第十章 1曲线积分

L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt


( )
注意:
1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; 2. f ( x, y )中 x, y 不彼此独立, 而是相互有关的 .
特殊情形
(1) L : y ( x ) a x b.
四、几何与物理意义
(1) 当 ( x, y )表示 L的线密度时,
M L ( x , y )ds ;
( 2) 当 f ( x , y ) 1时, L弧长 Lds ;
( 3) 当 f ( x , y )表示立于L上的 柱面在点( x , y )处的高时,
s
L
z f ( x, y)

f ( x , y , z )ds lim f ( i ,i , i ) si .
0
i 1
n
注意：
1. 若 L (或 )是分段光滑的 ( L L1 L2 ) ,

L1 L2
f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
S柱面面积 f ( x , y )ds.
L
(4) 曲线弧对x轴及 y轴的转动惯量,
I x x 2 ds,
L
I y y 2 ds.
L
(5) 曲线弧的重心坐标
xds , x ds
L L
yds . y ds
L L
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念
解二
将L表示为 x
a y , 0 ya
2 2
a 2 ds 1 x dy a 2 y 2 dy a 3 a a 2 2 xyds ( a y ) y 2 2 dy L 2 a y 0
解三 将L表示为参数方程
x a cos t y a sin t
L
3、对________的曲线积分与曲线的方向无关；
2 2 4、 f ( x , y )ds = f [ ( t ), ( t )] ( t ) ( t ) dt 中 要 L 求 ________ .

二、计算下列求弧长的曲线积分: x2 y2 ds ,其中 为圆周x 2 y 2 a 2 ,直线 y x L 1、 Le 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
曲线积分与曲面积分
前一章我们已经把积分概念从积分范围的角度 从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一个 区域，在应用领域，有时常常会遇到计算密度不 均匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通过 某曲面的流体的流量等，为解决这些问题，需要 对积分概念作进一步的推广，引进曲线积分和曲 面积分的概念，给出计算方法，这就是本章的中 心内容，此外还要介绍 Green 公式、Gauss公 式 和 Stokes 公式，这些公式揭示了存在于各 种积分之间的某种联系。


f ( x , y , z )ds

f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt
一代、二换、三定限
换：换弧微元
( )
代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，
2 y 2 dt ds x
L f ( x, y)ds 2L
f ( x , y )ds
3
其中 L3 是 L 的对称的部分弧段
L3 ( x , y ) | ( x , y ) L , x 0 y 0
④若 L 关于直线 y = x 对称
L f ( x, y )ds L f ( y, x )ds
与重积分的对称性十分类似
( t ) 2
ds ( a sin t ) (a cos t ) dt adt
2 2
xyds a cos t a sin t adt
L


例2
解
x a cos t , 求 I xyds, L : 椭圆 (第象限). L y b sin t ,
2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
思考题
对弧长的曲线积分的定义中 S i 的符号 可能为负吗？
思考题解答
S i 的符号永远为正，它表示弧段的长度.
练习题
一、填空题: L 1、已知曲线形构件L 的线密度为 ( x , y ) ,则 的质量 M =_______________； 2、 ds =_______________；
解
2 a 3 a 1 2 2 2 故 I ( x y z )ds ds 3 . 3 3
2
由对称性, 知 x 2ds y 2ds z 2ds.

( 2a ds, 球面大圆周长 )

注
关于对弧长的曲线积分的对称性
对 f ( x , y )ds

z k的一段. ( 0 2)
解
I a 2 cos sin k a 2 k 2 d 0
1 ka2 a 2 k 2 . 2
2
例5
求I x 2ds,

x2 y2 z2 a2 , 其中为圆周 x y z 0.
重点
第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法 Green公式、Gauss 公式 曲线积分与路径无关的条件
难点
第二型曲面积分的计算
基本要求
① 正确理解曲线积分和曲面积分概念 ②熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算方法
③掌握几种积分间的联系，明确它们在概念、 性质、计算方法上的异同 ④掌握第二型曲线积分与路径无关的条件
L 2、 x 2 yzds ,其中 为折线ABCD ,这里A , B , C , D

依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； L 3、 ( x 2 y 2 )ds ,其中 为曲线
x a (cos t t sin t ) ( 0 t 2 ) ； y a (sin t t cos t ) L 4、计算 y ds ,其中 为双纽线
i 1 n
o
x
取 ( i ,i ) si , M i ( i ,i ) si .
近似值 精确值
n
取极限 M lim ( i ,i ) si .
0
i 1
二、对弧长的曲线积分的概念
1.定义
设L为xoy面内一条光滑曲线弧函数f ( x , y ) , 在L上有界.用L上的点M 1 , M 2 ,, M n1把L分成n 个小段.设第i个小段的长度为 si , 又( i , i )为第 i个小段上任意取定的一 , 点 作乘积f ( i , i ) si , 并作和 f ( i , i ) si ,
定限：定积分限，下限—小参数，上限—大参数
例1。计算
L
xyds
其中L为
x y a
2 2
2
在第二象限的部分
解一
将L表示为
2
y a x , a x 0
2 2
a ds 1 y dx 2 2 dx a x 0 3 a a 2 2 xyds x a x dx L 2 2 2 a x a
积分弧段 积分和式
被积函数
n
曲线形构件的质量 M ( x , y )ds.
L
2.存在条件：
当 f ( x , y )在光滑曲线弧 L上连续时, 对弧长的曲线积分 L f ( x , y )ds 存在.
3.推广
函数 f ( x , y , z )在空间曲线弧 上对弧长的 曲线积分为

L L
( 3) f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
L L1 L2
( L L1 L2 ).
三、对弧长曲线积分的计算
定理
设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续,
x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数, 且
ab(a ab b ) . 3(a b)
例3
求I yds,
L
y2 4 x
其中L : y 2 4 x , 从(1,2)到(1,2)一段.
解
y2 I y 1 ( ) dy 2 2
2
0.
例4 求I xyzds, 其中 : x a cos , y a sin ,
⑤牢固掌握Green公式及其成立条件 ⑥牢固掌握 Gauss 公式及其成立条件
对弧长的曲线积分及其计算
y
B
( i , i ) Mi M2 M i 1 M1
一、问题的提出
实例:曲线形构件的质量
L M n 1
匀质之质量
M s.
A
分割 M1 , M 2 ,, M n1 si , 求和 M ( i ,i ) si .
L1 L2
2. 函数f ( x , y )在闭曲线 L上对弧长的 曲线积分记为L f ( x , y )ds.
4.性质
(1) [ f ( x , y ) g( x , y )]ds f ( x , y )ds g( x , y )ds.
L L L
( 2) kf ( x , y )ds k f ( x , y )ds ( k为常数).
i 1 n
y
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 A M1