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第五章
留数及其应用
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一．孤立奇点的定义：
若函数 f ( z ) 在z0 不解析， 但在 0 | z z0 | 内解析， 则 z0 称为 f ( z ) 的孤立奇点。
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2
说明：如 , e
z
1
1/ z
都是以 z=0
为孤立奇点；但不是所有 的奇点都是孤立的。
当m=2n时，C-1=0 当m=2n+1时,通项为：
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0 m 1 0 m 2n m 1 1 (1) 2 m 2n 1 (m 1)! n 1, 2....
1 cos z Res[ , 0] m z
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39
( z z0 ) f ( z ) C m
m
C1 ( z z0 )
m
m 1
C0 ( z z0 )
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40
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41
C1 Res[ f ( z ), z0 ]
1 (m 1)!
lim[( z z0 ) f ( z )]


由留数定理，得
2πi
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1
| |
1
f(
1


)
1
2
d Res[ f (
1

)
1
2
, 0]
53
例5
计算积分
dz ( z i) ( z 1)( z 3)
10
C
, 其中，
C为正向圆周：z | 2. |
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思考题
1．孤立奇点是怎样定义的？
证：考虑充分大的正数R，使z1 , , zn全在 | z | R内，于是，由留数定理得
2πi
但这时有
1
| z| R
f ( z )dz
Res[ f ( z ), z
k 1
n
k
],
2πi
n
1
| z| R
f ( z )dz
Res[ f ( z ), ]
51
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2
其中，C0 g ( z0 ) 0。
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16
f
(n)
( z0 ) 0, (n 0,1, 2,, m 1) f
( m)
( z0 ) 0
17
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f ( z)
nm
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f
(n)
( z0 )
n!
( z z0 )
n
如果f ( z )在R | z | 的洛朗展开式为 f ( z)
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n
C

n
z 则有Res[ f , ] C 1
n
50
定理8
如果f ( z )在扩充复平面上只有有限个孤立
奇点（包括无穷远点在内），设为z1 , z2 , , zn , , 则f ( z )在各点的留数总和为零。
k
所以 z kπ 都是 sin z 的一级零点， 也就是
1 sin z
的一级极点。
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23
例3
z 0是
e 1 z
z
z
4
的几级极点？
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函数在无穷远点的性态
定义3 设函数f ( z )在无穷远点的邻域 R | z | <+（相当于有限点的去心邻域）
2
C m g ( z0 ) 0
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8
3．本性奇点：
若 f ( z ) 的 Laurent 展开式中 有无穷多个 ( z z0 ) 的负幂项， 则 z0 称为 f ( z ) 的本性奇点。
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10
注：设函数f ( z )在0 | z - z 0 | (0< +) 内解析。那么，
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2．留数定理：
2012为 求f(z)在C中各孤立奇点的 留数之和。
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35
f ( z )dz Res[ f ( z ), z 2πi
C k 1
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2πi
1
| |
1
f(
1


)
1
2
d
(| |

为正向）
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由于f ( z )在 | z | 内解析，从而f ( 在0 | |
因此，f ( 1 )
1

)
1


内解析，
在 | | 1 内 除 =0外 没 有 其 他 奇 点 。
1
2
m z z0
( m 1)
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规 则 3. 设 f ( z )
P(z) Q (z)
。 P ( z )和 Q ( z )在 z0都 解 析 。
如 果 P ( z 0 ) 0, Q ( z 0 ) 0, Q '( z 0 ) 0，
那 么 z 0 为 f ( z )的 一 级 极 点 。 则
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(1)
在（5.4)式中，如果当n 1, 2, 3,时，
Cn 0, 那么z 是函数f ( z )的可去奇点。
（2）在(5.4)式中，如果只有有限个（至少一个）整数 n 0, 使得Cn 0, 那么，z 是函数f ( z )的极点。
（3）在（5.4)式中，如果有无穷个整数n 0, 使得Cn 0，那么z 是函数f ( z )的本性奇点。
若 f ( z ) 的 Laurent 展开式中 只有有限多个 ( z z0 ) 的 负幂项，且其中 ( z z0 ) 的最高幂项为 ( z z0 )
m 1
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7
其中
g ( z ) C m C m1 ( z z0 ) C m 2 ( z z0 )
z z0
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例1
求函数
1 z ( z 2)( z 5)
在各孤立奇点处的留数。
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m 0
解 用洛朗展开式：
1 z
m
(
z
2
... (1)
n 1
z
2n
)
2!
(2n)!
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当m=1时，C-1=0
内为解析，则无穷远点就称为f ( z )的孤立奇点。
在R | z | 内，f ( z )有洛朗级数展开式
f ( z)
其中Cn
n
C
1

n
z
n
( R | z | ),
f ( ) d
(5.4)
2πi
| |

n 1
( R, n 0, 1, 2,)
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定理6
设函数f ( z )在区域R | z | （R 0）内
解析，那么，z 是f ( z )的可去奇点、极点或本 性奇点的充分必要条件是：存在着有限、无穷 极限 lim f ( z )或不存在有限或无穷的极限 lim f ( z )。
z z
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2．孤立奇点是怎样分类的？
3．零点与极点的关系如何？ 4．如何判断m级极点？
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1
n
k
]
36
3．留数计算规则:
规则 1 如果 z0 为 f ( z ) 的一级极点,则
Res[ f ( z ), z0 ]
lim( z z
z z0
0
) f (z)
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证明：因为z0为 f ( z )的一级极点
f ( z) 1 z z0 g ( z)

C1 z z0
m
其中 g ( z ) 在 z0 解析且 g ( z0 ) 0 ，
m 为正整数，
则 z0 称为 f ( z ) 的 m 阶零点。
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如f ( z ) z ( z 1)
5
3
z 0是f ( z )的5阶零点
z 1是f ( z )的3阶零点
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C只包含一个奇点z0
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所以 f ( z )dz 2πiC1
C
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例 求ze 在孤立奇点0处的留数。
1 z
解：由于在0 | z | 内，
ze
1 z
z 1
1 z
1 2! z

1 3! z
1
2

所以Res[ ze , 0] 2！
故得 Re s[ f ( z ), zk ] Res[ f , ] 0
k 1
法则4
Res[ f ( z ), ] Res[ f ( 1 ) z
1
1 z
2
, 0]
证：在无穷远点的留数定义中，设z e , 并设z
i

, 则有 re (r 1/ , ), 于是有