2.2平面向量的线性运算
2.2 平面向量的线性运算
2.2 平面向量的线性运算2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ= ；②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+ ．⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ==．5、向量共线定理：向量()0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．设()11,a x y =，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．课堂训练 一．选择题1．下列命题正确的是（ ） Ａ．若∥a b ，则a 与b 同向Ｂ．若∥a b ，则a 与b 同向或反向 Ｃ．若a =0，则a 与0共线Ｄ．若a 不为0，则a 与0不共线且3AC CB =-，设2．如图1所示，向量 ，，OAOBOC 的终点A B C ，，在一条直线上，=OA p ，= OB q ，= OC r ，则以下等式中成立的是（ ）Ａ．1322r p q =-+Ｂ．2r p q =-+baCBAa b C C -=A -AB =BＣ．3122r p q =- Ｄ．2r q p =-+3．如图2所示，在菱形ABCD 中，120DAB ∠= ，则以下说法错误的是（ ） Ａ．与AB 相等的向量只有一个（不含AB本身） Ｂ．与AB 的模相等的向量只有4个（不含AB本身） Ｃ．BD 的长度恰为DAＤ．CB 与DA不共线4．将1[2(28)4(42)]12+--a b a b 化简成最简式为（ ） Ａ．2a b - Ｂ．b a - Ｃ．a b - Ｄ．2b a -5．已知G 是ABC △的重心，如图1所示，则GA GB GC +-=（ ） Ａ．0 Ｂ．4GEＣ．4GDＤ．4GF6．若9AB = ，6AC = ，则BC的取值范围为（ ）Ａ．[315]，Ｂ．[39]， Ｃ．(315)，Ｄ．[69]，二．填空题7．已知非零向量1e 和2e 不共线，欲使t 12+e e 和1+e t 2e 共线， 则实数t 的值为 ．8．平行四边形ABCD 中，M 为DC 中点，N 为BC 的中点．设AB = a ，AD = b ，则=MN （用a ，b 表示）．9．已知菱形ABCD 的边长为1，60ABC AB ∠==，a ，AC = c ，BC =b ，则a bc ++= ．10．已知OA = a ，OB = b ，若12OA = ，5OB =，且90AOB ∠= ，则-=a b ． 11．在菱形ABCD 中，60DAB ∠= ，1AB = ，则BC DC +=．12．在静水中划船速度是10米／分钟，水流速度10米／分钟，如果船从岸边径直沿垂直于水流方向行走，那么船实际行进速度应是 ．实际行进方向与水流方向的夹角为 ． 三．解答题13．两个非零向量12，e e 不共线．（1）若= AB 12e e +，BC = 1228e e +，CD =123()-e e ，求证：，，A B D 三点共线； （2）求实数k ，使k 12e e +与12+e k 2e 共线．14．一艘军舰从基地A 出发向东航行了200海里到达基地B ，然后又改变航向向东偏北60 航行了400海里到达C 岛，最后又改变航行，向西航行了200海里到达D 岛．（1）试作出向量AB BC CD，，；（2）求AD ．15．如图4，在ABC △中，在AC 上取点N ，使得13AN AC =，在AB 上取点M ，使得13AM AB =，在BN 的延长线上取点P ，使得12NP BN =，在CM 的延长线上取点Q ，使得12MQ CM =，用向量的方法证明P A Q ，，三点共线．16．一架飞机向北飞行300 km ，然后改变方向向西飞行400 km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成．17．已知ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA a = ，OB b = ，用向量a ，b 分别表示向量OC ，OD，DC ，BC ．18．飞机从甲地以北偏西15˚的方向飞行1400km 到达乙地，再从乙地以南偏东75˚的方向飞行1400km 到达丙地．试画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？第19题．如图，13AM AB = ，13AN AC =．求证：13MN BC = ．同步提升一.选择题(每题5分)1.设b →是a →的相反向量,则下列说法错误的是( ) A .a →与b →的长度必相等 B .a bC .a →与b →一定不相等 D .a →是b →的相反向量2.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a →、b →、c →,则向量OD 等于( ) A .a b c ++ B .a b c -+ C .a b c + - D .a b c-- 3.(如图)在平行四边形ABCD 中,下列正确的是( ).A .AB CD = B .AB AD BD -=C .AD AB AC += D .AD BC 0+= 4.+++等于( ) A . B . C .AC D .CA5.化简SP PS QP OP ++-的结果等于( )A 、B 、C 、D 、A AB OC = B AB ∥DEC AD BE =D AD FC =7.下列等式中,正确的个数是( )①a b b a +=+ ②a b b a = --③0a a -=- ④(a )a --= ⑤a (a )0+-=A .5B .4C .3D .28.在△ABC 中,AB a = ,AC b = ,如果a||b|=|,那么△ABC 一定是( ).A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .钝角三角形9.在ABC ∆中,BC a =,CA b =,则AB 等于( )A .a b +B .(a b )-+C .a b -D .b a -10.已知a 、b 是不共线的向量,AB a b λ=+ ,AC a b μ=+(λ、R μ∈),当且仅当( )时, A 、B 、C 三点共线. ()1A λμ+= ()1B λμ-=()1C λμ=-()1D λμ=二.填空题(每题5分)11.ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB a,AD b ==,则MA = ______,MB = ______,MC = ______,MD =______.12.已知向量a 和b 不共线,实数x ,y 满足b y x a b a y x)2(54)2(-+=+-,则=+y x ______13.在ABCD 中,AB a,AD b ==,则AC = ______,DB = ______.14.已知四边形ABCD 中,1AB DC 2=,且AD BC = 则四边形ABCD 的形状是______.三.解答题15.化简下列各式:(1)=++++______;(2)()()AB MB BO BC OM ++++=______.（3）=-++-)()(______.16.某人从A 点出发向西走了10m ,到达B 点,然后改变方向按西偏北︒60走了15m 到达C 点,最后又向东走了10米到达D 点.(1)作出向量AB ,,(用1cm 长线段代表10m 长);(2)求DA17.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 和BD 交于点O ,E 、F 分别是AC 和BD 的中点,分别写出 (1)图中与、共线的向量; (2)与相等的向量.CDABNM18.在直角坐标系中,画出下列向量: (1)a 2= ,a的方向与x 轴正方向的夹角为 60,与y 轴正方向的夹角为 30;(2)a 4=,a的方向与x 轴正方向的夹角为 30,与y 轴正方向的夹角为 120;(3)a=,a的方向与x 轴正方向的夹角为 135,与y 轴正方向的夹角为 135.19.在ABC ∆所在平面上有一点P ,使得=++,试判断P 点的位置.20.如图所示,在平行四边形ABCD 中,点M 是AB 边中点,点N 在BD 上且BD BN 31=,求证:M 、N 、C 三点共线.2.2 平面向量的线性运算 课堂训练参考答案一．选择题 1~5 CADDD 6 A 二．填空题7．1± 8．1()2-a b 9．2 10．13 11．45三．解答题 第13题．（1）证明：=++= AD AB BC CD 1266+=e e 6AB， A B D ∴，，三点共线；（2）解： k 12+e e 与12e +k 2e 共线， ∴k 12+=e e λ（12e ＋k 2e ），(2)λ∴-k 1e ＋(1)k λ-2e =0，201k k k λλ-=⎧∴⇒=⎨-⎩，，第14题．解：（1）向量ABBC CD ，，如右图所示．（2）根据题意，易知AB 和CD 方向相反，故AB 与CD共线．又AB CD = ，∴在四边形ABCD 中，AB CD∥，四边形ABCD 是平行四边形， AD BC ∴= ，400AD BC ∴==海里．第15题．证明：111()()222AP NP NA BN CN BN NC BC =-=-=+=，111()()222QA MA MQ BM CM BM MC BC =-=-=+= ，AP QA ∴= ，P A Q ∴，，三点共线．第16题．飞机飞行的路程是700 km ；两次位移的合成是向北偏西约53˚方向飞行500 km ．第17题．OC a =- ，OD b =- ，DC b a =- ，BC a b =--．第18题．丙地在甲地的北偏东45˚方向，距甲地1400km ．第19题．证明：因为MN AN AM =-，而13AN AC = ，13AM AB = ，所以1133MN AC AB =- ()1133AC AB BC =-= ．同步提升参考答案 一.选择题(每题5分)1.C2. B3.C4.B5. B6.D7.C8.A9.B 10.D 二.填空题(每题5分)11.111(a b ),(a b ),(a b )222-+-+ ,1(b a )2-12.1 13.a b + ,a b- 14.等腰梯形三.解答题(每题10分)15.(1)0(2)AC （3）016.【解答】(1)如图,(2)∵-=,故四边形ABCD 为平行四边形, )m (15==DA BC17.【解答】与EF 共线的向量有AB 、; 与CO 共线的向量有CE ,CA ,OE ,OA ,; 与EA 相等的向量是18.【解答】19.【解答】 PA PB PC AB ++=()PA PA AB PC AB ∴+++=,故-=2A ∴、P 、C 三点共线,且P 是线段AC 的三分点中靠近A 的那一个20.【解答】提示:可以证明MC 3MN =CDABNM。
平面向量的线性运算知识点总结
平面向量的线性运算知识点总结平面向量是数学中的重要概念之一，它们具有方向和大小，并且可以进行线性运算。
本文将对平面向量的线性运算相关知识进行总结，包括加法、数乘和线性组合三个方面。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量合成为一个新向量的运算。
具体而言，设有两个向量A和B，它们的加法运算符号为"＋"，则其加法公式为：A +B = (Aₓ + Bₓ, Aᵧ + Bᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量，Bₓ和Bᵧ分别表示向量B在坐标系中的x轴和y轴上的分量。
需要注意的是，向量的加法满足交换律和结合律。
即：A +B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)二、平面向量的数乘数乘是指将向量与一个实数相乘得到一个新向量的运算。
具体而言，设有一个向量A和一个实数k，它们的数乘运算符号为"·"，则其数乘公式为：k·A = (k·Aₓ, k·Aᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量。
数乘的运算法则如下：1. 若k>0，则k·A的方向与A的方向相同。
2. 若k<0，则k·A的方向与A的方向相反。
3. 若k=0，则k·A的方向为零向量。
4. |k·A| = |k|·|A|三、平面向量的线性组合线性组合是指将多个向量按一定比例相加得到一个新向量的运算。
具体而言，设有n个向量A₁、A₂、...、Aₙ和n个实数k₁、k₂、...、kₙ，它们的线性组合公式为：k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ线性组合的运算法则如下：1. 线性组合的次序不影响结果，即k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ =kₙAₙ + ... + k₂A₂ + k₁A₁。
2. 向量的线性组合满足数乘与加法的结合律，即k₁(A₁ + A₂) =k₁A₁ + k₁A₂。
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修
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2．本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝D→E，b＝D→F，用a，b表示D→B. [解] 由题意ab＝＝A12→A→BB－－12AA→→DD，， 解得 AA→→BD＝＝4323aa－－2343bb，， 所以D→B＝A→B－A→D＝23a＋23b.
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A，B，D三点共线．
(2)先用共线向量定理引入参数λ得
→ AP
＝λ
→ AB
，再用向量减法的几何意义向
O→P＝xO→A＋yO→B变形，最后对比求x＋y.
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(1)A，B，D
[(1)∵
→ AB
＝e1＋2e2，
B→D＝
B→C＋
→ CD
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝
2(e1＋2e2)＝2A→B.
A [对于①，b＝－a，有a∥b； 对于②，b＝－2a，有a∥b； 对于③，a＝4b，有a∥b； 对于④，a与b不共线．]
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4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 【导学号：84352202】
－57 [由题意知a＝－57b.]
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2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是( )
A.A→B＝3B→C
B.A→C＝2B→C
C.A→C＝12B→C
D.A→C＝2C→B
D [由题意可知：A→B＝－3B→C；A→C＝－2B→C＝2C→B.故只有D正确．]
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3．如图2-2-27，在平行四边形ABCD中，对角线AC 与BD交于点O，A→B＋A→D＝λA→O，则λFra bibliotek________.
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具。
平面向量之间可以进行线性运算，包括加减法、数量乘法和应用特殊运算规则的向量乘法。
本文将详细介绍平面向量的线性运算及其应用。
一、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，向量由两个有序实数对表示，分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
设向量 a 的分量为 (a1, a2)，则向量 a 可表示为 a = a1i + a2j，其中 i 和 j 分别是 x 轴和 y 轴的单位向量。
二、平面向量的加法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其和为 c = (a1 +b1)i + (a2 + b2)j。
向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。
三、平面向量的减法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其差为 c = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j。
向量的减法也满足交换律和结合律。
四、平面向量的数量乘法设有平面向量 a = a1i + a2j，实数 k，k与向量 a 的数量积为 k * a =ka1i + ka2j。
数量乘法满足结合律、分配律和对数乘法的分布律等性质。
五、平面向量的线性运算应用1. 向量共线与平行若有两个非零向量 a 和 b，当且仅当存在实数 k，使得 a = kb，称向量 a 和 b 共线。
若向量 a 和 b 共线且方向相同或相反，则称向量 a 和b 平行。
2. 向量的线性组合设有向量组 a1, a2, ..., an，其中每个向量的形式为 ai = ai1i + ai2j。
对于任意给定的实数 k1, k2, ..., kn，向量 b = k1a1 + k2a2 + ... + knan 称为向量组 a1, a2, ..., an 的线性组合。
3. 向量的共面性若存在不全为零的实数 k1, k2, k3，使得 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0，称向量组 a1, a2, a3 共面。
高中数学必修4第二章：平面向量2.2平面向量的线性运算
向量的表示：AB或a
有向线段
向量
向量的大小 (长度、模)
向量的方向
单位向量 与零向量
相等向量与 平行向量 相反向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量； 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
新课导入
大三通之前，由 于大陆和台湾没有直 航，因此要从台湾去 上海探亲，乘飞机要 先从台北到香港，再 从香港到上海，这两 次位移之和是什么？
解：(1)OA OC OB;
(2)BC FE AD;
E
D
FO
C
(3)OA FE 0.
A
B
(1)向量加法交换律： a b b a
D
a
C
b
b a+b
A
a
B
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
D
c
C
D
c
C
(a + b) + c
a+b
a + (b + c) b
b+c b
B
B
A
a
－c.
通法提炼 两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行.例如， 作a－b，可以先作－b，然后作a＋－b即可，也可以直接 用向量减法的三角形法则，把两向量的起点重合，则差向 量就是连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
如图，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－ b，b－a，－a－b.
2（2008安徽）若 AB (2,4), AC (1, 3),
则BC （ B ）
A.(1,1) C.(3,7)
B.(-1,-1) D.(-2,-4)
高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算教学案数学教学案
2.2 平面向量的线性运算第1课时向量加法运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P80～P83的内容，回答下列问题．(1)观察教材P80图2.2－1，思考：某对象从A点经B点到C 点，两次位移的结果是什么？与从A点直接到C点的位移有什么关系？提示：从A点经B点到C点，两次位移的结果是位移，与从A点直接到C点的位移相等．(2)观察教材P80“探究”的内容，思考：①力F对橡皮条产生的效果，与力F1与F2共同产生的效果相同吗？提示：产生的效果相同．②力F与力F1、F2有怎样的关系？提示：力F是F1与F2的合力．力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．(3)数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的什么运算？提示：F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可看作向量的加法．2．归纳总结，核心必记(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)向量加法的运算法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝_.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a．平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线_就是a与b的和．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.①交换律：a＋b＝b＋a；②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．[问题思考](1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加．两个向量相加应满足三角形法则或平行四边形法则．(2)当两非零向量a，b共线时，向量加法的平行四边形法则还能用吗？三角形法则呢？提示：平行四边形法则不能用，但三角形法则可用．(3)式子＝0正确吗？[课前反思](1)向量加法的定义：；(2)求向量和的三角形法则：；(3)求向量和的平行四边形法则：；(4)向量加法的交换律：；(5)向量加法的结合律：．[思考1] 求作两个向量和的方法有哪些？提示：三角形法则和平行四边形法则．[思考2] 三角形法则和平行四边形法则的适用条件有什么不同？名师指津：(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示， (平行四边形法则)，(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同.讲一讲1．(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a＋b；(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.[尝试解答] (1)如图ⓐ所示，设＝a，∵a与b有公共点A，故过A点作＝b，连接即为a＋b.(2)如图ⓑ，设＝a，过O点作＝b，则以OA、OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝a＋b.应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．练一练1．如图，已知a、b、c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示．作＝a＋b＋c.[思考] 向量加法有哪些运算律？名师指津：向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．讲一讲2．化简下列各式：解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.练一练2．如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB 的中点，化简下列三式：讲一讲3．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[尝试解答] 如图所示，设分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.则飞机飞行的路程指的是；两次飞行的位移的和指的是依题意，有＝800＋800＝1 600 (km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80°.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤练一练3．轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．解：如图所示，设分别是轮船的两次位移，则表示最终位移，且＝＋.∠CAD＝60°，即此时轮船位于A港东偏北60°，且距离A港40 3 km处．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用．2．要掌握向量加法的三个问题(1)求作向量的和，见讲1；(2)向量加法运算，见讲2；(3)向量加法的应用，见讲3.3．求作向量时应注意以下两点(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”．课下能力提升(十四)[学业水平达标练]题组1 求作向量的和1．如图，已知两个不共线的非零向量a，b，求作a＋b.解：在平面内任取一点O，2．已知两非零向量a，b(如图所示)求作a＋b.解：如图所示：在平面内任取一点O，作题组2 向量加法运算4．下列等式错误的是( )A．a＋0＝0＋a＝aA．2 5 B．45C．12 D．66．根据图示填空．解析：由三角形法则知7．已知正方形ABCD 的边长为1，＝a ，＝c ，＝b ，则|a ＋b ＋c |为________．解析：|a ＋b ＋c |＝＝＝2 2.答案：22 8．如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，根据图示计算： 解：(1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以题组3 向量加法的应用 9．若a 等于“向东走8 km ”，b 等于“向北走8 km ”则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________． 解析：如图所示，设＝a ，＝b ，则＝a ＋b ，且△ABC 为等腰直角三角形，则||＝8 2 km ，∠BAC ＝45°.答案：8 2 km 北偏东45°10．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s ，现在有风，风使雨滴以433m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．解：如图，用表示雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度．以，为邻边作平行四边形OACB ，就是雨滴下落的实际速度． 在Rt △OAC 中，||＝4，||＝433，∴∠AOC ＝30°. 故雨滴着地时的速度大小是833m/s ，方向与垂直方向成30°角向东.[能力提升综合练]1．设a ＝，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( )①a∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.A ．①②B ．①③C ．①③⑤D ．③④⑤解析：选C a ＝＝0，∴①③⑤是正确的．2．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( )解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，3．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则＝( )4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足，则下列结论中正确的是( )A ．P 在△ABC 的内部B ．P 在△ABC 的边AB 上C ．P 在AB 边所在的直线上D ．P P 在△ABC 的外部解析：选D ，根据平行四边形法则，如图，则点P 在△ABC 外．答案：6．若P 为△ABC 的外心，且，则∠ACB ＝________． 解析：∵，则四边形APBC 是平行四边形． 又P 为△ABC 的外心，因此∠ACB ＝120°.答案：120°7．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O 且||＝＝0，cos ∠DAB ＝12.求 又cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)， ∴∠ DAB ＝60°，∴△ABD 为正三角形．8．已知船在静水中的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解：作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt△ACD中，＝|v水|＝10 m/min，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．故船行进的方向是与水流的方向成120°的角．第2课时向量减法运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P85～P86的内容，回答下列问题．(1)一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？提示：一个数x的相反数是－x.一个向量a有相反向量，记为－a.(2)任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？提示：a＋(－a)＝0.(3)根据前一节所学的内容，你能作出向量a与b的差a－b 吗？提示：可以，先作－b，再按向量加法的平形四边形法则或三角形法则作出a＋(－b)即可．2．归纳总结，核心必记(1)相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a．①规定：零向量的相反向量仍是零向量；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．(2)向量的减法①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．②几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则_＝a －b，如图所示，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．[问题思考](1)若两个非零向量a与b互为相反向量，则a与b应具备什么条件？提示：①长度相等；②方向相反．(2)相反向量与相反数一样吗？提示：不一样．相反数是两个数符号相反，绝对值相等，相反向量是指两个向量方向相反，模相等．(3)若a－b＝c－d，则a＋d＝b＋c成立吗？提示：成立．移项法则对向量的运算是成立的．[课前反思](1)相反向量的定义：；(2)向量减法的定义：；(3)向量减法的几何意义：．讲一讲(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和；②起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．练一练1．化简下列各式：[思考1] 已知两个非零向量a，b，如何作a－b?名师指津：求作两向量的差可以转化为两个向量的和，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量．[思考2] a－b的几何意义是什么？名师指津：a－b的几何意义是：当向量a，b的始点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量．讲一讲2．(1)四边形ABCD中，若( )A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋c(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[尝试解答] (1)＝a＋c－b.(2)法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.答案：(1)A求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．练一练2．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：(1)b＋c－a；(2)a－b－c.如图所示．(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，作▱OBEC，连接OE，连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c.讲一讲3．如图，解答下列各题：利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)三点注意①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系；②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；③注意在封闭图形中利用多边形法则．练一练—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量．2．要掌握向量减法的三个问题(1)向量的减法运算，见讲1；(2)向量减法及其几何意义，见讲2；(3)利用已知向量表示未知向量，见讲3.3．掌握用已知向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．课下能力提升(十五)[学业水平达标练]题组1 向量的减法运算1．已知非零向量a与b同向，则a－b( )A．必定与a同向B．必定与b同向C．必定与a是平行向量D．与b不可能是平行向量解析：选C 若|a|＞|b|，则a－b与a同向，若|a|＜|b|，则a－b与－b同向，若|a|＝|b|，则a－b＝0，方向任意，且与任意向量共线．故A，B，D皆错，故选C.3．给出下面四个式子，其中结果为0的是( )A．①② B．①③C．①③④ D．②③题组2 向量减法及其几何意义4．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )解析：选B 由减法法则知B正确．A．[3，8] B．(3，8)C．[3，13] D．(3，13)6．如图，在正六边形ABCDEF中，＝( )7．已知菱形ABCD边长都是2，求向量的模．题组3 利用已知向量表示未知向量8．如图，向量，则向量可以表示为( ) A．a＋b－c B．a－b＋cC．b－a＋c D．b－a－c解析：选C ＝b－a＋c.故选C.9．已知一点O到▱ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于( )A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．a－b－c解析：选B 如图，点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝a－b＋c.10．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．解析：＝b－c.答案：b－c11．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量[能力提升综合练]1．有下列不等式或等式：①|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|；②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；③|a|－|b|＝|a＋b|<|a|＋|b|；④|a|－|b|<|a＋b|＝|a|＋|b|.其中，一定不成立的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选A ①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0，或b ＝0，a≠0时成立；③当a与b共线，方向相反，且|a|≥|b|时成立；④当a与b共线，且方向相同时成立．2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( ) A．8 B．4 C．2 D．14．平面上有三点A，B，C，设若m，n 的长度恰好相等，则有( )A．A，B，C三点必在同一直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形解析：选C 由|m|＝|n|，知A，B，C为一矩形的三顶点，且△ABC中∠B为直角．答案：6．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|b i|＝2|a i|，且a i顺时针旋转30°后与b i同向，其中i＝1，2，3，则b1－b2＋b3＝________．解析：将a i顺时针旋转30°后得a i′，则a1′－a2′＋a3′＝0.又∵b i与a i′同向，且|b i|＝2|a i|，∴b1－b2＋b3＝0.答案：07．设O是△ABC内一点，且，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，又四边形ODHC为平行四边形，8．已知O为四边形ABCD所在平面外一点，且向量、满足等式.作图并观察四边形ABCD的形状，并证明．解：通过作图(如图)可以发现四边形ABCD为平行四边形．证明如下：∵，∴，∴，∴AB綊DC，∴四边形ABCD为平行四边形．第3课时向量数乘运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 87～P 90的内容，回答下列问题．(1)已知非零向量a ，根据向量的加法，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你认为它们与a 有什么关系？提示：a ＋a ＋a ＝3a 的长度是a 长度的3倍，且方向相同；(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a 的长度是a 长度的3倍，且方向相反．(2)λa 与a (λ≠0，a ≠0)的方向、长度之间有什么关系？ 提示：当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＜0时，λa 与a 方向相反，且λa 的长度是a 长度的|λ|倍．(3)若a ＝λb ，则a 与b 共线吗？提示：共线．2．归纳总结，核心必记(1)向量数乘运算一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反Ｗ. 特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0．(2)向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb．特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．(3)共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.(4)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．[问题思考](1)向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？提示：不可以，向量与实数不能进行加减运算，如λ＋a，λ－2b无法运算．(2)数乘向量与实数的乘积等同吗？提示：不等同．数乘向量的结果仍然是一个向量，既有大小又有方向．实数相乘运算的结果是一个实数，只有大小没有方向．(3)λ＝0时，λa＝0；a＝0时，λa＝0，这两种说法正确吗？提示：不正确，λa＝0中的“0”应写为“0”．[课前反思](1)向量数乘的概念：；(2)向量数乘的运算律：；(3)共线向量定理：；(4)向量的线性运算：．[思考] 向量的线性运算与代数多项式的运算有什么类似之处？名师指津：向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．讲一讲1．化简下列各式：(1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .[尝试解答] (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．练一练1．设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )．解：原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j . 讲一讲2.已知在▱ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点．若，试用e 1，e 2表示[尝试解答] ∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴MN 綊12BD . 用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用．练一练2.如图所示，四边形OADB 是以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示 [思考1] 如何证明向量a 与b 共线？名师指津：要证向量a 与b 共线，只需证明存在实数λ，使得b ＝λa (a ≠0)即可．[思考2] 如何证明A ，B ，C 三点在同一条直线上？名师指津：讲一讲3．(1)已知e 1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若求x＋y的值．∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．(2)由于A，B，P三点共线，所以向量在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量，则共线，又有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．练一练3．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N 三点共线．证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，∴M，A，N三点共线．—————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是向量的数乘运算及共线向量定理，难点是共线向量定理的应用．2．掌握与向量数乘运算有关的三个问题(1)向量的线性运算，见讲1；(2)用已知向量表示未知向量，见讲2；(3)共线向量定理及应用，见讲3.3．本节课的易错点当A、B、C、D四点共线时，共线；反之不一定成立．4．要掌握用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法．(2)方程法．当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．5．注意以下结论的运用(1)以AB，AD为邻边作▱ABCD，且则对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b.课下能力提升(十六)[学业水平达标练]题组1 向量的线性运算1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于( ) A ．2a －b B ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B 原式＝16(2a ＋8b )－13(4a －2b )＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ＝2b －a .2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n .A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④解析：选B ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．题组2 用已知向量表示未知向量A ．r ＝－12p ＋32q B ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12q D ．r ＝－q ＋2p＝－12p ＋32q .4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且则t 的值为( )A.13B.23C.12D.535．如图所示，在▱ABCD 中，＝a ，＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则＝________．(用a ，b 表示)＝12b －14(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )． 答案：14(b －a ) 6．如图所示，已知▱ABCD 的边BC 、CD 的中点分别为K 、L，且＝e 1，＝e 2，试用e 1，e 2表示⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2. ②－2×②＋①得12x －2x ＝e 1－2e 2， 解得x ＝23(2e 2－e 1)，即＝23(2e 2－e 1)＝43e 2－23e 1， 同理得y ＝23(－2e 1＋e 2)， 即＝－43e 1＋23e 2.题组3 共线向量定理的应用7．对于向量a ，b 有下列表示：①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2； ④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中，向量a ，b 一定共线的有( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④解析：选A 对于①，a ＝－b ；对于②，a ＝－12b ；对于③，a ＝4b ；对于④，若a ＝λb (λ≠0)，则e 1＋e 2＝λ(2e 1－2e 2)，即(1－2λ)e 1＋(1＋2λ)e 2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a 与b 不共线．8．已知向量a ，b ，且＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：选A＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2，所以A ，B ，D 三点共线．9．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，而a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量，则实数k ＝________．解析：由题设知k 22＝1－52k 3， 所以3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13. 答案：－2或1310．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，＝a ，＝b .(1)用a ，b 分别表示向量(2)求证：B ，E ，F 三点共线．[能力提升综合练]2．已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a ，b 共线的是( )①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0；③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④已知梯形ABCD ，其中A ．①②B ．①③C ．②D ．③④解析：选A 由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；λa －μb ＝0，λa ＝μb ，故②可以；x ＝y ＝0，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．解析：选B 如图，在△ABC 中，以BM ，CM 为邻边作平行四边形MBDC ，依据平行四边形法则可得两向量有公共点M ，则A ，M ，D 三点共线，设BC ∩MD ＝E ，结合MD 是平行四边形MBDC 的对角线可知，AE 是△ABC 的中线，同理可证BM ，CM 也在△ABC 的中线上，即M 是△ABC 的重心．以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABFC ，依据向量加法的平行四边形法则可得4．如图所示，两射线OA 与OB 交于O ，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)( )A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．③④到λx ＋(1－x )λ＝λ＞1；注意到1＋2＝3＞1，34＋13＞34＋14＝1，12＋13＝56＜1，34＋15＝1920＜1，故选A. 答案：236．已知两个不共线向量e 1，e 2，且＝e 1＋λe 2，＝3e 1＋4e 2，＝2e 1－7e 2，若A ，B ，D 三点共线，则λ的值为________．又＝e 1＋λe 2，且A ，B ，D 三点共线，所以存在实数μ，即e 1＋λe 2＝μ(5e 1－3e 2)，又e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧5μ＝1，－3μ＝λ，则λ＝－35. 答案：－357．如图，已知在平行四边形ABCD 中，AH ＝HD ，BF ＝MC ＝14BC ，设＝a ，＝b ，试用a ，b 分别表示解：∵ABCD 是平行四边形，BF ＝MC ＝14BC ， ∴FM ＝BC －BF －MC ＝12BC . ∴FM ＝12BC ＝12AD ＝AH . ∴FM 綊AH .∴四边形AHMF 也是平行四边形．8．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点， (λ∈R ，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算线性运算是以向量和矩阵进行操作的数学运算方法，它可以引发出许多更复杂的数学原理和研究结果。
线性运算可以在各种学科中应用，例如线性系统的分析和解析，图论，资源分配，Modal和语义计算等等。
一、定义线性运算是一种数学方法，用来处理平面向量。
它基于直线，计算两个向量之间的关系。
在数学上，从点到点之间有一条路径，称为一条直线，线性运算可以用来描述这条直线上起点和终点之间的空间特征。
二、实现方式1、向量乘法：向量乘法是两个向量相乘，以计算它们之间的关系。
2、矩阵乘法：矩阵乘法是两个矩阵相乘，它可以用来揭示一种向量的多重关系。
3、矩阵分解：矩阵分解是把一个大的矩阵分解为多个子矩阵，用来求解一组向量关系问题。
4、向量累加：向量累加是两个向量加起来，用来表示向量之间关系的变化。
5、根据相反关系：根据相反关系，把两个平面向量的起点和终点的关系，反转过来，以计算出新的关系。
三、应用1、线性代数：高等数学中的线性代数中，线性运算涉及到线性方程，矩阵，特征值，线性空间等等基本概念，也常常被用来分析线性系统，解析图论问题，和解决资源分配问题等等。
2、机器学习：机器学习中，线性运算被用来表示各种模型，用来对数据集或者特征分析，例如线性回归，逻辑斯谛回归，支持向量机等等。
3、信号处理：在信号处理中，线性运算可以用来表示信号的变换和处理，例如傅里叶变换，滤波器，卷积，离散余弦变换等等。
4、语言处理：线性运算也可以被用来处理自然语言，例如用于语法分析的实体矩阵，或者模糊语义的语义码表。
四、总结线性运算是以向量和矩阵进行操作的数学运算方法，可以应用于多种学科，也可以用来理解多重关系，分析和解决资源分配问题。
它可以引发出许多更复杂的数学原理和研究结果，已被广泛应用于模型表示，信号处理和语义计算等领域。
2014年人教A版必修四课件 2.2 平面向量的线性运算
结论: 同起点两向量的和, 是以这两向量为邻边的 平行四边形的一条对角线, 起点是已知两向量的起点. 这种方法叫做向量加法的平行四边形法则.
C D
AB AC AD.
A B
练习(课本第84页): 2. 如图, 已知 a、b, 用向量加法的平行四边形法 则作出 ab. (2) (1) b b a (作图如下, 作法略)
· · 问题1. 以上操作中的三个向量构成一个什么图形? 从三个向量的图形关系看, 你得到一个什么结论?
A C
AB BC AC . 向量加法的三角形法则: 求向量 a b , 是将向量 b 的起点与向量 a 的终点重合, 则 a 的起点到 b 的终点 的向量即为和向量 a b .
本章内容
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 平面向量的实际背景及基本概念 平面向量的线性运算 平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量的数量积 平面向量应用举例 第二章 小结
2.2.1 向量加法运算及其几何意义 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
2.2.1 向量加法运算 及其几何意义
D C
2 5 ≈5.4. tan∠CAB 5 2.5, 2 得∠CAB≈68. 答: 船实际航行的速度约为 5.4 km/h, B A 68 方向约是东偏北 .
2
D 2
C
A
B
练习(补充). 如图是一个正六边形, 根据向量加法 的平行四边形法则求下列向量的和: A F (1) AB AF; (2) OB OD; (3) BO OC ; (4) BC DE . B 解: (1) AB AF AO . (2) OB OD OC . (3) BO OC OE OC OD. (4) BC DE OD OF OE .
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算在数学中，平面向量是向量的一种，它在平面内具有长度和方向，可以用有向线段表示。
平面向量之间可以进行线性运算，包括加法和数乘。
本文将详细介绍平面向量的线性运算及其性质。
一、平面向量的定义平面向量是指具有大小和方向的向量，它们通常用加粗的小写字母表示，如a、a等。
平面向量可以用有向线段表示，线段的起点表示向量的起点，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
二、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个平面向量a和a，它们的加法定义为：a + a = a + a这意味着向量的加法满足交换律，顺序不影响结果。
加法的几何解释为将两个向量的起点相连，然后将它们的箭头相连，新向量的起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。
三、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
设有一个平面向量a和一个实数a，它们的数乘定义为：aa = aa数乘有以下性质：1. 数乘满足结合律：(aa)a = a(aa)，其中a和a为实数。
2. 数乘满足分配律：(a + a)a = aa + aa，其中a和a为实数。
3. 数乘满足分配律：a(a + a) = aa + aa，其中a为实数，a和a为平面向量。
四、线性组合线性组合是指将一组向量与一组实数相乘并求和得到一个新的向量。
设有a个平面向量a₁、a₂、...、aa和a个实数a₁、a₂、...、aa，它们的线性组合定义为：a₁a₁ + a₂a₂ + ... + aaaa线性组合是向量加法和数乘的联合运算，这个概念在线性代数中具有重要的应用。
五、线性运算的性质1. 交换律：向量加法满足交换律，即a + a = a + a。
2. 结合律：向量加法满足结合律，即(a + a) + a = a + (a + a)，其中a、a和a为平面向量。
3. 分配律：向量加法和数乘满足分配律，即a(a + a) = aa + aa，(a + a)a = aa + aa，其中a、a为实数，a和a为平面向量。
2.2平面向量的线性运算
2.2 平面向量的线性运算教案 A第1课时教学目标一、知识与技能1．掌握向量的加减法运算，并理解其几何意义.2．会用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量，培养数形结合解决问题的能力.3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加减法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；二、过程与方法1．位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，由此引入本课题．2．运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加减法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明，同时运用他们进行相关计算，这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解．三、情感、态度与价值观1．通过本节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识．2．体会数学在生活中的作用．培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力．教学重点、难点教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量．教学难点：理解向量加减法的定义．教学关键：向量加法的三角形法则和平行四边形法则的探究引导.教学突破方法：由物理中力的合成与分解拓展延伸，引导学生探讨得到结论．教法与学法导航教学方法；启发诱导，讲练结合．学习方法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法．借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义．结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则．联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律．教学准备教师准备：多媒体或实物投影仪、尺规．学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断．数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？这一节，我们将借助于物理中位移的合成、力的合成来学习向量的加法和减法．二、主题探究，合作交流1提出问题：1.类比数的加法，猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？2.向量加法的法则是什么？3.与数的运算法则有什么不同？师生互动：向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成，如图．某对象从A点经B点到C点，两次位移AB、BC的结果，与A点直接到C点的位移AC结果相同．力也可以合成，老师引导，让学生共同探究如下的问题.数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法．讨论结果：1.向量加法的定义：如下图，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．2.向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则．运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量．位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线OC就是a与b 的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．对于零向量与任一向量a，我们规定a+0=0+a=a．提出问题1.两共线向量求和时，用三角形法则较为合适．当在数轴上表示两个向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？232. 思考|a +b |，|a |，|b |存在着怎样的关系？3. 数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算．类似地，向量的加法是否也有运算律呢？师生互动：观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系．数的加法满足交换律与结合律，即对任意a ，b ∈R ，有a +b =b +a ，（a +b ）+c =a +（b +c ）．任意向量a ，b 的加法是否也满足交换律和结合律？引导学生画图进行探索．讨论结果：1. 两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段．2. 当a ，b 不共线时，|a +b |<|a |+|b |（即三角形两边之和大于第三边）; 当a ，b 共线且方向相同时，|a +b |=|a |+|b |;当a ，b 共线且方向相反时，|a +b |=|a |-|b |（或|b |-|a |）．其中当向量a 的长度大于向量b 的长度时，|a +b |=|a |-|b |;当向量a 的长度小于向量b 的长度时，|a +b |=|b |-|a |．一般地，我们有|a +b |≤|a |+|b |．3. 如下左图，作AB =a ，AD =b ，以AB 、A D 为邻边作ABC D ，则BC =b ，DC =a ．因为AC =AB +AD =a +b ，AC =AD +DC =b +a ，所以a +b =b +a ．如上右图，因为AD =AC +CD =（AB +BC ）+CD =（a +b ）+c ，AD =AB +BD =AB +（BC +CD ）=a +（b +c ），所以（a +b ）+c =a +（b +c ）． 综上所述，向量的加法满足交换律和结合律．提出问题①如何理解向量的减法？②向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？师生互动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？引导学生思考，相反向量有哪些性质？由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a 和-a 互为相反向量．于是-（-a ）=a ．我们规定，零向量的相反向量仍是零向量． 任一向量与其相反向量的和是零向量，即a +（-a ）=（-a ）+a =0．所以，如果a 、b 是互为相反的向量，那么a =-b ，b =-a ，a +b =0．A.平行四边形法则如上图，设向量AB=b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+（-b）=a-b．又b+BC=a，所以BC=a-b．由此，我们得到a-b的作图方法．B.三角形法则如上图，已知a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．讨论结果：①向量减法的定义．我们定义a-b=a+（-b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．规定：零向量的相反向量是零向量．②向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．三、拓展创新，应用提高例1如下左图，已知向量a、b，求作向量a+b．活动：教师引导学生，让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．在向量加法的作图中，学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性．在向量作图时，一般都需要进行向量的平移，用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连．解：作法一：在平面内任取一点O（上中图），作OA=a，AB=b，则OB=a+b．作法二：在平面内任取一点O（上右图），作OA=a，OB=b．以OA、OB 为邻边作OACB，连接OC，则OC=a+b．例3如图（1）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图（2），在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．则BA=a-b，DC=c-d．45例4 如图，ABC D 中， AB =a ，AD =b ，你能用a 、b 表示向量AC 、DB 吗？活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC =a +b ， 同样，由向量的减法，知DB =AB -AD =a -b ．四、小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：向量的加法定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，几何作图，向量加法的实际应用．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法：特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法．课堂作业1．下列等式中，正确的个数是（ ）①a +b =b +a ②a -b =b ③0-a =-a ④-（-a ）=a ⑤a +（-a ）=0 A ．5 B ．4 C ．3 D ．22．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF -DB 等于（ ）A ．FDB ．FC C ．FED ．BE 3．下列式子中不能化简为AD 的是（ ）A ．（AB +CD ）+BC B ．（AD +MB ）+（BC +CM ） C ．BM AD MB -+ D ．OC -OA +CD4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内一点，若OA +OB +OC =0，则O 是△ABC 的（ ） A ．重心 B ．垂心 C ．内心 D ．外心 参考答案：1．C 2．D 3．C 4．A .第2课时教学目标一、知识与技能1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律．2．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．二、过程与方法充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量（特别地0·a=0），它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa与a方向相同，当λ<0时，λa与a方向相反；向量共线定理用来判断两个向量是否共线．然后对所探究的结果进行运用拓展．三、情感、态度与价值观通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．教学重点、难点教学重点：实数与向量积的意义、两个向量共线的等价条件及其运用．教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用．教学关键：两个向量共线的等价条件的探究过程的引导.教学突破方法：从向量共线的定义出发，引导学生分组讨论，得出结果．教法与学法导航教学方法：问题式教学，启发诱导．学习方法：合作探讨，在向量加减法的基础上进行推广．教学准备教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课前一节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a+a+a=3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算．二、主题探究，合作交流提出问题：①探究：已知非零向量a，试一试作出a+a+a和（-a）+（-a）+（-a）．②你能说明它们的几何意义吗？③引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？师生互动：引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a=0，而不是0·a=0．这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ+a，λ-a都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：（λ+μ）a=λa+μa和λ（a+b）=λa+λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行（共线），实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．67对问题①，学生通过作图可发现，OC =OA +AB +BC =a +a +a ．类似数的乘法，可把a +a +a 记作3a ，即OC =3a ．显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍，即|3a |=3|a |．同样，由下图可知，PN =MN QM PQ ++=（-a ）+（-a ）+（-a ）， 即（-a ）+（-a ）+（-a ）=3（-a ）．显然3（-a ）的方向与a 的方向相反，3（-a ）的长度是a 的长度的3倍，这样，3（-a ）=-3a ．对问题②，上述过程推广后即为实数与向量的积．我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （1） |λa |=|λ||a |； （2） 当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反．由（1）可知，λ=0时，λa =0． 根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律． 实数与向量的积的运算律： 设λ、μ为实数，那么 （1）λ（μa ）=（λμ）a ； （2）（λ+μ）a =λa +μa ； （3）λ（a +b ）=λa +λb ．特别地，我们有（-λ）a =-（λa ）=λ（-a ），λ（a -b ）=λa -λb ．对问题③，向量共线的等价条件是：如果a （a ≠0）与b 共线，那么有且只有一个实数λ，使b =λa ．推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下：对于向量a （a ≠0）、b ，如果有一个实数λ，使b =λa ，那么由向量数乘的定义，知a 与b 共线．反过来，已知向量a 与b 共线，a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即|b |=μ|a |，那么当a 与b 同方向时，有b =μa ；当a 与b 反方向时，有b =-μa ．关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a ≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：（1）有一个为零向量；（2）两个都为零向量；（3）同向且模相等；（4）同向且模不等；（5）反向且模相等；（6）反向且模不等．讨论结果：①数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a |确定． ②它的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a 的反方向放大或缩小．③向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．三、拓展创新，应用提高 例1 计算： （1）（-3）×4a ；（2）3（a+b）-2（a-b）-a；（3）（2a+3b-c）-（3a-2b+c）．活动：本例是数乘运算的简单应用，可让学生自己完成，要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律．教学中，点拨学生不能将本题看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点．同时向学生点出，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）=λμ1a±λμ2b．解：（1）原式=（-3×4）a=-12a；（2）原式=3a+3b-2a+2b-a=5b；（3）原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c．点评：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”．例2如图，已知任意两个非零向量a、b，试作OA=a+b，OB=a+2b，OC=a+3b．你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？活动：本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教学中可以先引导学生作图，通过观察图形得到A、B、C三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线．本题只要引导学生理清思路，具体过程可由学生自己完成．另外，本题是一个很好的与信息技术整合的题材，教学中可以通过计算机作图，进行动态演示，揭示向量a、b变化过程中，A、B、C三点始终在同一条直线上的规律．解：分别作向量OA、OB、OC过点A、C作直线AC（如上图）．观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线．事实上，因为AB=OB-OA=a+2b-（a+b）=b，而AC=OC-OA=a+3b-（a+b）=2b，于是AC=2AB．所以A、B、C三点共线．点评：关于三点共线问题，学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先证明两个向量共线，并且有公共点．教师引导学生解完后进行反思，体会向量证法的新颖独特．例3 如图，ABC D的两条对角线相交于点M，且AB=a，AD=b，你能用a、b表示MA MB MC、、和MD吗？89活动：本例的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素（点、线段等）是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点．解：在ABC D 中，∵AC =AB +AD =a +b ，DB =AB -AD =a -b ， 又∵平行四边形的两条对角线互相平分， ∴MA =21-AC =21-（a +b ）=21-a -21b ， MB =21DB =21（a -b ）=21a -21b ，MC =21AC =21a +21b ，MD =MB -=-21DB =-21a +21b ．点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键．四、小结1．让学生回顾本节学习的数学知识：向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量共线的条件． 2．体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般、归纳、猜想、类比、分类讨论、等价转化． 课堂作业1．31[21（2a +8b ）-（4a -2b ）]等于（ ） A ．2a -b B ．2b -a C ．b -a D ．a -b2．设两非零向量e 1、e 2不共线，且k e 1+e 2与e 1+k e 2共线，则k 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．0 3．若向量方2x -3（x -2a ）=0，则向量x 等于（ ）A ．56a B ．-6a C ．6a D ．56-a 4．在△ABC 中，AE =51AB ，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB =a ，AC =b ，则BF 用a 、b 表示的形式是BF =_________．5．在△ABC 中，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、CA 边上的靠近A 、B 、C 的三等分点，O 是△ABC 平面上的任意一点，若OA +OC OB +=31e 1-21e 2，则OP ON OM ++=________．106．已知△ABC 的重心为G ，O 为坐标原点，OA =a ，OB =b ，OC =c ， 求证：OG =31（a +b +c ）．参考答案：1.B2. C3. C 4．-a +51b 5．31e 1-21e 2． 6．连接A G 并延长，设A G 交BC 于M ． ∵AB =b -a ，AC =c -a ，BC =c -b ，∴AM =AB +21BC =（b -a ）+21（c -b ）=21（c +b -2a ）． ∴AG =32AM =31（c +b -2a ）．∴OG =OA +AG =a +31（c +b -2a ）=31（a +b +c ）．。
2.2向量的线性运算(习题)
∴四边形ABCD为菱形
B 能力提升
1.点是正六边形的中心, = , = ,试用向量、表示向量、、.
E
解：
D
= ; = =
∴ = + = +
C
F
OБайду номын сангаас
A
∴ = = ( + )
解：
= (, ); = (, −)
() + = (, ) + (, −)
= (, −)
() − = (, ) − (, −)
= (−, )
()( + ) = (, −)
7.根据下列条件判断四边形ABCD的形状,并证明你的结论.
() = ; () = 且|| = || ; () = 且|| = ||.
解：
() =
() =
∴ //, =
∴ //, =
∴四边形ABCD为平行四边形
∴四边形ABCD为梯形
又 ∵ || = ||
∴四边形ABCD为距形
() =
∴ //, =
∴四边形ABCD为平行四边形
4.(1)如图,向量、不共线,试比较| + |与|| + ||的大小.
(2)对于任意向量、,讨论在什么情况下,| + | = || + ||.
解：
()| + | < || + ||
()当、方向相同时, | + | = || + ||
(3) − ( + ).
解：原式= − −
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是平面上的有向线段，可以进行各种线性运算，包括加法、减法、数乘、内积和外积。
本文将详细介绍平面向量的线性运算。
一、平面向量的定义平面向量是平面上具有大小和方向的有向线段，通常用箭头表示，例如，向量AB用→AB表示，A为向量的起点，B为向量的终点。
平面向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
二、平面向量的加法设有平面向量→AB和→CD，它们的和向量为→AD=→AB+→CD。
向量的加法满足交换律，即→AB+→CD=→CD+→AB。
加法运算的几何解释是将向量→CD以→AB为起点进行平移，得到以A为起点，D为终点的向量→AD。
三、平面向量的减法设有平面向量→AB和→CD，它们的差向量为→AC=→AB-→CD。
向量的减法满足非交换律，即→AB-→CD≠→CD-→AB。
减法运算的几何解释是将向量→CD以→AB的起点为终点进行平移，得到以A为起点，C为终点的向量→AC。
四、平面向量的数乘对于平面向量→AB，实数k，k×→AB为平面向量的数乘。
数乘的结果是一个新的平面向量，它的长度为原向量的长度乘以数乘系数k，方向与原向量相同（当k>0时），或相反（当k<0时）。
五、平面向量的内积两个向量→AB和→CD的内积记作→AB·→CD，它等于向量→AB在→CD上的投影长度与→CD的模长之积，即|→AB|×|→CD|×cosθ，其中θ为→AB和→CD的夹角。
内积运算满足交换律，即→AB·→CD=→CD·→AB；和分配律，即(→AB+→CD)·→EF=→AB·→EF+→CD·→EF。
内积运算可以用来判断两个向量是否垂直，当且仅当向量的内积为0时，它们垂直。
六、平面向量的外积两个向量→AB和→CD的外积记作→AB×→CD，它是一个新的向量，它的模长等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于所构成平行四边形的平面，并按右手法则确定。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量。
它可以表示为一个箭头，并且可以用坐标表示。
平面向量的线性运算是指对平面向量进行加法和数乘的操作。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
如果有两个向量A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们的加法可以表示为：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)例如，如果有向量A(2, 3)和向量B(1, -2)，则它们的加法运算为：A +B = (2 + 1, 3 + (-2)) = (3, 1)二、平面向量的数乘平面向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘的操作。
如果有一个向量A和一个实数k，则它们的数乘可以表示为：kA = (kAx, kAy)例如，如果有向量A(2, 3)和实数k = 2，则它们的数乘运算为：2A = (2 × 2, 2 × 3) = (4, 6)三、平面向量的线性运算平面向量的线性运算是指对向量加法和数乘进行组合运算。
如果有两个向量A和B，以及两个实数k和m，则它们的线性运算可以表示为：kA + mB = (kAx + mBx, kAy + mBy)例如，如果有向量A(2, 3)、向量B(1, -2)和实数k = 2，m = 3，则它们的线性运算为：2A + 3B = (2 × 2 + 3 × 1, 2 × 3 + 3 × (-2)) = (7, 0)四、平面向量的性质平面向量的线性运算具有以下性质：1. 交换律：A + B = B + A2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 分配律：k(A + B) = kA + kB4. 结合分配律：(k + m)A = kA + mA这些性质使得平面向量的线性运算更加方便和灵活，可以简化运算过程并推导出更多的结论。
总结：平面向量的线性运算包括加法和数乘两种操作。
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义习题课件新人教A版必修4
思考题 2 已知 λ∈R，则下列命题正确的是( )
A．|λ a|＝λ|a| C．|λ a|＝|λ|·|a|
B．|λ a|＝|λ|·a D．|λ a|>0
【答案】 C
题型二 向量共线定理的应用 例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线： (1)若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)，求证：A、B、 D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 与 a＋kb 共线．
要点 2 向量数乘的运算律 设 a，b 为任意向量，λ 、μ 为任意实数，则有 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 要点 3 共线向量定理 向量 b 与非零向量 a 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 得 b＝λa．
1．向量与实数可以求积，能求加、减运算吗？ 答：不能，如 λ＋a，λ－a 无意义．
－λ，y＝λ，即 x＋y＝1. 【答案】 1
例 5 如图所示，D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量C→D ＝( )
A.B→C－12B→A B．－B→C＋12B→A C．－B→C－12B→A D.B→C－12B→A
【解析】 解法一 ∵D 是 AB 的中点，∴B→D＝12B→A， ∴C→D＝C→B＋B→D＝－B→C＋12B→A. 解法二 由C→D＝12(C→B＋C→A)＝12[C→B＋(C→B＋B→A)]＝C→B＋12 B→A＝－B→C＋12B→A. 【答案】 B
【解析】 (1)真命题，∵ 2>0，∴ 2a 与 a 同向． 又| 2a|＝ 2|a|，∴ 2a 的模是 a 的模的 2倍； (2)真命题．∵－3<0， ∴－3a 与 a 方向相反且|－3a|＝3|a|. 又∵6>0，∴6a 与 a 方向相同且|6a|＝6|a|. ∴－3a 与 6a 方向相反且模是 6a 的模的12；
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是解析几何中的重要概念，它不仅可以表示方向和大小，还可以进行各种运算。
其中，线性运算是指向量之间基于线性关系进行的运算，包括向量的加法、减法和数量乘法。
下面将详细介绍这些线性运算。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有向量A和向量A，它们的加法运算是指将向量A的终点与向量A的起点重合，将向量A的终点与此位置的终点相连接得到一个新的向量A。
表示为：A = A + A。
2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有向量A和向量A，它们的减法运算是指将向量A取反后与向量A进行加法运算，即A = A - A，等价于A = A + (-A)。
3. 数量乘法数量乘法是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
设有向量A和实数A，它们的数量乘法运算是指将向量A拉长或缩短，与实数A的绝对值成正比。
当A > 0时，方向与原向量相同；当A < 0时，方向与原向量相反。
表示为：AA。
在进行向量的线性运算时，需要特别注意以下几点：1. 矢量的起点和终点在进行向量的线性运算时，需要明确矢量的起点和终点。
起点表示向量的起始位置，终点表示向量的结束位置。
2. 向量的方向向量的方向是指从起点指向终点的方向。
加法和减法运算中，可以通过将向量的起点重合来确定新向量的方向。
3. 向量的大小向量的大小是指向量的长度或模。
表示为 |A|，可以通过勾股定理来计算：|A| = √(A²+A²)，其中A和A分别为向量的水平和垂直分量。
4. 向量的单位向量单位向量是指长度为1的向量。
可以通过将向量除以它的模来得到单位向量。
表示为：A = A/|A|。
5. 向量的平行和垂直性向量A与向量A平行等价于A = AA（A为实数），向量A与向量A垂直等价于A ·A = 0（·表示向量的数量积）。
通过以上介绍，我们了解了平面向量的线性运算和相关概念。
2.2_平面向量的线性运算2.2.1_向量加法运算及其几何意义
答案：8 2
北偏东 45°
答案：8 2 北偏东 45° 答案：8 2 北偏东 45°
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知识要点一：准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 1．两个法则的使用条件不同 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量 求和．
3．以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作▱OACB，则以 O 为起点的对角线 OC― →就是 a 与 b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 4．对任意两个向量 a、b，均有|a＋b|≤|a|＋|b|. 当 a、b 同向时有|a＋b|＝|a|＋|b|；当 a、b 反向时有|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)． 5．向量的加法满足交换律和结合律， 即 a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． a＋0＝0＋a＝a.
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知识要点二：向量 a＋b 与非零向量 a，b 的模及方向的关系 1．当向量 a 与 b 不共线时，a＋b 的方向与 a，b 都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|，几何背 景是三角形两边之和大于第三边． 2．当 a 与 b 同向时，a＋b 与 a，b 的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|. 3．当 a 与 b 反向时，若|a|≥|b|，则 a＋b 与 a 的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|. 若|a|＜|b|，则 a＋b 与 b 的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. 知识要点三：向量加法的运算律 1．向量加法的交换律：将 a 的起点移至 A 点，将 b 的起点移至 a 的终点，则由 a 的起 点 A 指向 b 的终点 C 的向量 AC― →＝a＋b；同样将 b 的起点移至 A 点，将 a 的起点移至 b 的终点，则由 b 的起点 A 指向 a 的终点 C′的向量 AC′― →＝b＋a，由平行四边形法则知 C 必然和 C′重合，即 a＋b＝b＋a. 2．向量的加法满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，就可以按照 任意的次序和任意的组合去进行．如(a＋b)＋(c＋d)＝(a＋d)＋(b＋c)． 3．向量加法运算满足：A1A2―→＋A2A3― →＋„＋An－ 1An― →＝A1An―→.
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义课后集训
2.2.1 向量加法运算及其几何意义课后集训基础达标1.在四边形ABCD中，CB+AD+BA等于（）A.DBB.CAC.CDD.DC解析：CB+AD+BA=（CB+BA）+AD=CA+AD=CD，故选 C.答案：C2.在△ABC中，必有AB+CA+BC等于（）A.0B.0C.任一向量D.与三角形形状有关解析：AB+CA+BC=AC+CA=0.故应选 B.答案：B3.如右图，在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则AF+BD( )A.FDB.FCC.FED.BE解析：由于D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴AF=DE则AF+BD=BD+DE=BE，故应选 D.答案：D4.已知正方形ABCD的边长为1（如右图），AB=a,AC=c,BC=b,则|a+b+c|等于（）2A.0B.3C.2D.2解析：如右图所示,a+b=c，2.∴｜a+b+c|=2|c|=2∴应选 D.答案：D5.如右图所示,O是四边形ABCD对角线的交点,若a+d=c+b则四边形ABCD形状为（）A.等腰梯形B.菱形C.平行四边形D.矩形解析：c+b=CB，a+d=d+a=DA∴DA=CB.∴ABCD为平行四边形.答案：C6.（1）CD+BC+AB=_______________;（2）OB+AO+OC+CO=_______________;（3）（AC+BA）+CB=_______________;（4）（AB+CB）+BD+DC=_______________.解析：（1）CD+BC+AB=CD+（AB+BC）=CD+AC=AC+CD=AD.（2）OB+AO+OC+CO=AO+OB=AB.（3）（AC+BA）+CB=AC+BA+CB=AC+（CB+BA）=AC+CA=0.（4）（AB+CB）+BD+DC=（AB+BD）+DC+CB=AD+DB=AB.答案：（1）AD（2）AB（3）0（4）AB综合运用7.下列各式中不能化简为AD的是（）A.（AB+CD）+BCB.（AD+MB）+（BC+CM）C.MB+AD+MBD.OC+AO+CD答案：C8.向量a、b满足|a|=6,|b|=10,则|a+b|的最大值是_____________，最小值是_____________.。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是平面上的有向线段，具有大小和方向，可以进行线性运算。
本文将介绍平面向量的加法、减法、数量乘法以及其他相关的线性运算。
一、平面向量的加法平面向量的加法满足以下性质：1. 交换律：对于任意两个向量a和b，a+b=b+a。
2. 结合律：对于任意三个向量a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
3. 零向量：对于任意向量a，存在一个特殊的向量0，称为零向量，满足a+0=a。
4. 相反向量：对于任意向量a，存在一个特殊的向量-b，称为a的相反向量，满足a+(-a)=0。
二、平面向量的减法平面向量的减法可以看作是向量加上其相反向量的过程。
即，对于任意向量a和b，a-b=a+(-b)。
三、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法即将一个向量乘以一个实数。
具体来说，对于任意向量a和实数k，ka是一个新的向量，满足以下性质：1. 数量乘法的结合律：对于任意向量a和实数k、l，(kl)a=k(la)。
2. 数量乘法与向量加法的分配律：对于任意向量a和实数k、l，(k+l)a=ka+la。
3. 数量乘法与实数加法的分配律：对于任意向量a和实数k、l，(k+l)a=ka+la。
4. 数量乘法与实数乘法的分配律：对于任意向量a和实数k、l，(kl)a=k(la)。
四、线性组合线性组合是指将若干个向量按照一定比例进行加法和数量乘法运算得到的向量。
具体来说，对于给定的向量a1、a2、...、an和实数k1、k2、...、kn，线性组合为k1a1+k2a2+...+knan。
五、平面向量的点积平面向量的点积也称为数量积或内积。
对于任意向量a和b，其点积记作a·b，满足以下性质：1. 交换律：对于任意向量a和b，a·b=b·a。
2. 分配律：对于任意向量a、b和c，(a+b)·c=a·c+b·c。
3. 结合律：对于任意向量a和b以及实数k，(ka)·b=k(a·b)=a·(kb)。
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2.2 平面向量的线性运算
一、学习目标
1.理解向量的线性运算的运算对象、运算法则、运算结果、运算律；
2.理解向量线性运算的几何意义；
二、学习过程
1.静思独学，初探问题
通读教材P74-P76，并回答下列问题：
问题一：什么是向量的和？向量的加法法则有哪些？
问题二：向量的减法是怎样定义的？
问题三：什么是向量的数乘运算？其中方向与大小是怎样规定的？
问题四：向量加法、数乘运算各有哪些运算律？
导学案P112自主测评1—4；P117自主测评1—4；P123自主测评1—4.
2.群思互学，展示共学
导学案P113展题2、展题3，P118展题1、P125展题3
3.悟道善学
（1）归纳总结
（2）应用演练，再生新疑
导学案P115拓展创新9，12；P120拓展创新9,11；P126拓展创新12
三、小结与作业
教材习题2.2，导学案P115的1—8，P119的1—8，P125的1-8.。