河北省永年县第一中学14—15学年下学期高二期末考试数学(理)试题(附答案) (1)

河北省永年县第一中学14—15学年下学期高二期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．若集合A ＝{x|0≤x ＋2≤5}，B ＝{x|x<－1或x>4}，则A∩B 等于( )A ．{x|x≤3或x>4}B ．{x|－1<x≤3}C ．{x|3≤x<4}D ．{x|－2≤x<－1}2．命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋4>0”的否定是( )A ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋4<0B ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋4>0C ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≥0D ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≤03．四名志愿者和他们帮助的两名老人排成一排照相，要求两名老人必须站在一起，则不同的排列方法为( )A ．A 24A 22B ．A 55A 22C ．A 55D.A 66A 22 4．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )A ．(－∞，32]B ．[32，＋∞)C ．(－1，32]D ．[32，4) 5．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )A ．138B ．135C ．95D ．236．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为( ) A.33 B.32 C.22 D.237．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上动点，点A 的坐标为(2，1)．则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．4 2B ．3 2C ．4D ．3 8．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2 9．用min{a ，b ，c }表示a 、b 、c 三个数中的最小值，设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．410．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－52)＝( ) A ．－12 B ．－14 C.14 D.1211．函数f (x )的部分图像如图所示，则函数f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos x xC ．f (x )＝x cos xD ．f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2) 12．已知f (x )为定义在(－∞，＋∞)上的可导函数，且f (x )<f ′(x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2·f (0)，f (2010)>e 2010·f (0)B ．f (2)<e 2·f (0)，f (2010)>e 2010·f (0)C ．f (2)>e 2·f (0)，f (2010)<e 2010·f (0)D ．f (2)<e 2·f (0)，f (2010) <e 2010·f (0)二 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >010x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________. 14．双曲线x 24－y 24＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________．15.关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．16．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10……按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．三．解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本题满分10分)A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若m ＝⎝⎛⎭⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b ＋c 的值．18. (本题满分12分))若()f x 为二次函数，-1和3是方程()40f x x --=的两根，(0)1f =（1）求()f x 的解析式；（2）若在区间]1,1[-上，不等式m x x f +>2)(有解，求实数m 的取值范围。

19. (本题满分12分) 已知二次函数y ＝f (x )的图像经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图像上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈N *都成立 的最小正整数m .20．(本题满分12分) 如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点．(1)求直线B 1C 与DE 所成的角的余弦值；(2)求证：平面EB 1D ⊥平面B 1CD ；(3)求二面角E -B 1C -D 的余弦值．21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－m ln x . (1)若函数f (x )在(12，＋∞)上是递增的，求实数m 的取值范围； (2)当m ＝2时，求函数f (x )在上的最大值和最小值．22．(本小题12分)某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位是万元)(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)理科数学答案一．选择题D D B D C A C B B A C A二．填空题13 －2 14 (－6，－2)∪(2，6) 15 a ∈16 n 2－n ＋62三．解答题17． 解：（1）设()4(1)(3),f x x a x x --=+- 即()(1)(3)4,f x a x x x =+-++ 由(0)3411f a a =-+=⇒=∴1)(2+-=x x x f（2）由题意：m x x x +>+-212在]1,1[-上有解，即231m x x <-+在]1,1[-上有解设2()31,[1,1]g x x x x =-+∈-，则)(x g 在]1,1[-上递减，max ()(1)5m g x g ∴<=-=18．解析 (1)m ·n ＝－cos 2A 2＋sin 2A 2＝－cos A ＝12， ∴cos A ＝－12，∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°. (2)S △ABC ＝12bc sin120°＝3∴bc ＝4， 又∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos120°＝b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ＝12，∴b ＋c ＝4.19．解析 (1)设这个二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )＝6x －2，得 a ＝3，b ＝－2，所以f (x )＝3x 2－2x .又因为点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图像上，所以S n ＝3n 2－2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－＝6n －5，又∵n ＝1时也符合．故{a n }的通项公式为a n ＝6n －5.(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3n －n ＋－5]＝12(16n －5－16n ＋1)， 故T n ＝12＝12(1－16n ＋1)， 因此，使12(1－16n ＋1)<m 20(n ∈N *)成立的m ，必须且仅需满足12≤m 20，即m ≥10， 所以满足要求的最小正整数m 为10.20．解析 解法一：(1)连接A 1D ，则由A 1D ∥B 1C 知，B 1C 与DE 所成的角即为A 1D 与DE 所成的角即为A 1D 与DE 所成的角．连接A 1E ，由正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，可设其棱长为a ，则A 1D ＝2a ，A 1E ＝DE ＝52a ， ∴cos ∠A 1DE＝A 1D 2＋DE 2－A 1E 22·A 1D ·DE ＝105. ∴直线B 1C 与DE 所成的角的余弦值是105. (2)取B 1C 的中点F ，B 1D 的中点G ，连接BF ，EG ，GF .∵CD ⊥平面BCC 1B 1，且BF ⊂平面BCC 1B 1，∴DC ⊥BF 。

又∵BF ⊥B 1C ，CD ∩B 1C ＝C ，∴BF ⊥平面B 1CD .又∵GF 綊12CD ，BE 綊12CD ， ∴GF 綊BE ，∴四边形BFGE 是平行四边形，∴BF ∥GE ，∴GE ⊥平面B 1CD .∵GE ⊂平面EB 1D ，∴平面EB 1D ⊥平面B 1CD .(3)连接EF .∵CD ⊥B 1C ，GF ∥CD ，∴GF ⊥B 1C .又∵GE ⊥平面B 1CD 。

∴EF ⊥B 1C ，∴∠EFG 是二面角E -B 1C -D 的平面角．设正方体的棱长为a ，则在△EFG 中，GF ＝12a ，EF ＝32a ，∴cos ∠EFG ＝FG EF ＝33， ∴二面角E -B 1C -D 的余弦值为33. 解法二：如图所示建立空间直角坐标系D -xyz ，设D (0,0,0)，A (2,0, 0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，则E (2,1,0)．(1)∵DE →＝(2,1,0)，CB 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈CB 1→，DE →〉＝CB 1→·DE →|CB 1→|·|DE →|＝422×5＝105， ∴DE 与B 1C 所成角的余弦值是105. (2)取B 1D 的中点F ，连接EF .∵F (1,1,1)，E (2,1,0)．∴EF →＝(－1,0,1)，DC →＝(0,2,0)，∴EF →·DC →＝0，EF →·CB 1＝0，∴EF ⊥DC ，EF ⊥CB 1.又∵CD ∩B 1C ＝C ，∴EF ⊥平面B 1CD .∵EF ⊂平面EB 1D .∴平面EB 1D ⊥平面B 1CD .(3)设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(1，a ，b )．由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·DC →＝，a ，b ，2，＝2a ＝0，m ·DB 1→＝，a ，b ，2，＝2＋2a ＋2b ＝0，解得a ＝0，b ＝－1，∴m ＝(1,0，－1)．设平面EB 1C 的一个法向量n ＝(－1，c ，d )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·EC →＝－1，c ，d －2，1，＝2＋c ＝0，n ·CB 1→＝－1，c ，d ，0，＝－2＋2d ＝0.解得c ＝－2，d ＝1，∴n ＝(－1，－2,1)．∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－22·6＝－33， ∴二面角E -B 1C -D 的余弦值为33. 21． 解 (1)若函数f(x)在(12，＋∞)上是增函数，则f′(x)≥0在(12，＋∞)上恒成立． 而f′(x)＝x －m x ，即m≤x 2在(12，＋∞)上恒成立，即m≤14. (2)当m ＝2时，f′(x)＝x －2x ＝x 2－2x， 令f′(x)＝0得x ＝±2，当x ∈上唯一的极小值点，故f(x)min ＝f(2)＝1－ln 2，又f(1)＝12，f(e )＝12e 2－2＝e 2－42>12，故f(x)max ＝e 2－42. 22 解 (1)投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元， 由题设f (x )＝k 1·x ，g (x )＝k 2·x ，由图知f (1)＝14，∴k 1＝14，又g (4)＝52，∴k 2＝54， 从而f (x )＝14x ，(x ≥0)，g (x )＝54x ，(x ≥0)． (2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10－x 万元，设企业的利润为y 万元．y ＝f (x )＋g (10－x )＝x 4＋5410－x ，(0≤x ≤10)， 令10－x ＝t ，则y ＝10－t 24＋54t ＝－14(t －52)2＋2516，(0≤t ≤10)， 当t ＝52，y max ≈4，此时x ＝10－254＝3.75. ∴当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．。