Lagrange插值

∀x ∈ [a , b]
(1.1)
记为
y = f ( x ) ≈ p( x )
的图形至少 注：② y = p(x)和y = f(x)的图形至少 和 的图形至少n+1有个交点。 有个交点。 插值函数有各种类型，如代数多项式，三角函数， ③ 插值函数有各种类型，如代数多项式，三角函数， 有理函数等。 有理函数等。 为多项式时， ④ 当p(x)为多项式时，称为（代数）插值多项式。 为多项式时 称为（代数）插值多项式。
p( x i ) = yi ( i = 0,1,2,..., n)
∀x ∈ [a , b]
(1.1)
记为
y = f ( x ) ≈ p( x )
上述问题称为插值问题。 注：① 上述问题称为插值问题。 (1.1)称为插值条件，p(x)称为 称为插值条件， 称为f(x)的插值函数， 的插值函数， 称为插值条件 称为 的插值函数 xi (i=0,1,…,n)称为插值节点，[a，b]称为插值区间。 称为插值节点， ， 称为插值区间 称为插值区间。 称为插值节点
§1 插值法
1.3 插值基函数与 插值基函数与Lagrange插值 插值
注：③ 不同基函数可得不同的插值多项式，如 Lagrange， Newton， Hermite等 。 但由插值多项式的 ， ， 等 唯一性知本质上是相同的。 唯一性知本质上是相同的。
§2 插值多项式的误差 的精确值13.22875656…， 因为 175 的精确值 ， 更精确。 故L2(175)=13.230158 较 L1(175)=13.214285 更精确。 一般地有 定理1.1 设f在[a，b]上n+1次可微，pn(x)为f的n次插 次可微， 定理 在 ， 上 次可微 为 的 次插 值多项式。则 值多项式。 f n+1 (ξ ) Rn ( x ) = f ( x ) − pn ( x ) = ω n+1 ( x ). ( n + 1)! n 依赖于x. 其中 ω n+1 ( x ) = ∏ ( x − x j ), ξ ∈ (a , b) 依赖于 证明： 由 (1.1)知 ， x0 ， x1 ， …， xn 均为Rn(x)的零点 。 证明 ： 知 ， 均为 的零点。 的零点 所以可设 R ( x ) = K ( x )( x − x )( x − x )⋯( x − x ) = K ( x )ω ( x )
解：x0 = 169，x1 = 225，y0 = 13，y1 = 15。 ， ， ， 。
x − 225 x − 169 L1 ( x ) = 13 + 15 169 − 225 225 − 169
⇒ 175 ≈ L1 (175 ) ≈ 13.214285.
§1 插值法
1.3 插值基函数与 插值基函数与Lagrange插值 插值
§1 插值法
1.1 插值问题
设通过实验或测量的数据
x x 0 x1 ⋯ x n y = f ( x ) y0 y1 ⋯ yn
假设f在[a，b]上连续，{xi} ⊂ [a，b]互不相同。欲求 上连续， 互不相同。 假设 在 ， 上连续 ， 互不相同 简单函数p(x)使 简单函数 使
p( x i ) = yi ( i = 0,1,2,..., n)
175 。
x0 = 144, x1 = 169, x2 = 225，y0 = 12, y1 = 13, y2 = 15 ，
§1 插值法
1.3 插值基函数与 插值基函数与Lagrange插值 插值
2. 推广
x − x1 x − x0 , l1 ( x ) = n = 1时，记 l0 ( x ) = 时 ， x0 − x1 x1 − x0
∀x ∈ [a , b]
(1.1)
记为
y = f ( x ) ≈ p( x )
§1 插值法
1.1 插值问题
x x 0 x1 ⋯ x n y = f ( x ) y0 y1 ⋯ yn
假设f在 ， 上连续 上连续， 互不相同。 假设 在[a，b]上连续，{xi} ⊂ [a，b]互不相同。欲求 ， 互不相同 简单函数p(x)使 简单函数 使
j =0
证明： 的零点。 证明 ： 由 (1.1)知 ， x0 ， x1 ， …， xn 均为 n(x)的零点 。 知 ， 均为R 的零点 所以可设 Rn ( x ) = K ( x )( x − x0 )( x − x1 )⋯( x − xn ) = K ( x )ω n ( x ) 作辅助函数 F ( t ) = f ( t ) − pn ( t ) − K ( x )ω n+1 ( t ) 个零点： 则F(t)有n + 2个零点：x0，x1，…，xn，x. 有 个零点 ，
称L2为三点式插值或抛物插值。 为三点式插值或抛物插值。 例2 计算
175 ≈ L2 (175 ) = (175 − 169)(175 − 225) (175 − 144)(175 − 225) (175 − 144)(175 − 169) 12 + 13 + 15 (144 − 169)(144 − 225) (169 − 144)(169 − 225) ( 225 − 144)( 225 − 169) ≈ 13.23.158.
( x − xi ) l j ( x) = ∏ i =1 ( x j − x i )
n i≠ j
0 i ≠ j ( i , j 0,1,2,..., n) l j ( xi ) = δ ij = = 1 i = j
(1.5)
一般地， ② 一般地，称线性无关的代数多项式 ϕ 0 ( x ),ϕ 1 ( x ),⋯ , ϕ n ( x ) 为插值基函数， 为插值基函数，若 pn ( x ) = a0ϕ 0 ( x ) + a1ϕ 1 ( x ) + ⋯ + anϕ n ( x ) 满足插值条件(1.1)， 则称 n(x)为基于基函数 ϕi(x)}的 ， 则称p 为基于基函数{ 满足插值条件 为基于基函数 的 插值多项式。 插值多项式。
n 0 1 n n
j =0
§2 插值多项式的误差 定理1.1 设f在[a，b]上n+1次可微，pn(x)为f的n次插 次可微， 定理 在 ， 上 次可微 为 的 次插 值多项式。 值多项式。则 f n+1 (ξ ) Rn ( x ) = f ( x ) − pn ( x ) = ω n+1 ( x ). ( n + 1)! n 依赖于x. 其中 ω n+1 ( x ) = ∏ ( x − x j ), ξ ∈ (a , b) 依赖于
§1 插值法
1.1 插值问题
x x 0 x1 ⋯ x n y = f ( x ) y0 y1 ⋯ yn
假设f在 ， 上连续 上连续， 互不相同。 假设 在[a，b]上连续，{xi} ⊂ [a，b]互不相同。欲求 ， 互不相同 简单函数p(x)使 简单函数 使
p( x i ) = yi ( i = 0,1,2,..., n)
x − x1 x − x0 令： L1 ( x ) = y0 + y1 . x0 − x1 x1 − x0
为两点式插值或线性插值。 称L1为两点式插值或线性插值。 例1 设 f ( x ) = x 的函数表 x 的近似值。 求f(175)的近似值。 的近似值
144 169 225 x 12 13 15
(2) n = 2时. 设yi = f(xi) i = 0，1，2. 时 ， ，
L2 ( x ) =
令：
( x − x1 )( x − x 2 ) ( x − x0 )( x − x 2 ) ( x − x0 )( x − x1 ) y0 + y1 + y2 ( x0 − x1 )( x0 − x 2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x 2 ) ( x 2 − x0 )( x 2 − x1 )
§1 插值法
1.2 插值多项式的存在唯一性
pn ( x ) = a0 + a1 x + ⋯ + a n x n . 设
n
满足条件(1.1)，则 ， 满足条件
( i = 0,1,2,..., n)
pn ( x i ) = a0 + a1 x i + ⋯ + a n x i = yi
其系数行列式为阶范德蒙行列式
则 L2 ( x ) = l 0 ( x ) y0 + l1 ( x ) y1 + l 2 ( x ) y2
§1 插值法
1.3 插值基函数与 插值基函数与Lagrange插值 插值
一般地令
( x − xi ) l j ( x) = =∏ ( x j − x0 )⋯ ( x j − x j −1 )( x j − x j +1 ) ⋯ ( x j − x n ) i =1 ( x j − x i )
(1) n = 1时. 设yi = f(xi) i = 0，1. ， 时
令：L1 ( x ) =
为两点式插值或线性插值。 称L1为两点式插值或线性插值。
x − x1 x − x0 y0 + y1 . x0 − x1 x1 − x0
§1 插值法
1.3 插值基函数与 插值基函数与Lagrange插值 插值
§1 插值法
1.2 插值多项式的存在唯一性
pn ( x ) = a0 + a1 x + ⋯ + a n x n . 设
n
满足条件(1.1)，则 ， 满足条件
( i = 0,1,2,..., n)
pn ( x i ) = a0 + a1 x i + ⋯ + a n x i = yi
由克莱姆法则知方程组有唯一解，即满足(1.1)的插值 由克莱姆法则知方程组有唯一解 ， 即满足 的插值 多项式存在且唯一。 多项式存在且唯一。 个插值节点可构造n次插值多项式 注：① n + 1个插值节点可构造 次插值多项式。 个插值节点可构造 次插值多项式。 上述方法计算量太大且舍入误差很大，不便计算。 ② 上述方法计算量太大且舍入误差很大，不便计算。