斜边直角边教案
华师版八年级数学上册(HS)教案 第13章 斜边直角边
6.斜边直角边1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边直角边”．(重点) 2．经历探究“斜边直角边”判定方法的过程，能运用“斜边直角边”判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入路旁一棵被大风刮歪的小白杨，为了扶正它，需两边各固定一条长短一样的拉线或支柱．现工人师傅把一根已固定好(右侧一根AC)，之后小聪很快找到了另一根(左侧一根)在地面上的位置：只要BD＝CD，B点即是．小聪找到的位置是对的吗？二、合作探究探究点一：利用“HL”判定直角三角形全等如图，已知CD⊥AB于D，现有四个条件：①AD＝ED；②∠A＝∠BED；③∠C＝∠B；④AC＝EB，那么不能得出△ADC≌△EDB的条件是( )A．①③ B．②④ C．①④ D．②③解析：推出∠ADC ＝∠BDE ＝90°，根据“AAS ”推出两三角形全等，即可判断A 、B ；根据“HL ”即可判断C ；根据“AAA ”不能判断两三角形全等．选项A 中，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠EDB ＝90°.在△ADC 和△EDB中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C＝∠B，∠ADC＝∠EDB AD ＝DE ，，∴△ADC≌△EDB(AAS)；选项B 中，∵CD⊥AB，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在△ADC 和△EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠BED，∠ADC＝∠BDEAC ＝BE ，，∴△ADC≌△EDB(AAS)；选项C 中，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDE＝90°.在Rt△ADC 和Rt△EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BE ，AD ＝ED ，∴Rt△ADC≌Rt△EDB(HL)；选项D 中，根据三个角对应相等，不能判断两三角形全等；故选D.方法总结：本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“SSS ”，在直角三角形中，还有“HL”定理，如果具备条件“SSA”和“AAA”都不能判断两三角形全等．如图，四边形ABCD 中，∠A＝∠B＝90°，E 是AB 上一点，AD＝2，BC ＝4，且AE ＝BC ，DE ＝CE.(1)Rt△ADE 与Rt△BEC 全等吗？请说明理由；(2)求AB 的长度；(3)△CDE 是不是等腰直角三角形？请说明理由．解析：(1)根据证明直角三角形全等的“HL ”定理证明即可.(2)由(1)可得，AD ＝BE ，AE ＝BC ，所以，AB ＝AE ＋BE ＝BC ＋AD.(3)根据题意，∠AED＋∠ADE＝90°，∠BEC＋∠BCE＝90°，又∠AED ＝∠BCE，∠ADE＝∠BEC，所以，∠AED＋∠BEC＝90°，即可证得∠DEC ＝90°，即可得出．解：(1)Rt△ADE≌Rt△BEC，理由如下：∵在Rt△ADE 和Rt△BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝CE ，AE ＝BC ，∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL ).(2)∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴AD ＝BE .又∵AE ＝BC ，∴AB ＝AE ＋BE ＝BC ＋AD ，即AB ＝AD ＋BC ＝2＋4＝6；(3)△CDE 是等腰直角三角形，理由如下：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠AED＝∠BCE，又∵∠BCE ＋∠BEC ＝90°，∴∠AED ＋∠BEC ＝90°，∴∠DEC＝90°.又∵DE ＝CE ，∴△CDE 是等腰直角三角形．方法总结：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和直角三角形的判定，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．探究点二：直角三角形全等判定的综合应用【类型一】 利用“HL ”解决动点问题如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法“HL ”可知：(1)当P 运动到AP ＝BC时，∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC 与Rt△QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt△ABC≌Rt△QPA (HL)，即AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC.在Rt△ABC 与Rt△PQA 中，∵⎩⎨⎧==，，AB PQ CA AP ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，即AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 【类型二】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD⊥AB 于D 点，BE⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC.解析：已知BE⊥AC，CD⊥AB 可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD≌△AOE，根据ASA 证得△BOD≌△COE，即可证得OB ＝OC.证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.∵AO 平分∠BAC，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠，，，OA OA AEB ADC 21⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD≌△AOE(AAS)． ∴OD ＝OE.在△BOD 和△COE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠，，，COE BOD OE OD CEO BDO ∴△BOD≌△COE(ASA)． ∴OB＝OC.方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL ”外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.三、板书设计斜边直角边1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL”，除此之外，还可以选用“SAS”“ASA”“AAS”以及“SSS”．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．由于直角三角形是特殊的三角形，要求理解已经学过的判定全等三角形的四种方法均可以用来判定两个直角三角形全等，同时通过探索得出“有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”这一重要而又特殊的判定方法，并能熟练地利用这些方法判定两个直角三角形全等．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，逐步培养他们的逻辑推理能力．通过课堂教学，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深对判定的多层次的理解．。
全等三角形的判定——直角三角形全等的斜边直角边定理教案人教版
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、课程基本信息
1.课程名称：直角三角形全等的斜边直角边定理
2.教学年级和班级：九年级一班
3.授课时间：2022年10月12日
4.教学时数：1课时
二、教学目标
1.了解全等三角形的概念，理解全等三角形的判定方法。
2. 斜边直角边定理的应用题：布置5道题目，让学生运用斜边直角边定理解决实际问题，提高学生将理论知识应用于实际问题的能力。
3. 小组讨论和实践活动：布置一个与全等三角形相关的实际问题，要求学生分组讨论和解决，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
作业反馈：
1. 对学生的全等三角形判定方法的练习题进行批改，指出存在的问题，如判定方法的选择不当、计算错误等，并给出改进建议。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解全等三角形的概念。全等三角形是指在形状和大小上完全相同的三角形。它们具有相同的边长和相同的角大小。全等三角形在几何学中具有重要意义，因为它们可以用来解决各种实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了全等三角形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2. 对学生的斜边直角边定理的应用题进行批改，指出存在的问题，如应用定理时逻辑推理不严密、计算错误等，并给出改进建议。
3. 对学生的分组讨论和实践活动进行评价，指出存在的问题，如小组成员之间的沟通不畅、解决问题的方法不当等，并给出改进建议。
4. 对学生的作业进行总结，指出他们在全等三角形学习中的优点和不足，鼓励他们继续努力，提高自己的学习能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调直角三角形全等的斜边直角边定理和全等三角形的判定方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
斜边直角边-华东师大版八年级数学上册教案
斜边直角边-华东师大版八年级数学上册教案一、知识点概述•斜边直角三角形定义及性质•勾股定理的应用二、教学目标1.掌握斜边直角三角形，以及勾股定理的概念2.能够灵活应用勾股定理解决实际问题三、教学重点1.斜边直角三角形定义与性质2.勾股定理的应用四、教学难点勾股定理的运用五、教学步骤5.1 热身引入观察直角三角形，我们知道：•直角的两条边叫做直角边•斜边是直角边对的斜边请大家谈一谈直角三角形的性质有哪些？5.2 知识讲解1.斜边直角三角形定义与性质所谓斜边直角三角形，是指有一个直角，且除直角以外的另外两边的长度不相等的三角形。
其性质：•斜边是直角边对的斜边•直角边上的高是另一直角边的中线•直角边间的夹角互为补角•斜边上切割出的两个直角三角形，相似2.勾股定理的应用勾股定理的公式为：a2+b2=c2，其中a,b,c分别表示斜边，直角边1，直角边2的长度。
5.3 练习与讲评请同学们完成如下练习：练习1：如图，是一张房间的平面图，其中AB为一面墙的长度，BC为此面墙下方地面一段路的长度，AC为立柱的高度。
请问此房间的斜边长度是多少？A|\\| \\| \\| CB-----解答：根据勾股定理，有：AB2+BC2=AC2，代入数据得：32+42=x2，解得斜边长度x=5，所以此房间的斜边长度是5米。
5.4 总结归纳请同学们总结斜边直角三角形定义与性质、以及勾股定理的应用。
六、作业布置请同学们完成华东师大版八年级数学上册P45-46的练习题1、2、4、6、9、10。
七、教学反思通过本节课的教学，同学们对斜边直角三角形的定义、性质、勾股定理的应用等知识点有了更深刻的认识，并且能够灵活运用所学知识解决实际问题。
不过，在课堂教学中，教师应该加强同学们的练习机会，让他们能在实践中感受到知识的实用性。
12.2 第4课时 “斜边、直角边”(教案)-2022-2023学年八年级上册初二数学(人教版)
12.2 第4课时“斜边、直角边”（教案）一、教学目标1.了解直角三角形的概念和性质；2.理解斜边、直角边和对边的关系；3.能够根据已知条件求解直角三角形中的未知边长或角度；4.掌握勾股定理的应用。
二、教学重点1.理解直角三角形的概念和性质；2.掌握斜边、直角边和对边的关系；3.熟练运用勾股定理求解问题。
三、教学内容1. 直角三角形的概念和性质直角三角形是指一个角为直角（90°）的三角形。
直角三角形有以下性质： - 斜边：直角三角形中与直角不相邻的边称为斜边，它是直角三角形的最长边。
- 直角边：直角三角形中与直角相邻的两边称为直角边。
- 对边：直角三角形中直角边所对的边称为对边。
2. 斜边、直角边和对边的关系在直角三角形中，斜边、直角边和对边之间有一定的关系： - 斜边的平方等于直角边的平方和对边的平方，即斜边的平方 = 直角边的平方 + 对边的平方。
这个关系由著名的勾股定理给出。
3. 勾股定理及其应用勾股定理是指直角三角形中斜边、直角边和对边的关系，即勾股定理可以表示为：斜边的平方 = 直角边的平方 + 对边的平方。
勾股定理可以应用于解决一些与直角三角形相关的问题，例如已知直角三角形中两条边的长度，可以利用勾股定理求解第三条边的长度；或者已知直角三角形中一条边的长度和一个角的大小，可以利用勾股定理求解另外两条边的长度。
四、教学步骤步骤一：导入新知识通过引入直角三角形的概念和性质，引发学生对本课内容的兴趣和思考。
步骤二：讲解斜边、直角边和对边的关系详细讲解斜边、直角边和对边的概念，并引入勾股定理的公式。
步骤三：示例演练通过实际示例，演示如何利用勾股定理求解直角三角形中的未知边长或角度。
步骤四：练习与讨论组织学生进行练习题，并在解题过程中与学生进行讨论和指导。
步骤五：归纳总结与学生一起总结本节课的重点和要点，帮助学生加深对知识的理解和记忆。
五、教学拓展1.提供更多直角三角形相关的问题，让学生尝试自己解决，并分享解题思路和答案。
八年级数学上册《斜边直角边》教案、教学设计
3.强化学生的成功体验，通过不断解决问题的过程，增强学生面对挑战的自信心。
4.引导学生理解数学在历史、文化以及现代社会发展中的地位和作用，培养对数学文化的尊重和认识。
5.培养学生的批判性思维，鼓励他们对定理提出疑问，探索不同证明方法，从而深化对数学知识的理解。
（三）学生小组讨论
1.分组活动：将学生分成若干小组，每组选择一个生活中的直角三角形实例，讨论如何运用勾股定理解决问题。
2.交流分享：每个小组汇报讨论成果，分享他们在解决问题过程中遇到的困难和解决方法。
3.教师点评：对每个小组的讨论成果进行点评，强调解题关键点，纠正错误思路，提出改进意见。
（四）课堂练习
4.运用信息技术手段，如多媒体课件、在线数学工具，增加学生对定理理解和应用的直观感受。
5.通过练习题目的设计，从基础到提高，逐步增加难度，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
（三）情感态度与价值观
本章节的学习还将致力于培养学生的以下情感态度与价值观：
1.激发学生对数学学习的兴趣，特别是几何学的兴趣，通过解决实际问题，体会数学的实用性和美。
1.基础知识巩固题：完成课本第十五章习题1-4，着重练习勾股定理及其逆定理的应用，确保学生掌握基本概念和解题方法。
2.实践应用题：结合生活实际，设计一道与勾股定理相关的实际问题，要求学生运用所学知识解决问题，并在解答过程中注重步骤的完整性。
3.探究拓展题：以小组为单位，探讨勾股定理在相似三角形中的应用，引导学生发现并证明相似三角形中对应边长的比例关系。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的几何图形知识和勾股定理的初步运用。然而，对于斜边直角边关系的深入理解和勾股定理逆定理的灵活运用仍需加强。学生在前期的学习中，可能更多关注计算过程而忽视对几何概念的理解。因此，在本章节的教学中，应注重以下学情分析：
人教版初中八年级上册数学《斜边、直角边》精品教案
证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD，
D
C
∴∠C与∠D都是直角.
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
A
B
AB=BA,
这是应用“HL”判
AC=BD .
定方法的书写格式.
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD(全等三角形的对应边相等).
利用全等证明两 条线段相等，这 是常见的思路.
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可 （两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）
课后作业
1.从教材课后习题中选取； 2.从课时练中选取。
下课了！
证：△EBC≌△DCB.
A
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
CE=BD,
E
D
BC=CB .
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). B
C
3.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,
当堂练习
1. 如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC 与△ADC全等，
还需要补充的条件是
（写出一个即可）.
A
答案： AB=AD 或 BC=DC 或
B
D ∠BAC=∠DAC 或 ∠ACB=∠ACD.
C 注意 一定要注意直角三角形不是只能用HL证明全等，但 HL只能用于证明直角三角形的全等.
2.如图 在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求
SSS
SAS ASA
AAS
3. AAA
60 6°0° 60° 60°
斜边直角边教案
斜边直角边教案教案：斜边直角边的求解教学目标：1.理解直角三角形的概念和性质。
2.掌握使用勾股定理求解直角三角形的斜边和直角边的方法。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1.掌握勾股定理的概念和应用。
2.学会使用勾股定理求解直角三角形的斜边和直角边。
教学难点：1.学会运用勾股定理的求解思路和方法。
2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学准备：教师准备：课件、教学实例学生准备：铅笔、直尺、计算器等教学过程：Step 1 引入与导入（5分钟）教师可以通过提问的方式引入，例如：“大家知道直角三角形是什么吗？直角三角形有哪些特点？”引导学生回忆直角三角形的概念和性质。
Step 2 学习和讨论（15分钟）1.教师呈现勾股定理的公式：a²+b²=c²，解释公式中的符号含义。
2.教师通过教学实例，依次讲解如何用勾股定理计算斜边和直角边的问题，并给学生一些练习题进行巩固。
Step 3 拓展与巩固（25分钟）1.学生自主完成一些练习题，加深对勾股定理的理解。
2.教师指导学生通过构建勾股三元数组，发现勾股定理中的规律，巩固对勾股定理的掌握。
Step 4 总结与归纳（10分钟）教师引导学生总结勾股定理的求解方法和注意事项，并出示总结卡片供学生抄写。
Step 5 课堂练习（15分钟）学生利用计算器或手工计算，完成一些复杂的勾股定理应用题，检验自己的学习成果。
Step 6 课堂互动（10分钟）教师根据学生的学习情况和课堂表现，设计课堂互动环节，例如学生之间交流解题思路或者展示解题过程。
Step 7 作业布置（5分钟）教师布置作业，可以是课本中的相关习题或其他拓展习题，要求学生完成作业并及时向教师请教有关问题。
Step 8 课堂小结（5分钟）教师对本节课的教学内容进行小结，并鼓励学生充分巩固所学知识。
板书设计：直角三角形斜边直角边勾股定理：a²+b²=c²教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解直角三角形的概念和性质，并掌握使用勾股定理求解直角三角形的斜边和直角边的方法。
人教版八年级数学上册《斜边、直角边》精品教案
第4课时“斜边、直角边”.,,AD BC BD AC AD BD BC AC ==⊥⊥求证：如图，例现在不要求马上给出结论．看看，通过动手探究，你是否能得出结论．直角三角形我们用Rt △表示． 思考：任意画出一个Rt △ABC ，使／C ＝90°，再画一个Rt △A'B'C'，使B'C'＝BC ，A'B'＝AB ，把画好的Rt △A'B'C'剪下，放到Rt △ABC 上，看看它们是否全等．(课件出示题目，师生一起看题)(学生独立探究，动手作图) 提问：（1）△ABC 就是所求作的三角形吗？（2）画好后，把Rt △A'B'C'剪下，放到Rt △ABC 上，看它们全等吗?（3）发现了什么结论？（全等）．结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边，直角边”或“HL ”）．注意两点：一是“HL ”是仅适用于Rt △的特殊方法。
二是应用“HL ”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt △的条件 4．结合图形，先分析已知条件和求证．从这些已知条件中，我们能发现什么?结合所求证的，你又能发现什么?(留时间让生思考)……培养学生的分析、作图能力．画法直接由教师蛤出，而不安排学生画出，是考虑学生反映画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点．让学生表述，培养归纳、表达能力，并能进一步理解“HL ”这一条件．自己读题、审题，先独自证明，培养学生独自面对围难的勇气和信心．小组展示自己的成果：AC⊥BC，BD⊥AD，又加上AC＝BD，我们能找到两个Rt△：Rt△ADB，Rt△BCA．又因为AC＝BD已经是一条直角边相等，我们再找到另一条件就行了．从这道题中可以看到，若已知几个垂直关系，我们可以试着找找Rt△，看看这些Rt△的关系．若能发现全等，那就能得出对应边、对应角相等了．让学生上台说方法，说思路，培养学生的逻辑推理能力；展示自己的探究成果，获得成功的喜悦．巩固练习学练优课后练习．小结与作业小结提高你有什么收获?你还有什么疑问？布置作业课后小知识--------------------------------------------------------------------------------------------------小学生每日名人名言1、读书要三到：心到、眼到、口到2、一日不读口生，一日不写手生。
斜边直角边-华东师大版八年级数学上册教案
斜边直角边-华东师大版八年级数学上册教案1. 教学目标•知道斜边、直角边的定义；•掌握用勾股定理求斜边或直角边的长度；•能够运用所学知识解决实际问题。
2. 教学重点•知道斜边、直角边的定义；•掌握用勾股定理求斜边或直角边的长度。
3. 教学难点•能够运用所学知识解决实际问题。
4. 教学过程4.1 引入首先，教师可以通过讲述一个有趣的故事或者图片来引发学生的兴趣，让学生尽快进入学习状态。
4.2 讲解•介绍斜边和直角边的定义，激发学生的好奇心和学习兴趣；•讲解勾股定理并且让学生思考勾股定理的证明过程；•指导学生如何用勾股定理求斜边或直角边的长度；•讲解如何运用所学知识解决实际问题。
4.3 演示•通过幻灯片或者黑板，演示不同情况下用勾股定理求解斜边或直角边的长度；•引导学生一起讨论每一个情况，帮助学生更好地理解。
4.4 练习•让学生进行练习，检验学生是否掌握所学知识；•给予学生正确的答案和解释，帮助学生纠正错误。
4.5 总结•总结所学知识的重点；•回顾本节课的主要内容；•鼓励学生在日常生活中运用所学知识。
5. 教学评估•学生的课堂参与度；•学生的练习成绩；•学生对所学知识的运用能力。
6. 课后作业•复习所学知识，准确掌握斜边直角边的定义；•完成课后习题，巩固勾股定理的概念和运用。
7. 总结通过本节课的学习，学生们不仅掌握了斜边和直角边的定义，更重要的是学习了如何运用勾股定理求解斜边或直角边的长度，并且能够运用所学知识解决实际问题。
教学是一个不断创新和提高的过程，老师们要不断地学习、探究和完善教学方法，让学生在愉快中获取知识，成长自己，活出精彩。
斜边直角边 教案
教学设计模板教学过程设计教师活动学生活动设计意图一、创设情景,导入新课问题:证明一般三角形全等有哪些方法?我们已经知道,对于两个三角形,如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边”分别对应相当,那么这两个三角形一定全等.如果有“边边角”分别对应相等,那么能不能保证这两个三角形全等呢?(出示课件)思考:一般三角形不一定全等,对于特殊三角形中的直角三角形呢?让我们一起研究这个问题吧! 二、师生互动,探究新知三、随堂练习,巩固新知四、典例精析,拓展新知五、运用新知,深化理解六、师生互动,课堂小结1.那么在两个直角三角形中,当斜边和一条直角边分别对应相等时,也具有“边边角”对应相等的条件,这时这两个直角三角形能否全等呢?大家一起动手画一画.如图所示,已知两条线段(这两条线段长不相等),以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边,画一个直角三角形.大家一起动手来画一画,好吗?画好后与同排比较,它们全等吗?2.在同学发言基础上归纳:如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等.简记H.L.(或斜边直角边).此公理的前提是两个三角形是直角三角形,同时满足两个条件(1)斜边相等(2)一条直角边对应相等.1.动手操作,并用语言叙述这个基本事实。
2.学生通过思路进行解题。
1.通过例题主要是灵活选择各种方法证明两个直角三角形全等,教学中应引导学生用分析法寻找证明DE=CE的思路。
2.先让学生独立思考,寻找解题思路,再全班交流由学生独立完成.七、板书设计。
斜边直角边教案
19.2.5《斜边直角边定理》教学设计华家中学 于晓玲一．教学目标1.知识与技能：（1）经历两个直角三角形全等条件的探究过程,掌握斜边直角边定理。
（2）会利用斜边直角边定理解决一些简单的实际问题。
2.过程与方法：使学生经历作图，比较，证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理能力。
3.情感态度与价值观：通过探究，感受数学模型与实际生活中的联系，体验学数学、用数学的乐趣，进一步激发探究的积极性．二．教学重难点重点：掌握“斜边直角边”判定定理。
难点：直角三角形全等的判定定理的探索过程。
教学准备 圆规 三角板 教学过程一．创设情境，引入新课1.全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等。
2.判别两个三角形全等的方法，_____ ,_____ ,_____ ,_____ 。
3. 在上问中，为什么“角角角”（AAA ）和“边边角”（SSA ）不能判定两个三角形全等？你能举出一个反例吗？4.如果“边边角”中的角是直角，那么这两个直角三角形全等吗？二. 合作交流，探索新知（一）动手做一做 大胆猜测画一个Rt △ABC,使得∠C=90°,一直角边CB=8cm,斜边AB=10cm 。
步骤：1． 画一线段CB ，使它等于8cm ； 2． 画∠MCB ＝90°；3． 以点B 为圆心，以10cm 长为半径画圆弧，交射线MC 于点A ；M8CM10CMBCA8CM10CMCB AB4． 连结AB ． △ABC 即为所求．把你画的直角三角形与同桌画的直角三角形进行比较，看看能发现什么?同学们所画的三角形都会重合也就是全等，那就是说“SSA ”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角。
换句话说就是在两个三角形都是直角三角形的前提下，如果满足斜边和一直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。
但是我们用的6、8、10只是两个特殊的直角三角形，那么对于两个一般的直角三角形来说，在满足斜边和一直角边对应相等的条件下，会不会全等呢？（二）动脑想一想 验证猜测已知Rt △ABC 和Rt △A ´B ´C ´中，AC=A ´C ´,AB=A ´B ´. 试说明Rt △ABC ≌ Rt △A ´B ´C ´.（三）归纳总结斜边直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
北师大版八年级下册1.2.2斜边直角边定理教案
∴△ABC是等腰三角形
F
E
B
D
C
例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的 高度AC
与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个 ∠B和∠F的大小有什么关系？
滑梯的倾斜角
E
解：由题意知∠CAB=∠FDE=90°
C
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF ,
B
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
（
HL
）
③
∠DAB= ∠CBA
（
AAS
）
④
∠DBA= ∠CAB
D
（ C
AAS
）
A
B
如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC=BD,AF=BE,则 （1）CE=DF,请说明理由。（2）AC与BD平行吗？为什么？
C
F
A
B
E
D
用三角尺可以画角平分线:如图所示，在已知∠AOB的两
边上分别取点M,N，使OM=ON,再过点M画OA的垂线，
1.2.2 “斜边，直角边”定理
（HL)
学习目标
1：会规范用“HL”判定两个直角三角形是否全等 2：会运用“斜边直角边”定理解决实际问题
学习重点：
理解直角三角形全等的特殊方法“HL”，并会规范应用
复习回顾：
证明两个三角形全等有哪些方法？
SAS（边角边) S S S(边边边） ASA（角边角） AAS（角角边）
过点N画OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是
A
∠AOB的平分线，请你证明这一结论。
M
O
P
N B
变式2
如图，AC、BD相交于点P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂 足分别
斜边直角边教案(教学设计)
斜边直角边【教学目标】1．知识与技能：使学生理解斜边直角边定理的内容，能运用斜边直角边证明三角形全等，进而说明线段或角相等。
2．过程与方法：经历探索直角三角形全等条件HL的过程，掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
3．情感、态度与价值观：学习事物的特殊、一般关系、发展逻辑思维能力。
培养学生善于思考、不断探索的良好习惯。
【教学重难点】1．重点：掌握斜边直角边定理。
2．难点：灵活应用斜边直角边定理解题。
【教学过程】一、创设情景，导入新课问题：证明一般三角形全等有哪些方法？我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边”分别对应相当，那么这两个三角形一定全等。
如果有“边边角”分别对应相等，那么能不能保证这两个三角形全等呢？思考：一般三角形不一定全等，对于特殊三角形中的直角三角形呢？让我们一起研究这个问题吧！二、师生互动，探究新知教师活动：那么在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形能否全等呢？大家一起动手画一画。
如图所示，已知两条线段（这两条线段长不相等），以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边，画一个直角三角形。
大家一起动手来画一画，好吗？画好后与同排比较，它们全等吗？学生活动：动手操作，并用语言叙述这个基本事实。
教师活动：在同学发言基础上归纳：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记HL（或斜边直角边）。
此公理的前提是两个三角形是直角三角形，同时满足两个条件：（1）斜边相等（2）一条直角边对应相等。
斜边、直角边公理（HL）推理格式（图略）。
∵∠C=∠C'=90°，∴在Rt△ABC和Rt△ABC中，AB=AB，BC=BC，∴Rt△ABC≌Rt△ABC（HL）。
三、随堂练习，巩固新知例：已知：（如图）AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足。
人教版八年级上册数学 12.2第4课时 “斜边、直角边”《直角三角形全等的判定》参考教案
三角形全等的判定（四）直角三角形全等的判定教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
教学重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学过程Ⅰ．提出问题，复习旧知1、判定两个三角形全等的方法：、、、2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）Ⅱ．导入新课（一）探索练习：（动手操作）：已知线段a ，c (a<c) 和一个直角α利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠α，AB=c ，CB= a1、按步骤作图： a c①作∠MCN=∠α=90°，②在射线CM上截取线段CB=a，③以B 为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A，α④连结AB2、与同桌重叠比较，是否重合？3、从中你发现了什么？斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）（二）巩固练习：1．如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）2．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。
人教版数学八年级上册第4课时 斜边、直角边 (2)教案与反思牛老师
12.2三角形全等的判定知己知彼，百战不殆。
《孙子兵法·谋攻》樱落学校曾泽平第4课时斜边、直角边一、新课导入1.导入课题:对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足哪些条件，这两个直角三角形就全等呢？本节课我们探讨直角三角形全等的判定方法.2.学习目标:（1）探究直角三角形全等的判定方法.（2）能运用三角形全等的判定方法判断两个直角三角形全等.3.学习重、难点：重点：直角三角形全等的判定方法.难点：两个直角三角形全等判定的应用.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：探究斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等.(2)自学时间：10分钟(3)自学方法：结合探究提纲进行探究.(4)探究提纲：①判定两个三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS.②①中几个判定方法对于直角三角形是否适用？适用③如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E，a.若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF全等吗？依据是ASA（用简写法）.b.若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF全等吗？依据是SAS（用简写法）.结论：两条直角边分别相等的两个直角三角形全等.④已知△ABC中，∠C=90°，试作出一个△A′B′C′，使∠C′=∠C，A′B′=AB，B′C′=BC.a.作图过程中应先作∠C′=∠C，再作B′C′=BC，然后作A′B′=AB.b.剪下△A′B′C′与△ABC重叠一下，看它们是否完全重合.重合c.根据作图、重叠，你有什么发现吗？斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）.d.将上述结论用几何语言表示为：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∵AB=A′B′ BC=B′C′∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)⑤比较“HL”与“SAS”两个定理的区别.⑥用“SSA”不能判定一般的两个三角形全等，对于直角三角形行吗？一定行.2.自学：学生结合探究提纲进行探究学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：前面已经学习了几个判定，学生能够利用类比的方法迅速掌握本节内容，但在应用的过程中还存在一定的障碍，特别是应用“HL”定理时容易写成“SSA”.②差异指导：在学习的过程中，先由一般方法到特殊方法，让生整体感知“HL”的优点.（2）生助生：在完成探究的过程中，需要小组合作学习，相互交流帮助作图并说明道理.4.强化：(1)直角三角形是特殊的三角形，它不仅有一般三角形全等判定的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.（2）“HL”不能写成“SSA”.（3）如图，若AB=DE，AC=DF，则△ABC与△DEF全等吗？为什么？不一定全等，因为没有第三个条件.1.自学指导：(1)自学内容：教材第42页例5.(2)自学时间：5分钟.(3自学方法：认真阅读例5，分析图中的对应条件.(4)自学参考提纲：①题中要证BC=AD，可以转化为证明哪两个三角形全等？为什么？△ABC≌△BAD②这两个三角形全等有哪些已知条件？用哪个判定定理合适？为什么？已知AB=BA,AC=BD,用HL判定定理，因为AB是Rt△ABC和Rt△BAD的斜边，AC和BD分别是Rt△ABC和Rt△BAD的直角边.2.自学：学生可结合自学指导进自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：由于前面几节课的学习，学生在证明过程中容易形成思维定势，总在寻找三对应条件来判定两个三角形全等，而忽视“直角三角形”的特殊性.②差异指导：先按一般三角形全等的判定方法，寻求条件，若缺条件，再尝试“HL”（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：（1）判定两个直角三角形全等的方法和特殊方法.（2）练习：如图，B、EF、C在同一直线上，F⊥BC于F，DE⊥BC与E，AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗？说说你的理由.解：平行.理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC，∴∠AFB和∠DEC都是直角，又BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE.在Rt△ABF和Rt△DCE中，AB=CD,BF=CE, ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL),∴∠B=∠C,AB∥CD.三、评价1.学生的自我评价：通过本节课的学习谈自己有哪些收获和体验.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果和不足进行点评.（2）纸笔评价（课堂评价检测）.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学应突出学生主体性原则，即从规律的探究、例题的学习，指引学生独立思考，自主得出，在探究之后，让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表达个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.一、基础巩固（第1、2题每题10分，第3题40分，共60分）1.判断一组直角三角形全等的方法有：SSS SAS ASA AAS HL.2.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C′=∠C=90°，∠B′=∠A，AB=B′A′，则下列结论正确的是（C）A.AC=A′C′B.BC=B′C′C.AC=B′C′D.∠A′=∠A3.如图，BA⊥AC，DC⊥AC，要使△ABC≌△CDA，还需添加什么条件，才能保证结论成立？(1)AB=CD（SAS）； (2)∠ACB=∠CAD（ASA）；(3)∠B=∠D（AAS）； (4)BC=AD（HL）.二、综合应用（每小题10分，20分）4.已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：①△BEC≌△DEA；②DF⊥BC．证明：(1)∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEA=90°.在Rt△BEC和Rt△DEA中，BC=DA,BE=DE,∴Rt△BEC≌△Rt△DEA.（2）∵Rt△BEC≌Rt△DEA,∴∠C=∠DAE,∴∠C+∠D=∠DAE+∠D=90°,∴∠CFD=90°,∴DF⊥BC.5.如图，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B，试说明AD+AB＝BE.解：∵AD⊥AC,BE⊥AC,∴∠A=∠CBE=90°,∴∠D+∠ACD=90°.又∵∠DCE=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∴∠D=∠BCE.在△ACD和△BEC中，∠A=∠CBE,∠D=∠BCE,CD=EC,∴△ACD≌△BEC(AAS).∴AD=BC,AC=BE,∴AD+AB=BC+AB=AC=BE.三、拓展延伸（20分）6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，EF是过点A的直线，BE⊥EF于E，CF ⊥EF于F，试探求线段BE、CF、EF之间的关系，并加以证明.解：BE+CF=EF,证明如下：∵BE⊥EF,CF⊥EF,∴∠BEA=∠AFC=90°.又∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=180°-∠BAC=90°, ∴∠EAB=∠FCA,在△ABE和△CAF中，∠BEA=∠AFC,∠EAB=∠FCA,AB=CA,∴△ABE≌△CAF(AAS).∴BE=AF,AE=CF,∴BE+CF=AF+AE=EF.【素材积累】宋庆龄自1913年开始追随孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。
12.2.4斜边、直角边(HL)
探究结果总结：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”和“HL”）．
[师]你能用几种方法说明两个直角三角形全等呢？
[生]直角三角形也是三角形，一般来说，可以用“定义、SSS、SAS、ASA、AAS”这五种方法，但它又具有特殊性，还可以用“HL”的方法判定．
（学生自主完成后，与同伴交流作图心得，然后由一名同学口述作图方法．老师做多媒体课件演示，激发学习兴趣）．
作法：
第一步：作∠MCN=90°．
第二步：在射线CM上截取CB=4cm．
第三步：以B为圆心，5cm为半径画弧交射线CN于点A．
第四步：连结AB．
就可以得到所想要的Rt△ABC．（如下图所示）
将Rt△ABC剪下，同一组的同学做的三角形叠在一起，发现这些三角形全等．
4．角边角（ASA）5.角角边（AAS）6.HL（仅用在直角三角形中）
（二）当堂测评：
长江作业
证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中又∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠ABC+∠DFE=90°
所以Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠ABC=∠DEF
即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余．
四、反思小结当堂测评
（一）反思小结：
至此，我们有六种判定三角形全等的方法：
1．全等三角形的定义2．边边边（SSS）3．边角边（SAS）
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠D=∠C=90°
在Rt△ABC和Rt△BAD中
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）
∴BC=AD．
[例2]有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？
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全等三角形的判定---斜边直角边教学设
计
隆安县第一中学蒙小妹
[教材分析]：
本课是人教版八年级数学下册第十二章的最后一个判定定理，在学习了全等三角形的四个判定方法（“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”）的基础上，进一步探索两个直角三角形全等的判定方法。
直角三角形是三角形中的一类，判定两个直角三角形全等，可以用已学过的所有全等三角形的判定方法，但两个直角三角形中已有一对直角是相等的，因此在判定两个直角三角形全等时，只需另外找到两个条件即可，由于直角三角形的这种特殊性，判定两个直角三角形全等的方法又有别于其他的三角形。
教科书首先给出一个“思考”，让学生认识到判定两个直角三角形全等与判定两个普通三角形全等的不同之处．然后通过探究5的作图实验操作，让学生经历探究满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等的过程，然后在学生总结探究出的规律的基础上，直接以定理的方式给出“斜边、直角边”判定方法．最后，教科书给出一个例题，
让学生在具体问题中运用“斜边、直角边”证明两个直三角形全等，并得到对应边相等。
[学情分析]：学生对于证明两个三角形全等的思路较为清晰。
对于比较全等三角形有一定的动手能力。
[教学重点]：“斜边、直角边”判定方法的运用。
[教学难点]：“斜边、直角边”判定方法的理解。
[教学目标]：
1．已知斜边和一直角边会作直角三角形。
2．会阐述“斜边、直角边”公理，并会通过“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等。
3．能熟练地、灵活地选用一般三角形全等的判定方法以及“斜边、直角也”公理判定两个直角三角形全等。
[教学准备]：课件
[引导性材料]：
如图3．8－1，AD是△ABC的高，AD把△ABC分成两个直角三角形，这两个直角三角全等吗？
图3．8－1
[教学设计]
问题1：图3．8－1中的两个直角三角形有可能全等吗？什么情况下这两个直角三角形全等？
说明：设计开放式问题1，便于各类学生参与探索两个直角三角形全等的各种可能情况。
由于学生对等腰三角形有初步的了解，因此教学中，学生根据图形的直观，认为这两个直角三角形全等的可能情况有四种:BD＝CD,∠BAD＝∠CAD；∠B＝∠C；AB＝AC。
问题2：你能说出上述四种可能情况的判定依据吗？
说明：1．从问题2的讨论中，可以使学生主动发现判定两个直角三角形全等时，直角相等是一个很重要的隐含条件，同时由于有一个直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只要两个条件。
2．当“AB＝AC”时，从图形的直观可以估计这两个直角三角形全等，这时两个直角三角形对应相等的元素是“边边角”，从而有利于学生形成新的认知的冲突──在3．7节中，已知两边及其一边的对角，画出了两个形状、大小都不同的三角形，因此得到“有两边及其一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等”的结论，那么当其中一边的对角是特殊的直角时，这个结论能成立吗？
画一画：（即课本例1）
问题3：从上面画直角三角形中，你发现什么？
从上面画图可以发现，斜边与一条直角边的长一定时，所画出的直角三角形是唯一确定的，于是“两边及其一边的对角对应相等，且所对角是直角时可以判定这两个三角形全等”，由此我们得到判定两个直角三角全等的公理－－－－斜边、直角边公理，简写为“HL”，所以在图3．8－1中，当AB＝AC时，两个直角三角形全等。
[例题解析]
例1(补充例题)如图3．8－2，∠ACB＝∠BDA＝Rt∠，要证明△ACB≌△BDA，需要补充几个条件上，应补充什么条件？把它们分别写出来，有几种不同的方法就写几种：
图3．8－2 例2：（即课本第49页例2）
分析：
[课堂练习]
课本例2后练习题第1、2题。
[小结]
l．直角三角形是特殊的三角形，所以不仅可以应用一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特殊的判定方法____“HL”公理。
2．两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只须找两个条件（两个条件占至少有一个条件是一对边相等）。