限时规范训练

小题精练(八) 三角函数(限时：60分钟)1．(2014·武汉市调研测试)要得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需将函数y ＝sin(2x ＋1)的图象( )A ．向右平移12个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向左平移1个单位2．(2013·高考新课标全国卷)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12D.233．若α是第四象限角，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－512，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝( ) A.15 B ．－15C.513D ．－5134．在平面直角坐标系中，函数y ＝cos x 和函数y ＝tan x 的定义域都是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，它们的交点为P ，则点P 的纵坐标为( ) A.－1＋52B.－1＋52C.22D.325．(2014·普通高三质检)函数f (x )＝x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x ≤π2的图象大致是( )6．已知函数f (x )＝2sin 2x ＋23sin x cos x －1的图象关于点(φ，0)对称，则φ的值可以是( ) A ．－π6B.π6 C ．－π12D.π127．(2014·成都市诊断检测)函数f (x )＝|sin x －cos x |＋sin x ＋cos x (x ∈R)的最小值为( ) A ．0B ．－22C ．－ 2D ．－28．(2013·高考北京卷)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．(2013·高考山东卷)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4 C ．0D ．－π410．(2013·高考浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－4311．(2014·山西省质检)已知函数f (x )＝M cos(ωx ＋φ)(M ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC ＝BC ＝22，∠C ＝90°，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( ) A ．－12B.12 C ．－22D.2212．(2013·高考江西卷)如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )13．(2014·深圳市模拟)化简sin 2 013°的结果是________． 14．方程2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝2在区间(0，π)内的解为________． 15．(2014·湖南省五市十校联考)已知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3，则lg(sin α＋2cosα)－lg(3sin α＋cos α)＝________．16．关于f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，有以下命题： ①若f (x 1)＝f (x 2)＝0，则x 1－x 2＝k π(k ∈Z)； ②f (x )图象与g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4图象相同； ③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π8，－3π8上是减函数； ④f (x )图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称． 其中正确的命题是________．小题精练(八)1．解析：选A.y ＝sin(2x ＋1)＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，要得到y ＝sin 2x 的图象，只需将y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象向右平移12个单位即可，故选A. 2．解析：选A.结合二倍角公式进行求解． ∵sin 2α＝23，∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16. 3．解析：选 D.由题意知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513.4．解析：选A.cos x ＝tan x ⇒cos 2x －sin x ＝0⇒sin 2x ＋sin x －1＝0⇒sin x ＝5－12⇒cos x ＝5－12，即点P 的纵坐标为 －1＋52. 5．解析：选B.因为f (－x )＝(－x )2cos(－x )＝x 2cos x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除C 、D ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π32cos π3＝π218＞0，故排除A ，应选B.6．解析：选D.因为f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π12，0，k ∈Z 对称，取k ＝0，得φ＝π12，故选D.7．解析：选C.依题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥cos x2cos x ，sin x ＜cos x .根据函数解析式，作出一个周期内的函数图象观察即可看到最小值为－ 2.8．解析：选A.根据曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点时sin φ＝0以及举反例法求解． 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，此时曲线y ＝sin(2x ＋φ)必过原点，但曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件． 9．解析：选B.利用平移规律求得解析式，验证得出答案．y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ. 当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数； 当φ＝π4时，y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x ，为偶函数； 当φ＝0时，y ＝sin(2x ＋π4)，为非奇非偶函数；当φ＝－π4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.10．解析：选C.先利用条件求出tan α，再利用倍角公式求tan 2α.把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，即3cos 2α＋4sinαcos α＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32，所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 11．解析：选A.依题意，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，函数f (x )的最小正周期是2，故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12cos(πx ＋φ)．又函数f (x )是奇函数，于是有φ＝k π＋π2，其中k ∈Z.由0＜φ＜π得φ＝π2，故f (x )＝－12sin πx ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12sin π2＝－12，选A.12．解析：选B.通过圆心角α将弧长x 与时间t 联系起来． 圆半径为1，设弧长x 所对的圆心角为α，则α＝x ，如图所示，cosα2＝1－t ，即cos x2＝1－t ，则y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(1－t )2－1＝2(t －1)2－1(0≤t ≤1)．其图象为开口向上，在[0，1]上的一段抛物线．13．解析：sin 2 013°＝sin(5×360°＋213°)＝sin 213°＝sin(180°＋33°)＝－sin 33°. 答案：－sin 33°14．解析：依题意得，cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝22，当x ∈(0，π)时，x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，于是有x －π4＝π4，即x ＝π2，故方程2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2在区间(0，π)内的解是π2.答案：π215．解析：利用两角和的正切公式得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝3， ∴tan α＝12，lg(sin α＋2cos α)－lg(3sin α＋cos α)＝lg sin α＋2cos α3sin α＋cos α＝lg 1＝0.答案：016．解析：①不正确，∵x 1，x 2可关于对称轴对称； ∵g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋3π4 ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－（－2x ＋3π4）＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故②正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π8，－3π8时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，－π2，∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π8，－3π8上是减函数，故③正确；当x ＝－π8时，2x ＋π4＝0，∴④正确． 答案：②③④。