八年级数学第十五章整式的乘除与因式分解章讲解

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人教版数学八上第十五章“整式的乘除与因式分解”简介

第十五章“整式的乘除与因式分解”简介人民教育出版社中学数学室左怀玲俞求是人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》第十五章是“整式的乘除与因式分解”。

本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解。

本章内容建立在已经学习了的有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上。

整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义，同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识。

本章共安排了4个小节，教学时间约需13课时（供参考）：15．1 整式的乘法4课时15．2 乘法公式2课时15．3 整式的除法2课时15．4 因式分解3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容本章共包括4节15．1 整式的乘法整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。

本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。

其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，教科书把它们依次安排在前三个小节中，教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。

在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第四小节安排一般整式乘法的教学内容。

首先是单项式与单项式相乘，由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是熟练地进行单项式与单项式相乘，因此，对于单项式与单项式相乘的教学应该予以充分重视。

在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上，教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，这样使整式乘法运算的教学从简到繁，由易到难，层层递进。

15．2 乘法公式本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式。

乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题，教科书在本节开始首先指出了这一点。

八年级上数学整式的乘除与因式分解基本知识点

整式是一个或多个代数式的和、差或积。

整式的乘除与因式分解是数学中非常重要的概念，是解决各种代数问题的基础。

本文将详细介绍八年级上数学中整式的乘除与因式分解的基本知识点。

一、整式的乘法1.1 单项式的乘法：单项式的乘法是指单项式与单项式之间的乘法。

例如：2x ×3y = 6xy，-4a^2 × 5b^3 = -20a^2b^31.2多项式的乘法：多项式的乘法是指多项式与多项式之间的乘法。

例如：(3x+2)(x-1)=3x^2+x-2二、整式的除法2.1 单项式的除法：单项式的除法是指单项式除以单项式。

例如：4x^2 ÷ x = 4x，10a^3b^2 ÷ 2ab = 5a^2b。

2.2多项式的除法：多项式的除法是指多项式除以多项式。

例如：(12x^3+9x^2+3x)÷3x=4x^2+3x+1三、整式的因式分解整式的因式分解是将一个整式写成几个整式的乘积的形式，其中每个整式都是原来整式的因式。

例如：12x^2+8xy，将其因式分解为4x(3x+2y)。

3.1 提取公因式：如果一个整式的每一项都能被同一个整式整除，那么这个公因式就是整式的一个因子。

例如：12x^2+8xy，公因式是4x。

3.2分解差的平方：差的平方是指形如"一个数的平方减另一个数的平方"的表达式。

例如：x^2-9，可因式分解为(x-3)(x+3)。

3.3 分解二次三项式：二次三项式是指形如"一个平方项加两个相同系数的次项"的表达式。

例如：x^2+2xy+y^2，可因式分解为(x+y)^2四、习题例析例1：将多项式4x^2+16x因式分解。

解：这个多项式2x的平方加4x的倍数，所以可以因式分解为4x(x+4)。

例2：将多项式a^2-9因式分解。

解：由差的平方公式可得，a^2-9=(a-3)(a+3)。

例3：将多项式4x^2y^2-8xy^2因式分解。

初二数学整式的乘除和因式分解

初二数学整式的乘除和因式分解教案计划一、知识点总结：1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

2、幂的乘法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

3、积的乘法则：积的乘方，等于各因数乘方的积。

4、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

5、零指数和负指数；6、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

8、多项式与多项式相乘的法则。

二、例题讲解：1、(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^22、(-3)^5=(-3)(-3)(-3)(-3)(-3)= -2433、(2x^2y^3z)(-3xy)= -6x^3y^4z4、(ab)/(a)=b5、2^-3=1/(2^3)=1/86、(-2x^2y^3z)(3xy)= -6x^3y^4z7、2x(2x-3y)-3y(x+y)=4x^2-6xy-3xy-3y^2=4x^2-9xy-3y^28、(3a+2b)(a-3b)=3a^2-7ab-6b^29、单项式的除法法则：单项式相除时，先将系数相除，再将同底数幂相除，将商的因式作为结果，对于只在被除式中含有的字母，则将其连同指数作为商的一个因式。

例如，-7abm÷49ab可以化简为-1/7m。

10、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式时，先将多项式的每一项除以单项式，然后将所有商相加。

例如，(am+bm+cm)÷m可以化简为a+b+c。

11、平方差公式：平方差公式展开只有两项，左边是两个二项式相乘，其中一个二项式的两项互为相反数，右边是相同项的平方减去相反项的平方。

例如，(a+b)(a-b)=a^2-b^2.12、完全平方公式：完全平方公式展开有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

人教版八年级上册第十五章整式的乘除和因式分解全章教案

第十五章整式的乘除与因式分解15.1.1同底数幂的乘法教学目标1．知识与技能在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用．2．过程与方法经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力．3．情感、态度与价值观在小组合作交流中，培养协作精神、探究精神，增强学习信心．重、难点与关键1．重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用．2．难点：同底数幂的乘法的法则的应用．3．关键：幂的运算中的同底数幂的乘法教学，要突破这个难点，•必须引导学生，循序渐进，合作交流，获得各种运算的感性认识，进而上各项到理性上来，提醒学生注意－a2与（－a）2的区别．教学方法采用“情境导入──探究提升”的方法，让学生从生活实际出发，认识同底数幂的运算法则．教学过程一、创设情境，故事引入【情境导入】“盘古开天壁地”的故事：公元前一百万年，没有天没有地，整个宇宙是混浊的一团，突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了，他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流．【教师提问】盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢？你可以计算一下，太阳到地球的距离是多少？光的速度为3×105千米/秒，太阳光照射到地球大约需要5×102秒，•你能计算出地球距离太阳大约有多远呢？【学生活动】开始动笔计算，大部分学生可以列出算式：3×105×5×102=15•×105×102=15×？（引入课题）【教师提问】到底105×102=？同学们根据幂的意义自己推导一下，现在分四人小组讨论．【学生活动】分四人小组讨论、交流，举手发言，上台演示．计算过程：105×102=（10×10×10×10×10）×（10×10）=10×10×10×10×10×10×10=107【教师活动】下面引例．1．请同学们计算并探索规律．（1）23×24=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2( )；（2）53×54=_____________=5( )；（3）（－3）7×（－3）6=___________________=（－3）( )；（4）（110）3×（110）=___________=（110）( )；（5）a 3·a 4=________________a ( )．提出问题：①这几道题目有什么共同特点？②请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？【学生活动】独立完成，并在黑板上演算．【教师拓展】计算a ·a=？请同学们想一想．【学生总结】a ·a=()()()()m a a m n a a aa a a a a a a a +=个n个个=a m+n这样就探究出了同底数幂的乘法法则．二、范例学习，应用所学【例】计算：（1）103×104；（2）a ·a 3；（3）a ·a 3·a 5；（4）x ·x 2+x 2·x【思路点拨】（1）计算结果可以用幂的形式表示．如（1）103×104=103+4=107，但是如果计算较简单时也可以计算出得数．（2）注意a是a 的一次方，•提醒学生不要漏掉这个指数1，x 3+x 3得2x 3，提醒学生应该用合并同类项．（3）上述例题的探究，•目的是使学生理解法则，运用法则，解题时不要简化计算过程，要让学生反复叙述法则．【教师活动】投影显示例题，指导学生学习．【学生活动】参与教师讲例，应用所学知识解决问题．三、随堂练习，巩固深化课本练习题．【探研时空】据不完全统计，每个人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中约含有3.34×1019个水分子，那么，每个人每年要用去多少个水分子？四、课堂总结，发展潜能1．同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，•使用方法：乘积中，幂的底数不变，指数相加．2．应用时可以拓展，例如含有三个或三个以上的同底数幂相乘，仍成立，•底数和指数，它既可以取一个或几个具体数，由可取单项式或多项式．3．运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆．五、布置作业，专题突破1．课本P148习题15．1第1（1），（2），2（1）题．2．选用课时作业设计．板书设计15.1.1同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法法则例：练习：15.1.2 幂的乘方教学目标1．知识与技能理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质．2．过程与方法经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通过情境教学，培养学生应用能力．3．情感、态度与价值观培养学生合作交流意义和探索精神，让学生体会数学的应用价值．重、难点与关键1．重点：幂的乘方法则．2．难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用．3．关键：要突破这个难点，在引导这个推导过程时，步步深入，层层引导，•要求对性质深入地理解．教学方法采用“探讨、交流、合作”的教学方法，让学生在互动交流中，认识幂的乘方法则．教学过程一、创设情境，导入新知【情境导入】大家知道太阳，木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，•木星的半径是地球半径的102倍，太阳的半径是地球半径的103倍，假如地球的半径为r ，那么，•请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？（球的体积公式为V=43πr 3）【学生活动】进行计算，并在黑板上演算．解：设地球的半径为1，则木星的半径就是102，因此，木星的体积为V 木星=43π·（102）3=？（引入课题）．【教师引导】（102）3=？利用幂的意义来推导．【学生活动】有些同学这时无从下手．【教师启发】请同学们思考一下a 3代表什么？（102）3呢？【学生回答】a 3=a ×a ×a ，指3个a 相乘．（102）3=102×102×102，就变成了同底数幂乘法运算，根据同底数幂乘法运算法则，底数不变，指数相加，102×102×102=102+2+2=106，•因此（102）3=106．【教师活动】下面有问题：利用刚才的推导方法推导下面几个题目：（1）（a 2）3；（2）（24）3；（3）（b n ）3；（4）－（x 2）2．【学生活动】推导上面的问题，个别同学上讲台演示．【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目，推导一下（a ）的结果是多少？【学生活动】归纳总结并进行小组讨论，最后得出结论：（a m ）n =()n mm m mm m m m a a a a a +++=个n 个= a mn．评析：通过问题的提出，再依据“问题推进”所导出的规律，利用乘方的意义和幂的乘法法则，让学生自己主动建构，获取新知：幂的乘方，底数不变，指数相乘．二、范例学习，应用所学【例】计算：（1）（103）5；（2）（b 3）4；（3）（x n ）3；（4）－（x 7）7．【思路点拨】要充分理解幂的乘方法则，准确地运用幂的乘方法则进行计算．【教师活动】启发学生共同完成例题．【学生活动】在教师启发下，完成例题的问题：并进一步理解幂的乘方法则：解：（1）（103）5=103×5=1015；（3）（x n）3=x n×3=x3n；（2）（b3）4=b3×4=b12；（4）－（x7）7=－x7×7=－x49．三、随堂练习，巩固练习课本P143练习．【探研时空】计算：－x2·x2·（x2）3+x10．【教师活动】巡视、关注中等、中下的学生，媒体显示练习题．【学生活动】书面练习、板演．四、课堂总结，发展潜能1．幂的乘方（a m）n=a mn（m，n都是正整数）使用范围：幂的乘方．方法：底数不变，指数相乘．2．知识拓展：这里的底数、指数可以是数，可以是字母，•也可以是单项式或多项式．3．幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于，一个是“指数相乘”，•一个是“指数相加”．五、布置作业，专题突破课本P148习题15．1第1、2题．板书设计15.1.2 幂的乘方1、幂的乘方的乘法法则例：练习：15.1.3 积的乘方教学目标1．知识与技能通过探索积的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义，在推理得出积的乘方的运算性质的过程中，领会这个性质．2．过程与方法经历探索积的乘方的过程，发展学生的推理能力和有条理的表达能力，培养学生的综合能力．3．情感、态度与价值观通过小组合作与交流，培养学生团结协作的精神和探索精神，有助于塑造他们挑战困难，挑战生活的勇气和信心．重、难点与关键1．重点：积的乘方的运算．2．难点：积的乘方的推导过程的理解和灵活运用．3．关键：要突破这个难点，教师应该在引导这个推导过程时，步步深入，•层层引导，而不该强硬地死记公式，只有在理解的情况下，才可以对积的乘方的运算性质灵活地应用．教学方法采用“探究──交流──合作”的方法，让学生在互动中掌握知识．教学过程一、回顾交流，导入新知【教师活动】提问学生在前面学过的同底数幂的运算法则；幂的乘方运算法则的内容以及区别．【学生活动】踊跃举手发言，解说老师的提问．【课堂演练】计算：（1）（x4）3（2）a·a5（3）x7·x9（x2）3【学生活动】完成上面的演练题，并从中领会这两个幂的运算法则．【教师活动】巡视，关注学生的练习，并请3位学生上台演示，•然后再提出下面的问题．同学们思考怎样计算（2a3）4，每一步的根据是什么？【学生活动】先独立完成上面的问题，再小组讨论．（2a3）4=（2a3）·（2a3）·（2a3）·（2a3）（乘方的含义）=（2·2·2·2）·（a3·a3·a3·a3）（乘法交换律、结合律）=24·a12（乘方的意义与同底数幂的乘法运算）=16a12【教师活动】提出应用以上分析问题的过程，再计算（ab）4，说出每一步的根据是什么？【学生活动】独立思考之后，再与同学交流．（ab）4=（ab）·（ab）·（ab）·（ab）（乘方的含义）=（aaaa）·（bbbb）（交换律、结合律）=a4·b4（乘方的含义）【教师提问】（1）请同学们通过计算，观察乘方结果之后，•你能得出什么规律？（2）如果设n为正整数，将上式的指数改成n，即：（ab）n，其结果是什么？【学生活动】回答出（ab ）n =a n b n ．【师生共识】我们得到了积的乘方法则：（ab ）n =a n b n （n 为正整数），这就是说，积的乘方等于积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab ）n =()()()()()n n n ab ab ab aaa a b b b b 个个个=a n b n【教师活动】拓展训练：三个或三个以上的积的乘方，如（abc ）n ，【学生活动】回答出结果是（abc ）n =a n b n c n．二、范例学习，应用所学【例】计算：（1）（2b ）3；（2）（2×a 3）2；（3）（－a ）3；（4）（－3x ）4．【教师活动】组织、讲例、提问．【学生活动】踊跃抢答．三、随堂练习，巩固深化课本P144练习．【探研时空】计算下列各式：（1）（－35）2·（－35）3；（2）（a －b ）3·（a －b ）4；（3）（－a 5）5；（4）（－2xy ）4；（5）（3a 2）n ；（6）（xy 3n ）2－[（2x ）2] 3；（7）（x 4）6－（x 3）8；（8）－p ·（－p ）4；（9）（t m ）2·t ；（10）（a 2）3·（a 3）2．四、课堂总结，发展潜能本节课注重课堂引入，激发学生兴趣，“良好开端等于成功一半”．1．积的乘方（ab ）n =a n b n （n 是正整数），使用范围：底数是积的乘方．方法：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．2．在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数，•也可以是整式，对三个以上因式的积也适用．3．要注意运算过程，注意每一步依据，还应防止符号上的错误．4．在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别和联系．五、布置作业，专题突破1．课本P148习题15．1第1、2题．板书设计15.1.3 积的乘方1、积的乘方的乘法法则例：练习：15.1.4 单项式乘以单项式教学目标1．知识与技能理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算．2．过程与方法经历探索单项式乘以单项式的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力．3．情感、态度与价值观培养学生推理能力、计算能力，通过小组合作与交流，增强协作精神．重、难点与关键1．重点：单项式乘法运算法则的推导与应用．2．难点：单项式乘法运算法则的推导与应用．3．关键：通过创设一定的问题情境，•推导出单项式与单项式相乘的运算法则，可以采用循序渐进的方法突破难点．教学方法采用“情境──探究”的教学方法，让学生在创设的情境之中自然地领悟知识．教学过程一、创设情境，操作导入【手工比赛】让学生在课前准备一张自己最满意的照片，自己制作一个美丽的像框．上课之后，首先来做游戏，“才艺大献”，把自己的照片加一个美丽的像框，看谁在10分钟之内，可以装饰出美丽的照片，谁的最好，老师就送他个好礼物．【教师活动】组织学生参加“才艺比赛”．【学生活动】完成上述手工制作，与同伴交流．【教师引导】在学生完成之后，教师拿出一张美丽的风景照片，提出问题：你们看这幅美丽的风景图片，如何装饰它会更漂亮？【学生回答】加一个美丽的像框．【引入课题】假如要加一个美丽的像框，需要知道这幅图片的大小，现在告诉你，图片的长为mx，宽为x，你能计算出图片的面积吗？【学生活动】动手列式，图片的面积为mx·x=？【教师提问】对于mx·x=？的问题，前面我们已学习了乘法的运算律以及幂的运算法则，现在请你运用已学知识推导出它的结果．【学生活动】先独立思考，再与同伴交流．实际上mx·x=m（x·x）=m·x2=mx2．【拓展延伸】请同学们继续计算mx·54x=？【学生活动】先独立完成，再与同伴交流，踊跃上台演示．mx·54x=m·54x·x=m·54x2=54mx2．【教师活动】请部分学生上台演示，然后大家共同讨论．【继续探究】计算：（1）x·mx；（2）2a2b·3ab3；（3）（abc）·b2c．【学生活动】独立完成，再与同学交流．【教师活动】总结新知：我们根据自己做的题目的原则，得到单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，放在积的因式中．二、范例学习，应用所学【例1】计算．（1）3x2y·（－2xy3）（2）（－5a2b3）·（－4b2c）【思路点拨】例1的两个小题，可先利用乘法交换律、•结合律变形成数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘的形式，单独一个字母照抄．【例2】卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×103米/秒，•则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少？【教师活动】：引导学生参与到例1，例2的解决之中．【学生活动】参与到教师的讲例之中，巩固新知．三、问题讨论，加深理解【问题牵引】1．a·a可以看作是边长为a的正方形的面积，a·ab又怎样理解呢？2．想一想，你会说明a·b，3a·2a以及3a·5ab的几何意义吗？【教师活动】问题牵引，引导学生思考，提问个别学生．【学生活动】分四人小组，合作学习．四、随堂练习，巩固深化课本P145练习第1、2题．五、课堂总结，发展潜能本节内容是单项式乘以单项式，重点是放在对运算法则的理解和应用上．提问：（1）请同学们归纳出单项式乘以单项式的运算法则．（2）在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意些什么？六、布置作业，专题突破1．课本P149习题15．1第3题．2．选用课时作业设计．板书设计15.1.4 单项式乘以单项式1、单项式乘以单项式的乘法法则例：练习：15.1.5 单项式与多项式相乘教学目标1．知识与技能让学生通过适当尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算．2．过程与方法经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理地思考及语言表达能力．3．情感、态度与价值观培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值．重、难点与关键1．重点：单项式与多项式相乘的法则．2．难点：整式乘法法则的推导与应用．3．•关键：应用乘法分配律把单项式与多项式相乘转化到单项式与单项式相乘上来，注意知识迁移．教学方法采用“情境──探究”教学方法，让学生直观地理解单项式与多项式相乘的法则．教学过程一、回顾交流，课堂演练1．口述单项式乘以单项式法则．2．口述乘法分配律．3．课堂演练，计算：（1）（－5x）·（3x）2（2）（－3x）·（－x）（3）13xy·23xy2（4）－5m2·（－13mn）（5）－15x4y6－2x2y·（－12x2y5）【教师活动】组织练习，关注中下水平的学生．【学生活动】先独立完成上述“演练题”，再相互交流，部分学生上台演示．二、创设情境，引入新课小明作了一幅水彩画，所用纸的大小如图1，她在纸的左右两边各留了16a米的空白，请同学们列出这幅画的画面面积是多少？【学生活动】小组合作，讨论．【教师活动】在学生讨论的基础上，提问个别学生．【情境问题2】夏天将要来临，有3家超市以相同价格n•（单位：元／台）销售A牌空调，他们在一年内的销售量（单位：台）分别是x，y，z，•请你采用不同的方法计算他们在这一年内销售这种空调的总收入．【学生活动】分四人小组，与同伴交流，寻求不同的表示方法．方法一：首先计算出这三家超市销售A牌空调的总量（单位：台），•再计算出总的收入（单位：元）．即：n（x+y+z）．方法二：采用分别计算出三家超市销售A牌空调的收入，•然后再计算出他们的总收入（单位：元）．即：nx+ny+nz．由此可得：n（x+y+z）=nx+ny+nz．【教师活动】引导学生在不同的代数式呈现中，找到规律：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加．三、范例学习，应用所学【例1】计算：（－2a2）·（3ab2－5ab3）．解：原式＝（－2a2）（3ab2）－（－2a2）·（5ab3）=－6a3b2+10a3b3【例2】化简：－3x2·（13xy－y2）－10x·（x2y－xy2）解：原式=－x3y+3x2y2－10x3y+10x2y2=－11x3y+13x2y2【例3】解方程：8x（5－x）=19－2x（4x－3）40x－8x2=19－8x2+6x40x－6x=1934x=19x=1934四、随堂练习，巩固深化课本P146练习．【探研时空】计算：（1）5x2（2x2－3x3+8）（2）－16x（x2－3y）（3）－2a2（12ab2+b4）（4）（23x2y3－16xy）·12xy2【教师活动】巡视，关注中差生．五、课堂总结，发展潜能1．单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，•就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．2．单项式与多项式相乘，应注意（1）“不漏乘”；（2）注意“符号”．六、布置作业，专题突破课本P149习题15．1第4、6题．板书设计15.1.5 单项式乘以多项式1、单项式乘以多项式的乘法法则例：练习：15.1.6 多项式与多项式相乘教学目标1．知识与技能让学生理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算．2．过程与方法经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，体会其运算的算理．3．情感、态度与价值观通过推理，培养学生计算能力，发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯．重、难点与关键1．重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用．2．难点：多项式与多项式的乘法法则的应用．3．•关键：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘而后再应用已学过的运算法则解决．教学方法采用“情境──探索”教学方法，让学生在设置的情境中，通过操作感知多项式与多项式乘法的内涵．教学过程一、创设情境，操作感知【动手操作】首先，在你的硬纸板上用直尺画出一个矩形，并且分成如下图1•所示的四部分，标上字母．【学生活动】拿出准备好的硬纸板，画出上图1，并标上字母．【教师活动】要求学生根据图中的数据，求一下这个矩形的面积．【学生活动】与同伴交流，计算出它的面积为：（m+b）×（n+a）．【教师引导】请同学们将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开，分成如下图两部分，如图2．剪开之后，分别求一下这两部分的面积，再求一下它们的和．【学生活动】分四人小组，合作探究，求出第一块的面积为m（n+a），第二块的面积为b（n+a），它们的和为m（n+a）+b（n+a）．【教师活动】组织学生继续沿着横的线段剪开，将图形分成四部分，如图3，•然后再求这四块长方形的面积．【学生活动】分四人小组合作学习，求出S1=mn；S2=nb；S3=am；S4=ab，•它们的和为S=mn+nb+am+ab．【教师提问】依据上面的操作，求得的图形面积，探索（m+b）（n+a）应该等于什么？【学生活动】分四人小组讨论，并交流自己的看法．（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab，因为我们三次计算是按照不同的方法对同一个矩形的面积进行了计算，那么，两次的计算结果应该是相同的，所以（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab．【师生共识】多项式与多项式相乘，用第一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．字母呈现：=ma+mb+na+nb．二、范例学习，应用所学【例1】计算：（1）（x+2）（x－3）（2）（3x－1）（2x+1）【例2】计算：（1）（x－3y）（x+7y）（2）（2x+5y）（3x－2y）【例3】先化简，再求值：（a－3b）2+（3a+b）2－（a+5b）2+（a－5b）2，其中a=－8，b=－6．【教师活动】例1～例3，启发学生参与到例题所设置的计算问题中去．【学生活动】参与其中，领会多项式乘法的运用方法以及注意的问题．三、随堂练习，巩固新知课本P148练习第1、2题．【探究时空】一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a•米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小），问台面面积是多少？四、课堂总结，发展潜能1．多项式与多项式相乘，•应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果，利用乘法分配律来理解（m+n）与（a+b）相乘的结果，导出多项式乘法的法则．2．多项式与多项式相乘，第一步要先进行整理，•在用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项时，要“依次”进行，不重复，不遗漏，且各个多项式中的项不能自乘，多项式是几个单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号．五、布置作业，专题突破课本P149习题15．1第5、6、7（2）、9、10题．板书设计15.1.6 多项式乘以多项式1、多项式乘以多项式的乘法法则例：练习：15.2.1平方差公式（一）教学目标1．知识与技能会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算．2．过程与方法经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．3．情感、态度与价值观通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性．重、难点与关键1．重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解．2．难点：平方差公式的应用．3．关键：对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、•总结、猜想，然后得出结论来突破；抓住平方差公式的本质特征，是正确应用公式来计算的关键．教学方法采用“情境──探究”的教学方法，让学生在观察、猜想中总结出平方差公式．教学过程一、创设情境，故事引入【情境设置】教师请一位学生讲一讲《狗熊掰棒子》的故事【学生活动】1位学生有声有色地讲述着《狗熊掰棒子》的故事，•其他学生认真听着，不时补充．【教师归纳】听了这则故事之后，同学们应该懂得这么一个道理，学习千万不能像狗熊掰棒子一样，前面学，后面忘，那么，上节课我们学习了什么呢？还记得吗？【学生回答】多项式乘以多项式．【教师激发】大家是不是已经掌握呢？还是早扔掉了呢？和小狗熊犯了同样的错误呢？下面我们就来做这几道题，看看你是否掌握了以前的知识．【问题牵引】计算：（1）（x+2）（x－2）；（2）（1+3a）（1－3a）；（3）（x+5y）（x－5y）；（4）（y+3z）（y－3z）．做完之后，观察以上算式及运算结果，你能发现什么规律？再举两个例子验证你的发现．【学生活动】分四人小组，合作学习，获得以下结果：（1）（x+2）（x－2）=x2－4；（2）（1+3a）（1－3a）=1－9a2；（3）（x+5y）（x－5y）=x2－25y2；（4）（y+3z）（y－3z）=y2－9z2．【教师活动】请一位学生上台演示，然后引导学生仔细观察以上算式及其运算结果，寻找规律．【学生活动】讨论【教师引导】刚才同学们从上述算式中找到了这一组整式乘法的结果的规律，这些是一类特殊的多项式相乘，那么如何用字母来表现刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢？【学生回答】可以用（a+b）（a－b）表示左边，那么右边就可以表示成a2－b2了，即（a+b）（a－b）=a2－b2．用语言描述就是：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．【教师活动】表扬学生的探索精神，引出课题──平方差，并说明这是一个平方差公式和公式中的字母含义．二、范例学习，应用所学【教师讲述】平方差公式的运用，关键是正确寻找公式中的a和b，只有正确找到a和b，•一切就变得容易了．现在大家来看看下面几个例子，从中得到启发．【例1】运用平方差公式计算：（1）（2x+3）（2x－3）；（2）（b+3a）（3a－b）；（3）（－m+n）（－m－n）．填表：(a+b)(a－b) a b a2－b2结果(2x+3)(2x －3) 2x(2x)2－32(b+3a)(3a－b)(－m+n)(－m－n)【例2】计算：（1）103×97（2）（3x－y）（3y－x）－（x－y）（x+y）通过做题，应该总结出：在两个因式中，符号相同的一项作a，符号不同的一项作b．三、随堂练习，巩固新知课本P153练习第1、2题．四、课堂总结，发展潜能本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a，•第二个数b；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．五、布置作业，专题突破课本P156第1、2题．板书设计15.2.1平方差公式（一）1、平方差公式例：（a+b）（a－b）=a2－b2练习：15.2.1平方差公式（二）教学目标1．知识与技能探究平方差公式的应用，熟练地应用于多项式乘法之中．2．过程与方法经历平方差公式的运用过程，体会平方差公式的内涵．3．情感、态度与价值观培养良好的运算能力，以及观察事物的特征的能力，感受到学习数学知识的实际价值．重、难点与关键1．重点：运用平方差公式进行整式计算．2．难点：准确把握运用平方差公式的特征．3．关键：弄清平方差公式的结构特点，左边：（1）两个二项式的积；（2）•两个二项式中一项相同，另一项互为相反数．右边：（1）二项式；（2）两个因式中相同项平方减去互为相反数的项的平方．教学方法采用“精讲．精练”分层递推的教学方法，让学生在训练中，熟练掌握平方差的特征．教学过程一、回顾交流，课堂演练1．用平方差公式计算：（1）（－9x－2y）（－9x+2y）（2）（－0.5y+0.3x）（0.5y+0.3x）（3）（8a2b－1）（1+8a2b）（4）20082－2009×20072．计算：（a+12b）（a－12b）－（3a－2b）（3a+2b）。

人教版八年级数学上册第十五章整式的乘除与因式分解(教案)

（1）多项式乘以多项式的法则：熟练掌握多项式乘法法则，特别是字母表示的项相乘时的符号处理和合并同类项。
举例：计算（a+b）（c+d），重点强调如何正确处理符号和合并同类项。
（2）多项式乘以单项式的法则：理解和运用单项式乘以多项式的法则，注意乘法分配律的应用。
举例：计算3x（2x^2+4x-1），重点在于如何将单项式3x分别与多项式中的每一项相乘。
（3）平方差公式和完全平方公式的应用：掌握平方差公式（a^2-b^2）和完全平方公式（a^2±2ab+b^2），并能灵活运用到实际计算中。
举例：化简表达式a^2-4，重点在于应用平方差公式得到（a+2）（a-2）。
（4）因式分解的方法：掌握提公因式法、平方差公式法和完全平方公式法，能够将多项式分解为整式的乘积。
3.平方差公式：掌握平方差公式的结构特点，能够灵活运用平方差公式进行乘法运算。
4.完全平方公式：理解并掌握完全平方公式的结构，学会运用完全平方公式进行乘法运算。
5.因式分解：掌握提公因式法、平方差公式法和完全平方公式法等因式分解方法，解决实际问题。
本节课将结合实际例题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
在学生小组讨论环节，我注意到有些学生在分享成果时表达不够清晰，可能是因为他们在讨论过程中没有充分整理自己的思路。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强学生的语言表达训练，让他们学会如何条理清楚地表达自己的观点。
最后，总结回顾环节，我发现在这个阶段，部分学生仍然存在疑问。这说明我在课堂上的讲解和引导可能还不够到位，需要进一步关注学生的学习反馈，及时调整教学方法，提高教学效果。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了整式的乘除与因式分解，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。首先，我在导入新课环节提出了与日常生活相关的问题，希望通过这种方式激发学生的兴趣，但从学生的反应来看，可能问题设置得还不够贴近他们的实际经验，导致部分学生的参与度不高。在今后的教学中，我需要更加注意问题的设计，使其更具有针对性和吸引力。

人教版八年级数学上册教案第十五章整式的乘除与因式分解

人教版八年级数学上册教案第十五章整式的乘除与因式分解一、教学目标1.理解整式的乘法和除法运算的意义和性质；2.掌握整式的乘法和除法的计算方法；3.掌握整式的因式分解方法；4.能够应用所学知识解决相关问题。

二、教学重点1.整式的乘法和除法的计算方法；2.整式的因式分解方法。

三、教学难点整式的因式分解方法。

四、教学准备1.教材《人教版八年级数学上册》；2.录音机、磁带。

五、教学过程1. 导入通过以往学习知识的回顾，复习整式的基本概念和运算法则。

2. 整式的乘法(1) 同底数相乘两个整式的乘法，当因式中的字母及其指数相同时，可以进行相乘。

例如：(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(2) 不同底数相乘两个整式的乘法，当因式中的字母及其指数不同时，先用代数公式展开，再进行合并同类项。

例如：(a+b)(a+c)=a2+ac+ab+bc3. 整式的除法整式的除法是整式的乘法的逆运算。

通过列竖式进行计算，将被除式视作整式的公因式进行除法运算。

例如：(3x2+4x+5)÷(x+2)4. 整式的因式分解(1) 提取公因式法根据整式的乘法运算法则，将整式中所有的项进行拆分，提取公因式。

例如：6xy+9y=3y(2x+3)(2) 公式法利用一些公式和运算性质进行因式分解。

例如：x2+5x+6=(x+3)(x+2)(3) 分组法将待分解的整式中的项进行分组，然后对每个组进行公因式提取。

例如：2x3+xy+3x2y+3y=x(2x2+y)+3y(x2+1)=x(2x2+y)+3y(x2+1)5. 综合练习通过完成一些练习题，巩固和运用所学的整式的乘除和因式分解知识。

六、课堂小结1.整式的乘法和除法是根据乘法和除法的运算法则进行计算的；2.整式的因式分解可以通过提取公因式、使用公式和进行分组等方法进行。

七、课后作业1.完成课后习题；2.预习下一章节内容。

初中数学整式的乘除与分解因式知识点

初中数学整式的乘除与分解因式知识点
整式的乘法与除法是初中数学中的重点内容之一。

下面是一些相关的知识点：
1. 整式的乘法：整式的乘法要注意项的乘法和系数的乘法。

将每一项的系数分别相乘，并将指数分别相加，得到乘积的系数和指数。

例如：(3x+2)(4x-1)
首先扩展，得到12x^2 + 5x - 2。

2. 整式的除法：整式的除法是通过“乘除消数”的方法来完成的。

将除数乘以一个适
当的式子，使得结果与被除式的某个部分相等或尽量接近。

然后将乘积减去被除式，
重复之前的步骤，直到无法再减少为止。

例如：(2x^2 + 5x + 3) ÷ (x + 1)
首先将被除式分解为(x + 1)(2x + 3)，然后进行乘法，得到2x^2 + 5x + 3。

然后将乘积减去被除式，得到0。

所以结果为2x + 3。

3. 因式的分解：整式的因式分解是将一个整式写成几个因式的乘积的形式。

例如：6x^2 + 11x + 3的因式分解为(2x + 1)(3x + 3)。

这些知识点在初中数学中是比较基础的内容，掌握了整式的乘除与分解因式的方法，
将有助于解决更复杂的数学问题。

八年级数学课件第15章整式的乘除与因式分解复习课件1

4、运用公式法时，关建是找出“a”和“b”。
基础练习
1、12mn2和15mn的公因式是3mn .
2、下列各式从左到右的变形中，是分解因式
的是（ C）
A、a(x+y)=ax+ay B、x2-4x+4=x(x-4)+4 C、10x2-5x=5x(2x-1) D、x2-16+3x=(x+4)(x-4)+3x
解:原式= a2 4b2 + a 2b 分组
a 2ba 2b+a 2b 部分分解
a 2ba 2b1 全部分解
a 2ba 2b 1
化简
点评:
1、分组方法可能不唯一，必须去尝试。
2、通常情况下，一二两项为一组或能用公式的为一组。
基础练习
因式分解：
1x2 y2 ax ay 2a2 2ab b2 9x2
因式分解要注意的事项
1、因式分解的定义。 2、因式分解四种方法的优先级别：
⑴提公因式法 ⑵运用公式法 ⑶十字相乘法 ⑷分组分解法
平方差 : a2 b2 a ba b
典型完例全平题方 : a2 2ab b2 a b2
例3：因式分解：
a
b
1.2x3 4x2 2x 2.( x 2)2 (2x 1)2
2x
12
3x
13x
1 5xx
1
，其中
x
1 2
解:原式=4x2 4x 1－（9x2 1）+ 5x2 5x （添加括号）
= 4x2 4x 1 9x2 1 5x2 5x （划分项带符号）
当 x=1x时，2 原式= 1 2 3
2
点评:
22
（必须写出代入过程）
1、乘法公式运用会使运算简便。

八年级数学第十五章整式乘除与因式分解章讲解

八年级数学第十五章?整式的乘除与因式分解?章节测试姓名：学号：班级：分数：一、选择题：〔每题 3 分，共 18 分〕1、以下运算中，正确的选项是( )2· 3 6 a 3 a3 3 a a a2D.〔〕2 5x =x B.( b) = b C.3 +2 =5 x3 = x2、以下从左边到右边的变形，是因式分解的是〔〕〔A〕(3 x)(3 x) 9 x2 〔 B〕m3 n3 ( m n)( m2 mn n2 ) 〔 C〕( y 1)( y 3) (3 y)( y 1) 〔 D〕4yz 2 y2 z z 2y(2z yz) z3、以下各式是完全平方式的是〔〕A、x2 x 1B、1 4x2C、a2 ab b 2D、x2 2x 144、以下多项式中能用平方差公式分解因式的是〔〕〔 A〕a2 ( b) 2 〔 B〕5m2 20 mn 〔 C〕x 2 y 2 〔 D〕x 2 95、如 (x+m) 与 (x+3) 的乘积中不含x 的一次项，那么m的值为〔〕A. – 3B. 3C. 0D. 16、一个正方形的边长增加了2cm ，面积相应增加了32cm2，那么这个正方形的边长为〔〕A 6cmB 5cmC 8cmD 7cm二、填空题：〔每题 3 分，共 18 分〕7、a5 4a 23=_______ ，在实数范围内分解因式a2 6 。

8、当x ___________时，x 4 0 等于 __________ ；2 20029、2003 ___________。

3 10、假设3x=1，3y=2，那么3x－y等于。

2 311、假设9x2 mxy 16y2是一个完全平方式，那么m的值是__________。

7.9 ×103 秒，那么卫星绕地球运8×10三、计算题：〔每题 4 分，共 12 分〕13、(8a3b5a 2b 2 ) 4ab14、(-2a2)(3ab2-5ab3)15、［〔 x－ 2y〕2＋〔 x－ 2y〕〔 2y＋ x〕－ 2x〔 2x－ y〕］÷ 2x四、因式分解：〔每题 4 分，共 16 分〕16、2a(x y) 3b( y x)17、x2 y 2xy35 y 18、2x2y－8xy＋8y19、a2(x－y)－4b2(x－y)五、解方程或不等式：〔每题 5 分，共 10 分〕20、( x 1)2 ( x 1)( x 5) 17 21、(2x 5)2 (3x 1) 2 13(x 2 10)六、解答题：〔第 22～ 24 小题各 6 分，第 25 小题 8 分，共 26 分〕22、先化简，再求值( a+b)( a-2b)-( a+2b)( a-b) ，其中 a=2， b=-123、假设a2 b 22b 1 0 ，求a2b ab2的值。

八年级数学上册第十五章整式的乘除与因式分解全章教案人教新课标版【教案】

第十五章整式的乘除与因式分解§15．1．1 整式教学目标 1．单项式、单项式的定义．2．多项式、多项式的次数．3、理解整式概念．教学重点单项式及多项式的有关概念．教学难点单项式及多项式的有关概念．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题1．要表示△ABC的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？结论：1、要表示△ABC的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABC•的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a，AC=b，AB=c．AB边上的高为h，•那么△ABC的周长可以表示为a+b+c；△ABC的面积可以表示为12·c·h．2．小王的平均速度是St．问题：这些式子有什么特征呢？（1）有数字、有表示数字的字母．（2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．判断上面得到的三个式子：a+b+c、12ch、St是不是代数式？（是）代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．Ⅱ．明确和巩固整式有关概念（出示投影）结论：（1）正方形的周长：4x．（2）汽车走过的路程：vt．（3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，•所以它的表面积为6a2；正方体的体积为长×宽×高，即a3．（4）n的相反数是－n．分析这四个数的特征．它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、12ch、St中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念．根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、12ch、St这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．结论:4x、vt、6a2、a3、-n、12ch是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、12．它们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次单项式；vt、6a2、•12ch都是二次单项式；a3是三次单项式．问题:vt中v和t的指数都是1，它不是一次单项式吗？结论:不是．根据定义，单项式vt中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt是二次单项式而不是一次单项式．生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？写出下列式子（出示投影）结论:（1）t-5．（2）3x+5y+2z．（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即12ab-3.12r2．（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18．我们可以观察下列代数式：a+b+c、t-5、3x+5y+2z、12ab-3.12r2、x2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．根据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、12ab-3.12r2、x2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数．a+b+c的项分别是a、b、c．t-5的项分别是t、-5，其中-5是常数项． 3x+5y+2z的项分别是3x、5y、2z．1 2ab-3.12r2的项分别是12ab、-3.12r2．x2+2x+18的项分别是x2、2x、18．找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数，•二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式．这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式．Ⅲ．随堂练习1．课本P162练习Ⅳ．课时小结通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，•发展符号感．Ⅴ．课后作业1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题．2．预习“整式的加减”．课后作业：《课堂感悟与探究》§15．1．2 整式的加减（1）教学目的：1、解字母表示数量关系的过程，发展符号感。

第十五章整式乘除与因式分解全章讲学稿(人教版)

15.1.1同底数幂的乘法（第一课时）学习目标：经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述，并会熟练地进行计算。

通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，发展推理能力和有条理的表达能力．学习重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用．学习过程：一、创设情境引入新课复习乘方a n的意义：a n表示个相乘，即a n= ．乘方的结果叫a叫做，•n是问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？列式为，你能利用乘方的意义进行计算吗？二、探究新知：探一探：1根据乘方的意义填空（1）23×24=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2( )；（2）55×54=________ _=5( )；（3）（－3）3×（－3）2=__ _______________ =（－3）( )；（4）a6·a7=_______________ _ =a( )．（5）5m·5n猜一猜：a m·a n = (m、n都是正整数) 你能证明你的猜想吗？说一说：你能用语言叙述同底数幂的乘法法则吗？同理可得：a m·a n ·a p = (m、n、p都是正整数)三、范例学习：【例1】计算：（1）103×104；（2）a·a3；（3）m·m3·m5；（4）x m·x3m+1 (5)x·x2 + x2·x1.填空：⑴10×109= ；⑵b2×b5= ；⑶x4·x= ；⑷x3·x3= .2.计算：(1) a2·a6；(2)(-x)·(-x)3；(3) 8m·(-8)3·8n；(4)b3·(-b2)·(-b)4．【例2】：把下列各式化成（x+y）n或（x－y）n的形式．（1）（x+y）4·（x+y）3(2)（x－y）3·（x－y）·（y－x）(3)－8（x－y）2·（x－y）(4) （x+y）2m·（x+y）m+1四、学以致用：1.计算：⑴10n·10m+1= ⑵x7·x5= ⑶m·m7·m9=⑷－44·44= ⑸22n·22n+1= ⑹y5·y2·y4·y=2.判断题：判断下列计算是否正确？并说明理由⑴a2·a3= a6( )；⑵a2·a3= a5（）；⑶a2+a3= a5( )；⑷a·a7= a0+7=a7（）；⑸a5·a5=2a10（）；⑹25×32=67（）。

人教版八年级数学上册《十五章整式的乘除与因式分解. 15.4 因式分解..(通用)》公开课课件_18

因式分解
归纳总结
因式分解方法
平方差公式法分解因式：
两数的平方差，等于这两数的和与这两数差的积。
因式分解平方差公式：
a2 b2 (a b)(a b)
范例精析
例题分解因式：
(1)4x2 9
先确定 a2 和 b2
=(2x) ²－3²
=(2x+3)(2x－3)
(2)(x p)2 (x q)2 把括号看作一个整体
36a2 49
(3a 5b)(3a 5b)
64x2 81
4(2x y)(2x y)
(1 p)(1 p)
(2)49a2 36
(7a 6)(7a 6)
(3)x5 x3
(4)(a b)2 1
x3 (x 1)( x 1) (a b 1)(a b 1)
2.每项可写成平方的形式 3.两项的符号相反关系：找准公式中的a和b 注意：1.有公因式要先提取公因式
2.再应用平方差公式分解 3.每个因式要化简，并且分解彻底
检测题
1.将下列各式分解因式的正确答案用线连接起来
9a2 25b2
(6a 7)(6a 7)
16 x2 4 y 2
(8x 9)(8x 9)
(1) X²－y²
(2) X²+y² (3) －X²－y² (4) －X²+y² (5) 99²－1² (6) (a+b) ²－(a﹣c)²
探究新知
Ⅰ.怎样将多项式 a2 b2进行因式分解？
(a b)(a b) a2 b2
整式乘法
a2 b2 (a b)(a b)
(2) x2 4y2

(八年级数学教案)八年级数学知识点整式乘除与因式分解讲解

八年级数学知识点整式乘除与因式分解讲解八年级数学教案八年级数学知识点：整式乘除与因式分解讲解单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幕分别相乘，作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加.单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式:对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式的法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.2、乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.②完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2文字语言叙述：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍.3、因式分解：因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以下几点：(1) 分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；(2) 因式分解必须是恒等变形(3) 因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.二、熟练掌握因式分解的常用方法.1、提公因式法(1) 掌握提公因式法的概念；(2) 提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：① 系数一各项系数的最大公约数；②字母--各项含有的相同字母；③指数--相同字母的最低次数；(3) 提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式•需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.(4) 注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到底”；②口果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出孑号，使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用常用的公式：①平方差公式：a2-b2= (a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2。

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八年级数学第十五章《整式的乘除与因式分解》章节测试姓名：学号：班级：分数：
一、选择题：（每小题3分，共18分）
1、下列运算中，正确的是( )
A.x 2·x 3=x 6
B.(a b)3=a 3b 3
C.3a +2a =5a 2
D.（x ³）²= x 5
2、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）
（A ）29)3)(3(x x x -=+- （B ）))((2233n mn m n m n m ++-=-
（C ）)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y （D ）z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242
3、下列各式是完全平方式的是（
） A 、412+-x x B 、241x + C 、22b ab a ++ D 、122
-+x x 4、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）
（A ）22)(b a -+ （B ）mn m 2052- （C ）22y x -- （D ）92
+-x 5、如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（）
A. –3
B. 3
C. 0
D. 1 6、一个正方形的边长增加了cm 2，面积相应增加了232cm ，则这个正方形的边长为（）
A 6cm
B 5cm
C 8cm
D 7cm
二、填空题：（每小题3分，共18分）
7、()()
4352a a -⋅-=_______ ，在实数范围内分解因式=-62a 。

8、当x ___________时，()04-x 等于__________； 9、()=⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛-200320025.132___________。

10、若3x =21，3y =
32，则3x －y 等于。

11、若22916x mxy y ++是一个完全平方式，那么m 的值是__________。

12、绕地球运动的是7.9×10³米/秒，则卫星绕地球运行8×105
秒走过的路程是。

三、计算题：（每小题4分，共12分）
13、ab b a b a 4)58(223÷- 14、(-2a 2)(3a b 2-5a b 3)
15、［（x －2y ）2＋（x －2y ）（2y ＋x ）－2x （2x －y ）］÷2x
四、因式分解：（每小题4分，共16分）
16、)(3)(2x y b y x a --- 17、y xy y x 3522+--
18、2x 2y －8xy ＋8y 19、a 2(x －y)－4b 2(x －y)
五、解方程或不等式：（每小题5分，共10分）
20、17)5)(1()1(2=+---x x x 21、)10(13)13()52(222->++-x x x
六、解答题：（第22～24小题各6分，第25小题8分，共26分）
22、先化简，再求值
(a +b)(a -2b)-(a+2b)(a -b)，其中a=2， b=-1
23、若01222=+-++b b a ，求22ab b a +的值。

24、如图，某市有一块长为()b a +3米，宽为()b a +2米的长方形地块，•规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？•并求出当3=a ，2=b 时的绿化面积．
25、察下列各式
（x-1）(x+1)=x 2-1
(x-1)(x 2+x+1)=x 3-1
（x-1）(x 3+x 2+x+1)=x 4-1
……
（1）分解因式：=-15x
（2）根据规律可得(x-1)(x n-1+……+x +1)= （其中n 为正整数）
（3）计算：)133333)(13(2484950++++++-
（4）计算：1)2()2()2()2()2()2(23199719981999+-+-+-++-+-+-。