《拣选14份合集》山东K12联盟2021届高三开年迎春考试数学模拟试题含解析
2021年山东春季高考数学真题参考答案
山东省2021年普通高校招生(春季)考试数学答案及简要解析卷一(选择题 共60分)一、选择题1.B ʌ解析ɔȵ∁U N ={0,1,3},ʑM ɘ(∁U N )={1,3}.2.D ʌ解析ɔ要使函数有意义,须满足|x -1|-3ȡ0,ʑ|x -1|ȡ3,即x -1ɤ-3或x -1ȡ3,解得x ɤ-2或x ȡ4,ʑ定义域为(-ɕ,-2]ɣ[4,+ɕ).3.A ʌ解析ɔȵf (x )在(-ɕ,+ɕ)上是减函数,ʑ由函数单调性可知当x 越大,f (x )反而越小.ȵ-1<0<1,ʑf (1)<f (0)<f (-1).4.B ʌ解析ɔ由函数y =l o g a x 的图像可知a >1.对于函数y =(1-a )x 2+1来说,1-a <0,ʑ二次函数开口朝下,顶点坐标为(0,1),故选项B 正确.5.D ʌ解析ɔ零向量的方向是任意的,故选项A 错误;大小相等和方向相同的两个向量相等,ʑ两个单位向量不一定相等,故选项B 错误;方向相反且大小相同的两个向量互为相反向量,故选项C 错误.6.C ʌ解析ɔȵ角α的终边过点P (-1,2),ʑs i n α=-55,c o s α=255.由二倍角公式s i n 2α=2s i n αc o s α得s i n 2α=2ˑ-55æèçöø÷ˑ255=-45.7.A ʌ解析ɔ若角α是第一象限角,则s i n α>0,充分条件成立;反之,若s i n α>0,则角α可能为第一象限角或第二象限角或在y 轴正半轴上,必要条件不成立.8.C ʌ解析ɔȵ直线l 经过(1,2)和(3,1),ʑ直线l 的斜率k l =1-23-1=-12,ȵm ʅl ,ʑ直线m 的斜率k m =-1k l=2,又直线m 过点(3,1),由直线的点斜式可知直线m 的方程为2x -y -5=0.9.C ʌ解析ɔ安排四人进行接力赛,可根据有无甲运动员分为两类:第一类甲不参加接力赛,则安排方法有A 44=24种;第二类甲参加接力赛,则安排方法有C 34C 13A 33=72种.故不同的安排方法有96种.10.D ʌ解析ɔ根据表格中的对应关系知f (2)=5,f (5)=7,ʑf [f (2)]=7.11.A ʌ解析ɔ根据向量的运算法则知a b =-2m +3,ʑ-2m +3=5,则m =-1.12.C ʌ解析ɔ由图像可知,该函数不关于原点㊁y 轴对称,为非奇非偶函数,最大值为2.又T4=π3--2π3æèçöø÷=π,ʑ最小正周期是4π,ȵ2πω=4π,ʑω=12,令12ˑπ3+φ=0,则φ=-π6.13.B ʌ解析ɔ三件玩具分为三个小朋友,完成这件事的基本事件个数共有A 33=6个,其中都没有拿到自己玩具的这件事的基本事件个数共2个,故概率为26=13.14.A ʌ解析ɔȵ圆到圆上一点的距离为半径,圆经过原点,ʑ半径r =12+22=5,根据圆的标准方程可以得到标准方程为(x -1)2+(y -2)2=5.15.D ʌ解析ɔȵ点M 到抛物线对称轴的距离是4,ʑ点M 的纵坐标为4,ȵM 在抛物线上,ʑ横坐标为8p ,又点M 到准线的距离为5,ʑ8p +p2=5,解得p =2或p =8.16.B ʌ解析ɔ p :甲㊁乙㊁丙三名同学不都是共青团员,即至少有一名不是共青团员.17.C ʌ解析ɔ由图像可知直线为实线,且点(0,0)在区域内,代入(0,0)可得x +3y -3<0,在直线下方,符合要求.18.C ʌ解析ɔ由题意设该等差数列为{a n },则S 5=30,a 1+a 2=a 3+a 4+a 5,{解得a 1=8,d =-1,{ʑ甲所分小米的斤数是8斤.19.B ʌ解析ɔ由二项式的通项公式可知T m +1=C m n a n -m b m ,ʑ第二项的二项式系数为C 1n ,第五项的二项式系数为C 4n ,ȵC 1n =C 4n ,ʑn =5,则T 4=C 351x æèçöø÷2(-2)3,即系数为-80.20.B ʌ解析ɔ在正方体A B C D A 1B 1C 1D 1中,B D ʅA 1C ,B C 1ʅA 1C ,B D ɘB C 1=B ,且B D ,B C 1⊂平面B C 1D ,A 1C ⊄平面B C 1D ,ʑA 1C ʅ平面B C 1D ,又C 1P ⊂平面B C 1D ,ʑP C 1ʅA 1C .卷二(非选择题 共60分)二㊁填空题(本大题5个小题,每小题4分,共20分㊂请将答案填在答题卡相应题号的横线上)21.-1 ʌ解析ɔȵ-1ɤs i n x ɤ1,ʑ-5ɤ2s i n x -3ɤ-1,即函数y 的最大值是-1.22.1+15 ʌ解析ɔ正四棱锥的表面积由底面正方形和侧面四个等腰三角形构成,故S =1ˑ1+4ˑ12ˑ1ˑ152=1+15.23.53 ʌ解析ɔ由题意知2a 2b =32,则a b =32,故离心率e =1-b a æèçöø÷2=53.24.2 ʌ解析ɔȵ x =16(85+91+88+87+90+87)=88,ʑs 2=16[(85-88)2+(91-88)2++(87-88)2=4,则s =2.25.S =12㊃3m +2-3m +1+12㊃3mʌ解析ɔȵ点A ,B ,C 的横坐标成等差数列,且点A 的横坐标为m ,ʑ点B 的横坐标为m +1,同理,点C 的横坐标为m +2,即点A 为(m ,3m +1),B 为(m +1,3m +2),C 为(m +2,3m +2).利用割补法知әA B C 的面积为S =S әA C E -S әA B D -S 梯形B C E D ,其中S әA C E =12ˑ2ˑ(3m +2-3m ),S әA B D =12ˑ1ˑ(3m +1-3m ),S 梯形B C E D =12[(3m +1-3m )+(3m +2-3m )],故S =12㊃3m +2-3m +1+12㊃3m.三㊁解答题(本大题5个小题,共40分)26.解:(1)ȵf (4)=8,ʑ16a -8=8,则a =1.(2)设x <0,则-x >0,ʑf (-x )=x 2+2x .ȵf (x )是定义在R 上的奇函数,ʑ-f (x )=f (-x ),即f (x )=-f (-x )=-x 2-2x .综上所述,f (x )=-x 2-2x ,x <0,x 2-2x ,x ȡ0.{27.解:(1)ȵa n >0,a 1=1,2a n +1-a n =0,ʑa n +1a n=12,即数列{a n }是等比数列,a 1=1且q =12,ʑ通项公式为a n =12æèçöø÷n -1.(2)ȵb n =l o g 2a n =l o g 212æèçöø÷n -1=1-n ,ʑ数列{b n }是首项b 1=0,公差d =-1的等差数列.则S 90=90ˑ0+90ˑ892ˑ(-1)=-4005.28.解:(1)过点A 作垂线交O Q 于点E ,ȵøP O Q =30ʎ,且O A =10,ʑA E =5.又A B =52,ʑs i n øO B A =A E A B =22,即øO B A =45ʎ.(2)由(1)可知C E =B E =5,O E =53,ʑO C =O E -C E =53-5,ȵD 为O A 的中点,ʑO D =5,由余弦定理可知c o s øP O Q =O C 2+O D 2-C D 22㊃O C ㊃O D =12,ʑC D =2.6.29.解:(1)ȵS A ʅ平面A B C D ,ʑS A ʅA B ,又底面A B C D 是正方形,ʑA D ʅA B ,ȵA D ɘS A =A ,A D ,S A ⊂平面S A D ,A B ⊄平面S A D ,ʑA B ʅ平面S A D ,ȵS D ⊂平面S A D ,ʑA B ʅS D .(2)取S D 的中点G ,连接G F 和A G ,ȵG ,F 是中点,ʑG F ʊC D ,且G F =12C D .ȵ底面A B C D 是正方形,且E 是A B 的中点,ʑA E ʊC D ,且A E =12C D .则A E ʊG F ,且A F =G F ,ʑ四边形A E F G 是平行四边形,则A G ʊE F ,ʑ直线E F 与A D 所成的角为øG A D .ȵG 是S D 的中点,ʑA G =12S D ,则A G =G D ,即三角形A D G 为等腰三角形,又øS D A =60ʎ,ʑ三角形A D G 为等边三角形,则øG A D =60ʎ.30.解:(1)ȵ椭圆方程为x 25+y 24=1,ʑc =1,即左焦点为F (-1,0).ȵ双曲线左顶点与左焦点重合,ʑ双曲线中a =1,又双曲线过点P ,ʑb 2=1,即双曲线的标准方程为x 2-y 2=1.(2)设直线l :y =k (x +1),联立方程组y =k (x +1),x 25+y 24=1,ìîíïïï整理得(4+5k 2)x 2+10k 2x +5k 2-20=0,由韦达定理可知x 1+x 2=-10k 24+5k 2,ȵM ,N 在直线l 上,ʑy 1+y 2=k (x 1+1)+k (x 2+1),即y 1+y 2=-10k 34+5k 2+2k =8k 4+5k 2.ʑ线段MN 的中点坐标为-5k 24+5k 2,4k 4+5k 2æèçöø÷.由双曲线的抛物线方程可知渐近线方程为y =ʃx ,ȵMN 的中点在渐近线上,ʑ分为两种情况:①当线段MN 的中点在y =x 上时,则-5k 24+5k 2=4k4+5k 2,即k =0或k =-45;②当线段MN 的中点在y =-x 上时,则5k 24+5k 2=4k4+5k 2,即k =0或k =45.综上所述,直线l 的方程为y =0或y =ʃ45(x +1)(一般式为4x ʃ5y +4=0).。
(word版)山东省春季高考数学试卷(解析版)
2021年山东省春季高考数学试卷一、选择题1．全集U={1，2}，集合M={1}，那么?UM等于〔〕A．?B．{1}C．{2}D．{1，2}2．函数的定义域是〔〕A．[﹣2，2]B．〔﹣∞，﹣2]∪[2，+∞〕C．〔﹣2，2〕D．〔﹣∞，﹣2〕∪〔2，+∞〕3．以下函数中，在区间〔﹣∞，0〕上为增函数的是〔〕A．y=xB．y=1C． D．y=|x|4．二次函数 f〔x〕的图象经过两点〔0，3〕，〔2，3〕且最大值是5，那么该函数的解析式是〔〕A．f〔x〕=2x2﹣8x+11B．f〔x〕=﹣2x2+8x﹣1C．f〔x〕=2x2﹣4x+3D．〔fx〕=﹣2x2+4x+3 5．等差数列{an}中，a1=﹣5，a3是4与49的等比中项，且a3＜0，那么a5等于〔〕A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣326．A〔3，0〕，B〔2，1〕，那么向量的单位向量的坐标是〔A．〔1，﹣1〕B．〔﹣1，1〕C．D．7．“p∨q为真〞是“p为真〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是〔〕A．﹣3B．﹣2C．5D．69．以下说法正确的选项是〔〕A．经过三点有且只有一个平面B．经过两条直线有且只有一个平面C．经过平面外一点有且只有一个平面与平面垂直D．经过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直第1页〔共24页〕10．过直线x+y+1=0与2x ﹣y ﹣4=0的交点，且一个方向向量 的直线方程是〔〕A ．3x+y ﹣1=0B ．x+3y ﹣5=0C ．3x+y ﹣3=0D ．x+3y+5=011．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，假设从中任意选出4个排成节目单，那么能排出不同节目单的数量最多是〔〕A ．72B ．120C ．144D ．28812．假设a ，b ，c 均为实数，且a ＜b ＜0，那么以下不等式成立的是〔〕A ．ac ＜bc2b2D ．B ．ac ＜bcC ．a ＜++kxg 〔x 〕=logf 〔﹣1〕=g 〔9〕，那么实数k 的值是〔〕13．函数f 〔x 〕=2，3x ，假设 A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣214．如果 ， ，那么 等于〔 〕A ．﹣18B ．﹣6C ．0D ．1815．角α的终边落在直线 y=﹣3x 上，那么cos 〔π+2α〕的值是〔〕A ．B ．C ．D ．16．二元一次不等式 2x ﹣y ＞0表示的区域〔阴影局部〕是〔 〕A ．B ．C ．D ．17．圆C1和C2关于直线y=﹣x 对称，假设圆C1的方程是〔x+5〕2+y 2=4，那么圆 C2的方程是〔〕A．〔x+5〕2+y2=2 B．x2+〔y+5〕2=4 C．〔x﹣5〕2+y2=2 D．x2+〔y﹣5〕2=418．假设二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的常数项是〔〕A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣1519．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最正确人选为〔〕成绩分析表甲乙丙丁第2页〔共24页〕平均成绩96968585标准差s4242A．甲B．乙C．丙D．丁20．A1，A2为双曲线〔a＞0，b＞0〕的两个顶点，以A1A2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，假设△A1MN的面积为，那么该双曲线的离心率是〔〕A． B． C． D．二、填空题：21．假设圆锥的底面半径为1，母线长为3，那么该圆锥的侧面积等于．22．在△ABC中，a=2，b=3，∠B=2∠A，那么cosA= ．23．F1，F2是椭圆+ =1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于P、Q两点，那么△PQF2的周长等于．24．某博物馆需要志愿者协助工作，假设从6名志愿者中任选3名，那么其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是．25．对于实数m，n，定义一种运算：，函数f〔x〕=a*a x，其中0＜a＜1，假设f〔t﹣1〕＞f〔4t〕，那么实数t的取值范围是．三、解答题：26．函数f〔x〕=log2〔3+x〕﹣log2〔3﹣x〕，1〕求函数f〔x〕的定义域，并判断函数f〔x〕的奇偶性；2〕f〔sinα〕=1，求α的值．27．某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；第3页〔共24页〕②按照航行天数交纳：第一天缴纳元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天．请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低．28．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D，E分别是AB，A1C1的中点，如下图．1〕求证：DE∥平面BCC1B1；2〕求DE与平面ABC所成角的正切值．29．函数．1〕求该函数的最小正周期；2〕求该函数的单调递减区间；3〕用“五点法〞作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．30．椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆的离心率是，如下图．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A，过点A作抛物线的切线 l，l 与椭圆的另一个交点为B，求线段AB的长．第4页〔共24页〕第5页〔共24页〕2021年山东省春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．全集U={1，2}，集合M={1}，那么?UM等于〔〕A．? B．{1} C．{2}D．{1，2}【考点】1F：补集及其运算．【分析】根据补集的定义求出M补集即可．【解答】解：全集U={1，2}，集合M={1}，那么?UM={2}．应选：C．2．函数的定义域是〔〕A．[﹣2，2] B．〔﹣∞，﹣2]∪[2，+∞〕C．〔﹣2，2〕D．〔﹣∞，﹣2〕∪〔2，+∞〕【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数y的解析式，列出不等式求出x的取值范围即可．【解答】解：函数，|x|﹣2＞0，即|x|＞2，解得x＜﹣2或x＞2，∴函数y的定义域是〔﹣∞，﹣2〕∪〔2，+∞〕．应选：D．3．以下函数中，在区间〔﹣∞，0〕上为增函数的是〔〕A．y=xB．y=1C．D．y=x|【考点】3E：函数单调性的判断与证明．【分析】根据根本初等函数的单调性，判断选项中的函数是否满足条件即可．第6页〔共24页〕【解答】解：对于A，函数y=x，在区间〔﹣∞，0〕上是增函数，满足题意；对于B，函数y=1，在区间〔﹣∞，0〕上不是单调函数，不满足题意；对于C，函数y=，在区间〔﹣∞，0〕上是减函数，不满足题意；对于C，函数y=|x|，在区间〔﹣∞，0〕上是减函数，不满足题意．应选：A．4．二次函数 f〔x〕的图象经过两点〔0，3〕，〔2，3〕且最大值是5，那么该函数的解析式是〔〕A．f〔x〕=2x2﹣8x+11B．f〔x〕=﹣2x2+8x﹣1C．f〔x〕=2x2﹣4x+3D．〔fx〕=﹣2x2+4x+3【考点】3W：二次函数的性质．【分析】由题意可得对称轴x=1，最大值是5，故可设f〔x〕=a〔x﹣1〕2+5，代入其中一个点的坐标即可求出a的值，问题得以解决【解答】解：二次函数f〔x〕的图象经过两点〔0，3〕，〔2，3〕，那么对称轴x=1，最大值是5，可设f〔x〕=a〔x﹣1〕2+5，于是3=a+5，解得a=﹣2，故f〔x〕=﹣2〔x﹣1〕2+5=﹣2x2+4x+3，应选：D．5．等差数列{an}中，a1=﹣5，a3是4与49的等比中项，且a3＜0，那么a5等于〔〕A．﹣18B．﹣23C．﹣24D．﹣32【考点】8F：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．【分析】根据题意，由等比数列的性质可得〔a3〕2×，结合解3＜可得= 449aa3的值，进而由等差数列的性质a5=2a3﹣a1，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，a3是4与49的等比中项，那么〔a3〕2=4×49，解可得a3=±14，又由a3＜0，那么a3=﹣14，又由a1=﹣5，第7页〔共24页〕那么a5=2a3﹣a1=﹣23，应选：B．6．A〔3，0〕，B〔2，1〕，那么向量的单位向量的坐标是〔〕A．〔1，﹣1〕B．〔﹣1，1〕C． D．【考点】95：单位向量．【分析】先求出=〔﹣1，1〕，由此能求出向量的单位向量的坐标．【解答】解：∵A〔3，0〕，B〔2，1〕，=〔﹣1，1〕，∴||=，∴向量的单位向量的坐标为〔，〕，即〔﹣，〕．应选：C．7．“p∨q为真〞是“p为真〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由真值表可知：“p∨q为真命题〞那么p或q为真命题，故由充要条件定义知p∨q为真〞是“p为真〞必要不充分条件【解答】解：“p∨q为真命题〞那么p或q为真命题，所以“p∨q为真〞推不出“p为真〞，但“p为真〞一定能推出“p∨q为真〞，故“p∨q为真〞是“p为真〞的必要不充分条件，应选：B．8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是〔〕A．﹣3B．﹣2C．5 D．6【考点】HW：三角函数的最值．【分析】利用查余弦函数的值域，二次函数的性质，求得y的最小值．【解答】解：∵函数y=cos2x﹣4cosx+1=〔cox﹣2〕2﹣3，且cosx∈[﹣1，1]，故当cosx=1时，函数y取得最小值为﹣2，第8页〔共24页〕应选：B．9．以下说法正确的选项是〔〕A．经过三点有且只有一个平面B．经过两条直线有且只有一个平面C．经过平面外一点有且只有一个平面与平面垂直D．经过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直【考点】LJ：平面的根本性质及推论．【分析】在A中，经过共线的三点有无数个平面；在B中，两条异面直线不能确定一个平面；在C中，经过平面外一点无数个平面与平面垂直；在D中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直．【解答】在A中，经过不共线的三点且只有一个平面，经过共线的三点有无数个平面，故A错误；在B中，两条相交线能确定一个平面，两条平行线能确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，故B错误；在C中，经过平面外一点无数个平面与平面垂直，故C错误；在D中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直，故D正确．应选：D．10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方程是〔〕A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=0【考点】IB：直线的点斜式方程．【分析】求出交点坐标，代入点斜式方程整理即可．【解答】解：由，解得：，由方向向量得：第9页〔共24页〕直线的斜率k=﹣3，故直线方程是：y+2=﹣3〔x﹣1〕，整理得：3x+y﹣1=0，应选：A．11．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，假设从中任意选出4个排成节目单，那么能排出不同节目单的数量最多是〔〕A．72B．120C．144D．2 88【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，分别求出每种情况下可以排出节目单的数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，有1种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能，即可以排出24个不同节目单，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，有C21C43=8种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能，那么以排出8×24=192个不同节目单，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，有C22C42=6种取法，将2个歌舞类节目全排列，有A22=2种情况，排好后有3个空位，在3个空位中任选2个，安排2个语言类节目，有A32=6种情况，此时有6×2×6=72种可能，就可以排出72个不同节目单，那么一共可以排出24+192+72=288个不同节目单，应选：D．12．假设a，b，c均为实数，且a＜b＜0，那么以下不等式成立的是〔〕第10页〔共24页〕A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2D．【考点】R3：不等式的根本性质．【分析】A，由a＜b＜0，可得a+c＜b+c；B，c的符号不定，那么ac，bc大小关系不定；C，由a＜b＜0，可得a2＞b2；D，由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b?；【解答】解：对于A，由a＜b＜0，可得ac＜bc，故正确；++对于B，c的符号不定，那么ac，bc大小关系不定，故错；对于C，由a＜b＜0，可得a2＞b2，故错；对于D，由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b?，故错；应选：A．函数kx，g〔x〕=log3，假设〔﹣〕〔〕，那么实数的值是〔〕13f〔x〕=2xf1=g9 A．1B．2C．﹣1D．﹣2【考点】4H：对数的运算性质．【分析】由g〔9〕=log39=2=f〔﹣1〕=2﹣k，解得即可．﹣解得k=﹣1，应选：C14．如果，，那么等于〔〕A．﹣18B．﹣6C．0D．18【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由求出及与的夹角，代入数量积公式得答案．【解答】解：∵，，∴，且＜＞=π．那么= =3×6×〔﹣1〕=﹣18．应选：A．第11页〔共24页〕15．角α的终边落在直线 y=﹣3x上，那么cos〔π+2α〕的值是〔〕A． B． C． D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由直线方程，设出直线上点的坐标，可求cosα，利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式可求cos〔π+2α〕的值．【解答】解：假设角α的终边落在直线 y=﹣3x上，〔1〕当角α的终边在第二象限时，不妨取x=﹣1，那么y=3，r= = ，所以cosα=，可得cos〔π+2α〕=﹣cos2α=1﹣2cos2α=；〔2〕当角α的终边在第四象限时，不妨取x=1，那么y=﹣3，r= = ，所以sinα=，cosα=，可得cos〔π+2α〕=﹣cos2α=1﹣2cos2α=，应选：B．16．二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域〔阴影局部〕是〔〕A． B． C． D．【考点】7B：二元一次不等式〔组〕与平面区域．【分析】利用二元一次不等式〔组〕与平面区域的关系，通过特殊点判断即可．【解答】解：因为〔1，0〕点满足2x﹣y＞0，所以二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域〔阴影局部〕是：C．应选：C．17．圆C1和C2关于直线y=﹣x对称，假设圆C1的方程是〔x+5〕2+y2=4，那么圆C2的方程是〔〕A．〔x+5〕2+y2=2 B．x2+〔y+5〕2=4 C．〔x﹣5〕2+y2=2 D．x2+〔y﹣5〕2=4【考点】J1：圆的标准方程．【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，求出圆C1的圆心关于y=﹣x的对称点，再由圆的标准方程得答案．第12页〔共24页〕【解答】解：由圆C1的方程是〔x+5〕2+y2=4，得圆心坐标为〔﹣5，0〕，半径为2，设点〔﹣5，0〕关于y=﹣x的对称点为〔x0，y0〕，那么，解得．∴圆C2的圆心坐标为〔0，5〕，那么圆C2的方程是x2+〔y﹣5〕2=4．应选：D．18．假设二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的常数项是〔〕A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】先求出n的值，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：∵二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴n=6，那么展开式中的通项公式为Tr+1=C6r?〔﹣1〕r?x ．令6﹣3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为C62?〔﹣1〕2=15，应选：C．19．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最正确人选为〔〕成绩分析表甲乙丙丁平均成绩96 96 85 85第13页〔共24页〕标准差s 4 2 4 2A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】根据平均成绩高且标准差小，两项指标选择即可．【解答】解：根据表中数据知，平均成绩较高的是甲和乙，标准差较小的是乙和丙，由此知乙同学成绩较高，且发挥稳定，应选乙参加．应选：B．20．A1，A2为双曲线〔a＞0，b＞0〕的两个顶点，以A1A2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，假设△A1MN的面积为，那么该双曲线的离心率是〔〕A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得A1〔﹣a，0〕到直线渐近线的距离d，根据三角形的面积公式，即可求得△A1MN的面积，即可求得a和b的关系，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由双曲线的渐近线方程y=±x，设以A1A2为直径的圆与双曲线的渐近线y= x交于M，N两点，那么A1〔﹣a，0〕到直线y=x的距离d= = ，△A1MN 的面积S=××，整理得：b=2a==c那么a2=b2﹣c2=c2，即a=c，双曲线的离心率e= = ，应选B．第14页〔共24页〕二、填空题：21．假设圆锥的底面半径为1，母线长为3，那么该圆锥的侧面积等于3π．【考点】L5：旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．【分析】圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为l，弧长为2π，那么圆锥侧面积S=πrl，由此能求出结果．【解答】解：圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为l，弧长为2πr∴圆锥侧面积：S= =πrl=π×1×3=3π．故答案为：3π．22．在△ABC中，a=2，b=3，∠B=2∠A，那么cosA= ．∴【考点】HR：余弦定理．∴【分析】由二倍角的正弦函数公式，正弦定理即可计算得解．∴【解答】解：∵∠B=2∠A，∴sin∠B=2sin∠Acos∠A，第15页〔共24页〕又∵a=2，b=3，∴由正弦定理可得：，∵sin∠A≠0，∴cos∠A=．故答案为：．23．F1，F2是椭圆+ =1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于P、Q两点，那么△PQF2的周长等于24 ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=12，|QF1|+|QF2|=2a=12即可求得△PQF2的周长．【解答】解：椭圆+ =1的焦点在y轴上，那么a=6，b=4，设△PQF2的周长为l，那么l=|PF2|+|QF2|+|PQ|，=〔|PF1|+|PF2|〕+〔|QF1|+|QF2|〕=2a+2a，=4a=24．∴△PQF2的周长24，故答案为：24．第16页〔共24页〕24．某博物馆需要志愿者协助工作，假设从6名志愿者中任选3名，那么其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出根本领件总数n= ，其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的根本领件个数：m= =4，由此能求出甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率．【解答】解：某博物馆需要志愿者协助工作，从6名志愿者中任选3名，根本领件总数n=，其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的根本领件个数：m== 4，∴其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是：p= = = ．故答案为：．25．对于实数m，n，定义一种运算：，函数f〔x〕=a*a x，其中0＜a＜1，假设f〔t﹣1〕＞f〔4t〕，那么实数t的取值范围是〔﹣，2] ．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】求出f〔x〕的解析式，得出f〔x〕的单调性，根据单调性得出t﹣1和4t的大小关系，从而可得t的范围．【解答】解：∵0＜a＜1，∴当x≤1时，a x≥a，当x＞1时，a＞a x，∴∴f〔x〕= ．∴∴f〔x〕在〔﹣∞，1]上单调递减，在〔1，+∞〕上为常数函数，∵f〔t﹣1〕＞f 〔4t〕，∴t﹣1＜4t≤1或t﹣1≤1＜4t，第17页〔共24页〕解得﹣＜t≤或．∴﹣．故答案为：〔﹣2．，三、解答题：26．函数f〔x〕=log2〔3+x〕﹣log2〔3﹣x〕，1〕求函数f〔x〕的定义域，并判断函数f〔x〕的奇偶性；2〕f〔sinα〕=1，求α的值．【考点】4N：对数函数的图象与性质．【分析】〔1〕要使函数f〔x〕=log23x〕﹣log2〔3﹣x〕有意义，那么?〔+﹣3＜x＜3即可，由f〔﹣x〕=log2〔3﹣x〕﹣log2〔3+x〕=﹣f〔x〕，可判断函数f〔x〕为奇函数．〔2〕令f〔x〕=1，即，解得x=1．即sinα=1，可求得α．【解答】解：〔1〕要使函数f〔x〕=log2〔3+x〕﹣log2〔3﹣x〕有意义，那么﹣3＜x＜3，∴函数f〔x〕的定义域为〔﹣3，3〕；∵f〔﹣x〕=log2〔3﹣x〕﹣log2〔3+x〕=﹣f〔x〕，∴函数f〔x〕为奇函数．〔2〕令f〔x〕=1，即，解得x=1．sinα=1，α=2k，〔k∈Z〕．27．某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；第18页〔共24页〕②按照航行天数交纳：第一天缴纳元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天．请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】分别计算两种方案的缴纳额，即可得出结论．【解答】解：假设按方案①缴费，需缴费50×0.9=45万元；假设按方案②缴费，那么每天的缴费额组成等比数列，其中a1= ，q=2，n=20，∴共需缴费S20= = =219﹣=524288﹣≈万元，∴方案①缴纳的保费较低．28．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D，E分别是AB，A1C1的中点，如下图．1〕求证：DE∥平面BCC1B1；2〕求DE与平面ABC所成角的正切值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．【分析】〔1〕取AC的中点F，连结EF，DF，那么EF∥CC1，DF∥BC，故平面DEF∥平面BCC1B1，于是DE∥平面BCC1B1．2〕在Rt△DEF中求出tan∠EDF．【解答】〔1〕证明：取AC的中点F，连结EF，DF，∵D，E，F分别是AB，A1C1，AC的中点，EF∥CC1，DF∥BC，又DF∩EF=F，AC∩CC1=C，∴平面DEF∥平面BCC1B1，又DE?平面DEF，第19页〔共24页〕DE∥平面BCC1B1．2〕解：∵EF∥CC1，CC1⊥平面BCC1B1．∴EF⊥平面BCC1B1，∴∠EDF是DE与平面ABC所成的角，设三棱柱的棱长为1，那么DF=，EF=1，tan∠EDF=．29．函数．1〕求该函数的最小正周期；2〕求该函数的单调递减区间；3〕用“五点法〞作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．【考点】HI：五点法作函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象；H2：正弦函数的图象．【分析】〔1〕由利用两角差的正弦函数公式可得 y=3sin〔2x﹣〕，利用周期公式即可得解．〔2〕令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数的单调递减区间．〔3〕根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．【解答】解：〔1〕∵ =3sin〔2x﹣〕，∴函数的最小正周期T= =π．〔2〕∵令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，kZ，∴函数的单调递减区间为：kπ，kπ]，k∈Z，++第20页〔共24页〕3〕列表：x2x﹣0π2πy030﹣30描点、连线如下图：30．椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆的离心率是，如下图．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A，过点A作抛物线的切线l，l 与椭圆的另一个交点为B，求线段AB的长．第21页〔共24页〕【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】〔1〕根据题意得 F〔1，0〕，即c=1，再通过e= 及c2=a2﹣b2计算可得椭圆的方程；〔2〕将准线方程代入椭圆方程，求得A点坐标，求得抛物线的切线方程，由△=0，求得k的值，分别代入椭圆方程，求得B点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得线段AB的长．【解答】解：〔1〕根据题意，得F〔1，0〕，∴c=1，又e=，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3，故椭圆的标准方程为：〔2〕抛物线的准线方程为 x=﹣1由，解得，，由A位于第二象限，那么A〔﹣1，〕，过点A作抛物线的切线l的方程为：即直线l：4x﹣3y﹣4=0由整理得整理得：ky2﹣4y+4k+6=0，当k=0，解得：y=，不符合题意，当k≠0，由直线与抛物线相切，那么△=0，∴〔﹣4〕2﹣4k〔4k+6〕=0，解得：k=或k=﹣2，当k=时，直线l的方程y﹣=〔x+1〕，那么，整理得：〔x+1〕2=0，第22页〔共24页〕直线与椭圆只有一个交点，不符合题意，当k=﹣2时，直线l的方程为y﹣=﹣2〔x+1〕，由，整理得：19x2+8x﹣11=0，解得：x1=﹣1，x2= ，那么y1=，y2=﹣，由以上可知点A〔﹣1，〕，B〔，﹣〕，∴丨AB丨= = ，综上可知：线段AB长度为第23页〔共24页〕2021年7月12日第24页〔共24页〕。
山东省春季高考数学模拟试卷(综合训练2 含答案)
山东省春季高考模拟试题2 数学一、选择题1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，1{|0}B x x=<，则B A ⋂等于A ． 1-B ． {}1-C ． (,0)-∞D ． {}1,0- 2．不等式6<的解集是A．x <B ．22x -<< C．x -≤≤D．x -<<3．已知等差数列}{n a 中，7916,a a +=，则8a 的值是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 4．已知奇函数的图象过点（1，2），则该函数的图象必过点A ．（1，2）B ．（-1，-2）C ．（-2，-1）D ． （2，1）5．"21sin "=A 是"30"A =的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件6．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个相交平面的位置关系是A ． 异面B ．相交C ．平行D ．平行或相交 7．点P 在直线04=-+y x 上，O 为原点，则|OP|的最小值为A ．-2B ． 22C ．6 D ．108．若向量|a |=1，| b |=2， c = a +b 且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为A ．30 B ．60 C ． 120 D ． 1509．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则P 的值为 A ． -2 B ． 2 C ． ﹣4 D ． 410．在等差数列{}n a 中，若69121530a a a a +++=，则数列前20项的和20S 的值为A ．250B ．200C ． 150D ．10011．已知正方体的外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于 A ． 22 B ．332 C ． 324 D ． 334 12．函数x y 2cos =在下列哪个区间是减函数A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,4ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2 13．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有A ． 108种B ． 186 种C ． 216种D ． 270种 14．函数c bx x x f ++=2)(对任意的实数t 都有)2()2(t f t f -=+，则A ． )4()1()2(f f f <<B ． )4()2()1(f f f <<C ． )1()4()2(f f f <<D ． )1()2()4(f f f <<15．已知过点A ．（-2，m ）和B ．（m,4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为A ． 0B ． -8C ． 2D ． 1016．双曲线19422=-y x 的渐近线方程A ． x y 32±= B ． x y 94±= C ． x y 23±= D ． x y 49±=17．在下列函数中，函数的图象关于y 轴对称的是A ． 3x y =B ． x y 21log = C ． x y cos = D ． xy 2=18．将x y cos =的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，然后再将图象沿x 轴负方向平移4π个单位，则所得图象的解析式为 A ． x y sin = B ． x y 2sin -= C ．)42cos(π+=x y D ． )42cos(π+=x y 19．在10件产品中有7件正品，3件次品，从这10件产品中任取3件，至少有一件次品的概率是A ．724 B ．1724 C ．310 D ．71020．建造一个容积为83cm ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为A ． 1700元B ． 1720元C ． 1740元D ． 1760元 21．已知()1,2tan 2αππα∈=,,则sin cos αα+的值是 A． B． CD22．在等差数列{}n a 中，已知93S =，则34567a a a a a ++++的值为A ．13B ．53C ．75D ．9523．已知抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是3，则点P 到该抛物线焦点的距离是A ．2B ．3C ．4D ．524．若双曲线虚轴的一个端点为M ，12F F 、为其两个焦点，12120F MF ∠=︒，则此双曲线的离心率为AB．2C．3D．325．若正四面体S ABC -的棱长为1，则二面角S AC B --的平面角的余弦值是A ．13B ．12C．2D26．若袋中有3个红球，2个白球，一次取出2个球，则恰好红球白球各1个的概率是A ．35B ．310C ．25D ．1527．若直线2x =被圆()224x a y -+=截得的弦长为a 等于A ．3-或1- BC ．1或3D ．28．某厂2008年的产值为a 万元，预计产值每年以5%递增，则该厂到2018年的产值（万元）为A ．()915%a +B ．()1015%a +C ．()1115%a +D ．()1215%a +29．函数()2234f x x x =+-在2x =处的导数为A ．11B ．12C ．13D ．1430．函数()22log f x x =在区间()(),00,-∞+∞上A ．是奇函数且在()0,+∞上是增函数B ．是偶函数且在()0,+∞上是增函数C ．是奇函数且在()0,+∞上是减函数D ．是偶函数且在()0,+∞上是减函数二、填空题31．函数R x x x y ∈-⋅=,1cos sin 2的值域 32．不等式021>-+x x 的解集 33．抛物线x y 82=的准线方程是 34．某工厂2008年产值为150万元，若每年比上一年平均增长5％，那么5年后该工厂的年产值为________________万元（精确到0.01）． 三、解答题35．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是正三角形，平面PAD ⊥ 底面ABCD（1） 证明AB ⊥平面PAD（2） 求面PAD 与面PDB 所成的二面角的正切值36．设二次方程)(01*12N n x a x a n n ∈=+-+有两根α和β，且满足3626=+-βαβα （1） 试用n a 表示1+n a ；（2） 求证：}32{-n a 是等比数列；（3） 当671=a 时，求数列}{n a 的通项公式。
2021年山东省春季高考数学真题 答案
山东省2021年普通高校招生（春季）考试数学试题答案及解析卷Ⅰ（选择题共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分）卷Ⅱ（非选择题共60分）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）21. -122. 1+√1523.√5 324.225.S=2·3m三、解答题（本大题5个小题，共40分）26（本小题7分）解：（1）当x≥0时，f（4）=8∴f（4）=16a-8=8即16a=16 ，a=1（2）设x＜0∴-x＞0∴f（-x）=x²+2x又∵函数是奇函数∴f（-x）=-f（-x）∴f（x）=-f （-x）=-（x²+2x）=-x²-2x27.（本小题8分）解：（1）（2）因为n2n log b a ===-n +1，∴数列为等差数列，S 90=-400528. （本小题8分） 解：作AH ⊥BC（1）∴AH =5又∵AB =25 ∴OBA ∠=45° （2）∴CH =5∴OC=OH-CH=5√3-529.（本小题8分）解：（1）解∵SA ⊥平面ABCD AB 面ABCD∴SA ⊥AB∵平面ABCD 是正方形 ∴AB ⊥AD ， 又∵SA 、AD平面SAD ，SA ∩AD=A∴AB ⊥平面SAD , 又∵SD平面SAD∴AB ⊥SD(2) 取SD 中点为H 连接AH 、HF 、FE ∵HF=12DC=12BC=AE ，AF//DC ，AE//DC∴AF ⊥AE∴EF 与AD 所成的角的大小等于AH 与AD 所成夹角 又∵SA ⊥平面ABD ∴SA ⊥AD根据中线定理AH=12SD=AD所以△ADH 是等边三角形∴△HAD=60°即EF 与AD 所成的角为60° 30（本小题9分）解（1）据题意可知c=1即左焦点为F(-1.0) ∵双曲线左顶点与左焦点重合 ∴双曲线中a=1, 又∵双曲线过点P ∴b=1，∴即双曲线的标准方程为x 2-y 2=1(2)设直线l 为y=k(x+1)联立方程组{y =k (x +1)14y 5x 22=+整理得（4+5k ²）x ²+10k ²x+5k ²-20=0 由韦达定理得由双曲线的抛物线方程可知渐近线方程为y=±x ∵MN 的中点在渐近线上①当线段MN 的中点在y=x 上时②当线段MN 的中点在y=-x 上时综上，直线l 的方程为y=0或y=±45（x+1）。
2021年山东省春季高考第一次校际联考数学试题
５ 分
所以 f(
x)＝－x２ ＋４x＋６．
(
２)
s
i
nx)＝－s
i
n２x＋４s
i
nx＋６＝ ６ 分
y ＝f(
２
－(
s
i
nx－２)
＋１０, ７ 分
所以当 s
８．D 【解析 】 因为|
a＋b|２＝(
a＋b)(
a＋b)＝|
a|２＋２
ab＋|
b|２＝３２＋２×３×１×c
o
s
６
０
°＋１２＝
故选 D．
１３,所以|
a＋b|＝ １３．
︵
【
】
解析
小明沿
９．D
AB 走时 ,与 O 点的直线 距 离 保 持 不 变 ,沿 BO 走 时 ,随 时 间 增 加 与 点 O
a ＋b
ab
c ２３
,所以b＝１, ２ 分
e＝ ＝
a
３
— ８ —
又因为 a２ ＋b２ ＝c２ ,所以 a＝ ３, ３ 分
x２
故所求双曲线方程为 －y２ ＝１． ４ 分
垂直 ,故 ③ 正确 ;过平面一点可以做无数条直线与已知平面平行 ,故 ④ 错 ．
故选 A．
p
【
】
解析
抛物线的定义可知
故选 B．
１４．B
＝１,解得 p＝２,所以该抛物线方程是 y２ ＝４x．
２
１５．A 【解析 】 当k 为偶数时 ,
α＝
故选 A．
Z 在第三象限 ．
π
π
＋kπ,
k∈Z 在第一象限 ;当k 为奇数时 ,
c,即 (
２ ３)
＝６２ －３
2021届山东省高三上学期普通高校招生(春季)考试第一次校际联考数学试题及答案
2021届山东省高三上学期普通高校招生（春季）考试第一次校际联考数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3U =，集合{}{}1,21,M N ==，则()UM N 等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}3C ．{}1,2D ．{}2,3答案：D由集合的交集定义求得M N ⋂，再求其补集. 解：由集合的交集定义得{}1M N ⋂=， 再由补集的运算可知()}2,3{U C M N ⋂=. 故选:D.2．“三角形ABC 为锐角三角形”是“A ∠为锐角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A若三角形为锐角三角形，则A ∠一定为锐角，若A ∠为锐角，则无法判断,B C ∠∠是否为锐角，结合充要条件判断即可解：由ABC 为锐角三角形可知A ∠为锐角；反之，A ∠为锐角，但是无法判断,B C ∠∠是否为锐角﹐ 因而不能判断ABC 是否是锐角三角形，所以“ABC 为锐角三角形”是“A ∠为锐角”的充分不必要条件. 故选：A .3．已知命题0:P x R ∃∈，使00,:,32x q x R x x ∀∈＜＞，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∨答案：D先判定命题p,q 的真假，再根据复合命题的真假关系进行判定. 解：因为对任意实数00,0x x ≥恒成立，故命题p 为假命题； 当0x ≤时，32,x x <故q 为假命题，根据复合命题的真假可得p q ⌝∨为真命题， 故选:D.4．不等式223x x -≥的解集是（ ） A ．(][),13,-∞-+∞ B ．(][),31,-∞-+∞C ．(][),21,-∞-+∞D ．(][),12,-∞-⋃+∞答案：A根据一元二次不等式的解法即可求解. 解：解：因为223x x -≥，即310x x ，所以3x ≥或1x ≤-，所以原不等式的解集为(][),13,-∞-+∞，故选：A.5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上为增函数，若()10f =，则不等式()2log 0f x >的解集为（ ）A ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．()()0,22,+∞D ．(][),12,-∞-⋃+∞答案：A依题意作出函数()f x 的大致图象，不等式()22log 0log 1f x x >⇔<-或2log 1x >，进而可解得结果. 解：由题意知函数()f x 的大致图象如图所示，则不等式()22log 0log 1f x x >⇔<-或2log 1x >， 解得102x <<，或2x >. 故选：A.6．若函数()()322f x x m x x =+-+为奇函数，则实数m 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．2答案：D因为()f x 为奇函数，所以根据奇函数的定义有()()f x f x -=-，进而可求解. 解：解：由已知得，()()()()3232()22()f x x m x x x m x x-=-+--+-=-+--，()()()323222f x x m x x x m x x ⎡-+-+⎤=-=-⎣⎦---，因为()f x 为奇函数，故()()f x f x -=-， 所以20m -=，即2m =， 故选：D.7．若等差数列{}n a 的公差为,n n d b ca =(c 为常数且0c ≠)，则下列描述正确的是（ ） A ．数列{}n b 是公差为d 的等差数列 B ．数列{}n b 是公差为cd 的等差数列 C ．数列{}n b 是公比为d 的等比数列 D ．数列{}n b 是公比为c 的等比数列答案：B利用等差数列的定义可得1n n b b cd +-=，进而得到结论. 解：由题意可知()111n n n n n n b b ca ca c a a cd +++---===， ∴{}n b 是以cd 为公差的等差数列，故B 正确，A 错误；当{}n a 不是常数列时，比如n a n =,1c =时，明显{}n b 不是等比数列，故CD 错误. 故选：B.8．已知向量,a b ，其中3,1a b ==，,60a b =︒，则a b +=（ ）A ．16B ．4C ．0D 答案：D对a b +平方，利用平面向量数量积公式对其化简，带入向量的模和夹角，即可求出结果. 解：因为()()222223231cos60113a b a b a b a a b b +=+⋅+=+⋅+=+⨯⨯⨯︒+= 所以13a b +=. 故选：D .9．如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB BO OA →→)，则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定. 解：小明沿AB 走时，与О点的直线距离保持不变， 沿BO 走时，随时间增加与点О的距离越来越小， 沿OA 走时，随时间增加与点О的距离越来越大. 故选：D.10．在四边形ABCD 中，AD AC AB =-，且0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 一定是（ ） A ．矩形 B ．菱形C ．正方形D ．梯形答案：B根据向量相等得平行四边形，根据向量垂直可得菱形.解：由AD AC AB BC =-=可知，四边形ABCD 为平行四边形； 又由0AC BD ⋅=可知，四边形对角线互相垂直， 故四边形ABCD 为菱形. 故选：B.11．已知ABC 三个顶点分别为()()()1,3,4,1,5,5,A B C 则BC 边上的高AD 所在的直线方程为A ．4130x y +-=B ．410x y --=C ．480x y +-=D ．4150x y --=答案：A先求得直线BC 斜率，即可得出直线AD 斜率，再由点斜式即可求出. 解：由已知可得15445BC k -==-，则BC 边上的高AD 所在的直线斜率14AD k =-， 则可得直线AD 的方程为()1314y x -=--，即4130x y +-=. 故选：A.12．直线y x b =+与圆22210x y x +--=有两个交点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．(B ．()2,2-C ．()3,0-D ．()1,3-答案：C首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，根据圆心到直线的距离小于半径得到不等式，解得即可；解：解：由圆的方程22210x y x +--=可知圆心为()1,0，半径r = 因为直线与圆有两个交点，<，解得31b -<<. 故选：C .13．过平面α外一点,P 下列结论：（1）存在无数个平面与平面α平行；（2）存在无数条直线与平面α垂直；（3）存在无数个平面与平面α垂直；（4）只存在一条直线与平面α平行，其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个答案：A结合点线面位置关系逐一判断，过平面外一点，存在唯一平面与平面α平行；存在唯一直线与平面α垂直；存在无数个平面与平面α垂直；存在无数条直线与平面α平行；解：过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，故①错； 过平面外一点只能做一条直线与已知平面垂直，故②错；由②可知过该垂线的平面有无数个，且都与已知平面垂直，故③正确； 过平面一点可以做无数条直线与已知平面平行，故④错，14．平面中与点1,0A 和直线1x =-的距离相等的点的轨迹方程为（ ） A ．22y x = B ．24y x = C ．22x y = D ．24x y =答案：B结合抛物线的定义即可. 解：由抛物线的定义可知12p=，解得2p =， 所以该抛物线方程是24y x =， 故选：B . 15．若,3a k k z ππ=+∈，则角a 的终边在（ ）A ．第一或第三象限B ．第二或第三象限C ．第三或第四象限D ．第二或第四象限答案：A对整数k 分偶数和奇数讨论即可求解. 解：解：当2,k n n =∈Z 时，2,3n n Z παπ=+∈在第一象限；当21,k n n Z =+∈时，42,3n n Z παπ=+∈在第三象限. 故选：A.16．函数3cos ,22y x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．32π 答案：B本题可根据余弦函数性质得出结果. 解：由余弦函数性质易知， 当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]cos 1,0x ∈-，则函数3cos ,22y x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值为0，故选：B.17．二项式（x+1）n （n∈N）的展开式中x 2的系数为15，则n=（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10答案：B解：试题分析：由题意得1r n rr n T C x-+=,因为 x 2的系数为15，所以152r n C n r ⎧=⎨-=⎩，所以22(1)1515,062n nn n n C C n n --==⇒=>⇒=，选B ． 【解析】二项式定理18．6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法种数是（ ） A ．36 B ．72 C ．120 D ．720答案：B分两类，一类是教师开头，学生插空，第二类是学生开头，教师插空.解：分两类，一类是教师开头，学生插空，共有333336A A =(种)，第二类是学生开头，教师插空，共有333336A A = (种)，所以所有的安排种数是23672⨯=(种). 故选：B.19．在ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c a =，且6b c +=若1cos sin ,2b A B =则ABC 等于（ ）A ．2B ．4C ．D ．答案：C由正弦定理可得tan A 60A ︒∠=，根据余弦定理可得8bc =，结合三角形面积公式即可.解：因为1cos sin 2b A B =，可化为2sin cos b B A =. 由正弦定理可知2sin cos a A A=2cos A=，解得tan A 又()0,180A ︒∈，所以60A ︒∠=由余弦定理可得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-即(2263bc =-，解得8bc =，所以三角形的面积11sin 822S bc A ==⨯=故选：C .20．盒中有10支中性笔，其中3支红笔，现从盒中任取4支，则恰有2支是红色的概率为（ ） A ．435B ．120C ．310D ．12答案：C分别求出基本事件总数和恰有2支是红色的基本事件总数，利用古典概型计算公式即可求解.解：解：恰有2支是红色的概率2237410310C C РC ==.故选C. 二、填空题21．已知()tan 2,a a π+=是第三象限角，则cos a 等于_________.答案：结合诱导公式求出tan a ，再结合同角三角函数关系求cos a 即可 解：因为()tan tan 2a a π+==， 所以sin 2cos aa=，即sin 2cos a a =， 代入22sin cos 1a a += 整理得21cos 5a =.因为a 是第三象限角，所以cos a =故答案为：22．若21025x =，则实数x 的值是___________. 答案：lg 5指数化为对数即可求解. 解：21025x =可化为2lg25x =， 所以lg5x =. 故答案为：lg 5.23．已知体积为8的正方体内接于球O ，则球O 的表面积为_________. 答案：12π求出圆O 的半径即可.解：由题意可知正方体的边长是2，则球О的直径为23，因此半径是3， 则球的表面积是2412R ππ=. 故答案为：12π.24．变量,x y 满足的线性约束条件为201040x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是________.答案：[)6,+∞先作出可行域，然后根据目标函数表示的几何意义，利用线性规划可求解. 解：由变量,x y 满足的线性约束条件作出可行域，如图. 目标函数2z x y =+，化为2y x z =-+ 则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.由2040x x y -=⎧⎨+-=⎩解得()2,2A观察可行域可知，直线2y x z =-+过点()2,2A 时，在y 轴上的截距最小,即z 最小. 当直线2y x z =-+向上平移经过可行域时，截距不断增大. 所以在()2,2A 处时，z 取得最小值6，无最大值， 故z 的取值范围为[)6,+∞. 故答案为：[)6,+∞25．已知双曲线()222104x y b b-=>，以原点为圆心，以双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相较于,,,A B C D 四点，四边形ABCD 的面积为b ，则此双曲线的标准方程为_________. 答案：221428x y -=由双曲线和圆的对称性知四边形ABCD 为矩形，所以只需求出双曲线的渐近线与圆在第一象限内的交点坐标，根据四边形ABCD 的面积为b 即可求解.解：解：双曲线的一条渐近线b y x a =与圆222x y a +=在第一象限内的交点为2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由双曲线和圆的对称性可知四边形ABCD 为矩形，所以24a abb c c⋅⋅=，即234,c a =因为2,a =所以232c =，22228b c a =-=， 所以双曲线的标准方程为：221428x y -=，故答案为：221428x y -=.三、解答题26．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列. （1）求数列{}n a 的公比q ； （2）若127a =，求8S . 答案：（1）13；（2）328081.（1）由123,2,3S S S 成等差数列化简得233a a =，可求q ； （2）结合1,a q ，利用等比数列前n 项和公式直接求解即可 解：（1）因为123,2,3S S S 成等差数列， 所以()13112243()a a a a a a =++++， 整理得233a a =， 所以3323133a a q a a ===； （2）因为1127,3a q ==，所以8812713113S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-328081=27．已知函数()3131-=+x x f x ，若a b >，比较()f a 与f b 的大小. 答案：()()f a f b >.利用作差法，结合指数函数3x y =的单调性，比较()f a 与f b 的大小即可．解：解：()()31313131a b a b f a f b ---=-++ ()()()()()()313131313131a b a b a b -++-=++-()()()()33331333313131a b a b a b a b a b +----+-=++ ()()()2333131a b a b -=++ 因为a b >，所以33,a b >故()2330a b ->，又因为310,310a b +>+>，故()()()23303131a b a b ->++所以()()f a f b >.28．已知二次函数的图象经过点()()()1,10,6,,,39A B C -.（1）求该二次函数的解析式；（2）求函数()sin y f x =的最小值.答案：（1）()246f x x x =-++；（2）1.(1)结合待定系数法即可.(2)结合二次函数的单调性和sin x 的取值范围即可得出结果.解：解：()1设二次函数的解析式()()20f x ax bx c a =++≠，把,,A B C 三点的坐标分别代入得1,6,939,a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得146a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()246f x x x =-++. ()()()222sin sin 4sin 6sin 210y f x x x x ==-++=--+， 令[]sin 11x t t =∈-，，，()()22sin 210=210y x t =--+--+ 当[]11t ∈-，时，y 单调递增，所以1t =-时，y 最小， 即当sin 1x =-时，()sin y f x =的最小值为1.29．已知函数()()sin 10,06f x A x a πωω⎛⎫=-+>> ⎪⎝⎭，其最大值是3，且相邻的最高点与最低点的横坐标差的绝对值是2π. （1）求该函数的解析式；（2）设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求实数α的值. 答案：（1）()2sin(2)16f x x π=-+；（2）3π. （1）依题意求得,A ω即可；（2）依题意可得1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而可解得α. 解：（1）因为该函数的最大值是3，所以13A +=，解得2A =. 因为相邻的最高点与最低点的横坐标差的绝对值是2π，则22T π=解得最小正周期T π= 又因为2ππω=，解得最小正周期2ω=， 所以该函数的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+. （2）因为22f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2sin 21226απ⎛⎫ -⎪⎝⨯+=⎭， 化简得1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭知663πππα-<-<，故66ππα-=，解得3πα= 所以实数3πα=. 30．已知双曲线22221x y a b -=（其中0a >，0b >），点(),0A a ，()0,B b -到直线AB（1）求双曲线的方程；（2）已知直线()50y kx k =+≠交双曲线于C 、D 两点，且C 、D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.答案：（1）2213x y -=；（2）（1）首先可求出直线AB 的方程，然后根据原点到直线ABab c =据e 1b =，最后根据222+=a b c求出a = （2）本题首先可以联立直线方程与双曲线方程，通过韦达定理得出1223013k x x k =-+以及1221130y y k =-+，然后求出C 、D 两点的中点E 的坐标以及BE k ，再然后根据BE CD ⊥得出k =最后通过判别式进行检验，即可得出结果.解：（1）因为(),0A a ，()0,B b -，所以直线AB 的方程为b y x b a=-，即0bx ay ab ， 因为原点到直线ABab c ==因为c e a =，所以1b =， 因为222+=a b c，所以a =2213x y -=. ()2联立22513y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()221330780k x kx ---=， 设()11,C x y ，()22,D x y ， 则1223013k x x k =-+，()12122101013y y k x k x +=++=-， C 、D 两点的中点E 的坐标是22155,1313k k k ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，()0,1B -， 直线BE 的斜率是2225121315513BE k k k k kk +--==-， 因为BE CD ⊥，所以2215k k k-⋅=-，解得k =因为当k =231236600k ∆=-=>，所以k的取值是【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线方程的求法以及直线与双曲线相交的相关问题的求解，考查直线方程的求法、中点坐标以及点到直线距离公式的应用，考查韦达定理的应用，能否根据题意得 是解决本题的关键，考查计算能力，体现了化归与转化思想，是难题.出BE CD。
春季高考数学模拟试卷及答案(四)
题目简单2021年山东春季高考数学模拟试卷及答案〔四〕第一卷〔选择题、填空题 共45分〕一、选择题：〔以下各小题都给出了四个选项，其中只有一项为哪一项符合题目要求的，请将符合要求的选项前面的字母代号填写在第II 卷上指定的位置. 本大题共10小题，每题3分，计30分〕1. 图中物体的形状类似于〔 〕.〔A 〕棱柱 〔B 〕圆柱 〔C 〕圆锥 〔D 〕球〔第1题〕2．化简20的结果是〔 〕.(A)25 (B)52 (C) 210. (D)543. 如下图，BC ＝6，E 、F 分别是线段AB 和线段AC 的中点， 那么线段EF 的长是〔 〕．〔A 〕6 〔B 〕5 〔C 〕4.5 〔D 〕34.有6张反面相同的扑克牌，正面上的数字分别是4，5，6，7，8，9．假设将这六张牌反面朝上洗匀后，从中任意抽取一张，那么这张牌正面上的数字是9的概率为〔 〕. (A)23 (B) 12 (C) 13 (D) 165．在5×5方格纸中将图〔1〕中的图形N 平移后的位置如图〔2〕中所示，那么正确的平移方法是〔 〕.(A)先向下移动1格，再向左移动1格(B)先向下移动1格，再向左移动2格 (C)先向下移动2格，再向左移动1格 (D)先向下移动2格，再向左移动2格6. 三峡大坝坝顶从2005年7月到9月共92天将对游客开放，每天限接待1000人，在整个开放期间最多能接待游客的总人数用科学记数法表示为〔 〕人.图(2)图(1)MNNM图1 图2FE CBA〔第3题〕〔A 〕92×103 〔B 〕9.2×104 〔C 〕9.2×103 〔D 〕9.2×1057．如图，希望中学制作了学生选择棋类、武术、摄影、刺绣四门校本 课程情况的扇形统计图. 从图中可以看出选择刺绣的学生为〔 〕. (A)11％ (B)12％ (C) 13％ (D) 14％8．某城市进行旧城区人行道的路面翻新,准备对地面密铺彩色地砖, 有人提出了4种地 砖的形状供设计选用：①正三角形，②正四边形，③正五边形，④正六边形．其中不 能进行密铺的地砖的形状是〔 〕.(A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④9.实数m 、n 在数轴上的位置如下图，那么以下不等关系正确的选项是〔 〕． 〔A 〕n ＜m 〔B 〕 n 2＜m 2〔C 〕n 0＜m 0 〔D 〕| n |＜| m | 〔第9题〕 10．如下图的函数图象的关系式可能是〔 〕.〔A 〕y = x 〔B 〕y =x1〔C 〕y = x 2 (D) y =1x二、填空题：〔请将答案填写在第II 卷上指定的位置.本大题共5小题，每题3分，计15分〕11.如果收入15元记作＋15元，那么支出20元记作 元.12.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，假设∠1=28°,那么∠2= .13．，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝10，那么BC ＝ ．Oxy〔第10题〕mn－2刺绣摄影26％武术28％棋类33％(第12题）21ODCB A14．甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400克的茶叶.从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，测得它们的实际质量的方差如下表所示：15.如图，时钟的钟面上标有1，2，3,……，12共12个数，一条 直线把钟面分成了两局部.请你再用一条直线分割钟面，使钟面被 分成三个不同的局部且各局部所包含的几个数的和都相等，那么其 中的两个局部所包含的几个数分别是 和. 。
2021年山东省春季高考数学模拟试题及参考(一)
2021年山东省春季高考数学模拟试题（一）数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分120分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.2．本次考试允许使用函数型计算器,凡使用计算器的题目,最后结果精确到0.01.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出）1．已知集合{}{}{},,,,,M a b N b c P a c d ===，，则M N P （）等于（ ）A.{}b B.{}c a , C.{}d c b a ,,, D.φ2．函数0(1)()lg(31)x f x x x-=-+的定义域是（ ）A.)1,31(B.),1()1,31(+∞C.),1(+∞D.)31,(-∞3. 不等式2-10x -≥的解集是（ ） A.)3,1( B.[]1,3- C.[]3,1- D.][),31,(+∞--∞4.已知集合B A ,,则A B A AB =“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5．已知数列{}n a 为等比数列，且121n n a S +=+，则公比q 等于（ ）A.2B.3C.4D.56．已知向量55(cos ,sin ),(sin ,cos )8888ππππ==a b ，则b a ⋅等于（ ） A.23 B.22 C.21D.1 7.要得到函数2sin(4)3y x π=+的图像，只需要将2sin 4y x =的图像（ ）A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移12π个单位 D.向右平移12π个单位 8. 如图所示，在等边三角形ABC 中，已知D,E 分别是AC,BC 的中点，AE 交BD 于点O.若,,AB AC ==a b 则OD OE +等于（ ）A.1163-+a b B.1163-a b C.1136-+a b D.1136-a b 9.已知命题2:Q,3p x x ∃∈=，命题2:,0q x R x ∀∈> ，则真命题是（ ） A.p q ∧ B.p q ∨ C.p q ⌝∧ D.p q ∨⌝ 10.在△ABC 中，若11tan ,tan 32A B ==，则tan C 等于（ ） A.1 B.-1 C.3 D.3311. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AC BC 与所成的角的大小为（ ） A.30° B.45° C.60° D.90°12.一个盒子里装有大小相同的4个红球和4个白球，若从中任取出4个球，则恰好取得2个红球和2个白球的概率是（ ） A.1835 B.1735 C.1635 D.3713． 7(21)x -的二项式展开式各项的系数之和是（ ） A.1 B.-1 C.128 D.-12814． 若变量y x ,满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，其可行域如图所示，则目标函数23z x y =+的最小值为（ ）A.6B.7C.8D.2315． 如图所示为函数sin()(0,)2y A x πωφωφ=+><的部分图像，则此函数的表达式为（ ） A.4sin()84y x ππ=+ B.4sin(-)84y x ππ= C.14sin()84y x π=+D.14sin(-)84y x π= 16．直线240x y -+=被圆226210x y x y ++-+=截得的弦长为（ ）A.655 B.1255C.35D.43 17． 在△ABC 中，已知3,33,,3a b B π==∠=则C ∠等（ ）A.6π B.3π C.4π D.2π 18.若圆226210x y x y +-++=和圆22(+1)(5)9x y +-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A.2340x y -+= B.2340x y --= C.3240x y ++= D.3240x y +-= 19．有6名同学站成一排，其中甲、乙两人都不能站在两端，则不同的站法有（ ） A.288种 B.384种 C.486种 D.720种20．对任意实数y x ,，定义运算x y ax by ⊗=+，其中,a b 是常数，已知123,234⊗=⊗=，则34⊗的值是（ ）A.3B.4C.5D.6第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二、填空题（本大题5小题，每题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21． 某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n 人中，共抽取81人进行问卷调查，若高二被抽取的学生人数为30，则n= .22．已知向量(2,1),=-a (1,)λ=b ，且(2)//(2)+-a b a b ，则实数λ= . 23．函数2cos sin 2y x x =++的最小值为 .24．已知()f x 为奇函数，且当0x >时，()(1)f x x x =-，则()0f x >的解集为 .25．已知直线l 经过点（1,0），且垂直于x 轴，且直线l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 .三、解答题（本大题5小题，共40分．请在答题卡相应的题号处写出解答过程） 26．(本小题8分) 2021年，春节档电影《你好，李焕英》上映期间，某电影院每场电影票价定为40元时，电影院满座可容纳400人。
2021年山东省高考数学仿真模拟试卷(二)(附答案详解)
2021年山东省高考数学仿真模拟试卷（二）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|2x 2−7x −4≤0}，B ={x||x|<3}，则A ∩B =( )A. (−2,3)B. (−2,3]C. (−12,2)D. [−12,3)2. 设复数z 满足z(√3−i)=(1+i)2，则|z|=( )A. 12B. √22C. 1D. √323. 关于命题，下列判断正确的是( )A. 命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题B. 命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C. 命题“∀x ∈R ，x 4∈R ”的否定为“∃x 0∈R ，x 04∉R ” D. 命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”4. 已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2<0成立，则a 的取值范围是( )A. a ∈(0,1)B. a ∈[34,1)C. a ∈(0,13]D. a ∈[34,2)5. 函数f(x)=√2sinx −1的奇偶性为( )A. 奇函数B. 既是奇函数也是偶函数C. 偶函数D. 非奇非偶函数6. 已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则( ) A. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y ≤0mx −y ≤0x +y ≤1，其中m <−1，若目标函数y =yx−m 的最大值为2，则m 的值为( )A. −32B. −2C. 12或2D. −32或−28. 2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B 、C 三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有( )A. 630种B. 600种C. 540种D. 480种二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x n,y n)，则下列说法中正确的是()A. 由样本数据得到的回归方程ŷ=b̂x+â必过样本中心(x−,y−)B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C. 用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D. 若变量y和x之间的相关系数为r=−0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系10.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法正确的是()A. 该截角四面体的表面积为7√3a2B. 该截角四面体的体积为23√212a3C. 该截角四面体的外接球表面积为112πa2D. 该截角四面体中，二面角A−BC−D的余弦值为1311.已知等比数列{a n}的公比q=−23，等差数列{b n}的首项b1=12，若a9>b9且a10> b10，则以下结论正确的有()A. a9⋅a10<0B. a9>a10C. b10>0D. b9>b1012.在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2=2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则()A. y1y2=14B. 以AB为直径的圆与直线y=−12相切C. |OA|+|OB|的最小值2√2D. 经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.二项式(2√x −x2)6的展开式中，常数项为______ ．14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2=2a2，则cos A的最小值为______ ．15. 过圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)外一点(2,0)引直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，当△AOB的面积取最大值时，直线l 的斜率等于±√33，则r 的值为______ ．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分） 16. 设函数f(x)=x 2+1x，g(x)=x e x ，则函数g(x)=xe x (x >0)的最大值为 (1) ；若对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，则正数k 的取值范围是 (2) ．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足√3c =b(sinA +√3cosA)．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若a +c =2，求b 的取值范围．18. 已知各项均为正数的等差数列{a n }满足a 1=1，a n+12=a n 2+2(a n+1+a n ).(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n =a +a ，求数列{b n }的前n 项和S n ．19. 某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y 的频数分布表．y的分组[−0.4,−0.2)[−0.2,0)[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)企业数3024401610(1)估计这些企业中产值负增长的企业比例(用百分数表示)．(2)估计这120个企业产值增长率的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．(3)以表中y的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查.若采访的企业的增长率y∈[−0.4,−0.2)，则采访价值为1；采访的企业的增长率y∈[−0.2,0)，则采访价值为2；采访的企业的增长率y∈[0,0.6)，则采访价值为3.设选取的两个企业的采访价值之和为X，求X的分布列及数学期望．20.如图所示，四棱锥S−ABCD的底面ABCD为梯形，平面SCD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=∠SCD=90°，CD=1．AB=AD=12(1)求证：平面SBD⊥平面SBC；(2)若二面角A−SB−C的余弦值为−3√20，求SC的长20度．21. 已知圆F 1：(x +1)2+y 2=r 2与圆F 2：(x −1)2+y 2=(4−r)2(1≤r ≤3)的公共点的轨迹为曲线E ． (1)求E 的方程；(2)设点A 为圆O ：x 2+y 2=127上任意点，且圆O 在点A 处的切线与E 交于P ，Q两点.试问：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22. 已知函数f(x)=lnx x．(1)若直线y =kx −1是曲线y =f(x)的切线，求实数k 的值； (2)若对任意x ∈(0,+∞)，不等式f(x)≤ax −1−lna x成立，求实数a 的取值集合．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为集合A ={x|2x 2−7x −4≤0}={x|(2x +1)(x −4)≤}={x|−12≤x ≤4}，又B ={x||x|<3}={x|−3<x <3}， 所以A ∩B ={x|−12≤x <3}. 故选：D ．先分别求出集合A 和集合B ，然后利用集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由z(√3−i)=(1+i)2=2i ， 得z =3−i=√3+i)(3−i)(3+i)=−12+√32i ， ∴|z|=12)(√32)=1．故选：C ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词，是全称命题，所以A 不正确； 命题“有一个素数不是奇数”是存在量词命题，所以B 不正确；命题“∀x ∈R ，x 4∈R ”的否定为“∃x 0∈R ，x 04∉R ”，满足命题的否定形式，所以C正确；命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，所以D 不正确； 故选：C ．利用量词判断AB 的正误；命题的否定判断CD 的正误．本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．4.【答案】C【解析】解：∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13， ∴a 的取值范围是(0,13]． 故选：C ．根据条件可知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，解出a 的范围即可．本题考查了减函数的定义，指数函数、一次函数和分段函数的单调性，考查了计算和推理能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，f(x)=√2sinx −1，必有2sinx ≥1，即sinx ≥12， 则有2kπ+π6≤x ≤2kπ+5π6，k ∈Z ，即函数f(x)的定义域为[2kπ+π6,2kπ+5π6]，k ∈Z ，定义域不关于原点对称，则f(x)为非奇非偶函数， 故选：D ．根据题意，求出函数的定义域，分析可得其定义域不关于原点对称，结合函数奇偶性的定义分析可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数定义域的分析，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以点P 为△ABC 的重心， 延长PA 交BC 于点M ，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =B ⃗⃗ C −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23B ⃗⃗ A −13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．利用已知条件确定点P 为△ABC 的重心，然后利用重心的几何性质以及平面向量基本定理求解即可．本题考查了平面向量基本定理的应用，解题的关键是确定点P 为三角形的重心，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由约束条件{x −y ≤0mx −y ≤0x +y ≤1，其中m <−1作出可行域如图，联立{x +y =1mx −y =0，解得A(11+m ,m1+m )，由图可知，要使目标函数y =yx−m 的最大值为2， 即可行域内的动点与定点P(m,0)连线斜率的最大值为2， 则P 在直线x =11+m 的左边，此时k PA =m 1+m 11+m−m =m 1−m−m 2=2，解得m =12(舍)或m =−2． 故选：B ．由约束条件作出可行域，再由yx−m 的几何意义，即可行域内的动点与定点P(m,0)连线斜率列式求解．本题考查简单的线性规划，考查数学转化思想与数形结合的解题思想，是中档题．8.【答案】C【解析】解：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：C 61C 51C 44A 22⋅A 33=90种，把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：C 62C 42C 22A 33⋅A 33=90种，把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有：C 61C 52C 33⋅A 33=360种，综上，不同的安排方式共有90+90+360=540种， 故选：C ．把6名工作人员分别分为(1,1，4)，(2,2，2)，(1,2，3)三种情况讨论，然后分别计算即可求解．本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了分类讨论思想以及学生的运算能力，属于基础题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A ，由样本数据得到的回归方程y ̂=b ̂x +a ̂必过样本中心(x −,y −)，故选项A 正确；对于B ，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故选项B 正确；对于C ，用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，故选项C 错误；对于D ，若变量y 和x 之间的相关系数为r =−0.9362，r 的绝对值接近于1，则变量y 和x 之间具有线性相关关系，故选项D 正确． 故选：ABD ．利用回归分析中的基本概念和原理对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了回归分析的基本知识的理解，涉及了回归方程、残差平方和、相关指数的理解和应用，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：题中截角四面体由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成，故S =4×√34a 2+4×6×√34a 2=7√3a 2，故选项A 正确；因为棱长为a 的正四面体的高ℎ=√63a ，所以V =13⋅√34⋅(3a)2⋅√63⋅(3a)−4⋅13⋅√34a 2⋅√63a =23√212a 3，故选项B 正确‘因为截角四面体上下底面距离为√6a −√63a =2√63a ， 所以√R 2−O′C 2+√R 2−O′H 2=2√63a ， 所以√R 2−a 23=2√63a −√R 2−a 2，即R 2−a 23=83a 2+R 2−a 2−4√63a ⋅√R 2−a 2，所以R 2=118a 2，故S =4πR 2=112πa 2，故选项C 正确；二面角A −BC −D 的余弦值应该为负值，故选项D 错误． 故选：ABC ．确定截角四面体是由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积、体积、外接球的表面积，即可判断选项A ，B ，C ，然后由二面角的余弦值的正负判断选项D ．本题以命题真假的判断为载体考查了空间几何体的表面积和体积的求解，解题的关键是分析出截角四面体的结构特征，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：数列{a n }是公比q 为−23的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则a 9=a 1(−23)8，a 10=a 1(−23)9，∴a 9⋅a 10=a 12(−23)17<0，故A 正确；∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10>b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9>b 9且a 10>b 10，则a 1(−23)8>12+8d ，a 1(−23)9>12+9d ， 可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d <0， 即有a 9>b 9>b 10，故D 正确． 故选：AD ．设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D正确．本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及单调性的判断，考查运算能力和推理能力，是中档题．12.【答案】ABD【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(0,12)，显然过焦点F的直线的斜率显然存在，设直线l的方程为：y=kx+12，联立{y=kx+12x2=2y，整理可得：x2−2kx−1=0，可得x1+x2=2k，x1x2=−1，所以y1+y2=k(x1+x2)+1=2k2+1，y1y2=x12x224=14；所以A正确；以AB为直径的圆的圆心坐标为：(x1+x22,y1+y22)，即(k,k2+12)，半径|AB|2=y1+y2+12=k2+1，所以圆心到直线y=−12的距离为：k2+12+12=k2+1等于半径，所以圆与直线相切，所以B正确；当直线AB与x轴平行时，|OA|=|OB|=√52，|OA|+|OB|=√5<2√2，所以|OA|+|OB|的最小值不是2√2，故C不正确；直线OA的方程为：y=y1x1x=x12x，与x=x2的交点坐标为：(x2,x1x22)，因为x1x22=12，所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点在定直线y=−12上，故D正确；故选：ABD．由抛物线的方程可得焦点，设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得A正确；可得AB的中点的坐标，及弦长|AB|的值，进而求出圆心到直线y=−12的距离恰好等于半径，可得与直线相切；当直线AB与x轴平行时可得|OA|=|OB|的值，可得|OA|+|OB|的最小值不为2√2，判断C不正确，设过B的直线与直线OA的直线的交点的纵坐标为定值，可得D正确．本题考查直线与抛物线的综合，命题真假的判断，属于中档题．13.【答案】60【解析】解：展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(√x )6−r⋅(−x2)r=C6r⋅26−2r⋅(−1)r x3r−62，令3r−62=0，解得r=2，所以展开式的常数项为C62⋅22⋅(−1)2=60，故答案为：60．先求出通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．14.【答案】12【解析】解：∵b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时取等号，∴12bc ≥1b2+c2，且b2+c2=2a2，∴根据余弦定理，有cosA=b2+c2−a22bc ≥2a2−a2b2+c2=a22a2=12，当且仅当b=c=a时等号成立，∴cosA的最小值为12．故答案为：12．根据条件，利用不等式b2+c2≥2bc和余弦定理，即可求出cos A的最小值．本题考查了余弦定理和重要不等式，考查了计算能力，属于中档题．15.【答案】√2【解析】解：S△AOB=12|OA||OB|sin∠AOB=12r2sin∠AOB，当∠AOB=90°时，△AOB面积最大，此时圆心O到直线AB的距离d=√22r，设直线AB的方程为y=k(x−2)，k2=13，则d=√k2+1=√22r，∴4k2k2+1=12r2，将k2=13代入，解得r=√2．故答案为：√2．利用三角形面积公式可知，当∠AOB=90°时，△AOB面积取得最大值，再利用点到直线的距离公式求得结果．本题考查直线与圆的位置关系，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】1e[12e −1,+∞)【解析】解：g(x)=xe x 的导数为g′(x)=1−x e x，则0<x <1时，g′(x)>0，g(x)递增；x >1时，g′(x)<0，g(x)递减， 可得g(x)在x =1处取得极大值，且为最大值1e ；又x >0时，f(x)=x +1x ≥2√x ⋅1x =2，当且仅当x =1时取得最小值2，由对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，可得1ek ≤2k+1，由k >0，可得k ≥12e−1， 故答案为：1e ；[12e−1,+∞)．求得g(x)的导数，可得单调区间和极值、最值，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，可得1k g(x)max ≤1k+1f(x)min ，结合基本不等式可得所求范围． 本题考查函数的导数的运用：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理知，b sinB =csinC ，∵√3c =b(sinA +√3cosA)， ∴√3sinC =sinB(sinA +√3cosA)，又sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ， ∴√3sinAcosB =sinBsinA ， ∵sinA ≠0，∴tanB =√3， ∵B ∈(0,π)，∴B =π3．(Ⅱ)由余弦定理知，b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =(a +c)2−2ac −2ac ⋅cos π3=(a +c)2−3ac ， ∵a +c =2，∴b2=4−3ac，即ac=4−b23，而ac≤(a+c)24=1，当且仅当a=c=1时，等号成立，∴4−b23≤1，解得b≥1，又b<a+c=2，∴1≤b<2，故b的取值范围为[1,2)．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求出tan B的值，从而得解；(Ⅱ)由余弦定理可推出b2=4−3ac，再利用基本不等式可得ac≤1，然后结合b<a+c，得解．本题主要考查解三角形，还涉及基本不等式，熟练掌握正弦定理、余弦定理与两角和的正弦公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)各项均为正数的等差数列{a n}满足a1=1，a n+12=a n2+2(a n+1+a n)，整理得(a n+1+a n)(a n+1−a n)=2(a n+1−a n)，由于a n+1+a n≠0，所以a n+1−a n=2(常数)，故数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列．所以a n=2n−1．(2)b n=√a+a =√2n−1+√2n+1=√2n+1−√2n−12，所以S n=12×(√3−1+√5−√3+...+√2n+1−√2n−1)=12(√2n+1−1)．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；(2)利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)产值负增长的企业频率为：30+24120=0.45=45%，用样本频率分布估计总体分布得这些企业中产值负增长的企业比例为45%．(2)企业产值增长率的平均数y−=1120(−0.3×30−0.1×24+0.1×40+0.3×16+0.5×10)=0.02；(3)企业的增长率y∈[−0.4,−0.2)的概率为30120=14，企业的增长率y∈[−0.2,0)的概率为24120=15，企业的增长率y∈[0,0.6)的概率为40+16+10120=1120，由题意可得X的可能取值为2，3，4，5，6，则P(X=2)=14×14=116，P(X=3)=2×14×15=110，P(X=4)=15×15+2×14×1120=63200，P(X=5)=2×15×1120=1150，P(X=6)=1120×1120=121400，所以X的分布列为：X 2 3 4 5 6P116110632001150121400故E(X)=2×116+3×110+4×63200+5×1150+6×121400=235．【解析】(1)根据频数分布表计算即可；(2)根据平均值的计算公式代入数据计算即可；(3)先求出各个对应的概率，然后求出X的可能取值，由此求出对应的概率，进而可以求解．本题考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望、考查了学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：由题意，在底面梯形ABCD中，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=2，∴BD=BC=√2，∵CD=2，∴BD2+BC2=CD2，∴BD⊥BC，∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，且SC⊥CD，SC⊂平面SCD，∴SC⊥平面ABCD，∵BD⊂平面SBD，∴平面SBD⊥平面SBC．(2)由(1)知SC⊥平面ABCD，以C 为坐标坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴， CS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(2,1，0)，B(1,1，0)，D(2,0，0)， 设SC =ℎ(ℎ>0)，∴S(0,0，ℎ)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,ℎ)，BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,ℎ)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 由(1)得BD ⊥平面SBC ，∴平面SBC 的一个法向量为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设平面ABS 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n ⃗ ⋅BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −y +ℎz =0，令z =1，得n⃗ =(0,h ，1)， ∴cos <n ⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√2⋅√1+ℎ2=−3√2020，解得ℎ=3，∴SC =3．【解析】(1)根据条件得到BD ⊥BC ，由面面垂直的性质得到SC ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的判定定理，即可证明平面SBD ⊥平面SBC ；(2)由SC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴，CS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用和向量法能求出结果．本题考查面面垂直的证明，二面角和线段长的求法，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．21.【答案】解：(1)设公共点为P ，则PF 1=r ，PF 2=4−r ，所以PF 1+PF 2=4>F 1F 2，故公共点P 的轨迹为椭圆， 则2a =4，所以a =2，又c =1，所以b 2=3， 所以曲线E 的方程为x 24+y 23=1；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，直线PQ 的方程为x =±√127，代入椭圆x 24+y 23=1，y =±√127，所以OP ⊥OQ ；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y =kx +m ， 因为直线PQ 与圆O 相切，所以√k 2+1=r ，解得m 2=127(k 2+1)，将直线PQ 的方程代入椭圆x 24+y 23=1中，可得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0， 所以x 1+x 2=−8km4k 2+3,x 1x 2=4m 2−124k 2+3，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(k 2+1)(4m 2−12)4k 2+3−8k 2m 24k 2+3+m 2 =7m 2−12(k 2+1)4k 2+3，将m 2=127(k 2+1)代入上式，化简可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故OP ⊥OQ ， 综上所述，恒有OP ⊥OQ ，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=−127．【解析】(1)设公共点为P ，求出PF 1=r ，PF 2=4−r ，利用椭圆的定义，即可得到点P 的轨迹为椭圆，然后再求解椭圆的标准方程即可；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，可得OP ⊥OQ ；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程与椭圆的方程联立，得到韦达定理，然后利用直线与圆相切得到m 与k 的关系，利用向量的作标表示证明OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而可求得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．本题考查了动点轨迹方程的求解，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵f(x)=lnx x(x >0)，∴f′(x)=1x⋅x−lnx x 2=1−lnx x 2，设切点为(x 0,lnx 0x 0)，则k =f′(x 0)=1−lnx 0x 02，代入直线y =kx −1得：lnx 0x 0=1−lnx 0x 02x 0−1，即lnx 0=1−lnx 0−x 0，∴2lnx 0+x 0−1=0， 令ℎ(x)=2lnx +x −1，有ℎ(1)=0，∴ℎ′(x)=2x +1>0，∴ℎ(x)在(0,+∞)单调递增， ∴方程2lnx +x −1=0有唯一解x 0=1， ∴k =1−lnx 0x 02=1−ln112=1；(2)∵lnx x≤ax −1−lna x，x >0，∴ax 2−x −lnx −lna ≥0恒成立， 设F(x)=ax 2−x −lnx −lna ，则F′(x)=2ax 2−x−1x，令G(x)=2ax 2−x −1，∵a >0，△=1+8a >0，∴G(x)=0有2个不相等实根x1，x2，则x1x2=−12a<0，不妨设x1<0<x2，当x∈(0,x2)，G(x)<0，当x∈(x2,+∞)，G(x)>0，∴F(x)在(0,x2)单调递减，在(x2,+∞)单调递增，∴F(x)min=F(x2)=ax22−x2−ln(ax2)，由G(x2)=2ax22−x2−1=0得到ax2=x2+12x2，∴F(x2)=x2+12−x2−ln x2+12x2=1−x22−ln1+x22x2≥0，令H(x)=1−x2−ln1+x2x=1−x2+ln2x−ln(x+1)，则H′(x)=−12+22x−1x+1=−(x−1)(x+2)2x(x+1)，∴当x∈(0,1)时，H′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，H′(x)<0，则H(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，∴H(x)≤H(1)=0，∵F(x2)=H(x2)≥0，∴F(x2)=0，则x2=1，故a=1，∴实数a的取值集合是{1}．【解析】(1)求出函数的导数，设出切点，代入切线方程，求出切点横坐标，求出k的值即可；(2)问题转化为ax2−x−lnx−lna≥0恒成立，设F(x)=ax2−x−lnx−lna，根据函数的单调性求出F(x)的最小值，确定a的值即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是难题．。
山东省春季高考数学模拟试题(一)及答案(2021年整理)
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山东省春季高考数学模拟试题（一）2019。
4。
1注意事项:1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目,最后结果精确到0.01．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出）1、下列5个关系式：①R ② |1|N +-∉ ③ 52Q ∉ ④ Z π∈⑤ 0Z ∈中不正确的个数为（ )A 1B 2C 3D 42、 设命题p ：π是有理数，命题q ：32>，则下列命题为真命题的是（ )A p q ∧B p q ⌝∧⌝C ()p q ⌝∨D q ∨p3、 若不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，则a b +的值是（ ） A 14 B ﹣14 C 10 D ﹣104、 函数y=f （x ）的图象与直线x=k （k 是常数）的交点个数 （ )A 有且只有一个B 至少有一个C 至多有一个D 有一个或两个5、 已知2()2f x x x =+-,则(1)f x +等于( ）A 2x x +B 234x x ++C 23x x +D 232x x +-6、数据5 ，7 ，7 ,8 ，10 ，11的标准差是（ ) A 8 B 4 C 2 D 17、函数1y x x=-的图象关于（ ) A y 轴对称 B 关于直线y=x 对称C 关于坐标原点对称D 关于直线y=-x8、直线012=--y x 与0724=+-y x 之间的距离是（ ） A.556B. 10C.25 D.5 9、在数列{}n a 中，113,331n n a a a +==+，则100a 的值为（ ） A 36 B 1093C 102D 103 10、下列数列中,既是等差数列又是等比数列的是（ ）A 0,0,0,0,B 3,3,3,3,--C 1111,,,,24816 D4,4,4,4,11、已知()x f 是偶函数且在()∞+，0上是增函数,则()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=23,2,2f c f b f a π的大小关系是（ ）A b 〈a<cB a<c<bC b 〈c<aD c<a 〈b12、某公园有5个大门，若某人从一个大门进去，游玩后从另一个大门出来，共有_______种不同的走法A 12B 16C 20D 2513、长度为24的材料围一个矩形场地，中间有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( ）A 3B 4C 6D 1214、已知向量(4,4)OP =,绕坐标原点旋转90-到1OP 的位置，则1P 的坐标为( ）A (4,4)-B (4,4)--C (4,4)-D (8,8)--15、已知(3,4)a =，则与a 垂直的一个单位向量的坐标为（ ）A （1，1）B 43(,)55-C （5，3）D 34(,)5516、函数|cos sin |33x x y ππ=的周期是( ） A 23π B 3π C 3 D 3217、在ABC ∆,cos cos c B b C =,则ABC ∆是（ ）A 直角三角形B 锐角三角形C 等腰三角形D 等边三角形18、椭圆221126x y+=与椭圆2214x ym+=有相同的离心率，则m等于（）A 4B 2或8C 4或8D 819、若球的表面积扩大为原来的2倍，则体积是原来的（ )A 倍B 9倍C 12倍倍20、在60的二面角的一个面内有一点到另一个面的距离为2，则该点到棱的距离为( ）第Ⅱ卷二填空题（本题共5个小题，每题3分,共15分)21、设奇函数f（x)的定义域为[5,5]-，若当[0,5]x∈时，f(x）的图象如图所示，则不等式()0f x<的解集是_______22、已知x，y满足约束条件,⎧⎨⎩35≤≥+≥+-xyxyx则yxz-=4的最小值为__ ．23、已知()2,1A、()4,1-B,线段AB的垂直平分线方程为24、函数y=的单调减区间为_______25、120角的终边上有一点(3,)P m-，则实数m的值是_________三解答题（本题共5题,共45分）26、已知函数2()f x ax bx c =++的图像在纵轴上的截距是5，且满足()(2)f x f x =-，(1)2(1)f f -=,求当()53f x ≤时对应x 的取值范围27、已知数列{}n a 的前n 项和公式为223n S n n =-（1）求{}n a 的通项公式 （2)证明数列{}n a 是等差数列28、设函数()()f x a b c =⋅-，其中(sin ,cos ),(sin ,3cos ),a x x b x x =-=-(cos ,sin )c x x =-，x R ∈，求函数()f x 的最大值与最小正周期29、已知菱形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且ABCD PA 面⊥．（1）求证：PBD PAC 面面⊥ （2）若AB 4=， 120DAB =∠，3=PA ，求二面角A BD P --的正弦值．30、过点(0,2）且斜率为1-的直线l 与抛物线2y 8x =交于A 、B 两点，求：（1）线段AB 的长(2）若椭圆的中心在坐标原点，一个焦点是抛物线的焦点,且长轴长等于｜AB|，求次椭圆方程P A B山东省春季高考数学模拟试题（一）答案一、选择题1、C2、D3、B 分析：由题意知：1123112()23b a a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⋅=⎪⎩解得：12,2a b =-=- 4、C5、C 分析:22(1)(1)(1)23f x x x x x +=+++-=+6、C 分析：5778101186x +++++==s = 7、C 分析：奇函数图像关于原点对称8、B分析：先统一系数，则10d == 9、A 分析：由1331n n a a +=+得：113n n d a a +=-=，所以10019933336a a d =+=+= 10、D11、B 分析:因为()x f 是偶函数且在()∞+，0322π<<所以3(()()22f f f π<< 12、D 分析：分步计数原理5525⨯=中13、A 分析：设矩形的隔墙长度为x ,则矩形的另一边长为122x -，矩形的面积2(122)212S x x x x =-=-+,可知当3x =时面积最大14、C15、B16、D17、C 分析：由cos cos c B b C =得：22222222a c b a b c c b ac ab+-+-⋅=⋅得b c = 18、B 分析：分成焦点在x 轴和y 轴两种情况讨论19、A 分析：设球原来的半径为r,变化之后的半径为R ，由球的表面积扩大为原来的2倍得：R r =，则体积变化情况为334343R r ππ=20、B二、填空题21、[5,2][2,5]--⋃ 22、-12.5 23、2x —y+3=0 24、[2,3] 25、三、解答题26、解：因为函数2()f x ax bx c =++的图像在纵轴上的截距是5，所以c=5又()(2)f x f x =-,所以对称轴12b a -=①又(1)2(1)f f -=,则52(5)a b a b -+=++，即350a b ++=② 由①②得：1,2a b ==-,则2()25f x x x =-+当()53f x ≤时，有22553x x -+≤，解得：68x -≤≤27、（1）45n a n =-(2）数列{}n a 是d 等于4的等差数列28、解：()()(sin ,cos )(sin cos ,3cos sin )f x a b c x x x x x x =⋅-=-+--)24x π=++所以max ()2f x =，最小正周期222T πππω===29、(1）证明略（30、解：（1）直线l 的方程为2y x -=-，即20x y +-=由2208x y y x+-=⎧⎨=⎩得：21240x x -+=则121212,4x x x x +=⋅=，所以||AB =16==（2）由题意知：抛物线的焦点坐标为（2，0），所以椭圆的焦点坐标为（2，0），所以椭圆的焦点在x 轴上,且c=2,长轴长为216a =,则8a =，所以22264460b a c =-=-= 所以椭圆的标准方程为2216460x y +=。
2021届山东省高三开学质量检测数学试题解析版
2021届山东省高三开学质量检测数学试题一、单选题1．设集合{}ln 1A x x =<，{}24120B x x x =--≥，则()R A C B ⋃=（ ） A ．(),6-∞ B ．()2,6-C ．(]0,6D ．()0,e【答案】B【解析】分别解出集合A ,集合B 以及集合B 的补集，然后对集合A 和集合B 的补集取并集即可. 【详解】集合{}{}{}ln 1=ln ln 0A x x x x e x x e =<<=<<，{}()(){}{24120=620|2B x x x x x x x x =--≥-+≥=≤-或}6x ≥，{}|26R C B x x =-<<，则()R A C B ⋃={}()|26=2,6x x -<<-故选：B 【点睛】本题考查集合的并集补集运算，考查对数不等式和一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．已知复数1i z =+，z 为z 的共轭复数，则1zz+=（ ） A ．3i2+ B ．1i2+ C ．13i 2-D ．13i2+ 【答案】D【解析】求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【详解】121312(2)(1)2z i iz i i i +++++===-. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题目.3．马林·梅森(MarinMersenne ，1588-1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物.梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上对21p -作了大量的计算､验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如21p -(其中p 是素数)的素数，称为梅森素数.在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（ ）A ．511B ．16C ．922D ．122【答案】A【解析】可知不超过40的素数有12个，梅森素数有3个，求出随机取两个数的种数，求出至少有一个为梅森素数的种数，即可得出概率. 【详解】可知不超过40的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37共12个， 其中梅森素数有3，7，37共3个，则在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数共有21266C =种， 其中至少有一个为梅森素数有11239330C C C +=种， 所以至少有一个为梅森素数的概率是3056611P ==. 故选：A. 【点睛】本题考查古典概型概率的求解，属于基础题.4．已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z 近似地服从正态分布()2453,99N ，估计这些考生成绩落在(]552,651的人数约为（ ）(附：()2,Z N μσ~，则()0.6827P Z μσμσ-<≤+=，()220.9545P Z μσμσ-<≤+=)A ．36014B ．72027C ．108041D ．168222【答案】B【解析】由题可求出()3545520.6827P Z <≤=，()2556510.9545P Z <≤=，即可由此求出()552651P Z <≤，进而求出成绩落在(]552,651的人数. 【详解】()2453,99ZN ，453,99μσ∴==，()3545520.6827P Z ∴<≤=，()2556510.9545P Z <≤=， ()()()2556513545525526512P Z P Z P Z <≤-<≤∴<≤=0.95450.68270.13592-==，这些考生成绩落在(]552,651的人数约为5300000.135972027⨯=.故选：B. 【点睛】本题考查正态分布的相关概率计算，属于基础题.5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到1009这1009个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列共有（ ） A ．100项 B ．101项C ．102项D ．103项【答案】B【解析】先求出数列的通项公式，然后根据通项公式进行求解项数. 【详解】因为能被2除余1且被5除余1的数就能被10整除余1， 所以按从小到大的顺序排成一列可得109n a n =-，由1091009n a n =-≤，得101.8n ≤，故此数列的项数为101. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，熟记公式是求解的关键，属于容易题，侧重考查数学运算的核心素养.6．已知ABC 中，4AB =，AC =8BC =，动点P 自点C 出发沿线段CB 运动，到达点B 时停止，动点Q 自点B 出发沿线段BC 运动，到达点C 时停止，且动点Q 的速度是动点P 的2倍.若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中AP AQ ⋅的最大值是（ ） A ．72B ．4C ．492D ．23【答案】C【解析】由题意2BQ CP =-，,60,30AB AC ABC ACB ⊥∠=∠=，故()()AC CP AP AQ AB BQ =+⋅⋅+，展开可得关于CP 的一元二次函数，配方，即可求得AP AQ ⋅的最大值. 【详解】ABC 中，4AB =，AC =8BC =，222,,60,30AB AC BC AB AC ABC ACB ∴+=∴⊥∠=∠=.由题意2BQ CP =-，()()AC CP AB BQ AC AB AC BQ CP AB CP Q A B AP Q ∴=+⋅+=⋅++⋅⋅⋅+⋅ 02cos30cos602cos180AC CP CP AB CP CP =+-++- 23124222CP CP CP =⨯+⨯⨯- 22749214222CP CP CP ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭,∴当72CP =时， AP AQ ⋅取得最大值，最大值为492. 故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，属于基础题.7．已知直线y kx b =+恒在函数()ln 4y x =+的图象的上方，则bk的取值范围是（ ） A ．()3,+∞ B ．(],3-∞C ．(),3-∞D ．[)3,+∞【答案】A【解析】由题意构造新函数，然后利用导函数讨论函数的单调性，由函数的最值讨论计算即可确定bk的取值范围. 【详解】 很明显0k >，否则k 0<时，函数y kx b =+单调递减，且x →+∞时y →-∞， 而()ln 4y x =+当x →+∞时y →+∞，不合题意，0k =时函数y kx b =+为常函数，而()ln 4y x =+当x →+∞时y →+∞，不合题意， 当0k >时，构造函数()()()ln 4H x kx b x =+-+， 由题意可知()0H x >恒成立，注意到：()14144kx k H x k x x +-=-='++， 据此可得，函数在区间14,4k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上的单调递减，在区间14,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则：()min 1414ln 0H x H k b k k ⎛⎫=-=-++> ⎪⎝⎭，故14ln b k k >-+-，ln 14b k k k +>-， 构造函数()ln 14k g k k+=-，则()2ln kg k k ='，还是()g k 在1k =处取得极值，结合题意可知：()13b g k>=，即bk 的取值范围是(3,)+∞.故选：A . 【点睛】本题主要考查导数研究函数的最值，导数研究函数的单调性，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．已知m ∈R ，过定点A 的动直线0mx y +=和过定点B 的动直线30x my m --+=交于点P ，则PA 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】动直线0mx y +=过定点()0,0A ，动直线30x my m --+=过定点()3,1B --，且此两条直线垂直，因此点P 在以AB 为直径的圆上，||AB =设∠ABP＝θ，则||,||PA PB θθ==，θ∈[0，2π]，代入PA 中利用正弦函数的性质可得结果. 【详解】动直线0mx y +=过定点()0,0A ，动直线30x my m --+= 即()310x m y +-+=过定点()3,1B --，且此两条直线垂直．∴点P 在以AB 为直径的圆上，||AB ==，设∠ABP ＝θ，则||,||PA PB θθ==，θ∈[0，2π]|||o 3s PA PB πθθθ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭，∵θ∈[0，2π]，∴θ+3π∈[3π，56π]，∴sin （θ+3π）∈[12，1]， ∴210sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∈[10，210]， 故选：D ．【点睛】本题考查直线过定点、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查正弦函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、多选题9．若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1104ab <≤B 2ab <C ．111a b+≥D ．22118a b ≤+【答案】CD【解析】根据均值不等式及不等式的性质分析即可求解. 【详解】 A 22a b ab +≤=知4ab ≤，因为0ab >，所以114ab ≥，当且仅当2a b ==时等号成立，故A 选项错误； B 22a bab +≤=，当且仅当2a b ==时等号成立，故B 选项错误； C 选项，111112212a b a b ab+≥⋅=≥⨯=，当且仅当2a b ==时等号成立，故C 正确；D 选项，由222()82a b a b ++≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以22118a b ≤+正确，故选：CD 【点睛】本题主要考查了均值不等式，重要不等式的应用，考查了不等式等号成立的条件，属于中档题.10．将函数()()πcos 02f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 为奇函数B ．π02g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．当5ω=时，()g x 在()0,π上有4个极值点D ．若()g x 在π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为5【答案】BCD【解析】利用题目已知条件，求出ω，再结合三角函数的性质即可得出答案. 【详解】∵()()πcos sin 02f x x x ωωω⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭∴()sin ()2g x x πω⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，且(0)1g =-， ∴()1222k k Z πωπ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，即14k ω=-为奇数，∴()sin ()cos 2g x x x πωω⎡⎤=-=±⎢⎥⎣⎦为偶函数，故A 错. 由上得：ω为奇数，∴()cos 022g ππω⎛⎫-=±-= ⎪⎝⎭，故B 对. 由上得，当5ω=时，5()sin(5)cos52g x x x π=-=-，25T π=,由图像可知()g x 在()0,π上有4个极值点,故C 对，∵()g x 在π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，所以π052T πω-≤=,解得：05ω<≤，又∵14k ω=-， ∴ω的最大值为5，故D 对 故选：BCD. 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，奇偶性，极值点，单调区间,属于难题.11．已知双曲线22:1916x y C -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A 、B ，则（ ）A ．若A 、B 同在双曲线的右支，则l 的斜率大于43B ．若A 在双曲线的右支，则FA 最短长度为2C ．AB 的最短长度为323D ．满足11AB =的直线有4条 【答案】BD【解析】设直线l 的方程为5x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，利用判别式、韦达定理、弦长公式可判断各选项的正误. 【详解】易知双曲线C 的右焦点为()5,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为5x my =+， 当0m ≠时，直线l 的斜率为1k m=， 联立225169144x my x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 并整理得()221691602560m y my -++=.则()()222222169016042561699610m m m m ⎧-≠⎪⎨∆=-⨯-=+>⎪⎩，解得34m ≠. 对于A 选项，当0m =时，直线l x ⊥轴，则A 、B 两点都在双曲线的右支上，此时直线l 的斜率不存在，A 选项错误；对于B 选项，min 532F c a A =-=-=，B 选项正确； 对于C 选项，当直线l 与x 轴重合时，32263AB a ==<，C 选项错误； 对于D 选项，当直线l 与x 轴重合时，2611AB a ==≠； 当直线l 与x 轴不重合时，由韦达定理得122160169m y y m +=--，122256169y y m =-， 由弦长公式可得()()22221212122961114169m AB m y y m y y y y m +=+⋅-=+⋅+-=-()226161611169m m +==-，解得374m =±或5168m =±. 故满足11AB =的直线有4条，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查直线与双曲线的综合问题，考查了直线与双曲线的交点个数，弦长的计算，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AC ==，3AB =，90BAC ∠=︒，点D ，E 分别是线段BC ，1B C 上的动点(不含端点)，且1EC DCB C BC=，则下列说法正确的是（ ）A ．//ED 平面1ACCB ．四面体A BDE -的体积是定值C ．异面直线1B C 与1AAD ．二面角A EC D --的余弦值为413【答案】ACD【解析】说明四边形11BCC B 是矩形，然后证明ED ∥1BB ∥1AA ，推出//ED 平面1ACC ，判断A ；设ED m =，然后求解四面体A BDE -的体积可判断B ；说明异面直线1B C 与1AA 所成角为1BB C ∠，然后求解三角形，判断C ；利用空间向量求解二面角A EC D --的余弦值 【详解】解：对于A ，在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是矩形，因为1EC DCB C BC=，所以ED ∥1BB ∥1AA ， 所以//ED 平面1ACC ，所以A 正确；对于B ，设ED m =，因为90BAC ∠=︒，12AA AC ==，3AB =，所以BC == 因为ED ∥1BB ，所以1DE DC BB BC =，所以1DE BC DC BB ⋅==，所以BD =，所以1233(1)22ABDm S =⨯⨯=-，四面体A BDE -的体积为2113(1)322m m m m ⨯-=-，所以四面体A BDE -的体积不是定值，所以B 错误；对于C ，因为1BB ∥1AA ，所以异面直线1B C 与1AA 所成角为1BB C ∠，在1Rt B BC中，12,B B BC =11tan 2BC BB C BB ∠==，所以C 正确； 对于D ，如图，以A 为坐标原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(3,0,0),(0,2,0),(3,0,2)A B C B ，所以1(0,2,0),(3,0,2)AC AB ==，设平面1AB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则120320n AC y n AB x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令2x =，则3z =-，所以(2,0,3)n =-， 同理可求得平面1BB C 的一个法向量为(2,3,0)m =， 所以二面角A EC D --的余弦值为4131313=⨯，所以D 正确，故选：ACD【点睛】此题考查立体几何中的关每次和计算，二面角的平面角的求法，异面直线所成角的求法，属于中档题三、填空题13．高三一班周一上午有四节课，分别安排语文､数学､英语和体育.其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有______种. 【答案】9【解析】分三类考虑，语文安排在第二节, 语文安排在第三节，语文安排在第四节，分别求出各类的安排方法，相加即可. 【详解】第一类：语文安排在第二节,若数学安排在第一节,则英语安排在第四节,体育安排在第三节; 若数学安排在第三节，则英语安排在第四节,体育安排在第一节; 若数学安排在第四节,则英语安排在第一节,体育安排在第三节; 第二类：语文安排在第三节，若英语安排在第一节,则数学安排在第四节,体育安排在第二节; 若英语安排在第二节，则数学安排在第四节，体育安排在第一节; 若英语安排在第四节,则数学安排在第一节,体育安排在第二节; 第三类：语文安排在第四节，若体育安排在第一节,则英语安排在第二节,数学安排在第三节; 若体育安排在第二节，则英语安排在第一节，数学安排在第三节; 若体育安排在第三节，则英语安排在第二节，数学安排在第一节; 所以共有9种方案. 故答案为：9. 【点睛】本题考查有限制的元素排列问题，属于基础题. 14．已知四面体A BCD -中，5AB CD ==，10AC BD ==，13BC AD ==，则其外接球的体积为______. 【答案】714π3【解析】由题意可采用割补法，构造长宽高分别x ，y ，z 的长方体，其面对角线分别为51013，，解出x ，y ，z ,求长方体的体对角线即可. 【详解】如图，构造长方体，其面对角线长分别为51013，，，则四面体A BCD -的外接球即为此长方体的外接球， 设长方体的长宽高分别x ，y ，z ，外接球半径为R 则2222225,10,13x y y z x z +=+=+=， 所以2222225,10,13x y y z x z +=+=+=,则222214(2)x y z R ++==，解得2R =，所以3433V R π==.π 【点睛】本题主要考查了球的内接四面体的性质，考查了构造法求球的半径，球的体积公式，属于中档题.15．已知数列{}n a 满足()sin1cos cos 1n a n n =-，{}n a 的前n 项的和记为n S ，则6030S S =______. 【答案】3【解析】利用两角差的正弦公式化简得出()tan 1tan n a n n =--+，可求得n S ，进而可计算得出6030S S 的值. 【详解】()()()()()()sin 1sin cos 1cos sin 1sin1cos cos 1cos cos 1cos cos 1n n n n n n n a n n n n n n ⎡⎤-----⎣⎦===---()()tan tan 1tan 1tan n n n n =--=--+，()()()()tan 0tan1tan1tan 2tan 2tan 3tan 1tan n S n n ⎡⎤∴=-++-++-+++--+⎣⎦tan n =，因此，6030tan 6033tan 303S S ===. 故答案为：3. 【点睛】本题考查裂项相消法求和，同时也考查了利用两角差的正弦公式化简求值，考查计算能力，属于中等题.16．某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切1，31(单位：cm)，则三个圆之间空隙部分的面积为______2cm.【答案】(10π3-【解析】由已知可得AB=2BC=,4AC cm=,得到=2Bπ∠，,63A Cππ∠=∠=，求出ABCS，A中的小扇形的面积，B中的小扇形的面积，C中的小扇形的面积，然后用三角形的面积减去三个扇形的面积即可得到答案.【详解】如图，A的半径为)1cm, B的半径为)1cm, C的半径为(3cm,11AB∴=+=,132cmBC=+=,134AC cm=+-=, 222=2AB BC AC Bπ∴+∠=，,又2AC BC=,可得,63A Cππ∠=∠=,)2112cm22ABCS BC AB=⋅=⨯⨯=，A中的小扇形的面积为()2211)cm26π⨯⨯=，B中的小扇形的面积为()22121)cm222π⨯⨯=，C中的小扇形的面积为(()221(32cm23ππ⨯⨯-=，则三个圆之间空隙部分的面积为((()210π2223cm26π+----=故答案为：(10π3-【点睛】本题考查圆与圆相切的性质，考查扇形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为23122n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和1000T . 【答案】（1）32n a n =-；（2）10002631T =. 【解析】（1）利用1n n n a S S -=-可求出； （2）根据数列特点采用分组求和法求解. 【详解】（1）当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦， 将1n =代入上式验证显然适合，所以32n a n =-.（2）因为410a =，34100a =，3341000a =，333410000a =，所以0,131,4332,343333,3341000n n n b n n ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，所以100003130230036672631T =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查n a 和n S 的关系，考查分组求和法，属于基础题.18．在①b a =，②2sin tan b A a B =，③()()sin sin sin ac A c A B b B-++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______. （1）求角B ；（2）若4a c +=，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积.【答案】（1）π3B =；（2【解析】（1）分别选三个条件，都可用正弦定理解出；（2）由余弦定理可得2316ac b =-，利用基本不等式可求出b 的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积. 【详解】（1）选①，由正弦定理得sinsin B A =∵sin 0A ≠cos 1B B -=，即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0πB <<，∴ππ5π666B -<-<， ∴ππ66B -=，∴π3B =.选②，∵2sin tan b A a B =，sin 2sin cos a Bb A B =，由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos BB A A B=⋅，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =，∵()0,πB ∈，∴π3B =. 选③，∵()()sin sin πsin A B C C +=-=， 由已知结合正弦定理可得()22a c a cb -+=，∴222a cb ac +-=，∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，∵()0,πB ∈，∴π3B =. （2）∵()22222cos 3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-，即2316ac b =-，∴221632a c b +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得2b ≥，当且仅当2a c ==时取等号， ∴min 2b =，ABC 周长的最小值为6，此时ABC 的面积1sin 32S ac B ==. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，考查三角形面积公式，属于基础题.19．如图，在几何体ABCD EFGH -中，HD ⊥底面ABCD ，//HD FB ，//AB DC ，AD DC ⊥，1AB =，2DC =，45BCD ∠=︒，2HD =，1FB =，设点M 在棱DC 上，已知AM ⊥平面FBDH .（1）求线段DM 的长度；（2）求二面角H AM F --的余弦值. 【答案】（1）1；（23. 【解析】（1）以D 为坐标原点，射线,DA DC DH ，为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设()0,,0M t ，由已知得AM BD ⊥，利用0AM BD ⋅=可求得线段DM 的长度.（2）分别求平面HAM 和平面AMF 的法向量，利用二面角的向量公式进行计算即可. 【详解】以D 为坐标原点，射线,DA DC DH ，为,,x y z 轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由//AB DC ，AD DC ⊥，1AB =，2DC =，45BCD ∠=︒，易知1AD =. 则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()0,0,2H ，()1,1,1F ， （1）设()0,,0M t ，因为AM ⊥平面FBDH ，所以AM BD ⊥，()1,,0AM t =-，()1,1,0BD =--，10AM BD t ⋅=-=，解得1t =，所以线段DM 的长度为1.（2）设()1,,n x y z =是平面HAM 的一个法向量，()1,0,2AH =-，()1,0,1MF =，则1100200x y n AM x z n AH ⎧-+=⋅=⎧⎪⇔⎨⎨-+=⋅=⎪⎩⎩，可取()12,2,1n =，同理，设()2,,n u v w =是平面AMF 的一个法向量， 则220000u v n AM u w n MF ⎧-+=⋅=⎧⎪⇔⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩，可取()21,1,1n =-.则1212123cos ,n n n n n n ⋅==，显然二面角H AM F --为锐二面角， 所以二面角H AM F --的余弦值为3.【点睛】本题考查利用空间向量求线段长以及二面角的平面角，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.20．2020年1月底，为严防新型冠状病毒疫情扩散，有效切断病毒传播途径，坚决遏制疫情蔓延势头，确保人民群众生命安全和身体健康，多地相继做出了封城决定.某地在1月23日至29日累计确诊人数如下表： 日期（1月） 23日 24日 25日 26日 27日 28日29日人数（人） 611213466101196由上述表格得到如散点图（1月23日为封城第一天）.（1）根据散点图判断y a bx =+与x y c d =⋅（c ，d 均为大于0的常数）哪一个适宜作为累计确诊人数y 与封城后的天数x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；并根据上表中的数据求出回归方程；（2）随着更多的医护人员投入疫情的研究，2月20日武汉影像科医生提出存在大量核酸检测呈阴性（阳性则确诊），但观其CT 肺片具有明显病变，这一提议引起了广泛的关注，2月20日武汉疾控中心接收了1000份血液样本，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性样本的概率为0.7，核酸试剂能把阳性样本检测出阳性结果的概率是0.99（核酸检测存在阳性样本检测不出来的情况，但不会把阴性检测呈阳性），求这1000份样本中检测呈阳性的份数的期望. 参考数据：yw71i ii x y =∑71iii x w =∑0.541062.141.54 2535 50.12 3.47其中lg i i w y =，7117i i w w ==∑，参考公式：对于一组数据()11,u w ，()22,u w ，…，(),n n u w ，其回归直线w u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ni ii nii u w nuwunuβ==-=-∑∑，w u αβ=-.【答案】（1）选择xy c d =⋅，y 关于x 的回归方程为0.253.4710x y =⨯；（2）期望为693人.【解析】（1）利用散点图中点的分布可知选择模型xy c d =⋅较为合适，在等式两边取对数得lg lg lg y c d x =+⋅，令lg y w =，结合表格中的数据以及最小二乘法公式求得lg d 和lg c 的值，进而可得出回归模型的解析式；（2）计算得出()1000,0.693X B ~，再利用二项分布的期望公式可求得()E X 的值. 【详解】（1）由散点图可知选择x y c d =⋅，由x y c d =⋅两边同时取常用对数得lg lg lg y c d x =+⋅， 设lg y w =，lg lg w c d x ∴=+⋅.计算4x =， 1.54w =，721140i i x ==∑， 7172221750.1274 1.547ˆlg 0.2514074287i ii i i x w xwdx x==--⨯⨯====-⨯-∑∑，把样本中心点()4,1.54代入lg lg w c d x =+⋅得lg 0.54c =.0.540.25w x ∴=+，y ∴关于x 的回归方程为0.253.4710xy =⨯；（2）这1000份样本中检测呈阳性的份数为X ， 则每份检测出阳性的概率0.70.990.693P =⨯=，由题意可知()1000,0.693X B ~，()10000.693693E X ∴=⨯=（人）， 故这1000份样本中检测呈阳性份数的期望为693人. 【点睛】本题考查非线性回归方程的求解，同时也考查了利用二项分布的期望公式计算随机变量的数学期望，考查计算能力，属于中等题.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,1P ，且该椭圆的一个短轴端点与两焦点1F ，2F 为等腰直角三角形的三个顶点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明：直线l 过定点.【答案】（1）22163x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）根据已知条件写出,,a b c 的等量关系式进行求解即可.（2）讨论当直线的斜率不存在时不满足题意，当斜率存在时，设:l y kx t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，用A ，B 坐标表示PA PB k k ⋅，将韦达定理代入整理即可得到直线过的定点. 【详解】（1）由椭圆过点()2,1P 得22411a b+=，椭圆的一个短轴端点与两焦点1F ，2F 为等腰直角三角形的三个顶点，可得b c =，又22222=2a b c a b -=，，即22211b b+=，解得a =b =22163x y +=. （2）证明：①当直线l 斜率不存在时， 设直线:l x m =，(),m A m y ，(),m B m y -，11122m m PA PBy y k k m m ---⋅=⋅=--，即()2222=11136m m m y ⎛⎫--=--⨯ ⎪⎝⎭，解得2m =或6m =，直线不过点()2,1P ,故2m =(舍)，6m a =>=故不满足.②当直线l 斜率存在时，设:l y kx t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22163y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222214260k x ktx t +++-=.()228630k t ∆=-+>，122421kt x x k -+=+，21222621t x x k -=+ ① 则()()12121212121211112224PA PB y y y y y y k k x x x x x x -++--⋅=⋅==---++， ∴()()()22121212230k x x tk k x x t t -+-+++--=，将①代入上式可得22128230k kt t t +++-=， ∴()()2130k t tk t +-⋅++=，若210k t +-=，12t k =-，()1221y kx k k x =+-=-+,直线l 经过P 点与已知矛盾，若630k t ++=，36t k =--，()248561k k ∆=-++存在k 使得>0∆成立. ∴直线l 的方程为()63y k x =--， 故直线l 过定点()6,3-. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查直线恒过定点问题以及韦达定理和斜率公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题.22．已知函数()ln 1f x x mx =++，()()1xg x x e =⋅-.（1）若()f x 的最大值是0，求函数()f x 的图象在x e =处的切线方程； （2）若对于定义域内任意x ，()()f x g x ≤恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）111y x e ⎛⎫=-+⎪⎝⎭；（2）(],0-∞. 【解析】（1）根据某点上的切线斜率即为函数在该点的导数，列出点斜式方程即可得出答案.（2）构造函数，对函数求导后，讨论函数单调性，求出m 的取值范围. 【详解】（1）()f x 的定义域()0,∞+，()1f x m x'=+， 若0m ≥，()0f x '>，()f x 在定义域内单调递增，无最大值； 若0m <，10,x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()0f x '>，()f x 单调递增； 1,x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减；所以1x m =-时()f x 取得最大值1ln 0m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1m =-. ()11f e e'=-，()2f e e =-.函数()f x 的图象在x e =处的切线方程111y x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（2）原式子恒成立，即ln 11xx m e x++≤-在()0,∞+恒成立， 设()ln 1xx x e x ϕ+=-，()22ln x x e xx x ϕ+'=，设()2ln xQ x x e x =+，()()2120xQ x x x e x'=++>， 所以()Q x 在其定义域内单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10Q >， 所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x e x ⋅+=，所以0000ln x x x e x -⋅=， 两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-，易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以01x e x =， 所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()0000000ln 1111xx x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-=， 于是m 的取值范围是(],0-∞. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义和函数的极值与最值，属于难题.。
2021年山东省春季高考数学试卷(含答案)
山东省2021年普通高校招生（春季）考试数学试题1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟，考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.本次考试允许使用函数计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01.卷一（选择题 共60分）一．选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）1．已知集合{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}12324M N ==，，，，，则()U M N C 等于（ ）A.{}2B.{}1,3C.{}0,1,3D.{}0,1,2,32．函数y =的定义域是（ ）A.(2,4)-B.(,2)(4,)-∞-+∞C.[2,4]-D. (,2][4,)-∞-+∞ 3．已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，则下列关系正确的是（ ）A.(1)(0)(1)f f f <<-B. (0)(1)(1)f f f <-<C. (1)(0)(1)f f f -<<D. (0)(1)(1)f f f <<-4．已知函数log (01)a y x a a =>≠且的图像如图所示，则函数2(1)1y a x =-+的图像大致是（ ）5．下列命题正确的是（ ）A.零向量没有方向B.两个单位向量相等C.方向相反的两个向量互为相反向量D.若//AB AC ,则,,A B C 三点共线6．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点(1,2)P -，则sin 2α等于（ ）A.35- B.35 C. 45- D. 457．“角α是第一象限角”是“sin 0α>”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．如图所示，已知直线m l ⊥，则直线m 的方程为（ ）A.210x y --=B.210x y -+=C.250x y --=D.250x y -+=9．某运动员队准备参加4100⨯米接力赛，队中共有5名运动员，其中甲运动员不能跑第一棒，教练从这5人中安排4人分别跑第一至第四棒，则所有不用安排方法的种数是（ ）A.48B.60C.96D.12010．已知函数()f x 的对应值图下表所示：函数()y f x =的对应值表x 012345y 365427则[(2)]f f 等于（ ）A.4B.5C.6D.711．已知向量(2,3),(,1)a b m =-= ，若5a b = g ，则实数m 的值是（ ）A.1-B.4-C.32D.7312．函数sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A.该函数为偶函数B.该函数的最大值为1C.该函数的最小正周期为4πD.ϕ的值为3π-13．在幼儿园“体验分享，快乐成长”的活动中，有三位小朋友都把自己的一件玩具交给老师，老师再把这三件玩具随机发给他们，每人一件，则这三位小朋友都没有拿到自己玩具的概率是（ ）A.12 B.13 C.14 D.1614．已知过原点的圆，其圆心坐标为(1,2)，则该圆的标准方程为（ ）A.22(1)(2)5x y -+-=B. 22(1)(2)4x y -+-=C.22(1)(2)5x y +++=D. 22(1)(2)4x y +++=15．已知点M 在抛物线22(0)y px p =>上，若点M 到抛物线对称轴的距离为4，到准线的距离为5，则p 的值是（ ）A.2或4B.4或6C.6或8D.2或816．已知命题:p 甲、乙、丙三名同学都是共青团员，则p ⌝为（ ）A.甲、乙、丙三名同学都不是共青团员B.甲、乙、丙三名同学至少有一名不是共青团员C.甲、乙、丙三名同学至少有两名不是共青团员D.甲、乙、丙三名同学至多有一名不是共青团员17．在下列不等式中，能表示如图所示区域（阴影部分）的是（ ）A.330x y +-<B. 330x y +->C. 330x y +-≤D. 330x y +-≥18．在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分30斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数成等差数列，问每人各分多少斤。
2021届山东省新高考高三上学期12月联合调研考试数学试卷及答案
2021届山东省新高考高三上学期12月联合调研考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)考试用时120分钟, 满分150分．注意事项：1. 答题前,考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置．2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.3. 考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知集合4{|0}5xA xx-=<-, 集合{|35}B x x=<≤, 则A∩B =A.(3,6)B.[3,6)C.[4,5)D.(4,5)2.12i()3iz aa+=∈+R, 若z为实数,则a的值为A.23B.12C.13D.323.若非零向量m , n满足|m| =| n |,则“|3m2n | =| 2m +3n | ”是“m n”的A.充分不必要条件,B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知变量x,y之间的一组数据如下表：x 1 2 3 4 5y 3.4 7.5 9.1 13.8 m若 y关于x的线性回归方程为y=3x+1, 则m的值为A. 16B.16.2C.16.4D.16.65.“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则异面直线AB 与CD 所成角的大小是 A.30°B.45°C.60°D. 120°6.为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划,某地方党委政府决 定从 4 名男党员干部和3 名女党员干部中选取 3 人参加西部扶贫,若选出的 3 人中既有男党员干部又有女党员干部,则不同的选取方案共有 A. 60 种B. 34 种C. 31 种D. 30 种7.已知函数 y =f ( x ) 的图像如图所示,则此函数可能是A. 2e e ()||2x xf x x x --=+-B. 2e e ()||2x xf x x x --=+-C. 2||2()e e x x x x f x -+-=-D. 2||2()e ex x x x f x -+-=-8.对于实数x , [ x ] 表示不超过x 的最大整数.已知数列{a n } 的通项公式1n a n n=++,前n 项和为S n , 则[S 1]+ [S 2]+…+ [S 40]= A.105B.120C.125D.130二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分9.新冠肺炎疫情的发生,我国的三大产业均受到不同程度的影响,其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020 年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据,如图所示：图1为国内三大产业比重,图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是A.在第三产业中,“批发和零售业” 与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产。
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山东K12联盟2021届高三开年迎春考试数学模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．2C ．23D ．12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）． A 10B ．62C 23D 33．已知三点A(1,0)，B(03)，C(23)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．53 B 21 C 25D ．434．已知函数()e x f x x =,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( )A ．44,e e 1⎛⎫---⎪+⎝⎭B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ D ．4e ,e 1∞⎛⎫--- ⎪+⎝⎭5．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．56．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π7．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆8．连接双曲线22122:1x y C a b -=及22222:1y x C b a-=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，则当12S S 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（ ） A 5 B ．322C 3D 29．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆223，则双曲线的离心率为（ ） A 3B ．2C 5D ．310．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P-ABC 的体积为83C ．||||||6PA PB PC ===D ．三棱锥P-ABC 的侧面积为3511．在正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F .若以F 为焦点，1AB 为准线的抛物线经过12O O ，，设球12O O ，的半径分别为12r r ，，则12r r =（ ） A ．512B ．32C ．212-D ．2312．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A ． 3B ．2 C ． 33D ． 22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种.14．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别边,,a b c ，且22a b c +=，设角C 的角平分线交AB 于点D ，则cos C 的值最小时，BDAD=___. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足1n n S a +=，则数列{}n S 的前10项的和为______. 16．已知两个单位向量,a b 满足a b a +=，则向量a 与b 的夹角为_____________. 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图1，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，以BE 为折痕将BCE ∆折起到PBE ∆的位置，使得平面PBE ⊥平面ABCD ，如图2.（1）证明：平面PAB ⊥平面PBE ； （2）求点D 到平面PAB 的距离.18．（12分）如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，CP m =.（1）若63m =，求直线AP 与平面11BDD B 所成角； （2）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的实数m ，都有1D Q AP ⊥，并证明你的结论. 19．（12分）对于很多人来说，提前消费的认识首先是源于信用卡，在那个工资不高的年代，信用卡绝对是神器，稍微大件的东西都是可以选择用信用卡来买，甚至于分期买，然后慢慢还！现在银行贷款也是很风靡的，从房贷到车贷到一般的现金贷．信用卡“忽如一夜春风来”，遍布了各大小城市的大街小巷．为了解信用卡在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了100人进行抽样分析，得到如下22⨯列联表（单位：人）经常使用信用卡 偶尔或不用信用卡 合计 40岁及以下 15 35 50 40岁以上 20 30 50 合计3565100（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为A 市使用信用卡情况与年龄有关？ （2）①现从所抽取的40岁及以下的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人赠送积分，求选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率；②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的40岁以上的网民中随机抽取3人赠送礼品，记其中经常使用信用卡的人数为X ，求随机变量X 的分布列、数学期望和方差．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：()20P K k0.15 0.10 0.05 0.025 0.0100k2.072 2.7063.841 5.024 6.63520．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB PC ⊥，M 是AB 的中点，点D 在PB 上，//MD 平面PAC ，平面PAB ⊥平面PMC ，CPM ∆为锐角三角形，求证：（1）D 是PB 的中点； （2）平面ABC ⊥平面PMC .21．（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-. （1）求C 的方程；（2）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22．（10分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且122 2.AB AD AA BD DC =====，ADD A;(Ⅰ)求证:AB⊥平面11B CD所成角的正弦值.(Ⅱ)求直线AB与平面11参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C【解析】【分析】利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD，算出长度.【详解】几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为23AD=故选：C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.2、A【解析】【分析】直线l 的方程为bx y c a=-，令1a =和双曲线方程联立，再由2AF FB =得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可. 【详解】由题意可知直线l 的方程为bx y c a=-,不妨设1a =. 则x by c =-，且221b c =-将x by c =-代入双曲线方程2221y x b-=中，得到()4234120b y b cy b +--=设()()1122,,,A x y B x y则341212442,11b c b y y y y b b +=⋅=-- 由2AF FB =，可得122y y =-，故32442242121b cy b b y b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩则22481b c b =-，解得219=b则c ==所以双曲线离心率3c e a ==故选：A 【点睛】此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目. 3、B 【解析】 【分析】 【详解】选B.考点：圆心坐标 4、A 【解析】()e x f x x ==e ,0e ,0xx x x x x⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩,当0x >时()()()‘2e 10,1,0,1x x f x x x x-===∈时,()f x 单调递减，()1,x ∞∈+时,()f x 单调递增,且当()()()0,1,e,x f x ∞∈∈+时,当()()()1,,e,x f x ∞∞∈+∈+时, 当0x <时，()()2e 10x xf x x-'-=>恒成立，(),0x ∞∈-时,()f x 单调递增且()()0,f x ∞∈+,方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根.令()()2,14f x t t m t m =++++=0则()2120,,e 1e 40t e t e m m <<>∴++++<,()201040m m ++++>且,即44,e e 1m ⎛⎫∈---⎪+⎝⎭. 5、B 【解析】 【分析】 【详解】初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ． 6、D 【解析】 【分析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 【详解】如图，正三棱锥A BCD -中，M 是底面BCD ∆的中心，则AM 是正棱锥的高，ABM ∠是侧棱与底面所成的角，即ABM ∠＝60°，由底面边长为3得233332BM =⨯=， ∴tan 60333AM BM =︒=⨯=．正三棱锥A BCD -外接球球心O 必在AM 上，设球半径为R ， 则由222BO OM BM =+得222(3)(3)R R =-+，解得2R =， ∴3344322333V R πππ==⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键． 7、B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可. 【详解】因为线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，如下图所示：所以有122PF PM PF MF ==-，而,O N 是中点，连接ON ，故224MF ON ==， 因此21214(4)PF PF F F -=<当N 在如下图所示位置时有，所以有122PF PM PF MF ==+，而,O N 是中点，连接ON ,故224MF ON ==，因此12214(4)PF PF F F -=<，综上所述：有12214(4)PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是双曲线. 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想. 8、D 【解析】 【分析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得12S S 取得最大值时有a b =，从而求得其离心率. 【详解】双曲线22221x y a b-=与22221y x b a -=互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为(,0),(0,)a b ±±，四个焦点的坐标为(,0),(0,)c c ±±，四个顶点形成的四边形的面积112222S a b ab =⨯⨯=， 四个焦点连线形成的四边形的面积2212222S c c c =⨯⨯=，所以1222221222S ab ab ab S c a b ab ==≤=+， 当12S S 取得最大值时有a b =，c =，离心率c e a== 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目. 9、B 【解析】 【分析】根据题意，设点()00,P x y 在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论. 【详解】由题意，设点()00,P x y 在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 所以，00by x a=， 又以12F F 为直径的圆经过点P ，则OP c =，即22200x y c +=，解得0x a =，0y b =，所以，1220122PF F S c y c b ∆=⋅⋅=⋅=，即c =，即()22243c c a =-， 所以，双曲线的离心率为2e =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a 与c 的关系，属于基础题. 10、C【解析】 【分析】根据三视图，可得三棱锥P-ABC 的直观图，然后再计算可得. 【详解】解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC 的直观图如图所示，其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面ABC. 所以三棱锥P-ABC 的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=， 2AC BC PD ∴===，2222AB AC BC ∴=+=，||||||2DA DB DC ∴===()22||||||226,PA PB PC ∴===+=222PA PB AB +≠，PA ∴、PB 不可能垂直，即,PA ,PB PC 不可能两两垂直，1222222PBA S ∆=⨯=()22161252PBC PAC S S ∆∆==-=∴三棱锥P-ABC 的侧面积为2522故正确的为C. 故选：C. 【点睛】本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题. 11、D 【解析】 【分析】由题先画出立体图，再画出平面11AB C D 处的截面图，由抛物线第一定义可知，点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离因此球2O 内切于正方体，设21r =，两球球心和公切点都在体对角线1AC 上，通过几何关系可转化出1r ，进而求解 【详解】根据抛物线的定义，点2O 到点F 的距离与到直线1AB 的距离相等，其中点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离，因此球2O 内切于正方体，不妨设21r =，两个球心12O O ，和两球的切点F 均在体对角线1AC 上，两个球在平面11AB C D 处的截面如图所示，则1222132AC O F r AO ====，，所以2231AF AO O F =-=-.又因为11113AF AO O F r r =+=+，因此()13131r +=-，得123r =-，所以1223rr =-.故选：D 【点睛】本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养 12、C 【解析】 【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果． 【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°， ∴由对称性可知k=±3 故选C ． 【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。