的判定方法.【随堂练习】1.完成下面的证明,括号内填根据.如图,直线a、b、c被直线l所截,量得∠1=65°,∠2=115°,∠3=65°.求证:a∥b证明:∠1=65°,∠3=65°∴_______∴___________________∵∠2=115°,∠3=65°∴____________∴___________________∴a∥b【解答】证明:∵∠1=65°,∠3=65°∴∠1=∠3,∴a∥c(同位角相等,两直线平行),∵∠2=115°,∠3=65°∴∠2+∠3=180°,∴b∥c(同旁内角相等,两直线平行)∴a∥b(如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行)故答案为:∠1=∠3;a∥c(同位角相等,两直线平行);∠2+∠3=180°;b ∥c(同旁内角相等,两直线平行).2.如图,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠1+∠2=90°.求证:AB∥CD.【解答】解:∵BE平分∠ABD,DE平分∠BDC(已知),∴∠ABD=2∠1,∠BDC=2∠2(角平分线定义),∵∠1+∠2=90°,∴∠ABD+∠BDC=2(∠1+∠2)=180°,∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).3.如图,已知∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC,将证明AD∥BC的过程填写完整.证明:∵AB⊥AC∴∠_____=____°(______)∵∠1=30°∴∠BAD=∠_____+∠___=_____°又∵∠B=60°∴∠BAD+∠B=_____°∴AD∥BC(______________)【解答】证明:∵AB⊥AC∴∠BAC=90°(垂直定义)∵∠1=30°∴∠BAD=∠BAC+∠1=120°又∵∠B=60°∴∠BAD+∠B=180°∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行)故答案为:BAC,90,垂直定义,BAC,1,120,180,同旁内角互补,两直线平行.知识点3 平行线的性质平行线的性质:性质1 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等.如图1,∵a∥b,∴∠4=∠2.性质2 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等.如图2,∵a∥b,∴∠4=∠5.性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:同旁内角互补,两直线平行.如图3,∵a∥b,∴∠4+∠1=180°.【典例】1.如图1,对于直线MN同侧的两个点A,B,若直线MN上的点P满足∠APM=∠BPN,则称点P为A,B在直线MN上的反射点.已知如图2,MN∥HG,AP∥BQ,点P为A,B在直线MN上的反射点,判断点B是否为P,Q在直线HG上的反射点,并说明理由.【解析】解:点B是P,Q在直线HG上的反射点,理由:∵点P为A,B在直线MN上的反射点,∴∠APM=∠BPQ,又∵HG∥MN,∴∠APM=∠BAP,∠BPQ=∠PBA,∴∠PAB=∠PBA,又∵AP∥BQ,∴∠PAB=∠QBG,∴∠PBA=∠QBG,∴点B是P,Q在直线HG上的反射点.【方法总结】依据点P为A,B在直线MN上的反射点,即可得到∠APM=∠BPQ,再根据平行线的性质,即可得到∠PAB=∠PBA,经过等量代换可得∠PBA=∠QBG,所以点B是P,Q在直线HG 上的反射点.本题是新定义题,正确理解“反射点”的概念和特征,并熟练应用平行线的性质是解题的关键.【随堂练习】1.如图,已知AB∥CD,点E在AC的右侧,∠BAE,∠DCE的平分线相交于点F.探索∠AEC与∠AFC之间的等量关系,并证明你的结论.【解答】解:∠AEC=2∠AFC.理由:如图,分别过E,F作EG∥AB,FH∥AB,则EG∥CD,FH∥CD,∴∠AEG=∠BAE,∠CEG=∠DCE,∴∠AEC=∠AEG+∠CEG=∠BAE+∠DCE,同理可得∠AFC=∠BAF+∠DCF,∵∠BAE,∠DCE的平分线相交于点F,∴∠BAE=2∠BAF,∠DCE=2∠DCF,∴∠AEC=2(∠BAF+∠DCF)=2∠AFC.2.课上教师呈现一个问题:已知:如图1,AB∥CD,EF⊥AB于点O,FG交CD于点P,当∠1=30°时,求∠EFG的度数.甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题,如图:甲同学辅助线的做法和分析思路如下:辅助线:过点F作MN∥CD.分析思路:①欲求∠EFG的度数,由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数之和;②由辅助线作图可知,∠2=∠1,从而由已知∠1的度数可得∠2的度数;③由AB∥CD,MN∥CD推出AB∥MN,由此可推出∠3=∠4;④由已知EF⊥AB,可得∠4=90°,所以可得∠3的度数;⑤从而可求∠EFG的度数.(1)请你根据乙同学所画的图形,描述辅助线的做法,并写出相应的分析思路.辅助线:_________________分析思路:(2)请你根据丙同学所画的图形,求∠EFG的度数.【解答】解:(1)辅助线:过点P作PN∥EF交AB于点N.分析思路:①欲求∠EFG的度数,由辅助线作图可知,∠EFG=∠NPG,因此,只需转化为求∠NPG的度数;②欲求∠NPG的度数,由图可知只需转化为求∠1和∠2的度数和;③又已知∠1的度数,所以只需求出∠2的度数;④由已知EF⊥AB,可得∠4=90°;⑤由PN∥EF,可推出∠3=∠4;AB∥CD可推出∠2=∠3,由此可推∠2=∠4,所以可得∠2的度数;⑥从而可以求出∠EFG的度数.(2)如图,过点O作ON∥FG,∵ON∥FG,∴∠EFG=∠EON∠1=∠ONC=30°,∵AB∥CD,∴∠ONC=∠BON=30°,∵EF⊥AB,∴∠EOB=90°,∴∠EFG=∠EON=∠EOB+∠BON=90°+30°=120°.3.问题情境:(1)如图1,AB∥CD,∠P AB=130°,∠PCD=120°.求∠APC度数.小颖同学的解题思路是:如图2,过点P作PE∥AB,请你接着完成解答问题迁移:(2)如图3,AD∥BC,点P在射线OM上运动,当点P在A、B两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系?(提示:过点P作PE∥AD),请说明理由;(3)在(2)的条件下,如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请你猜想∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系.【解答】解:(1)过P作PE∥AB,∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,∴∠APE=180°﹣∠A=50°,∠CPE=180°﹣∠C=60°,∴∠APC=50°+60°=110°;(2)∠CPD=∠α+∠β,理由如下:如图3,过P作PE∥AD交CD于E,∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β;(3)当P在BA延长线时,∠CPD=∠β﹣∠α;理由:如图4,过P作PE∥AD交CD于E,∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠CPE﹣∠DPE=∠β﹣∠α;当P在BO之间时,∠CPD=∠α﹣∠β.理由:如图5,过P作PE∥AD交CD于E,∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠DPE﹣∠CPE=∠α﹣∠β.知识点4 平行线的判定与性质的综合运用两直线平行⇔同位角相等.两直线平行⇔内错角相等.同旁内角互补⇔两直线平行.“⇔”叫做“等价于”,即由左边能推出右边,由右边也能推出左边.【典例】1.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠A,试说明:BE∥CF.【解析】解:如图,∵∠3=∠4(已知),∴AE∥BC(内错角相等,两直线平行),∴∠EDC=∠5(两直线平行,内错角相等).∵∠5=∠A(已知),∴∠EDC=∠A(等量代换),∴DC∥AB(同位角相等,两直线平行),∴∠5+∠ABC=180°(两直线平行,同旁内角互补),即∠5+∠2+∠3=180°.∵∠1=∠2(已知),∴∠5+∠1+∠3=180°(等量代换),即∠BCF+∠3=180°,∴BE∥CF(同旁内角互补,两直线平行).2.学习完平行线的性质与判定之后,我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题.(1)小明遇到了下面的问题:如图1,l1∥l2,点P在l1、l2内部,探究∠A,∠APB,∠B的关系.小明过点P作l1的平行线,可证∠APB,∠A,∠B之间的数量关系是:∠APB=____________________.(2)如图2,若AC∥BD,点P在AC、BD外部,∠A,∠B,∠APB的数量关系是否发生变化?(3)已知:如图3,三角形ABC,试说明:∠A+∠B+∠C=180°.【解析】解:(1)如图1,过P作PE∥l1,∵l1∥l2,∴PE∥l1∥l2,∴∠APE=∠A,∠BPE=∠B,∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠A+∠B,故答案为:∠A+∠B.(2)如图2,过点P作PE∥AC,则∠A=∠1.∵AC∥BD,∴PE∥BD,∴∠B=∠EPB.∵∠APB=∠BPE﹣∠1,∴∠APB=∠B﹣∠A;(3)如图3,过点A作MN∥BC,则∠B=∠1,∠C=∠2.∵∠BAC+∠1+∠2=180°,∴∠BAC+∠B+∠C=180°.【方法总结】平行线的判定是由角的关系得到两直线平行,平形线的性质是由两直线平行得到角之间的关系,他们都可以作为说理的依据.其他常见的说理依据有:已知、等量代换、对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等、平行于同一条直线的两条直线互相平行、三角形的内角和等于180°等.【随堂练习】1.如图,DE⊥AB,∠1=∠A,∠2+∠3=180°,试判断CF与AB的位置关系,并说明理由.【解答】解:CF⊥AB,理由如下:∵∠1=∠A(已知)∴AC∥FG(同位角相等,两直线平行)∴∠2=∠ACF(两直线平行,内错角相等)∴∠2+∠3=180°(已知)∴∠ACF+∠3=180°∴DE∥CF(同旁内角互补,两直线平行)∴∠DEF=∠1+∠2∵DE⊥AB∴∠1+∠2=90°∴CF⊥AB2.如图1,直线AG与直线BH和DI分别相交于点A和点G,点C为DI上一点,且CE⊥AG,垂足为点E,∠DCE﹣∠HAE=90°.(1)求证:BH∥DI.(2)如图2:直线AF交DC于,AM平分∠EAF,AN平分∠BAE,证明:∠AFG =2∠MAN.【解答】证明:(1)因为∠DCE+∠ECG=180°,∠CEG+∠CGA+∠ECG=180°,所以∠DCE=∠CEG+∠CGA因为CD⊥AG所以∠DCE﹣∠CGA=∠CEG=90°又因为∠DCE﹣∠HAE=90°所以∠CGA=∠HAE所以BH∥DI(2)因为AM平分∠EAF AN平分∠BAE所以∠EAM=∠F AM∠EAN=∠BAN又因为∠MAN=∠EAN﹣∠EAM所以∠MAN=∠BAN﹣∠F AM又因为∠BAN=∠BAF+∠F AN∠F AM=∠MAN+∠F AN所以∠MAN=∠BAF﹣∠MAN所以∠BAF=2∠MAN又所以BH∥DI所以∠AFG=∠BAF所以∠AFG=2∠MAN.知识点5 命题、定理、证明1. 命题:判断一件事情的语句叫做命题.数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论.2. 真命题:如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题.假命题:题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题.3. 定理:经过推理证实的真命题叫做定理.判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.4. 判断一个命题是真命题,需要进行证明;判断一个命题是假命题,只要举出一个例子(反例),它符合命题的题设,但不满足结论就可以了.【典例】1.判断下列命题是真命题还是假命题.如果是真命题,请证明,如果是假命题,请举出反例.(1)两个锐角的和是钝角;(2)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.【解析】解:(1)“两个锐角的和是钝角位”是假命题,如30°和40°的和为70°;(2)“在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行”为真命题.已知:如图,在同一平面内,直线b⊥a,直线c⊥a.证明:如图,∵b⊥a,c⊥a,∴∠1=90°,∠2=90°,∴∠1=∠2,∴b∥c.【方法总结】要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.(1)任意找两个锐角,使它们的和为锐角或直角即可;(2)写出已知、求证,作出图形,利用平行线的判定即可证明命题为真命题.【随堂练习】1.已知:三条不同的直线a、b、c在同一平面内:①a∥b;②a⊥c;③b⊥c;④a⊥b.请你用①②③④所给出的其中两个事项作为条件,其中一个事项作为结论(用如果…那么…的形式,写出命题,例如:如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b).(1)写出一个真命题,并证明它的正确性;(2)写出一个假命题,并举出反例.【解答】解:(1)如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b;理由:如图,∵a⊥c、b⊥c,∴∠1=90°,∠2=90°,∴∠1=∠2,∴a∥b.(2)如果a⊥c、b⊥c、那么a⊥b;反例:见上图,如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b.2.如图,有三个论断:①∠1=∠2;②∠B=∠C;③∠A=∠D,请你从中任选两个作为条件,另一个作为结论构成一个命题,并证明该命题的正确性.【解答】已知:∠1=∠2,∠B=∠C求证:∠A=∠D证明:∵∠1=∠3又∵∠1=∠2∴∠3=∠2∴EC∥BF∴∠AEC=∠B又∵∠B=∠C∴∠AEC=∠C∴AB∥CD∴∠A=∠D综合运用1.“垂直于同一直线的两直线平行”的题设:_______________________________________,结论:___________________________.【答案】两条直线都垂直于同一条直线这两条直线互相平行【解析】解:把命题可以写成“如果…那么…”,则如果后面为题设,那么后面为结论.“垂直于同一直线的两直线平行”改写成为“如果…那么…”的形式为:如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线互相平行.题设:两条直线都垂直于同一条直线;结论为:这两条直线互相平行.故答案为:两条直线都垂直于同一条直线这两条直线互相平行2.如图,已知长方形ABCD,将△BCD沿对角线BD折叠,记点C的对应点为C',若∠ADC'=24°,则∠BDC的度数为______________.【答案】57°【解析】解:如图,设AD与BC′交于点E.∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°,AD∥BC,∠ADC=90°,∴∠3=∠4,∠1=∠2+∠4.∵△BDC′是由△BDC翻折得到,∴∠2=∠4,∠C=∠C′=90°,∠BDC=∠BDC′∴∠2=∠3,∵∠ADC′=24°,∴∠1=90°﹣∠EDC′=66°,∵∠1=∠2+∠4=2∠2,×66°=33°,∴∠2=∠3=12∴∠BDC=∠D-∠3=90°-33°=57°.故答案为57°.3.在同一平面内三条直线交点有多少个?甲:同一平面三直线相交交点的个数为0个,因为a∥b∥c,如图(1)所示.乙:同一平面内三条直线交点个数只有1个,因为a,b,c交于同一点O,如图(2)所示.以上说法谁对谁错?为什么?【解析】解:甲、乙说法都不对,都少了三种情况.a∥b,c与a,b相交如图(1);a,b,c两两相交如图(2),所以三条直线互不重合,交点有0个或1个或2个或3个,共四种情况.4.如图,如果CD∥AB,CE∥AB,那么C,D,E三点是否共线?你能说明理由吗?【解析】解:C,D,E三点共线.理由:因为过直线AB外一点C有且只有一条直线与AB平行,直线CD、DE都经过点C 且与AB平行,所以直线CD、DE重合,所以点C、D、E三点共线.5.如图,已知AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=35°,∠2=35°,AC与BD平行吗?AE与BF平行吗?【解析】解:因为∠1=35°,∠2=35°(已知),所以∠1=∠2.所以AC∥BD(同位角相等,两直线平行).又因为AC⊥AE(已知),所以∠EAC=90°(垂直的定义).所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°.同理可得,∠FBG=∠FBD+∠2=125°.所以∠EAB=∠FBG(等量代换).所以AE∥BF(同位角相等,两直线平行).6.判断下列命题是真命题还是假命题;如果是假命题,请举一个反例.(1)两个锐角的和是锐角;(2)若a>b,则a2>b2;【解析】解:(1)假命题.反例为:两个锐角分别为40°,60°,它们的和为100°,为钝角;(2)假命题.反例为:a=1,b=﹣3,但是a2=1<b2=9.7.如图,AB∥CD,△EFG的顶点F,G分别落在直线AB,CD上,GE交AB于点H,GE 平分∠FGD,若∠EFG=90°,∠E=35°,求∠EFB的度数.【解析】解:∵∠EFG=90°,∠E=35°,∴∠FGH=180°-∠EFG-∠E=180°-90°-35°=55°.∵GE平分∠FGD,∴∠FHG=∠HGD=55°.∵AB∥CD,∴∠FHG=∠HGD =55°.∴∠FHE=180°-∠FHG=180°-55°=125°.在△EFH中,∠EFB=180°-∠FHE-∠E=180°-125°-35°20°.8.如图,已知:AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:(1)∠4=∠DAC;(2)AD∥BE.【解析】证明:(1):∵AB∥CD,∴∠4=∠BAF(两直线平行,同位角相等).∵∠1=∠2(已知),∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF(等式的性质),即∠BAF=∠DAC,∴∠4=∠DAC,(2)∵∠4=∠DAC,∠3=∠4,∴∠3=∠DAC,∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行).。
人教版数学七年级下册第五章平行线笔记复习总结
平行线知识点一平行线的有关概念1.平行线:在同一平面内,不相交(也不重合)的两条直线叫做平行线。
平行用符号:“∥”表示如图直线 AB 与直线 CD 是平行线,记作AB∥CD。
读作“AB 平行CD”AC在同一平面内,两条直线不相交就平行。
(位置关系)2.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
ba3.推论: 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
即:如果a∥b,c∥b,那么a∥c ( 平行线的传递性)cba DB例 1:已知直线 a、b、c 在同一平面内,则下列说法错误的是()A.如果a∥b,b∥c,那么a∥cB.a⊥b,c⊥b,那么a∥cC.如果 a 与 b 相交,b 与 c 相交,那么 a 与 c 一定相交D.D.如果 a 与 b 相交,b 与 c 不相交,那么 a 与 c 一定相交【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行,同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行进行分析即可.【解答】解:A.如果a∥b,b∥c,那么a∥c,说法正确;B.a⊥b,c⊥b,那么a∥c,说法正确;C.如果 a 与 b 相交,b 与 c 相交,那么 a 与 c 不一定相交,a 与 c 可能平行所以说法错误;D.如果 a 与 b 相交,b 与 c 不相交,那么 a 与 c 一定相交,说法正确.故选 C知识点二平行线的判定判定定理 1:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。
简单说成:同位角相等,两直线平行。
若∠1=∠2,则a∥b判定定理 2:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。
简单说成:内错角相等,两直线平行。
若∠1=∠3,则a∥b判定定理 3:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。
简单说成:同旁内角互补,两直线平行。
若∠1+∠4=180°例 1:如图,下列推理错误的是()A.∵∠1=∠2,∴c∥d B.∵∠3=∠4,∴c∥dC.∵∠1=∠3,∴a∥b D.∵∠1=∠4,∴a∥b【分析】A、根据内错角相等,两直线平行进行判定;B 根据同位角相等,两直线平行进行分析;C 中∠1,∠3 不是同位角,也不是内错角,因此不能判定直线平行;D 根据内错角相等,两直线平行进行判定.【解答】解:A、∵∠1=∠2,∴c∥d,正确,不符合题意;B、∵∠3=∠4,∴c∥d,正确,不符合题意;C、∵∠1=∠3,∴a∥b,错误,符合题意;D、∵∠1=∠4,∴a∥b,正确,不符合题意;故选:C.例 2:已知:如图,∠A=∠F,∠C=∠D.求证:BD∥CE.【分析】由∠A=∠F,根据内错角相等,两直线平行,即可求得AC∥DF,即可得∠C=∠FEC,又由∠C=∠D,则可根据同位角相等,两直线平行,证得BD∥CE.【解答】证明:∵∠A=∠F,∴AC∥DF,∴∠C=∠FEC,∵∠C=∠D,∴∠D=∠FEC,∴BD∥CE.知识点三平行线的性质性质 1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
人教版七年级数学下平行线的性质课后题真题讲解
一、平行线的定义
平行线,又称平行直线,是指两条直线在平面上任意位置都不相交,且方向完全相同的两条直线。
二、平行线的性质
(1)夹角为零:两条平行线所夹的任意角都是零度。
(2)平分比例定理:如果一条直线与两条不同的平行线相交,则它们与交点距离之比等于两条平行线之间的距离之比。
(3)反证法:如果两条直线不平行,则它们必定会相交。
三、例题
一般命题:如果一条直线与两条不同的平行线相交,则这三条直线所构成的三角形为等腰三角形。
证明:由平分比例定理可知,此时这三条直线之间的距离之比为1:1,故该三角形为等腰三角形。
(反证法)。
人教版七年级下册数学重点知识点练习及答案解析——平行线的性质测试
人教版七年级下册数学重点知识点练习及答案解析——平行线的性质测试一、选择题(本大题共14个小题,每题2分,共28分,在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1.(2019·贵州初三)下列图形中,由AB ∥CD ,能得到∠1=∠2的是( )A .B .C .D .【答案】B【解析】A 、∵AB ∥CD ,∴∠1+∠2=180°。
故本选项错误。
B 、如图,∵AB ∥CD ,∴∠1=∠3。
∵∠2=∠3,∴∠1=∠2。
故本选项正确。
C 、∵AB ∥CD ,∴∠BAD=∠CDA ,不能得到∠1=∠2。
故本选项错误。
D 、当梯形ABDC 是等腰梯形时才有,∠1=∠2。
故本选项错误。
故选B 。
2.(2020·全国初三专题练习)如图,直线a b ,被直线c 所截,180a //b ∠=︒,,则2∠=()A .130︒B .120︒C .110︒D .100︒【答案】D【解析】∵∠1=800,∴∠1的对顶角为800,又∵ a ∥b, ∴∠1的对顶角和∠2互补,∴∠2=1800-800=1000,答案为D .3.(2020·北京初三专题练习)如图,将一张矩形纸片折叠,若∠1=80°,则∠2的度数是( )A.50°B.60°C.70°D.80°【答案】A【解析】如图,∵a∥b,∴∠1=∠3=80°,(180°﹣80°)=50°,由翻折不变性可知:∠2=∠4=12故选A.4.(2020·全国初三专题练习)如图,要修建一条公路,从A村沿北偏东75°方向到B村,从B村沿北偏西25°方向到C村.若要保持公路CE与AB的方向一致,则∠ECB的度数为()A.80°B.90°C.100°D.105°【答案】A【解析】解:由题意可得:AN∥FB,EC∥BD,∴∠NAB=∠FBD=75°,∵∠CBF=25°,∴∠CBD=100°,则∠ECB=180°-100°=80°.故选:A.5.(2020·全国初三专题练习)如图,将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上,若∠1=48°,那么∠2的度数是()A.48°B.78°C.92°D.102°【答案】D【解析】解:如图:∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上,∠1=48°,∴∠2=∠3=180°﹣48°﹣30°=102°故选:D.6.(2020·全国初三专题练习)如图,直线a∥b,∠1=50°,∠2=40°,则∠3的度数为()A.40°B.90°C.50°D.100°【答案】B【解析】∵a∥b,∴∠4=∠1=50°,∵∠2=40°,∴∠3=180°-40°-50°=90°,故选B.7.(2019·海南初三)如图,直线a∥b,AC⊥AB,AC交直线b于点C,∠1=60°,则∠2的度数是()A.50°B.45°C.35°D.30°【答案】D【解析】如图,,∵直线a∥b,∴∠3=∠1=60°.∵AC⊥AB,∴∠3+∠2=90°,∴∠2=90°-∠3=90°-60°=30°,故选D.8.(2019·广东初三)如图,五边形ABCDE中,AB∥CD,∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角,则∠1+∠2+∠3等于( )A.90°B.180°C.210°D.270°【答案】B【解析】如图,如图,过点E作EF∥AB,∵AB∥CD,∴EF∥AB∥CD,∴∠1=∠4,∠3=∠5,∴∠1+∠2+∠3=∠2+∠4+∠5=180°,故选B9.(2019·河南初三)如图所示,直线a∥b,∠1=38°,∠2=90°,则∠3的度数为()A.125°B.138°C.148°D.128°【答案】D【解析】解:如图,反向延长∠2的边与a交于一点,由三角形外角性质,可得∠4=∠2﹣∠1=52°,∴∠5=180°﹣∠4=128°,∵a∥b,∴∠3=∠5=128°.故选:D.10.(2018·江苏初一期末)下列说法:①对顶角相等;②若AB=BC,则点B是AC的中点;③若一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等;④同角的补角相等.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】解:①对顶角相等,正确;②若AB=BC,则点B不一定是AC的中点,错误;③若一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补,错误;④同角的补角相等,正确.故选:B.11.(2018·全国初一月考)在公路上骑自行车,若第一次向左拐15°,则第二次向右拐15°就能回到原来的行车方向,这是直接根据()A.同位角相等,两直线平行B.两直线平行,同位角相等C.两直线平行,同旁内角互补D.平行于同一直线的两直线互相平行【答案】A【解析】解:两次拐弯角度相同后,行驶方向与原来方向是平行的.则根据平行线依据的判定是:同位角相等,两直线平行故选A.12.(2019·安徽雪枫中学初二期中)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角( )A.相等B.互补C.相等或互补D.不能确定【答案】C【解析】解:如图所示,∠1和∠2,∠1和∠3两对角符合条件.根据平行线的性质,得到∠1=∠2;结合邻补角的定义,得∠1+∠3=∠2+∠3=180°;故选:C.13.(2019·哈尔滨市第一一三中学校初一期中)如图,AB∥CD,BF平分∠ABE,且BF∥DE,则∠ABE与∠D的关系是()A.∠ABE=3∠D B.∠ABE+∠D=90°C.∠ABE+3∠D=180°D.∠ABE=2∠D【答案】D【解析】延长CD和BF交于点G,∵AB∥CD∴∠CGB=∠ABG,∵BF∥DE∴∠CGB=∠CDE,∴∠CDE=∠ABG,∠,又∵BF平分ABE∠=2∠ABG,∴ABE∠=2∠CDE,∴ABE故选D.14.(2019·全国初一月考)如图,放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB,EF与上拉杆CF形成的∠F=150°,主柱AD垂直于地面,通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度.当∠CDB=35°时,点H,D,B在同一直线上,则∠H的度数是()A.120°B.110°C.115°D.100°【答案】C【解析】解:过D点作DI∥EF,∵∠F=150°,∴∠FDI=30°,∴∠ADB=180°-90°-30°-35°=25°,∴∠ABH=90°-25°=65°.∵GH∥AB,∴∠H=180°-65°=115°.故选C.二、填空题(本题共4个小题;每个小题3分,共12分,把正确答案填在横线上)15.(2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初二月考)如图,AB∥CD,EF∥CD,∠B=40°,∠C=105°,则∠CGB=__________度.【答案】35【解析】∵AB∥CD∥EF,∠B=40°,∠C=105°,∴∠BGF=∠B=40°,∠C+∠CGF=180°,∴∠CGF=75°,∴∠CGB=∠CGF-∠BGF=35°,故答案为:35.16.(2019·沙雅县英买力镇中学初一月考)若AB∥CD,AB∥EF,则CD_______EF,其理由是_______________________。
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∴∠BMH+∠DHM=180°,即∠BMH+∠GHM+∠GHD =180°,
∴90°-x+90°-x+∠GHD =180°,解得,∠GHD =2x,
∴∠GHD=2∠EHM;
(3)延长FG,GK,交CD于R,交HE于S,如图,
∵AB∥CD,∠BFG=50°
∴∠HRG=50°
∵FG⊥HG,
【答案】(1)∠ACB+∠DCE=180°,理由见解析;(2)存在.当∠ACE=30°时,AD∥BC;当∠ACE=45°时,AC∥BE;当∠ACE=120°时,AD∥CE;当∠ACE=135°时,BE∥CD;当∠ACE=165°时,BE∥AD.
【解析】
(1)∠ACB+∠DCE=180°,理由是:
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB
巩固练习
1.(2018·福建师范大学泉州附属中学初一期末)(感知)如图①,AB∥CD,点E在直线AB与CD之间,连结AE、BE,试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC;
(探究)当点E在如图②的位置时,其他条件不变,试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°;
(应用)点E、F、G在直线AB与CD之间,连结AE、EF、FG和CG,其他条件不变,如图③,若∠EFG=36°,则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.
∴∠EPS=20°,即∠NPK=20°.
类型二:以三角板为背景的问题
典例:(2020·四川初一期末)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起(其中∠A=60°,∠D=30°,∠E=∠B=45°).
(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明理由.
(2)当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时,这两块三角尺是否存在一组边互相平行?若存在,请直接写出∠ACE所有可能的度数及对应情况下的平行线(不必说明理由);若不存在,请说明理由.
(1)试说明:DF∥BC;
(2)若∠1=68°,DF平分∠ADE,求∠B的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2)68°.
【解析】
(1)∵AC∥DE,
∴∠1=∠C,
∵∠AFD=∠1,
∴∠AFD=∠C,
∴DF∥BC;
(2)∵DF∥BC,
∴∠EDF=∠1=68°,
∵DF平分∠ADE,
∴∠EDA=∠EDF=68°,
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG=720°+36°,
∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-360°+36°=396°
故答案为:396°.
3.(2019·黑龙江初一期中)如图AB∥CD,点H在CD上,点E、F在AB上,点G在AB、CD之间,连接FG、GH、HE,HG⊥HE,垂足为H,FG⊥HG,垂足为G.
(1)求证:∠EHC+∠GFE=180°.
(2)如图2,HM平分∠CHG,交AB于点M,GK平分∠FGH,交HM于点K,求证:∠GHD=2∠EHM.
(3)如图3,EP平分∠FEH,交HM于点N,交GK于点P,若∠BFG=50°,求∠NPK的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)20°
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°
(2)存在.当∠ACE=30°时,AD∥BC,理由如下,如图1所示:
∵∠ACE=∠DCB=30°,∠D=30°,
∴∠DCB=∠D,
∴AD∥BC;
当∠ACE=∠E=45°时,AC∥BE,理由如下,如图2所示:
∵∠ACE=∠DCB=45°,∠B=45°,
∴∠BDF=∠PDC=60°;
(3)结论① 的值不变是正确的,
设∠CEG=∠CEM=x,则∠GEN=180°-2x,
由(1)可得,∠C=∠CEM+∠CDP,
∴∠CDP=90°-∠CEM=90°-x,
∴∠BDF=90°-x,
∴ = =2(定值),即 的值不变,值为2.
方法或规律点拨
本题主要考查了平行线的性质,以及角平分线的定义的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造内错角,依据两直线平行,内错角相等进行求解.
(3)如图3,若∠A=α,依次作出∠AOP的角平分线OB,∠BOP的角平分线OB1,∠B1OP的角平分线OB2,…,∠Bn-1OP的角平分线OBn,其中点B,B1,B2,…,Bn-1,Bn都在射线AE上,试求∠ABnO的度数.
【答案】【感知】见解析;【探究】∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°;【应用】396°.
【解析】
解:理由如下,
【感知】
过E点作EF//AB
∵AB//CD
∴EF//CD
∵AB//CD
∴∠BAE=∠AEF
∵EF//CD
∴∠CEF=∠DCE
∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.
【探究】
过E点作AB//EG.
∵AB//CD
典例:(2019·广东初一期末)如图, , ,CE平分 , .
(1)求 的度数;
(2)若 ,求 的度数.
【答案】(1) ;(2) 的度数为
【解析】
解:(1)∵ ,
∴
∴
∴
(2)∵
∴
又∵CE平分
∴
又∵
∴
∴ 的度数为
方法或规律点拨
此类问题主要考查利用平行线的性质和判定,通过数形结合,进行等角转换,即可解题.
巩固练习
1.(2019·四川初一期中)如图,已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°.
(1)请你判断DA与CE的位置关系,并说明理由;
(2)若DA平分∠BDC,CE⊥AE于点E,∠1=70°,试求∠FAB的度数.
【答案】(1)DA∥C E,理由见解析;(2)55°.
【解析】
(1)解:DA∥C E.
理由如下:∵∠1=∠BDC,∴AB∥CD.∴∠2=∠ADC.
∵∠E=45°,
∴∠DCE=∠E,
∴BE∥CD;
当∠ACE=165°时,BE∥AD.理由如下:
延长AC交BE于F,如图5所示:
∵∠ACE=165°,
∴∠ECF=15°,
∵∠E=45°,
∴∠CFB=∠ECF+∠E=60°,
∵∠A=60°,
∴∠A=∠CFB,
∴BE∥AD.
方法或规律点拨
本题以三角板内包含的特殊角度和三角板的变换为基础,考查了平行线的性质和判定的综合应用,解决问题的关键注意经过数形结合解决问题.
【解析】
解:(1)∠C=∠1+∠2.
理由:如图1,过C作CD∥PQ,
∵PQ∥MN,
∴CD∥MN,
∴∠1=∠ACD,∠2=∠BCD,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2.
(2)∵∠AEN=∠A=30°,
∴∠MEC=30°,
由(1)可得,∠C=∠MEC+∠PDC=90°,
∴∠PDC=90°-∠MEC=60°,
∴ ,
∴ ;
第二种:如图5:
延长BA交DC于点E,
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴ ;
(2)当 或 时, ,
第一种:如图3,∵ ,源自∴ ,∴ ;第二种:如图6:
∵ ,
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为: 或 ;
(3)第一种:当 时, 如图7:
∵ ,
∴
∵
∴
∴
第二种:当 时, 如图8:
∵
∴
第三种:当 时, 如图9:
∵ ,
∴
∵
∴
∴
第四种:当 时, 如图10:
∴∠GHR=40°,
∵HG⊥HE,
∴∠EHG=90°,
∴∠CHE=180°-90°-40°=50°,
∵AB∥CD,
∴∠FEH=∠CHE=50°,
∵EP是∠HEF的平分线,
∴∠SEP= ∠FEH=25°,
∵GH平分∠HGF,
∴∠HGS= ∠HGF=45°,
∴∠HSG=45°,
∵∠SEP+∠SPE=∠HSP=45°,
【答案】当∠α=15°时BC∥DE;当∠α=60°时BC∥AD;当∠α=105°时BC∥AE;当∠α=135°时BA∥DE.
【解析】
解:①当BC∥DE时,如图①,
∠α=45°-30°=15°;
②当BC∥AD时,如图②,
∵∠C=90°,
∴∠CAD=90°,
∴∠α=90°-30°=60°;
③当BC∥AE时,如图③,
【解析】
(1)∵HG⊥HE,FG⊥HG
∴FG∥EH,
∴∠GFE+∠HEF=180°,
∵AB∥CD
∴∠BEH=∠CHE
∴∠EHC+∠GFE=180°
(2)设∠EHM=x,
∵HG⊥HE,
∴∠GHK=90°-x,
∵MH平分∠CHG,
∴∠EHC=90°-2x,
∵AB∥CD
∴∠HMB=90°-x,
∴∠HMB=∠MHG=90°-x,
人教版七年级下册数学重点知识点练习及答案解析——平行线的性质与判定综合应用
类型一:添加辅助线解决问题
典例:(2018·全国初一月考)已知:如图,直线 ,点C是PQ,MN之间(不在直线PQ,MN上)的一个动点.
(1)若∠1与∠2都是锐角,如图1,请直接写出∠C与∠1∠2之间的数量关系.
(2)若小明把一块三角板(∠A=30°,∠C=90°)如图2放置,点D,E,F是三角板的边与平行线的交点,若∠AEN=∠A,求∠BDF的度数.