初二数学因式分解讲解

十字相乘法

一、导入

二、前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。

因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).

课前练习：下列各式因式分解

1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48；

3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。

答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）；

3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。

我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。

对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。

二、新课

例1 把2x2-7x+3因式分解。

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。

分解二次项系数（只取正因数）：

2=1×2=2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1 1 3 1 -1 1 -3

2 ×

3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1

1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3）

=5 =7 = -5 =-7

经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。

解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。

一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：

a1c1

a2×c2

a1c2 + a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。

像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。

例2把6x2-7x-5分解因式。

分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其

中的一种

2 1

3 ×-5

2×（-5）+3×1=-7

是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。

解6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。

指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。

对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是

1 -3

1 × 5

1×5+1×（-3）=2

所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。

例3把5x2+6xy-8y2分解因式。

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

1 2

5 ×-4

1×（-4）+5×2=6

解5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。

指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。

例4把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先化简，进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。

问：两个乘积的式子有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。解（x-y）（2x-2y-3）-2

=（x-y）［2（x-y）-3］-2 1 -2

=2（x-y）2-3（x-y）-2 2 ×+1

=［（x-y）-2］［2（x-y）+1］1×1+2×（-2）=-3

=（x-y-2）（2x-2y+1）。

指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。

三、课堂练习

1．用十字相乘法因式分解：

（1）2x2-5x-12；（2）3x2-5x-2；（3）6x2-13x+5；

（4）7x2-19x-6；（5）12x2-13x+3；（6）4x2+24x+27。

2．把下列各式因式分解：

（1）6x2-13x+6y2；（2）8x2y2+6xy-35；

（3）18x2-21xy+5y2；（4）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。

答案：1．（1）（x-4）（2x+3）；（2）（x-2）（3x+1）；

（3）（2x-1）（3x-5）；（4）（x-3）（7x+2）；

（5）（3x-1）（4x-3）；（6）（2x+3）（2x+9）。

2．（1）（2x-3y）（3x-2y）；（2）（2xy+5）（4xy-7）；

（3）（3x-y）（6x-5y）；（4）（3a-b）（5b-a）。

四、小结

1．用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：

（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：

a1c1

在式子中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜

a2c2

向的两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b，分解思路为“看两端，凑中间。”

（2）由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项。

（3）二次项系数a一般都把它看作是正数（如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数），只需把经分解在两个正的因数。

2．形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。

3．凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4。

五、作业

1．用十字相乘法分解因式：

（1）2x2+3x+1；（2）2y2+y-6；（3）6x2-13x+6；（4）3a2-7a-6；

（5）6x2-11xy+3y2；（6）4m2+8mn+3n2；（7）10x2-21xy+2y2；

（8）8m2-22mn+15n2。

2．把下列各式分解因式：

（1）4n2+4n-15；（2）6a2+a-35；（3）5x2-8x-13；

（4）4x2+15x+9；（5）15x2+x-2；（6）6y2+19y+10；

（7）20-9y-20y2；（8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2。

答案：

1．（1）（2x+1）（x+1）；（2）（y+2）（2y-3）；（3）（2x-3）（3x-2）；（4）（a-3）（3a+2）；

（5）（2x-3y）（3x-y）；（6）（2m+n）（2m+3n）；（7）（x-2y）（10x-y）；（8）（2m-3n）（4m-5n）。2．（1）（2n-3）（2n+5）；（2）（2a+5）（3a-7）；(3）（x+1）（5x-13）；（4）（x+3）（4x+3）；

（5）（3x-1）（5x+2）；（6）（2y+5）（3y+2）；（7）-（4y+5）（5y-4）；（8）（x+2y+3）（7x-10y-27）。