高中数学一轮复习微专题第17季直线：第6节 两条直线的交点
4《两条直线的交点》课件1.ppt
结论：此方程表示经过直线 l1 和 l2 交点 的直线系方程．(除去直线 l1 )
练习： P87
补充练习：
练习
１．求经过两条直线 2 x 3 y 3 0和 x y 2 0 的交点，且与直线 3x y 1 0 垂直的直线 l 的 方程．
分析： 方法（１）普通方法 求交点，求斜率．利用点斜式写出方程
两条直线的交点
问题：
我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元一次方程 对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解，反之亦成立．那 么两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成的方程组是否 有解有没有关系，如果有，是什么关系？
设两条直线方程为：
L1： A1x+B1y+C1=0
L2： A2x+B2y+C2=0
方法（２）；利用过两直线交点的直线系方程
２．求证：不论m为何实数， 直线 l :(2m 1) x (m 3) y (m 11) 0 恒过一定点，并求出此定点的坐标．
分析：化为过两直线交点的直线系方程．
课堂小结：
通过解两条直线对应的方程构成的方程 组来研究两条直线的位置关系
１．方程组有一解：两直线有唯一公共点
相交 重合
２．方程组有无数组解：两直线有无数个公共点 ３．方程组无解：两直线无公共点
平行
作 业
P87 练习3； 4 习题２.１（２） 4
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的 坐标一定是这个方程组的公共解；反之，如果这两个二元一次 方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线 l 和 l2 1 的交点．
思考：若方程组没有公共解呢，两直线应是 什么位置关系？
据此，我们有
高中数学同步教学 两条直线的交点
2 + 3- = 0,
2 +3
= 7 ,
解得
-2
.
=
7
所以两条直线的交点坐标为
因为此交点在第四象限,所以
3
2 +3 -2
,
7
7
2 +3
7
-2
7
.
> 0,
< 0,
3
解得-2<m<2.故所求 m 的取值范围是 - 2 ,2 .
探究一
探究二
探究三
探究四
探究三三线共点问题
1.4
两条直线的交点
课 标 阐 释
思
1.了解两条直线交点
的概念.
2.掌握用解方程组求
两条直线的交点的方
法.
3.能利用直线的交点
解决直线过定点及三
线共点等问题.
维
脉 络
两条直线的交点
(1)设两条不重合的直线方程为
l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.
要判断它们是否平行,即看它们的斜率是否相等,如果不等,则两条
探究一
Байду номын сангаас探究二
探究三
探究四
探究一判断两条直线的位置关系
【例1】 判断下列给出的两条直线的位置关系:
(1)l1:x-y-1=0,l2:2x+y+4=0;
(2)l1:3x-y+2=0,l2:6x-2y-1=0;
1
(3)l1:y=-2x+2,l2:x+2y-4=0.
分析:将两个直线的方程联立解方程组,通过方程组解的情况确
“×”.
两条直线的交点
无论直线如何平移，它们的交点不会 改变。
计算方法
代数法
通过联立两条直线的方程来求解交点。首先找到两个方程中的系数，然后解这 个方程组，得到x和y的值。
几何法
在坐标系中画出这两条直线，然后找到它们的交点。这种方法更直观，但可能 不够精确。
02
两条直线交点的求解
代数法
总结词
通过解方程组来求解交点
容差设置
在实际应用中，可以根据需要设置容差范围，以适应 不同的精度要求和实际情况。通过合理设置容差范围 ，可以避免因微小误差导致的不必要的问题。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
解析几何法是一种基于数学公式的方 法，通过使用直线方程的解析形式， 我们可以找到两条直线的交点坐标。 这种方法需要一定的数学基础和计算 能力。
03
直线交点的应用
在几何图形中的应用
确定图形形状
通过两条直线的交点可以确定一个图形的形状，例如，两条相交直线可以形成一 个角，三条相交直线可以形成一个三角形等。
直线与曲线的交点
总结词
当一条直线与一个曲线相交 时，它们会在一个或多个点
处相交。
详细描述
直线与曲线的交点是满足直 线方程和曲线方程的点。这 些点是直线和曲线的公共点 ，可以通过解联立方程组来
找到。
数学公式
设直线方程为 $Ax + By + C = 0$，曲线方程为 $y = f(x)$， 则它们的交点可以通过解联立 方程组 $begin{cases} Ax + By + C = 0 y = f(x) end{cases}$ 来找到。
在实际生活中的应用
交通路线规划
在交通路线规划中，两条直线的交点可以表 示交通枢纽，如火车站、汽车站等。
高中数学知识点精讲精析 两条直线的交点
两条直线的交点(一)两直线交点与方程组解的关系设两直线的方程是l1： A1x+B1y+c1=0， l2： A2x+B2y+C2=0．如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点．因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解．(二)对方程组的解的讨论若A1.A2.B1.B2中有一个或两个为零，则两直线中至少有一条与坐标轴平行，很容易得到两直线的位置关系．下面设A1.A2.B1.B2全不为零．解这个方程组：(1)×B2得 A1B2x+B1B2y+B2C1=0，(3)(2)×B1得A2B1x+B1B2y+B1C2=0． (4)(3)-(4)得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0．下面分两种情况讨论：将上面表达式中右边的A1.A2分别用B1.B2代入即可得上面得到y可把方程组写成即将x用y换，A1.A2分别与B1.B2对换后上面的方程组还原成原方程组．综上所述，方程组有唯一解：这时l1与l2相交，上面x和y的值就是交点的坐标．(2)当A1B2-A2B1=0时：①当B1C2-B2C1≠0时，这时C1.C2不能全为零(为什么？)．设C2②如果B1C2-B2C1=0，这时C1.C2或全为零或全不为零(当C1.(三)统一通过解方程组研究两直线的位置关系与通过斜率研究两直线位置关系的结论642-2-4-55yx例1：求下列两条直线的交点坐标：L 1 ：3x +4y -2=0L 2：2x +y +2=0解：解方程组 34202220x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 得 x=-2，y=2所以L 1与L 2的交点坐标为M （-2，2），如图教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解.例2： 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.（1） L 1：x-y=0，L 2：3x+3y-10=0（2） L 1：3x-y=0，L 2：6x-2y=0（3） L 1：3x+4y-5=0，L 2：6x+8y-10=0例3 求下列两条直线的交点：l 1：3x+4y-2=0， l 2： 2x+y+2=0． 解：解方程组∴l1与l2的交点是M(-2，2)．例4 已知两条直线：l1： x+my+6=0，l2： (m-2)x+3y+2m=0．当m为何值时，l1与l2：(1)相交，(2)平行，(3)重合．解：将两直线的方程组成方程组解得m=-1或m=3．(2)当m=-1时，方程组为∴方程无解，l1与l2平行．(3)当m=3时，方程组为两方程为同一个方程，l1与l2重合．。
2020届高三数学第一轮复习 两条直线的交点坐标与距离公式课件 新人教B版 精品
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考向预测
从近两年的高考试题来看，两条直线的位置关系、 两条直线的平行与垂直、点到直线的距离、两条平行 线间的距离、两点间的距离是高考的热点，题型既有 选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档题.客 观题主要考查距离公式的应用；主观题主要是在知识 交汇点处命题，全面考查基本概念、基本运算能力.
3 3 3
(2)当斜率存在时,设为k,则所求直线的方程为y-2=k(x-
1),它与两已知直线分别联立,求出它与两已知直线的交
点坐标分别是
A( 3k 7 , 5k 8 )，B(3k 12 , 8 10k ).
3k 4 3k 4
3k 4 3k 4
由|AB|2=
5
2
5k
2
=2,
3k 4 3k 4
【分析】确定一条直线需两个独立条件，本题中已 知直线l过点P（1，2），故只需再求出直线的斜率即 可.
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【解析】（1）当斜率不存在时，直线方程为x=1,与两
直线的交点为A(1, 5 ),B(1, 10 ),
3
3
∴|AB|= 5 10 5 2 .∴x=1不是所求直线.
预测2012年高考仍将以点到直线的距离、两点间 的距离、两条直线的平行与垂直为主要考点，题型以 选择题、填空题为主，重点考查运算能力与对概念的 理解能力.
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1、两直线的交点
两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的 交点坐标对应的是方程组
{A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
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高考数学一轮复习专题训练—两直线的位置关系
两直线的位置关系考纲要求1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行． (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 3．距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.4．对称问题(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.1．两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． 2．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)两直线l 1，l 2有可能重合．(2)如果l 1⊥l 2，若l 1的斜率k 1＝0，则l 2的斜率不存在．2．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( ) A.235 B ．2310C ．7D ．72答案 D解析 由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0可化为6x ＋8y －24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72. 3．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 答案 －9解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.4．(2021·银川联考)若直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8答案 B解析 ∵直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，∴－a 4×25＝－1，∴a ＝10，∴直线ax ＋4y －2＝0的方程即为5x ＋2y －1＝0. 将点(1，c )的坐标代入上式可得5＋2c －1＝0， 解得c ＝－2.将点(1，－2)的坐标代入方程2x －5y ＋b ＝0得2－5×(－2)＋b ＝0，解得b ＝－12. ∴a ＋b ＋c ＝10－12－2＝－4.故选B.5．(2020·淮南二模)设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x ＋4y ＋1＝0,3x ＋2y －2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的充分不必要条件，故选A.6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________． 答案 4解析 法一 由题意可设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)， 则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号． 故所求最小值是4.法二 设P ⎝⎛⎭⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4.考点一 两直线的平行与垂直【例1】 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2. 法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧aa －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6，可得a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23.法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0，可得a ＝23.感悟升华 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 【训练1】 (1)(2020·宁波期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 (1)A (2)1解析 (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0. (2)由题意知 m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.考点二 两直线的交点与距离问题【例2】 (1)(2020·淮南模拟)已知直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，－1 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(－1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－13，12(2)(2021·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．答案 (1)D (2)[0,10]解析 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋2k ＋1＝0，2x ＋y －2＝0，解得x ＝1－2k 2＋k ，y ＝2＋6k2＋k(k ≠－2)．∵直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限， ∴1－2k 2＋k >0，且2＋6k2＋k >0. 解得－13<k <12.故选D.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．感悟升华 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为对应相等．【训练2】 (1)(2021·贵阳诊断)与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0(2)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________． 答案 (1)C (2)5x ＋3y －1＝0解析 (1)设与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠－1)， ∴|－1－m |22＋12＝55，解得m ＝0或m ＝－2. ∴与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0. (2)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.考点三 对称问题角度1 点关于点对称【例3】 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________． 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.感悟升华 1.点关于点的对称：点P (x ，y )关于M (a ，b )对称的点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .2．直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解．角度2 点关于线对称【例4】 一束光线经过点P (2,3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q (1,1)，则入射光线所在直线的方程为________． 答案 5x －4y ＋2＝0解析 设点Q (1,1)关于直线l 的对称点为Q ′(x ′，y ′)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ′－1x ′－1＝1，x ′＋12＋y ′＋12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2，y ′＝－2， 即Q ′(－2，－2)，由光学知识可知，点Q ′在入射光线所在的直线上，又k PQ ′＝3－－22－－2＝54， ∴入射光线所在直线的方程为y －3＝54(x －2)，即5x －4y ＋2＝0.感悟升华 1.若点A (a ，b )与点B (m ，n )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)对称，则直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直平分线段AB ，即有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.2．几个常用结论(1)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )．(2)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． (3)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x,2b －y )． 角度3 线关于线对称【例5】 (1)(2021·成都诊断)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( ) A ．3x －4y ＋5＝0 B ．3x －4y －5＝0 C ．3x ＋4y －5＝0D ．3x ＋4y ＋5＝0(2)直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________．答案 (1)D (2)x －2y ＋3＝0解析 (1)设所求直线上点的坐标(x ，y )，则关于x 轴的对称点(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以所求对称直线方程为3x ＋4y ＋5＝0，故选D. (2)设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.感悟升华 求直线l 1关于直线l 对称的直线l 2有两种处理方法：(1)在直线l 1上取两点(一般取特殊点)，利用点关于直线的对称的方法求出这两点关于直线l 的对称点，再用两点式写出直线l 2的方程．(2)设点P (x ，y )是直线l 2上任意一点，其关于直线l 的对称点为P 1(x 1，y 1)(P 1在直线l 1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x ，y 表示出x 1，y 1，再代入直线l 1的方程，即得直线l 2的方程．【训练3】 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，即A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎨⎧ a ＝613，b ＝3013，即M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4,3)．又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，N (4,3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二 设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.活用直线系方程具有某些共同特点的所有直线的全体称为直线系，直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用．在直线方程求解中，可以由特定条件设出直线系方程，再结合题目中其他条件求出具体直线，这个解题思路在解决许多问题时，往往能起到化繁为简，化难为易的作用．一、相交直线系方程【例1】 已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 法一 解l 1与l 2组成的方程组得到交点P (0,2)，因为k 3＝34，所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0. 法二 设所求直线l 的方程为4x ＋3y ＋c ＝0，由法一可知P (0，2)，将其代入方程，得c ＝－6，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.法三 设所求直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.二、平行直线系方程【例2】 已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，l 1与x 轴、y 轴围成面积为8的三角形，请求出直线l 1的方程．解 设直线l 1的方程为x －3y ＋c ＝0(c ≠6)，令y ＝0，得x ＝－c ；令x ＝0，得y ＝c 3，依照题意有12×|－c |×⎪⎪⎪⎪c 3＝8，c ＝±4 3.所以l 1的方程是x －3y ±43＝0. 【例3】 已知直线方程3x －4y ＋7＝0，求与之平行且在x 轴、y 轴上的截距和是1的直线l 的方程．解 法一 设存在直线l ：x a ＋y b ＝1，则a ＋b ＝1和－b a ＝34组成的方程组的解为a ＝4， b ＝－3.故l 的方程为x 4－y 3＝1，即3x －4y －12＝0. 法二 根据平行直线系方程可设直线l 为3x －4y ＋c ＝0(c ≠7)，则直线l 在两坐标轴上截距分别对应的是－c 3，c 4，由－c 3＋c 4＝1，知c ＝－12.故直线l 的方程为3x －4y －12＝0. 三、垂直直线系方程【例4】 求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋c ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋c ＝0，解得c ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.思维升华 直线系方程的常见类型1．过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)；2．平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )；3．垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；4．过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2).A 级 基础巩固一、选择题1．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A. 2B ．2－ 2 C.2－1D ．2＋1答案 C解析 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1. 解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.2．(2021·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3 答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.3．已知直线l 过点(0,7)，且与直线y ＝－4x ＋2平行，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－4x －7B ．y ＝4x －7C ．y ＝4x ＋7D ．y ＝－4x ＋7 答案 D解析 过点(0,7)且与直线y ＝－4x ＋2平行的直线方程为y －7＝－4x ，即直线l 的方程为y ＝－4x ＋7，故选D.4．已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0垂直，则ab 的最小值为() A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．2 3 答案 B解析 由已知两直线垂直可得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1，又b >0，所以ab ＝b ＋1b .由基本不等式得b ＋1b ≥2b ·1b ＝2，当且仅当b ＝1时等号成立，所以(ab )min ＝2.故选B.5．坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－45，85 B ．⎝⎛⎭⎫－45，－85C.⎝⎛⎭⎫45，－85 D ．⎝⎛⎭⎫45，85答案 A解析 设对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 02－2×y 02＋2＝0，y 0＝－2x 0，解得⎩⎨⎧ x 0＝－45，y 0＝85，即所求点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，85.6．(2020·上海浦东新区期末)直线x －2y ＋2＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．2x ＋y －4＝0答案 A解析 设P (x ，y )为所求直线上的点，该点关于直线x ＝1的对称点为(2－x ，y )，且该对称点在直线x －2y ＋2＝0上，代入可得x ＋2y －4＝0.故选A.7．(2021·豫西五校联考)过点P (1,2)作直线l ，若点A (2,3)，B (4，－5)到它的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．4x ＋y －6＝0或x ＝1B ．3x ＋2y －7＝0C ．4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0D ．3x ＋2y －7＝0或x ＝1答案 C解析 若A ，B 位于直线l 的同侧，则直线l ∥AB .k AB ＝3＋52－4＝－4，∴直线l 的方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0；若A ，B 位于直线l 的两侧，则直线l 必经过线段AB 的中点(3，－1)，∴k l ＝2－－11－3＝－32， ∴直线l 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0. 综上，直线l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0，故选C.8．(2020·宝鸡模拟)光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有( )A ．a ＝13，b ＝6 B ．a ＝－3，b ＝16 C ．a ＝3，b ＝－16D ．a ＝－13，b ＝－6 答案 D解析 由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称，所以直线y ＝ax ＋2上的点(0,2)关于直线y ＝－x 的对称点(－2,0)在直线y ＝－3x ＋b 上， 所以(－3)×(－2)＋b ＝0，所以b ＝－6，所以直线y ＝－3x －6上的点(0，－6)关于直线y ＝－x 的对称点(6,0)在直线y ＝ax ＋2上，所以6a ＋2＝0，所以a ＝－13. 二、填空题 9．(2021·南昌联考)已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________．答案 x ＋2y －3＝0解析 由题意可知圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1,2)，由已知得直线l 2的斜率k ＝－12，所以直线l 2的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0. 10．直线x －2y －3＝0关于定点M (－2,1)对称的直线方程是________．答案 x －2y ＋11＝0解析 设所求直线上任一点(x ，y )，则关于M (－2,1)的对称点(－4－x,2－y )在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x )－2(2－y )－3＝0，即x －2y ＋11＝0.11．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则PQ 的最小值为________．答案 2910解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行， 将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910. 12．以点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________． 答案 25解析 因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－－2－3－0＝－43.k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34. 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ，故四边形ABCD 为矩形．故S 四边形ABCD ＝|AB |·|AD |＝1－42＋5－12×0－42＋－2－12＝25.B 级 能力提升13．设△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠B ，∠C 的平分线的方程分别是x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程是( )A ．y ＝3x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝2x ＋5D ．y ＝－x 2＋52 答案 C解析 A 关于直线x ＝0的对称点是A ′(－3，－1)，关于直线y ＝x 的对称点是A ″(－1,3)，由角平分线的性质可知，点A ′，A ″均在直线BC 上，所以直线BC 的方程为y ＝2x ＋5.故选C.14．已知点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( )A ．2 3B ．10C ．14D ．215 答案 B解析 由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，此方程是过直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线系方程．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，可知两直线的交点为Q (1,1)，故直线l 恒过定点Q (1,1)，如图所示，可知d ＝|PH |≤|PQ |＝10，即d 的最大值为10.故选B.15．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，若点A (5,0)到直线l 的距离为3，则l 的方程为________．答案 x ＝2或4x －3y －5＝0解析 法一 两直线交点为(2,1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x －2＝0， 此时A 到直线l 的距离为3，符合题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋(1－2k )＝0. 由点到线的距离公式得d ＝|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，故所求直线方程为4x －3y －5＝0. 综上知，所求直线方程为x －2＝0或4x －3y －5＝0.法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，解得λ＝2或λ＝12. 所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.16．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________． 答案 2解析 因为点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，所以当点P 处的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．因为直线y ＝x －2的斜率等于1，函数y ＝x 2－ln x 的导数y ′＝2x －1x (x >0)，令y ′＝1，可得x ＝1或x ＝－12(舍去)，所以在曲线y ＝x 2－ln x 上与直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.。
高一数学两直线的交点
高一数学两直线的交点高一数学两直线的交点两直线的交点【学习导航】两条直线的方程分别是l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 1:A 2x +B 2y +C 2=0．⎧A 1x +B 1y +C 1=0构成方程组⎧．（＊）A x +B y +C =0解、无解和无穷多组解；2．当两条直线相交时，会求交点坐标；3．学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力．（1）求两直线的交点坐标只需将这两条直线的方程联立成方程组，方程组的解即为交点（2）在解由两直线的方程组成的方程组的时候可能出现的三种结果是：①方程组有一组解，该解为交点坐标；②方程组有无数组解，此时两直线的位置关系为重合，交点个数为无数个；③方程组无解，此时两直线的位置关系是平行，交点个数为 0个．例1：分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：（1）l 1:2x -y =7，l 2:3x +2y -7=0；（2）l 1:2x -6y +4=0，l 2:4x -12y +8=0；（3）l 1:4x +2y +4=0，l 2:y =-2x +3．⎧x =3⎧2x -y -7=0【解】（1）因为方程组⎧的解为⎧, y =-1⎧⎧3x +2y -7=0 -1)．因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，⎧2x -6y +4=0（2）方程组⎧有无数组解，⎧4x -12y +8=0这表明直线l 1和l 2重合．⎧4x +2y +4=0（3）方程组⎧无解， 2x +y -3=0⎧这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2．点评: 研究两条直线l 1, l 2的位置关系（相交、重合、平行）可以转化为两条直线方程所得的方程组⎧⎧A 1x +B 1y +C 1=0的解的个数问题．⎧A 2x +B 2y +C 2=0例2：直线l 经过原点，且经过另外两条直线2x +3y +8=0，x -y -1=0的交点，求直线l 的方程．⎧2x +3y +8=0分析：法一由两直线方程组成方程组⎧，求出交点(-1, -2)，再过原点(0, 0)，⎧x -y -1=0由两点求直线方程．法二设经过两条直线2x +3y +8=0，x -y -1=0交点的直线方程为(2x +3y +8)+λ(x -y -1)=0，又过原点，由(0, 0)代入可求λ的值．点评:已知直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0相交，那么过两直线的交点的直线方程可设为(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0 (λ∈R )例3：某商品的市场需求y 1（万件）、市场供求量y 2（万件）、市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：y =-x +70, y =2x -20．当y 1=y 2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求市场平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？分析：市场平衡价格和平衡需求量实际上就是两直线y =-x +70, y =2x -20交点的横坐⎧y =-x +70的解．⎧y =2x -20⎧y =-x +70⎧x =30【解】（1）解方程组⎧得⎧， y =40y =2x -20⎧⎧标和纵坐标，即方程组⎧故平衡价格为30元/件，平衡需求量为40元/件．（2）设政府给予t 元/件补贴，此时的市场平衡价格（即消费者支付价格）x 元/件，则供货者实际每件得到(x +t ) 元．依题意得方程组⎧⎧-x +70=44，解得x =26, t =6．⎧2(x +t ) -20=44因此，政府对每件商品应给予6元补贴．点评:这是一道关于两直线交点的实际应用题, 关键要读懂题目意思, 而后通过解方程组解决问题.1. 若一条直线过点(2,1)，且与另一条直线y =kx +b 相交于点(1,2),则该直线的方程为x +y -3=0．（ B ） 2. 若三条直线2x +3y +8=0, x -y -1=0, x +ky =0相交于一点，则k 的值等于11 (C ) 2 (D ) 223. 三条直线x +y +1=0，2x -y +8=0，ax +3y -5=0有且只有两个交点，则a = (A ) -2 (B ) -两直线的交点的其他应用例4: 已知三条直线l 1：4x +y -4=0，l 2：xm +y =0，l 3：2x -3my -4=0，求分别满足下列条件的m 的值：（1）使这三条直线交于同一点；（2）使这三条直线不能构成三角形．分析：三条直线交于同一点的条件是两直线交点在第三条直线上；三条直线不能构成三角形的条件是三条直线交于一点或其中有两条直线平行．【解】要使三直线交于一点，则l 1与l 2不平行，∴m ≠4，4⎧x =⎧4x +y -4=0⎧4-4m ⎧4-m , ) ，∴由⎧得⎧，即l 1与l 2交点为(-4m 4-m 4-m xm +y =0⎧⎧y =⎧⎧4-m8-4m 2-3m ⋅-4=0，解得m =-1或．代入l 3方程得4-m 4-m 32（2）若l 1、l 2、l 3交于一点，则m =-1或；若l 1//l 2，则m =4； 31若l 1//l 3，则m =-；若l 2//l 3，则m 无解， 621综上可得：m =-1或或4或-． 36点评：三条直线要能构成三角形，只需两两不平行即可．例5：求证：不论m 为何实数，直线l ：(m -1) x +(2m -1) y =m -5恒过一定点，并求出此定点的坐标．分析：证明直线过定点即证定点坐标始终满足直线方程．【解】（法一）将直线l 方程(m -1) x +(2m -1) y =m -5整理为(x +2y -1) m -x -y +5=0，该方程表示过直线x +2y -1=0和-x -y +5=0交点的直⎧x +2y -1=0得交点(9,-4) ，∴直线l 过定点(9,-4) ． -x -y +5=0⎧1（法二）令m =1得y =-4，m =得x =9，两直线y =-4和x =9交点为(9,-4) ， 2将(9,-4) 代入直线方程得9m -9-8m +4=m -5恒成立，所以，直线l 过定点(9,-4) ．由⎧点评：以上两种方法是处理直线过定点问题的常用方法．因为直线上点的坐标就是对应方程的解, 所以两直线是否有交点, 取决于它们对应方程组成的方程组是否有唯一解. 体验“形”的问题怎样通过“数”的运算来解决, 从而感悟到解析几何的本质(即用代数的方法来研究或解决几何问题).１．已知两直线a 1x +b 1y +3=0和a 2x +b 2y +3=0的交点是(2,3)，则过两点=0 P (a 1, b 1), Q (a 2, b 2) 的直线方程是（ C ）(A ) 3x +2y =0 (B ) 2x +3y +3=0(C ) 3x +2y +3=0 (D ) 2x -3y -52．（2002北京文，6）若直线l ：y ＝kx -3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ B ） (A ) [, ) (B ) (, ) ππππ6362(C ) (, ) (D ) [, ] ππππ3262解法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围⎧x =⎧⎧⎧y =kx ⎧ ⇒⎨⎨2x +3y -6=0⎧⎧⎧y =⎧⎧∵交点在第一象限，⎧3(2+) >0⎧⎧x >0⎧2+3k ∴⎧ ∴⎧⎧y >0⎧6k -23>0⎧⎧2+3k3∴k ∈（，＋∞） 3∴倾斜角范围为（ππ62, ）解法二：如图，直线2x +3y －6=0过点A （3，0），B （0，2），直线l 必过点（0，－），当直线过A 点时，两直线的交点在x 轴，当直线l 绕C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.点评：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求得结果.11, -) ． k k４．求证：不论m 为何实数，直线l ：(2m -1) x -(m +3) y -(m -11) =0恒过一定点，并求出３．设m +n =k （k 为非零常数），则直线mx +ny +1=0恒过点(-此定点的坐标．答案：定点坐标为(2,3)．两条直线的交点1. 直线A 1x +B 1y +C 1=0与A 2x +B 2y +C 2=0重合, 则必有 ( )(A) A 1=A 2, B 1=B 2, C 1=C 2. (B) A 1B 1C 1. ==A 2B 2C 2(C)两直线斜率和截距都相等.(D) A 1=mA 2, B 1=mB 2, C 1=mC 2(m ∈R , m ≠0)列直线中, 与. 2. 下直线2x -y -=3相交的直线是(A) 2ax -ay +6=0(a ≠0) . (B) y =2x .(C) y =2x +5. (D) y =-2x +3.3. 若三条直线2x +3y +8=0, x -y -1=0,x +ky =0相交于一点, 则实数k 的值等于（）(A)-2. (B) -11. (C)2. (D) . 224. 当a 取不同的实数时，直线(a -1) x -y +2a +1=0恒过一个定点，这个定点的坐标是（）(A) (2,3). (B) (-2,3) .(C) (1,-) . (D) (-2,0) .5. 已知点A (1,3)关于直线l 的对称点为B (-5,1) ，则直线l 的斜率为．6. 如果两条直线2x +3y -m =0和x -my +12=0的交点在y 轴上，则m 的值7. 直线ax +4y -2=0与直线2x -5y +c =0垂直并相交于点(1,m ) ，则a =，12c = ，m = .8. 求经过2x +y +8=0和x +y +3=0的交点，且与直线2x +3y -10=0垂直的直线方程.9. 若三条直线4x +y +4=0，mx +y +1=0，x -y +1=0不能围成三角形, 求实数m 的值.10. (1)当λ变化时，方程x -2y +1+λ(2x +3y +9) =0表示什么图形？图形有何特点？(2)求经过直线x -2y +1=0和2x +3y +9=0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．11. 已知过原点的直线l 与两直线l 1:4x +y +6=0，l 2:3x -5y -6=0交点的横坐标分别为x A ，x B 且x A +x B =0，求直线l 的方程．12. 已知两点A (-1,0) 和B (1,0)，直线y =-2x +b 与线段AB 相交，求b 的取值范围．。
高中数学- 两条直线的交点坐标
分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点:
(1)l1:x+y=8; (2)l1:3x-4y-12=0; (3)l1:y=2x+1;
l2:2x-3y=1; l2:6x-8y-24=0; l2:2x-y+2=0.
【分析】观察两直线组成的方程组解的情况,从而作出 相应的判断.
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【解析】 (1)因为方程组 x+y=8
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(2)已知两条直线的方程分别是
l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如果l1与l2相交且交点
为P(x0,y0),则P点的坐标应满足方程组
A1x B1y C1 0 A2x B2y C2 0
如果P点的坐标是方程组
A xB yC 0
1
1
1
A2x B2y C2 0
返回
【解析】解法一：解方程组 2x+y+8=0 x+y+3=0,
得交点P(-5,2).
∵直线2x+3y-10=0的斜率k= 2 ,
∴所求直线的斜率是 3
3
.
2
因此所求直线方程为3x-2y+19=0.
解法二：设所求直线方程为3x-2y+m=0,
解方程组
2x+y+8=0 x+y+3=0 得交点P(-5,2).
把点P(-5,2)的坐标代入3x-2y+m=0,求得m=19.
两条直线的交点坐标ppt课件
中线AF : x 1,中线BG : 7 x 9 y 5 0,中线CE : x 9 y -13 0.
x 1
x 1
4
由
, 解得
,
即交点
P
坐标为
(1,
).
4
y
3
7 x 9 y 5 0
3
4
1 9 13=0, 点P在中线CE所在直线，ABC三条中线交于一点.
y = k1x + b1
y = k2x + b2
方程解的个数 一组
直线的关系
A1x+B1y+C1+λ( A2x+B2y+C2)=0
A1x B1 y C1 0
A2 x B2 y C2 0
相交
无解
同一
方程
平行
重合
是过直线A1x+B1y+C1=0和
A2x+B2y+C2=0的交点的直线系
方程
即可。
例2
求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交
点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程.
[自主解答] 方法一
+ － = ，
＝－，
解方程组
，得
= .
+ + = ，
即l1与l2的交点坐标为（－1，2）.
又由直线l3的斜率为 ，得直线l的斜率为－ ，
联立方程组
+ + ＝和 + + ＝
y = k1x + b1
高中数学-直线的交点坐标与距离公式 (知识导学+例题解析+达标训练)
高中数学-直线的交点坐标与距离公式一、知识导学：1、理解求两条直线交点的方法思想，能正确地通过解方程组确定交点坐标并通过求交点坐标判断两条直线的位置关系；2、通过沟通方程组的解的情况与相应两条直线的交点个数（位置关系） 情况，进一步渗透数形结合、坐标法思想。
3、掌握直角坐标系中两点间、点到直线和两条平行线的距离公式的推导 及应用，会用坐标法证明简单的几何问题。
二、基础知识：1、点的坐标与直线方程的关系：已知两条直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=相交。
几何元素及关系代数表示 点A A （a ，b ）直线l l ：0=++C By Ax 点A 在直线l 上0Aa Bb C ++=直线1l 、2l 的交点是A 点A 的坐标是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解2、判断两条直线1l 、2l 的位置关系：通过解方程组确定交点坐标。
已知两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ， 将方程联立，得⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A ，对于这个方程组解的情况有三种：（1）若方程组有唯一解⎩⎨⎧==00y y x x ，则1l 、2l 有___________的公共点，此解就是交点坐标),(00y x P ，即1l 与2l 相交。
1l 与2l 相交111221220A B A B A B A B ⇔≠⇔-≠ （2）若方程组无解，则1l 、2l _________公共点，即_________，1l 与2l 平行1221111122122200A B A B A B C B C B C A B C -=⎧⇔=≠⇔⎨-≠⎩ （3）若方程组有_________解，则1l 、2l 有_______公共点，即重合。
1l 与2l 重合1221111122122200A B A B A B C B C B C A B C -=⎧⇔==⇔⎨-=⎩ 例1、判断下列各对直线的位置关系。
2.3.1 两条直线的交点坐标ppt
出λ,即得所求直线方程.
(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.
---1
=
0,
解方程组
得直线所过定点.
+ 2 = 0,
解 (1)设所求直线方程为 x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.∵点 P(1,0)在直线上,
1
∴1-2+λ(3+2)=0.∴λ=5.
∴所求方程为
1
x+2y-2+ (3x-2y+2)=0,
2023
人教版普通高中教科书·数学
第二章
选择性必修
2.3.1 两条直线的交点坐标
第一册
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习02课堂篇 探究学习课标阐释
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(数学运算)
2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.(数学运算)
思维脉络
课前篇 自主预习
[激趣诱思]
+ + 3 = 0,
∵P(3,0)为线段 AB 的中点,
∴
3-2
3-3
+
-2
+1
4 6
=
-2 +1
= 6,
0.
2-16 = 0,
∴ 2
-8 = 0.
∴k=8.∴所求直线方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0.
(方法2)设A点坐标为(x1,y1),则由P(3,0)为线段AB的中点,得B点坐标为(6x1,-y1).
【解析】由(m＋1)(m－1)＋4＝m2 ＋3≠0，因此方程组有唯一的
解．
两条直线的交点-高考数学复习PPT
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索引
6.三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10，2x－y＝10相交于一点，则实数a的值
为___－__1___.
解析 由42xx＋ －3y＝y＝1100，解得yx＝＝－4，2，
把(4，－2)代入直线ax＋2y＋8＝0，可得4a－4＋8＝0，解得a＝－1.
两条直线的交点
索引
课标要求 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.会利用直线系方程 解决相关问题.
素养要求 通过求解两直线的交点坐标，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理 素养.
内容 索引
问题导学预习教材 必备知识探究
互动合作研析题型 关键能力提升
拓展延伸分层精练 核心素养达成
问题导学预习教材 必备知识探究
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2.若直线x＋ky＝0，2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一点，则k的值是( B )
1 A.2
B.－12
C.2
D.－2
解析 由方程组2xx－＋y－3y＋1＝8＝ 0 0，得直线 2x＋3y＋8＝0 与 x－y－1＝0 的交点坐标
为(－1，－2)，
代入直线 x＋ky＝0 得 k＝－21.
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索引
3.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程是( D )
A.19x－9y＝0
B.9x＋19y＝0
C.19x－3y＝0
D.3x＋19y＝0
解析 由方程组x2－ x＋3yy＋ ＋45＝ ＝00，
解得x＝－179， y＝37，
∴两直线的交点为－179，37，
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两直线交点课件
通过在坐标系中绘制两条直线，然后找到它们的交点。这种方法直观且易于理 解，但精度可能不如代数法高。
02
两直线交点的求解
代数法
总结词
通过解方程组来求解两直线的交点。
详细描述
首先，我们需要两个直线方程，例如 $y = mx + c$ 和 $y = nx + d$。然后，我 们解这两个方程的方程组来找到 $x$ 和 $y$ 的值，即两直线的交点。解方程组 的过程包括消元、代入等步骤。
几何法
总结词
通过观察直线的图像来找到两直线的 交点。
详细描述
在坐标系中，画出两条直线的图像， 然后找到两条直线相交的点，这个点 就是两直线的交点。这种方法直观易 懂，但可能不够精确。
解析几何法
总结词
利用解析几何的知识来求解两直线的 交点。
详细描述
解析几何法包括使用直线的一般方程 $Ax + By + C = 0$ 和联立方程组来 求解交点。这种方法需要一定的解析 几何知识，但可以得出精确的答案。
多条直线的交点
定义
应用
多条直线相交于一点，该点称为多条 直线的交点。
在几何学中，多条直线的交点是研究 几何图形的重要工具，例如在解析几 何中，通过多条直线的交点可以确定 平面上的点和线。
性质
多条直线相交于一点的情况可能有多 种，例如三条直线可能有一个共同的 交点，也可能每两条直线有一个不同 的交点。
05
两直线交点的实际应用案例
建筑学中的应用
确定建筑物的位置和方向
在建筑设计中，确定两条直线的交点可以帮助确定建筑物的位置 和方向，确保建筑物的规划符合设计要求。
确定道路交叉口
在城市规划和道路设计中，计算两条道路的交点对于确定道路交叉 口的几何形状和位置至关重要。
高中数学一轮复习微专题第17季直线：第6节 两条直线的交点
第6节 利两条直线的交点【基础知识】1.两条直线相交：对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，若12210A B A B -≠，则方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，联立方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩， 若方程组有无数组解，则12,l l 重合．【规律技巧】涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征.【典例讲解】【例一】若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值范围是________．【答案】k 0＝或k 1≥【解析】由题意，知|1|x kx -=，原方程有且只有一个正实根，即|1|,y x y kx =-=的唯一交点位于第一象限，结合图形，可得k 0＝或k 1≥.【综合点评】涉及两直线的交点问题，即解方程组问题；注意利用数形结合思想，将直线的交点问题与方程组求解问题灵活的加以转化.【针对训练】1、已知两条直线1l ：0x By C ++=，2l ：20x By -+= 的交点为P (1，－3)，求B 、C 的值.【答案】2a =-2、经过两条直线3x 4y 50+=﹣和3x 4y 130=﹣﹣=0的交点，且斜率为2的直线方程是（ ）A ．2x+y ﹣7=0B ．2x ﹣y ﹣7=0C ．2x+y+7=0D ．2x ﹣y+7=0【答案】B3、直线1:30l Ax y C ++=与2:2340l x y -+=，若12l l 、的交点在y 轴上，则C 的值为（ ）A 、4B 、－4C 、4或－4D 、与A 的取值有关【答案】B【解析】设12l l 、的交点为(0,)b ，代入两直线的方程得：304340b C C b +=⎧⇒=-⎨-+=⎩.∴选B ．4、已知a 为实数，两直线1l ：01=++y ax ，2l ：0=-+a y x 相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.【答案】见解析【巩固提升】1．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在 ( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.答案 －93．已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y ＝ax ＋b(a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12 【答案】B【解析】方法一：易得△ABC 面积为1，利用极限位置和特值法．当a ＝0时，易得b ＝1－22；当a ＝13时，易得b ＝13；当a ＝1时，易得b ＝2－1>13.故选B. 方法二：(直接法)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b y ＝a ＋b a ＋1，y ＝ax ＋b 与x 轴交于⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形与a>0 ，12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12(a ＋b)2＝a(a ＋1)>0a ＝b 21－2b . ∵a>0，∴b 21－2b>0b<12，当a ＝0时，极限位置易得b ＝1－22，故答案为B. 4、已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解（C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解【答案】B5.过点(2,3)的直线被两平行直线12:2590,:2570l x y l x y -+=--=所截得线段AB 的中点恰好在直线410x y --=上,求直线的方程.【答案】4x 5y 70-+=。
两条直线的交点名师课件
A1x B1y C1 m(A2x B2 y C2 ) 0
六、作业布置:
课课练 P 56 第7课时
（3）l1 : x y 1 0 l2 : x y 1 0 平行
（4）l1 : x y 1 0 l2 : x 1 0
相交
（5）l1 : y 1 0 l2 : 2x 1 0
相交
四、知识讲授:
归纳总结：
两条直线的位置关系
相交 重合 平行
二元一次方程组的解
l2 : 4x 12 y 8 0
（3）l1 : 4x 2 y 4 0 l2 : 2x y 3 0
相交于点 (3,1) 重合 平行
练习1：分别判断下列各组直线的位置关系：
（1） l1 : 2x y 7 0 l2 : x y 1 0 相交
（2）l1 : x 2 y 1 0 l2 : 2x 4 y 2 0 重) 8( x y 1) 0
即
2x y 0
为过两直线 l1, l2 的交点 的 直线系
创新应用
例3：某商品的市场需求量 y1（万件）、市场供应量 y2（万件）
与市场价格 x（元/件）分别近似地满足下列关系：
y1 x 70 ，y2 2x 20
Ax 3 y C 0 ，2x 3 y 4 0
C 4 且直线 l1，l2的交点在 y轴上，求 C 的值。
五、课堂小结:
本节课我们得到了什么？ 归纳总结：
1、两条直线的位置关系
二元一次方程组的解
相交 重合 平行
一解 无数 无解
2、过直线l1：A1x B1 y C1 0和l2：A2x B2 y C2 0 的交点的直线系方程为：
高一数学两条直线的交点.doc
§2.1.4 两条直线的交点教学目标：1．知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解2．当两条直线相交时，会求交点坐标3．学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力 教学重点：根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线相交求交点教学难点：对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解教学过程：1．引入新课问题：任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，那么两条直线是否有交点与它们的方程所组成的方程组是否有解有何联系？2．两条直线的交点设两条直线的方程分别是l :0=++C y B x A ,l :0=++C y B x A ．研究两条直线21的位置关系(相交、重合、平行)可以转化为两条直线方程所得的方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的解的个数问题． 3．例题讲解例1．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：(1)1l :72=-y x ，2l :0723=-+y x ；(2)1l :0462=+-y x ，2l :08124=+-y x ；(3)1l :0424=++y x ，2l :32+-=x y ．解：(1)⎩⎨⎧=-+=--0723072y x y x 的解为31x y =⎧⎨=-⎩，直线1l 与2l 相交，交点坐标为()13-，． (2)⎩⎨⎧=+-=+-081240462y x y x 有无数组解，这表明直线1l 和2l 重合． (3)⎩⎨⎧=-+=++0320424y x y x 无解，这表明直线1l 和2l 没有公共点，故12l l ． 例2．直线l 经过原点，且经过另外两条直线0832=++y x ，01=--y x 的交点，求直线l 的方程．分析：法一：由两直线方程组成方程组⎩⎨⎧=--=++010832y x y x ，求出交点()2,1--，再过原点()0,0，由两点求直线方程．法二：设经过两条直线0832=++y x ，01=--y x 交点的直线方程为()()01832=--+++y x y x λ，又过原点，由()0,0代入可求λ的值．(直线系)结论：已知直线1l :0111=++C y B x A ，2l :0222=++C y B x A 相交，那么过两直线的交点的直线(不含2l )方程可设为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ()R ∈λ． 练习：(1)求证：无论m 为何实数，l ：5)12()1(-=-+-m y m x m 恒过一定点，求出此定点坐标．(2)求经过两条直线0332=--y x 和02=++y x 的交点，且与直线013=-+y x 垂直的直线的方程．例3．(教科书86P 例3)某商品的市场需求1y (万件)、市场供求量2y (万件)、市场价格x (元/件)分别近似地满足下列关系：202,70-=+-=x y x y ．当21y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．(1)求市场平衡价格和平衡需求量；(2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？解：(1)解方程组⎩⎨⎧-=+-=20270x y x y 得⎩⎨⎧==4030y x ， 故平衡价格为30元/件，平衡需求量为40元/件．(2)设政府给予t 元/件补贴，此时的市场平衡价格(即消费者支付价格)x 元/件，则供货者实际每件得到)(t x +元．依题意得方程组⎩⎨⎧=-+=+-4420)(24470t x x ，解得6,26==t x ．因此，政府对每件商品应给予6元补贴．例4．已知直线1l :310x my +-=，2l :3250x y --=，3l :650x y +-=，(1)若这三条直线交于一点，求m 的值；(2)若三条直线能构成三角形，求m 的值．解：(1)325016501x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩，代入1l 得，2m =； (2)分析：当三直线交于一点或其中两条互相平行时，它们不能构成三角形．○1由(1)得，当2m =时，三线共点，不能构成三角形， ○2当12l l 时，2m =-，当13l l 时，12m =，此时它们不能构成三角形， 综上所述：当2m ≠±且12m ≠时，三条直线能构成三角形． 4．课堂小结通过对两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程组的解的个数与直线位置关系的联系．培养同学们的数形结合、分类讨论和转化的数学思想方法．。
高一数学最新课件-两条直线的交点 精品
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1 C2
0 0
P113 例1
l1 : 3x 4 y 2 0 l2 : 2x y 2 0
画图 两点确定一条直线
练习P114 1（1）
▪ 两点确定一条直线
y
l1
l2
1
2
l1
// l2
kb11
k2 b2
x
y
l2
l1
1
2 l1 l2 k1 k2 1
▪ （1）x R
▪ （2）x [1,5] ▪ （3）x [3,5]
▪ 技巧：遇到二次函数就求对称轴方程和顶点 坐标，并画图像。
解：
3
k1 k2 4
b1 b2
所以l1//l2
另一方面
3x 4y 4 0
6x
2
y
1
0
所以l1//l2
无解 直线l1与l2的无交点
P114 例2
（3）l1 : 3x 4 y 5 0 l2 : 6x 8y 10 0 l2 : 3x 4 y 5 0
直线l1与l2重合
练习P114 2
x
P114 例2（1） l1ຫໍສະໝຸດ : x y 0解：解方程组
l2 : 3x 3y 10 0
k1 k2 l1和l2相交
x y 0 3x 3y 10 0 得
x
5 3
y
5 3
直线l1与l2的交点是
M (5, 5) 33
P114 例2
（2）l1 : 3x 4 y 4 0 l2 : 6x 2 y 1 0
l2 : A2 x B2 y C2 0
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1 C2
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第6节 利两条直线的交点
【基础知识】
1.两条直线相交：对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，若
12210A B A B -≠，则方程组11122200
A x
B y
C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.
2.两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，联立方程组
11122200
A x
B y
C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩， 若方程组有无数组解，则12,l l 重合．
【规律技巧】
涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征.
【典例讲解】
【例一】若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值范围是________．
【答案】k 0＝或k 1≥
【解析】由题意，知|1|x kx -=，原方程有且只有一个正实根，即|1|,y x y kx =-=的唯一交点位于第一象限，结合图形，可得k 0＝或k 1≥.
【综合点评】
涉及两直线的交点问题，即解方程组问题；注意利用数形结合思想，将直线的交点问题与方程组求解问题灵活的加以转化.
【针对训练】
1、已知两条直线1l ：0x By C ++=，2l ：20x By -+= 的交点为P (1，－3)，求B 、C 的值.
【答案】2a =-
2、经过两条直线3x 4y 50+=﹣和3x 4y 130=﹣﹣=0的交点，且斜率为2的直线方程是（ ）
A ．2x+y ﹣7=0
B ．2x ﹣y ﹣7=0
C ．2x+y+7=0
D ．2x ﹣y+7=0
【答案】B
3、直线1:30l Ax y C ++=与2:2340l x y -+=，若12l l 、的交点在y 轴上，则C 的值为（ ）
A 、4
B 、－4
C 、4或－4
D 、与A 的取值有关
【答案】B
【解析】设12l l 、的交点为(0,)b ，代入两直线的方程得：304340
b C C b +=⎧⇒=-⎨-+=⎩.∴选B ．
4、已知a 为实数，两直线1l ：01=++y ax ，2l ：0=-+a y x 相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.
【答案】见解析
【巩固提升】
1．当0<k <12
时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在 ( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，
即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.
答案 －9
3．已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y ＝ax ＋b(a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )
A ．(0，1) B.⎝⎛⎭
⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦
⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12 【答案】B
【解析】方法一：易得△ABC 面积为1，利用极限位置和特值法．当a ＝0时，易得b ＝1－22；当a ＝13时，易得b ＝13；当a ＝1时，易得b ＝2－1>13
.故选B. 方法二：(直接法)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b
y ＝a ＋b a ＋1 ，y ＝ax ＋b 与x 轴交于⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形与a>0 ，12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12 (a ＋b)2＝a(a ＋1)>0 a ＝b 21－2b
. ∵a>0，∴b 21－2b
>0 b<12，当a ＝0时，极限位置易得b ＝1－22，故答案为B.
4、已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211
a x
b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）
（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解
（C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解
【答案】B
5.过点(2,3)的直线被两平行直线12:2590,:2570l x y l x y -+=--=所截得线段AB 的中点恰好在直线410x y --=上,求直线的方程.
【答案】4x 5y 70-+=。