均值不等式练习题

一、选择题1．若0≥x ，0≥y 且，那么232y x +的最小值为（ ） A. 2 B. 43 C. 32 D. 0 2．设若的最小值 ( )A. 2B. 41 C. 4 D. 8 3．若c b a >>集合{|},{|}2a b M x b x N x ab x a +=<<=<<，则集合M N 等于（ ） A.{|}x b x ab << B.{|}x b x a << C.{|}2a b x ab x +<< D.{|}2a b x x a +<< 4．对于函数)(x f y =(I x ∈),)(x g y =(I x ∈),若对任意I x ∈,存在0x 使得)()(0x f x f ≥,)()(0x g x g ≥且)()(00x g x f =,则称)(x f ,)(x g 为“兄弟函数”,已知q px x x f +++=2)(,x x x x g 1)(2+-=定义在区间]2,21[上的“兄弟函数”,那么函数)(x f 在区间]2,21[上的最大值为 A.32 B. 2 C. 4 D.545．若0x >，则1x x +的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 86．若实数,x y 满足2222330x y x y +-++=，则3x y -的取值范围是（ ）A.[)2,+∞B.()2,6C.[]2,6D.[]4,0-7．设0,0a b >>，若1a b +=，则11a b+的最小值是（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．14 8．正数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为A ．18B ．14C ．1D ．329．已知，则的最小值是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 110．已知关于x 的不等式在),(+∞∈a x 上恒成立，则实数a 的最小值为 ( ) A. 1 B. 32 C. 2 D. 11．设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是. B. 2 C. 4 D. 8 12．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a ∈，0a a *=；（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*.则函数1()()x xf x e e =*的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．813．若直线01=+-by ax 平分圆C ：014222=+-++y x y x 的周长，则ab的取值范围是14．已知关于x 的不等式022>++b x ax (0≠a )的解集是22a b a b +-，且b a >，则22a b a b +-的最小值是 A．2 D ．115．在R 上定义运算：对R y x ∈,，有y x y x +=⊕2，如果1=⊕b a (0>ab )，则11()3a b ⊕ 的最小值是（ ）A ．10B ．9C ．323 D ．283 16．若0>>b a ，则代数式的最小值为( ) A.2 B. 3 C.4 D. 517．若0>a ，0>b ，且2=+b a ,则下列不等式恒成立的是( )1ab 1> B.1a +1b 2≤ C.ab 1≥ D. 222≥+b a 18．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当z xy取得最大值时，z y x -+2的最大值为 A. 0 B.98 C. 2 D.94 19．已知0>a ，0>b ，2=+b a ，则ba 41+的最小值是( ) A. 27 B. 4 C. 29 D. 5 20．已知1x >-，则函数11y x x =++的最小值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.221．已知直线l 过点(2,1)P )，且与x 轴y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆面积的最小值为( ) A. 22 B. 24 C. 4 D. 322．若函数)(x f 满足：x xf x f =-)1(4)(，则|)(|x f 的最小值为 A. 152 B. 154 C. 15152 D. 15154 23．24．已知R a b ∈、，且0ab ≠，则下列结论恒成立的是 ( )．A ．ab b a 2≥+B ．2≥+a b b aC ．2||≥+ab b a D ．222a b ab +> 25．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（）A.3B.4C.5D.626．如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为A.6B.424 D.2227．设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是 （ ） A ．4)11)((≥++b a b a B ．2332ab b a ≥+ C ．b a b a 22222+≥++ D ．b a b a -≥-||28．设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．4)11)((≥++ba b a B ．2332ab b a ≥+ C ．b a b a 22222+≥++ D ．b a b a -≥-||29．若，则的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 430．下列命题正确的是( ) A ．若Z k k x ∈≠,π，则4sin 4sin 22≥+x x B ．若0<a ，则44-≥+a a C ．若0,0>>b a ，则b a b a lg lg 2lg lg ⋅≥+ D ．若0,0<<b a ，则2≥+b a a b 31．已知)2(log )(2-=x x f ，若实数n m ,满足3)2()(=+n f m f ，则n m +的最小值为A. 5B. 7C. 8D. 932．不等式<+x x 22a b 16b a对任意),0(,+∞∈b a 恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A ．)0,2(- B ．),0()2,(+∞--∞ C ．)2,4(- D ．),2()4,(+∞--∞二、填空题33．已知,a R b R ++∈∈，函数2x y ae b =+的图象过（0，1）点，则11a b +的最小值是______. 34．若关于x 的不等式（组）()2*72209921n n x x n N ≤+-<∈+对任意恒成立，则所有这样的解x 构成的集合是____________.35．对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,,a ab a b a b b ab a b⎧-≤⎪*=⎨->⎪⎩，设()()()211f x x x =-*-，且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围是___________.36．设连接双曲线12222=-b y a x 与12222=-ax b y (0,0>>b a )的4个顶点的四边形面积为1S ,连接其4个焦点的四边形面积为2S ，则21S S 的最大值为 . 37．已知0a b >>，且2a b +=，则213a b a b ++-的最小值为 ． 38．已知实数,a b 满足22941a b+=，则22b a +的最小值是 . 39．已知向量)2,1(-=x a ，),4(y b =，若b a ⊥，则y x 416+的最小值为 ．40．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 41．已知b a ,是正数，且3ab a b =++，则ab 的最小值为 .42．M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且AB ·AC 32=， 30=∠BAC ，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为z y x ,,，记=),,(z y x f 149x y z+，则),,(z y x f 的最小值是________． 43．已知函数9)(22-+=x a x x f 的定义域为{}0,≠∈x R x x ，则实数a 的取值范为 . 44．(1）2≥+b a a b 成立当且仅当b a ,均为正数.（2）)0(,322>+=x xx y 的最小值是343 （3）)20(,)2(2a x x a x y <<-=的最大值是2723a （4）2|1|≥+a a 成立当且仅当0≠a . 以上命题是真命题的是45．设M 是△ABC 内一点,且AB ·AC 32=，30=∠BAC ，定义),,()(p n m M f =，其中p n m ,,分别是△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积，若),,21()(y x M f =，则y x 41+的最小值是 .46．若实数c b a ,,满足b a b a +=+222，c b a c b a ++=++2222，则c 的最大值是 .47．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数4()f x x=的图像交于Q P ,两点，则线段PQ 长的最小值是＿＿＿＿48．现要用一段长为l 的篱笆围成一边靠墙的矩形菜园（如图所示），则围成的菜园最大面积是___________________．49．设b a ,为两个正数，且1=+b a ，则使得1a 恒成立的μ的取值范围是________． 50．若2x >，则的最小值为 ；51．已知正实数z y x ,,满足________． 52．设常数0>a ，若对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________． 53的图象过点)7,3(A ，则函数)(x f 的最小值是________． 54．设R y x ∈,，且5=+y x ，则y x 33+的最小值是________．55．设0<x ，则________． 56的值为 57．若0,0>>b a ，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于_.58．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时96元. 当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元. 若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小. 59．已知正数,x y 满足22x y +=，则8x y xy +的最小值为 ． 60．已知正数y x ,满足1091=+++yx y x ，则y x +的最大值为 ． 62．设y x ,均为正实数，且，则xy 的最小值为____________． 65．函数log 1(0,1)a y x a a =+>≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny +-=上,其中0mn >,则21m n +的最小值为_______.66．已知a b >，且1ab =，则22a b a b +-的最小值是. 67．一环保部门对某处的环境状况进行了实地测量，据测定，该处的污染指数等于附近污染源的污染强度与该处到污染源的距离之比．已知相距km 30的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为1和4，它们连线上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．现拟在它们之间的连线上建一个C D B A公园，为使两化工厂对其污染指数最小，则该公园应建在距A 化工厂 公里处．68．设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .69．下列结论中 ①函数)0)(21(>-=x x x y 有最大值81②函数x x y 432--=（0<x ）有最大值342-③若0>a ，则4)11)(1(≥++a a 正确的序号是_____________.70．若不等式)(2222y x a xy x +≤+对于一切正数y x ,恒成立，则实数a 的最小值为________．三、解答题 71．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为2162m 的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/2m ，中间两道隔墙建造单价为248元/2m ，池底建造单价为80元/2m ，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过m 16，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．72．已知函数)(x f ＝22x x a x＋＋，),1[+∞∈x . (1)当4=a 时，求函数)(x f 的最小值；(2)若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，试求实数a 的取值范围．73．已知函数()|2|,*f x m x m R =--∈，且(2)0f x +≥的解集为[]1,1-．（1）求m 的值；（2）若,,a b c R +∈，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥． 74．已知正实数a 、b 、c 满足条件3a b c ++=， （13a b c ≤；（2）若c ab =，求c 的最大值．75．已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥76．(1)的最大值； (2)，求正数a 的值．77．若对任意0>x ，恒成立，求a 的取值范围． 78．（本小题满分12分）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C （万元）与隔热层厚度x （厘米）满足关系式：()()10053≤≤+=x x k x C ，若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元.设()x f 为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.（I ）求)(x C 和()x f 的表达式；（II ）当陋热层修建多少厘米厚时，总费用()x f 最小，并求出最小值.79．(14分)某公司在安装宽带网时，购买设备及安装共花费5万元.该公司每年需要向电信部门交纳宽带使用费都是5.0万元,公司用于宽带网的维护费每年各不同，第一年的维护费是1.0万元，以后每年比上一年增加1.0万元.（1）该公司使用宽带网满5年时，累计总费用（含购买设备及安装费用在内）是多少?（2）该公司使用宽带网多少年时，累计总费用的年平均值最小？80．某化工企业2016年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是5.0万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．(1)求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y (万元)；(2)为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？81．已知0,0>>y x ，求证：114x y x y≥＋＋. 82．设y x z +=2，式中变量满足下列条件：4335251x y x y x ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－－，＋，，求z 的最大值和最小值．83．设函数()2,f x x a a =-∈R .（1）若不等式1)(<x f 的解集为{}31|<<x x ，求a 的值；（2）若存在0x ∈R ，使3)(00<+x x f ，求a 的取值范围.84．某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为x 米，钢筋网的总长度为y 米．（1）列出y 与x 的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？（3）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？85．已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立．1．B【解析】由得参考答案得，，所以，因为，所以当时，有最小值，选 B.2．C【解析】由题意知，即，所以。