逆序数与行列式
行列式
行 列 式本章主要内容是行列式的定义、性质及其计算方法.此外还介绍了用行列式解线性方程组的克莱姆法则.§1. 全排列的逆序数本节考虑由1,2,3,…, n 这n 个数排成的不重复数字的全排列，不同的全排列共有n ！个.以后对这种全排列简称排列.例如，由1,2,3这三个数有以下3！=6个排列：123, 132, 213, 231, 312, 321定义 设1p 2p …n p 是1,2,…, n 的一个排列，考察其中任意两个数，如果大的数排在小的数之前，就说有一个逆序.所有逆序的总数称为排列1p 2p …n p 的逆序数，记作τ(1p 2p …n p ）.逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列. 例1. 计算由1,2,3排成的六个排列的逆序数 [解] 排列123没有逆序，逆序数τ(123)=0. 排列132中，仅有3在2之前一个逆序，τ(132)=1. 排列213中，仅有2在1之前一个逆序，τ(213)=1. 排列231中，2在1之前，3在1前，τ(231)=1+1=2. 排列312中，3在1,2之前，τ(312)=2.排列321中，3在2,1之前，又2在1前，τ(321)=2+1=3. 其中132，213，321为奇排列，123，231，312为偶排列. 例2. 求τ(42315)及τ(54321).[解] τ(42315)=3+1+1=5，τ(54321)=4+3+2+1=10. 性质1. 交换排列中的两个数，排列的奇偶性改变. [证] 先讨论交换相邻两数的情形.设排列为 1p ……S p a b 1+S p …m p （1）交换a 与b ，得排列1p ……S p b a 1+S p …m p（2） 任意一个i p 与a 或b 的大小关系在（1）与（2）两个排列中是一样的.所以当a >b 时，排列（2）的逆序数比排列（1）的逆序数减少1，当a <b 时，排列（2）的逆序数比排列（1）的逆序数增加1.因此，当（1）为奇排列时，（2）为偶排列；当（1）为偶排列时，（2）为奇排列.即排列（1）与（2）有不同的奇偶性.再讨论交换不相邻两个数的情形.设排列为1p ……S p a 1c …k c b 1+S p …m p （3）交换a 与b ，得排列1p ……S p b 1c …k c a 1+S p …m p （4）我们也可以对排列（3）中的a 依次与1c ，…，k c 进行k 次相邻的交换，得到排列 1p ……S p 1c …k c a b 1+S p …m p再对这个排列中的b 依次与a ，k c ,…，1c 进行k +1次相邻的交换，就得到排列（4）.因此，经过2k +1（奇数）次相邻的交换可以由（3）得到（4）.由前面已证明的结论可知，进行奇数次相邻的交换，排列的奇偶性要改变，所以排列（3）与排列（4）有不同的奇偶性. （证毕）性质2 由1,2,…,n （n >1）所作的n ！个排列中，奇排列与偶排列各占一半. [证] 设奇排列有s 个，偶排列有t 个.对每一个奇排列都交换1与2，就得到s 个不同的偶排列.因此，s ≤t .同理可证t ≤s ，故s =t .（证毕）§2. 行列式的定义将2n 个数ij a （i ,j =1,2,…,n ）排成n 个横行及n 个竖列的方形表格，两边再用竖线围起, 就得到n 阶行列式的记号：nnn n nn a a a a a a a a a ............ (21)2222111211其中每个数ij a 称为行列式的元素，它有两个下标，第一个下标表示该元素所在的行数，第二个下标表示所在的列数，ij a 就是i 行j 列的元素.行列式的行数是从上到下依次为第一行，第二行，…，第n 行.列数是从左到右依次为第一列，第二列，…，第n 列.行列式有两条对角线，由左上到右下那条对角钱称为主对角线，在主对角线上的元素为11a ,22a ,…，nn a .由右上到左下的对角线有时称为副对角线.n 阶行列式是由代数和组成的一个数，其定义如下.定义n 阶行列式为nnn n nna a a a a a a a a ............ (21)2222111211=21212121)1(p p P P P ）P P （P a a nn ∑⋯⋯-τ…n np a其中τ(21p p …n p )是列标排列21p p …n p 的逆序数，∑nP P P 21表示对所有n ！个排列求和.上述定义说明n 阶行列式是含有n ！项的代数和，其中每一项是不同行不同列的n 个元素的乘积，当把这n 个元素按行标从小到大的顺序排列时，其列标排列21p p …n p 的逆序数τ(21p p …n p )若为偶数，这项冠以“+”号，若为奇数，这项冠以“－”号.根据行列式的定义，一二三阶行列式可以计算如下： 一阶行列式：11a =110)1(a -=11a 二阶行列式：22211211a a a a =22110)1(a a -+21121)1(a a -=2211a a －2112a a三阶行列式：333231232221131211a a a a a a a a a =3322110)1(a a a -+3123122)1(a a a -+3221132)1(a a a -+3122133)1(a a a -=332211a a a +312312a a a +322113a a a －312213a a a －332112a a a －322311a a a 如果在三阶行列式中，将冠以“+”号的项的三个数用实线加以连接，将冠以“－”号的项的三个数用虚线加以连接，就可以得到如下图形：利用这个图形，很容易写出三阶行列式的六项代数和.例1. 计算以下两个行列式：（1）1D =4321 （2）2D =432501123--[解] （1）1D =3241⨯-⨯=64-=2-（2）2D =)3(1)1(252403-⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯412)3(5320)1(⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯--=84503200-+-++=60四阶行列式有4！=24项，要写出并计算这24个乘积的代数和是很麻烦的.对于三阶以上的高阶行列式，一般要利用下节要介绍的行列式的性质进行计算.不过，像下面例2的几个特殊的高阶行列式，却可以用定义直接得到它的值.+3321121)1(a a a -+3223111)1(a a a -例2. 利用行列式的定义计算下列的行列式1D =nn n n a a a a a a21222111000 2D =nn nn a a a a a a 000222112113D =nna a a000002211 4D =nnnn n n n n a a a a a a 112121000--[解] 行列式1D 在主对角线之上的元素全为0，这种行列式称为下三角行列式.根据定义，行列式是由不同行不同列元素的乘积的代数和，因为含0元素的项必为0，只要考察不含0元素的项.设这种项为：n n np p p ）P P （P a a a 212121)1(τ-因为1D 的第一行除了11a 之外为0，所以必有11p a =11a ，1D 的第二行除了21a ,22a 之外都为0，但21a 与11a 位于同一列，与11a 不同列的只有22a ，所以22p a =22a ，依次类推，可知1D 中不含0元素的项只有如下一项：nn n ）a a a 221112()1(⋅⋅⋅-τ=nn a a a 2211因此，1D =nn a a a 22112D 的主对角线之下的元素都是0，这种行列式称为上三角行列式.依次讨论第n 行，第1-n 行，…，第1行，可知2D 中不含0元素的项与1D 相同，所以2D =nn a a a 2211上三角与下三角行列式统称为三角行列式.行列式3D 中除对角线上的元素之外，其它元素都是0，这种行列式称为对角行列式，它是三角行列式的特例，因此3D =nn a a a 2211以上说明三角行列式及对角行列式的值都等于主对角线上元素的乘积.4D 在副对角线上方的元素为0，它不是三角行列式.类似于前面的讨论可知4D 中不含0元素的项只有121121121()1(n n n n ）n n a a a a ---- τ，因为)121( -n n τ=12)1(+++- n =)1(21-n n ，所以 4D =1211212)1()1(n n n n n n a a a a ----即4D 等于副对角线上元素的乘积再乘以2)1()1(--n n .例3. 设)(x f =)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n n n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯，其中各元素)(x a ij 都是可导函数.试证)(x f '=)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n n n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯'''+)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n n n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯'''+…+)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n nn n '''⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（即对行列式求导，等于对各行求一次导的n 个行列式的和） [证] 根据行列式定义，有)(x f '='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑⋯n n n P P nP P P P P P x a x a x a 12121)()()()1(21)( τ=[]∑⋯'-nn n P P nP P P P P x a x a x a1211)()()()1(21)( τ=∑⋯'-nn n P P nP P P P P x a x a x a 1211)()()()1(21)( τ+ +'-∑⋯nn n P P nP P P P P x a x a x a 1211)()()()1(21)(τ +∑⋯'-nn n P P nPP P P P x a x a x a 1211)()()()1(21)( τ=)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n n n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯'''+)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n n n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯'''+…+)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n nn n '''⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （证毕）下面的定理是对行列式定义的另一种说法. 定理. 对于上述行列式定义中的任意一项n n nP P P ）P P P a a a 212121()1(τ-若对乘积21P a 22P a …n nP a 的因子顺序进行若干次交换，变为乘积11j i a 22j i a …n n j i a ，则有n n nP P P ）P P P a a a 212121()1(τ-=n n n n j i j i j i j j j ）i i i a a a 22112121)(()1(ττ+-换句话说，如果行列式各项的乘积21P a 22P a …n nP a 的因子不是按行标从小到大的自然顺序排列，而是任意排列成11j i a 22j i a …n n j i a ，则这项应冠以符号)((2121)1(n n j j j ）i i i ⋯+⋯-ττ[证] 因为21P a 22P a …n nP a =11j i a 22j i a …n n j i a ，所以只要证明）P P P n 21()1(τ-= )((2121)1(n n j j j ）i i i ττ+⋯-设21P a 22P a …n nP a 的因子经过k 次交换，成为11j i a 22j i a …n n j i a ，则行标排列1 2…n 经过k 次交换，成为排列n i i i 21.列标排列n p p p 21经过k 次交换，成为排列n j j j ⋯21，根据§1性质1，若k 为奇数，则行标排列与列标排列都同时改变奇偶性，因而)12()1(n τ-=)()(2121)1()1(n n P P P i i i ， ττ---=)(21)1(n j j j τ--若k 为偶数，则行标排列与列标排列的奇偶性都不变，因而有)12()1(n τ-=)()(2121)1()1(n n P P P i i i ， ττ--=)(21)1(n j j j τ-不论k 是哪一种情况，都有)()12(21)1(n p p p n ττ+-=)()(2121)1(n n j j j i i i ττ+-因为0)12(=n τ，所以要证的等式成立.（证毕）§3. 行列式的性质设n 阶行列式D =nn n n nn a a a a a a a a a ............ (212222111211)将行列式D 的第一行，第二行，…，第n 行，依次改写成第一列，第二列，…，第n 列，得到行列式 TD =nnn nn n a a a a a a a a a ............ (212)221212111T D 称为D 的转置行列式.D 中i 行j 列的元素ij a ，在T D 中位于j 行i 列的位置上.性质1. 行列式与其转置行列式相等. [证] D 中任意一项为n n nP P P ）P P P a a a 212121()1(⋯-τ其中21P a 22P a …n nP a 也是T D 中不同行不同列元素的乘积，但在TD 中，其行标排列为n p p p ⋯21，列标排列则为12…n ，根据上节定理，在T D 中，这个乘积应冠以符号)()12((2121)1()1(n n P P P n ）P P P τττ-=-⋯+这就证明了D 中每一项也是TD 中的一项，D 中不同的项在TD 中也是不同的，并且D 与TD 的项数一样，都是n ！，因此有D=TD .（证毕）由性质1可知，行列式中的行与列具有同等地位，行列式的性质凡是对行成立的，对列也必定成立，反之也一样.因此，以下的行列式性质，我们只对行的情形加以证明，将行列式转置就可得到列的相应性质，以后不再说明.性质2. 交换行列式的两行（列），行列式变号. [证] 设D =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯jn j j in i i a a a a a a 2121行第行第j i ←← 交换第i 行与第j 行，得1D =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯in i i jn j j a a a a a a 2121行第行第j i ←← 其中D 与D 1中未写出的行的元素都对应相同. 根据行列式定义，D 中任一项为n j i n j i nP jP iP P P P P P a a a a 111)()1(τ-其中n j i nP jP iP P a a a a 11也是D 1中不同行不同列元素的乘积，其列标排列没有变化，但行标排列为n i j 1它是由自然顺序n j i 1交换i ,j 得到的，由§1性质1，有)1()1(n i j τ-= )1()1(n j i τ--=0)1(--=1-.根据上节定理，乘积n j i nP jP iP P a a a a 11在D 1中应冠以符号)()1(1)1(n j i P P P P n i j ττ+-=)(1)1(n j i P P P P τ--与在D 中的符号相反，这说明将D 中每一项变号，就得到D 1的所有项，故有D=－D 1.（证毕）推论 若行列式有两行（列）相同，则此行列式等于零.[证] 将这两行交换，行列式未改变，由性质2得到D=－D ，所以D=0.性质3. 行列式某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘此行列式，即有 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯in i i ka ka ka 21=k ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯in i i a a a 21 两个行列式中除第i 行之外，未写出的元素都对应相同.（这性质也可以叙述成行列式某行（列）的公因子可以提到行列式外面相乘）[证] 根据行列式定义，有 等式左边=npn ip P P P P P P a ka a i n i n)()1(1111)(τ∑⋯-=npn ip P P P P P P a a a ki n i n1111)()1(τ∑-=等式右边. （证毕）性质4. 行列式中如有两行（列）成比例，则此行列式等于零.即D =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯jn j j in i i a a a ka ka ka 2121=0[证] 根据性质3，将D 的第i 行提出公因子k 以后，行列式的第i 行与第j 行相等，由性质2的推论得D=0. （证毕）性质5. 若行列式的某行（列）的元素都是两数之和，例如第i 行的元素都是两数之和：D =nn n n in in i i i i na a ab a b a b a a a a21221111211)()()(⋯⋯⋯⋯+++⋯⋯⋯⋯则D 等于下列两个行列式之和：D =nn n n in i i na a a a a a a a a 212111211⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+nnn n in i i n a a a b b b a a a 212111211⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ [证] 记等式右边两个行列式为D 1，D 2，则根据行列式的定义，有D=n i i n nnp ip ip P P P P P a b a a )()1(1111)(+-⋯∑τ=n i n nnp ip P P P P P a a a 1111)()1(τ∑⋯-+n i n nnp ip P P P P P a b a 1111)()1(τ∑-=D 1+D 2 （证毕）性质6. 将行列式的某行（列）乘以数k ，再加到另一行（列）上，行列式的值不变，即D =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯jn j j in i i a a a a a a 2121=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+++⋯⋯⋯⋯jn j j jnin j i j i a a a ka a ka a ka a 212211=1D D 与D 1中未写出的元素对应相同.[证] 由性质5及性质4，有1D =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯jn j j in i i a a a a a a 2121+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯jn j j jnj i a a a ka ka ka 2121=D+0=D 在举例之前，先引进行列式运算的几个记号： （1）“交换i ,j 两行（列）”记作j i r r ↔)(j i c c ↔. （2）“0≠k 乘i 行（列）”记作i kr )(i kc（3）“k 乘j 行（列）加到i 行（列）上”记作j i kr r +)(j i kc c +要注意：行列式经运算j i kr r +后，第i 行改变，但第j 行不变.同样，运算j i kc c +使行列式的第i 列改变，但第j 列不变.例1. 计算四阶行列式 D=123412121124021231-----[解] 计算数字的高阶行列式，有一种方法是利用行列式性质，尤其是用行列式的性质6，将行列式化为上三角行列式，于是上三角行列式主对角线上元素的乘积就是行列式的值.本题先以2乘第1行，再以2除行列式，使行列式的元素都为整数，方便计算.再用行列式性质（主要是性质6），将其化为上三角行列式.整个计算过程如下：1490134013800132211234121211240132212141312221--------++-r r r r rr r D15001100011001322194149013400110013221242342----+r r r r r r 400110011013--=)4()1(1221-⨯-⨯⨯⨯=4例2．计算行列式D =2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a[解] 这是文字元素的行列式，计算这种行列式，要先分析行列式的特点，采用适当的行列式性质进行化简计算.本行列式的特点是各行的构造相类似，对列作变换可达到化简的目的.具体运算如下.341223c c c c c c D ---2212221222122212523212523212523212523212222223342222++++-++++++++++++d d c c b b a a c c d d d d c c c c b b b b a a a a =0注意：在对行列式连续做两次以上的运算时，第一次运算以后，行列式已变化，第二次再作运算时，是对变化后的行列式作运算，而不是对原来行列式作运算.例如连续作两次运算12c c -,23c c -，当作了运算12c c -后，行列式的第2列已变化，再作23c c -时，应是第三列减去变化后的行列式的第二列，如果还是减去原行列式的第二列，就会产生错误.避免错误的方法之一,就是做了一次运算就将行列式写出来，再做第二次运算.但这样做又太麻烦了.要不麻烦，就像我们在本题中所做的那样，连续对行列式作运算34c c -,23c c -，在作运算34c c -时，第二三列并未改变，因此再做23c c -的运算时，对原行列式作23c c -，与对变化后的行列式作23c c -是一样的结果.例3． 计算n 阶行列式D =ab b b a b b b a ⋯⋯⋯⋯ （主对角线元素都为a ，其它元素都为b ）.[解] 本行列式的特点是各行元素之和相等，若将第2列之后各列都加到第1列，将公因子提出，再对行作运算，就可化为上三角行列式了.具体运算过程如下.D a b b n a b a b n a b b b n ac c c n )1()1()1(21-+⋯⋯⋯⋯-+-++++=])1([b n a -+ab b a b b 111⋯⋯⋯⋯ 11213r r r r r r n --- ])1([b n a -+ba b a b a b b b -⋯⋯⋯⋯⋯-- 0000001=1)]()1([---+n b a b n a例4. 计算行列式D =111222+++z yzxzyz y xyxz xy x [解] 第一二三行依次提公因子x ,y ,z ，得D =zz y xz yy x z y xx xyz111+++再对第一二三列依次乘x ,y ,z ，得D =111222222222+++z y x z y x z y x行列式各行之和相等，可按例3的方法计算，得D11111222222222222222+++++++++++z y z y z y z y z y z y =)1(222+++z y x 11111222222++z y z y z y10101)1(222221312z y z y x r r r r +++--=1222+++z y x§4. 行列式按行（列）展开定义. 在n 阶行列式中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列剩下的1-n 阶行列式记作ij M ，称为元素ij a 的余子式，而ij A =ij j i M +-)1(称为元素ij a 的代数余子式.例如三阶行列式D =321321321c c c b b b a a a则1行1列元素1a 的余子式11M 及代数余子式11A 为11M =3232c c b b ，11A =1111)1(M +-=11M =3232c c b b 2行3列元素3b 的余子式23M 及代数余子式23A 为23M =2121c c a a ，23A =2332)1(M +-=23M -=2121c c a a -由定义可知，当元素所在的（行数+列数）为偶数时，代数余子式和余子式相等，为奇数时，代数余子式和余子式相差一个符号.引理. 在n 阶行列式D 的第i 行所有元素中，除元素ij a 外，其余元素都为零，则D=ij a ij A .[证] 先证i =j =1的情形.设D =nnn n na a a a a a a 21222211100⋯⋯⋯⋯根据行列式定义，有 D=n n nnp p P P P P P P P a a a 21212121)()1(τ∑- (11>P 时，11P a =0) =n n nnp p P P P P a a a 222211)1(1)1(τ∑- (1,2≠n ，P P ) =n n nnp P P P P P a a a 2222)(11)1( τ∑-=1111M a =1111A a再证一般情形.设D =nnnj njnj n ij n j j j a a a a a a a a a a a111111111110000+-+-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯将D 中第i 行依次与第1-i 行，2-i 行，…，1行相交换，再将得到的行列式的第j 列依次与第1-j 列，2-j 列，…，1列相交换，设得到的行列式为D 1.则D 1中1行1列的元素为ij a ，D 1中1行1列元素的余子式11M '=D 中i 行j 列的余子式ij M .由前面证过的结论，有 1D =ij a 11M '=ij a ij M 因为D 1是由D 经过)1()1(-+-j i 次行、列的交换得到的，所以有D =ij ij ij j i ij ij ij j i j i A a M a M a D =-=-=-++-+-)1()1()1(1)1()1(. （证毕）定理. 设n 阶行列式D =nnn n n n a a a a a a a a a 212222111211⋯⋯⋯⋯则有按第 i 行展开式：D =in in i i i i A a A a A a +++ 2211.(i =1,2,…,n ) 按第j 列展开式：D =nj nj j j j j A a A a A a +++ 2211.(j =1,2,…,n ) [证]D =nnn n in i i na a a a a a a a a212111211000000+⋯+++⋯+++⋯++根据§3行列式性质5，D 等于n 个行列式之和，即D =nn n n i n a a a a a a a2111121100+nn n n i n a a a a a a a2121121100+…+nnn n in n a a a a a a a211121100 根据引理，就得到按第i 行的展开式D =in in i i i i A a A a A a +++ 2211按列的展开式同理可证.（证毕）推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即jn in j i j i A a A a A a +++ 2211=0，)(j i ≠，和 nj ni j i j i A a A a A a +++ 2211=0，)(j i ≠[证] 根据定理，将D 按j 行展开，有jn jn j j j j A a A a A a +⋯++2211=nnn jn j in i n a a a a a a a a111111行第行第j i ←← 在等式两边，将1j a ,2j a ,…, jn a 依次换作1i a ,2i a ,…in a ，（jnj j ，A A A ,,21不含第j 行元素）得jn in j i j i A a A a A a +⋯++2211=nnn in i in i n a a a a a a a a111111行第行第j i ←← 右边行列式有两行相同,等于零.故得jn in j i j i A a A a A a +++ 2211=0 (j i ≠)同理可证列的情况. （证毕）利用行列式的展开式，可以将计算n 阶行列式化为计算n －1阶行列式.对于数字元素的行列式，经常将某行（列）的元素除一个元素外都化为零，再按该行（列）展开，达到降阶的目的.例1 计算行列式D=1234121211240132-----[解] 第4列比较简单，并且还有一个0，所以我们对行作运算，使第4列除一个元素外，其余元素都是0，具体计算如下.022121201120132-按第4列展开02211213243)1(1--+-⨯2204013212----r r 按第3列展开224031)1(--+--=)]2)(4(20[---⨯-=8 例2 设D =2235007022220403-- 求（1）D 中第三行各元素的代数余子式之和34333231A A A A +++ （2）D 中第四行各元素余子式之和44434241M M M M +++[解]（1）将34333231A A A A +++看作D 中第3行元素改为1,1,1,1后，再按第3行展开的展开式，故有34333231A A A A +++=2235111122220403-=0 （2）44434241M M M M +++=44434241A A A A +-+-=1111007022220403---按第3行展开1112224323)1(7--+-∙- =28)4(7-=-⨯例3 证明n 阶)1(>n 范德蒙（Vandermonde ）行列式n V =112112222121111---⋯⋯⋯⋯n nn n n n x x x x x x x x x =∏≥>≥-1)(j i n j i x x=⋅----)())()((1141312x x x x x x x x n )()())((122423-----⋅n n n x x x x x x x x（其中记号∏表示同类因子的连乘积.）[证] 对阶数n 用数学归纳法.2=n 时，有2V =2111x x =12x x -=∏≥>≥-12)(j i jix x ，结论成立.设结论对1-n 阶范德蒙行列式成立，即设223222232232111---⋯⋯⋯⋯n nn n n n x x x x x x x x x =∏≥>≥-2)(j i n j i x x 下面要证明对n 阶范德蒙行列式，结论也成立.对n V ，从第n 行开始，直到第2行，将后行减去前行的1x 倍，即对n V 依次作运算11--n n r x r ，211---n n r x r ，…，112r x r -，得n V =)()()(0)()()(011111213231222113312211312x n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n n n ------------按第1列展开后，再提出各列的公因子，就得n V =)())((11312x x x x x x n -⋯--2232232111---⋯⋯⋯⋯n nn n nx x x x x x 右端的行列式是1-n 阶的范德蒙行列式，由上面的归纳假设得n V =)())((11312x x x x x x n --- ∏≥>≥-2)(j i n jix x =∏≥>≥-1)(j i n jix x即结论对n 阶范德蒙行列式也成立.由归纳法，该等式对一切2≥n 的自然数都成立.（证毕）n 阶范德蒙行列式等于2nC =2)1(-n n 个形如j i x x -的因子的乘积，例如4V 是24C =6个形如j i x x -的因子的乘积，即4V =343332312423222143211111x x x x x x x x x x x x =∏≥>≥-24)(j i j i x x =))()()()()((342423141312x x x x x x x x x x x x ------当n x x x ,,21 中有两个数相等时，就有n V =0，只有这n 个数都互不相等时，才有n V ≠0.例4 计算n 阶行列式D=na bbbb b a b bb b a ⋯⋯⋯⋯⋯21，),,2,1,(n i a b i =≠[解] 利用加边法计算.即添加一行一列，将D 表示成n +1阶行列式，再利用行列式性质进行运算得出结果.具体作法如下.将下面右边n +1阶行列式按第1列展开，可知下面的等式成立D=n a bb b b b a b bb b a bb b b00121，(右边为n +1阶)以1-乘第1行加到其它各行，得D=ba b a b a b b bbn --⋯⋯⋯⋯⋯⋯----100010001121因为0≠-b a i ),,2,1(n i ⋯=，依次以b a -11，b a -21，…，ba n -1乘第2,3,…,n +1列再加到第1列，得到D=ba b a b a b b b b b a bn ni i ----+∑= 000000000001211这是上三角行列式，故得D=)())()(1(211b a b a b a ba bn ni i ----+∑=§5. 解线性方程组的克莱姆（Cramer ）法则本章最后，介绍用行列式解线方程组的克莱姆法则，即下面的定理. 定理（克莱姆法则）设有n 个方程n 个未知量的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* （1） 若系数行列式D=nnn n n n a a a a a a a a a 212222111211⋯⋯⋯⋯≠0则线性方程组（1）有唯一解D D x 11=，D D x 22=，…，DDx n n = 其中),,2,1(n j D j ⋯=是用常数项n b b b ,,,21⋯替换D 中第j 列所得的行列式，即j D =nnj n n j n n nj j n j j a a b a a a a b a a a a b a a .......................................1,1,121,221,22111,111,111+-+-+-[证] 这里只对2=n 的情形证明，一般情况的证明留到第二章给出.设方程组为⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a 系数行列式D =22211211a a a a =012212211≠-a a a a以22a 乘第1方程，12a 乘第2方程，再相减得121122211)(x a a a a -=122221a b a b -以21a 乘第1方程，11a 乘第2方程，再将第2方程减第1方程得221122211)(x a a a a -=211112a b a b -因11a 0211222≠-a a a ，故得1x =12212211122221a a a a a b a b --=22211211222121a a a a a b a b =DD 1, 2x =12212211211112a a a a a b a b --=22211211221111a a a a b a b a =D D 2. 以上证明了如果方程组有解，则它的解只能是 1x =D D 1，2x =D D2 （＊） 其中D=22211211a a a a ，D 1=222121a b a b ，D 2=221111b a b a若将得到的1x ,2x 的表达式（＊）代入方程组中，容易验证（＊）式确是方程组的解.（证毕）例 解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x[解] 系数行列式为D=674121200311512-----674121201277011970------按1列展开21212771197------21c c +21112701192----21112715110231-----r r 列展开按1127152---＝1271511=0271051321571211≠=-=⨯-⨯方程组有唯一解.再计算出1D =816740212560391518=------，2D =1086701215060911582-=-----3D =276041252069311812-=---，4D =270741512090318512=-----根据克莱姆法则得3278111===D D x ，42710822-=-==D D x 1272733-=-==D D x ，1272744===D D x方程组的唯一解为1x =3，2x =－4，3x =-1，4x =1.。
1.2-2逆序数n阶行列式的定义
an1
0 0 0 ... an1,2 0
... 0 ... 0 ... a3,n2 ... ... 00 00
0 a2,n1
0 ... ... 0
a1n 0
0
n ( n 1)
(1) ...
2
a1n a2,n1...an1,2 an1
0
0
0001
0020 D 例 8、计算四阶行列式 0 3 0 0
的一项，则 i, j, k 应何值？此时，该项的符号是什么？
其它数码不变，得到另一个排列，称为一个对换。 如： i1, i2 ,..., is ,..., it ,..., in 经对换(is ,it ) 得：i1,i2 ,...,it ,...,is ,...,in
24153 对换（4，5）得 25143；24153 对换（2，1）得 14253
Th2： 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。 如：24153 对换（4，5）得 25143，从一个偶排列 变为一个奇排列。
4000
Th4:n 阶行列式 D | aij | 的一般项为
(1) a a ...a ，其中 ， 均为 级排 N (i1i2 ...in )N ( j1 j2... jn )
i1 j1 i2 j2
in jn
i1 , i2 ,...,in j1, j2 ,..., jn
n
列。
思考题：若 (1)N (i432 k )N (52 j14) ai5a42a3 j a21ak 4 是五阶行列式 D | aij |
同理上三角行列式：
a11 a12 a13 ... ... a1n
0 a22 a23 ... ... a2n
D 0 0 a33 ... ... a3n a11a22 ...ann
行列式定义逆序数的由来
b3 a33
a12 a13 a22 a23 a22 a23 a32 a33 ;
则由二元线性方程组的求解法有 x1=D1/D; 下面是 MATLAB 计算 D 和 D1;注意虽然使用的是 MATLAB 求解，但必须声明这里计算 D 或 D1 只要用到二阶行列式的计算法则即可。因为不论 D 或 D1 本身而言，均是二阶矩阵， 且每一个元素也是二阶矩阵。只用到二阶行列式的定义即可求出 D、D1.不用引进别的计算 法则。为了便于阅读，计算结果与计算过程分开写。
a11 × x1 + a12 × x2 = b1① a21 × x1 + a22 × x2 = b2②
对上面的二元线性方程组，为了消去未知元 x2，方程①的左右两边*方程②中 x2 的系数 a22, 方程②的左右两边*方程①中 x2 的系数 a12,相减，规定则有
其中规定 a11
a21
a12 a22
苗姑娘首发！ 一般线性代数的教科书上，书的开始通过求解二元线性方程组，给出二阶行列式的对角线法 则。接着把对角线法则推广到三阶行列式。然后观察二阶、三阶行列式的形式，发现逆序数 全排列形式，最后直接给出 n 阶行列式的逆序数全排列形式定义。可能会让读者有一种不清 晰的感觉。 下面通过降阶求解“可以使用克拉默法则的”‘此类线性方程组’，给出 n 阶行列式的逆序数 形式定义。 首先明确行列式的引入是为了更加方便的求解线性方程组！或者说行列式在数学中，是由解 念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中 已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立 的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使 得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现 了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式 的概念最初 是伴随着方 程组的求解 而发展起来 的。行列式 的提出可以 追溯到十七 世 纪，最初的雏形 由日本数学家关孝和与 德国数学家戈特弗里 德·莱布尼茨各自独 立得出，时 间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在 1683 年写了一部名为’解伏题之法’的著作， 距今已有 340 年之久！意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经 有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼 茨。 复制到此为止！
09级第1章行列式n级排列及其逆序数
当n=3, 逆序数=3 时为奇排列;
当n=4, 逆序数=6 时为偶排列;
当n=5, 逆序数=10时为偶排列;
当n=4k+2, 逆序数= (2k+1)(4k+1) 时为奇排列; 当n=4k+3, 逆序数= (4k+3)(2k+1) 时为奇排列; 当n=4k+4, 逆序数= (2k+2)(4k+3) 时为偶排列; 当n=4k+5, 逆序数= (4k+5)(2k+2) 时为偶排列; 其中,k是非负整数.
而2m+1为奇数, 则通过奇数次相邻对换改变排列的 奇偶性.证完.
例4
17 跳转到第一页
求证: 在全部 n (n2)级排列中,奇偶排列各 占一半.
证: 设在全部 n 级排列中全部奇排列有 s 个, 全部偶排列有t 个,现来证 s=t=n!/2 .
将每个奇排列的前两个数对换(或经过任何一
次对换), 则这s 个奇排列全变成偶排列,所以
21 跳转到第一页
若jk 1
k
1, 某个js
k
1,
将js和jk
对换,
1
(即经过2(k-s)+1次相邻对换)得新排列j1 j2 L jk (k 1),
由归纳假设,j1 j2 L jk经若干次对换变为12L k,
则j1 j2 L jk1 12L k(k+1),证完.
注1:已给任意一个n (n2)级排列,可由自然排列 经过若干次相邻对换得到.
定义2
4 跳转到第一页
由自然数1,2,…,n所组成的一个有序数组,
称为一个n级排列.将n级排列(1 2 … n)称
为自然顺序排列(简称自然排列).
逆序数n阶行列式的定义
1 2 n
列。 思考题： 思考题：若 (−1)
N ( i 432 k )+ N ( 52 j14 )
ai 5 a42 a3 j a21ak 4 是五阶行列式 D =| aij |
的一项， 应何值？此时，该项的符号是什么？ 的一项，则 i, j , k 应何值？此时，该项的符号是什么？
Байду номын сангаас
0 0 0 D= ... 0 a n1
0 0 0 ... a n −1, 2 0
... ...
0 0
0 a 2,n −1 0 ... ... 0
a1n 0
n ( n −1) 0 = (−1) 2 a1n a 2,n −1 ...a n −1, 2 a n1 ...
特例： 特例：
... a3,n −2 ... ... 0 0 0 0
带正号的3项列标排列的逆序数是偶数 带负号的3项列标排列的逆序数是奇数 ，
a11 a12 a 22 a32 a 23 = ∑ (−1) a33 a13
N ( j1 j2 j3 )
于是
D3 = a 21 a31
a1 j1 a 2 j2 a3 j3
三、n阶行列式
2 Def ： 用 n 个 元 素 aij ，
线性代数教案行列式
线性代数教学教案行列式21⋅.如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的数大，i的逆序数记为那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，排列n )i.n3.定义：逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列二．二阶、三阶行列式1.引例：解方程组1,2,3,n )排成123132333123nnn n n n nn a a a a a a a 2323331123(1)n n n n nna a a a a a =-+21222,12123231323,13133312112,1131)+(1)n n n n nn n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a --++-+-阶行列式（递归定义）.余子式与代数余子式：由行列式D 中划去ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按照原来的顺序构ij M ，称为元素ij a 的余子式，(1)i j ij A M +-称为元素ij a 的代数余子式D 11=n n a A a A =na ∑1,2,3,n )组成的阶行列式定义为 123132333123n nn n n n nna a a a a a a 1212)12=n n nj j j j nj j j j a a a ∑nj ∑表示对所有的列标排列12n j j j 求和.四．例题讲解1.求解二元线性方程组122321221x x x x -=⎧⎨+=.1233300n nn nn a a a a . 11121,121222,111,11,210000n n n n n a a a a a a D a a ----=，112122313233123000000n n n nn a a a a a a a a a a ， 1122330000000000nna a a a .授课序号02in jn a A =,n ，i ≠0ni nj a A =,n ，i ≠综合上一节和该推论，对于行列式和代数余子式的关系有如下重要结论：, ,0, .i j i j =≠ , =0, kj D i A ⎧⎨⎩授课序号030000000000x y yx.(Vandermonde)行列式1221231111112311n n n i j nn n n n nx x D x x x x x ≤<≤----==∏31111111n a +12(0)n a a a ≠.3434340a a x x a a a a a ++=的根.0000000003200013.12211000100000001nn n x x x a a a a x a -----+.00000000000000000000000a b a b a b c d c dc d.22231112342344，证明：()0f x '=有且仅有两个实根授课序号041222222n n n n nn n a x a x x a x +=+++=1112121222120n n n n nna a a a a a a a a ≠，122n n D D Dx x D D D==，，，, 列换成常数项所得的n 阶行列式1,111,11212,122,121,1,1j j n j j n n n j nn j nna b a a a b a a a a b a a -+-+-+112222222n n n n nn n na xb a x b x a x b +=+=++=当12,,,n b b b 全为0时，得到11112121122221122n n n n n n nn n a x a a x a x a a x a x a x a x ++⎧⎪++⎪⎨⎪⎪+++⎩335111x x =-=-=211311213313n n n n n n n n n a x a x a x a x x a x ----+=+==+=,n ).互相关联，X 公司持有股份，持有Z 股份，持有Z 公司20%持有Y 公司20%，Z 公司各自的净收入分别为万元，每家公司的联合收入是净收入加上其他公司的股份按比例的提成收入，试求各公司的联合收入及实际收入《市场营销》是商业和经贸专业学生的一门核心课程，商经类学校的所有专业都开设本课程，是一门公共基础课。
《线性代数》复习笔记习题答案
题 3：计算 D 5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
1 3 1 2
1 3 1 2
1 3 1 2
解： D c1 c2 1 5 3 4 r2 r1 0 8 4 6 r2 r3 0 2 1 1
0 2 1 1 r4 5r1 0 2 1 1
0 8 4 6
5 1 3 3
0 16 2 7
0 16 2 7
2
3
1
2
22
3
2
2
4
6
1 1 1 12 12 12 2 2 2
矩阵的数乘 每个元素均要乘以 k
111 1 1 1 111 2 A 2 1 2 3 12 22 32 2 4 6
111 1 1 1 111
行列式的数乘 某行或者某列乘以 k
1 3
题
2.
A
2 1
1 1
0 3
，
B
10
0 3
0 2 1 2
1 1 3 1
01 1 1 11 3 1
00 10
1 3
3 3
1 1
1 4
93
AB BA ( A B)2 A2 2 AB B2 A2 B2 A B A B
2.转置矩阵、伴随矩阵、单位矩阵、逆矩阵
1）转置矩阵 A 。（行变列，列变行。）
解：按第一行展开
123
D 2 1 1 1 (1)11 1 1 2 (1)12 2 1 3 (1)13 2 1 1 6 15 8
32
12
13
132
123
若按第二列展开： D 2
1
1
2 A12
A22
3A32
2
第一讲：排列逆序数与行列式定义质
主讲人：同济大学靳全勤一、知识要点2、设为一个阶排列，若，则称构成排列的一个“逆序对”，一个排列中所有“逆序对”的个数称为排列的逆序数.n ()k l i i k l ><(,)k l i i 1k l n i i i i 1、把正整数按一定次序排成一列，称为一个阶排列，由于一个排列中的元素不重不漏，阶排列共有个.1,2,,n n n !n 3、逆序数的计算：记为排列中为位于第个位置元素后面，但比小的元素的个数，则排列的逆序数()k i τ1k n i i i k k i k i 112()()()()k n n i i i i i i ττττ=+++5、将排列中第位置元素对调，得到一个新的排列，称为排列的一个对换. 对换改变排列的奇偶性.,k l 1l k n i i i i ,k l i i 1k l n i i i i 4、若一个排列的逆序数为偶（奇）数，则称该排列为偶（奇）排列；在个阶排列中，奇、偶排列各占一半.n !n 6、行列式定义：由个元素排成的正方形数表所确定的数，称为阶行列式，规则如下：111212122212n n n n nna a a a a a a a a n 2n 111212122212n n n n nna a a a a a a a a1212121112121222()1212(1)n nn nn n i i i i i ni i i i P n n nna a a a a a a a a a a a τ∈-=∑注1: 对所有阶排列求和，展开式共有项；n !n 注2: 每一项都是取自不同行不同列的个元素之积；n 注3: 当行指标排成自然顺序时，项的符号由列指标排列的逆序数确定；12n 1212ni ini a a a ((1)i ii τ-12()n ii i τ二、教学要求1、理解排列的定义，会计算排列的逆序数，掌握对换的性质；2、利用行列式定义，正确确定行列式展开式中特定的项；3、利用行列式定义，计算某些特殊行列式；三、例题精讲当时，排列的逆序数为，此时为偶排列；4,5k l ==243156(243156)1+2+1=4τ=4,5k l ==解：是一个阶排列，因为排列中的元素不重不漏，所以必有或.2316k l 65,4k l ==,k l 例1、若阶排列为奇排列，求的值.2316k l 6当时，排列的逆序数为，此时为奇排列；5,4k l ==253146(253146)1+3+1=5τ==5,=4k l 所以，若阶排列为奇排列，则.2316k l 6当求得时，排列为偶排列时，就可断言是奇排列！4,5k l ==243156253146注：理由是是由经一次对换得到！4315253146而对换改变排列的奇偶性.(2)13(21)(2)(22) 2.n n n --例2、求下列排列的逆序数：(1)13(21)24(2);n n -解：(1)(13(21)24(2))n n τ-0123(1)n =++++-(2)(13(21)(2)(22)2)n n n τ--0123(1)+(1)21+0n n +++++--++(1)(1)(1)22n n n n n n --=+=-(1)=2n n -(1357(21)2468(22)(2))n n n τ=--(135(21)(2)(22)642)n n n τ=--ij a 例3、设为阶方阵，指出下面哪个项出现在的展开式中，并指明带什么符号.ij a 511233145522541335412(1);(2).a a a a a a a a a 1解：中的项不出现，因为该项有两个元素，均取自第列；(1)11a 31a 中的项出现，因为该项五个元素都取自不同行、不同列.(2)知，该项带“”号.25413354121225334154a a a a a a a a a a =(25314)5τ=-利用乘法的交换律，目的是把该项元素的乘积顺序按行指标排成自然顺序例4、求行列式展开式中与的系数.212111321111x x x x x-4x 3x 解：因为行列式中的元素或者是常数，或者是.x 含的项只能是，故的系数为.3x 312213344a a a a x =-3x 1-第一行元素只能取，112a x =若要出现，第四行元素必须取，4x 44a x =第三行元素必须取，33a x =第二行元素必须取,22a x =所以行列式展开式中含的项为，的系数为.4112233442a a a a x =4x 4x 2若要出现，第四行元素必须取，3x 44a x =而第四列元素也只能取常数，这样四个乘积因子中有两个取常数，不可能出现）3x 同理，第三行元素必须取，第二行元素必须取，第一行元素取，33a x =12a x =211a =212111321111x x x x x-（否则，第四行元素只能取常数，例5、根据定义，计算上三角形行列式.1112111222121110000n n n nn n n n nna a a a a a a D a a a -----在第行中，只有才可能不是零，因中的因子取自第列，只有取时，才可能不是零.n 11n i n -=-1n -121121n i i n i nn a a a a --111,n n n n a a ---nn a 121211i in n nn a a a a --根据行列式的定义，.121212()12(1)n n ni i i i i ni i i i D a a a τ=-∑依此类推，可知在行列式的展开式中，只有主对角线上的个元素之积才可能不为零，于是.n 1122nn D a a a =第行元素除外，其余元素都为零，所以只有当时，展开式中的项才可能不是零；n n i n =nn a 121121n i i n i nn a a a a --例6、根据定义，计算下三角形行列式.11212212000n n nna a a D a a a =在第行中，只有才可能不是零，因中的因子取自第列，只有取时，才可能不是零.122i =22112n ini a a a 2122,a a 11a 1122n ni a a a 解：上三角形行列式的特点是：对角线上方的元素都是零.根据行列式的定义，. 第行元素除外，其余元素都为零，所以只有当时，展开式中的项才可能不是零；111i =11a 121212()12(1)n n ni i i i i ni i i i D a a a τ=-∑2112n ini a a a 依此类推，可得在行列式的展开式中，只有主对角线上的个元素之积才可能不为零，于是.n 1122nn D a a a =注：上（下）三角形行列式的值等于对角线上元素之积.例7、根据定义，计算形行列式1234512345121212000000000a a a a ab b b b b Dc cd de e 行列式的第三、四、五行元素中，只有第一、二列的元素可能不等于零，解：根据行列式的定义，12512345125()12345(1)i i i i i i i i i i i D a a a a a τ=-∑所以行列式.12345125123450i i i i i i i i D aa a a a ==∑在每一项的因子中，至少有一个不取自第一、二列，亦即中至少有一个为零，于是.1234512345=0i i i i i a a a a a 345345,,i i i a a a 345345,,i i i a a a 1234512345i i i i i a a a a a。
线性代数知识点归纳
线性代数复习要点第一部分 行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算1.行列式的计算：① (定义法)1212121112121222()1212()n nnn n j j j nj j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑1②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A OA A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1⑤ 关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a O a a a a a a a Oa O ---*==-1⑥ 范德蒙德行列式：()1222212111112n ijnj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111⑦ a b -型公式：1[(1)]()n a b bbb a bba nb a b b b ab b b ba-=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法.(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算.⑩ (数学归纳法)2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；3. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-第二部分 矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵方程的求解1. 矩阵的定义 由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵.记作：()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯✍ 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ✍ 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ✍ 矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ，规定为()ij A a λλ=.c. 矩阵与矩阵相乘：设()ij m s A a ⨯=, ()ij s n B b ⨯=,则()ij m n C AB c ⨯==，其中注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式00AB BAAB A ==⇒=或B=0不成立.a.分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭b. 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量； c. 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量. d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. ④ 方阵的幂的性质：mn m n AA A +=， ()()m n mn A A =⑤ 矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作TA . a. 对称矩阵和反对称矩阵: A 是对称矩阵T A =.A 是反对称矩阵T A =-.b. 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑥ 伴随矩阵： ()1121112222*12n Tn ij nnnn A A A A A A AA A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AAA A A E ==,1*n A A -=, 11A A --=.分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B BB A**⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 逆矩阵的求法 方阵A 可逆 0A ≠.①伴随矩阵法 1A A A *-= ○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 主换位副变号② 初等变换法 1()()A E E A -−−−−→初等行变换③ 分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤ 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义1AB BA E A B -==⇒=）3.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时， 4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换?矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：✍ 对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ； ✍ 对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A . 注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵. 5.关于A 矩阵秩的描述：①、()=r A r ，A 中有r 阶子式不为0，1+r 阶子式 (存在的话) 全部为0； ②、()<r A r ，A 的r 阶子式全部为0； ③、()≥r A r ，A 中存在r 阶子式不为0；矩阵的秩的性质：① ()A O r A ≠⇔≥1; ()0A O r A =⇔=;0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n② ()()()TTr A r A r A A ==③ ()()r kA r A k =≠ 其中0④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤ ()r AB ≤{}min(),()r A r B⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O A AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩ 在矩阵乘法中有右消去律.⑧ ()rr E O E O r A r A A OO O O ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max(),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B +⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法 6 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)第三部分 线性方程组1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5.线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） （2）非齐次线性方程组的解的结构（通解） 1.线性表示：对于给定向量组12,,,,n βααα，若存在一组数12,,,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++，则称β是12,,,n ααα的线性组合，或称称β可由12,,,n ααα的线性表示.线性表示的判别定理:β可由12,,,n ααα的线性表示由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解 ②、1112111212222212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax a a a x b β③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）2. 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b bb c c c b b b ααα⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⇔i i A c β= ，(,,)i s =1,2⇔i β为i Ax c =的解 ⇔12,,,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，A 为系数矩阵.即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇔11112212121122222211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩3. 线性相关性判别方法：法1法2法3 推论线性相关性判别法（归纳）线性相关性的性质①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ②单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一4. 最大无关组相关知识向量组的秩 向量组12,,,n ααα的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r ααα矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B . 向量组等价 12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示.记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅① 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.② 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系③ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .④ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；⑤ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑥ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑦ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑧ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关； 5. 线性方程组理论Ax β=1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1（1）解得判别定理 （2）线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪+++=⇔+++=⎪⎪+++=⇔+++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解 (3) 判断12,,,s ηηη是Ax ο=的基础解系的条件：① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,,s ηηη都是Ax ο=的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数. (4) 求非齐次线性方程组Ax = b 的通解的步骤 （5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. √ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξ是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*线性无关√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）⇔()()A r r A r B B ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 且有结果： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）；矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）.第四部分 方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.✍n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.✍),,Tn a 与),Tn b 的内积1(,)ni i n n i a b a b αβ===++∑✍(,)0αβ=. 记为：αβ⊥④),,Tn a 的长度221(,)ni n i a a ααα====++∑⑤(,1ααα==. 即长度为1的向量.2. 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 线性性：1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+3. ✍ 设A 是一个n 阶方阵, 若存在数λ和n 维非零列向量x , 使得 Ax x λ=，则称λ是方阵A 的一个特征值，x 为方阵A 的对应于特征值λ的一个特征向量. ✍0E A λ-=（或0A E λ-=）.✍()E A λϕλ-=（或()A E λϕλ-=）.④ ()ϕλ是矩阵A 的特征多项式⇒()A O ϕ=⑤12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A ⑥ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素. ⑦ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.⑧ ()1r A =⇔A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 23n λλλ====0.○注()12,,,Tn a a a 为A 各行的公比，()12,,,n b b b 为A 各列的公比.⑨ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f A 是多项式,则:① 若A 满足()f A O=⇒A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；12()()()()n f A f f f λλλ=.⑩ A 与TA 有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 4. 特征值与特征向量的求法 (1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ.(2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量. 设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,in r ξξξ- 其中()i i r r A E λ=-.则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++其中12,,,i n r k k k -为任意不全为零的数.5. ✍1P AP B -= （P 为可逆矩阵） ✍1P AP B -= （P 为正交矩阵）✍A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A6. 相似矩阵的性质： ①E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.○注α是A 关于0λ的特征向量,1P α-是B 关于0λ的特征向量.②A B =tr tr ③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆④ ()()r A r B =⑤若A 与B 相似, 则A 的多项式()f A 与B 的多项式()f A 相似. 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1PAP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. ② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.○注：当iλ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化.8. 实对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 不同特征值对应的特征向量必定正交；○注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ③ 一定有n 个线性无关的特征向量. 若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--； ④ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ⑤ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ⑥ 两个实对称矩阵相似⇔有相同的特征值. 9. 正交矩阵 TAAE =正交矩阵的性质：① 1TAA -=；② TT AAA A E ==；③ 正交阵的行列式等于1或-1；④ A 是正交阵,则TA ，1A -也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.10. 11. 施密特正交规范化 123,,ααα线性无关,单位化：111βηβ=222βηβ=333βηβ=技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。
三阶行列式的逆序数
三阶行列式的逆序数摘要：一、三阶行列式的概念二、三阶行列式的计算方法三、三阶行列式的逆序数定义及性质四、三阶行列式与逆序数的关系五、实例解析六、总结与应用正文：一、三阶行列式的概念三阶行列式是一种特殊的矩阵，它由三个元素组成，分别为行列式的值、行列式的符号和行列式的位置。
通常表示为一个竖线符号，如：|A|。
在数学中，三阶行列式广泛应用于线性方程组、矩阵运算等领域。
二、三阶行列式的计算方法三阶行列式的计算方法有两种：高斯消元法和拉普拉斯展开式。
高斯消元法是将三阶行列式转化为上三角矩阵，然后依次求解方程得到行列式的值。
拉普拉斯展开式是根据行列式的定义，将行列式展开为三个元素的乘积，然后根据行列式的符号和位置计算出行列式的值。
三、三阶行列式的逆序数定义及性质三阶行列式的逆序数是指将行列式的上标和下标进行交换后得到的新行列式的值。
逆序数是一个非负整数，它反映了行列式在交换上下标后的对称性。
逆序数的计算公式为：n! = n * (n-1) * (n-2)，其中n为行列式的阶数。
四、三阶行列式与逆序数的关系三阶行列式的值与逆序数有直接关系。
当行列式的符号为正时，逆序数等于行列式的值；当行列式的符号为负时，逆序数等于行列式的绝对值。
因此，通过计算行列式的逆序数，可以快速判断行列式的正负性。
五、实例解析以下为一个三阶行列式的实例：```| 1 2 3 || 4 5 6 || 7 8 9 |```该行列式的值为：1 * (5 * 9 - 2 * 6) - 2 * (4 * 6 - 1 * 9) + 3 * (4 * 8 - 5 *7) = 19。
六、总结与应用三阶行列式及其逆序数在数学中有广泛的应用，如线性方程组求解、矩阵运算、图形对称性分析等。
熟练掌握三阶行列式的计算方法和逆序数的定义，有助于提高数学问题的解决效率。
三阶行列式的逆序定义
三阶行列式的逆序定义
行列式是线性代数中的一种重要概念，它在许多数学和物理问题中起着重要的作用。
行列式的逆序定义是指，在一个n阶行列式中，如果某两个元素的下标位置违反了其大小关系，则称这两个元素构成了一个逆序。
对于一个3阶行列式，其逆序定义指的是对于任意的下标i、j和k，如果i < j < k但是行列式中的元素a[i][k] < a[i][j]，则可以认为存在一个逆序。
逆序的定义在行列式理论中是非常重要的。
它提供了检查行列式性质的方法，并且可以用于计算行列式的值。
逆序的数量还与行列式的性质密切相关。
对于一个3阶行列式而言，逆序数的奇偶性可以决定行列式的正负号。
举一个例子来说明三阶行列式的逆序定义。
假设有一个3阶行列式：
│ a[1][1] a[1][2] a[1][3] │
│ a[2][1] a[2][2] a[2][3] │
│ a[3][1] a[3][2] a[3][3] │
如果 a[1][1] > a[2][1] > a[3][1] 且 a[1][3] > a[2][3] > a[3][3]，那么可以认为这个行列式存在两个逆序。
这是因为在列1中，第一行的元素比第二行的元素要大，而在列3中，第一行的元素也比第二行的元素要大。
在实际应用中，逆序定义的概念常常在求解方程组、计算行列式的值以及研究线性代数的相关问题中使用。
对于更高阶的行列式，逆序定义的概念也可以类似地推广。
09级第1章行列式n级排列及其逆序数
, in1分别计算
在它后面比它小的数码的个数,即对这 n-1 个元素分 别算出与它后面的元素构成逆序的个数，逆序的个数 总和即为所求排列的逆序数.简称向后(或向右)比较法.
例1 求排列32514的逆序数.
2 2 0
3 2 5 1 4
1
故此排列的逆序数为2+1+2+0=5.
8
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*方法2 对排列(i1i2
例4
17
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求证: 在全部 n (n2)级排列中,奇偶排列各 占一半. 证: 设在全部 n 级排列中全部奇排列有 s 个, 全部偶排列有t 个,现来证 s=t=n!/2 . 将每个奇排列的前两个数对换(或经过任何一 次对换), 则这s 个奇排列全变成偶排列,所以 s≼t 若将每个偶排列的前两个数对换(或经过任何一 次对换),,则这t 个偶排列全变成奇排列, 于是 t≼s. 则s=t=n!/2,奇偶排列各占一半.
排列
的逆序数
1 6 3 2 5 4 8 7
0 41 0 1 0 1 7
则逆序数减少1.
总之,对换相邻两个元素，逆序数增加1或减少1. 改变排列的奇偶性.
15 跳转到第一页 2.再证一般对换的情形 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn 现来对换 a 与 b . a1 al a b1 bm b c1 cn 将b向前作m次相邻
=1+0+4+5+4+3+0+1=18
此排列为偶排列.
2
n n 1 n 2
321 n 2
10
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解: (采用“向后比较法”计算排列的逆序数)
[n n 1 n 2 321] n 1 n 2 2 1
1.1行列式的定义
例1. 求下列排列的逆序数，并判断 奇偶性。
（1）n，n-1， ……， 3，2，1
（2）1，2n，2，2n-1， ……， n+2，n，n+1
例2. 已知τ(i1，i2， ……，in )=k， 问τ(in，……，i2，i1)=？。
定义1.3 将一个n级排列i1， i2， ……，is， ……， it， ……， in中的两个数is，it交换位置，其他 数字不动，得到一个新的排列 i1， i2， ……，it， ……，is， ……，in ， 称这种变换为一次对换，记为（ is， it） 。
定理1.1 一次对换改变排列的 奇偶性。
证明：相邻对换和一般对换
推论：n级排列一共有n！个， 其中奇排列和偶排列各有n!/2 个。
二、二阶行列式
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
对角线法则
注：行列式表示一种运算规则，结 果是一个常数。
a11 a21
a12
a (1) a a 22 ( j1, j2 )
定义1.2 在一个n级排列i1，i2，……， is，……，it，……，in中，如果is>it， 则称is，it构成一个逆序。这个n级排列 的逆序的总数称为它的逆序数，记为 τ(i1，i2，……，in )。
注1. 逆序数为奇数的排列称为奇排列。 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
注2. 1，2，……，n称为自然序排列。
作业
52页，习题一，11，12，13
交作业方式（01）
单周周二：学号 2011210573 —— 2011210597
单周周四：学号2011210598 —— 2011210622
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线性代数第一节排列及其逆序数
第一章行列式第一节 排列及其逆序数�引言�排列与逆序数一、引言我们在中学曾经学习过求解二元一次线性方程组⎩⎨⎧=+=+2221212111c x b x a c x b x a （1） 当两个方程的未知数系数不成比例，即 2121b b a a ≠时，我们有.b a b ac a c a x ,b a b ac b c b x 122112212122121121−−=−−=（2）为方便记忆，我们引入二阶行列式bc ad db ca −=（3）则（2）可以表示为.b a b ac a c a x ,b a b a b c b c x 221122112221122111==（4）即当（1）的系数行列式0b a b a 2211≠时， （1）的解可以用二阶行列式表示为（4）。
用高斯消元法，对三元一次线性方程组,333323213123232221211313212111⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （5）我们也可以得到类似的结果。
即如果引入三阶行列式,c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c 322311332112312213322113312312332211333231232221131211−−−++=（6）则当（5）的系数行列式0a a a a a a a a a D 333231232221131211≠=（7）时，方程组（5）的解可以用三阶行列式表示为.a a a a a a a a a b a a b a a b a a x ,a a a a a a a a a a b a a b a a b a x ,a a a a a a a a a a a b a a b a a b x 333231232221131211332312222111211333323123222113121133331232211311123332312322211312113332323222131211===（8）对于n 元一次方程组，是否也有类似于上述（4）、（8）的结果呢？这就是本章要回答的问题。
矩阵的逆序数
矩阵的逆序数是指在一个矩阵中，对于任意一个元素，其所在列中比它小的元素的个数。
具体来说，对于一个矩阵A，如果存在一个元素A[i][j]，其中i是行索引，j是列索引，满足A[i][j] > 0且在其所在列中没有比它小的元素，则称A[i][j]是一个逆序数。
矩阵的逆序数可以通过遍历矩阵中的每个元素，并对其所在列进行比较来计算。
具体来说，对于矩阵A中的每个元素A[i][j]，如果在其所在列中存在比它小的元素A[k][j]，则增加逆序数计数器。
矩阵的逆序数可以用于判断矩阵是否可逆。
如果一个矩阵的逆序数等于0，则该矩阵可逆；如果逆序数不等于0，则该矩阵不可逆。
这是因为如果一个矩阵不可逆，则必然存在一些行或列可以通过初等变换相互交换，而这些交换操作会导致逆序数的增加。
另外，逆序数还可以用于计算矩阵的行列式值。
如果一个n阶方阵的逆序数等于n! / (n-r)!，其中r是该矩阵的秩，则该矩阵的行列式值等于1；否则，行列式值等于0。
综上所述，矩阵的逆序数是用于判断矩阵可逆性和计算行列式值的一个重要指标。
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• 在一个排列中，逆序的总和称为逆序 数。如213的逆序数为1，321的逆序 数为3。
• 逆序数怎样求???
• 从第一个元素起，该元素前
有几个数比它大，这个元素的逆序就 是几。将所有元素的逆序相加，即得 到排列的逆序数。
例1.求全排列135··(2n-1)24··(2n) 逆序数。
解: 1,3,5,··(2 n-1)不构成逆序. 2前面有n-1个数比它大,故有n-1个逆序. 4前面有n-2个数比它大,故有n-2个逆序. 依次下去, 2n前面没有数比它大,故没有逆序. 将所有元素的逆序相加,得逆序数: 1+2+3+ ··+( n-1)= n(n-1)/2
n阶行列式
一、全排列与逆序数
1.全排列
n个不同的元素排成一列，称为n个元素的 全排列。如：12345678，76532184，等等 均为8个元素的全排列。
n个元素的全排列共有n！个。
• 2.逆序与逆序数
• 全排列123 ··n 称为标准排列,此时元素 之间的顺序称为标准顺序。在任一排列 中，若某两个元素的顺序与标准顺序不 同，就称这两个元素构成了一个逆序。
aa
11
12
aa
21
22
aa
n1
n2
a 1n
a 2n
(1) N ( j1 jn ) a1 j1a2 j2
anjn
j1 jn
a nn
其中N 为全排列 j1 j2 记为D a
ij n n
jn 的逆序数.有时简
a11
例1.
a22
ann
(1) N ( j1 jn ) a1 j1a2 j2 anjn
• 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆 序数为偶数的排列称为偶排列。如:
• 在3个元素的对全换排有列两中个，性1质23:，231，
312为偶排列1.，任逆意序一数个分排别列为经0一,2,次2.对换 后 • 13，2，1，2133.，改23.2在变1为n奇个奇偶元排性素列.的,逆全序排数列分中别,奇为偶 • 3.对换 排列各占一半,为n!/2.
• 在一个排列中，任意对调两个元素， 其余元素不变，即得到一个新排列，
这样一种变换称为对换。
a a a 11
12
13
a a a a a a a a a
a
a
a 11 22 33
12 23 31
13 21 32
21 22 23 a a a a a a a a a
aaa
13 22 31
11 23 32
12 21 33
31
32
33
由三阶行列式可得如下结论
(1) a1j a2 j a3 j
1
2
3
aaa
11
12
13
N为 j1 j2 j3 的 逆 序 数
（2） a a a
21
22
23
(1)N a a a 1 j1 2 j2 3 j3
对1，2，3的全
aaa
排列求和
31
32
33
n2 Байду номын сангаас数排成的一个n行n列的记号
a11
a2n a 21
a a 1(n1)
1n
a2 ( n 1)
an1
a a n(n1)
nn
an1
(1) N ( j1 jn ) a1 j1a2 j2
j1 jn
n ( n1)
(1) 2 a a a
1n 2( n1)
n1
anjn
N(n 21) n(n 1)
2
j1 jn
a a a
11 22
nn
N (12 n) 0
a11
a 例2. 21
a22
a a 11
12
a1n
a22
a2n
a a n1
n2
ann
(1) N ( j1 jn ) a1 j1a2 j2
j1 jn
a a a
11 22
nn
anjn N (12
ann n) 0
例3.
a2 ( n 1)
a1n