高考数学(文)一轮对点训练：9-2-3圆与圆的位置关系答案解析
高中数学圆与圆的位置关系总结练习含答案解析S
2.2.3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系及判定1.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系外离外切相交内切内含公共点个数0 ①② 1 02.设两圆半径分别为r1,r2,圆心距为d,则两圆相交时,r1,r2,d的关系为③.两圆外切时,r1,r2,d的关系为④.3.设两圆方程分别为x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,联立得{x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,方程组有两组不同实数解⇔两圆⑤,有⑥实数解⇔两圆相切,无实数解⇔两圆外离.圆系方程的应用1.(2014湖北黄冈期中,★☆☆)圆C1:x2+y2+4x-4y+4=0与圆C2:(x-2)2+(y-5)2=9的公切线有条.思路点拨求出圆心距,即可得出结论.2.(2013江苏白蒲模拟,★★☆)求圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0交点的圆的方程.思路点拨本题解法较多,可考虑利用公共弦求解,也可以利用圆系方程求解.3.(2014江苏建湖中学训练,★★☆)已知圆M:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0与圆N:x2+y2+2x+2y-2=0交于A,B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆心M的轨迹方程,并求圆M的半径最小时的方程.思路点拨从几何性质入手分析,抓住圆心和半径分析圆的方程.4.(2013苏南四校月考,★★★)已知☉O:x2+y2=1和点M(4,2).(1)过点M向☉O引切线l,求直线l的方程;(2)求以点M为圆心,且被直线y=2x-1截得的弦长为4的☉M的方程;(3)设P为(2)中☉M上任一点,过点P向☉O引切线,切点为Q.试探究:平面内是否存在一定点R,使得PQPR为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.一、填空题1.已知圆O1:x2+y2-2x-4y+4=0与圆O2:x2+y2-8x-12y+36=0,两圆的位置关系为.2.圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值为.3.若a2+b2=4,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是.4.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是.5.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是.6.点P在圆x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是.7.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2},且M∩N=N,则r的取值范围是.8.设A={(x,y)|y=√2a2-x2,a>0},B={(x,y)|(x-1)2+(y-√3)2=a2,a>0},若A∩B≠⌀,则a的最大值为.9.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为.10.圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在直线被圆C3:(x-1)2+(y-1)2=254截得的弦长是.二、解答题11.试分别确定圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0与C2:x2+y2-2x-14y+k=0(k<50)外切、内切、相交、内含、外离时,k的取值范围.12.已知圆x2+y2-4ax+2ay+20(a-1)=0(a≠2).(1)求证:对于任意实数a(a≠2),该圆过定点;(2)若该圆与圆x2+y2=4相切,求实数a的值.知识清单①1 ②2 ③|r 1-r 2|<d<r 1+r 2 ④d=r 1+r 2 ⑤相交 ⑥两组相同链接高考1.答案 3解析 C 1(-2,2),r 1=2,C 2(2,5),r 2=3,|C 1C 2|=√(-2-2)2+(2-5)2=5,∵|C 1C 2|=r 1+r 2,∴圆C 1与圆C 2外切.所以圆C 1与圆C 2有3条公切线.2.解析 解法一:由{x 2+y 2-4x -6=0,x 2+y 2-4y -6=0,得到两圆公共弦所在直线方程为y=x, 由{y =x ,x 2+y 2-4y -6=0, 解得{x 1=-1,y 1=-1或{x 2=3,y 2=3.∴圆x 2+y 2-4x-6=0和x 2+y 2-4y-6=0的交点分别为A(-1,-1)、B(3,3), 线段AB 的垂直平分线方程为y-1=-(x-1). 由{y -1=-(x -1),x -y -4=0,得{x =3,y =-1. ∴所求圆的圆心为(3,-1), 半径为√(3-3)2+[3-(-1)]2=4. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 解法二:由解法一,求得A(-1,-1)、B(3,3). 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,由{a -b -4=0,(-1-a )2+(-1-b )2=r 2,(3-a )2+(3-b )2=r 2,得{a =3,b =-1,r 2=16. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 解法三:设经过两圆交点的圆系方程为 x 2+y 2-4x-6+λ(x 2+y 2-4y-6)=0(λ≠-1), 即x 2+y 2-41+λx-4λ1+λy-6=0. ∴圆心坐标为(21+λ,2λ1+λ),又∵圆心在直线x-y-4=0上, ∴21+λ-2λ1+λ-4=0,即λ=-13,∴所求圆的方程为x 2+y 2-6x+2y-6=0.3.解析 两圆方程相减,得公共弦AB 所在的直线方程为2(m+1)x+2(n+1)y-m 2-1=0, 由于A,B 两点平分圆N 的圆周,所以A,B 为圆N 直径的两个端点, 即直线AB 过圆N 的圆心N,而N(-1,-1),所以-2(m+1)-2(n+1)-m 2-1=0, 即m 2+2m+2n+5=0,即(m+1)2=-2(n+2)(n≤-2), 又圆M 的圆心M(m,n),所以圆心M 的轨迹方程为(x+1)2=-2·(y+2)(y≤-2), 又圆M 的半径r=2+1≥√5(n≤-2), 当且仅当n=-2,m=-1时半径取得最小值,∴当圆M 的半径最小时,圆M 的方程为x 2+y 2+2x+4y=0.4.解析 (1)显然,直线l 的斜率存在.设切线l 的方程为y-2=k(x-4),易得√k 2+1=1,解得k=8±√1915. ∴切线l 的方程为y-2=8±√1915(x-4). (2)圆心到直线y=2x-1的距离为√5,设圆M 的半径为r,则r 2=22+(√5)2=9,∴☉M 的方程为(x-4)2+(y-2)2=9.(3)假设存在这样的点R(a,b),设点P 的坐标为(x,y),相应的定值为λ(λ>0), 根据题意及勾股定理可得PQ=√x 2+y 2-1, ∴√x 2+y 2√(x -a )+(y -b )=λ,即x 2+y 2-1=λ2(x 2+y 2-2ax-2by+a 2+b 2),(*) 又点P 在☉M 上, ∴(x -4)2+(y-2)2=9,即x 2+y 2=8x+4y-11,代入(*)式得,8x+4y-12=λ2[(8-2a)x+(4-2b)y+(a 2+b 2-11)].若系数对应相等,则等式恒成立,∴{λ2(8-2a )=8,λ2(4-2b )=4,λ2(a 2+b 2-11)=-12,解得a=2,b=1,λ=√2或a=25,b=15,λ=√103, ∴可以找到这样的定点R,使得PQPR 为定值.当点R 的坐标为(2,1)时,比值为√2; 当点R 的坐标为(25,15)时,比值为√103.基础过关一、填空题 1.答案 外切解析 由题意得圆的半径分别为1,4,圆心距为√(4-1)2+(6-2)2=5=4+1,故两圆外切. 2.答案 2或-5解析 圆C 1:(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2,m),半径为3;圆C 2:(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m,-1),半径为2.依题意有√(-2-m )2+(m +1)2=3+2, 即m 2+3m-10=0, 解得m=2或m=-5. 3.答案 外切解析 ∵两圆的圆心分别为O 1(a,0),O 2(0,b),半径r 1=r 2=1,∴O 1O 2=√a 2+b 2=2=r 1+r 2,则两圆外切. 4.答案 (x±4)2+(y-6)2=36解析 设所求圆的圆心为(a,6),由两圆内切,得√a 2+(6-3)2=6-1,解得a=±4,则此圆的方程是(x±4)2+(y-6)2=36.5.答案 (x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9解析 动圆圆心的轨迹是以已知圆的圆心(5,-7)为圆心,以3或5为半径的圆. 6.答案 3√5-5解析 (x-4)2+(y-2)2=9的圆心为C 1(4,2),半径为r 1=3;(x+2)2+(y+1)2=4的圆心为C 2(-2,-1),半径为r 2=2.又|C 1C 2|=3√5,显然两圆外离,所以|PQ|的最小值是3√5-5. 7.答案 (0,2-√2]解析 由于M∩N=N,故圆(x-1)2+(y-1)2=r 2在圆x 2+y 2=4内部,当两圆内切时,√2=2-r,则r=2-√2,因此r 的取值范围是(0,2-√2].8.答案2(√2+1)解析A表示以O(0,0)为圆心,√2a为半径的半圆,B表示以O'(1,√3)为圆心,a为半径的圆.∵A∩B≠⌀,即半圆O与圆O'有公共点,则当两圆内切时,a最大,即√2a-a=OO'=2,∴a的最大值为2(√2+1).9.答案√7解析记直线y=x+1上任意一点与圆心的距离为h,记切线长为l,则始终有等量关系h2=l2+1.故当h取得最小值时,切线长取最小值,易知h的最小值即为圆心到直线y=x+1的距离,故hmin=2√2,此时l=√7.10.答案√23解析圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为x2+y2-1-(x2+y2-2x-2y+1)=0,即x+y-1=0.圆心C3到直线x+y-1=0的距离d=√2=√22,所以所求弦长为2√r2-d2=2√254-12=√23.二、解答题11.解析将两圆的一般方程化为标准方程,C1:(x+2)2+(y-3)2=1,C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k.圆C1的圆心为C 1(-2,3),半径r1=1;圆C2的圆心为C2(1,7),半径r2=√50-k(k<50).从而圆心距d=√(-2-1)2+(3-7)2=5.当两圆外切时,d=r1+r2,即1+√50-k=5,解得k=34;当两圆内切时,d=|r1-r2|,即|1-√50-k|=5,解得k=14;当两圆相交时,|r1-r2|<d<r1+r2,即|1-√50-k|<5<1+√50-k,解得14<k<34;当两圆内含时,d<|r1-r2|,即|1-√50-k|>5,解得k<14;当两圆外离时,d>r1+r2,即1+√50-k<5,解得34<k<50.12.解析(1)证明:将圆的方程整理得(x2+y2-20)+a(-4x+2y+20)=0,此方程表示过圆x2+y2=20与直线-4x+2y+20=0的交点的圆系.解方程组{x2+y2=20,-4x+2y+20=0得{x=4,y=-2,所以该圆恒过定点(4,-2).(2)圆的方程可化为(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2(a≠2).若两圆外切,则2+√5(a -2)2=√(2a -0)2+(-a -0)2,解得a=1+√55. 若两圆内切,则|2-√5(a -2)2|=√(2a -0)2+(-a -0)2,解得a=1-√55或a=1+√55(舍去). 综上所述,a=1±√55.。
与圆有关综合问题-高考数学一题多解
与圆有关综合问题-高考数学一题多解一、攻关方略1.求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．2.点与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到该点的距离d 与圆的半径r 比较；（2）代数法：直接利用下面的不等式判定：①22200()()x a y b r -+->，点在圆外；②22200()()x a y b r -+-=，点在圆上；③22200()()x a y b r -+-<，点在圆内．3.判断二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=是否表示圆的方法：（1）利用圆的一般方程的定义，求出224D E F +-利用其符号（2）将方程配方化为()()22x a y b m -+-=的形式，根据m 的符号判断．4.应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：5.求与圆有关的轨迹方程的常用方法：（1）直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：（2）定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程．（3）相关点法：若动点(,)P x y 随着圆上的另一动点11(),Q x y 运动而运动，且11,x y 可用,x y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．【典例】【2022·高考数学甲卷文科第14题】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．【针对训练】2．已知圆的圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)，则圆的一般方程为________________.3．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=C 的方程为__________.【2022年全国乙卷（文数）第15题】4．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．（2022年新高考全国I 卷）5．写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程________________．6．由圆229x y +=外一点(5,12)P 引圆的割线交圆于A B ，两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.7．已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若||AB =，则||CD =__________．8．设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若AB =C 的面积为________9．在平面内，定点,,,A B C D 满足||||||DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点P ，M 满足||1AP = ，PM MC =，则2||BM 的最大值是（）A ．434B ．494C D 10．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于________.11．设m ，n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是．A ．[1+B ．(),11⎡-∞+∞⎣C ．[22-+D ．(),22⎡-∞-++∞⎣参考答案：1．22(1)(1)5x y -++=【分析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】[方法一]：三点共圆∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上，∴点M 到两点的距离相等且为半径R ，R ，222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y -++=[方法二]：圆的几何性质由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线210x y +-=的交点(1,-1).R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y -++=2．x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0【分析】方法一：设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案；方法二：求出线段AB 的垂直平分线方程，联立x －2y －3＝0求出圆心坐标，进而计算出半径，写出圆的标准方程，化为一般方程.【详解】方法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得:()()()()2222222325230a b r a b r a b ⎧-+--=⎪⎪--+--=⎨⎪--=⎪⎩,解得：21,2,10,a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.方法二：线段AB 的中点坐标为2235,22---⎛⎫⎪⎝⎭，即()0,4-，直线AB 的斜率为531222-+=--，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为-2，所以线段AB 的垂直平分线方程为42y x +=-，即2x ＋y ＋4＝0，由几何性质可知：线段AB 的垂直平分线与230x y --=的交点为圆心，联立240,230,x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得交点坐标()1,2O --，又点O 到点A 的距离d =，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.故答案为：x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.3．22(2)9.x y -+=【详解】试题分析：设(,0)(0)C a a >2,3a r ===，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=【考点】直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：（1）代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．（2）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆的位置关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．4．()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【分析】方法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，（1）若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；（2）若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；（3）若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设()()()()0,04,01,14,2A B C D -点，，，（1）若圆过、、A B C 三点，圆心在直线2x =，设圆心坐标为(2,)a ，则()224913,a a a r +=+-⇒=22(2)(3)13x y -+-=；（2）若圆过A B D 、、三点，设圆心坐标为(2,)a，则2244(2)1,a a a r +=+-⇒==22(2)(1)5x y -+-=；（3）若圆过A C D 、、三点，则线段AC 的中垂线方程为1y x =+，线段AD 的中垂线方程为25y x =-+，联立得47,33x y r ==⇒=，所以圆的方程为224765()()339x y -+-=；（4）若圆过B C D 、、三点，则线段BD 的中垂线方程为1y =，线段BC 中垂线方程为57y x =-，联立得813,155x y r ==⇒=，所以圆的方程为()228169()1525x -y +-=．故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．5．3544y x =-+或7252424y x =-或=1x -【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ++=，1=4.=故221c b =+①，|34||4|.b c c ++=于是344b c c ++=或344b c c ++=-，再结合①解得01b c =⎧⎨=⎩或247257b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4353b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.x y +-=(填一条即可)[方法二]：设圆221x y +=的圆心(0,0)O ，半径为11r =，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径24r =，则12||5OC r r ==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x +=符合题意；又由方程22(3)(4)16x y -+-=和221x y +=相减可得方程3450x y +-=，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y -=，直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3--，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+1=，解得724k =，从而该切线的方程为724250.(x y --=填一条即可)[方法三]：圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为=1x -，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或=1x -.6．225120x y x y +--=，其中33x -<<．【分析】方法一：根据题设条件列出几何等式OM AB ⊥，再根据勾股定理或者数量积转化成代数等式，化简即可求出曲线方程.【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】直接法设弦AB 的中点M 的坐标为(,)M x y ,连接OP 、OM ,则OM AB ⊥．在OMP 中,由勾股定理有2222(5)(12)169x y x y ++-+-=，而(,)M x y 在圆内，所以弦AB 的中点M 的轨迹方程为225120(33)x y x y x +--=-<<.［方法2］：定义法因为M 是AB 的中点,所以OM AB ⊥,所以点M 的轨迹是以OP 为直径的圆,圆心为5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径为||1322OP =，所以该圆的方程为:222513(6)22x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得225120(33)x y x y x +--=-<<［方法3］：交轨法易知过P 点的割线的斜率必然存在，设过P 点的割线的斜率为k ,则过P 点的割线方程为:12(5)y k x -=-.∵OM AB ⊥且过原点,∴OM 的方程为1=-y x k这两条直线的交点就是M 点的轨迹.两方程相乘消去k ,化简,得:225120x y x y +--=，其中33x -<<.［方法4］：参数法设过P 点的割线方程为:12(5)y k x -=-,它与圆229x y +=的两个交点为A 、,B AB 的中点为M ，设()()1122(,),,,,M x y A x y B x y .由22(5)129y k x x y =-+⎧⎨+=⎩可得，()()()2221212512590k x k k x k ++-+--=，所以，()12221251k k x x k -+=-+，即有()21251k k x k -=-+，21251ky k -=+，消去k ，可求得M 点的轨迹方程为：225120x y x y +--=，33x -<<．［方法5］：点差法设()()1122(,),,,,M x y A x y B x y ,则12122,2x x x y y y +=+=.∵222211229,9x y x y +=+=.两式相减,整理,得()()()()212121120x x x x y y y y -+--+=.所以21122112y y x x xx x y y y-+=-=--+,即为AB 的斜率，而AB 的斜率又可表示为1212,55y y xx x y--∴=---,化简并整理,得225120x y x y +--=.其中33x -<<.【整体点评】方法一：直接根据轨迹的求法，建系、设点、列式、化简、检验即可解出，是该类型题的常规方法，也是最优解；方法二：根据题设条件,判断并确定轨迹的曲线类型,运用待定系数法求出曲线方程；方法三：将问题转化为求两直线的交点轨迹问题；方法四：将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数；方法五：根据曲线和方程的对应关系，点在曲线上则点的坐标满足方程，用点差法思想，设而不求．7．4【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m 的值，既而求得CD 的长可得答案.【详解】因为AB =且圆的半径为r =所以圆心()0,0到直线30mx y m ++=33=，解得m =l的方程，得3y x =+l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，4cos30ABCD ==︒．故答案为4【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．8．4π【详解】因为圆心坐标与半径分别为(0,),=C a rd =则2232a +=+，解之得22a =，所以圆的面积2(22)4πππ==+=S r ，应填答案4π．9．B【分析】根据题意得到ABC 为正三角形，且D 为ABC 的中心，结合题设条件求得2=DA，得到ABC 为边长为A 为原点建立直角坐标系，设(cos ,sin )P θθ，根据PM MC = ，得到3cos (2M θ+，进而求得23712sin()64BM πθ+-= ，即可求解.【详解】由题意知||||||DA DB DC == ，即点D 到,,A B C 三点的距离相等，可得D 为ABC 的外心，又由2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，可得()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=，所以DB AC ⊥，同理可得,DA BC DC AB ⊥⊥，所以D 为ABC 的垂心，所以ABC 的外心与垂心重合，所以ABC 为正三角形，且D 为ABC 的中心，因为21cos ()22DA DB DA DB ADB DA ⋅=∠=⨯-=- ，解得2=DA ，所以ABC 为边长为如图所示，以A 为原点建立直角坐标系，则(3,(2,0)B C D ，因为1AP =，可得设(cos ,sin )P θθ，其中[0,2]θπ∈，又因为PM MC = ，即M 为PC 的中点，可得3cos sin ()22M θθ+，所以2223712sin()3cos sin 3712496(3)(22444BM πθθθ+-++=-++=≤= .即2BM 的最大值为494.故选：B.10．43．【详解】试题分析：显然两切线1l ，2l 斜率都存在．设圆222x y +=过()1,3的切线方程为()31y k x -=-，则圆心()0,0到直线30kx y k -+-=的距离等于半径，=得127, 1.k k =-=由夹角公式得1l 与2l 的夹角的正切值：12124tan 13k k k k θ-==+．考点：1.直线与圆的位置关系（相切）；2.两直线的夹角公式．11．D【详解】试题分析：因为直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切,所以，即=++1mn m n ，所以()2+=++14m n mn m n ≤，所以+m n 的取值范围是(,2)-∞-⋃∞．考点：圆的简单性质；点到直线的距离公式；基本不等式．点评：做本题的关键是灵活应用基本不等式，注意基本不等式应用的前提条件：一正二定三相等．。
【2022高考数学一轮复习(步步高)】目录
第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。
2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系pptx课件北师大版
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,
判断直线与圆、圆与圆的位置 1.直线与圆的位置关系 直观想象
关系.
2.圆的切线与弦长问题 数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一
3.圆与圆的位置关系
些简单的数学问题与实际问题.
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方
典例突破
例1.(1)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法错误的
是(
)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2021北京人大附中模拟)已知圆C过点(-1,0)和(1,0),且与直线y=x-1只有
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——直线与圆、圆与圆的位置关系
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ＞r )，两圆圆心间的距离为d ，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离外切相交内切内含图形量的关系d ＞R ＋rd ＝R ＋rR －r ＜d ＜R ＋rd ＝R －rd ＜R －r公切线条数432101.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x ＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出x M＋x N和x M·x N，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M·x N.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(2021·绍兴一模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝3－m ，圆心为(1，2)，半径r ＝3－m (m <3).若直线l 与圆C 有公共点，则圆心(1，2)到直线l 的距离d ＝|3－m |2≤3－m ，解得1≤m <3. 因为{m |1≤m ≤2}{m |1≤m <3}，所以“1≤m ≤2”是“直线l ：x ＋y －m ＝0和圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的充分不必要条件.3.(2022·全国百校联盟质检)已知直线l ：x －2y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，则CA →·CB →＝( ) A.165 B.－165 C.125 D.－125 答案 D解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－4y ＝0得标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，故可得圆心C (0，2)，半径r ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋6＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝185.不妨设A (－2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，185，则CA →＝(－2，0)，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85，所以CA →·CB →＝－2×65＋0×85＝－125.4.(2021·洛阳模拟)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a .∵公共弦长为23， ∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.5.(易错题)若半径为r ，圆心为(0，1)的圆和定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切，则r 的值等于________. 答案2＋1或2－1解析 由题意，定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心为A (1，2)，半径R ＝1，半径为r 的圆的圆心为B (0，1)， 所以|AB |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.因为两圆相切，所以|AB |＝|R －r |或|AB |＝|R ＋r |， 即|1－r |＝2或 |1＋r |＝2， 解得r ＝1±2或r ＝－1±2. 因为r >0，所以r＝2＋1或r＝2－1.6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________.答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.∵|OA|＝（3－1）2＋（5－2）2＝13>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0.当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.考点一直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.2.(2022·成都诊断)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离D.不确定答案 A解析 法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交.法二 (几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.法三 易得直线l 过定点(1，1)， 把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<5， ∴点(1，1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.3.“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件.感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的弦长问题例1 (1)(2022·河南名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)B解析(1)根据题意，圆C：(x－a)2＋y2＝4的半径r＝2.圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆心C到直线x－y＋22－2＝0的距离为2，即|a＋22－2|2＝2，解得a＝2或a＝2－42(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝|2－4|2＝2，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为222－d2＝2 2.(2)圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC |＝22， 弦的长度l ＝2r 2－|MC |2＝29－8＝2.感悟提升 弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.训练1 (2022·南昌摸底测试)若直线x ＋ay －a －1＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当|AB |最小时，劣弧AB 的长为( ) A.π2 B.πC.2πD.3π答案 B解析 圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径r ＝2.直线的方程可化为x －1＋a (y －1)＝0，可知直线恒过点D (1，1). 因为点D (1，1)的坐标满足(1－2)2＋12<4， 所以点D (1，1)恒在圆C 内，且|CD |＝2，易知，当CD ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|CD |2＝2 2.此时，劣弧AB 对应的圆心角为π2，所以劣弧AB 对应的弧长为π2×2＝π. 考点三 圆的切线问题例2 (经典母题)过点P (2，4)引圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为________________.答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k －1＋4－2k |k 2＋（－1）2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0， 即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.迁移1 在例2中，若点P 坐标变为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1，其他条件不变，求切线方程.解 易知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上，则k PC ＝22＋1－122＋1－1＝1，∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，即x ＋y －2－2＝0.迁移2 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A ，B ，求切点弦AB 所在的直线方程.解 由题意得，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，此圆的方程为(x －2)(x －1)＋(y －4)(y －1)＝0，整理得x 2＋y 2－3x －5y ＋6＝0.①圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1展开得x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，② 由②－①得x ＋3y －5＝0，即为直线AB 的方程.感悟提升 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.训练2 (1)过直线y ＝2x ＋3上的点作圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )A.19B.2 5C.21D.555(2)(2021·晋中模拟)过点P (2，3)作圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y ＝2x ＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y ＝2x ＋3的距离d ，d ＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d 2－r 2＝19.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0得(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心C (1，0)，半径为1，所以|PC |＝2，|P A |＝|PB |＝3，∠APB ＝60°， 所以P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos 60°＝32. 考点四 圆与圆的位置关系例3 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为 (x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，故两圆的公共弦的长为2（11）2－（|4×1＋3×3－23|42＋32）2＝27.感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2022·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案(1)B(2)D解析(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3.因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足|P A |＝λ|PB |.则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.证明：设|AB |＝2m (m >0)，|P A |＝λ|PB |，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－m ，0)，B (m ，0).又设P (x ，y )，则由|P A |＝λ|PB |得（x ＋m ）2＋y 2＝λ（x －m ）2＋y 2， 两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m (λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2).当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2（λ2－1）2，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆. 例1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C (3，2). 由题意知切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3，圆心C 到切线的距离d ＝|3k ＋3－2|1＋k2＝r ＝1，得k ＝0或k ＝－34. 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |， 知x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4，即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又因为点M 也在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切，故1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2， 解得0≤a ≤125. 即圆心C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. 例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1，0)，B (3，0)，C (0，a )，D (0，a ＋2)，若存在点P ，使得|P A |＝2|PB |，|PC |＝|PD |，则实数a 的取值范围是________. 答案 [－22－1，22－1]解析设P(x，y)，则（x－1）2＋y2＝2·（x－3）2＋y2，整理得(x－5)2＋y2＝(22)2，即动点P在以(5，0)为圆心，22为半径的圆上运动. 另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝(22)2有交点.所以|a＋1|≤2 2.故实数a的取值范围是[－22－1，22－1].1.(2022·兰州质检)“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l与圆相切，则有|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，所以“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件.2.(2021·福州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8答案 B解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C解析圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|＝2，半径是22，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.24.(2021·南昌模拟)已知圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是()A.x2＋y2＝1B.(x－4)2＋(y－5)2＝16C.x＋y＝1D.x－y＝2答案 B解析圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(1，1)，半径r＝1.对于选项A，x2＋y2＝1表示的是圆心坐标为(0，0)，半径r1＝1的圆，此圆与圆O的圆心距为12＋12＝2<r＋r1＝2，所以两圆不相切，不符合题意.对于选项B，(x－4)2＋(y－5)2＝16表示的是圆心坐标为(4，5)，半径r2＝4的圆，此圆与圆O的圆心距为（4－1）2＋（5－1）2＝5＝r＋r2＝5，所以两圆相切.对于选项C，圆心(1，1)到直线x＋y＝1的距离为22<1，故直线x＋y＝1与圆O 相交.对于选项D，圆心(1，1)到直线x－y＝2的距离为2>1，故直线x－y＝2与圆O 相离.5.过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB 所在直线的方程为()A.y＝－34 B.y＝－12C.y＝－32 D.y＝－14答案 B解析由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－12.6.(2022·宜宾诊断)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B 两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()A.3＋6或3－ 6B.3＋26或3－2 6C.9或－3D.8或－2答案 A解析由题意知圆心C(0，3)到直线l的距离d＝|0－3＋m|3＋1＝|m－3|2.因为∠ACB＝120°，所以|m－3|2×2＝6，解得m＝3±6.7.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2 5解析根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝（－2－0）2＋（－1－3）2＝25，|AC|＝（－2－0）2＋（－1－m）2＝4＋（m＋1）2，|BC |＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2，解得m ＝－2.因此r ＝|AC |＝4＋（－2＋1）2＝ 5.8.(2021·长春模拟)已知点P (1，2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0为圆， 所以k 2＋4－4k 2>0，解得－233<k <233.又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故1＋4＋k ＋4＋k 2>0，解得k ∈R ，综上可知－233<k <233.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－233，233. 9.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______.答案 10 2解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，圆心(1，3)与E (0，1)距离（1－0）2＋（3－1）2＝5.由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.10.已知圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0，圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，且圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上.(1)求圆M 的方程；(2)证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l .(1)解 圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0的圆心为M (a ，－5a )，∵圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上，∴直线x ＋y ＋4＝0经过M ，则a －5a ＋4＝0，解得a ＝1.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0.(2)证明 ∵圆M 的圆心M (1，－5)，半径r 1＝52，圆N 的圆心N (－1，－1)，半径r 2＝10，∴|MN |＝（1＋1）2＋（－5＋1）2＝2 5.∵52－10<25<52＋10，∴圆M 和圆N 相交.由圆M ，圆N 的方程左右两边分别相减，得x －2y ＋4＝0，∴两圆公共弦的直线方程为x －2y ＋4＝0.∵M 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1＋10＋4|5＝35， ∴公共弦长度l ＝2h 2－d 2＝2 5.11.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)①AM →·AN →为定值，理由如下：过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7.根据圆的弦切角定理及相似三角形，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时，Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12.(2022·宝鸡模拟)过点P (x ，y )作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，切点分别为A ，B ，若|P A |＝|PB |，则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.8 答案 B解析 由(x 2＋y 2－1)－(x 2＋y 2－4x －4y ＋7)＝0得x ＋y －2＝0，则P 点在直线l ：x ＋y －2＝0上，原点到直线l 的距离d ＝2，所以(x 2＋y 2)min ＝d 2＝2.13.(2022·南阳联考)阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0，且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为________；P A →·PB →的最大值是________. 答案 12π 24＋16 3解析 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A (－2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝3，∴（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝3，得x 2＋y 2－8x ＋4＝0，即(x －4)2＋y 2＝12，所以点P 的轨迹为圆，其面积为12π.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝|OP |2－4，如图，当P 位于点D 时，|OP |2最大，|OP |2的最大值为(4＋23)2＝28＋163， 故P A →·PB →的最大值是24＋16 3.14.(2021·北京海淀区模拟)已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|P A |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解 (1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m <3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29， ∴|P A |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4； 令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝213，∴△MON内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.。
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5，即公共弦长为 2 5.
规律方法
圆与圆的位置关系的求解策略 1．判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离 与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． 2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差 消去x2，y2项得到．
对点练2.(1)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有
4．(用结论)过点(2,2)作圆(x－1)2＋y2＝5的切线，则切线方程为
A．x－2y＋2＝0
B．3x＋2y－10＝0
√C．x＋2y－6＝0
D．x＝2或x＋2y－6＝0
显然点(2,2)在圆上，由结论1可得切线方程为(2－1)·(x－1)＋(2－0)y＝5， 即x＋2y－6＝0.故选C．
5 ． ( 用 结 论 ) 圆 x2 ＋ y2 － 4 ＝ 0 与 圆 x2 ＋ y2 － 4x ＋ 4y － 12 ＝ 0 的 公 共 弦 长 为 _2__2_____．
(2)过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l： 2x＋4y－1＝0上的圆的方程为__x_2＋__y_2_－__3_x_＋__y_－__1_＝__0___．
设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，则(1 ＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标 1＋2 λ，λ1－＋1λ 代入 直线l，可得λ＝ 1 ，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
√C．相交
D．相切
法一：直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒
2023年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量9空间动态问题突破培优课练习含解析
空间动态问题突破题型一 空间位置关系的判定例1 (1)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝1，AB ＝x ，BD 和AC 交于点O ，将△BAD 沿直线BD 翻折，则下列说法中错误的是( )A ．存在x ，在翻折过程中存在某个位置，使得AB ⊥OC B ．存在x ，在翻折过程中存在某个位置，使得AC ⊥BD C ．存在x ，在翻折过程中存在某个位置，使得AB ⊥平面ACD D ．存在x ，在翻折过程中存在某个位置，使得AC ⊥平面ABD 答案 D解析 当AB ＝x ＝1时，此时矩形ABCD 为正方形，则AC ⊥BD ， 将△BAD 沿直线BD 翻折，若使得平面ABD ⊥平面BCD 时， 由OC ⊥BD ，OC ⊂平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以OC ⊥平面ABD ，又AB ⊂平面ABD ，所以AB ⊥OC ，故A 正确； 又OC ⊥BD ，OA ⊥BD ，且OA ∩OC ＝O ，OA ，OC ⊂平面OAC ， 所以BD ⊥平面OAC ，又AC ⊂平面OAC ，所以AC ⊥BD ，故B 正确； 在矩形ABCD 中，AB ⊥AD ，AC ＝1＋x 2， 所以将△BAD 沿直线BD 翻折时， 总有AB ⊥AD ，取x ＝12，当将△BAD 沿直线BD 翻折到AC ＝32时，有AB 2＋AC 2＝BC 2，即AB ⊥AC ，且AC ∩AD ＝A ，AC ，AD ⊂平面ACD ， 则此时满足AB ⊥平面ACD ，故C 正确；若AC ⊥平面ABD ，又AO ⊂平面ABD ，则AC ⊥AO ，所以在△AOC 中，OC 为斜边，这与OC ＝OA 相矛盾，故D 不正确.(2)(多选)(2022·烟台质检)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动，则下列判断中正确的是( )A ．平面PB 1D ⊥平面ACD 1 B ．A 1P ∥平面ACD 1C ．异面直线A 1P 与AD 1所成的角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π3D ．三棱锥D 1－APC 的体积不变 答案 ABD解析 对于A ，根据正方体的性质，易证DB 1⊥平面ACD 1， 又DB 1⊂平面PB 1D ，则平面PB 1D ⊥平面ACD 1，故A 正确；对于B ，连接A 1B ，A 1C 1(图略)，易证明平面BA 1C 1∥平面ACD 1， 又A 1P ⊂平面BA 1C 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，故B 正确；对于C ，当P 与线段BC 1的两端点重合时，A 1P 与AD 1所成的角取最小值π3，当P 与线段BC 1的中点重合时，A 1P 与AD 1所成的角取最大值π2，故A 1P 与AD 1所成的角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，故C 错误；对于D ，11,D APC C AD P V V --=因为点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥D 1－APC 的体积不变，故D 正确． 思维升华 解决空间位置关系的动点问题 (1)应用“位置关系定理”转化． (2)建立“坐标系”计算．跟踪训练1 (多选)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥BC ，且AC ＝AA 1＝2，E ，F 分别是AC ，A 1C 1的中点，D ，M 分别是AA 1，BB 1上的两个动点，则( )A ．FM 与BD 一定是异面直线B ．三棱锥D －MEF 的体积为定值13C ．直线B 1C 1与BD 所成的角为π2D ．若D 为AA 1的中点，则四棱锥D －BB 1FE 的外接球表面积为5π 答案 BCD解析 A 项，当M ，B 重合时，FM (即BF )与BD 是相交直线，故A 错误； B 项，由已知可得B 1F ⊥A 1C 1，又平面ABC ⊥平面CAA 1C 1， 所以B 1F ⊥平面CAA 1C 1. 在矩形AEFA 1中，△DEF 的面积S ＝12×EF ×A 1F ＝12×2×1＝1.又B 1F ＝12A 1C 1＝1，所以三棱锥D －MEF 的体积V M －DEF ＝13S ×B 1F ＝13×1×1＝13，所以B 正确；C 项，由AA 1⊥平面A 1B 1C 1，得AA 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，A 1B 1，AA 1⊂平面A 1B 1BA ， 所以B 1C 1⊥平面A 1B 1BA ， 因为BD ⊂平面A 1B 1BA ， 所以B 1C 1⊥BD ，所以C 正确；D 项，由题意可得四边形BB 1FE 为矩形，连接BF (图略)， 则矩形BB 1FE 外接圆的圆心为BF 的中点O 1，且O 1F ＝O 1B ＝52. 过O 1作O 1N ⊥EF ，垂足为N ，连接DN ，O 1D ， 则O 1N ＝12，DN ＝1，O 1N ⊥DN ，故O 1D ＝52， 所以O 1是四棱锥D －BB 1FE 的外接球的球心，外接球的半径为R ＝52， 则外接球的表面积为S ＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝5π， 所以D 正确． 题型二 轨迹问题例2 (1)(多选)(2022·日照模拟)如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M 为DD 1的中点，N 为ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的是( )A ．若MN 与平面ABCD 所成的角为π4，则点N 的轨迹为圆B ．若MN ＝4，则MN 的中点P 的轨迹所围成图形的面积为2πC ．若点N 到直线BB 1与到直线DC 的距离相等，则点N 的轨迹为抛物线D ．若D 1N 与AB 所成的角为π3，则点N 的轨迹为双曲线 答案 ACD解析 如图所示，对于A ，根据正方体的性质可知，MD ⊥平面ABCD ，所以∠MND 为MN 与平面ABCD 所成的角，所以∠MND ＝π4，所以DN ＝DM ＝12DD 1＝12×4＝2，所以点N 的轨迹为以D 为圆心，2为半径的圆，故A 正确；对于B ，在Rt △MDN 中，DN ＝MN 2－MD 2＝42－22＝23，取MD 的中点E ，连接PE ，因为P 为MN 的中点，所以PE ∥DN ，且PE ＝12DN ＝3，因为DN ⊥ED ，所以PE ⊥ED ，即点P 在过点E且与DD 1垂直的平面内，又PE ＝3，所以点P 的轨迹为以3为半径的圆，其面积为π·(3)2＝3π，故B 不正确；对于C ，连接NB ，因为BB 1⊥平面ABCD ，所以BB 1⊥NB ，所以点N 到直线BB 1的距离为NB ，所以点N 到点B 的距离等于点N 到定直线CD 的距离，又B 不在直线CD 上，所以点N 的轨迹为以B 为焦点，CD 为准线的抛物线，故C 正确；对于D ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A (4,0,0)，B (4,4,0)，D 1(0,0,4)，设N (x ，y ，0)， 则AB →＝(0,4,0)，D 1N —→＝(x ，y ，－4)， 因为D 1N 与AB 所成的角为π3，所以|cos 〈AB →，D 1N —→〉|＝cos π3，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 4x 2＋y 2＋16＝12，整理得3y 216－x 216＝1，所以点N 的轨迹为双曲线，故D 正确．(2)(2022·济南模拟)如图，已知四棱锥S －ABCD 的底面是边长为6的菱形，∠BAD ＝60°，AC ，BD 相交于点O ，SO ⊥平面ABCD ，SO ＝4，E 是BC 的中点，动点P 在该棱锥表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的长为________．答案 8解析 如图，分别取DC ，SC 的中点G ，F ，连接GE ，GF ，FE ，∵E 是BC 的中点， ∴GE ∥DB ，FE ∥SB ，GE ⊄平面SBD ，DB ⊂平面SBD ，则GE ∥平面SBD ；FE ⊄平面SBD ，SB ⊂平面SBD ，则FE ∥平面SBD ，又GE ∩FE ＝E ，∴平面FEG ∥平面SBD ， ∵SO ⊥平面ABCD ，∴SO ⊥AC ， 又∵四边形ABCD 是菱形，∴DB ⊥AC ， ∵SO ∩DB ＝O ，SO ，DB ⊂平面SBD ， ∴AC ⊥平面SBD ， 则AC ⊥平面FEG ，故只要动点P 在平面FEG 内即总保持PE ⊥AC ，又动点P 在棱锥表面上运动， ∴动点P 的轨迹的周长即为△FEG 的周长，∵四边形ABCD 是边长为6的菱形，且∠BAD ＝60°， ∴BD ＝6，则OB ＝OD ＝3， 又SO ＝4，∴SB ＝SD ＝5， 故FE ＝FG ＝52，GE ＝3，∴△FEG 的周长为8.思维升华 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法 (1)几何法：根据平面的性质进行判定．(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算． (3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．跟踪训练2 (1)(2022·滨州模拟)如图，斜线段AB 与平面α所成的角为π4，B 为斜足．平面α上的动点P 满足∠PAB ＝π6，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设OB ＝OA ＝1，则B (0,1,0)，A (0,0,1)，P (x ，y ，0)，则AB →＝(0,1，－1)， AP →＝(x ，y ，－1)，所以cos 〈AB →，AP →〉＝y ＋12·x 2＋y 2＋1＝32， 即3x 2＋(y －2)2＝3， 所以点P 的轨迹是椭圆．(2)(2022·宁波模拟)在棱长为22的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，P 为线段C 1D 上的动点，则直线A 1P 与平面D 1EF 的交点Q 的轨迹长度为( ) A.2153 B.433 C.2133 D.423答案 C解析 如图，连接B 1D 1，因为E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，所以B 1D 1∥EF ， 则B 1，D 1，E ，F 四点共面．连接A 1C 1，A 1D ，设A 1C 1∩B 1D 1＝M ，A 1D ∩D 1F ＝N ，连接MN ， 则点Q 的轨迹为线段MN ， 易得A 1D ＝A 1D 21＋DD 21＝4， △A 1ND 1∽△DNF ，且A 1D 1FD＝2， 所以A 1N ＝23A 1D ＝83.易知A 1C 1＝C 1D ＝A 1D ＝4，所以∠C 1A 1D ＝60°，又A 1M ＝2，所以在△A 1MN 中，由余弦定理可得MN 2＝A 1N 2＋A 1M 2－2A 1N ·A 1M cos∠MA 1N ＝529，所以MN ＝2133，即点Q 的轨迹长度为2133.题型三 最值、范围问题例3 (1)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段B 1D 1上一动点，且AP ∥平面DBC 1，则异面直线AP 与BD 所成角的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3答案 C解析 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则D (0,0,0)，B (1,1,0)，A (1,0,0)， 设P (λ，λ，1)，λ∈[0,1]， ∴DB →＝(1,1,0)，AP →＝(λ－1，λ，1)， ∴DB →·AP →＝2λ－1，|DB →|＝2， |AP →|＝2λ2－2λ＋2，设异面直线AP 与BD 所成的角为θ， 则cos θ＝|DB →·AP →||DB →||AP →|＝|2λ－1|2λ2－λ＋1 ＝12·2λ－12λ2－λ＋1＝12·4－3λ2－λ＋1＝12·4－3⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋34，当λ＝12时，cos θ取得最小值为0，当λ＝0或1时，cos θ取得最大值为12，∴0≤cos θ≤12，则π3≤θ≤π2.(2)(多选)(2022·济宁模拟)如图，AC 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点B 是圆O 上异于A ，C 的动点，SO ＝OC ＝2，则下列结论正确的是( )A ．圆锥SO 的侧面积为82πB ．三棱锥S －ABC 体积的最大值为83C ．∠SAB 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3D ．若AB ＝BC ，E 为线段AB 上的动点，则SE ＋CE 的最小值为2(3＋1) 答案 BD解析 在Rt △SOC 中，SC ＝SO 2＋OC 2＝22，则圆锥的母线长l ＝22，半径r ＝OC ＝2， 对于选项A ，圆锥SO 的侧面积为πrl ＝42π， 故选项A 错误；对于选项B ，当OB ⊥AC 时，△ABC 的面积最大，此时S △ABC ＝12×4×2＝4，则三棱锥S －ABC 体积的最大值为13×S △ABC ×SO ＝13×4×2＝83，故选项B 正确；对于选项C ，当点B 与点A 重合时，∠ASB ＝0为最小角，当点B 与点C 重合时，∠ASB ＝π2，达到最大值，又因为B 与A ，C 不重合，则∠ASB ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，又2∠SAB ＋∠ASB ＝π，可得∠SAB ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， 故选项C 不正确；对于选项D ，由AB ＝BC ，∠ABC ＝π2，AC ＝4，得AB ＝BC ＝22，又SA ＝SB ＝22， 则△SAB 为等边三角形， 则∠SBA ＝π3，将△SAB 以AB 为轴旋转到与△ABC 共面，得到△S 1AB ，则△S 1AB 为等边三角形，∠S 1BA ＝π3，如图所示，则(SE ＋CE )min ＝S 1C ， 因为S 1B ＝BC ＝22，∠S 1BC ＝∠S 1BA ＋∠ABC ＝5π6，S 1C 2＝S 1B 2＋BC 2－2×S 1B ×BC ×cos5π6＝8＋8＋83＝(23＋2)2，则(SE ＋CE )min ＝S 1C ＝2(3＋1)， 故选项D 正确．思维升华 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解．(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．跟踪训练3 (1)(2022·邢台模拟)球O 为正四面体ABCD 的内切球，AB ＝2，MN 是球O 的直径，点P 在正四面体ABCD 的表面运动，则PM →·PN →的最小值为______，最大值为______． 答案 0 43解析 PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝PO →2－OM →2，如图所示：设球O 的半径为r ，由题可知正四面体ABCD 的高为h ＝AO 1＝AD 2－O 1D 2＝263，所以4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×22×r ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×22×263，解得r ＝66.因为点P 在正四面体ABCD 的表面运动， 所以|PO →|的最大值为AO ＝h －r ＝62，最小值为r ＝66，又|OM →|＝r ＝66， 所以PM →·PN →的最小值为0，最大值为43.(2)(2022·杭州检测)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2AD ＝2，E 为棱CC 1上一点，记平面BD 1E 与底面ABCD 的夹角为α，则当α取得最小值时CE 的长度为________． 答案 25解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设CE ＝a ，a ∈[0,2]，B (1,2,0)，E (0,2，a )， D 1(0,0,2)，BD 1—→＝(－1，－2,2)， BE →＝(－1,0，a )，设平面BD 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →1＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x －2y ＋2z ＝0，－x ＋az ＝0，取x ＝a ，则n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ，1－a2，1， 显然平面ABCD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)， 即cos α＝|m ·n ||m ||n |＝1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－a 22＋1＝154a 2－a ＋2＝154⎝ ⎛⎭⎪⎫a －252＋95，当α最小时，154⎝ ⎛⎭⎪⎫a －252＋95取最大值，即当a ＝25时，cos α取最大值，α取得最小值．课时精练1．(2022·广州模拟)点P 为棱长是25的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球O 球面上的动点，点M 为B 1C 1的中点，若满足DP ⊥BM ，则动点P 的轨迹的长度为( ) A ．πB．2πC．4πD．25π 答案 C解析 根据题意知，该正方体的内切球半径为r ＝5，如图．取BB 1的中点N ，连接CN ，则CN ⊥BM ，∴CN 为DP 在平面B 1C 1CB 中的射影，∴点P 的轨迹为过D ，C ，N 的平面与内切球的交线，∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为25， ∴O 到过D ，C ，N 的平面的距离为55＝1，∴截面圆的半径为2，∴点P 的轨迹的长度为2π×2＝4π.2．正四面体ABCD 的棱长为1，点P 是该正四面体内切球球面上的动点，当PA →·PD →取得最小值时，点P 到AD 的距离为( ) A.32－612 B.6－312 C.22－312 D.24答案 A解析 因为四面体ABCD 是棱长为1的正四面体， 所以其体积为13×12×1×1×32×63＝212.设正四面体ABCD 内切球的半径为r ， 则4×13×12×1×1×32×r ＝212，得r ＝612.如图，取AD 的中点E ，则PA →·PD →＝(PE →＋EA →)·(PE →＋ED →)＝PE →2＋PE →·(EA →＋ED →)＋EA →·ED →＝PE →2－14.显然，当PE 的长度最小时，PA →·PD →取得最小值． 设正四面体内切球的球心为O ， 可求得OA ＝OD ＝64.因为球心O 到点E 的距离d ＝OA 2－AE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫642－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝24， 所以球O 上的点P 到点E 的最小距离为d －r ＝24－612＝32－612， 即当PA →·PD →取得最小值时，点P 到AD 的距离为32－612.3．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为a ，侧棱长为b ，且a ≥b ，点D 是BC 1的中点，则直线AD 与侧面ABB 1A 1所成角的正切值的最小值是( )A.13013 B.63C.33D.3913答案 D解析 如图，取A 1B 1的中点E ，连接BE ，C 1E ，则C 1E ⊥A 1B 1，由正三棱柱的性质可知，平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，∴C 1E ⊥平面ABB 1A 1，取BE 的中点F ，连接AF ，DF .∵D 为BC 1的中点，∴DF ∥C 1E ， ∴DF ⊥平面ABB 1A 1，∴∠DAF 即为直线AD 与侧面ABB 1A 1所成的角． 在Rt △AFD 中，DF ＝12C 1E ＝34a ，AF ＝AD 2－DF 2＝9a 2＋4b24，∴tan∠DAF ＝DF AF＝3a 9a 2＋4b 2＝13＋4b 23a2≥13＋43＝3913，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴直线AD 与侧面ABB 1A 1所成角的正切值的最小值为3913. 4．(多选)(2022·长沙检测)设动点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1上(含内部)，且D 1P —→＝λD 1B —→，当∠APC 为锐角时，实数λ可能的取值是( ) A.12B.13C.14D.15 答案 CD解析 设AP ＝x ，D 1P ＝t ，正方体的棱长为1， 则AC ＝2，在△APC 中，由余弦定理得cos∠APC ＝x 2＋x 2－22x 2＝x 2－1x 2， 若∠APC 为锐角，则x 2－1x2>0，则x 2>1，在△AD 1P 中，AD 1＝2， cos∠AD 1P ＝22＋32－12×2×3＝63， 于是由余弦定理得x 2＝2＋t 2－2×2×t ×63， 于是2＋t 2－2×2×t ×63>1， 即3t 2－43t ＋3>0， 解得t >3或t <33，由D 1B ＝3， 故λ>1(舍去)或0<λ<13.5．(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，M 分别为棱CD ，CC 1的中点．Q 为线段A 1B 上任一点，则下列说法正确的是( )A ．平面APM 内存在直线与A 1D 1平行B ．平面APM 截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1所得截面的面积为98C ．直线AP 和DQ 所成的角可能为60°D ．直线AP 和DQ 所成的角可能为30°答案 BC解析 对于选项A ，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BC ∥A 1D 1，在平面ABCD 中，直线AP ，BC 相交，所以直线BC 与平面APM 相交，故直线A 1D 1与平面APM 相交，故平面APM 内不存在直线与A 1D 1平行，所以选项A 错误；对于选项B ，如图，连接C 1D ，AB 1，因为P ，M 分别为棱CD ，CC 1的中点， 所以PM ∥C 1D ，PM ＝12C 1D ，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB 1∥C 1D ， 所以PM ∥AB 1，连接B 1M ， 则梯形AB 1MP 为所求的截面， 易知AP ＝B 1M ＝1＋14＝52， PM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，AB 1＝2， 所以等腰梯形AB 1MP 的高为AP 2－⎝⎛⎭⎪⎫AB 1－PM 22＝54－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝324， 所以梯形AB 1MP 的面积为 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2×324＝98， 选项B 正确；对于选项C ，D ，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，B (1,1,0)，A 1(1,0,1)，A 1B —→＝(0,1，－1)，DA 1—→＝(1,0,1)，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，0，设A 1Q —→＝λA 1B →＝λ(0,1，－1)＝(0，λ，－λ)， 0≤λ≤1，所以DQ →＝DA 1—→＋A 1Q —→＝(1，λ，1－λ)， 所以|cos 〈PA →，DQ →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12λ52×1＋λ2＋1－λ2＝2－λ10·λ2－λ＋1. 当2－λ10·λ2－λ＋1＝cos60°＝12， 即λ2＋λ－1＝0时，解得λ＝±5－12，其中5－12∈[0,1]， 当2－λ10·λ2－λ＋1＝cos30°＝32， 即13λ2－7λ＋7＝0时，方程无解．所以直线AP 和DQ 所成的角可能为60°，但不可能为30°，选项C 正确，选项D 错误． 6．(多选)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP ⊥CN .给出的下列说法中正确的是( )A ．点P 可以是棱BB 1的中点 B ．线段MP 的最大值为34C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 的轨迹长度为2＋ 5 答案 BD解析 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵该正方体的棱长为1，M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，∴D 1(0,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，C (0,1,0)，∴CN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，设P (x ，y ，z )，则MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －12，z －12，∵MP ⊥CN ，∴12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋z －12＝0，即2x ＋4z －3＝0，当x ＝1时，z ＝14，当x ＝0时，z ＝34，取E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，14，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，14，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，34， H ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，34，连接EF ，FG ，GH ，HE ， 则EF →＝HG →＝(0,1,0)， EH →＝FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，∴四边形EFGH 为矩形， 又EF →·CN →＝0，EH →·CN →＝0， 即EF ⊥CN ，EH ⊥CN ，又EF 和EH 为平面EFGH 中的两条相交直线， ∴CN ⊥平面EFGH ，又EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，14，MG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，14，∴M 为EG 的中点，则M ∈平面EFGH ， 为使MP ⊥CN ，必有点P ∈平面EFGH ，又点P 在正方体表面上运动， ∴点P 的轨迹为四边形EFGH ，∴点P 不可能是棱BB 1的中点，故选项A 错误； 又EF ＝GH ＝1，EH ＝FG ＝52， ∴EF ≠EH ，则点P 的轨迹是矩形不是正方形，且矩形EFGH 的周长为2＋2×52＝2＋5， 故选项C 错误，选项D 正确； ∵点P 的轨迹为矩形EFGH ，∴当P 点在矩形的四个端点时，MP 取得最大值，且MP 的最大值为34，故B 正确．7.(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为线段AB 1上的动点(含端点)，则下列结论正确的是( )A ．平面BCM ⊥平面A 1AMB ．三棱锥B －MB 1C 体积的最大值为16C ．当M 为AB 1的中点时，直线B 1D 与直线CM 所成的角的余弦值为23D ．直线CM 与A 1D 所成的角不可能是π4答案 ABC解析 对于A ，∵BC ⊥AB ，BC ⊥BB 1，AB ∩BB 1＝B ，AB ，BB 1⊂平面AA 1M ， ∴BC ⊥平面AA 1M ，又BC ⊂平面BCM ， ∴平面BCM ⊥平面A 1AM ，A 正确； 对于B ，1111·11,33B MBC C BB M BB M BB M V V S S BC --===△△ ∵M 为AB 1上的动点，∴当M 与A 重合时，1BB M S △取得最大值为12AB ·BB 1＝12，∴1max ()B MB C V -＝13×12＝16，B 正确；对于C ，以D 1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，当M 为AB 1的中点时，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，12，又B 1(1,1,0)，C (0,1,1)，D (0,0,1)，∴B 1D —→＝(－1，－1,1)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12，∴cos〈B 1D —→，CM →〉＝B 1D —→·CM →|B 1D —→||CM →|＝－13×62＝－23，∴当M 为AB 1的中点时，直线B 1D 与直线CM 所成的角的余弦值为23，C 正确； 对于D ，如C 中所建立的空间直角坐标系， 设M (1，y ，z )，AM →＝λAB 1—→(0≤λ≤1)， 又A (1,0,1)，∴AB 1—→＝(0,1，－1)，AM →＝(0，y ，z －1)， ∴(0，y ，z －1)＝(0，λ，－λ)， 则y ＝λ，z ＝1－λ，∴M (1，λ，1－λ)， ∴CM →＝(1，λ－1，－λ)，又A 1D —→＝(－1,0,1)， ∴|cos〈CM →，A 1D —→〉|＝|CM →·A 1D —→||CM →||A 1D —→|＝|－1－λ|1＋λ－12＋λ2×2， 若直线CM 与A 1D 所成的角为π4， 则|－1－λ|1＋λ－12＋λ2×2＝22， 解得λ＝2±3，又λ∈[0,1]，∴当λ＝2－3，即AM →＝(2－3)AB 1—→时，直线CM 与A 1D 所成的角为π4，D 错误．8．(多选)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1(底面是正三角形，侧棱垂直底面)的各条棱长均相等，D 为AA 1的中点．M ，N 分别是BB 1，CC 1上的动点(含端点)，且满足BM ＝C 1N .当M ，N 运动时，下列结论中正确的是( )A ．平面DMN ⊥平面BCC 1B 1 B ．三棱锥A 1－DMN 的体积为定值C ．△DMN 可能为直角三角形D ．平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，π4答案 ABD 解析 如图，当M ，N 分别是BB 1，CC 1上的动点(含端点)，且满足BM ＝C 1N 时，则线段MN 一定过正方形BCC 1B 1的中心O ，而DO ⊥平面BCC 1B 1，DO ⊂平面DMN ，可得平面DMN ⊥平面BCC 1B 1，故A 正确； 当M ，N 分别是BB 1，CC 1上的动点(含端点)时，过点M 作A 1D 边上的高，其长等于AB 的长，所以△A 1DM 的面积不变，由于C 1N ∥平面A 1DM ，故点N 到平面A 1DM 的距离等于点C 1到平面A 1DM 的距离，则点N 到平面A 1DM 的距离为定值，故三棱锥A 1－DMN 的体积为定值，所以B 正确； 由BM ＝C 1N 可得，DN ＝DM ，若△DMN 为直角三角形，则一定是以∠MDN 为直角的直角三角形，但MN 的最大值为BC 1，而此时DN ，DM 的长都大于BB 1，故△DMN 不可能为直角三角形，所以C 不正确；当M ，N 分别是BB 1，CC 1的中点时，平面DMN 与平面ABC 平行，所成角为0度； 当M 与B 重合，N 与C 1重合，平面DMN 与平面ABC 所成锐二面角最大；延长C 1D 交CA 于G ，连接BG ，则平面DMN ∩平面ABC ＝GB ，由于D 为AA 1的中点，AA 1＝CC 1，所以DA ∥CC 1，且DA ＝12CC 1，故在△C 1GC 中，D 为C 1G 的中点，A 为CG 的中点，在△C 1GB 中，D 为C 1G 的中点，O 为BC 1的中点，故DO ∥GB ，由于DO ⊥平面BCC 1B 1，所以GB ⊥平面BCC 1B 1，则GB ⊥BC ，GB ⊥BC 1，所以平面DMN 与平面ABC 所成锐二面角最大为∠C 1BC ＝π4，故D 正确．9．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 是AD 的中点，点P 在底面ABCD 内(不包括边界)运动，若B 1P ∥平面A 1BM ，则C 1P 的长度的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫305，2 解析 如图，取BC 的中点N ，连接B 1D ，B 1N ，DN ，过C 作CO ⊥DN 于O ，连接C 1O ，由正方体的性质知DN ∥MB ，A 1M ∥B 1N ，又DN ∩B 1N ＝N ，MB ∩A 1M ＝M ， ∴平面B 1DN ∥平面A 1BM ，∴点P 在底面ABCD 内的轨迹是线段DN (不含点N 和点D )． 连接C 1D ，C 1N ，在△C 1DN 中，C 1D ＝2，DN ＝C 1N ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52， ∴1C DN S △＝12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝64， ∵C 1C ⊥平面ABCD ，CO ⊥DN ，∴C 1O ⊥DN ，则当P 与O 重合时，C 1P 的长度取得最小值， ∴C 1P 的长度的最小值为C 1O ＝6412×52＝305， 又C 1P <2，∴C 1P 的长度的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫305，2. 10．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4，E 为AB 的中点，点F 满足C 1F —→＝3FC →，动点M 在侧面AA 1D 1D 内运动，且MB ∥平面D 1EF ，则|MD →|的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，21095解析 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设M (x ，0，z )，B (2,2,0)，D 1(0,0,4)，E (2,1,0)， 因为C 1F —→＝3FC →，所以F 是CC 1四等分点(靠近C )，所以F (0,2,1)，所以D 1E —→＝(2,1，－4)，D 1F —→＝(0,2，－3)，设平面D 1EF 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧D 1E —→·n ＝0，D 1F —→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b －4c ＝0，2b －3c ＝0，令c ＝2，则a ＝52，b ＝3，故n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3，2，又MB →＝(2－x ，2，－z )，MB ∥平面D 1EF ，所以MB →⊥n ，即MB →·n ＝0，所以52(2－x )＋6－2z ＝0，所以z ＝112－54x ，故|MD →|＝x 2＋z 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫112－54x 2＝41x 2－220x ＋4844，因为0≤x ≤2,0≤z ≤4，所以112－54x ∈[0,4]，故x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，2，令y ＝41x 2－220x ＋184， 因为二次函数的对称轴为x ＝2202×41＝11041>2，所以函数在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，2上单调递减，所以当x ＝65时，|MD →|取得最大值， 所以|MD →|的最大值为 41×⎝ ⎛⎭⎪⎫652－220×65＋4844＝21095，当x ＝2时，|MD →|取得最小值，所以|MD →|的最小值为41×22－220×2＋4844＝13，所以|MD →|的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，21095.。
2023年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量3空间点直线平面之间的位置关系练习含解析
空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求 1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．知识梳理 1．平面基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 3．空间中直线与直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线，平行直线，异面直线：不同在任何一个平面内，没有 公共点.4．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 5．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 6．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 7．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( × ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( √ ) (3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．( × ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线．( × ) 教材改编题1．(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是( )A ．AB 与CD 是异面直线 B ．GH 与CD 相交C ．EF ∥CD D ．EF 与AB 异面 答案 ABC解析 把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G 与C 重合，点B 与F 重合，由图可知ABC 正确，EF 与AB 相交，故D 错． 2．如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β．且α∥β，则a 与b ( ) A ．共面 B ．平行 C ．是异面直线D ．可能平行，也可能是异面直线 答案 D解析 α∥β，说明a 与b 无公共点， ∴a 与b 可能平行也可能是异面直线．3．如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形； (2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形． 答案 (1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD 解析 (1)∵四边形EFGH 为菱形， ∴EF ＝EH ，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD ．(2)∵四边形EFGH 为正方形， ∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD ．题型一 基本事实应用例1 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AB ，AA 1的中点，连接D 1F ，CE ．求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．证明 (1)如图所示，连接CD 1，EF ，A 1B ， ∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B ．又∵A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ， ∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，∴EF 与CD 1能够确定一个平面ECD 1F ， 即E ，C ，D 1，F 四点共面．(2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，∴四边形CD 1FE 是梯形， ∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ，且P ∈D 1F ，∵CE ⊂平面ABCD ，D 1F ⊂平面A 1ADD 1， ∴P ∈平面ABCD ，且P ∈平面A 1ADD 1． 又∵平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点． 教师备选如图所示，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q ．求证：(1)D ，B ，F ，E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． 证明 (1)∵EF 是△D 1B 1C 1的中位线， ∴EF ∥B 1D 1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1D 1∥BD ， ∴EF ∥BD ．∴EF ，BD 确定一个平面，即D ，B ，F ，E 四点共面． (2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 设平面A 1ACC 1为α， 平面BDEF 为β． ∵Q ∈A 1C 1，∴Q ∈α．又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ．又A1C∩β＝R，∴R∈A1C．∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1 (1)(多选)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是( )答案ABC解析对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．(2)在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点P( )A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上答案 B解析如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD．又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC．题型二空间线面位置关系命题点1 空间位置关系的判断例2 (1)下列推断中，错误的是( )A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案 C解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A对；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B对；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对．(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是( )A．直线MN与直线A1B是异面直线B．直线MN与直线DD1相交C．直线MN与直线AC1是异面直线D．直线MN与直线A1C平行答案 C解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．命题点2 异面直线所成角例3 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( ) A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案 D解析 方法一 如图，连接C 1P ，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，且P 为B 1D 1的中点，所以C 1P ⊥B 1D 1，又C 1P ⊥BB 1，所以C 1P ⊥平面B 1BP ．又BP ⊂平面B 1BP ，所以C 1P ⊥BP ．连接BC 1，则AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1为直线PB 与AD 1所成的角．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在Rt△C 1PB 中，C 1P ＝12B 1D 1＝2，BC 1＝22，sin∠PBC 1＝PC 1BC 1＝12，所以∠PBC 1＝π6．方法二 如图所示，连接BC 1，A 1B ，A 1P ，PC 1，则易知AD 1∥BC 1，所以直线PB 与AD 1所成的角等于直线PB 与BC 1所成的角．根据P 为正方形A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1的中点，易知A 1，P ，C 1三点共线，且P 为A 1C 1的中点．易知A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，所以△A 1BC 1为等边三角形，所以∠A 1BC 1＝π3，又P 为A 1C 1的中点，所以可得∠PBC 1＝12∠A 1BC 1＝π6．(2)(2022·衡水检测)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE ＝14SB ，则异面直线SC 与OE 所成角的正切值为( )A ．222B ．53C ．1316D ．113答案 D解析 如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角．∵SE ＝14SB ，∴SE ＝13BE ．又OB ＝3，∴OF ＝13OB ＝1．∵SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3， ∴SC ＝32．∵SO ⊥OF ，∴SF ＝SO 2＋OF 2＝10． ∵OC ⊥OF ，∴CF ＝10． ∴在等腰△SCF 中，tan∠CSF ＝102－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222322＝113． 教师备选1．(多选)设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论不正确的是( )A ．若a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线B ．若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面C ．若a ，b 不同在平面α内，则a 与b 异面D ．若a ，b 不同在任何一个平面内，则a 与b 异面 答案 ABC2．在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A ．15B ．56C ．55D ．22 答案 C解析 如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ．易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2， DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52， DB 1＝AB 2＋AD 2＋BB 21＝5． 所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos∠MOD ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55． 思维升华 (1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型． (2)求异面直线所成的角的三个步骤一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． 三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练2 (1)如图所示，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 与MN 是异面直线的图形有________．(填序号)答案 ②④(2)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是( ) A ．l 与l 1，l 2都不相交 B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交 答案 D解析 如图1，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确．图1 图2题型三 空间几何体的切割(截面)问题例4 (1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1，那么正方体中过M ，N ，C 1的截面图形是( ) A ．三角形 B ．四边形 C ．五边形 D ．六边形答案 C解析 先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．如图，设直线C 1M ，CD 相交于点P ，直线C 1N ，CB 相交于点Q ，连接PQ 交直线AD 于点E ，交直线AB 于点F ，则五边形C 1MEFN 为所求截面图形．(2)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2．以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为______． 答案π2解析 以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线是以C 1为圆心，1为半径的圆与正方形BCC 1B 1相交的一段弧(圆周的四分之一)，其长度为14×2π×1＝π2．延伸探究 将本例(2)中正方体改为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°．以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．答案2π2解析 如图，设B 1C 1的中点为E ，球面与棱BB 1，CC 1的交点分别为P ，Q ，连接DB ，D 1B 1，D 1P ，D 1E ，EP ，EQ ，由∠BAD ＝60°，AB ＝AD ，知△ABD 为等边三角形， ∴D 1B 1＝DB ＝2，∴△D 1B 1C 1为等边三角形， 则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1，∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心， 设截面圆的半径为r ，则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝2． 又由题意可得EP ＝EQ ＝2，∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ ． 又D 1P ＝5，∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1， 同理C 1Q ＝1，∴P ，Q 分别为BB 1，CC 1的中点， ∴∠PEQ ＝π2，知PQ ︵的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2．教师备选如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，平面α经过直线BD 且与直线C 1E 平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．答案 92解析 如图，过点B 作BM ∥C 1E 交B 1C 1于点M ，过点M 作BD 的平行线，交C 1D 1于点N ，连接DN ，则平面BDNM 即为符合条件的平面α，由图可知M ，N 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点， 故BD ＝22，MN ＝2， 且BM ＝DN ＝5， ∴等腰梯形MNDB 的高为h ＝52－⎝⎛⎭⎪⎫222＝322， ∴梯形MNDB 的面积为 12×(2＋22)×322＝92． 思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 跟踪训练3 (1)(多选)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，已知平面α⊥AC 1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是( ) A ．截面形状可能为正三角形 B ．截面形状可能为正方形 C ．截面形状可能为正六边形 D ．截面面积最大值为3 3 答案 ACD解析 易知A ，C 正确，B 不正确，下面说明D 正确，如图，截面为正六边形，当六边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，MN ＝22，GH ＝2，OE ＝OO ′2＋O ′E 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝62， 所以S ＝2×12×(2＋22)×62＝33，故D 正确．(2)(2022·兰州模拟)如图，正方体A 1C 的棱长为1，点M 在棱A 1D 1上，A 1M ＝2MD 1，过M 的平面α与平面A 1BC 1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．答案 3 2解析 在平面A 1D 1DA 中寻找与平面A 1BC 1平行的直线时，只需要ME ∥BC 1，如图所示，因为A 1M ＝2MD 1，故该截面与正方体的交点位于靠近D 1，A ，C 的三等分点处，故可得截面为MIHGFE ，设正方体的棱长为3a ， 则ME ＝22a ，MI ＝2a ，IH ＝22a ，HG ＝2a ，FG ＝22a ，EF ＝2a ，所以截面MIHGFE 的周长为ME ＋EF ＋FG ＋GH ＋HI ＋IM ＝92a ， 又因为正方体A 1C 的棱长为1，即3a ＝1， 故截面多边形的周长为32．课时精练1．下列叙述错误的是( )A ．若P ∈α∩β，且α∩β＝l ，则P ∈lB．若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面C．三点A，B，C确定一个平面D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α答案 C解析选项A，点P是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由基本事实的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由基本事实2，直线上有两点在一个平面内，则这条直线在平面内．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是( ) A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行答案 A解析m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．3．(2022·营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l在同一平面，则a，b，l相交或a，b，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．所以a，b，l在同一平面，则a，b，l两两相交不一定成立；而若a，b，l两两相交，则a，b，l在同一平面成立．故“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的充分不必要条件．4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是( )A ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 平行B ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 平行C ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 异面D ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 异面答案 D解析 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ， 则MN ＝MC 21＋C 1N 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22 ＝2a ，作点E 在平面ABCD 内的射影点G ，连接EG ，GF ，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋2a2＝3a ，所以MN ≠12EF ，故选项A ，C 错误；连接DE ，因为E 为平面ADD 1A 1的中心， 所以DE ＝12A 1D ，又因为M ，N 分别为B 1C 1，CC 1的中点，所以MN ∥B 1C ， 又因为B 1C ∥A 1D ，所以MN ∥ED ， 且DE ∩EF ＝E ，所以MN 与EF 异面，故选项B 错误．5．(多选)(2022·临沂模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是DB 的中点，直线A 1C 交平面C 1BD 于点M ，则下列结论正确的是( )A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，B1，B四点共面D．D1，D，O，M四点共面答案AB解析∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1．∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，同理可得，点M和C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确．6．(多选)(2022·厦门模拟)下列说法不正确的是( )A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交答案ABD解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与假设矛盾，故C正确；如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误．图1 图27．(2022·哈尔滨模拟)已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为________． 答案105解析 如图所示，补成直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，则所求角为∠BC 1D 或其补角，∵BC 1＝2，BD ＝22＋1－2×2×1×cos60°＝3，C 1D ＝AB 1＝5， 易得C 1D 2＝BD 2＋BC 21，即BC 1⊥BD ， 因此cos∠BC 1D ＝BC 1C 1D ＝25＝105． 8．(2022·本溪模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号) ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直； ②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β； ③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l ⊥α； ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线． 答案 ①②④解析 对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；对于③，直线l 与平面内的任意直线垂直时，得到l ⊥α，所以③正确；对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．9．(2022·上海市静安区模拟)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，CC 1的中点．(1)求异面直线A 1E 与D 1F 所成的角的余弦值； (2)求三棱锥A 1－D 1EF 的体积．解 (1)如图，设BB 1的中点为H ，连接HF ，EH ，A 1H ，因为F 是CC 1的中点，所以A 1D 1∥CB ∥HF ，A 1D 1＝CB ＝HF ， 因此四边形A 1D 1FH 是平行四边形， 所以D 1F ∥A 1H ，D 1F ＝A 1H ，因此∠EA 1H 是异面直线A 1E 与D 1F 所成的角或其补角， 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是AB 的中点， 所以A 1E ＝A 1H ＝22＋12＝5，EH ＝12＋12＝2，由余弦定理可知，cos∠EA 1H ＝A 1E 2＋A 1H 2－EH 22A 1E ·A 1H ＝5＋5－22×5×5＝45，所以异面直线A 1E 与D 1F 所成的角的余弦值为45．(2)因为A 1D 1∥HF ，HF ⊄平面A 1D 1E ，A 1D 1⊂平面A 1D 1E ， 所以HF ∥平面A 1D 1E ，因此点H ，F 到平面A 1D 1E 的距离相等， 即111111F A D E H A D E D A EH V V V －－－＝＝，11D A EH V －＝13D 1A 1·1A EH S △＝13×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22－12×2×1×2－12×1×1＝1，所以三棱锥A 1－D 1EF 的体积为1．10．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，M 为AB 上一点．(1)若D 1E 与CM 相交于点K ，求证D 1E ，CM ，DA 三条直线相交于同一点； (2)若AB ＝2，AA 1＝4，∠BAD ＝π3，求点D 1到平面FBD 的距离．(1)证明 ∵D 1E 与CM 相交于点K ， ∴K ∈D 1E ，K ∈CM ，而D 1E ⊂平面ADD 1A 1，CM ⊂平面ABCD ， 且平面ADD 1A 1∩平面ABCD ＝AD ， ∴K ∈AD ，∴D 1E ，CM ，DA 三条直线相交于同一点K ． (2)解 ∵四边形ABCD 为菱形，AB ＝2， ∴BC ＝CD ＝2，而四棱柱的侧棱AA 1⊥底面ABCD ， ∴CC 1⊥底面ABCD ，又∵F 是CC 1的中点，CC 1＝4，∴CF ＝2， ∴BF ＝DF ＝22，又∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝π3，∴BD ＝AB ＝2， ∴S △FBD ＝12×2×222－1＝7．设点D 1到平面FBD 的距离为h ，点B 到平面DD 1F 的距离为d ， 则d ＝2sin π3＝3，又∵11D FBD B DD F V V －－＝， ∴13×S △FBD ×h ＝13×1DD F S △×d ， ∴13×7×h ＝13×12×4×2×3， 解得h ＝4217．即点D1到平面FBD的距离为421 7．11．(多选)(2022·太原模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是( )A．GH与EF平行B．BD与MN为异面直线C．GH与MN成60°角D．DE与MN垂直答案BCD解析如图，还原成正四面体A－DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合，连接GM，易知GH与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE．∴B，C，D正确．12．(多选)(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是( )A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MN∥平面BB1D1D答案 BD解析 如图，连接MP ，AC ，因为MP ∥AC ，MP ≠AC ，所以AP 与CM 是相交直线，又平面A 1ADD 1∩平面C 1CDD 1＝DD 1，所以AP ，CM ，DD 1相交于一点，则A 不正确，B 正确；令AC ∩BD ＝O ，连接OD 1，ON ．因为M ，N 分别是C 1D 1，BC 的中点，所以ON ∥D 1M ∥CD ，ON ＝D 1M ＝12CD ， 则四边形MNOD 1为平行四边形，所以MN ∥OD 1，因为MN ⊄平面BB 1D 1D ，OD 1⊂平面BB 1D 1D ，所以MN ∥平面BB 1D 1D ，C 不正确，D 正确．13．(2022·玉林模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q 分别为A 1B ，B 1D 1，A 1D ，CD 1的中点，则直线EF 与PQ 所成角的大小是________．答案 π3解析 如图，连接A 1C 1，BC 1，则F 是A 1C 1的中点，又E 为A 1B 的中点，所以EF ∥BC 1，连接DC 1，则Q 是DC 1的中点，又P 为A 1D 的中点，所以PQ ∥A 1C 1，于是∠A 1C 1B 是直线EF 与PQ 所成的角或其补角．易知△A 1C 1B 是正三角形，所以∠A 1C 1B ＝π3． 14．(2022·盐城模拟)在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，过P ，Q ，A 作正方体的截面，则截面多边形的周长是________．答案 25＋95＋2133 解析 如图所示，过Q 作QM ∥AP 交BC 于M ，由A 1P ＝CQ ＝2，tan∠APA 1＝2，则tan∠CMQ ＝2，CM ＝CQtan∠CMQ＝1， 延长MQ 交B 1C 1的延长线于E 点，连接PE ，交D 1C 1于N 点，则多边形AMQNP 即为截面，根据平行线性质有C 1E ＝CM ＝1， C 1N ND 1＝C 1E PD 1＝12， 则C 1N ＝43，D 1N ＝83， 因此NQ ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2133， NP ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫832＝103， 又AP ＝42＋22＝25，AM ＝42＋32＝5，MQ ＝12＋22＝5，所以多边形AMQNP 的周长为AM ＋MQ ＋QN ＋NP ＋PA＝5＋5＋2133＋103＋2 5 ＝25＋95＋2133．15．(2022·大连模拟)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，AA 1＝3，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，过点D 1，E ，F 的平面记为α，则下列说法中错误的是( )A ．点B 到平面α的距离与点A 1到平面α的距离之比为1∶2B ．平面α截直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1所得截面的面积为732C ．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25D ．平面α截直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1所得截面的形状为四边形 答案 D解析 对于A ，因为平面α过线段AB 的中点E ，所以点A 到平面α的距离与点B 到平面α的距离相等．由平面α过A 1A 的三等分点M 可知，点A 1到平面α的距离是点A 到平面α的距离的2倍，因此，点A 1到平面α的距离是点B 到平面α的距离的2倍．故选项A 正确；延长DA ，DC 交直线EF 的延长线于点P ，Q ，连接D 1P ，D 1Q ，交棱A 1A ，C 1C 于点M ，N ．连接ME ，NF ，可得五边形D 1MEFN ，故选项D 错误；由平行线分线段成比例可得AP ＝BF ＝1，故DP ＝DD 1＝3，则△DD 1P 为等腰三角形．由相似三角形可知，AM ＝AP ＝1，A 1M ＝2，则D 1M ＝D 1N ＝22，ME ＝EF ＝FN ＝2．连接MN ，则MN ＝22，因此五边形D 1MEFN 可分为等边三角形D 1MN 和等腰梯形MEFN ．等腰梯形MEFN 的高h ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝62， 则等腰梯形MEFN 的面积为22＋22×62＝332．又1D MN S △＝12×22×6＝23，所以五边形D 1MEFN 的面积为332＋23＝732，故选项B 正确；记平面将直四棱柱分割成上、下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V 2＝1D DPQ V －－V M －PAE －V N －CFQ＝13×12×3×3×3－13×12×1×1×1－13×12×1×1×1＝256， 所以V 1＝1111ABCD A B C D V －－V 2＝12－256＝476， V 1∶V 2＝47∶25，故选项C 正确．16．如图1，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，F 分别为AB ，AC 的中点，E 为AD 的中点．将△BCD 与△AEF 分别沿CD ，EF 同侧折起，使得二面角A －EF －D 与二面角B －CD －E 的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．图1 图2(1)在多面体中，求证：A ，B ，D ，E 四点共面；(2)求多面体的体积．(1)证明 因为二面角A －EF －D 的大小等于90°，所以平面AEF ⊥平面DEFC ，又AE ⊥EF ，AE ⊂平面AEF ，平面AEF ∩平面DEFC ＝EF ，所以AE ⊥平面DEFC ，同理，可得BD ⊥平面DEFC ，所以AE ∥BD ，故A ，B ，D ，E 四点共面．(2)解 因为AE ⊥平面DEFC ，BD ⊥平面DEFC ，EF ∥CD ，AE ∥BD ，DE ⊥CD ，所以AE 是四棱锥A －CDEF 的高，点A 到平面BCD 的距离等于点E 到平面BCD 的距离， 又AE ＝DE ＝1，CD ＝23，EF ＝3，BD ＝2，所以V ＝V A －CDEF ＋V A －BCD ＝13S 梯形CDEF ·AE ＋13S △BCD ·DE ＝736．。
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程试题 理 北师大版-北师大版高三全册数学试
第九章平面解析几何 9.3 圆的方程试题理北师大版圆的定义与方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：(－D2，－E2)半径r＝12D2＋E2－4F【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.3．(2015·)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析圆的半径r＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.4．(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即a＋12＋1＝a－12＋9，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，半径|CA|＝2＋12＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.5．(2016·某某)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是______，半径是______．答案(－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．题型一 求圆的方程例1 (1)(2016·某某)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52.思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·某某八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋－b2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋－3－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.所以y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝x ＋12＋y －22，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设y x＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6，故(y－x)min＝－2－ 6.(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－3)2＝7－4 3.题型三与圆有关的轨迹问题例3 (2016·潍坊模拟)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·某某模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹． 解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．21．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规X 解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，3＋222＋D3＋22＋F ＝0，3－222＋D3－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －12＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·某某检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0 答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．(2016·某某一模)方程|x |－1＝1－y －12所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|x |－12＋y －12＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －12＝1，x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＋y －12＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2 答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2b a ×2ab ＝3＋22， 当且仅当b a ＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2016·某某诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝1B ．x 2＋(y －3)2＝3C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝3答案 A解析 依题意，得题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1.6．(2016·某某模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3答案 C解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则C (1,1)，当|PC |最小时，四边形PACB 的面积最小，|PC |min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时|PA |＝|PB |＝ 3. 所以四边形PACB 的面积S ＝2×12×3×1＝3，故选C. 7．(2016·某某模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______________． 答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解之得m ＝－32. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254. 8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________．答案 x ＋y －2＝0 解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ≥0， x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案 π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13， tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1， 得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)． 10．(2016·某某模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案 7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x－1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝x －12＋y ＋32. 问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为3－12＋0＋32＝7， ∴x －12＋y ＋32的最大值为7＋1.11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋m ，x －12＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝2＋22＋7－32＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。
高考数学(文通用)一轮复习课件：第八章第3讲圆的方程
第3讲第八章平面解析几何圆的方程教材回顾▼夯实基础1.圆的定义及方程平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）课本温故追根求源标准方程(x —a)2+(y —〃)2=以0>0)心：（…）,半径：丄_____一般方程x2+j2+£>x+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)111半径：|\/z>2+E2-4F心:2•点与圆的位置关系点M（x0,旳）与圆（x—af+（y—b）2=r2的位置关系: (1)若旳)在圆外，贝l|(x0—a)2+(yo—^)2(2)若旳)在圆上，贝!|(xo-a)2+(y o-^)2(3)若为)在圆内，贝!Kx0-«)2+(y0-^)2―\，1.辨明两个易误点⑴求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.(2)对于方程X2+J2+D X+£^+F=0表示圆时易忽视Z)2+ 炉一4尸＞0这一条件.2.求解有关圆的问题的转化路径(1)注意二元二次方程表示圆的充要条件，善于利用切割线定理、垂径定理等平面中动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离.(2)在圆中，注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形.双基自测,1•圆心在丿轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为(A ) A. x 2+(y-2)2=l B. x 2+(y+2)2=l C. (x-1)2+ (y~3)2= 1D. x 2+(y-3)2= 1\ (0—1) 2+ (b_2) —I,解得b=2,故圆的方程为x + (y —2)2=1.2.方程^2+j 2+ 4wx —2j + 5w=0(B ) （0 , b ）,则由题意知,1A•一 svl4r 1C. m<rD. m>l解析：S(W+4-4XSw>0,得m>l.43.圆心在丿轴上且经过点(3, 1)的方程是（B ）A. X2+J2+10J=0B. x2+/-10y = 0C. x2+j2+10x=0 D・ x2+j2—10x=0所以9 +(1—方)2=方「解得方=5.解析：设圆心为(0,b）9半径为八Jl!| r= \b\9x2+(y —bf=b)因为点(3, 1)所以圆的方程为x2+j2—10y=0.4.点(1, 1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4内，则实数日的取值范围思’J .解析：因为点(1, 1)在圆的内部,所以(1-a)2+(1+a)2<4, 所以一1<a<1.5.(必修2P124习题4.1 A组T4改编)圆C的圆心在x轴上, 并且过点4(-1, 1)和B(1, 3),则圆C的方程为(X—2)2+j2=10解析：设圆心坐标为C(a, 0),因为点A(-l, 1)和B(l, 3)在圆C所以IC4I= ICBI,即7(a+1)彳+1=7 (a—l) 解得a=2f所以圆心为C(2, 0), 半径IC4I=〈(2+1) 2+1=莎，所以圆C的方程为(X-2)2+/=10.典例剖析▼考点突破*考点一求圆的方程(1)经过卩(一2, 4)、0(3, 一1)两点，并且在兀轴上截得的弦 长等于6；(2)圆心在直线j=-4x±,且与直线Z ： x+y-l=0相切于 点 P(3, -2).［解］⑴设圆的方程为X 2+J 2+D X +E J +F=0, 将P 、0点的坐标名师导悟以例说法根据下列条件，求圆的方程:分别代入得2D-4E-F=20,①3D-E+F=-1Q.②又令J=O,得x2+Z)x+F=0e③设帀，兀2是方程③的两根, 由I X!-X2I=6,有Q2_4F=36，④由①②④解得D=—2, E=—4, F=_8 或D = _6, E= —,F=0・故所求x2+j2—2x—4y—8=0或x2+j2—6x—8j=0.(2站^沿^啟»1窘)2+Q—y o )2H >{yoH— 4X0》(3—XO )2+(—2—YO )2H?-IF +y o —一一—— 刍J求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径, 进而写出方程. (2)待定系数法:①若已知条件与(冷方)和半径/有关，则设圆的标准方 程，依据已知条件列出关于“，"厂的方程组，从而求出“,b,厂的值;②若已知条件没有明确给出般方 程，依据已知条件列出关于D, E, F 的方程组，进而求岀D, E, F的值.跟踪训练(2)若不同的四点 4(5, 0)、5(-1, 0)、C(-3, 3)、D(a 9 3) 共圆，求“的值.1.(1)已知圆心为C4(0，-6), 5(1, -5),且|心在直线％兀一丿+1=0上, ;解：（1）法一：设圆的方程为x2+j2+Dx+ Ey+F= 0（^+E2—4F>0）,则圆心坐标为（一£,—「(一6) 2_6E+F=0,由题意可得* I2 + (-5) 2+Z>-5E+F=0,— 2=0,D+E-IO=O,— 2=0,解得*二代入求得i 所以圆的方程为x2+j2+ 6x4- 4j—12= 0,标准方程为(x+ 3)2+ (y+ 2)2= 25.丄11 y+y= — 刁'即 x+y+5=0・法二：因为 A(0, —6), B(l, —5), 所以线段4B 的中点D 的坐标为g ，—因此线段AB 的垂直平分线I 的方程是直线AB 的斜率k AB = —5— ( — 6) iPox+j+5=0,圆心C的坐标是方程组, 的解,lx-j+l=Ox=— 3，解得宀b=_2,所以圆心C的坐标是（一3, -2）.圆的半径长r= IACI =yj (0+3) 2+ (-6+2) 2= 5,所以,心为C的的标准方程是(x+ 3)2+ (y+ 2f= 25.3(2)设过A 、B. C 三点的圆的方程为x 2 +J 2+D X + Ey+F= 0,分别代入A 、B. C 三点坐标，得25+5D+F=0,< l-D+F=0,5>+9-3D+3E+F=0,F=-5.解得D=-4,所以A、B、C三点确定的圆的方程为x2+j2-4x-p-5 因为ZX 偽3）也在此圆上, 所以/+9—4«— 25—5=0.所以a=7或a= —3（舍去）. 即a的值为7.考点二与圆有关的最值问题(高频考点)与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题.高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度:(1)半径、面积型最值;⑵斜率型最值;⑶截距型最值;⑷距离型最值.鯉［2 （ 1）（2014-高考江西卷）在平面直角坐标系中分别是兀轴和V轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y_4= 0相切，则圆C面积的最小值为（A ）A 4 口3A•一兀B•一Ji5 4C. （6—2质）兀D.討（2）（2016-河南省豫西五校联考）已知M为圆C：X2+J2-4X 一14丿+45=0上任意一点，且点2（-2, 3）.①求IM0的最大值和最小值；②若M（〃，砒，求三|的最大值和最小值.加十2［解］⑴选A.因为ZAOB=90°,所以点O在圆C上. 设直线2x+y-4=0与圆C相切于点D,则点C与点O间的距离等于它到直线2x+j-4=0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2x+j-4=0为准线的抛物线上，所以当且仅当O, C, D共线时，圆的直径最小为IODI.4 2=质，所以圆C的最小半径为恭，所以圆C面积的最小值为兀1114 亏•IIIf 12X0+0-41 又如=—^―(2)由圆C： x2+j2— 4x— 14y+ 45= 0,可得(x-2)2+(y-7)2 =8,所以圆心C的坐标为(2, 7),半径①I0C1= 7 (2+2) ?+ (7-3) j血所以IMei max= 40+20 = 60, IM0lmin= 40 —2\{2 = 2\[i.②可知表示直线MQ的斜率, 加十2设直线MQ的方程为丿一3=饥兀+2),YI — 3即 kx-y-V 2k-\- 3= 0,则—;—=k.m + 2 由直线M0与圆C 有交点,可得 2—书WEW2+V5,所以所以加+ 2的最大值为2+书, 1小值为2—书.与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如“=巳形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如(兀一a)2+® —耐?形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.通关练习2•已知实数x, y满足方程x2+j2— 4x+1= 0.⑴求j-x的j 【大值和最小值;(2)求x2+j2的最大值和最小值.解：原方程可化为(X—2)2+J2=3,表示以(2, 0)为圆心，\[3为半径的圆.(1)丿一兀可看作是直线丿=兀+方在丿轴上的截距，当直线y= x + b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时号解得―朋(如图1).所以y—x的最大值为一2+心,图2（2）X 2+J 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知 识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最 小值（如图2）.又圆心到原点的距离为7 （2-0）牛（0一0） 2= 2, 所以x 2+j 2的最大值是（2+书）2=7+4\伎x 2+j 2的最小值 是（2—厉）2=7—4\月・1=1oyX2考点三与圆有关的轨迹问题已知圆X2+J2=4±一定点A(2, 0), B(l, 1)为圆内一点，P, 0为圆上的动点.(1)求线段4P中点的轨迹方程；(2)若ZPBQ=W ,求线段P0中点的轨迹方程.［解］⑴设AP 的中点为M(x, j),由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x-2, 2y).故线段AP 中点的轨迹方程为(x-l)2+j 2=l.⑵设 P0 的中点为 j),在 RtZ\PB0 中，I PN\ = \BN\, 设O 为坐标原点，连接ON (图略)，贝!|ON 丄P0,所以IOP|2 = \ON\2+\PN\2=ION?+\BN\29 所以 x 2+j 2+(x —l)2+(y —1)2=4.故线段中点的轨迹方程为x 2+j 2—X —J —1 = 0.因为P+J 2=4±,所以(2X -2)2+(2J )2=4.求与圆有关的轨迹方程的方法直接法L直接根据题设给定的条件列出方程（组）求解的方法定义法一根据圆（或直线）的定义列方程（组）求解的方法跟踪训练 3•已知直角三角形ABC 的斜边为AB,且A(-l, 0), B(3, 0),求：(1)直角顶点C 的轨迹方程; (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程.解：⑴法一：设顶点eg j),因为AC 丄BC,且A 、B 、C 三点不共线，所以兀H3且兀H —1・所以~Z7i =— 1，即 /+丿2— 2x — 3= 0・JL eV因此，直角顶点c 的轨迹方程为x 2-\-y 2— 2x — 3= 0(X7^3且 兀工一1).又 kac=x+1法二设AB的中点为D,由中点坐标公式得n(l, 0),由直角三角形的性质知，ICDI=|lABI = 2,由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(l, 0)为圆心，2为半径长的圆(由于4B, C三点不共线，所以应除去与兀轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x—1)2+/= 4(xH 3且xH —1).⑵设点M(x, j),点C(x 0, jo)，因为B(3, 0), M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得兀=迴兰3工3且xHl), y由(1)知，点C 在圆(x-l)2+/= 4(x^3且兀工一1)上运动,将兀o=2x —3, yo=2y 代入该方程得(2x —4『+(2刃2=4,即 (X -2)2+J 2=1(X #：3且兀Hl).因此动点M 的轨迹方程为(兀 —2)2+J 2= 1(兀工 3 且 x#= 1).=Jo + O—2 ,于是有 x 0 = 2x —3, y 0=2y.拓展升华触类旁通考题溯源一一求圆的方程（2015•高考全国卷II）己知三点4（1, 0）,B（0,C（2,厉），则外接圆的圆心到原点的距离为（B.长为2的正三角形，其外接圆的圆心为 ［解析］法一:设圆的方程为X 2+J 2+Z)X +£J +F=0, ri+D+F=0, 则5 3+\^E+F=0, 解得 D= — 2, E=_誓法二 在平面直角坐标系兀Oy 中画出△4BG 易知△ABC 是边咼考题溯源 本题源于人教A 版必修2 P122例4 “求过三点M+3+ 2£>+ 应 + F= 0, •因此IODI =0(0, 0), Mi(l, 1), M2(4, 2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标”.考题变式〔如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为方程为闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能解析:因为三角形三边所在的直线方程分别为x+2y—5=0,y—2= 0, x+j—4= 0,所以可得三角形的三个顶点分别是(1, 2), (2, 2), (3, 1). 设三角形外接圆的方x2+j2+Dx+Ey+F= 0,贝||D+2E+F=-5,< 2D+2E+F=一& 3D+E+F=-10,D= _3, 所以\E=-1, 、F=0,所以该三角形外接圆的方程为x2+j2—3x—y= 0,闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能点击链接本部分内容讲解结束闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能。
9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
相离
相切
相交
方程观点
<
Δ___0
Δ___0
=
Δ___0
>
几何观点
d___r
>
d___r
=
d___r
<
图形
量化
微点拨 判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.
微思考 当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?
提示:直线与圆相交或相切.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12 (r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22 (r2>0).
4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方
程(不包括C2).
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
一组实数解
___________
1
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
无解
_____
0
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2 − 2 .
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2024届高考数学一轮复习
（ − ） ＋[ − (−）] ＝ .所以｜ AB ｜＝ ｜｜ − ＝
.
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（2） 已知圆 M ： x 2＋ y 2－2 x －2 y －2＝0，直线 l ：2 x ＋ y ＋2＝0， P
为直线 l 上的动点，过点 P 作圆 M 的切线 PA ， PB ，切点分别为 A ， B .
组不同的解，则直线与圆相交.
（
√
）
（2） （RA选一P92例2改编）若过一点向圆作切线，切线有两条，则点
在圆外.
（
√
）
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（3） （RA选一P96例5改编）若两圆没有公共点，则两圆相离.
（
√
）
（4） （RA选一P98习题2.5第7题改编）若圆 O 1： x 2＋ y 2＋ D 1 x ＋ E 1 y
2. （RA选一P91例1改编）直线 x ＋ y ＋1＝0与圆（ x －1）2＋ y 2＝2的位
置关系是（ A ）
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 无法确定
3. （RA选一P98习题2.5第3题改编）已知圆 x 2＋ y 2＝4截直线 y ＝ k （ x
－2）所得弦的长
度为2，则实数 k 的值为（
第八单元
第53课时
解析几何
直线与圆、圆与圆的位置关系
目
录
01
课前自学
02
课堂导学
【课时目标】
理解直线与圆的位置关系；理解圆与圆的位置关系；了
解直线和圆的简单应用.
【考情概述】
直线与圆、圆与圆的位置关系是新高考考查的重点
内容之一，常以选择题、填空题的形式进行考查，难度中等，属于
热点问题.
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第四讲+直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(3)由(x2＋y2－2x－6y＋1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两 圆的公共弦所在直线的方程为 4x＋3y－22＝0.
故两圆的公共弦的长为
2
32－|4＋34×2＋3－3222|2＝254.
【题后反思】 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间 的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方 程作差消去 x2，y2 项得到.
解析：由 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 得(x－1)2＋(y－1)2＝1， 因为直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，
所以|1＋m1－＋2m－2 m|<1，即 1＋m2＞1，
所以 m≠0，即 m∈(－∞，0)∪(0，＋∞). 答案：D
【题后反思】判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系判断. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可 判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于 动直线问题.
解：由题意得圆心 C(1，2)，半径 r＝2. (1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4， ∴点 P 在圆 C 上. 又 kPC＝2－2＋12－ －12＝－1，
∴切线的斜率 k＝－k1PC＝1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝x－( 2＋1)， 即 x－y＋1－2 2＝0.
如图 D72，设 P(0，－2)，PA，PB 分别切圆 C 于 A，B 两点， PC＝ 22＋22＝2 2，θ＝∠APB，α＝π－θ.
图 D72
在 Rt△PAC 中，sin 2θ＝PrC＝ 410， 所以 cos 2θ＝ 1－sin22θ＝ 46. 所以 sinθ＝2sin 2θcos 2θ＝2× 410× 46＝ 415，sin α＝sin (π－θ) ＝ 415.故选 B. 答案：B
(复习指导)9.3 圆的方程含解析
9.3 圆的方程必备知识预案自诊知识梳理1.圆的定义及方程圆心:-D2,-E 2注意:当D 2+E 2-4F=0时,方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示一个点(-D2,-E2);当D 2+E 2-4F<0时,方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形.2.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),点M (x 0,y 0), (1)(x 0-a )2+(y 0-b )2 r 2⇔点M 在圆上; (2)(x 0-a )2+(y 0-b )2 r 2⇔点M 在圆外; (3)(x 0-a )2+(y 0-b )2 r 2⇔点M 在圆内.以A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)为直径的两端点的圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0(公式推导:设圆上任一点P (x ,y ),则有k PA ·k PB =-1,由斜率公式代入整理即可).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)已知圆的方程为x 2+y 2-2y=0,过点A (1,2)作该圆的切线只有一条. ( ) (2)方程(x+a )2+(y+b )2=t 2(t ∈R )表示圆心为(a ,b ),半径为t 的一个圆.( )(3)方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0表示圆心为-a2,-a ,半径为12√-3a 2-4a +4的圆.( )(4)已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则以AB 为直径的圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0. ( )(5)若点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0外,则x 02+y 02+Dx 0+Ey 0+F>0. ( ) 2.已知圆C 经过点A (1,5),且圆心为C (-2,1),则圆C 的方程为( )A.(x-2)2+(y+1)2=5B.(x+2)2+(y-1)2=5C.(x-2)2+(y+1)2=25D.(x+2)2+(y-1)2=253.(2020山东聊城模拟)圆x2+y2-6x-2y+3=0的圆心到直线x+ay-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.√3D.24.(2020山东青岛实验高中测试)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是()A.a<-2B.-23<a<0C.-2<a<0D.-2<a<235.已知点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,则△ABO外接圆的方程是.关键能力学案突破考点求圆的方程【例1】(1)(2020山东青岛实验高中测试)圆心为(2,-1)的圆,在直线x-y-1=0上截得的弦长为2√2,那么这个圆的方程为()A.(x-2)2+(y+1)2=4B.(x-2)2+(y+1)2=2C.(x+2)2+(y-1)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=2(2)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0截得的弦长为√6,则圆C的方程为.?解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任一弦的垂直平分线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy中,过A(4,4),B(4,0),C(0,4)三点的圆被x轴截得的弦长为()A.4B.4√2C.2D.2√2(2)一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为2√7,则该圆的方程为.考点与圆有关的轨迹问题【例2】点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=44)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1?解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同,常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.对点训练2古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义:平面内,到两个定点A,B距离之比是常数λ(λ>0,λ≠1)的点M的轨迹是圆.若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹围成区域的面积为()A.πB.2πC.3πD.4π考点与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助目标函数的几何意义求最值【例3】已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;(2)求n-3m+2的最大值和最小值.解题心得借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.(1)形如u=y -bx -a 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a )2+(y-b )2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 对点训练3已知实数x ,y 满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z=y+1x的最大值与最小值分别为和 .考向2 借助圆的几何性质求最值【例4】已知点A (0,2),点P 在直线x+y+2=0上运动,点Q 在圆C :x 2+y 2-4x-2y=0上运动,则|PA|+|PQ|的最小值是 .?解题心得形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P ,Q 均为动点),要立足两点: (1)减少动点的个数;(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.对点训练4(2020山东济宁模拟)已知两点A (0,-3),B (4,0),若点P 是圆C :x 2+y 2-2y=0上的动点,则△ABP 的面积的最小值为 .考向3 建立函数关系求最值【例5】(2020江苏,14)在平面直角坐标系xOy 中,已知P (√32,0),A ,B 是圆C :x 2+(y -12)2=36上的两个动点,满足PA=PB ,则△PAB 面积的最大值是 .解题心得利用函数关系求最值时,先根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或基本不等式求最值.对点训练5(2020宁夏银川模拟)设点P (x ,y )是圆(x-3)2+y 2=4上的动点,定点A (0,2),B (0,-2),则|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为 .求半径常有以下方法:(1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(或切线)的距离等于半径;(2)若已知弦长、弦心距,则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得.1.求圆的方程需要三个独立条件,因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式.2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行,注意数形结合,充分运用圆的性质.3.解决与圆有关的轨迹问题,一定要看清要求,是求轨迹方程还是求轨迹.9.3 圆的方程必备知识·预案自诊知识梳理1.定点 定长 (a ,b ) r √D 2+E 2-4F22.(1)= (2)> (3)<考点自诊1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.D 因为圆C 经过A (1,5),且圆心为C (-2,1),所以圆C 的半径为r=√(-2-1)2+(1-5)2=5,则圆C 的方程为(x+2)2+(y-1)2=25.故选D .3.B 由题意,圆x 2+y 2-6x-2y+3=0,即(x-3)2+(y-1)2=7.圆心(3,1)到直线x+ay-1=0的距离d=√1+a2=1,所以a=-34. 4.D 方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0表示圆,所以a 2+4a 2-4(2a 2+a-1)>0,所以3a 2+4a-4<0,所以(a+2)(3a-2)<0,即-2<a<23.5.(x-1)2+(y-2)2=5 方法1 由题知OA ⊥OB ,故△ABO 外接圆的圆心为AB 的中点(1,2),半径为12|AB|=√5,所以△ABO 外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.方法2 设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,因为过A (2,0),B (0,4),O (0,0)三点,所以{4+2D +F =0,16+4E +F =0,F =0,解得D=-2,E=-4,F=0,则△ABO 外接圆的方程是x 2+y 2-2x-4y=0,即△ABO 外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.关键能力·学案突破例1(1)A (2)(x-1)2+(y+1)2=2(1)因为圆心(2,-1)到直线x-y-1=0的距离d=√2=√2,弦长为2√2,所以圆的半径r=√(√2)2+(2√22)2=2,则圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.(2)由圆C 的圆心在直线x+y=0上,可设圆心坐标为(a ,-a ),又圆C 与直线x-y=0相切,所以圆的半径r=√2|a|.因为圆心到直线x-y-3=0的距离d=√2,圆C 被直线x-y-3=0截得的弦长为√6,所以d 2+(√62)2=r2,即(2a -3)22+32=2a 2,解得a=1,所以圆C 的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.对点训练1(1)A (2)x 2+y 2-6x-2y+1=0或x 2+y 2+6x+2y+1=0 (1)根据题意,设过A ,B ,C 三点的圆为圆M ,其方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,又由A (4,4),B (4,0),C (0,4),则有{32+4D +4E +F =0,16+4D +F =0,16+4E +F =0,解得D=-4,E=-4,F=0,即圆M 的方程为x 2+y 2-4x-4y=0,令y=0可得x 2-4x=0,解得x 1=0,x 2=4,即圆与x 轴的交点的坐标为(0,0),(4,0),则圆被x 轴截得的弦长为4.故选A.(2)方法1 ∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上, ∴设所求圆的圆心为(3a ,a ),又所求圆与y 轴相切,∴半径r=3|a|,又所求圆在直线y=x 上截得的弦长为2√7,圆心(3a ,a )到直线y=x 的距离d=√2,∴d 2+(√7)2=r 2,即2a 2+7=9a 2,∴a=±1.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x 2+y 2-6x-2y+1=0或x 2+y 2+6x+2y+1=0.方法2 设所求圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,则圆心(a ,b )到直线y=x的距离为|a -b |√2,∴r 2=(a -b )22+7,即2r 2=(a-b )2+14. ① ∵所求圆与y 轴相切,∴r 2=a 2,② ∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上, ∴a-3b=0,③联立①②③,解得{a =3,b =1,r 2=9或{a =-3,b =-1,r 2=9.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x 2+y 2-6x-2y+1=0或x 2+y 2+6x+2y+1=0.方法3 设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为-D 2,-E 2,半径r=12√D 2+E 2-4F .在圆的方程中,令x=0,得y 2+Ey+F=0. 由于所求圆与y 轴相切,∴Δ=0,则E 2=4F. ①圆心-D 2,-E 2到直线y=x 的距离d=|-D 2+E2|√2,由已知得d 2+(√7)2=r 2, 即(D-E )2+56=2(D 2+E 2-4F ).② 又圆心-D 2,-E2在直线x-3y=0上,∴D-3E=0. ③联立①②③,解得{D =-6,E =-2,F =1或{D =6,E =2,F =1.故所求圆的方程为x 2+y 2-6x-2y+1=0或x 2+y 2+6x+2y+1=0.例2A 设圆上任一点为Q (x 0,y 0),PQ 中点为M (x ,y ),根据中点坐标公式,得{x 0=2x -4,y 0=2y +2,因为Q (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=4上,所以x 02+y 02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化为(x-2)2+(y+1)2=1,故选A .对点训练2D 以A 为原点,直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系,则B (3,0).设M (x ,y ),依题意有√x 2+y 2√(x -3)+y 2=2,化简整理得x 2+y 2-8x+12=0,即(x-4)2+y 2=4,则圆的面积为4π.故选D.例3解(1)(方法1)依题意,圆心C (2,7),半径r=2√2.设m+2n=t ,则点M (m ,n )为直线x+2y=t 与圆C 的公共点,所以圆心C 到该直线的距离d=√12+22≤2√2,解得16-2√10≤t ≤16+2√10.所以m+2n 的最大值为16+2√10.(方法2)由x 2+y 2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8. 因为点M (m ,n )为圆C 上任意一点,所以可设{m -2=2√2cosθ,n -7=2√2sinθ,(θ为参数)即{m =2+2√2cosθ,n =7+2√2sinθ,(θ为参数)所以m+2n=2+2√2cos θ+2(7+2√2sin θ)=16+2√2cos θ+4√2sin θ =16+2√10sin(θ+φ),其中tan φ=12. 因为-1≤sin(θ+φ)≤1,所以m+2n 的最大值为16+2√10. (2)设点Q (-2,3).则直线MQ 的斜率k=n -3m+2. 设直线MQ 的方程为y-3=k (x+2), 即kx-y+2k+3=0.由直线MQ 与圆C 有公共点, 得√k +1≤2√2,解得2-√3≤k ≤2+√3,即2-√3≤n -3m+2≤2+√3.所以n -3m+2的最大值为2+√3,最小值为2-√3. 对点训练34+√73 4-√73由题意,得y+1x表示过点A (0,-1)和圆(x-2)2+(y-1)2=1上的动点P (x ,y )的直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值与最小值.设切线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,则√k 2+1=1,解得k=4±√73.所以z max =4+√73,z min =4-√73. 例42√5 依题意,圆心C (2,1),半径r=√5.设点A (0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m ,n ),则{m+02+n+22+2=0,n -2m -0=1,解得{m =-4,n =-2,故A'(-4,-2).连接A'C 交直线x+y+2=0于点P ,交圆C 于点Q (图略),此时|PA|+|PQ|取得最小值.由对称性可知此时|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=2√5. 对点训练4112依题意,圆心C (0,1),半径r=1.如图,过圆心C 向直线AB 作垂线交圆C 于点P ,连接BP ,AP ,此时△ABP 的面积最小.因为直线AB 的方程为x4+y-3=1,即3x-4y-12=0,所以圆心C 到直线AB 的距离d=165.又|AB|=√32+42=5,所以△ABP 的面积的最小值为12×5×(165-1)=112. 例510√5 本题考查圆与直线的位置关系.如图,由已知,得C (0,12),CP=1,AB ⊥CP.设过点P 的直径为EF ,AB 与EF 相交于点D ,设CD=d. (1)当点D 与P 在圆心C 的异侧时, S △PAB =12×2√36-d 2×(1+d ) =√(36-d 2)(1+d )2(0≤d<6).设f (d )=(36-d 2)(1+d )2,则f'(d )=-2d (d+1)2+2(36-d 2)(d+1)=-2(d+1)(d-4)(2d+9). 所以f (d )在区间[0,4)上单调递增,在区间(4,6)上单调递减, 所以当d=4时,f (d )取得最大值f (4)=500,此时,S △PAB =10√5.(2)当点D 与P 在圆心C 的同侧时,①当点D 在点C ,P 之间时,△PAB 的高为1-d ; ②当点D 在CP 的延长线上时,△PAB 的高为d-1. 根据圆的对称性,当AB 与(1)中相等时,相应的高都小于(1)中AB 对应的高,所以相应△PAB 的面积也小. 综上,△PAB 面积的最大值是10√5.对点训练510 由题意,知PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x ,2-y ),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x ,-2-y ),所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2x ,-2y ),所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√x 2+y 2.因为点P (x ,y )是圆(x-3)2+y 2=4上的点,所以(x-3)2+y 2=4,1≤x ≤5,所以y 2=-(x-3)2+4,所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√x 2-(x -3)2+4=2√6x -5.因为1≤x ≤5,所以当x=5时,|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值最大,最大值为2√6×5-5=10.。
高考数学考点归纳之 直线与圆、圆与圆的位置关系
高考数学考点归纳之 直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2. 考点一 直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断[典例] 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5， 消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 因为Δ＝16m 2＋20>0， 所以直线l 与圆相交．法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交． 法三：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．[答案] A[解题技法] 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． [提醒] 上述方法中最常用的是几何法． 考法(二) 直线与圆相切的问题[典例] (1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( ) A ．3x ＋4y －4＝0 B ．4x －3y ＋4＝0 C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0 D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0(2)(2019·成都摸底)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.[解析] (1)当斜率不存在时，x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线方程为4x －3y ＋4＝0，故切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为C (1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，解得m ＝－1，所以|MC |2＝13，|MP |＝13－4＝3.[答案] (1)C (2)3 考法(三) 弦长问题[典例] (1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D.2(2)(2019·海口一中模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( )A ．4πB ．2πC ．9πD ．22π[解析] (1)因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. (2)易知圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0的圆心为(0，a )，半径为a 2＋2.圆心(0，a )到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|a |2，由直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，|AB |＝23，可得a 22＋3＝a 2＋2，解得a 2＝2，故圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π，故选A.[答案] (1)D (2)A[题组训练]1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎝⎛⎭⎫22，22的切线方程是________． 解析：因为M ⎝⎛⎭⎫22，22是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以圆的切线的斜率为－1，则设切线方程为x ＋y ＋a ＝0，所以22＋22＋a ＝0，得a ＝－2，故切线方程为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝02．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题知，圆x 2＋y 2－2x －3＝0可写成(x －1)2＋y 2＝4，圆心(1,0)到直线kx －y ＋2＝0的距离d ＞2，即|k ＋2|k 2＋1＞2，解得0＜k ＜43.答案：⎝⎛⎭⎫0，43 3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.解析：因为点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，所以直线y ＝kx ＋1的斜率k ＝1，即y ＝x ＋1.又圆心⎝⎛⎭⎫－1，m2在直线l ：x ＋y ＝0上，所以m ＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径r ＝2，所以圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝22，所以|AB |＝2r 2－d 2＝ 6. 答案：6考点二 圆与圆的位置关系[典例] (2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0,0)，(－a ，a )． ∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0， 即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2. ∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3， ∴两圆相交．法二：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．[答案] B [变透练清]1．(2019·太原模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11解析：选C 圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.2.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．解析：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，(x －1)2＋(y －1)2＝1，两式相减得，2x －2y －1＝0，因为N (1,1)，r ＝1，则点N 到直线2x －2y －1＝0的距离d ＝|－1|22＝24，故公共弦长为21－⎝⎛⎭⎫242＝142.答案：142[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．[课时跟踪检测]A 级1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3D ．±3解析：选B 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a |5＝5，即a ＝±5.故选B.2．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则两圆圆心距|C 1C 2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.3．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A.4．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.故选B.5．(2019·重庆一中模拟)若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( )A ．±1B ．±24 C ．± 2D ．±32解析：选B 由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，即|－1＋3a ＋1|1＋a 2＝1，解得a ＝±24. 6．(2018·嘉定二模)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14解析：选B 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：易知圆心(2，－1)，半径r ＝2，故圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝355，弦长为2r 2－d 2＝2555. 答案：25558．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 解析：因为圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为(1,0)，所以直线AB 的斜率等于－11－02－1＝－1，由点斜式得直线AB 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________． 解析：因为P (－3,1)关于x 轴的对称点的坐标为P ′(－3，－1)， 所以直线P ′Q 的方程为y ＝－1－3－a (x －a )，即x －(3＋a )y －a ＝0， 圆心(0,0)到直线的距离d ＝|－a |1＋(3＋a )2＝1，所以a ＝－53.答案：－5310．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．解析：把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得(x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3； 圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝35＞5.故圆C 1与圆C 2相离， 所以|P Q |的最小值是35－5.答案：35－511．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 解：(1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11， 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴圆C 1和圆C 2相交． (2)圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则(a －2)2＋(－2a ＋1)2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2. ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ， 由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.B 级1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B.3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0＞0，y 0＞0，则有x 20＋y 20＝1，且切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令y ＝0，x ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2，当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．2．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________．解析：因为AB ―→·CD ―→＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝π4，设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3.又B (5,0)，所以 直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3(x －5)，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3. 答案：33．(2018·安顺摸底)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)． (1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥3或a ≤－ 3.(2)设MN 与AC 交于点D ，O 为坐标原点． ∵|MN |＝455，∴|DM |＝255.又|MC |＝2，∴|CD |＝4－2025＝45， ∴cos ∠MCA ＝452＝25，|AC |＝|MC |cos ∠MCA ＝225＝5，∴|OC|＝2，|AM|＝1，∴MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，∴MN所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，因此MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.。
2022年高考数学总复习考点培优——直线与圆、圆与圆的位置关系
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【教材回扣】1．直线与圆的位置关系设圆O的半径为r(r＞0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：相离相切相交Δ______0Δ______0Δ______0若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2(r＞0)上，则以P为切点的切线方程为F7______________.3．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r(R>r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：相离外切相交内切内含____________________________________【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．“k＝2”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切”的必要不充分条件．() 2．若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．()3．若两圆相切，则有且只有一条公切线．()4．从两圆的方程中消掉二次项后得到二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()题组二教材改编1．直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长为()A.102B.10C.265D.22652．已知直线4x＋3y－35＝0与圆心在原点的圆C相切，则圆C的方程为() A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝5C．x2＋y2＝7 D．x2＋y2＝493．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．题组三易错自纠1．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是()A．[－2，2] B．[－22，22]C．[－2－1，2－1] D．[－22－1,22－1]2．(多选题)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A．0＜m＜1 B．－1＜m＜0C．m＜1 D．－3＜m＜13．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为________．题型一直线与圆的位置关系的判断[例1](1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是()A．(2＋1，＋∞) B．(2－1，2＋1)C．(0，2－1) D．(0，2＋1)[听课记录]类题通法判断直线与圆的位置关系的一般方法1．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．2．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系.巩固训练1：(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为________．题型二圆的切线与弦长问题高频考点角度|圆的切线问题[例2](1)[2020·浙江卷](一题两空)已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝________，b＝________.(2)从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________．[听课记录]类题通法1.求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k，由点斜式可写出切线方程．2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的2种方法(1)几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程．(2)当斜率存在时，设为k，则切线方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．[提醒]当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况.巩固训练2：(1)(多选题)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线的方程为()A．x＝－2 B．x＝2C．4x－3y＋4＝0 D．4x＋3y－4＝0(2)直线l是圆x2＋y2＝4在(－1，3)处的切线，点P是圆x2－4x＋y2＋3＝0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于________．角度|圆的弦长问题[例3](1)(多选题)[2021·山东德州模拟]直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为()A．6 B．8C．12 D．16(2)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．5 2 B．102C．15 2 D．202(3)[2020·天津卷]已知直线x－3y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点，若|AB|＝6，则r的值为________．[听课记录]类题通法有关弦长问题的2种求法1．几何法：直线被圆截得的半弦长l2，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝(l2)2＋d2.2．代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·(y1＋y2)2－4y1y2.巩固训练3：(1)[2020·全国卷Ⅰ]已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4(2)(多选题)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A．4x－3y＋9＝0 B．x＝0C．3x＋4y－12＝0 D．3x＋4y＋12＝0(3)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.题型三圆与圆的位置关系[例4]已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．[听课记录]类题通法(1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察．(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．(3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长l2，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.巩固训练4：(1)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0，圆C2：x2＋y2＋4x－3y－36＝0，则圆C1和圆C2的位置关系为()A．相切B．内含C．外离D．相交(2)[2021·山东潍坊模拟]已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋3)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围是________．(3)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为23，则a＝________.[预测1] 核心素养——直观现象 过点P(x 0，y 0)作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1的切线，切点分别为A ，B.若|PA|＝|PB|，则x 20＋y 20的最小值为( )A .52B .54C .54 D ．5 [预测2] 新题型——多选题已知圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M 被x 轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是( )A ．圆M 的圆心在定直线x －y －2＝0上B ．圆M 的面积的最大值为50πC ．圆M 的半径的最小值为1D ．满足条件的所有圆M 的半径之积为10第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 课前基础巩固[教材回扣]＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜x 0x ＋y 0y ＝r 2 d ＞R ＋r d ＝R ＋r R －r ＜d ＜R ＋r d ＝R －r 0≤d ＜R －r [题组练透] 题组一1．× 2.√ 3.× 4.× 题组二1．解析：由已知可知圆C 的圆心为(1,2)，半径为5，圆心到直线的距离为d ＝|3×1－2－6|32＋12＝102.∴|AB |＝2r 2－d 2＝252－⎝⎛⎭⎫1022＝10. 故选B. 答案：B2．解析：由题意知：圆心到直线4x ＋3y －35＝0的距离d 等于半径r .即d ＝3542＋32＝7＝r ，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝49. 故选D.答案：D3．解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0， 得x －y ＋2＝0.已知圆x 2＋y 2－4＝0的圆心(0,0)，半径r 为2，且圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝22＝2， 则公共弦长为2r 2－d 2＝24－2＝2 2.答案：22 题组三1．解析：已知圆的圆心坐标为(2,1)，半径r ＝2. 则圆心到直线l 的距离为d ＝|2－1＋m |2≤r ＝2. 解得－22－1≤m ≤22－1. 故选D. 答案：D2．解析：已知圆的圆心坐标为(1,0)，半径r ＝2， 则圆心到直线的距离d ＝|1＋m |2＜2，解得－3＜m ＜1，则－3＜m ＜1的一个充分不必要条件是0＜m ＜1或－1＜m ＜0. 故选AB. 答案：AB3．解析：由题意知P 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k ，所以切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，所以|k ×0－0＋1－3k |k 2＋1＝3，解得k ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －15＝0.综上，切线方程为x ＝3或4x ＋3y －15＝0.答案：x ＝3或4x ＋3y －15＝0课堂题型讲解题型一例1 解析：(1)法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y 得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0. 因为Δ＝16m 2＋20＞0， 所以直线l 与圆相交．法二 (几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1＜1＜5，故直线l 与圆相交．法三 易得直线l 过定点(1,1)．把点(1,1)代入圆的方程有1＋0＜ 5.∴点(1,1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交．(2)计算得圆心到直线l 的距离为22＝2＞1，如图，直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1.故选A.答案：(1)A (2)A巩固训练1 解析：(1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1.所以直线与圆相交．故选B.(2)∵x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0表示圆， ∴8－4b ＞0，即b ＜2.∵直线ax ＋y ＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)， ∴点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0的内部， ∴6＋b ＜0，解得b ＜－6，∴b 的取值范围是(－∞，－6)． 答案：(1)B (2)(－∞，－6) 题型二例2 解析：(1)解法一 因为直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以|b |1＋k 2＝|4k ＋b |1＋k 2＝1，得k ＝33，b ＝－233. 解法二 因为直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以直线y ＝kx ＋b 必过两圆心连线的中点(2,0)，所以2k ＋b ＝0.设直线y ＝kx ＋b 的倾斜角为θ，则sin θ＝12，又k ＞0，所以θ＝π6，所以k ＝tan π6＝33，b ＝－2k ＝－233. (2)如图：圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋4y ＋7＝0的标准方程为：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1.圆心C (－2，－2)，半径r ＝1.∴圆心到直线l ：x ＋y －1＝0的距离|CP |＝|－2－2－1|2＝522，则切线长的最小值为：|CP |2－|CQ |2＝252－1＝462.答案：(1)33 －233 (2)462巩固训练2 解析：(1)根据题意，圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，半径r ＝1.过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，若切线的斜率不存在，此时切线的方程为x ＝2，符合题意；若切线的斜率存在，设此时切线的斜率为k ，则其方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0，则有|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线的方程为4x －3y ＋4＝0.综上可得，切线的方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.故选BC.(2)圆x 2＋y 2＝4在点(－1，3)处的切线为l ：－x ＋3y ＝4，即l ：x －3y ＋4＝0，点P 是圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，圆心(2,0)到直线l ：x －3y ＋4＝0的距离d ＝|2－0＋4|1＋3＝3，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于d －1＝3－1＝2.答案：(1)BC (2)2例3 解析：(1)圆C 的圆心坐标为(－3,3)，半径为6，所以弦长AB 的最大值为圆C 的直径12.又直线y ＝kx －1过点P (0，－1)，当直线CP 与直线y ＝kx －1垂直时，弦长AB 最短，此时|AB |＝262－|CP |2＝262－52＝211，所以211≤|AB |≤12，故选BC.(2)圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1,3)，半径r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.故选B.(3)由题意得，圆心(0,0)到直线x －3y ＋8＝0的距离d ＝82＝4，因此r 2＝d 2＋|AB |22＝25，又r ＞0，∴r ＝5.答案：(1)BC (2)B (3)5巩固训练3 解析：(1)将圆的方程x 2＋y 2－6x ＝0化为标准方程(x －3)2＋y 2＝9，设圆心为C ，则C (3,0)，半径r ＝3.设点(1,2)为点A ，过点A (1,2)的直线为l ，因为(1－3)2＋22＜9，所以点A (1,2)在圆C 的内部，则直线l 与圆C 必相交，设交点分别为B ，D .易知当直线l ⊥AC 时，直线l 被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C 到直线l 的距离为d ，则d ＝|AC |＝(3－1)2＋(0－2)2＝22，所以|BD |min ＝2r 2－d 2＝232－(22)2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.(2)将圆的方程化为标准形式为：(x －1)2＋(y －1)2＝4，所以圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，圆心到直线l 的距离为d ＝1，所以|AB |＝24－1＝23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，易知圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，因为d 2＋|AB |22＝r 2，所以(k ＋2)2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3.即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0，故选BC.(3)记圆C 与y 轴的两个交点分别是A ，B ，由圆心C 到y 轴的距离为1，|CA |＝|CB |＝2可知，圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.答案：(1)B (2)BC (3)±5 题型三例4 解析：两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)， 半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时， (5－1)2＋(6－3)2 ＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－m －11＝5.解得m ＝25－1011.因为k MN ＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43.设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有43×1＋3－b 432＋1＝11.解得b ＝133±5113.容易验证，当b ＝133＋5113，直线与后一圆相交，舍去．故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311，即4x ＋3y ＋511－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，得公共弦的长为 2×(11)2－|4＋3×3－23|42＋322＝27.巩固训练4 解析：(1)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋1＝0，即(x ＋1)2＋y ＋322＝94，∴C 1－1，－32，圆C 1的半径r 1＝32.圆C 2：x 2＋y 2＋4x －3y －36＝0，即(x ＋2)2＋y －322＝1694， ∴C 2－2，32，圆C 2的半径r 2＝132.∴两圆的圆心距|C 1C 2|＝(－2＋1)2＋32＋322＝10.又∵r 1＋r 2＝32＋132＝8，r 2－r 1＝132－32＝5，∴|C 1C 2|＝10＜r 2－r 1＝5，故两圆内含．故选B.(2)由题意易得∠APO ＝12∠APB ＝30°，|OP |＝|OA |sin ∠APO ＝1sin 30°＝2，∴点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上，∴此圆与圆M 有公共点，∴2－1≤|OM |≤2＋1，即1≤|OM |2≤9.∵|OM |2＝a 2＋(a －3)2＝2a 2－6a ＋9，∴1≤2a 2－6a ＋9≤9，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－6a ＋8≥0，2a 2－6a ≤0，解得0≤a ≤3，∴a 的取值范围是[0,3]． (3)两圆作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝6a－a .∵公共弦长为2 3.∴a 2＝(3)2＋6a－a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.答案：(1)B (2)[0,3] (3)±2高考命题预测预测1 解析：如图所示，由圆的切线的性质，得|P A |2＝|PC 1|2－1，|PB |2＝|PC 2|2－1.又|P A |＝|PB |，所以|PC 1|＝|PC 2|，所以点P 在线段C 1C 2的垂直平分线上．因为C 1C 2的垂直平分线为y ＝－21(x －1)＋12，即y ＝－2x ＋52，点P (x 0，y 0)在y ＝－2x ＋52上，所以点P 的坐标满足y 0＝－2x 0＋52，所以x 20＋y 20＝x 20＋－2x 0＋522＝5(x 0－1)2＋54≥54，所以x 20＋y 20的最小值为54.故选B. 答案：B预测2 解析：∵圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A (0，－2)，∴直线AM 与直线x ＋y ＋2＝0垂直，∴直线AM 的斜率为1，则点M 在直线y ＝x －2，即x －y －2＝0上，A 正确；设M (a ，a －2)，∴圆M 的半径r ＝|AM |＝a 2＋(a －2＋2)2＝2|a |，∴圆M 被x 轴截得的弦长为2r 2－(a －2)2＝2a 2＋4a －4＝2，解得a ＝－5或a ＝1，当a ＝－5时，圆M 的面积最大，为πr 2＝50π，B 正确；当a ＝1时，圆M 的半径最小，为2，C 错误；满足条件的所有圆M 的半径之积为52×2＝10，D 正确．故选ABD.答案：ABD。
两条直线的位置关系9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测(解析版)
专题39两条直线的位置关系9题型分类1．两条直线的位置关系直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 3：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 4：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(其中l 1与l 3是同一条直线，l 2与l 4是同一条直线)的位置关系如下表：位置关系l 1，l 2满足的条件l 3，l 4满足的条件平行k 1＝k 2且b 1≠b 2A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0垂直k 1·k 2＝－1A 1A 2＋B 1B 2＝0相交k 1≠k 2A 1B 2－A 2B 1≠02.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．②结论：|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.③特例：点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.常用结论1．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．（一）判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．，根据两直线平行和垂直时，其斜率间的关系得出方程组，解之可求得点（二）利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．∴PB l 的倾斜角为π6，PA l 的倾斜角为∴直线l 的倾斜角的取值范围是故选：D作B 关于直线:3l x y --则直线AB '和直线l 的交点即为设D 为l 上异于P 的一点，则故DA DB DA DB -=-故||||||PA PB -最大，即此时设(,)B a b '，则432b a a b -⎧=⎪⎪⎨⎪⨯-⎪⎩作C 关于直线:3l x y --则直线AC '和直线l 的交点即为设E 为l 上异于P 的一点，则故EC EA EC EC +=+故||||+PA PC 最小，即此时设(,)C m n '，则43332n m m -⎧=⎪⎪-⎨+⎪⨯⎪⎩故直线AC '方程为19x +即即1126(,)77P ；5-4．（2024高三下·江西2430x y -+=上一动点，则A ．5B 【答案】B【分析】求点()0,2A -关于直线论两点之间线段最短可求5-5．（2024高二下·上海浦东新且1PQ l ⊥，点()3,3A --，【答案】310322+【分析】作出图象，易知l 然后在l 上，直线1l ，2l 之间找点由此求解．【详解】易知12l l //，作出图象如下，过直线:3l y x =-，过P 作直线//PC QB ，与直线l 交于点C ，易知四边形PCBQ 为平行四边形，故PC QB =，且B 到直线2l 的距离等于C 到1l 的距离，设(,3)C t t -，则3230122t t +-++-=，解得32t =或12t =-（舍)，所以33,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而AP PQ QB AP PQ PC ++=++，且2(1)332222PQ --===（定值），故只需求出||||AP PC +的最小值即可，显然223331033222AP PC AC ⎛⎫⎛⎫+≥=--+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故AP PQ QB ++的最小值为310322+．故答案为：310322+．5-6．（2024高三下·河南·阶段练习）已知函数()()()ln 11f x a x a =++∈R 的图象恒过定点A ，圆22:4O x y +=上的两点()11,P x y ，()22,Q x y 满足()PA AQ λλ=∈R，则11222727x y x y +++++的最小值为()A ．25B ．75+C ．155-D ．3025-【答案】C 【分析】设直线l 为270x y ++=.取圆O 的弦PQ 的中点为E ，求出其轨迹方程，求出E 到直线l 距离的最小值.过P 、E 、Q 分别作直线l 的垂线，垂足分别为M 、R 、N ，将11222727x y x y +++++转化为25ER ，即可求其最小值．【详解】由题可知A 为(0，1)，且P 、A 、Q 三点共线，设弦PQ 的中点为E (x ，y )，连接OE ，则OE ⊥PQ ，即OE ⊥AE ，∴0OE AE ⋅=，由此可得E 的轨迹方程为2+−122=14，【点睛】本题需充分利用数形结合思想进行简答，直线的距离公式联系在一起，数形结合求解最值5-7．（2024高三下·上海宝山·开学考试）如图，平面上两点2MN=，且使PM MN++【答案】99, 44骣÷ç÷ç÷ç桫【点睛】本小题主要考查两点间距离公式的应用，考查对称性，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题（三）对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．求直线l关于直线0l对称的直线'lCA．35B．【答案】C【分析】求点A关于y轴的对称点6-3．（2024高二上·四川遂宁A ．(1,4)-C ．(3,4)--【答案】C 【分析】因点A 与点B 关于直线对称，则【详解】设(),A x y ，因点A 垂直，则212022112x y y x ++⎧++=⎪⎧⎪⇒⎨⎨-⎩⎪=⎪-⎩即点A 坐标为(3,4)--.则直线的对称点为（四）一、单选题1．（2024高二上·浙江·期中）已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a 等于（）AB．2C1D1+【答案】C【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.1=．解得1a =-1a =-0a >，1a ∴=-故选：C.2．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知两条直线1:3460l x y -+=，2:3440l x y --=，则这两条直线之间的距离为（）A ．2B ．3C ．5D ．10【答案】A【分析】由两平行线距离公式求解即可.【详解】这两条直线之间的距离为2d ==.故选：A3．（2024高二·全国·课后作业）求直线x ＋2y －1＝0关于直线x ＋2y ＋1＝0对称的直线方程（）A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y ＋3＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．x ＋2y ＋2＝0【答案】B【分析】结合两平行线间的距离公式求得正确选项.【详解】设对称直线方程为20x yc ++=，=，解得3c =或1c =-（舍去）.所以所求直线方程为230x y ++=.故选：B4．（2024高二·全国·课后作业）直线0ax by c ++=关于直线0x y -=对称的直线为（）A ．0ax by c -+=B ．0bx ay c -+=C ．0bx ay c ++=D ．0bx ay c +-=【答案】C【分析】根据两直线关于对称直线对称的概念即可求解【详解】解：设所求直线上的任意一点为(,)M x y 则M 关于直线0x y -=对称点为(,)N y x 点N 在直线0ax by c ++=上∴(,)N y x 满足直线方程，即0ay bx c ++=∴直线0ax by c ++=关于直线0x y -=对称的直线为0bx ay c ++=故选：C5．（2024·浙江温州·三模）已知直线12:0,:10l x y l ax by +=++=，若12l l ⊥，则a b +=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【分析】根据给定的条件，利用两直线的垂直关系列式计算作答.【详解】因为直线12:0,:10l x y l ax by +=++=，且12l l ⊥，则110a b ⋅+⋅=，所以0a b +=.故选：B6．（2024·安徽蚌埠·三模）已知直线1l ：210ax y ++=，2l ：()30a x y a --+=，则条件“1a =”是“12l l ⊥”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不必要也不充分条件【答案】B 【分析】根据两直线垂直的性质，可得()312a a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，求出a 的值，即可判断.【详解】若12l l ⊥，则()312a a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得1a =或2a =.故1a =是12l l ⊥的充分不必要条件.故选：B7．（2024高二上·全国·课后作业）直线220x y ++=与420ax y +-=互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（）A ．()1,4-B ．()0,2-C ．()1,0-D ．0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由两直线垂直可得2a =-，联立解方程组可得交点坐标.【详解】易知直线220x y ++=的斜率为2-，由两直线垂直条件得直线420ax y +-=的斜率142a -=，解得2a =-；联立2202420x y x y ++=⎧⎨-+-=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩；即交点为()1,0-故选：C.8．（2024高二下·四川广元·期中）若直线2mx ny +=过点()2,2A ，其中m ，n 是正实数，则12m n+的最小值是（）A ．3B ．3+C ．92D ．5【答案】B 【分析】由点A 在直线上可知1m n +=【详解】因为直线2mx ny +=过点(2,2)A ，所以222m n +=，由m 和n 都是正实数，所以1m n +=，0m >，0n >．所以()12122123n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭当2n m m n =时取等号，即1m =，2n =-所以12m n+的最小值是3+故选:B ．9．（2024高二上·全国·课后作业）若直线230x y --=与420x y a -+=，则a 的值为（）A ．4B 6C ．4或16-D ．8或16-【答案】C【分析】将直线230x y --=化为4260x y --=，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.【详解】将直线230x y --=化为4260x y --=，则直线230x y --=与直线420x y a -+=之间的距离d ==，即|6|10a +=，解得4a =或16a =-，所以a 的值为4a =或16a =-.故选：C10．（2024高二上·全国·课后作业）抛物线214y x =的焦点关于直线10x y --=的对称点的坐标是（）A ．(2,1)-B ．(1,1)-C ．11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】求出抛物线214y x =焦点坐标为(0,1)F ，设(0,1)F 关于直线10x y --=的对称点的坐标是(,)F m n '，列出关于,m n 的方程组求解即可.【详解】抛物线214y x =即24x y =，其焦点坐标为(0,1)F ，设(0,1)F 关于直线10x y --=的对称点的坐标是(,)F m n '，则1110011022n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，则(2,1)F '-，故选：A ．11．（2024·四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()124πθ≤+≤PA PB ≤+≤选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.12．（2024·全国）点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（）A ．1B CD ．2【答案】B【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果.【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.13．（2024·北京东城·二模）已知三条直线1:220l x y -+=，2:20l x -=，3:0+=l x ky 将平面分为六个部分，则满足条件的k 的值共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】C【分析】考虑三条直线交于一点或3l 与1l 或2l 平行时，满足条件，求出答案.【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，联立1:220l x y -+=与2:20l x -=，解得22x y =⎧⎨=⎩，则将22x y =⎧⎨=⎩代入3:0+=l x ky 中，220k +=，解得1k =-，当3:0+=l x ky 与1:220l x y -+=平行时，满足要求，此时2k =-，当3:0+=l x ky 与2:20l x -=平行时，满足要求，此时0k =，综上，满足条件的k 的值共有3个.故选：C14．（2024高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两直线方程为1:3260l x y --=，22:0x y l --=，则1l 关于2l 对称的直线方程为（）A ．3240x y --=B ．2360x y +-=C ．2340x y --=D ．3260x y --=【答案】C【分析】根据题意，设所求直线上任一点M （x ，y ）且M 关于直线22:0x y l --=的对称点1(M x '，1)y ，利用轴对称的性质列出方程组解出用x 、y 表示1x 、1y 的式子，再由点M '在直线3260x y --=上代入，化简即得所求对称直线方程；【详解】设所求直线上任一点(,)M x y ，M 关于直线20x y --=的对称点1(M x '，1)y ，则111112022y y x x x x y y -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪--=⎪⎩，解出112(*)2x y y x =+⎧⎨=-⎩ 点M '在直线3260x y --=上，∴将(*)式代入，得3(2)2(2)60y x +---=，化简得2340x y --=，即为1l 关于2l 对称的直线方程．故选：C15．（2024高一下·海南·期末）设,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅++=与sin sin 0bx B y C -⋅+=的位置关系是（）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】C【分析】根据直线方程确定斜率，利用三角形边角关系及直线垂直的判定判断两直线的位置关系即可.【详解】由题设，sin 0A x ay c ⋅++=的斜率为sin Aa-，sin sin 0bx B y C -⋅+=的斜率为sin b B ，又sin sin b aB A =，则1sin sin b BA a ⋅=--，即两直线垂直.故选：C16．（2024高三下·江西·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则(,)F x y =的最小值为（）A ．4B．2+C．3+D．4+【答案】B【分析】根据题意作出图形，证明出三角形ABC 为等腰直角三角形，作出辅助线，找到费马点，求出最小值.【详解】由题意得：(,)F x y 的几何意义为点E 到点()(),1,1,0,2A B C 的距离之和的最小值，因为AB =CB =4AC ==，所以222AB CB AC +=，故三角形ABC 为等腰直角三角形，，取AC 的中点D ，连接BD ，与AO 交于点E ，连接CE ，故122BD AC ==，AE CE =，因为3CO AO =，所以30CAO ∠=︒，故120AEC ∠=︒，则120BEC AEB ∠=∠=︒，故点E 到三角形三个顶点距离之和最小，即(,)F x y 取得最小值，因为122AD CD AC ===，所以cos 303AD AE ==︒，同理得：3CE =，3DE =，2BE BD DE =-=-，故(,)F x y 的最小值为22333AE CE BE ++=++-=+故选：B17．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线()()1:11l x a y a a R ++=-∈，直线21:2l y x =-，下列说法正确的是（）A ．R a ∃∈，使得12l l ∥B ．R a ∃∈，使得12l l ⊥C ．R a ∀∈，1l 与2l 都相交D ．R a ∃∈，使得原点到1l 的距离为3【答案】B 【分析】对A ，要使12l l ∥，则12k k ∥，所以1112a -=-+，解之再验证即可判断；对B ，要使12l l ⊥，121k k ×=-，1112a -=-+，解之再验证即可判断；对C ，当1a =时，1l 与2l 重合，即可判断；对D ，根据点到直线距离列方程即可判断.【详解】对A ，要使12l l ∥，则12k k ∥，所以1112a -=-+，解之得1a =，此时1l 与2l 重合，选项A 错误；对B ，要使12l l ⊥，121k k ×=-，11112a ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，解之得32a =-，所以B 正确；对C ，()1:11l x a y a ++=-过定点()2,1-，该定点在2l 上，但是当1a =时，1l 与2l 重合，所以C 错误；对D ，3d ==，化简得2820170a a -+=，此方程0∆<，a 无实数解，所以D错误.故选：B.18．（2024·全国）如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么（）A ．1,63a b ==B ．1,63a b ==-C ．3,2a b ==-D ．3,6a b ==【答案】A【分析】由题意在2y ax =+上任取一点(0,2)，其关于直线y x =的对称点在3y x b =-上，代入可求出b ，然后在3y x b =-上任取一点，其关于直线y x =的对称点在2y ax =+上，代入可求出a .【详解】在2y ax =+上取一点(0,2)，则由题意可得其关于直线y x =的对称点(2,0)在3y x b =-上，所以06b =-，得6b =，在36y x =-上取一点(0,6)-，则其关于直线y x =的对称点(6,0)-在2y ax =+上，所以062a =-+，得13a =，综上1,63a b ==，故选：A19．（2024高一·全国·课后作业）已知ΔA 的顶点()2,1B ，()6,3C -，其垂心为()3,2H -，则其顶点A 的坐标为A ．()19,62--B ．()19,62-C ．()19,62-D ．()19,62【答案】A【分析】由垂心的定义可知AH BC ⊥，BH AC ⊥；根据垂直时斜率乘积为1-可知4AH k =，5AC k =，利用两点连线斜率公式可构造出方程组求得结果.【详解】H 为ΔA 的垂心AH BC ∴⊥，BH AC⊥又311624BC k -==---，211325BH k -==---∴直线,AH AC 斜率存在且4AH k =，5AC k =设(),A x y ，则243356AH AC y k x y k x -⎧==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩，解得：1962x y =-⎧⎨=-⎩()19,62A ∴--本题正确选项：A【点睛】本题考查根据直线与直线垂直的位置关系求解参数的问题；关键是能够利用垂心的性质得到直线与直线的垂直关系.20．（2024高三·全国·课后作业）若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为()A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先求出点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，再求出m 的值和原点到直线l 的距离即得解.【详解】依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，所以|m ＋7|＝|m ＋5|，所以m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式得M=.故选：A.【点睛】本题主要考查平行线间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．（2024高二上·湖北·阶段练习）在等腰直角三角形ABC 中，3AB AC ==，点P 是边AB 上异于A B ､的一点，光线从点P 出发，经BC CA ､反射后又回到点P ，如图，若光线QR 经过ABC V 的重心，则AP =（）A ．32B ．34C ．1D ．2【答案】C【分析】根据题意，建立坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点1P 的坐标，和P 关于y 轴的对称点2P 的坐标，由1P ，Q ，2RP四点共线可得直线的方程，由于过ABC V 的重心，代入可得关于a 的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP 的值，即可得答案．【详解】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得(3,0)B ，(0,3)C ，故直线BC 的方程为3x y +=，又由(0,0)A ，(3,0)B ，(0,3)C ，则ABC V 的重心为(1,1)，设(,0)P a ，其中0<<3a ，点P 关于直线BC 的对称点1(,)P x y ，则有03220(1)1a x y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯-=-⎪-⎩，解得33x y a =⎧⎨=-⎩，即1(3,3)P a -，易得P 关于y 轴的对称点2(,0)P a -，由光的反射原理可知1P ，Q ，R ，2P 四点共成直线QR 的斜率33ak a-=+，故直线QR 的方程为3()3ay x a a-=++，由于直线QR 过ABC V 的重心(1,1)，代入化简可得20a a -=，解得：1a =或0(a =舍)，即(1,0)P ，故1AP =，故选：C ．22．（2024高一上·湖南长沙·开学考试）如下图，一次函数4y x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点(2,0)C -是x 轴上一点，点E ，F 分别为直线4y x =+和y 轴上的两个动点，当CEF △周长最小时，点E ，F 的坐标分别为（）A ．53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,2)F B ．(2,2)E -，(0,2)F C ．53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(2,2)E -，20,3F ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】作C 关于y 轴的对称点G ，作C 关于4y x =+的对称点D ，连接DG 交y 轴于F ，交AB 于E ，有++=++=EC FC EF ED FG EF DG ，即此时CEF △周长最小，求出D 点坐标，可得直线DG 方程，与4y x =+联立求出E 点坐标，令0x =可得F 点坐标.【详解】作(2,0)C -关于y 轴的对称点(2,0)G ，作(2,0)C -关于4y x =+的对称点(,)D a b ，连接DG 交y 轴于F ，交AB 于E ，所以,==FG FC EC ED ，此时CEF △周长最小，即++=++=EC FC EF ED FG EF DG ，由(2,0)C -，直线AB 方程为4y x =+，所以122422ba b a ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪=+⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩，所以(4,2)D -，可得直线DG 方程为022042--=---y x ，即1233y x =-+，由41233y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得5232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令0x =可23y =，所以20,3F ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.23．（2024高二上·广东深圳·期中）过定点A 的动直线0x ky +=和过定点B 的动直线210kx y k --+=交于点M ，则MA MB +的最大值是（）A．B ．3CD【答案】C【分析】求出A ，B 的坐标，并判断两直线垂直，推出点M 在以AB为直径的圆上，求得||AB =，即225MA MB +=，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意知0x ky +=过定点(0,0)A ,动直线210kx y k --+=即(2)10k x y --+=过定点(2,1)B ，对于直线0x ky +=和动直线210kx y k --+=满足1(1)0k k ⨯+⨯-=，故两直线垂直，因此点M 在以AB为直径的圆上，||AB ==则225MA MB +=，所以22222()22()10MA MB MA MB MA MB MA MB +++=+≤=，当且仅当MA MB ==故MA MB +，故选：C24．（2024高二下·陕西西安·期末）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（）AB C ．5D ．10【答案】C【分析】先求出两条直线经过的定点，然后根据两条直线的位置关系可判断它们垂直，从而PA PB ⊥，在利用勾股定理和基本不等式求解.【详解】显然0x my +=过定点(0,0)A 30mx y m --+=可化成(1)3y m x =-+，则经过定点()1,3B ，根据两条直线垂直的一般式方程的条件，1(1)0m m ⨯+⨯-=，于是直线0x my +=和直线30mx y m --+=垂直，又P 为两条直线的交点，则PA PB ⊥，又AB =222102PA PB AB PA PB +==≥⋅，则5PA PB ⋅≤，当PA PB ==PA PB ⋅的最大值是5.故选：C25．（河北省张家口市2023-2024学年高二上学期期末数学试题）已知0x y +=，则）AB ．CD ．【答案】C【分析】设点(,)P x y 为直线0x y +=上的动点，题意可转化成求(,)P x y 与()1,1的距离和(,)P x y 与()2,0的距离之和的最小值，求出1(1)M ，关于直线0x y +=的对称点)1(1M '--，，故PM PN PM PN M N''+=+≥=，即可求出答案【详解】设点(,)P x y 为直线0x y +=上的动点，可看作(,)P x y 与()1,1的距离和(,)P x y 与()2,0的距离之和，设点()()1,12,0M N ，，则点()1,1M '--为点1(1)M ，关于直线0x y +=的对称点，故PM PM '=，且M N =='，所以P M PN =+PM PN M N ''=+≥=，当且仅当,,P M N '三点共线时，取等号，.故选：C26．（2024·贵州·模拟预测）已知,x y +∈R ，满足22x y +=，则x 的最小值为（）A ．45B ．85C ．1D 【答案】B【分析】先求出点O 关于线段22x y +=的对称点C C PO P ==.根据几何意义，结合图象，即可得出取最小值时，点P 的位置，进而得出答案.【详解】如图，过点O 作点O 关于线段22x y +=的对称点C ，则PO PC =.设()00,C x y ，则有()0000212222y x x y ⎧⨯-=-⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩，解得008545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以84,55C ⎛⎫⎪⎝⎭.设(),P x y，则PO =C PO P ==，又,x y +∈R ，所以点P 到y 轴的距离为x ，所以，x 可视为线段22x y +=上的点(),P x y 到y 轴的距离和到84,55C ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和.过P 作PD x ⊥轴，过点C 作CH x ⊥轴，显然有PD PC CH +≥，当且仅当,,C P H 三点共线时，和有最小值.则CH 即为最小值，CH 与线段AB 的交点1P ，即为最小值时P 的位置.因为85CH =，所以x 的最小值为85.故选：B ．27．（2024·上海静安·二模）设直线1:220l x y --=与2l 关于直线:240l x y --=对称，则直线2l 的方程是（）A ．112220x y +-=B ．11220x y ++=C ．5110x y +-=D ．10220x y +-=【答案】A【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线2l 上一点，即可求解.【详解】联立220240x y x y --=⎧⎨--=⎩，得20x y =⎧⎨=⎩，取直线1:220l x y --=上一点()0,1-，设点()0,1-关于直线:240l x y --=的对称点为(),a b ，则112124022b a a b +⎧=-⎪⎪⎨-⎪⨯--=⎪⎩，解得：1211,55a b ==-，直线2l 的斜率112k =-，所以直线2l 的方程为()1122y x =--，整理为：112220x y +-=.故选：A28．（2024高三·北京·+的最小值所属区间为（）A ．[10,11]B ．(11,12]C ．(12,13]D ．前三个答案都不对【答案】C【分析】利用代数式的几何意义可求最小值.【详解】如图，设(,0),(0,),(9,2),(3,3)P x Q y A B --．根据题意，设题中代数式为M，则||||||||13M AP PQ QB AB =++≥==，等号当P ，Q 分别为直线AB 与x 轴，y 轴交点时取得．因此所求最小值为13．故选：C.29．（2024·北京）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +.【详解】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．二、多选题30．（2024高二下·江苏南京·期末）已知动点,A B 分别在直线1:3460l x y -+=与2:34100l x y -+=上移动，则线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离可能为（）A B ．75C D 【答案】CD【分析】根据直线平行可得P 在直线:3480l x y -+=上运动，即可根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】解： 动点,A B 分别在直线13460l x y -+=：与234100l x y -+=：上移动，又线段AB 的中点为P ，21//l l ，P ∴在直线:3480l x y -+=上运动，O ∴到直线l 的距离85d ==．P ∴到坐标原点O 的距离大于等于85．故选：CD ．31．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线1l ，2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +-=，下列结论正确的是（）A ．若12//l l ，则6a =B ．若12//l l ，则两条平行直线之间的距离为74C ．若12l l ⊥，则323a =D ．若6a ≠，则直线1l ，2l 一定相交【答案】AD【分析】根据两直线平行求出a 的值，可判断A 选项；利用平行线间的距离公式可判断B 选项；根据两直线垂直求出a 的值，可判断C 选项；根据两直线相交求出a 的范围，可判断D 选项.【详解】两条直线1l ，2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +-=，它们不重合，若12//l l ，则438a =⨯，得6a =，检验符合，故A 选项正确；若12//l l ，由A 选项可知，2l ：68110x y +-=，直线1l 的方程可化为68240x y ++=，72=，故B 选项不正确；若12l l ⊥，则3480a +⨯=，得323a =-，故C 选项不正确；由A 选项知，当6a =时，12//l l ，所以若6a ≠，则直线1l ，2l 一定相交，故D 选项正确.故选：AD.32．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l10y -+=，则下列结论正确的是（）A ．直线l的一个法向量为)B ．若直线m：10x +=，则l m ⊥C．点)到直线l 的距离是2D．过()2与直线l40y --=【答案】CD【分析】对于A ：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B ：根据直线垂直分析判断；对于C ：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D ：根据直线平行分析求解.【详解】对于A ，因为直线l10y -+=的斜率k =11=≠-，可知)不为直线l 的一个法向量，故A 错误；对于B ，因为直线m：10x +=的斜率3k '=，且11kk '=≠-，所以直线l 与直线m 不垂直，故B 对于C，点)到直线l 的距离2d =，故C 正确；对于D ，过()2与直线l平行的直线方程是2y x -=-40y --=，故D 正确．故选：CD.33．（2024高二下·江西南昌·阶段练习）已知曲线e 2xy =和直线:240l x y --=，则（）A ．曲线上与直线l 平行的切线的切点为e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．曲线上与直线l 平行的切线的切点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．曲线上的点到直线l D．曲线上的点到直线l 的最短距离为(3e 5+【答案】BC【分析】根据导数得出切线斜率求切点判断A,B,再结合点到直线距离求出最短距离判断C,D.【详解】设与直线122y x =-平行的直线和e 2xy =相切，则斜率为12k =.因为e 2x y =，所以e 2x y '=，令e 122x k ==，可得切点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 错误，B 正确；则点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线240x y --=的距离就是曲线e 2xy =上的点到直线240x y --=的最短距离，C 正确，D 错误.故选：BC.34．（福建省莆田第三中学，励志学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷）以下四个命题叙述正确的是（）A ．直线210x y -+=在x 轴上的截距是1B ．直线0x ky +=和2380x y ++=的交点为P ，且P 在直线10x y --=上，则k 的值是12-C ．设点(,)M x y 是直线20x y +-=上的动点，O 为原点，则OM 的最小值是2D ．直线()12:310:2110L ax y L x a y ++=+++=，，若12//L L ，则3a =-或2【答案】BC【分析】求出直线的横截距判断k 判断B ；求出点到直线的距离判断C ；验证判断D.【详解】对于A ，直线210x y -+=在x 轴上的截距是12-，A 错误；对于B ，由238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩解得12x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,2)P --，则120k --=，解得12k =-，B 正确；对于C，依题意，min OM =C 正确；对于D ，当2a =时，直线12:2310,:2310L x y L x y ++=++=重合，D 错误.故选：BC三、填空题35．（2024高二·全国·课后作业）已知(),6A a ，()2,B b -，点()2,3P 是线段AB 的中点，则a b +=.【答案】6【分析】利用中点坐标公式可求得,a b ，由此可得结果.【详解】由中点坐标公式知：222a -=，632b +=，解得：6a =，0b =，6a b ∴+=.故答案为：6.36．（2024高二·江苏·假期作业）已知点(),4M x -与点()2,3N 间的距离为x =．【答案】9或5-【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可.【详解】由MN =得MN ==即24450x x --=，解得9x =或5-．故答案为：9或5-.37．（2024高三上·河北廊坊·阶段练习）与直线:2310l x y -+=关于点()4,5对称的直线的方程为.【答案】23130x y -+=【分析】根据直线关于点对称方程的特点可设直线方程，在利用点到两条直线的距离相等即可求解直线方程.【详解】解：直线:2310l x y -+=关于点()4,5对称的直线的方程可设为230x y m -+=，其中1m ≠又()4,5点到直线:2310l x y -+=与到直线230x y m -+=的距离相等76m -=，所以13m =或1m =（舍）.故所求直线方程为：23130x y -+=.故答案为：23130x y -+=.38．（2024高一·全国·课后作业）已知直线l 与直线1:1l y =及直线2:70l x y +-=分别交于点P ，Q ．若PQ 的中点为点()1,1M -，则直线l 的斜率为．【答案】23-【分析】由点,P Q 关于点M 对称,运算可得解.【详解】解：设(),1P a ，则()2,3Q a --．由点Q 在直线2l 上，得2370a -+-=，2a =-．故()2,1P -．所以直线l 的斜率为()1121k --=--，所以23k =-故答案为23-【点睛】本题考查了点关于点对称问题，属基础题.39．（2024高二上·辽宁大连·阶段练习）设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是1(2)P -，，则AB 等于【答案】【解析】根据点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且AB 的中点是1(2)P -，，利用中点坐标公式得到A ，B 的坐标，再利用两点间的距离公式求解.【详解】因为点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且AB 的中点是1(2)P -，，所以(40),(02)，，-A B ，所以=AB 故答案为：【点睛】本题主要考查两点间的距离公式和中点坐标公式的应用，属于基础题.40．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）点()0,1-到直线()2y k x =+的距离的最大值是．【分析】直线()2y k x =+恒过点()2,0A -，根据几何关系可得，点()0,1B -到直线()1y k x =+的距离的最大值为||AB .【详解】因为直线()2y k x =+恒过点()2,0A -，记()0,1B -，直线()2y k x =+为直线l ，则当AB l ⊥时，此时点()0,1B -到直线()1y k x =+的距离最大，∴点()0,1-到直线()1y k x =+距离的最大值为：AB =.41．（2024高二上·江苏南通·期中）已知点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标为()2,1-，则线段AB 的长度为.【答案】25【分析】利用直角三角形的几何性质得出2AB OM =，利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】在平面直角坐标系中，AO BO ⊥，则ABO 为直角三角形，且AB 为斜边，故()22222125AB OM ==+-=.故答案为：542．（2024高二·全国·课堂例题）已知点()2,1A ，()3,4B ，()2,1C --，则ABC V 的面积为．【答案】5【分析】利用两点间距离公式求出一边长，再根据两点式求出该边所在直线的方程，利用点到直线的距离公式求高，进而求得三角形面积.【详解】设AB 边上的高为h ，则h 就是点C 到AB 所在直线的距离．易知()()22324110AB -+-．由两点式可得AB 边所在直线的方程为124132y x --=--，即350x y --=．点()2,1C --到直线350x y --=的距离()()()2232151031h ⨯----==+-所以ABC V 的面积为111010522ABC S AB h =⨯⨯=⨯△．故答案为：543．（2024·云南保山·一模）已知坐标原点为O ，过点()P 2,6作直线()2mx 4m n y 2n 0(m,-++=n 不同时为零)的垂线，垂足为M ，则OM 的取值范围是．【答案】5⎡+⎣【分析】根据题意，将直线变形为()()2420m x y n y ---=，分析可得该直线恒过点()4,2，设()4,2Q ，进而分析可得点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，其方程为()()22345x y -+-=，据此分析可得答案．【详解】根据题意，直线()2420mx m n y n -++=，即()()2420m x y n y ---=，则有2402x y y -=⎧⎨=⎩，解可得42x y =⎧⎨=⎩，则直线l 恒过点()4,2．设()4,2Q ，又由MP 与直线垂直，且M 为垂足，则点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，其方程为()()22345x y -+-=，所以55OM -≤+；即OM 的取值范围是5⎡+⎣；故答案为5⎡+⎣．【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果,A B 为定点，且动点M 满足()1MA MB λλ=≠，则动点M 的轨迹为圆；（2）如果ΔA 中，BC 为定长，A 为定值，则动点A 的轨迹为一段圆弧．特别地，当2A π=，则A 的轨迹为圆（除去,B C ）；（3）如果,A B 为定点，且动点M 满足22MA MB λ+=(λ为正常数)，则动点M 的轨迹为圆；44．（2024高二上·全国·课后作业）已知点(),2P a 、()2,3A --、()1,1B ，且PA PB =，则a =.【答案】92-【分析】利用平面内两点间的距离公式可得出关于a 的等式，解之即可.【详解】已知点(),2P a 、()2,3A --、()1,1B ，且PA PB =，92a =-.故答案为：92-.45．（2024高二上·安徽六安·期中）已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为.【答案】210x y +-=【分析】根据两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点列方程，对比后求得直线12Q Q 的方程.【详解】依题意两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，所以112212210,210,a b a b Q Q +-=+-=，在直线210x y +-=上，所以过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点所在直线方程为210x y +-=.故答案为：210x y +-=46．（2024高三上·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1:l y x =和2:2l y x =-+，则22a b +的最大值为.【答案】8【分析】由已知可知两直线12l l ⊥，取P 在12,l l 的右侧时，分别过P 作两直线的垂线，结合几何性质确定P 点轨迹，即可求得22a b +的最大值,其他位置同理可得．【详解】若动点(),P a b 到两直线1:l y x =和2:2l y x =-+12,l l 交点为()121,1,,T l l 的斜率分别为1,1-，则12l l ⊥，P 在12,l l 的右侧时，过P 分别向12,l l 引垂线，垂足分别为Q R ､，那么PQ PR +过P 作y 轴的平行线，与12,l l 交点为C B ､如图，则,PQ TR PR RB ==，所以TR RB +其它位置同理，那么点P 轨迹为正方形ABCD ，当P 在()2,2C 时，PO 取得最大值222||a b PO +=取得最大值8.故答案为：8．。
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1.已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )
A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17
答案 A
解析 圆C 1，C 2如图所示．
设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理可得|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，连接C 1′C 2，与x 轴交于点P ，连接PC 1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C 1′C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.选A.
2．已知两圆⊙C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y －3＝0和⊙C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y －3＝0都经过点A (2，－1)，则同时经过点(D 1，E 1)和点(D 2，E 2)的直线方程为( )
A ．2x －y ＋2＝0
B ．x －y －2＝0
C ．x －y ＋2＝0
D ．2x ＋y －2＝0
答案 A
解析 由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧ 5＋2D 1－E 1－3＝05＋2D 2－E 2－3＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧
2D 1－E 1＋2＝02D 2－E 2＋2＝0，∴点(D 1，E 1)和点(D 2，E 2)都在直线2x －y ＋2＝0上，故同时经过(D 1，E 1)和(D 2，E 2)的直线方程为2x －y ＋2＝0.
3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________.
答案 1
解析两圆方程作差易知弦所在的直线方程为y＝1
a，如图，由已知得|AC|＝3，|OA|
＝2，∴|OC|＝1
a＝1，∴a＝1.。