第八章 采样控制系统

Z反变换表示为
Z
1
[ F ( z )] f
*
*
(t )
用查表方法可得到函数 f
( t ) 的Z变换。
二、终值定理
设函数 f (t ) 的Z变换为 F ( z ) ，而且 (1 z ) F ( z ) 在Z平 面上以原点为圆心在单位圆上或圆外没有极点，则
lim f ( t ) lim f ( nT ) lim (1 z
采样过程可用图表示
e(t)
T (t )
e(t )
采样器
e (t )
*
0 e(t) 1 0 e(t)
T 2T
t
采样信号e ( t ) 是e (t ) 和 T (t ) 的乘积，其中载波信号 T (t ) 决定采样时刻，它是周期为T 的单位脉冲序列，采样信号 在nT(n=0,1,2…)时刻的值由
)
r (t )
T
a
1 S
a S a
C (t )
G 1 ( s )G 2 ( s ) L
1
s(s a)
aT
[ G 1 ( s ) G 2 ( s )] 1 e
G ( z ) G 1 G 2 ( z ) Z [1 e
aT
]
z (1 e
aT
)
aT
( z 1)( z e
8.7 采样系统的稳态误差
一、采样系统的类型
设采样系统的开环脉冲函数为G(z)，当G(z)具有0个，1个，2 个z＝1的极点时，系统分别为0型，I型，II型系统。
二、应用终值定理求给定稳态误差终值
R(S ) ＋
－
E (S )
T
*
G (S )
C (s)
设采样系统是单位负反 馈系统，则给定误差脉 冲传递函数为：
R(S ) ＋
－ T 0.25s
K S ( S 4)
C (s)
解：1、求系统的开环脉冲传递函数
K 1 1 G (s) s(s 4) 4 s s 4 K
查表得：
G (z) K 4 ( z z 1 z z e
4T
)
K
(1 e
4T
)z
8.2 采样过程和采样定理
一、采样过程
按一定的时间间隔对连续信号采样，将连续信号转换为脉 冲序列的过程，称为采样过程。采样开关是用来实现采样过程 的装置。
采样开关按周期T闭合，T称为采样周期。每次闭合时间 为 ，由于在实际中总有 T ，且 远小于 G ( S ) 中的 时间常数，可近似认为 0 。
t t t 1
1
) F ( z ) lim ( z 1) F ( z )
t
三、留数计算法
已知连续函数 f (t ) 的拉氏变换 F ( s ) ，和 F ( s ) 的极 * 点 p i ，可用留数计算法求 f ( t ) 的Z变换。（设 F ( s ) 的 极点数为n）
E (z) R(z) 1 1 G (z)
根据终值定理，给定稳态误差终值为：
e sr lim e ( nT ) lim
n
z 1 z
n
E (z)
系统的稳态误差取决于G(z)和输入信号R(z)。 三、用静态误差系数求给定稳态误差终值
1、静态位置误差系数
Kp lim [1 G ( z )]
max
: 连续信号
x ( t ) 频谱的上限频率。
8.3 采样信号保持器
一、零阶保持器
X * (t )
X * (t )
X n (t )
零阶 保持器
X n (t )
0
T
2T
3T
4T
t
0
T
2T
3T 4T
t
零阶保持器是一种按恒值规律外推的保持器，它将前一采样时 刻的值，保持到下一个采样时刻，即
X n ( t ) X ( nT )， nT t ( n 1)T ， n 0 ,1, 2 ,
n0 n0
采样信号的拉氏变换
E
*
( s ) L [ e ( t )] e ( nT ) e
* n0

nTS
三、采样定理
* 经采样得到的离散信号 x（ t ） 有可能无失真地恢复到原来的连 续信号的条件是
s
2
＝ s
max
其中
s
: 采样角频率，

2 T
采样定理给出了选择 采样周期T的依据。
G (Z )
r (t )
r (t )
T
*
G (S )
C (t )
C (t )
T
*
定义：线性离散系统中，在零初始条件下，系统输出采样信 号的Z变换与输入采样信号Z变换之比，称为系统的脉冲传 递函数。
G (z) C (z) R(z)
采样脉冲函数的物理意义 采样系统的脉冲传递函数是系统单位脉冲响应 g ( t )经采样后 * 的采样信号 g ( t )的Z变换。
第八章 采样控制系统
8.1 采样控制
一个典型的采样控制系统如图：
r
＋

e
T
e
*
脉冲 控制器
u
*
保持器
u
G (S )
C
e是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列
* *
e ，
*
*
脉冲控制器对 e 进行某种运算，产生控制信号脉冲序列u ，保
持器将采样信号 u 变成模拟信号 u ，作用于被控对象
例：
r (t )
T
由
G1 (s) G 2 (s) 1 s
1 S
T
z z 1
a S a
C (t )
，得 G 1 ( z ) a
s a
，得 G 2 ( z )
az z e az
2 aT aT
G ( z ) G 1 ( z )G 2 ( z )
( z 1)( z e
C (s)
T
T
C (z)
H (S )

D ( z )G ( z ) 1 D ( z ) GH ( z )
R(z)
8.6 采样系统的稳定性分析
一、S域到Z域的映射
根据Z变换定义，有
z e
Ts
令 s j ，当 以 变化到 ，是 s 平面上的虚轴，此时
z e
j T
1 GH ( z ) 0
其特征根 1， 2， n 是闭环极点。
线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全 部特征根均位于Z平面的单位圆内，即满足
i 1， i 1，， ， n 2
三、用劳斯判据判定采样系统的稳定性
首先要通过双线性变换
z
w 1 w 1
将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用 劳斯判据。 例：求使系统稳定的K值范围。
在Z平面上，上式表示单位圆
jω
j

S平面

T
Im
Z平面
T
σ
j
-1


T
0
0
1

T
Re
可见S平面上的虚 轴，映射到Z平面， 是以原点为圆心的 单位圆，且左半S 平面对应单位圆内 的区域。
二、线性采样系统稳定的充要条件
设采样系统的闭环脉冲传递函数为 系统特征方程为
C (z) R(z) G (z) 1 GH ( z )
R 1 ( 2 1)! d ds Tz ( z 1)
2
lim
S0 sT sT
[( s 0 )
2
1 s
2
z z e
ST
]
lim
zTe (z e
S0
)
2
f ( t ) t 的 z 变换为 F (s) R Tz ( z 1)
2
8.5 脉冲传递函数
一、基本概念
*
t
0
t
T 2T
e (t ) 决定。
二、采样过程的数学表达式
单位脉冲序列 采样信号为
* T
（ t ） ( t nT )
n0

e（ t ） e ( t )
T
( t ) e ( t ) ( t nT )＝ e ( nT ) ( t nT )
二、零阶保持器的传递函数
根据零阶保持器的单位脉冲响应，推出其传递函数。
g (t )
1 0 1 0
T
零阶保持器的单位脉冲响应是一个 矩形，宽度为T，高为1，它可表示 成以下二个单位阶跃信号的迭加。
g ( t ) 1( t ) 1( t T )
单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶 保持器的传递函数。
z 1
2、静态速度误差系数
Kv lim ( z 1) G ( z )
z 1
3、静态加速度误差系数
Ka lim ( z 1) G ( z )
)
三、闭环脉冲传递函数
1、有一个采样开关的采样系统
R(S )
＋
E (S )
－
E * (S )
G (S )
C (s)
T
C (z) R(z)
H (S )

G (z) 1 GH ( z )
2、有数字校正装置的采样系统
R(S ) ＋
E (S )
－
E * (S )
D(S )
X (S )
X * (S )
G (S )
g (t )
*
g ( nT ) ( t nT )