高三数学(文科)高考一轮总复习课时跟踪检测10-3用样本估计总体含解析
2019届高三一轮文科数学课件：10.3-用样本估计总体(含答案)
考点频 命题趋势 率 5年28 频率分布直 考 方图是重 点考查的， 另外，根 5年44 据频率分 考 布直方图、 茎叶图中 的数据， 计算或估 计平均数、
2
基础自主梳理
「基础知识填一填」 1．作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中 最大值 (2)决定 组距 (3)将数据 分组 (4)列 频率分布表 与 ； ； ．
组数 ；
与
最小值 的差)；
(5)画 频率分布直方图
2．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的 中点 ，就得到频 率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时 所分的组数 增加， 组距 减 小，相应的频率折线图会越来越接．茎叶图的优点 茎叶图的优点是不但可以 保留 所有信息，而且可以 随时 记录， 这对数据的记 录和表示都能带来方便．
答案：A
2．已知一组数据的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是(
A．27.5 B．28.5 C．27 D．28
)
1 解析：由茎叶图可知中间两个数为 27,28，故中位数为 (27＋28) ＝27.5，故选 2 A.
答案：A
3．(2018 届大连模拟)某班级有 50 名同学，一次数学测试平均成绩是 92，如果 学号为 1 号到 30 号的同学平均成绩为 90，则学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 ________．
4．用样本数字特征估计总体 (1)众数、中位数、平均数
定义 在一组数据中出 现次数最多的数 据
特点 体现了样本数据 的最大集中点， 不受极端值的影 响，而且不唯一
众 数
将一组数据按大小顺序依 中位数 次排列，处在最中间位置 的一个数据(或最中间两 个数据的平均数) 平均数 样本数据的算术平均数
新高考数学文科一轮总复习课时练习15.2用样本估计总体(含答案详析)
第2讲 用样本估计总体1．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如图K15-2-1所示的茎叶图，则这组数据的中位数和平均数分别是( )图K15-2-1A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和922．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图K15-2-2，其中支出在[50,60)的同学有30人，若想在这n 人中抽取50人，则在[50,60)之间应抽取的人数为( )图K15-2-2A ．10人B ．15人C ．25人D ．30人3．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为( ) A ．32 B ．0.2C ．40D ．0.254．(2013年山东)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图K15-2-3中以x 表示．则7个剩余分数的方差为( )图K15-2-3A.1169B.367 C ．36 D.6 775．(2012届广东佛山质检)某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图K15-2-4，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )图K15-2-4A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁6．(2013年广东佛山一模)课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市个数分别为4、12、8.若用分层抽样的方法抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市个数为____________．7．(2012年广东韶关高三调研)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13,14)；第二组[14,15)，…，第五组[17,18)．如图K15-2-5是按上述分组方法得到的频率分布直方图．若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数等于________人．图K15-2-58．(2012年广东)由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________(从小到大排列)．9．(2011年广东广州综合测试)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量(单位：克)是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图K15-2-6.图K15-2-6(1) 根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；(2) 若从乙车间6件样品中随机抽取2件，求所抽取的2件样品的重量之差不超过2克的概率．10．从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量，被抽取的学生的身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，图K15-2-7是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)图K15-2-7(2)试估计这所学校高三年级800名学生中身高在180 cm以上(含180 cm)的人数；(3)在样本中，若第二组有1名男生，其余为女生，第七组有1名女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰有一男一女的概率是多少？第2讲 用样本估计总体1．A 2.B 3.A4．B 解析：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87,90,90,91,91,94,90＋x .∴这组数据的平均数是87＋90＋90＋91＋91＋94＋90＋x 7＝91，∴x ＝4. ∴这组数据的方差是17(16＋1＋1＋0＋0＋9＋9)＝367. 5．C 6.2 7.278．1,1,3,3 解析：不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4，x 1，x 2，x 3，x 4∈N *，依题意得x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，s ＝14[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2]＝1， 即(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝4，所以x 4≤3.则只能x 1＝x 2＝1，x 3＝x 4＝3，则这组数据为1,1,3,3.9．解：(1)x 甲＝16(107＋111＋111＋113＋114＋122)＝113， x 乙＝16(108＋109＋110＋112＋115＋124)＝113， s 2甲＝16[(107－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2＋(113－113)2＋(114－113)2＋(122－113)2]＝21，s 2乙＝16[(108－113)2＋(109－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(124－113)2]＝883， ∵x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙 ，∴甲车间的产品的重量相对较稳定．(2)从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法：(108,109)，(108,110)，(108,112)，(108,115)，(108,124)，(109,110)，(109,112)，(109,115)，(109,124)，(110,112)，(110,115)，(110,124)，(112,115)，(112,124)，(115,124)．设A 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，则A 的基本事件有4种：(108,109)，(108,110)，(109,110)，(110,112)．故所求概率为P (A )＝415. 10．解：(1)由频率分布直方图得第七组频率为：1－(0.008×2＋0.016×2＋0.04×2＋0.06)×5＝0.06，∴第七组的人数为0.06×50＝3.(2)级800名学生中身高在180 cm 以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144(人)．(3)第二组中四人可记为a ，b ，c ，d ，其中a 为男生，b ，c ，d 为女生，第七组中三人可记为1,2,3，其中1,2所以基本事件有12个．实验小组中恰有一男一女的事件有1b,1c,1d,2b,2c,2d,3a，共7个，因此实验小组中恰有一男一女的概率是712.。
高考数学一轮复习 课时跟踪检测10 文 新人教A版
课时跟踪检测(十)[高考基础题型得分练]1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＜0，2x－1，x ≥0的图象大致是( )A B C D 答案：B解析：当x <0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.2．[2017·山东日照二模]函数y ＝e cos x(－π≤x ≤π)(其中e 为自然对数的底数)的大致图象为( )A B C D 答案：C 解析：函数y ＝e cos x(－π≤x ≤π)是偶函数，在[0，π]上是减函数，故可排除A ，B ，D ，故选C.3．为了得到函数y ＝2x －3－1的图象，只需把函数y ＝2x的图象上所有的点( )A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 答案：A解析：y ＝2x ――→向右平移3个单位长度y ＝2x －3――→向下平移1个单位长度y ＝2x －3－1. 4．[2017·湖北八校联考]点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是( )A B C D答案：C解析：对A ，B 两个图形来讲，一开始有y ＝OP ＝x ，故排除A ，B ；对图形C ，当x ＝l2，OP 取得最大值，由圆的对称性知其图象应该关于x ＝l 2对称，事实上有y ＝2R sin πxl ；D 是椭圆，OP 取最大值时，不一定是x ＝l2，如O 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)短轴的一个端点，a＞3b 时，x ＝l2时，y ＝OP ＝2b 不是最大值，故选C.5．下列函数f (x )图象中，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＞f (3)＞f (2)的只可能是( )A B C D 答案：D解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A ，B.在C 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＜f (3)，排除C ，故选D.6．[2017·河南洛阳统考]若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (2x )的图象的对称轴方程是( )A ．x ＝－1B ．x ＝－12C ．x ＝12D ．x ＝1答案：C解析：∵f (2x ＋1)是偶函数，其图象关于y 轴，即关于x ＝0对称，而f (2x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴f (2x )的图象可由f (2x ＋1)的图象向右平移12个单位得到，即f (2x )的图象的对称轴方程是x ＝12.7．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1) 答案：D解析：因为f (x )为奇函数， 所以不等式f x －f －x x <0可化为f xx<0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．8．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)答案：A解析：当x ≤0时，f (x )＝2－x－1；当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x－1)－1.故当x >0时，f (x )是周期函数，如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．9．函数f (x )＝x ＋1x的图象的对称中心为________． 答案：(0,1) 解析：因为f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x，故f (x )的图象的对称中心为(0,1)． 10．若函数y ＝f (x ＋3)的图象经过点P (1,4)，则函数y ＝f (x )的图象必经过点________． 答案：(4,4)解析：函数y ＝f (x )的图象是由y ＝f (x ＋3)的图象向右平移3个单位长度而得到的．故y ＝f (x )的图象必经过点(4,4)．11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案：5解析：方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象(图略)，由图象知零点的个数为5.12．[2017·浙江杭州第二次质检]设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 12，0≤x ≤c ，x 2＋x ，－2≤x <0，其中c >0，则函数f (x )的零点为________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则c 的取值范围是________． 答案：－1和0 (0,4]解析：当x ∈[0，c ]时，由f (x )＝0，得x ＝0，当x ∈[－2,0)时，由f (x )＝0，得x ＝－1，故f (x )的零点为－1和0.∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12上单调递减， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，c 上单调递增，而f (－2)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－14，f (c )＝c ，∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，只需c ≤2，则0<c ≤4. [冲刺名校能力提升练]1．函数y ＝xa x|x |(a ＞1)的图象的大致形状是( )A B C D 答案：C解析：y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞0，－a x，x ＜0(a ＞1)，当x ＞0时，其图象是指数函数y ＝a x在y 轴右侧的部分，因为a ＞1，所以其图象具有上升趋势；当x ＜0时，其图象是函数y ＝－a x在y 轴左侧的部分，因为a ＞1，所以其图象具有下降趋势．比较各选项中的图象知，C 符合题意，故选C.2．[2017·浙江杭州模拟]已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝x 2－2ln|x | B ．f (x )＝x 2－ln|x |C ．f (x )＝|x |－2ln|x |D ．f (x )＝|x |－ln|x | 答案：B解析：由函数图象可得，函数f (x )为偶函数，且x ＞0时，函数f (x )的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，22，2,1，由此可得仅函数f (x )＝x 2－ln|x |符合条件． 3．[2017·江西南昌一模]已知函数f (x )＝2e ＋1＋sin x (e 为自然对数的底数)，则函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上的大致图象是( )A BC D答案：A 解析：f ′(x )＝－2e xx ＋2＋cos x ＝－2e x＋1ex ＋2＋cos x,∵e x＋1e x ≥0，∴－2e x＋1ex ＋2≥－22＋2＝－12，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴f ′(x )≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上为增函数，故选A.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，g (x )＝|x －k |＋|x －1|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ 解析：对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min ，观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14.因为g (x )＝|x －k |＋|x －1|≥|x －k －(x －1)|＝|k －1|， 所以g (x )min ＝|k －1|，所以|k －1| ≥14，解得k ≤34或k ≥54.故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞.5．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解：(1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －＝x －2－4，x ≥4，－x x －＝－x －2＋4，x ＜4.f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．6．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋，－x －2＋1，x ∈，作出函数图象如图．(1)由图象知，函数f (x )的单调增区间为[1,2]，[3，＋∞)； 函数f (x )的单调减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图象知0<m <1，∴集合M ＝{m |0<m <1}．。
2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第10章概率、统计和统计案例第1讲(含答案解析)
[学生用书P273(单独成册)]一、选择题1．设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ∪B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件解析：选B ．因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ∪B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件．故选B ．2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0．95B ．0．97C ．0．92D ．0．08解析：选C ．记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0．92．3．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( ) A ．110B ．310C ．710D ．35解析：选C ．“取出的2个球全是红球”记为事件A ，则P (A )＝310．因为“取出的2个球不全是红球”为事件A 的对立事件，所以其概率为P (A )＝1－P (A )＝1－310＝710．4．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1．49元，1．31元，2．19 元，3．40元，0．61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次， 则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是( )A ．12B ．25C ．34D ．56解析：选B ．设事件A 为“甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元”，甲、乙两人抢到红包的所有结果为{1．49，1．31}，{1．49，2．19}，{1．49，3．40}，{1．49，0．61}，{1．31，2．19}，{1．31，3．40}，{1．31，0．61}，{2．19，3．40}，{2．19，0．61}，{3．40，0．61}，共10种情况．其中事件A 的结果一共有4种情况，根据古典概型概率计算公式，得P (A )＝410＝25，即甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是25．故选B ．5．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( ) A ．15B ．25C ．16D ．18解析：选B ．如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25．6．已知集合M ＝{1，2，3，4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．18解析：选C ．易知过点(0，0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14．二、填空题7．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35．答案：358．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，若红球有21个，则黑球有________个．解析：摸到黑球的概率为1－0．42－0．28＝0．3．设黑球有n 个，则0.4221＝0.3n ，故n ＝15．答案：159．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率为________．解析：将2名男生记为A 1，A 2，2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1，A 2A 1共12种情况，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2这4种情况，则其发生的概率为412＝13．答案：1310．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为________．解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ，则其对立事件N －表示“A 1和B 1全被选中”，由于N －＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以P (N －)＝212＝16，由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N －)＝1－16＝56．答案：56三、解答题11．如图，从A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(1)试估计(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， 所以用频率估计相应的概率为44÷100＝0．44． (2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为(3)设A 1，A 2121，B 2L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0．1＋0．2＋0．3＝0．6，P (A 2)＝0．1＋0．4＝0．5，因为P (A 1)＞P (A 2)，所以甲应选择L 1 ． 同理，P (B 1)＝0．1＋0．2＋0．3＋0．2＝0．8， P (B 2)＝0．1＋0．4＋0．4＝0．9， 因为P (B 1)＜P (B 2)，所以乙应选择L 2．12．根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六级，对应空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于等于150时，可以进行户外运动；空气质量指数为151及以上时，不适合进行旅游等户外活动，下表是济南市2017年10月上旬的空气质量指数情况：(1)(2)一外地游客在10月上旬来济南旅游，想连续游玩两天，求适合连续旅游两天的概率． 解：(1)该试验的基本事件空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，基本事件总数n ＝10． 设事件A 为“市民不适合进行户外活动”，则A ＝{3，4，9，10}，包含基本事件数m ＝4．所以P (A )＝410＝25， 即10月上旬市民不适合进行户外活动的概率为25．(2)该试验的基本事件空间Ω＝{(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)}，基本事件总数n ＝9，设事件B 为“适合连续旅游两天的日期”，则B ＝{(1，2)，(5，6)，(6，7)，(7，8)}，包含基本事件数m ＝4， 所以P (B )＝49，所以适合连续旅游两天的概率为49．1．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“”表示未购买．(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0．2．(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0．3．(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0．2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0．6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0．1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．2．以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x ，y ，z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x ＋y ＋z 评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10个青蒿人工种植地，得到如下结果：(2)从长势等级为一级的青蒿人工种植地中随机抽取2个，求这2个人工种植地的综合指标ω均为4的概率．解：(1)计算10个青蒿人工种植地的综合指标，可得下表：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10综合指标1446245353由上表可知，长势等级为三级的种植地只有A1一个，其频率为110，用样本的频率估计总体的频率，可估计这些种植地中长势等级为三级的个数约为180×110＝18．(2)由(1)可知，长势等级是一级的青蒿人工种植地有A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6个，从中随机抽取2个，所有的可能结果为(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A6)，(A2，A7)，(A2，A9)，(A3，A4)，(A3，A6)，(A3，A7)，(A3，A9)，(A4，A6)，(A4，A7)，(A4，A9)，(A6，A7)，(A6，A9)，(A7，A9)，共计15个，综合指标ω＝4的有A2，A3，A6，共3个，则符合题意的可能结果为(A2，A3)，(A2，A6)，(A3，A6)，共3个，故所求概率P＝315＝1 5．。
2025年高考数学一轮复习课时作业-用样本估计总体【含解析】
2025年高考数学一轮复习课时作业-用样本估计总体【原卷版】(时间:45分钟分值:70分)【基础落实练】1.(5分)为加强学校体育工作,推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展.某学校对高一年级6名学生某日在校体育锻炼时长(单位:分钟)进行了统计,记录如下:45,62,51,70,66,59,则该组数据的80%分位数为()A.51B.62C.66D.642.(5分)为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为()A.8B.12C.16D.183.(5分)已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为2,方差为12,则另一组数据3x1-2, 3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数、方差分别为()A.2,12B.2,1C.4,32D.4,924.(5分)某地为践行“绿水青山就是金山银山”的人与自然和谐共生的发展理念,对该地企业已处理的废水进行实时监测.下表是对A,B两家企业10天内已处理的废水的某项指标值的检测结果.下列说法正确的是()A43727398638665758178B82687137616558687794A.A企业该指标值的极差较大B.A企业该指标值的中位数较小C.B企业该指标值的平均数较大D.B企业该指标值的众数与中位数相等5.(5分)(多选题)(2024·湛江模拟)某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计,其结果如图所示,则下列说法正确的有()A.乙同学体温的极差为0.4B.乙同学的体温比甲同学的体温更稳定C.乙同学体温的众数为36.4,中位数与平均数相等D.甲同学体温的第70百分位数为36.56.(5分)某汽车研究院现有300名研究员,他们的学历情况如图所示,该研究院今年计划招聘一批新研究员,并决定不再招聘本科生,且使得招聘后本科生的比例下降到15%,硕士生的比例不变,则该研究院今年计划招聘的硕士生人数为________.7.(5分)(2023·厦门模拟)已知样本数据2,4,8,m的极差为10,其中m>0,则该组数据的方差为__________.8.(10分)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:甲8281797895889384乙9295807583809085(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差;(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.【能力提升练】9.(5分)某校排球社的同学为训练动作组织了垫排球比赛,以下为根据排球社50位同学的垫球个数画的频率分布直方图,所有同学垫球数都在5至40之间.估计垫球数的样本数据的第75百分位数是()A.17.5B.18.75C.27D.2810.(5分)(多选题)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,x3,x4,x5,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则()A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,x3,x4,x5,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,x3,x4,x5,x6的极差11.(5分)(2024·重庆模拟)某学校为了更好地关注青少年的心理健康,对某年级的全体同学进行了一次心理健康测试,测试成绩满分为100分,其中1600名同学的测试成绩的频率分布直方图如图所示,则这1600名同学测试成绩的第65百分位数为__________.12.(10分)为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进学生对中国共产党的热爱,某学校举办了一场党史竞赛活动,共有500名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的成绩,从中抽取了50名学生的成绩(成绩均为整数,满分为100分)进行统计,所有学生的成绩都不低于60分,将这50名学生的成绩(单位:分)进行分组,第一组[60,70),第二组[70,80),第三组[80,90),第四组[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中m的值,并估计此次竞赛活动学生成绩的中位数;(2)根据频率分布直方图,估计此次竞赛活动成绩的平均数.若对成绩不低于平均数的同学进行奖励,请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖.2025年高考数学一轮复习课时作业-用样本估计总体【解析版】(时间:45分钟分值:70分)【基础落实练】1.(5分)为加强学校体育工作,推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展.某学校对高一年级6名学生某日在校体育锻炼时长(单位:分钟)进行了统计,记录如下:45,62,51,70,66,59,则该组数据的80%分位数为()A.51B.62C.66D.64【解析】选C.将6名学生该日在校体育锻炼时长记录从小到大排列为45,51,59,62,66,70,因为80%×6=4.8,所以该组数据的80%分位数为66.2.(5分)为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为()A.8B.12C.16D.18【解析】选B.志愿者的总人数为20=50,所以第三组的人数为50×0.36=18,(0.24+0.16)×1有疗效的人数为18-6=12.3.(5分)已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为2,方差为12,则另一组数据3x1-2, 3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数、方差分别为()A.2,12B.2,1C.4,32D.4,92【解析】选D.因为一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为2,方差为12,所以另一组数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数为3×2-2=4,方差为32×12=92.4.(5分)某地为践行“绿水青山就是金山银山”的人与自然和谐共生的发展理念,对该地企业已处理的废水进行实时监测.下表是对A,B两家企业10天内已处理的废水的某项指标值的检测结果.下列说法正确的是()A43727398638665758178B82687137616558687794A.A企业该指标值的极差较大B.A企业该指标值的中位数较小C.B企业该指标值的平均数较大D.B企业该指标值的众数与中位数相等【解析】选D.将A,B两家企业10天内已处理的废水的某项指标值的检测结果从小到大排列:A企业:43,63,65,72,73,75,78,81,86,98.B企业:37,58,61,65,68,68,71,77,82,94.A企业该指标值的极差为98-43=55,B企业该指标值的极差为94-37=57,A错误;A企业该指标值的中位数为73+752=74,B企业该指标值的中位数为68+682=68,B错误;A企业该指标值的平均数为43+63+65+72+73+75+78+81+86+9810=73.4,B企业该指标值的平均数为37+58+61+65+68+68+71+77+82+9410=68.1,C错误;由上可知,B企业该指标值的众数与中位数都为68,D正确.5.(5分)(多选题)(2024·湛江模拟)某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计,其结果如图所示,则下列说法正确的有()A.乙同学体温的极差为0.4B.乙同学的体温比甲同学的体温更稳定C.乙同学体温的众数为36.4,中位数与平均数相等D.甲同学体温的第70百分位数为36.5【解析】选BCD.选项A,乙同学体温的极差为36.5-36.3=0.2,故A错误;选项B,从题中折线图上可以看出,乙同学的体温比甲同学的体温更稳定,故B正确;选项C,乙同学的体温从低到高依次为36.3℃,36.3℃,36.4℃,36.4℃,36.4℃, 36.5℃,36.5℃,故众数为36.4,而中位数和平均数都是36.4,故C正确;选项D,甲同学的体温从低到高依次为36.2℃,36.2℃,36.4℃,36.4℃,36.5℃, 36.5℃,36.6℃,由70%×7=4.9,可知数据的第70百分位数为第5项数据36.5,故D 正确.6.(5分)某汽车研究院现有300名研究员,他们的学历情况如图所示,该研究院今年计划招聘一批新研究员,并决定不再招聘本科生,且使得招聘后本科生的比例下降到15%,硕士生的比例不变,则该研究院今年计划招聘的硕士生人数为________.【解析】根据题意,设今年计划招聘的硕士生为x人,博士生为y人,又由现有研究员300人,其中本科生有300×20%=60(人),硕士生有300×40%=120(人),=0.15,=0.4,解得 =40, =60.答案:407.(5分)(2023·厦门模拟)已知样本数据2,4,8,m的极差为10,其中m>0,则该组数据的方差为__________.【解析】由题意得m-2=10,所以m=12,所以该组数据的平均数为 =2+4+8+124=132,由方差的计算公式可知:s2=14 2-+(4-132)2+(8-132)2+12- =594.答案:5948.(10分)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:甲8281797895889384乙9295807583809085(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差;(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.【解析】(1)甲=18×(82+81+79+78+95+88+93+84)=85,乙=18×(92+95+80+75+83+80+90+85)=85,甲2=18×[(82-85)2+(81-85)2+(79-85)2+(78-85)2+(95-85)2+(88-85)2+(93-85)2+(84-85)2] =35.5,乙2=18×[(92-85)2+(95-85)2+(80-85)2+(75-85)2+(83-85)2+(80-85)2+(90-85)2+(85-85)2] =41.(2)由(1)知甲=乙,甲2< 乙2,甲的成绩较稳定,所以派甲参赛比较合适.【能力提升练】9.(5分)某校排球社的同学为训练动作组织了垫排球比赛,以下为根据排球社50位同学的垫球个数画的频率分布直方图,所有同学垫球数都在5至40之间.估计垫球数的样本数据的第75百分位数是()A.17.5B.18.75C.27D.28【解析】选D.垫球数在区间[5,25)内的人数占总人数的(0.01+0.01+0.04+0.06)×5×100%=60%,垫球数在区间[5,30)内的人数占总人数的(0.01+0.01+0.04+0.06+0.05)×5×100%=85%,所以第75百分位数位于区间[25,30)内,且25+5×0.75-0.60.85-0.6=28,所以估计垫球数的样本数据的第75百分位数是28.10.(5分)(多选题)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,x3,x4,x5,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则()A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,x3,x4,x5,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,x3,x4,x5,x6的极差【解析】选BD.对于A,如1,2,2,2,3,5的平均数为2.5,而2,2,2,3的平均数为2.25,不相等,故A错误;对于B,不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,其中位数为 3+ 42,x2,x3,x4,x5的中位数为 3+ 42,所以B正确;对于C,x1,x2,x3,x4,x5,x6的波动更大,所以C错误;对于D,不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,则x5-x2≤x6-x1,故D正确.11.(5分)(2024·重庆模拟)某学校为了更好地关注青少年的心理健康,对某年级的全体同学进行了一次心理健康测试,测试成绩满分为100分,其中1600名同学的测试成绩的频率分布直方图如图所示,则这1600名同学测试成绩的第65百分位数为__________.【解析】因为(0.01+0.01+m+0.02+0.02)×10=1,所以m=0.04,又0.1+0.1+0.4=0.6, 0.1+0.1+0.4+0.2=0.8,所以第65百分位数位于第4组中,设第65百分位数为a,则0.1+0.1+0.4+(a-80)×0.02=0.65,解得a=82.5.答案:82.512.(10分)为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进学生对中国共产党的热爱,某学校举办了一场党史竞赛活动,共有500名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的成绩,从中抽取了50名学生的成绩(成绩均为整数,满分为100分)进行统计,所有学生的成绩都不低于60分,将这50名学生的成绩(单位:分)进行分组,第一组[60,70),第二组[70,80),第三组[80,90),第四组[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中m的值,并估计此次竞赛活动学生成绩的中位数;(2)根据频率分布直方图,估计此次竞赛活动成绩的平均数.若对成绩不低于平均数的同学进行奖励,请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖.【解析】(1)由题中频率分布直方图知(0.01+m+0.04+0.02)×10=1,解得m=0.03;设此次竞赛活动学生成绩的中位数为x0,因为数据落在[60,80)内的频率为0.4,落在[60,90)内的频率为0.8,从而可得80<x0<90,由(x0-80)×0.04=0.5-0.4,得x0=82.5,所以估计此次竞赛活动学生成绩的中位数为82.5.(2)由题中频率分布直方图及(1)知, =65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82,此次竞赛活动学生成绩不低于82的频率为0.2+90-8210×0.4=0.52,则获奖的学生有500×0.52=260(名),所以估计此次竞赛活动成绩的平均数为82,在参赛的500名学生中有260名学生获奖.。
2020高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-2随机抽样 Word版含解析.doc
[课时跟踪检测][基础达标]1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是()A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验解析：A、B是系统抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．答案：D2．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为()A．50B．60C．70D．80解析：由分层抽样方法得33＋4＋7×n＝15，解得n＝70.答案：C3．(2018届商丘模拟)从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是() A．1,2,3,4,5 B．2,4,6,8,10C．4,14,24,34,44 D．5,16,27,38,49解析：50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，∴每一组号码间距相同.4,14,24,34,44，∴C有可能．答案：C4．中央电视台为了调查近三年的春晚节目中各类节目的受欢迎程度，用分层抽样的方法，从2014年至2016年春晚的50个歌舞类节目，40个戏曲类节目，30个小品类节目中抽取样本进行调查，若样本中的歌舞类和戏曲类节目共有27个，则样本容量为()A．36 B．35C．32 D．30解析：设从30个小品节目中抽取x个，则有x30＝2750＋40，解得x＝9.则27＋9＝36，所以样本容量为36.答案：A5．(2017届四川资阳)某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为() A．6 B．4C．3 D．2解析：1836＋18×9＝3，故选C.答案：C6．(2017届安徽马鞍山第一次质检)高三(1)班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号，31号，44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是()A．8 B．13C．15 D．18解析：因为系统抽样是等距抽样，由于44－31＝13，所以5＋13＝18.答案：D7．(2017届兰州双基测试)从一个容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3解析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，所以p1＝p2＝p3.答案：D8．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800双B ．1 000双C ．1 200双D ．1 500双解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．答案：C9．(2017届江苏南通二调)从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．解析：根据系统抽样的特点，共有80个产品，抽取5个样品，则可得组距为805＝16，又其中有1个为28，则与之相邻的为12和44，故所取5个依次为12,28,44,60,76，即最大的编号为76.答案：7610．(2018届北京模拟)某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，……，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．解析：因为每小组有5个人，第5组抽出的号码为22，所以第8组应抽出的号码为22＋15＝37，又因为40岁以下人数占50%，所以样本中也应占50%，故40岁以下年龄段应抽取20人．答案：37 2011．(2017届湖南七校联考)某高中共有学生1 000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于________．解析：因为该高中共有学生1 000名，在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，所以高二年级女生有1 000×0.19＝190(人)，则高二年级共有学生180＋190＝370(人)，所以高三年级共有学生1 000－370－380＝250(人)，则采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人，应在高三年级中抽取的人数为2501 000×100＝25.答案：2512．在某市今年的公务员考试成绩中随机抽取500名考生的笔试成绩，按成绩分组，得到频率分布表如下：12名考生进行第二轮选拔，分别求第3,4,5组每组进入第二轮选拔的考生人数．解：由题意可知，第2组的频数为500×0.350＝175，所以第3,4,5组共有考生500－25－175＝300名，则第4组有100名考生．所以第3组抽取的人数：150300×12＝6，第4组抽取的人数：100300×12＝4，第5组抽取的人数：50300×12＝2.[能力提升]1．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在A 营区，从301到495在B 营区，从496到600在C 营区，则三个营区被抽中的人数依次为( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,9解析：依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此A 营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此B 营区被抽中的人数是42－25＝17；故C 营区被抽中的人数为50－25－17＝8.故选B.答案：B2．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A ．100B ．150C ．200D ．250解析：样本抽取比例为703 500＝150，该校总人数为1 500＋3 500＝5 000，则n 5 000＝150，故n ＝100，选A.答案：A3．一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：辆，其中有A 类轿车10辆，则z 的值为________．解析：由题意可得50100＋300＋150＋450＋z ＋600＝10100＋300，解得z ＝400.答案：4004．(2017届北京海淀模拟)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50(件)；该产品的平均使用寿命为1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015(小时)．答案：50 1 0155．哈六中2016届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________．解析：使用系统抽样方法，从840名学生中抽取42人，即从20人中抽取1人．所以从编号1～480的人，恰好抽取48020＝24(人)，接着从编号481～720共240人中抽取24020＝12(人)．答案：12。
山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-用样本估计总体含答案解析
第2讲用样本估计总体[考纲解读] 1.了解频率分布直方图的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，并体会它们各自的特点．(重点)2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；能从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理的解释．3．会用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．(难点)4．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决实际问题．[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年将会考查用样本估计总体，主要体现在利用频率分布直方图或茎叶图估计总体，利用样本数字特征估计总体．题型以客观题呈现，试题难度不大，属中、低档题型．频率分布直方图与茎叶图也可能出现于解答题中，与概率等知识综合命题．1.作频率分布直方图的步骤2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的□01中点，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着□02样本容量的增加，作图时所分的组数增加，□03组距减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．3.茎叶图(1)茎叶图的概念：统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．(2)茎叶图的优点：一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的分布情况．4.样本的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征样本数据频率分布直方图优点与缺点众数出现次数□01最多的数据取最高的小长方形底边□02中点的横坐标 通常用于描述变量的值出现次数最多的数，但显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征中位数将数据按大小依次排列，处在最□03中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)把频率分布直方图划分左右两个面积□04相等的分界线与x 轴交点的横坐标是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点平均数样本数据的算术平均数每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之□05和 平均数和每一个数据有关，可以反映样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低方差：s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，标准差： s ＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]. (3)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．1.概念辨析(1)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．()(2)从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．()(3)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越高．()(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.小题热身(1)(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A.x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C.x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数答案 B解析因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.(2)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()A.91.5和91.5 B．91.5和92C.91和91.5 D．92和92答案 A解析由茎叶图可知，这组数据的中位数是12×(91＋92)＝91.5，平均数是18×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.(3)港珠澳大桥于2018年10月2日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km/h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图(如图)，根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数和行驶速度超过90 km/h 的频率分别为( )A.300 0.25 B ．300 0.35 C.60 0.25 D ．60 0.35答案 B解析 由频率分布直方图，得在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的频率为0.06×5＝0.3，∴在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数为0.3×1000＝300，行驶速度超过90 km/h 的频率为(0.05＋0.02)×5＝0.35.故选B.(4)(2019·江苏高考)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________． 答案 53解析 这组数据的平均数为8，故方差为s 2＝16×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝53.题型一 样本数字特征的计算及应用1.(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )A.中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差答案 A解析 中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选A.2.(2019·长沙二模)高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为x 1，x 2，x 3，…，x 100，它们的平均数为x －，方差为s 2；其中扫码支付使用的人数分别为3x 1＋2,3x 2＋2,3x 3＋2，…，3x 100＋2，它们的平均数为x －′，方差为s ′2，则x －′，s ′2分别为( )A.3x －＋2,3s 2＋2 B ．3x －，3s 2 C.3x －＋2,9s 2 D ．3x －＋2,9s 2＋2答案 C解析 根据题意，数据x 1，x 2，…x 100的平均数为x －，方差为s 2；则x －＝1100(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100)，s 2＝1100[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 100－x －)2]，若3x 1＋2,3x 2＋2,3x 3＋2，…，3x 100＋2的平均数为x －′，则x －′＝1100[(3x 1＋2)＋(3x 2＋2)＋…＋(3x 100＋2)]＝3x －＋2，方差s ′2＝1100[(3x 1＋2－3x －－2)2＋(3x 2＋2－3x －－2)2＋…＋(3x 100＋2－3x －－2)2]＝9s 2.3.一组数据1,10,5,2，x,2，且2<x <5，若该数据的众数是中位数的23倍，则该数据的方差为________．答案 9解析 根据题意知，该组数据的众数是2， 则中位数是2÷23＝3，把这组数据从小到大排列为1,2,2，x,5,10， 则2＋x2＝3，解得x ＝4，所以这组数据的平均数为x －＝16×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4， 方差为s 2＝16×[(1－4)2＋(2－4)2×2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9.众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小．(2)方差的简化计算公式：s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n)－n x －2]或写成s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x －2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．(3)平均数、方差的公式推广①若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x －＋a .见举例说明2.②数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2.a.数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2；b.数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.见举例说明2.1.(2019·六安模拟)某样本中共有5个个体，其中4个值分别为0,1,2,3，第5个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.2B.65 C. 2 D.305答案 A解析 设第5个值为x ，则由题意，得15×(0＋1＋2＋3＋x )＝1，解得x ＝－1，所以样本方差s 2＝15×[(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2＋(－1－1)2]＝2.2.(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．答案 0.98解析 x －＝10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0.98.则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.题型二 扇形图、折线图1.(2020·株洲市高三摸底)某市2019年12个月的PM2.5的平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是( )A.第一季度 B ．第二季度 C.第三季度 D ．第四季度答案 B解析 根据图中数据，知第一季度的数据是72.15,43.96,93.13；第二季度的数据是66.5,55.25,58.67；第三季度的数据是59.16,38.67,51.6；第四季度的数据是82.09,104.6,168.05；观察得出第二季度的数据波动性最小，所以第二季度的PM2.5的平均浓度指数方差最小．故选B.2.(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案 A解析设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A不正确；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，增加了一倍，所以C正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的30%＋28%＝58%>50%，所以超过了经济收入的一半，所以D正确．故选A.(1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系．(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．(2019·东北三省四市教研联合体模拟)“科技引领，布局未来”，科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元．我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入(单位：十亿元)用如图中的条形图表示，研发投入占营收比用如图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是()A.2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大B.2013年至2014年研发投入数量相比2015年至2016年增量小C.该企业连续12年研发投入逐年增加D.该企业连续12年研发投入占营收比逐年增加答案 D解析由题图可知，该企业在2008年至2009年、2013年至2014年和2016年至2017年研发投入占营收比是下降的，所以D错误．故选D.题型三茎叶图及其应用1.(2019·郑州三模)某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12.若要使该总体的标准差最小，则4x＋2y的值是()0223 41x y 9920 1C．16 D．18答案 A解析因为总体的中位数为12，所以10＋x＋10＋y2＝12，即x＋y＝4，所以总体的平均数为110×(2＋2＋3＋4＋10＋x＋10＋y＋19＋19＋20＋21)＝11.4.要使总体的标准差最小，只要(10＋x－11.4)2＋(10＋y－11.4)2最小．因为(10＋x－11.4)2＋(10＋y－11.4)2≥2×10＋x－11.4＋10＋y－11.422＝0.72，当且仅当x＝y＝2时等号成立，所以4x＋2y＝12.故选A.2.某良种培育基地正在培育一小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B 进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430 ,434,443,445,445,451,454.品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407 ,410,412,415,416,422,430.(1)作出数据的茎叶图；(2)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．解(1)画出茎叶图如图所示：(2)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高；②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差.1.茎叶图的画法步骤第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右)侧；有两组数据时，写在中间；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．茎叶图的绘制需注意：①“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；②重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据．2.茎叶图的应用茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．1．甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩(单位：环)如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为( )A.2 B ．4 C ．6 D ．8答案 A解析 根据茎叶图中的数据知，甲、乙二人的平均成绩相同，即15×(87＋89＋90＋91＋93)＝15×(88＋89＋90＋91＋90＋x )，解得x ＝2，所以平均数为x －＝90；根据茎叶图中的数据知甲的成绩波动性小，较为稳定(方差较小)，所以甲成绩的方差为s 2＝15×[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝2.故选A.2．如图茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数为甲组数据的中位数，则x ，y 的值分别为( )答案 A解析 由已知，甲组数据的众数是124，则x ＝4，即甲组数据的中位数为124.所以16×(116＋116＋125＋120＋y ＋128＋134)＝124，解得y ＝5.故选A.题型四频率分布直方图角度1求频率或频数1.党的十九大报告指出：“脱贫攻坚战取得决定性进展，六千多万贫困人口稳定脱贫，贫困发生率从百分之十点二下降到百分之四以下．”2019年各地根据实际进行创新，精准、高效地完成了脱贫任务．某地区对当地3000户家庭的2019年所得年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据(单位：千元)的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则年收入不超过6万的家庭大约为()A.900户B．600户C．300户D．150户答案 A解析由频率分布直方图得：年收入不超过6万的家庭所占频率为：(0.005＋0.010)×20＝0.3，∴年收入不超过6万的家庭大约为0.3×3000＝900.角度2求数字特征2.某市在对两千多名出租车司机的年龄进行的调查中，从两千多名出租车司机中随机抽选100名司机，已知这100名司机的年龄都在20岁至50岁之间，且根据调查结果得出的年龄情况频率分布直方图如图所示(部分图表污损)．利用这个残缺的频率分布直方图，可估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A．31.4岁B．32.4岁C．33.4岁D．36.4岁答案 A解析由频率分布直方图可知[20,25)的频率为0.1，[25,30)的频率为0.3，[30,35)的频率为0.35，因为0.1＋0.3<0.5<0.1＋0.3＋0.35，所以中位数x0∈[30,35)，由0.1＋0.3＋(x0－30)×0.07＝0.5，得x0≈31.4.故选A.3.(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.1.频率分布直方图的性质(1)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率．见举例说明1.(2)各小长方形的面积之和等于1.2.频率分布直方图中的众数、中位数与平均数(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是中位数；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．见举例说明3.1.(2019·湘潭三模)统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩分数分成如下6组：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，并绘制频率分布直方图如图所示，若已知不低于140分的人数为110，则n的值是()A.800 B．900C．1200 D．1000答案 D解析由频率分布直方图的性质，得10×(0.031＋0.020＋0.016×2＋m＋0.006)＝1，解得m＝0.011，∵不低于140分的频率为0.011×10＝0.11，∴n＝1100.11＝1000.2.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125] 频数62638228(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解(1)频率分布直方图如图．(2)质量指标值的样本平均数为x－＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定.组基础关1.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,60)内的数据个数为()A．14 B．15C．16 D．17答案 B解析由频数分布表可知，样本中数据在[20,40)上的频率为4＋530＝0.3，又因为样本数据在[20,60)上的频率为0.8，所以样本在[40,60)内的频率为0.8－0.3＝0.5，数据个数为30×0.5＝15.2.甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如表：甲乙丙丁平均成绩x－86898985 方差s2 2.1 3.5 2.1 5.6A.甲B．乙C．丙D．丁答案 C解析丙平均成绩高，方差s2小(稳定)，故最佳人选是丙.3.(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8答案 C解析解法一：设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.故选C.解法二：用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图：易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.故选C.4.(2019·钦州模拟)某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量(单位：克)绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80,82)，[82,84)，[84,86)，[86,88)，[88,90)，[90,92)，[92,94)，[94,96]，则样本的中位数在()A．第三组B．第四组C．第五组D．第六组答案 B解析由图可得，前四组的频率为(0.0375＋0.0625＋0.075＋0.1)×2＝0.55，则其频数为40×0.55＝22，且第四组的频数为40×0.1×2＝8，故中位数落在第四组，所以B正确.5.如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x －A 和x －B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x －A >x －B ，s A >s BB.x －A <x －B ，s A >s BC.x －A >x －B ，s A <s BD.x －A <x －B ，s A <s B答案 B解析 由图可知A 组的6个数为2.5,10,5,7.5,2.5,10，B 组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10，所以x －A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝6.25，x －B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106≈11.67.显然x －A <x －B .又由图形可知，B 组的数据分布比A 均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以s A >s B ，故选B.6.(2019·合肥一模)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( )注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.90后从事运营岗位的人数比80前从事互联网行业的人数多D.互联网行业中90后从事技术岗位的人数比80后从事技术岗位的人数多解析 对于A ，由饼状图可知互联网行业从业人员中90后占了56%，故A 正确．对于B ，由条形图可知互联网行业中从事技术岗位的人数占总人数的比例为39.6%，故B 正确．对于C ，由两图数据可计算出整个互联网行业从事运营岗位的90后占56%×17%＝9.52%，大于互联网行业中的80前总人数，故C 正确．对于D ，因为80后从事技术岗位的人数所占比例不清楚，所以互联网行业中从事技术岗位的90后人数不一定比80后的人数多，故D 错误．故选D.7.(2020·重庆名校联盟调研)在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的25，且样本容量为210，则该组的频数为( )A.28 B ．40 C ．56 D ．60答案 D解析 设该小矩形的面积为x,9个小矩形的总面积为1，则其他8个小矩形的面积和为52x ，所以x ＋52x ＝1，所以x ＝27，所以该组的频数为27×210＝60.8.(2020·贵阳模拟)某地的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速得到改善．教育督导一年后，分别随机抽查了初中(用A 表示)与小学(用B 表示)各10所学校，得到相关指标的综合评价得分(百分制)的茎叶图如图所示，则从茎叶图可得出正确的信息为(80分及以上为优秀)( )①初中得分与小学得分的优秀率相同 ②初中得分与小学得分的中位数相同 ③初中得分的方差比小学得分的方差大 ④初中得分与小学得分的平均值相同A.①② B ．①③ C ．②④D ．③④解析从茎叶图可知抽查的初中得分的优秀率为310×100%＝30%，小学得分的优秀率为310×100%＝30%，故①正确；初中得分的中位数为75.5，小学得分的中位数为72.5，故②不正确；从茎叶图可知初中得分比小学得分分散，所以初中得分的方差比小学得分的方差大，故③正确；初中得分的平均值为75.7，小学得分的平均值为75，故④不正确．所以正确的信息为①③，故选B.9.已知一组数据x1，x2，…，x n的方差为2，若数据ax1＋b，ax2＋b，…，ax n ＋b(a>0)的方差为8，则a的值为________．答案 2解析根据方差的性质，知a2×2＝8，解得a＝2.10.某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[15,20)，[20,25)，[25,30]三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20,25)内的学生中应选取的人数为________．答案 3解析由频率分布直方图，知5×(0.01＋0.02＋a＋0.04＋0.04＋0.06)＝1，解得a＝0.03，即使用时间在[15,20)，[20,25)，[25,30]三组内的学生人数之比为4∶3∶1，则从每周使用时间在[15,20)，[20,25)，[25,30]三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20,25)内的学生中应选取的人数为38×8＝3.组能力关1.某校高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为( )A.20,2 B ．24,4 C ．25,2 D ．25,4答案 C解析 由频率分布直方图可知，组距为10，所以[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图可知[50,60)的人数为2，设参加本次考试的总人数为N ，则N ＝20.08＝25，根据频率分布直方图可知[90,100]内的人数与[50,60)的人数一样，都是2.故选C.2.(2019·葫芦岛一模)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列{a n }，若a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A.12,13 B ．13,13 C ．13,12 D ．12,14答案 B解析 依题意a 23＝a 1a 7，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6×2)，解得a 1＝4，所以此样本的平均数为S 1010＝13，中位数为a 5＋a 62＝13.3.(2019·马鞍山模拟)某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了100头仔猪的体重(单位：斤)，经数据处理得到如图1的频率分布直方图，其中体重最轻的14头仔猪的体重的茎叶图如图2，为了将这批仔猪分栏喂养，需计算频率分布直方图中的一些数据，其中a ＋b 的值为( )A.0.144B ．0.152C ．0.76D ．0.076答案 B解析 由题意得2(c ＋d )×5＝2×12100＝0.24，∴a ＋b ＝1－0.245＝0.152. 4.某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.(1)求出m ，n 的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s 2甲和s 2乙，并由此分析两组技工的加工水平．解 (1)根据题意可知：x －甲＝15×(7＋8＋10＋12＋10＋m )＝10，x －乙＝15×(9＋n ＋10＋11＋12)＝10，所以m ＝3，n ＝8.(2)s 2甲＝15×[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2， s 2乙＝15×[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2，因为x －甲＝x －乙，s 2甲>s 2乙，所以甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些.组 素养关(2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．y 的分组 企业数 [－0.20,0) 2 [0,0.20) 24 [0.20,0.40) 53 [0.40,0.60) 14 [0.60,0.80)7(1)。
高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：10.3 用样本估计总体 word版含答案
第三节 用样本估计总体总体分布的估计(1)了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．(2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释． (4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．知识点一 频率分布直方图 1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)． (2)决定组距与组数． (3)将数据分组． (4)列频率分布表． (5)画频率分布直方图．2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．易误提醒 (1)易把直方图与条形图混淆：两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，连续随机变量在某一点上是没有频率的．(2)易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为频率组距.必记结论 由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式： (1)频率组距×组距＝频率． (2)频数样本容量＝频率，此关系式的变形为频数频率＝样本容量，样本容量×频率＝频数． [自测练习]1.某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中a 的值为( )A ．0.006B ．0.005C ．0.004 5D ．0.002 5解析：由题意知，a ＝1－(0.02＋0.03＋0.04)×102×10＝0.005.答案：B2．在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积的和的14，且样本容量为80，则中间一组的频数为( )A ．0.25B ．0.5C ．20D ．16解析：设中间一组的频数为x ，依题意有x 80＝14⎝⎛⎭⎫1－x 80，解得x ＝16，应选D. 答案：D知识点二 茎叶图 茎叶图的优点茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．易误提醒 在绘制茎叶图时，易遗漏重复出现的数据，重复出现的数据要重复记录，同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．[自测练习]3.(2015·惠州模拟)某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为( )A ．19、13B ．13、19C ．20、18D ．18、20解析：由茎叶图可知，甲的中位数为19，乙的中位数为13.故选A. 答案：A知识点三 样本的数字特征1．众数、中位数、平均数 数字特征定义与求法优点与缺点众数一组数据中重复出现次数最多的数众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数．但显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点平均数如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，那么这n 个数的平均数x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低2.标准差、方差(1)标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，s ＝ 1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (2)方差：标准差的平方s 2s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x i (i ＝1,2,3，…，n )是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数．易误提醒 (1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(2)平均数反映的是样本个体的平均水平，众数和中位数则反映样本中个体的“重心”．(3)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．必备方法 利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标是众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．[自测练习]4．对于一组数据x i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为x i ＋C (i ＝1,2,3，…，n )，其中C ≠0，则下列结论正确的是( )A ．平均数与方差均不变B ．平均数变，方差保持不变C ．平均数不变，方差变D ．平均数与方差均发生变化解析：依题意，记原数据的平均数为x ，方差为s 2，则新数据的平均数为(x 1＋C )＋(x 2＋C )＋…＋(x n ＋C )n ＝x ＋C ，即新数据的平均数改变；新数据的方差为1n {[(x 1＋C )－(x ＋C )]2＋[(x 2＋C )－(x ＋C )]2＋…＋[(x n ＋C )－(x ＋C )]2}＝s 2，即新数据的方差不变，故选B.答案：B5．(2015·高考陕西卷)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．解析：设等差数列的首项为a 1，根据等差数列的性质可得，a 1＋2 015＝2×1 010，解得a 1＝5.答案：5考点一 频率分布直方图及应用|1．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x 的值等于( )A ．0.12B ．0.012C ．0.18D ．0.018解析：依题意，0.054×10＋10x ＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得x ＝0.018，故选D.答案：D2．某市为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制订住户月用电量的临界值a .若某住户某月用电量不超过a 度，则按平价计费；若某月用电量超过a 度，则超出部分按议价计费，未超出部分按平价计费．为确定a 的值，随机调查了该市100户的月用电量，工作人员已将90户的月用电量填在了下面的频率分布表中，最后10户的月用电量(单位：度)为：18,63,43,119,65,77,29,97,52,100.组别月用电量频数统计频数频率①[0,20)②[20,40)正正③[40,60)正正正正④[60,80)正正正正正⑤[80,100)正正正正⑥[100,120](1)完成频率分布表并绘制频率分布直方图；(2)根据已有信息，试估计全市住户的平均月用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(3)若该市计划让全市75%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，试求临界值a.解：(1)组别月用电量频数统计频数频率①[0,20)40.04②[20,40)正正120.12③[40,60)正正正正240.24④[60,80)正正正正正正300.30⑤[80,100)正正正正正250.25⑥[100,120]正50.05(2)由题意，用每小组的中点值代表该小组的平均月用电量，则100户住户组成的样本的平均月用电量为10×0.04＋30×0.12＋50×0.24＋70×0.30＋90×0.25＋110×0.05＝65(度)．用样本估计总体，可知全市居民的平均月用电量约为65度． (3)计算累计频率，可得下表： 分组 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100) [100,120] 频率 0.04 0.12 0.24 0.30 0.25 0.05 累计 频率0.040.160.400.700.951.00由此可知临界值a 应在区间[80,100)内，且频率分布直方图中，在临界值a 左侧小矩形的总面积(频率)为0.75，故有0.7＋(a －80)×0.012 5＝0.75，解得a ＝84，由样本估计总体，可得临界值a 为84.绘制频率分布直方图时需注意(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确；(2)频率分布直方图的纵坐标是频率组距，而不是频率．考点二 茎叶图|1.如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值分别为( )A ．2,4B ．4,4C ．5,6D ．6,4解析：x 甲＝75＋82＋84＋(80＋x )＋90＋936＝85，解得x ＝6，由图可知y ＝4，故选D.答案：D2．(2016·长沙一模)右面的茎叶图是某班学生在一次数学测验时的成绩：根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，其中错误的一项是() A．15名女生成绩的平均分为78B．17名男生成绩的平均分为77C．女生成绩和男生成绩的中位数分别为82,80D．男生中的高分段和低分段均比女生多，相比较男生两极分化比较严重解析：对于A,15名女生成绩的平均分为115×(90＋93＋80＋80＋82＋82＋83＋83＋85＋70＋71＋73＋75＋66＋57)＝78，A正确；对于B,17名男生成绩的平均分为117×(93＋93＋96＋80＋82＋83＋86＋86＋88＋71＋74＋75＋62＋62＋68＋53＋57)＝77，故B正确；对于D，观察茎叶图，对男生、女生成绩进行比较，可知男生两极分化比较严重，D正确；对于C，根据女生和男生成绩数据分析可得，两组数据的中位数均为80，C错误，故选C.答案：C使用茎叶图时，需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据．考点三样本的数字特征|(2015·高考广东卷)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？[解] (1)依题意，20×(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)＝1， 解得x ＝0.007 5.∴直方图中x 的值为0.007 5.(2)由图可知，最高矩形的数据组为[220,240)， ∴众数为220＋2402＝230.∵[160,220)的频率之和为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45，∴依题意，设中位数为y ， ∴0.45＋(y －220)×0.012 5＝0.5. 解得y ＝224，∴中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户在四组用户中所占比例为0.012 50.012 5＋0.007 5＋0.005＋0.002 5＝511，∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取11×511＝5(户)．(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明地描述，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小．(2)利用方差优化比较时方差越小，效果越好．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：甲 10 8 9 9 9 乙1010799．解析：x 甲＝x 乙＝9，s 2甲＝15×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25， s 2乙＝15×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s 2甲，故甲更稳定． 答案：甲11.概率与统计的综合问题的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数281410 6(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；B地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意[思路点拨](1)因为在频率分布直方图上，纵坐标表示的是频率与组距的比值，根据频数求出频率，进而求出频率与组距的比值，根据频率分布直方图可看出满意度评分的平均值的大小和分散程度，中间的矩形面积越高越集中，越不分散；(2)B地区可直接借助低于70分的频数10求出不满意的概率，A地区利用频率分布直方图中小矩形的面积即为频率，可求出不满意的概率，进而比较大小．[规范解答](1)如图所示．通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散．(6分)(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．(7分)记C A 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”；C B 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P (C A )的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，(8分) P (C B )的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.(10分)所以A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．(12分) [模板形成]分析图表、审核数据↓作出频率分布直方图↓由直方图数据分析相应问题↓利用直方图求概率，作出判断↓反思解题过程注意规范化A 组 考点能力演练1．(2016·邢台摸底)样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m .若该样本的平均值为1，则其样本方差为( )A.105B.305C. 2 D ．2解析：依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝15(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2，选D.答案：D2．10名工人某天生产同一零件，生产的零件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a解析：依题意，这些数据由小到大依次是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，因此a<15，b ＝15，c＝17，c>b>a，选D.答案：D3．(2015·高考全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析：根据柱形图易得选项A，B，C正确，2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，选项D错误．故选D.答案：D4．(2015·高考山东卷)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：由题中茎叶图，知x甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，s甲＝15[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝310 5；x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30， s 乙＝15[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2] ＝ 2.所以x 甲<x 乙，s 甲>s 乙，故选B.答案：B5．(2016·内江模拟)某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图如下：分组成[11,20)，[20,30)，[30,40]时，所作的频率分布直方图是( )解析：本题考查统计．利用排除法求解．由直方图的纵坐标是频率/组距，排除C 和D ；又第一组的频率是0.2，直方图中第一组的纵坐标是0.02，排除A ，故选B.答案：B6．(2015·郑州二检)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m 、n 的比值m n＝________. 解析：由茎叶图可知甲的数据为27、30＋m 、39，乙的数据为20＋n 、32、34、38.由此可知乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，所以m ＝3.由此可以得出甲的平均数为33，所以乙的平均数也为33，所以有20＋n ＋32＋34＋384＝33，所以n ＝8，所以m n ＝38. 答案：387．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 922解析：由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，其方差较小，其平均值为7，方差s 2＝15(1＋0＋0＋1＋0)＝25. 答案：258．(2015·高考湖北卷)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．解析：(1)0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1×a ＋0.1×2＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a ＝3；(2)区间[0.5,0.9]内的频率为1－0.1×1.5－0.1×2.5＝0.6，则该区间内购物者的人数为10 000×0.6＝6 000.答案：(1)3 (2)6 0009.甲、乙两人参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图．(1)指出学生乙成绩的中位数；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为应该派哪位学生参加？解：(1)依题意知，学生乙成绩的中位数为83＋852＝84. (2)派甲参加比较合适，理由如下：x 甲＝18(70×2＋80×4＋90×2＋9＋8＋8＋4＋2＋1＋5＋3)＝85， x 乙＝18(70×1＋80×4＋90×3＋5＋3＋5＋2＋5)＝85， s 2甲＝35.5，s 2乙＝41，∵x 甲＝x 乙，且s 2甲<s 2乙，∴甲的成绩比较稳定．10．(2016·唐山统考)为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了m名学生进行体育测试．根据体育测试得到了这m名学生的各项平均成绩(满足100分)，按照以下区间分为七组：[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并得到频率分布直方图(如图)．已知测试平均成绩在区间[30,60)内有20人．(1)求m的值及中位数n；(2)若该校学生测试平均成绩小于n，则学校应适当增加体育活动时间．根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？解：(1)由频率分布直方图知第1组，第2组和第3组的频率分别是0.02,0.02和0.06，则m×(0.02＋0.02＋0.06)＝20，解得m＝200.由直方图可知，中位数n位于[70,80)内，则0.02＋0.02＋0.06＋0.22＋0.04(n－70)＝0.5，解得n＝74.5.(2)设第i(i＝1,2,3,4,5,6,7)组的频率和频数分别为p i和x i，由图知，p1＝0.02，p2＝0.02，p3＝0.06，p4＝0.22，p5＝0.40，p6＝0.18，p7＝0.10，则由x i＝200×p i，可得x1＝4，x2＝4，x3＝12，x4＝44，x5＝80，x6＝36，x7＝20，故该校学生测试平均成绩是x＝35x1＋45x2＋55x3＋65x4＋75x5＋85x6＋95x7200＝74<74.5，所以学校应该适当增加体育活动时间．B组高考题型专练1．(2015·高考陕西卷)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A ．93B ．123C ．137D ．167解析：由扇形统计图可得，该校女教师人数为110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选C.答案：C2．(2015·高考湖南卷)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．解析：由题意可知，这35名运动员的分组情况为，第一组(130,130,133,134,135)，第二组(136,136,138,138,138)，第三组(139,141,141,141,142)，第四组(142,142,143,143,144)，第五组(144,145,145,145,146)，第六组(146,147,148,150,151)，第七组(152,152,153,153,153)，故成绩在区间[139,151]上的运动员恰有4组，故运动员人数为4.答案：43．(2015·高考江苏卷)已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________．解析：由平均数公式可得这组数据的平均数为4＋6＋5＋8＋7＋66＝6. 答案：64．(2015·高考全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．解：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝C B1C A1∪C B2C A2.P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)＝P(C B1C A1)＋P(C B2C A2)＝P(C B1)P(C A1)＋P(C B2)P(C A2)．由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P(C A1)＝1620，P(C A2)＝420，P(C B1)＝1020，P(C B2)＝820，P(C)＝1020×1620＋820×420＝0.48.。
高考一轮复习第10章统计统计案例第2讲用样本估计总体
第二讲 用样本估计总体知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 用样本的频率分布估计总体分布 (1)频率分布表与频率分布直方图频率分布表和频率分布直方图，是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布规律，从中可以看到整个样本数据的频率分布情况．绘制频率分布直方图的步骤为：①_求极差__；②_决定组距与组数__；③_将数据分组__；④_列频率分布表__；⑤_画频率分布直方图__.(2)频率分布折线图顺次连接频率分布直方图中_各小长方形上端的中点__，就得到频率分布折线图． (3)总体密度曲线总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能提供更加精细的信息． 知识点二 茎叶图(1)茎叶图中茎是指_中间__的一列数，叶是从茎的_旁边__生长出来的数．(2)茎叶图的优点是可以_保留__原始数据，而且可以_随时__记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．知识点三 样本的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．(3)平均数：x ＝_x 1＋x 2＋…＋x nn__，反映了一组数据的平均水平．(4)标准差： s ＝_1n[x 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2]__，反映了样本数据的离散程度．(5)方差：s 2＝_1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]__，反映了样本数据的离散程度．重要结论(1)若一组数据x i (i ＝1,2，…，n)的平均数为x －，方差为s 2，则数据组ax i ＋b(i ＝1,2，…，n ，a ，b 为常数)的平均数为a x －＋b ，方差为a 2·s 2.(2)频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 ①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的，均为12.③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( √ ) (2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．( × )(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．( √ )(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( × )(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( √ ) (6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．( × ) 题组二 走进教材2．(P 81A 组T1改编)已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( B )A ．95,94B ．92,86C ．99,86D ．95,91[解析]由茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故92为中位数，出现次数最多的为众数，故众数为86，故选B .3．(P 7T1)如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民有_25__人．[解析]100×(0.5×0.5)＝25(人)．题组三走向高考4．(2020·新课标Ⅲ)设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1,10x2，…，10x n的方差为( C )A．0.01 B．0.1C．1 D．10[解析]∵样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，∴根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，∴数据10x1,10x2，…，10x n的方差为：100×0.01＝1，故选C．5．(2020·天津)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( B )A．10 B．18C．20 D．36[解析]直径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25＋5)×0.02＝ 0.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为0.225×80 ＝18个，故选B．考点突破·互动探究考点一频率分布直方图——自主练透例1 (1)(2021·江西赣州十四县联考)中央电视台播出《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示：组号分组频数频率第1组[160,165) 0.100笫2组[165,170) ①第3组[170,175) 20 ②第4组[175,180) 20 0.200第5组[180,185) 10 0.100合计100 1.00(ⅰ)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图(用阴影表示)．(ⅱ)为了能选拔出最优秀的选手，组委会决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取5名选手进入第二轮面试，则第3,4,5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试？(ⅲ)在(ⅱ)的前提下，组委会决定在5名选手中随机抽取2名选手接受考官A面试，求第4组至少有一名选手被考官A面试的概率．(2)(2021·福建漳州质检)2018年9月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达52亿元．某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：[0,2 000]，(2 000,4 000]，(4 000,6 000]，(6 000,8 000]，(8 000,10 000](单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图．(ⅰ)试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失(同一组中的数据用该区间的中点值代表)；(ⅱ)台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户损失超过4 000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8 000元的农户数为X，求X的分布列和数学期望．[解析](1)(ⅰ)第1组的频数为100×0.100＝10，所以①处应填的数为100－(10＋20＋20＋10)＝40， 从而第2组的频率为40100＝0.400.②处应填的数为1－(0.1＋0.4＋0.2＋0.1)＝0.200. 频率分布直方图如图所示．(ⅱ)因为第3,4,5组共有50名选手，所以利用分层抽样在50名选手中抽取5名选手进入第二轮面试时，每组抽取的人数分别为：第3组：2050×5＝2，第4组：2050×5＝2，第5组：1050×5＝1，所以第3,4,5组分别抽取2人，2人，1人进入第二轮面试． (ⅲ)记“第4组至少有一名选手被考官A 面试”为事件A ， 则P(A)＝C 12C 13＋C 22C 25＝710. ⎝ ⎛⎭⎪⎫或P A ＝1－P A －＝1－C 23C 25＝710 (2)(ⅰ)记每个农户的平均损失为x －元，则x －＝1 000×0.3＋3 000×0.4＋5 000×0.18＋7 000×0.06＋9 000×0.06＝33 601；(ⅱ)由频率分布直方图，可得损失超过 4 000元的农户共有(0.000 09＋0.000 03＋0.000 03)×2 000×50＝15(户)，损失超过8 000元的农户共有0.000 03×2 000×50＝3(户)，随机抽取2户，则X 的可能取值为0,1,2； 计算P(X ＝0)＝C 212C 215＝2235，P(X ＝1)＝C 112C 13C 215＝1235，P(X ＝2)＝C 23C 215＝135.所以X 的分布列为：X0 1 2P2235 1235 135数学期望为E(X)＝0×2235＋1×1235＋2×135＝25.名师点拨应用频率分布直方图时的注意事项用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键．频率分布直方图有以下几个要点：(1)纵轴表示频率/组距；(2)频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比；(3)频率分布直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于1，即频率之和为1.〔变式训练1〕(1)(2021·安徽“皖南八校”摸底)某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在[80,130](单位：分)内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于100分的人数为_220__.(2)(2021·山西适应性考试)某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为7天左右，短的约2～3天，长的约10～14天，甚至有20余天．某医疗机构对400名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图．根据该直方图估计：要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是( C )A ．12B ．13C ．14D ．15[解析] (1)根据频率分布直方图知： (2a ＋0.04＋0.03＋0.02)×10＝1⇒a ＝0.005； 计算出数学成绩不低于100分的频率为： (0.03＋0.02＋0.005)×10＝0.55；所以这次测试数学成绩不低于100分的人数为0.55×400＝220人．(2)由题可知，第一，二，三，四，五组的频率分别为0.16，0.4，0.32,0.08,0.04. 因为前三组的频率和为0.88， 故要使90%的患者显现出明显病状，则需隔离观察的天数至少是：13＋0.9－0.880.02＝14，故选C ．考点二 茎叶图——师生共研例2 (多选题)(2021·四川省乐山市调研改编)胡萝卜中含有大量的β－胡萝卜素，摄入人体消化器官后，可以转化为维生素A ，现从a ，b 两个品种的胡萝卜所含的β－胡萝卜素(单位mg)得到茎叶图如图所示，则下列说法正确的是( ABD )A ．x a <x bB ．a 的方差大于b 的方差C ．b 品种的众数为3.31D ．a 品种的中位数为3.27 [解析] 由茎叶图得：b 品种所含β－胡萝卜素普遍高于a 品种， ∴x a <x b ，故A 正确；a 品种的数据波动比b 品种的数据波动大， ∴a 的方差大于b 的方差，故B 正确； b 品种的众数为3.31与3.41，故C 错误； a 品种的数据的中位数为：3.23＋3.312＝3.27，故D 正确．名师点拨茎叶图的绘制及应用(1)茎叶图的绘制需注意：①“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；②重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据．(2)茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．〔变式训练2〕(2019·山东)如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 与y 的值分别为( A )A ．3,5B ．5,5C ．3,7D ．5,7[解析] 甲组数据的中位数为65，由甲、乙两组数据的中位数相等，得y ＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等，∴15×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x ＝3.故选A ． 考点三 样本数字特征——多维探究 角度1 样本数字特征与频率分布直方图例3 (1)如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是( B )A ．12.5,12.5B ．12.5,13C ．13,12.5D ．13,13[解析] 由频率分布直方图可知，众数为10＋152＝12.5，因为0.04×5＝0.2,0.1×5＝0.5，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的面积相等，所以中位数在区间[10,15)内．设中位数为x ，则(x －10)×0.1＝0.5－0.2，解得x ＝13.角度2 样本数字特征与茎叶图(2)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：⎪⎪⎪897 74 0 1 0 x 9 1则7个剩余分数的方差为_367__.[解析] 由图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7，解得x ＝4，∴s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.角度3 样本数字特征的计算(3)(2021·湖北武汉、襄阳、荆门、宜昌四地六校考试联盟联考)已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差s 2为( C )A ．52B ．3C ．72D ．4[解析] 设某7个数据分别为a 1，a 2，…，a 7， 则由题意得a 1＋a 2＋…＋a 7＝5×7＝35， (a 1－5)2＋(a 2－5)2＋…＋(a 7－5)2＝4×7＝28， 加入新数据5后的平均数x －＝35＋58＝5，方差s 2＝a 1－52＋a 2－52＋…＋a 7－52＋5－528＝288＝72.故选C ．名师点拨平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数，中位数，众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．〔变式训练3〕(1)(角度1)某小区共有1 000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示，则该小区居民用电量的中位数为_155__，平均数为_156.8__.(2)(角度2)(2021·陕西西安八校联考)在一次技能比赛中，共有12人参加，他们的得分(百分制)茎叶图如图，则他们得分的中位数和方差分别为( B )A ．89 54.5B ．89 53.5C ．87 53.5D ．89 54(3)高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为x 1，x 2，x 3，…，x 100，它们的平均数为x －，方差为s 2：其中扫码支付使用的人数分别为3x 1＋2,3x 2＋2，3x 3＋2，…，3x 100＋2，它们的平均数为x －′，方差为s′2，则x －′，s′2分别为( C )A ．3x －＋2,3s 2＋2 B ．3x －，3s 2C ．3x －＋2,9s 2D ．3x －＋2,9s 2＋2[解析] (1)中位数为：150＋(170－150)×0.10.02×20＝155.该组数据的平均数为x ＝0.005×20×120＋0.015×20×140＋0.020×20×160＋0.005×20×180＋0.003×20×200＋0.002×20×220＝156.8.(2)由题可知，中位数为：87＋912＝89，先求平均数：x －＝78＋79＋84＋86＋87＋87＋91＋94＋98＋98＋99＋9912＝90，S 2＝112[(－12)2＋(－11)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－3)2＋(－3)2＋12＋42＋82＋82＋92＋92]＝53.5，故中位数为：89，方差为53.5，故选：B ．(3)显然x －′＝3x －＋2，而每个数据上都加上或减去相同数不影响方差，但每个数据都乘以a ，则方差变为原方差的a 2倍，故选C ．考点四 折线图——师生共研例4 (多选题)(2021·河南顶级名校模拟改编)如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论不正确的是( BCD )A ．连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天B ．这15天日平均温度的极差为15 ℃C ．由折线图能预测16日温度要低于19 ℃D ．由折线图能预测本月温度小于25 ℃的天数少于温度大于25 ℃的天数[解析] A 选项，日平均温度的方差的大小取决于日平均温度的波动的大小，7,8,9三日的日平均温度的波动最大，故日平均温度的方差最大，正确；B 选项，这15天日平均温度的极差为18 ℃，B 错；C 选项，由折线图无法预测16日温度是否低于19 ℃，故C 错误；D 选项，由折线图无法预测本月温度小于25 ℃的天数是否少于温度大于25 ℃的天数，故D 错误．故选B 、C 、D ．名师点拨折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．〔变式训练4〕(多选题)甲乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，甲乙两组数据的平均值分别为x －甲、x －乙，则( BC )A ．每次考试甲的成绩都比乙的成绩高B ．甲的成绩比乙稳定C ．x －甲一定大于x －乙D ．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差[解析] 第二次考试甲的成绩比乙低，A 错；由图可知甲的成绩比乙的成绩波动小，B 正确，D 错；甲的平均成绩显然比乙的平均成绩高，C 正确；故选B 、C ．名师讲坛·素养提升 高考与频率分布直方图例5 (2021·安徽省池州市期末)高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]．其中a ，b ，c 成等差数列且c ＝2a ，物理成绩统计如表．(说明：数学满分150分，物理满分100分)分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]频数6920105(1)根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分； (2)根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；(3)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人．记X 为抽到两个“优”的学生人数，求X 的分布列和期望值．[解析] (1)根据频率分布直方图得， (a ＋b ＋2c ＋0.024＋0.020＋0.004)×10 ＝1， 又因a ＋c ＝2b ，c ＝2a ，解得a ＝0.008，b ＝0.012，c ＝0.016， 故数学成绩的平均分x －＝85×0.04＋95×0.12＋105×0.16＋115×0.2＋125×0.24 ＋135×0.16＋145×0.08＝117.8(分)，(2)总人数50分，由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间[70,80)， 所以物理成绩的中位数为75分．(3)数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人，故X 的取值为0、1、2、3.P(X ＝0)＝C 33C 36＝120，P(X ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P(X ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P(X ＝3)＝C 33C 36＝120，所以分布列为：X 0 1 2 3 P120920920120∴期望值为E(X)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.名师点拨(1)通过统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系． (2)准确理解频率分布直方图的数据特点是解题关键． 〔变式训练5〕(2019·高考全国Ⅲ卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．[解析](1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05，乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.。
三维设计高考数学湘教版文科一轮复习课时检测10.3用样本估计总体(含答案详析)
课时跟踪检测(六十)用样本估计总体(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·海淀期末)某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有()A．75辆B．120辆C．180辆D．270辆2．(2013·湖北八校联考)某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中a的值为()A．0.006 B．0.005 C．0.004 5 D．0.002 53．(2014·惠州模拟)某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为()A．19、13 B．13、19 C．20、18 D．18、204．(2014·咸阳模拟)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，测试成绩(单位：分)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为x，则()A ．m e ＝m o ＝xB ．m e ＝m o <xC ．m e <m o <xD ．m o <m e <x5．(2013·深圳调研)容量为60的样本的频率分布直方图共有n (n >1)个小矩形，若其中一个小矩形的面积等于其余n －1个小矩形面积和的15，则这个小矩形对应的频数是________．6．甲、乙两个体能康复训练小组各有10名组员，经过一段时间训练后，某项体能测试结果的茎叶图如图所示，则这两个小组中体能测试平均成绩较高的是________组．7．某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并采用茎叶图表示本次测试30人的跳高成绩(单位：cm)，跳高成绩在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“合格”，跳高成绩在175 cm 以下(不包括175 cm)定义为“不合格”．(1)如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少？(2)若从甲队178 cm(包括178 cm)以上的6人中抽取2人，则至少有一人在186 cm 以上(包括186 cm)的概率为多少？8．为了增强学生的环保意识，某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛，并将本次竞赛的成绩(得分均为整数，满分100分)整理，制成下表：(2)若从成绩在[40,50)中选一名学生，从成绩在[90,100]中选2名学生，共3名学生召开座谈会，求[40,50)组中学生A 1和[90,100]组中学生B 1同时被选中的概率．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·惠州调研)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数a 的值；(2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．2．以下茎叶图记录了甲、乙两组四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．甲组 乙组 9 9 0 X 8 9 111(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)．3．某县为增强市民的环境保护意识，面向全县征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第3,4,5组的频率；(2)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(3)在(2)的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选C 由图可知组距为10，则车速在[40,50)，[50,60)的频率分别是0.25,0.35，因此车速低于限速的汽车共有(0.25＋0.35)×300＝180(辆)．2．选B 由题意知，a ＝1－(0.02＋0.03＋0.04)×102×10＝0.005，故选B.3．选A 由茎叶图可知，甲的中位数为19，乙的中位数为13.故选A.4．选D 由图可知，30名学生的得分情况依次为得3分的有2人，得4分的有3人，得5分的有10人，得6分的有6人，得7分的有3人，得8分的有2人，得9分的有2人，得10分的有2人．中位数为第15、16个数(分别为5、6)的平均数，即m e ＝5.5,5出现的次数最多，故m o ＝5，x ＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈5.97.于是得m o <m e <x .故选D.5．解析：设所求小矩形的面积为x ，则x ＋5x ＝1，得x ＝16，即所求小矩形对应的频率为16，∴所求小矩形对应的频数为60×16＝10.答案：106．解析：由茎叶图所给数据依次确定两组体能测试的平均成绩分别为x 甲＝ 63＋65＋66＋71＋77＋77＋79＋81＋84＋9210＝75.5，x 乙＝58＋68＋69＋74＋75＋78＋79＋80＋82＋9110＝75.4，故平均成绩较高的是甲组．答案：甲7．解：(1)根据茎叶图可知，30人中有12人“合格”，有18人“不合格”．用分层抽样的方法，则5人中“合格”与“不合格”的人数分别为2人、3人．(2)甲队178 cm(包括178 cm)以上的6人中抽取2人的基本事件为(178,181)，(178,182)，(178,184)，(178,186)，(178,191)，(181,182)，(181,184)，(181,186)，(181,191)，(182,184)，(182,186)，(182,191)，(184,186)，(184,191)，(186,191)，共15个．其中都不在186 cm 以上的基本事件为(178,181)，(178,182)，(178,184)，(181,182)，(181,184)，(182,184)，共6个．所以都不在186 cm 以上的概率P ＝615＝25，由对立事件的概率公式得，至少有一人在186cm 以上(包括186 cm)的概率为1－P ＝1－25＝35.8．解：(1)由题意可知，各组频率分别为0.04,0.06,0.28,0.30,0.24,0.08，所以图中各组的纵坐标分别为：0.004,0.006,0.028,0.030,0.024,0.008，则被抽查学生成绩的频率分布直方图如图所示：(2)记[40,50)组中的学生为A 1，A 2，[90,100]组中的学生为B 1，B 2，B 3，B 4，A 1和B 1同时被选中记为事件M .由题意可得，全部的基本事件为：A 1B 1B 2，A 1B 1B 3，A 1B 1B 4，A 1B 2B 3，A 1B 2B 4，A 1B 3B 4，A 2B 1B 2，A 2B 1B 3，A 2B 1B 4，A 2B 2B 3，A 2B 2B 4，A 2B 3B 4，共12个，事件M 包含的基本事件为：A 1B 1B 2，A 1B 1B 3，A 1B 1B 4，共3个， 所以学生A 1和B 1同时被选中的概率P (M )＝312＝14.第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)因为图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以10×(0.005＋0.01＋0.02＋a ＋0.025＋0.01)＝1， 解得a ＝0.03.(2)根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85. 由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544.(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，则记在[40,50)分数段的两名同学为A 1，A 2，在[90,100]分数段内的同学为B 1，B 2，B 3，B 4.若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法共有15种．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法有(A 1，A 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)共7种取法，所以所求概率为P ＝715. 2．解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10， 所以平均数为x ＝8＋8＋9＋104＝354， 方差为s 2＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－3542＋⎝⎛⎭⎫8－3542＋⎝⎛⎫9－3542＋⎝⎛⎫10－3542＝1116. (2)记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)，故所求概率为P (C )＝416＝14.3．解：(1)由题设可知，第3组的频率为0.06×5＝0.3；第4组的频率为0.04×5＝0.2；第5组的频率为0.02×5＝0.1.(2)第3组的人数为0.3×100＝30；第4组的人数为0.2×100＝20；第5组的人数为0.1×100＝10.因为第3,4,5组共有60名志愿者，若利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，则每组抽取的人数分别为：第3组为3060×6＝3；第4组为2060×6＝2；第5组为1060×6＝1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3名，2名，1名志愿者．(3)记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者为B 1，B 2，第5组的一名志愿者为C .则从6名志愿者中抽取2名志愿者的可能情况有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C )，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C )，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C )，(B 1，B 2)，(B 1，C )，(B 2，C )，共15种．其中第4组的2名志愿者至少有一名志愿者被抽中的可能情况有：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C )，(B 2，C )，共9种．所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为915＝35.。
2019版高考数学文一轮复习教师用书：第十章 第三节 用
第三节用样本估计总体1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；(2)决定组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图．2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．3．茎叶图的优点茎叶图的优点是不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．[注意]茎叶图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．4．样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数(2)标准差、方差①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，s ＝ 1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. ②方差：标准差的平方s 2s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x i (i ＝1,2,3，…，n )是样本数据，n是样本容量，x 是样本平均数．1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率．( ) (2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为1.( )(3)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( ) (4)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( ) (5)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√(5)√2.如图是某班8位学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的众数和中位数分别为________．解析：依题意，结合茎叶图，将题中的数由小到大依次排列得到：86,86,90,91,93,93,93,96，因此这8位学生得分的众数是93，中位数是91＋932＝92.答案：93 923．(教材习题改编)某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有________人．解析：由频率分布直方图可知45岁以下的教师的频率为5×(0.040＋0.080)＝0.6，所以共有80×0.6＝48(人)．答案：484．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．解析：5个数的平均数x＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，所以它们的方差s2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.答案：0.1考点一茎叶图(重点保分型考点——师生共研)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．解：(1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67. (2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．[解题师说]某良种培育基地正在培育一小麦新品种A ，将其与原有的一个优良品种B 进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下．品种A ：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423，423,427,430,430,434,443,445,445,451,454.品种B ：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406，407,410,412,415,416,422,430.(1)作出数据的茎叶图；(2)通过观察茎叶图，对品种A 与B 的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论． 解：(1)画出茎叶图如图所示：(2)通过观察茎叶图可以看出：①品种A 的亩产平均数(或均值)比品种B 高；②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．考点二频率分布直方图(重点保分型考点——师生共研)(2017·北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．[学审题](1)分数小于70的频率即为其概率的估计值；(2)由于分数小于40的学生人数已知，因此要求[40,50)内的人数，只要求出小于50的人数或频率即可；(3)“样本中分数不小于70的男女生人数相等”，这是解题的关键，可先计算出分数不小于70的总人数，问题便迎刃而解．解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计值为0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，故样本中分数小于50的频率为0.1，故分数在区间[40,50)内的人数为100×0.1－5＝5.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100＝20.(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为60×12＝30.所以样本中的男生人数为30×2＝60， 女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.[解题师说]某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2017年11月11日的网购金额，所得数据如下表：已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.(1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图)；(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？解：(1)根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝50，∴p ＝0.4，q ＝0.25.补全频率分布直方图如图所示．(2)根据题意，抽取网购金额在(1,2]内的人数为 2424＋16×5＝3(人)，记为：a ，b ，c .抽取网购金额在(4,5]内的人数为1624＋16×5＝2(人)，记为：A ，B . 则从这5人中随机选取2人的选法为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，(A ，B )共10种．记2人来自不同群体的事件为M ，则M 中含有(a ，A )，(a ，B )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )共6种．∴P (M )＝610＝35，故此2人来自不同群体的概率为35.考点三样本的数字特征(题点多变型考点——追根溯源)样本的数字特征常与频率分布直方图、茎叶图等知识交汇命题.常见的命题角度有：(1)样本的数字特征与频率分布直方图交汇；(2)样本的数字特征与茎叶图交汇；(3)样本的数字特征与优化决策问题交汇.[题点全练]角度(一)样本的数字特征与频率分布直方图交汇1．(2018·武昌调研)我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．解：(1)由频率分布直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.(2)由频率分布直方图知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12.由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800 000×0.12＝96 000.(3)∵前6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88＞0.85，前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73＜0.85，∴2.5≤x＜3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．[题型技法]频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．角度(二) 样本的数字特征与茎叶图交汇2.(2017·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A ．3,5B ．5,5C ．3,7D ．5,7解析：选A 由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以15×[56＋62＋65＋74＋(70＋x )]＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x ＝3.3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为________.解析：由图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.答案：367[题型技法](1)在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．(2)茎叶图既可以表示两组数据，也可以表示一组数据，用它表示的数据是完整的数据，因此可以从茎叶图中看出数据的众数(数据中出现次数最多的数)、中位数(中间位臵的一个数，或中间两个数的平均数)等．角度(三) 样本的数字特征与优化决策问题交汇4．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析：选C 由表格中数据可知，乙、丙平均环数最高，但丙方差最小，说明成绩好，且技术稳定，选C.[题型技法]利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．[冲关演练]1．(2018·长沙模拟)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士从当地某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于100的天数为________．(该年为365天)解析：该样本中AQI 大于100的频数为4，频率为25，以此估计此地全年AQI 大于100的频率为25，故此地该年AQI 大于100的天数约为365×25＝146.答案：1462．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．(2)估计这次语文成绩的平均分x＝55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.所以这100名学生语文成绩的平均分为73分．(3)分别求出语文成绩在分数段[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)的人数依次为0.05×100＝5,0.4×100＝40,0.3×100＝30,0.2×100＝20.所以数学成绩分数段在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)的人数依次为5,20,40,25.所以数学成绩在[50,90)之外的人数有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．(一)普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1.在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为() A．1B．2C．3 D．4解析：选B由图可知该组数据的极差为48－20＝28，则该组数据的中位数为61－28＝33，易得被污染的数字为2.2．(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析：选D由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确，故D错误．3．(2018·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为()A．5 B．7C．10 D．50解析：选D根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为(0.012 5＋0.025 0＋0.012 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50.4.从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，中位数分别为m甲，m乙，则()A.x甲<x乙，m甲>m乙B.x甲<x乙，m甲<m乙C.x甲>x乙，m甲>m乙D.x甲>x乙，m甲<m乙解析：选B 由茎叶图知m 甲＝22＋182＝20，m 乙＝27＋312＝29，∴m 甲＜m 乙； x 甲＝116(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝34516， x 乙＝116(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝45716，∴x 甲<x 乙．5．(2018·内江模拟)某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图如图：分组为[11,20)，[20,30)，[30,39]时，所作的频率分布直方图是( )解析：选B 由直方图的纵坐标是频率/组距，排除C 和D ；又第一组的频率是0.2，直方图中第一组的纵坐标是0.02，排除A ，故选B.6．(2018·邢台模拟)样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m .若该样本的平均值为1，则其方差为( )A.105B.305C. 2 D ．2解析：选D 依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝15(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2.7．(2018·石家庄质检)设样本数据x 1，x 2，…，x 2 018的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 018)，则y 1，y 2，…，y 2 018的方差为________．解析：设样本数据的平均数为x ，则y i ＝2x i －1的平均数为2x －1，则y 1，y 2，…，y 2 018的方差为12 018[(2x 1－1－2x ＋1)2＋(2x 2－1－2x ＋1)2＋…＋(2x 2 018－1－2x ＋1)2]＝4×12 018[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 2 018－x )2]＝4×4＝16. 答案：168．(2018·广州模拟)为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．解析：设被抽查的美术生的人数为n ，因为后2个小组的频率之和为(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5,15,25，所以n ＝5＋15＋250.75＝60.答案：609．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)频率分布直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．解析：(1)由频率分布直方图中各小矩形的总面积为1，得(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x ＋0.006 0)×50＝1，解得x ＝0.004 4.(2)用电量在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.004 4＋0.006 0)×50＝0.7，故用电量落在区间[100,250)内的户数为100×0.7＝70.答案：(1)0.004 4 (2)7010．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：解析：由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，其方差较小，其平均值为7，所以方差s2＝15(1＋0＋0＋1＋0)＝25.答案：2 5B级——中档题目练通抓牢1.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：选B∵x甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x甲<x乙．又s2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s甲>s乙．故可判断结论①④正确．2．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为()A．9 B．10C．11 D．12解析：选B不妨设样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，且x1<x2<x3<x4<x5，则由样本平均数为7，样本方差为4，知(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20.若5个整数的平方和为20，则这5个整数的平方只能在0,1,4,9,16中选取(每个数最多出现2次)，当这5个整数的平方中最大的数为16时，分析可知，总不满足和为20；当这5个整数的平方中最大的数为9时，0,1,1,9,9这组数满足要求，此时对应的样本数据为x1＝4，x2＝6，x3＝7，x4＝8，x5＝10；当这5个整数的平方中最大的数不超过4时，总不满足要求，因此不存在满足条件的另一组数据．故选B.3．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(数据都是正整数，单位：℃)：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，均值为24；③丙地：5个数据中有一个是32，均值为26，方差为10.8.则满足进入夏季标志的地区有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选C①甲地：因为5个数据的中位数为24，众数为22，所以22至少出现两次，若有一天比22小，则24不可能为中位数，故甲地肯定进入夏季；②乙地：5个数据的中位数为27，均值为24，当5个数据为19,20,27,27,27时，其连续5天的日平均温度有低于22 ℃的，故不确定；③丙地：5个数据中有一个是32，均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22 ℃.故满足进入夏季标志的地区有甲、丙两地．故选C.4．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为________．解析：由频率分布直方图可得第一组的频率是0.08，第二组的频率是0.32，第三组的频率是0.36，则中位数在第三组内，估计样本数据的中位数为10＋0.10.36×4＝100 9.答案：100 95.甲、乙两名同学在7次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同学成绩的众数是85，乙同学成绩的中位数是83，则成绩较稳定的是________．解析：根据众数及中位数的概念易得x＝5，y＝3，故甲同学成绩的平均数为78＋79＋80＋85＋85＋92＋967＝85，乙同学成绩的平均数为72＋81＋81＋83＋91＋91＋967＝85，故甲同学成绩的方差为17×(49＋36＋25＋49＋121)＝40，乙同学成绩的方差为17×(169＋16＋16＋4＋36＋36＋121)＝3987>40，故成绩较稳定的是甲．答案：甲6．(2018·张掖重点中学联考)张掖市旅游局为了了解大佛寺景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，问题是“大佛寺是几A级旅游景点？”统计结果如下图表.(1)分别求出a，b，x，y的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人；(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．解：(1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为90.36＝25，再结合频率分布直方图可知n＝250.025×10＝100，所以a＝100×0.01×10×0.5＝5，b＝100×0.03×10×0.9＝27，x＝18100×0.02×10＝0.9，y＝3100×0.015×10＝0.2.(2)因为第2,3,4组回答正确的共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：1854×6＝2；第3组：2754×6＝3；第4组：954×6＝1.(3)设第2组的2人为A 1，A 2；第3组的3人为B 1，B 2，B 3；第4组的1人为C 1. 则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 3，C 1)，共15种，其中恰好没有第3组人的结果为：(A 1，A 2)，(A 1，C 1)，(A 2，C 1)，共3种，所以所抽取的人中恰好没有第3组人的概率P ＝315＝15. 7．为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，按照[27.5，32.5)，[32.5，37.5)，[37.5,42.5)，[42.5,47.5)，[47.5,52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示．(1)求图中a 的值；(2)估计这种植物果实重量的平均数x 和方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量n ＝40，从该样本分布在[27.5,32.5)和[47.5,52.5]的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率．解：(1)组距为d ＝5，由5×(0.020＋0.040＋0.075＋a ＋0.015)＝1，得a ＝0.050. (2)各组中值和相应的频率依次为：所以x ＝30×0.1＋35×0.2＋40×0.375＋45×0.25＋50×0.075＝40， s 2＝(－10)2×0.1＋(－5)2×0.2＋02×0.375＋52×0.25＋102×0.075＝28.75.(3)由已知，果实重量在[27.5,32.5)和[47.5,52.5]内的分别有4个和3个，分别记为A 1，A 2，A 3，A 4和B 1，B 2，B 3，从中任取2个的取法有：A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2A 3，A 2A 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 3A 4，A 3B 1，A 3B 2， A 3B 3，A 4B 1，A 4B 2，A 4B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3，共21种取法，其中都是优质果实的取法有B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3，共3种取法， 所以抽到的都是优质果实的概率P ＝321＝17. C 级——重难题目自主选做1．某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售．该店统计了近10天的饮品销量，如图所示，设x 为每天饮品的销量，y 为该店每天的利润．(1)求y 关于x 的表达式；(2)从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率． 解：(1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(8－3)x ，0≤x ≤19，x ∈Z ，(8－3)×19＋(4－3)×(x －19)，x >19，x ∈Z ， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ，0≤x ≤19，x ∈Z ，x ＋76，x >19，x ∈Z.(2)由(1)可知，日销售量不少于20杯时，日利润不少于96元． 日销售量为20杯时，日利润为96元； 日销售量为21杯时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20杯的有3天，日销售量为21杯的有2天． 日销售量为20杯的3天，记为a ，b ，c ，日销售量为21杯的2天，记为A ，B ，从这5天中任取2天，包括(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，(A ，B )，共10种情况．其中选出的2天日销售量都为21杯的情况只有1种，故所求概率为110.2．在国际风帆比赛中，成绩以低分为优胜，比赛共11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次．在一次国际风帆比赛中，前7场比赛结束后，排名前8位的选手积分如下表：(2)从前7场平均分低于6.5分的运动员中，随机抽取2个运动员进行兴奋剂检查，求至少1个运动员平均分不低于5分的概率；(3)请依据前7场比赛的数据，预测冠亚军选手，并说明理由．解：(1)由表中的数据，我们可以分别计算运动员A和B前7场比赛积分的平均数和方差，作为两运动员比赛的成绩及衡量两运动员稳定情况的依据．运动员A的平均分x1＝17×21＝3，方差s21＝17×[(3－3)2＋(2－3)2×4＋(4－3)2＋(6－3)2]＝2；运动员B的平均分x2＝17×28＝4，方差s22＝17×[(1－4)2×2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2＋(4－4)2×2]＝8.从平均分和积分的方差来看，运动员A的平均分及积分的方差都比运动员B的小，也就是说，前7场比赛，运动员A的成绩优异，而且表现较为稳定．(2)由表可知，平均分低于6.5分的运动员共有5个，其中平均分低于5分的运动员有3个，分别为A，B，C，平均分不低于5分且低于6.5分的运动员有2个，分别为D，E.从这5个运动员中任取2个共有10种情况：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，其中至少有1个运动员平均分不低于5分的有7种情况． 设至少有1个运动员平均分不低于5分为事件A ，则P (A )＝710. (3)尽管此时还有4场比赛没有进行，但这里我们可以假定每位选手在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同，因而可以把前7场比赛的成绩看作总体的一个样本，并由此估计每位运动员最后比赛的成绩．从已经结束的7场比赛的积分来看，运动员A 的成绩最为优异，而且表现最为稳定，因此，预测运动员A 将获得最后的冠军．而运动员B 和C 平均分相同，但运动员C 得分总体呈下降趋势，所以预测运动员C 将获得亚军．(说明：方案不唯一，其他言之有理的方案也给满分)二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．(2018·湖南五市十校联考)某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n －m 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由甲组学生成绩的平均数是88，可得17[70＋80×3＋90×3＋(8＋4＋6＋8＋2＋m ＋5)]＝88，解得m ＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n ＝9，所以n －m ＝6.2．(2016·山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A ．56B ．60C ．120D ．140解析：选D 由直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.3.如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而。
【赢在微点】高三数学（文）一轮复习练习：10-3用样本估计总体（含答案解析）
【赢在微点】高三数学（文）一轮复习练习：10-3用样本估计总体（含答案解析）配餐作业(五十九) 用样本估计总体一、选择题1．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]。
若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析：根据频率分布直方图，低于60分的同学所占频率为：(0.005＋0.01)×20＝0.3，故该班的学生人数为150.3＝50，故选B 。
答案：B2．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x ，s 2＋1002B.x ＋100，s 2＋1002C.x ，s 2D.x ＋100，s 2解析：方法一：对平均数和方差的意义深入理解可巧解。
因为每个数据都加上了100，故平均数也增加100，而离散程度应保持不变，故选D 。
方法二：由题意知x 1＋x 2＋…＋x n ＝n x ，s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，则所求均值y ＝1n [(x 1＋100)＋(x 2＋100)＋…＋(x n ＋100)]＝1n(n x ＋n×100)＝x ＋100，而所求方差s′2＝1n [(x 1＋100－y )2＋(x 2＋100－y )2＋…＋(x n ＋100－y )2]＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝s 2，故选D 。
答案：D3．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，下图是据北京某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的中位数较低的是()A.甲、乙相等B．甲C．乙D．无法确定解析：由茎叶图可得甲地浓度的中位数为0.066，乙地浓度的中位数为0.062，因此乙地浓度的中位数较低。
2019年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测：10-3用样
[课时跟踪检测][基础达标]1.(2017届内江模拟)某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图如图所示：分组成[10,20)，[20,30)，[30,40]时，所作的频率分布直方图是()解析：由直方图的纵坐标是频率/组距，排除C和D；又第一组的频率是0.2，直方图中第一组的纵坐标是0.02，排除A，故选B.答案：B2．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现频率为()A．0.04B．0.06C．0.2D．0.3解析：由频率分布直方图的知识得，年龄在[20,25)的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的频率为0.07×5＝0.35，设年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的频率为x，y，z，又x，y，z成等差数列，所以可得⎩⎨⎧x ＋y ＋z ＝1－0.05－0.35，x ＋z ＝2y ，解得y ＝0.2，所以年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2. 答案：C3．为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天内14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④解析：解法一：∵x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x 甲＜x 乙， ∴s 2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s 2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s 甲＞s 乙．故可判断结论①④正确．解法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确．答案：B4．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设该组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均数a ＝110×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位数b ＝15＋152＝15，众数c ＝17，则a ＜b ＜c .答案：D5．(2018届山西省第二次四校联考)某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析：∵[20,40)，[40,60)的频率为(0.005＋0.010)×20＝0.3，∴该班的学生人数是150.3＝50.答案：B6．(2017届四川南充三模)某校100名学生的数学测试成绩分布直方图所示，分数不低于a 即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a 的估计值是( )A ．130B ．140C ．133D ．137解析：由题意可知，90～100分的频率为0.005×10＝0.05，频数为5； 100～110分的频率为0.018×10＝0.18，频数为18； 110～120分的频率为0.030×10＝0.3，频数为30； 120～130分的频率为0.022×10＝0.22，频数为22；130～140分的频率为0.015×10＝0.15，频数为15；140～150分的频率为0.010×10＝0.1，频数为10；而优秀的人数为20人，140～150分有10人，130～140分有15人，取后10人，∴分数不低于133即为优秀，故选C.答案：C7．(2017届湖南长沙一模)空气质量指数(Air Quality Ind，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士从当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为________．(该年为365天)解析：该样本中AQI大于100的频数是4，频率为25，由此估计该地全年AQI大于100的频率为25，估计此地该年AQI大于100的天数约为365×25＝146(天)．答案：1468．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，月用电量落在区间[100,250)内的户数为________．解析：(1)由频率分布直方图总面积为1，得(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x＋0.006 0)×50＝1，解得x＝0.004 4.(2)用电量在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.004 4＋0.006 0)×50＝0.7，故所求户数为100×0.7＝70.答案：(1)0.004 4(2)709．(2018届张掖重点中学联考)张掖市旅游局为了了解大佛寺景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，问题是“大佛寺是几A级旅游景点？”统计结果如下图表.(1)分别求出a，b，x，y的值；(2)从第2,3,4，组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人；(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．解：(1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为90.36＝25，再结合频率分布直方图可知n＝250.025×10＝100，所以a＝100×0.01×10×0.5＝5，b＝100×0.03×10×0.9＝27，x＝18100×0.02×10＝0.9，y＝3100×0.015×10＝0.2.(2)因为第2,3,4组回答正确的共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为第2组：1854×6＝2；第3组：2754×6＝3；第4组：954×6＝1.(3)设第2组的2人为A1，A2；第3组的3人为B1，B2，B3；第4组的1人为C1.则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)，共15种，其中恰好没有第3组人的共3种，所以抽取的人中恰好没有第3组人的概率P＝315＝15.[能力提升]1．(2018届兰州市实战考试)为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛．现将所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，制成如下频率分布表.(1)(2)按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛．已知高一(2)班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一(2)班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)由题意知，参赛选手共有p＝160.32＝50(人)．所以x＝950＝0.18，y＝50×0.38＝19，z＝50－9－19－16＝6，s＝650＝0.12.(2)由(1)知，参加决赛的选手共6人，随机变量X的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，随机变量X 的分布列为所以E (X )＝0×15＋1×35＋2×15＝1， 所以随机变量X 的数学期望为1.2．(2018届河北三市第二次联考)某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答失分的茎叶图如图：(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并说明哪位同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15的次数X 的分布列和均值．解：(1)x 甲＝18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x 乙＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s 2甲＝18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. 甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，因为甲、乙两名同学在一次周练中失分多少互不影响．所以两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316， X 的所有可能取值为0,1,2.依题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，316，P (X ＝k )＝C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫316k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13162－k，k ＝0,1,2，X 的均值E (X )＝2×316＝38.。
2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(五十九)用样本估计总体 Word版含解析
课时跟踪练(五十九)A 组 基础巩固1．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析：由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.010＋0.005)×20＝0.3.所以该班学生人数n ＝＝50.150.3答案：B2．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：观察2014年的折线图，发现从8月至9月，以及10月开始的三个月接待游客量都是减少的，故A 选项是错误的．答案：A3.(2019·肇庆检测)右面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( )A ．5，8B ．4，9C ．6，7D ．3，10解析：由题意根据甲组数据的中位数为15，可得x ＝5；乙组数据的平均数为16.8，则＝16.8，求得y ＝8.9＋15＋18＋24＋10＋y 5答案：A4．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．32解析：已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2＝64，数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为＝2×8＝16.22×64答案：C5．(2019·西宁检测)某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方。
高考数学总复习 第10章 第3节 用样本估计总体课时跟踪
【优化指导】2015高考数学总复习第10章第3节用样本估计总体课时跟踪检测理（含解析）新人教版1．(2014·大连、沈阳联考)下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况(单位：元)，图中的数字7表示的意义是这台自动售货机的销售额为( )A．7元B．37元C．27元D．2 337元解析：选C 茎叶图的茎表示十位上的数字，叶表示个位上的数字．图中的数字7在叶上，对应的十位数字是2，所以表示的意义是这台自动售货机的销售额为27元．故选C.2．(2014·厦门质检)某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( )A．20辆B．40辆C．60辆D．80辆解析：选A 时速大于或等于80 km/h的汽车频率为0.01×10＝0.1，故被处罚的汽车有0.1×200＝20(辆)，故选A.3．(2014·海口调研)已知某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为x－，方差为s2，则( )A.x－＝5，s2<2B.x－＝5，s2>2C.x－>5，s2<2D.x－>5，s2>2解析：选A 依题意得，原8个数的总和等于8×5＝40，因此新增加一个数据5后，这9个数的平均数是x －＝19×(40＋5)＝5，方差s 2＝19×(8×2＋02)<2，故选A.4．(2014·湖北八市调研)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．168解析：选B 由题意得78＋79＋80＋80＋x ＋85＋92＋967＝85解得x ＝5，乙班学生成绩的中位数为83，则y ＝83－80＝3，故x ＋y ＝8.选B.5．(2014·东北三省四市联考)如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3解析：选C 由[20,25)的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的频率为0.07×5＝0.35，又[30,35)，[35,40)，[40,45]的人数成等差数列，则其频率也成等差数列．又[30,45]的频率为1－0.05－0.35＝0.6，则[35,40)出现的频率为0.2，故选C.6．(2014·襄阳调研)图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是( )图(1)图(2)A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D 从算法流程图可知，该图是统计成绩大于或等于90分的考试次数．从茎叶图可知输出的结果为10.7．(2014·太原模拟)将一个容量为m 的样本分成3组，已知第一组的频数为10，第二、三组的频率分别为0.35和0.45，则m ＝________.解析：50 已知第一组的频数为10，第二、三组的频率分别为0.35和0.45，所以10m＋0.35＋0.45＝1，解得m ＝50.8．(2014·襄阳五中检测)对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________． 解析：(1)0.04 (2)440 设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h ，则5(0.01＋h ＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，h ＝0.04.志愿者年龄在[25,35)的频率为5(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)的人数约为0.55×800＝440.9．(2014·宁波十校联考)甲、乙两个城市今年上半年每月的平均气温(单位：℃)用茎叶图记录如图所示，根据茎叶图可知，两城市中气温波动较大的城市是________．解析：乙城市 根据茎叶图可知，甲城市今年上半年的平均气温为9＋13＋17＋17＋18＋226＝16 ℃，乙城市今年上半年的平均气温为12＋14＋17＋20＋24＋276＝19 ℃，甲城市气温的方差s 2甲＝16[(9－16)2＋(13－16)2＋(17－16)2×2＋(18－16)2＋(22－16)2]＝503，乙城市气温的方差s 2乙＝16[(12－19)2＋(14－19)2＋(17－19)2＋(20－19)2＋(24－19)2＋(27－19)2]＝843>503，故乙城市的气温波动较大.10．(2014·湖北七市联考)某行业从2013年开始实施绩效工资改革，为了解该行业职工工资收入情况，调查了1 000名该行业的职工，并由所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，由图可知中位数为________．现要从这 1 000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[3 500，4 000)(元)内应抽出________人．解析：25 中位数是 3 500－[(0.000 2×500＋0.000 4×500＋0.000 5×500)－0.5]÷(0.000 5×500)×500＝3 400(元)．月收入在[3 500,4 000)内有0.000 5×500×1 000＝250人，故应从中抽取250×1001 000＝25人.11．某高校组织自主招生考试，共有 2 000名学生报名参加了笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195,205)，第二组[205,215)，……，第八组[265,275)．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)从这2 000名学生中，任取1人，求这个人的分数为255～265之间的概率约是多少？ (2)求这2 000名学生的平均分数(同一组中的数据用该区间的中点值代表)； (3)若计划按成绩取1 000名学生进入面试环节，试估计应将分数线定为多少？ 解：(1)设第i (i ＝1,2，…，8)组的频率为f i ，则由频率分布图知f 7＝1－ (0.004＋0.01＋0.01＋0.02＋0.02＋0.016＋0.008)×10＝0.12，∴这个人的分数在255～265之间的概率约是0.12.(2)这 2 000名学生的平均分数为200×0.04＋210×0.1＋220×0.1＋230×0.2＋240×0.2＋250×0.16＋260×0.12＋270×0.08＝237.8.(3)从第一组到第四组，频率为0.04＋0.1＋0.1＋0.2＝0.44，而0.5－0.44＝0.06，将第五组[235,245)，按以下比例分割：0.060.2－0.06＝37，∴中位数为235＋3＝238， ∴应将分数线定为238分.12．(2014·吉林一中月考)射击比赛中通常以10发子弹的环数和作为选手的一次射击成绩．甲、乙两位选手各进行10次射击，原始成绩记录如下：甲：95,96,92,93,97,94,94,96,98,95， 乙：90,99,91,95,100,92,95,99,90,99.(1)作出甲、乙两位选手成绩的茎叶图，并对两位选手的水平作出分析；(2)若你是教练，现需要从甲、乙两人中选取一人参加一项比赛，试根据其他参赛选手水平高低，确定参赛人选，并说明理由．解：(1)茎叶图如图所示．x －甲＝95，x －乙＝95，s 2甲＝3，s 2乙＝14.8，两人的平均水平相当，但是甲的成绩分布得更为集中，即甲的水平较为稳定．(2)若其他选手的水平相对甲、乙来说较低，选择甲参赛，因为甲的成绩较为稳定，取得好名次的可能性较大；若其他选手的水平较高(平均成绩超过95分)，则可考虑选择乙参赛，因其成绩不稳定，发挥出超水平的可能性较甲大，更容易取得好的名次.1．(2014·黄冈中学月考)样本(x 1，x 2，…，x m )的平均数为x －，样本(y 1，y 2，…，y n )的平均数为y －(x －≠y －)．若样本(x 1，x 2，…，x m ，y 1，y 2，…，y n )的平均数z －＝αx －＋(1－α)y －，其中0<α≤12，则m ，n 的大小关系为( )A ．m <nB ．m ≤nC ．m >nD ．m ≥n解析：选B 由题意可得x －＝x 1＋x 2＋…＋x m m ，y －＝y 1＋y 2＋…＋y n n，z －＝x 1＋x 2＋…＋x m ＋y 1＋y 2＋…＋y n m ＋n ＝mx －＋ny －m ＋n ＝m m ＋n x －＋n m ＋n y －，则0<α＝m m ＋n ≤12，解得m ≤n .故选B.2．(2014·西安检测)由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．解析：1,1,3,3 不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4，由中位数及平均数均为2，得x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝4，故这四个数只可能为1,1,3,3或1,2,2,3或2,2,2,2，由标准差为1可得这四个数只能为1,1,3,3.3．(2014·武汉联考)已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．解析：(1)2,10,18,26,34 (2)62 由题意知被抽出职工的号码为2,10,18,26,34.由题中茎叶图知5名职工体重的平均数x －＝59＋62＋70＋73＋815＝69，则该样本的方差s 2＝15×[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.4．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a ，b 的取值分别是________，________.解析：10.5 10.5 ∵总体共有10个个体，且其中位数为10.5， ∴a ＋b2＝10.5，即a ＋b ＝21.又x －＝2＋3＋3＋7＋a ＋b ＋12＋13.7＋18.3＋2010＝10，∴总体方差s 2＝110[(2－10)2＋(3－10)2＋…＋(20－10)2]＝13.758＋110(a 2＋b 2)．∵7≤a ≤b ≤12且a ＋b ＝21， ∴a 2＋b 2≥a ＋b22＝4412＝220.5，当且仅当a ＝b ＝10.5时等号成立． ∴(s 2)min ＝13.758＋220.510＝35.808.。
教育最新K122019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-3用样本估计总体 Word版含解析-
[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设该组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a解析：把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均数a ＝110×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位数b ＝15＋152＝15，众数c ＝17，则a <b <c .答案：D2．(2017届山西省第二次四校联考)某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析：∵[20,40)，[40,60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数150.3＝50.答案：B3．如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )A．85,84 B．84,85C．86,84 D．84,86解析：由图可知去掉一最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,86,84,87，则平均数为85，众数为84.答案：A4.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是()A．12.5,12.5B．12.5,13C．13,12.5D．13,13解析：由频率分布直方图可知，众数为10＋152＝12.5.因为0.04×5＝0.2,0.1×5＝0.5，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的面积相等，所以中位数在区间[10 ,15)内．设中位数为x，则(x－10)×0.1＝0.5－0.2，解得x＝13.答案：B5.(2017年山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为()A．3,5 B．5,5C．3,7 D．5,7解析：根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它们的平均值相等，所以56＋62＋65＋74＋(70＋x)5＝59＋61＋67＋(60＋y)＋785，解得x＝3.故选A.答案：A6．(2016年山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A．56 B．60C．120 D．140解析：由直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200 ＝140.故选D.答案：D7．(2018届榆林模拟)甲、乙、丙三名同学6次数学测试成绩及班级平均分(单位：分)如表：A ．甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定B ．乙同学的数学成绩平均值是81.5C ．丙同学的数学成绩低于班级平均水平D ．在6次测验中，每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三解析：由统计表可知，甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定，所以A 正确；乙同学的数学成绩平均值是16(88＋80＋85＋78＋86＋72)＝81.5，故B 正确；丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平，所以C 正确；第6次测试成绩是甲第一、丙第二、乙第三，所以D 是错误的，故选D.答案：D8．一个样本a,3,5,7的平均数是b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由x 2－5x ＋4＝0得，两根分别为1,4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1.又a,3,5,7的平均数是b . 即a ＋3＋5＋74＝b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4符合题意，则方差s 2＝14[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5. 答案：C9．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为________．解析：由频率分布直方图可得第一组的频率是0.08，第二组的频率是0.32，第三组的频率是0.36，则中位数在第三组内，估计样本数据的中位数为10＋0.10.36×4＝1009.答案：100910．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________． 解析：(1)由频率分布直方图总面积为1，得(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x ＋0.006 0)×50 ＝1，解得x ＝0.004 4.(2)用电量在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.004 4＋0.006 0)×50＝0.7，故所求户数为100×0.7＝70.答案：(1)0.004 4 (2)7011．已知x 是1,2,3，x,5,6,7这七个数据的中位数且1,2，x 2，－y 这四个数据的平均数为1，则y －1x 的最小值为________．解析：由题意可知1＋2＋x 2－y ＝4，所以y ＝x 2－1.由中位数定义知，3≤x ≤5，所以y －1x ＝x 2－1－1x ，当x ∈[3,5]时，函数y ＝x 2－1与y ＝－1x 均为增函数，所以y ＝x 2－1－1x 在[3,5]上为增函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x min ＝8－13＝233.答案：23312．(2017届广东珠海高三摸底)2016年8月7日，在里约奥运会射击女子10米气手枪决赛中，中国选手张梦雪以199.4环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金，俄罗斯选手巴特萨拉斯基纳获得银牌．下表是两位选手其中10枪的成绩.(2)请计算两位射击选手成绩的方差，并比较谁的射击情况比较稳定． 解：(1)x 张＝110(10.2＋…＋9.2)＝10， x 巴＝110(10.1＋…＋9.7)＝9.9， 可知张梦雪的成绩较好．(2)s 2张＝110(0.22＋0.32＋0.22＋0.12＋0＋0.72＋0.92＋0.12＋0.32＋0.82)＝0.222， s 2巴＝110(0.22＋0.12＋0.52＋0.32＋0.72＋0.72＋0.62＋0.32＋0.42＋0.22)＝0.202， 因为s 2张>s 2巴，可知巴特萨拉斯基纳成绩较稳定．[能 力 提 升]1．(2017届北京东城模拟)甲、乙两名篮球运动员在4场比赛中的得分情况如图所示．v 1，v 2分别表示甲、乙二人的平均得分，s 1，s 2分别表示甲、乙二人得分的方差，那么v 1和v 2，s 1和s 2的大小关系是( )A ．v 1>v 2，s 1>s 2B ．v 1<v 2，s 1>s 2C ．v 1>v 2，s 1<s 2D ．v 1<v 2，s 1<s 2解析：由茎叶图得， v 1＝14(9＋13＋14＋20)＝14， v 2＝14(8＋9＋13＋22)＝13，s 1＝14[(9－14)2＋(13－14)2＋(14－14)2＋(20－14)2]＝312， s 2＝14[(8－13)2＋(9－13)2＋(13－13)2＋(22－13)2]＝612.∴v 1>v 2，s 1<s 2，故选C. 答案：C2．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a,5组数据中最大频率为0.32，则a 的值为( )A ．64B ．54C ．48D ．27 解析：前两组的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.因为后五组频数和为62，所以前三组为38.所以第三组频数为22.又最大频率为0.32的最大频数为0.32×100＝32.所以a ＝22＋32＝54.答案：B3．(2017届山东淄博一模)某校女子篮球队7名运动员身高(单位：厘米)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数记为x ，那么x 的值为________．解析：由题意可知，170＋17×(1＋2＋x ＋4＋5＋10＋11)＝175， 即17×(33＋x )＝5，即33＋x ＝35，解得x ＝2. 答案：24．已知一组数据：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7构成公差为d 的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d 等于________．解析：这组数据的平均数为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 77＝7a 47＝a 4，又因为这组数据的方差等于1，所以17[(a 1－a 4)2＋(a 2－a 4)2＋(a 3－a 4)2＋(a 4－a 4)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 4)2＋(a 7－a 4)2]＝17(9d 2＋4d 2＋d 2＋0＋d 2＋4d 2＋9d 2)＝1，即4d 2＝1，解得d ＝±12. 答案：±125．(2018届张掖重点中学联考)张掖市旅游局为了了解大佛寺景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n 人，问题是“大佛寺是几A 级旅游景点？”统计结果如下图表：(1)分别求出a，b，x，y的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人；(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．解：(1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为90.36＝25，再结合频率分布直方图可知，n＝250.025×10＝100，所以a＝100×0.01×10×0.5＝5，b＝100×0.03×10×0.9＝27，x＝181 00×0.02×10＝0.9，y＝3100×0.015×10＝0.2.(2)因为第2,3,4组回答正确的共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为第2组：1854×6＝2；第3组：2754×6＝3；第4组954×6＝1.(3)设第2组的2人为A1，A2；第3组的3人为B1，B2，B3；第4组的1人为C1.则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)，共15种，其中恰好没有第3组人的共3种．所以所抽取的人中恰好没有第3组人的概率P＝315＝15.。
高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测3 Word版含解析
课时跟踪检测(三)[高考基础题型得分练]1．[2017·福建福州3月质检]已知命题p：“∃x0∈R，e x0－x0－1≤0”，则綈p为()A．∃x0∈R，e x0－x0－1≥0B．∃x0∈R，e x0－x0－1＞0C．∀x∈R，e x－x－1＞0D．∀x∈R，e x－x－1≥0答案：C解析：由题意得，根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，e x－x－1＞0”，故选C.2．已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则綈p为()A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x＞0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1答案：B解析：命题p为全称命题，所以綈p：∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1.3．命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是()A．p∨q B．p∧qC．q D．綈p答案：B解析：取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y ) 2≥0恒成立可知，命题q 正确，故綈p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．4．[2017·河北唐山一模]命题p ：∃x 0∈N ，x 30＜x 20；命题q ：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2,0)，则( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真答案：A解析：∵x 3＜x 2，∴x 2(x －1)＜0，∴x ＜0或0＜x ＜1，在这个范围内没有自然数，命题p 为假命题．∵f (x )的图象过点(2,0)，∴log a 1＝0，对∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)的值均成立，命题q 为真命题．5．如果命题“p ∧q ”是假命题，“綈p ”也是假命题，则( )A ．命题“(綈p )∨q ”是假命题B ．命题“p ∨q ”是假命题C ．命题“(綈p )∧q ”是真命题D ．命题“p ∧(綈q )”是假命题答案：A解析：由“綈p ”是假命题可得p 为真命题．因为“p ∧q ”是假命题，所以q 为假命题，所以命题“(綈p )∨q ”是假命题，即A 正确；“p ∨q ”是真命题，即B 错误；“(綈p )∧q ”是假命题，故C 错误；“p ∧(綈q)”是真命题，即D错误．6．[2017·河南商丘模拟]已知命题p：函数y＝a x＋1＋1(a＞0且a≠1)的图象恒过点(－1,2)；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)答案：D解析：由指数函数恒过点(0,1)知，函数y＝a x＋1＋1是由y＝a x先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到．所以函数y＝a x＋1＋1恒过点(－1,2)，故命题p为真命题；命题q：m与β的位置关系也可能是m⊂β，故q是假命题．所以p∧(綈q)为真命题．7．若命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是()A．[－1,3]B．(－1,3)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案：D解析：因为命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1＜0”等价于x20＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a－1)2－4＞0，即a2－2a－3＞0，解得a＜－1或a＞3.8．[2017·陕西西安质检]已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x0＋1)≤0，则( )A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0答案：B解析：∵3x ＞0，∴3x ＋1＞1，则log 2(3x ＋1)＞0，∴p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0.故选B.9．命题“∀x ∈R ，cos x ≤1”的否定是________．答案：∃x 0∈R ，cos x 0＞110. 已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x＞1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________．答案：(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析：因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎨⎧ x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2， 解得x ＜－3或1＜x ≤2或x ≥3，所以x 的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．11．已知命题p ：f (x )＝1－2m x 2在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q ：不等式x 2－2x >m －1的解集为R .若命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，则实数m 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 解析：对于命题p ，由f (x )＝1－2m x 2在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m >0，解得m <12；对于命题q ，不等式x 2－2x >m －1的解集为R 等价于不等式(x －1)2>m 的解集为R ，因为(x －1)2≥0恒成立，所以m <0，因为命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，所以命题p 和命题q 一真一假．当命题p 为真，命题q 为假时，⎩⎪⎨⎪⎧ m <12，m ≥0，得0≤m <12； 当命题p 为假，命题q 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥12，m <0，此时m 不存在．故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12. 12．已知命题p ：函数y ＝(c －1)x ＋1在R 上单调递增；命题q ：不等式x 2－x ＋c ≤0的解集是∅.若p ∧q 为真命题，则实数c 的取值范围是________．答案：(1，＋∞)解析：要使函数y ＝(c －1)x ＋1在R 上单调递增，则c －1＞0，解得c ＞1.所以p ：c ＞1.因为不等式x 2－x ＋c ≤0的解集是∅，所以判别式Δ＝1－4c ＜0，解得c ＞14，即q ：c ＞14.因为p ∧q 为真命题，所以p ，q 同为真，即c ＞14且c ＞1，解得c ＞1.所以实数c 的取值范围是(1，＋∞)．[冲刺名校能力提升练]1．给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数．下列说法正确的是( ) A ．p ∨q 是假命题B ．(綈p )∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．(綈p )∨q 是真命题答案：B解析：对于命题p ：令y ＝f (x )＝ln[(1－x )(1＋x )]，由(1－x )(1＋x )＞0，得－1＜x ＜1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，又∵f (－x )＝ln[(1＋x )·(1－x )]＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，∴命题p 为真命题；对于命题q ：令y ＝f (x )＝e x －1e x ＋1，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝e －x－1e －x ＋1＝1e x －11e x ＋1＝1－e x1＋e x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，∴命题q 为假命题，∴(綈p )∧q 是假命题，故选B.2．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(綈q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名B ．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名C ．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名D ．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名答案：D解析：(綈q )∧r 是真命题，则綈q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.3．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]答案：A解析：依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 20＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，即m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧ m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.4．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．则使p ∨q 为真，“p ∧q ”为假的实数m 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪[－1,3)解析：设方程x 2＋2mx ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，由⎩⎨⎧ Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，得m ＜－1，所以命题p 为真时，m ＜－1.由方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，可知Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0，得－2＜m ＜3，所以命题q 为真时，－2＜m ＜3.由“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假可知，命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎨⎧ m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2； 当p 假q 真时，⎩⎨⎧ m ≥－1，－2＜m ＜3，此时－1≤m ＜3，所以所求实数m 满足m ≤－2或－1≤m ＜3.5．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0.q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0. (1)若a ＝1，且“p ∧q ”为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：由x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＞0，得a ＜x ＜3a ，即p 为真命题时，a ＜x ＜3a ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x ＞2或x ＜－4， 即2＜x ≤3，即q 为真命题时，2＜x ≤3.(1)a ＝1时，p ：1＜x ＜3.由“p ∧q ”为真知p ，q 均为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，2＜x ≤3，得2＜x ＜3， 所以实数x 的取值范围为(2,3)．(2)设A ＝{x |a ＜x ＜3a }，B ＝{x |2＜x ≤3}，由题意知p 是q 的必要不充分条件，所以B 真包含于A ，有⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤2，3a ＞3，所以1＜a ≤2， 所以实数a 的取值范围为(1,2]．6．设p ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x ＜0}；q ：函数y ＝ax 2－x ＋a 的定义域为R .若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．解：根据指数函数的单调性可知，命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为P ＝{a |0<a <1}，对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立．当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立；当a ≠0时，不等式恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(－1)2－4a ×a ≤0， 解得a ≥12. 所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为Q ＝⎩⎨⎧ a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≥12 . 由“p ∨q ”是真命题，“p ∧q ”是假命题，可知命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，a 的取值范围是P ∩(∁R Q )＝{a |0<a <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <12 ＝⎩⎨⎧ a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0<a <12 ； 当p 假q 真时，a 的取值范围是(∁R P )∩Q ＝{a |a ≤0或a ≥1}∩⎩⎨⎧ a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≥12 ＝{a |a ≥1}．综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[1，＋∞)．。
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[课时跟踪检测][基础达标]1 •某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12设该组数据的平均数为a ,中位数为b ,众数为c , 则有（）A. a>b>c B . b>c>a C . c>a>bD . c>b>a解析：把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,171其平均数 a =(10+ 12+ 14+ 14+ 15+ 15+ 16+ 17+ 17+ 17)= 14.7,中位数 b答案：D2. （2017届山西省第二次四校联考）某学校组织学生参加数学测试，成绩的 频率分布直方图如图，数据的分组依次为 [20,40）, [40,60）, [60,80）,[80,100],若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是（ ）解析：v [20,40）, [40,60）的频率为（0.005+ 0.01）X 20= 0.3,二该班的学生人答案：B3. 如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分 数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 （）15+ 152=15,众数 c = 17,贝U a<b<c. A . 45150.3=50.A. 85,84C. 86,84D. 84,86解析：由图可知去掉一最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,86,84,87,则平均数为85，众数为84.答案：A4. 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（）A. 12.5,12.5B. 12.5,13C. 13,12.5D. 13,131 n I 1 s众数为一2—= 12.5•因为0.2,0.1X 5 = 0.5,在频率分布直方图中，中位数左边和右边的面积相等，所以中位数在区间［10 ,15）内.设中位数为X，则（x—10）X 0.1= 0.5-0.2，解得x= 13.答案：B5. （2017年山东卷）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）甲组乙组6592弔6 1 7 yJC478A. 3,5B. 5,5C. 3,7D. 5,7解析：根据两组数据的中位数相等可得65 = 60+ y，解得y= 5，又它们的平B. 84,85解析：由频率分布直方图可知, 0.04X 5 =均值相等，所以56+ 62+ 65+ 74+(70+ x )_ 59+ 61 + 67+(60+ y 汁 785 _ 5 答案：A6. （2016年山东卷）某高校调查了 200名学生每周的自习时间 仲位：小时）, 制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 [17.5,30]，样本数据 分组为[17.5, 20）, [20,22.5）, [22.5,25）, [25, 27.5）, [27.5,30].根据直方图，这 200名学生中每周的自习时间不少于 22.5小时的人数是（）C . 120解析：由直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为（0.16+ 0.08+0.04）X 2.5_0.7,则每周自习时间不少于 22.5小时的人数为0.7X 200 _ 140.故选 D.答案：D7. （2018届榆林模拟）甲、乙、丙三名同学6次数学测试成绩及班级平均分 仲 位：分）如表：第一次 第二次第三次 第四次 第五次 第六次 甲 95 87 92 93 87 94 乙 88 80 85 78 86 72 丙 69 63 71 71 74 74 全班888281807577下列说法错误的是（ ）A •甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定 B.乙同学的数学成绩平均值是 81.5C. 丙同学的数学成绩低于班级平均水平解得x _ 3.故选A.A . 56D . 140D. 在6次测验中，每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三9解析：由统计表可知，甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平， 且较稳定，1所以A 正确；乙同学的数学成绩平均值是 6（88+ 80+ 85+ 78+ 86 + 72） = 81.5, 故B 正确；丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平，所以C 正确；第6次测试成绩是甲第一、丙第二、乙第三，所以 D 是错误的，故选D.答案：D28. —个样本a,3,5,7的平均数是b ,且a ，b 是方程x — 5x +4 = 0的两根， 则这个样本的方差是（）A . 3B . 4C . 5D . 6解析：由x 2 — 5x + 4 = 0得，两根分别为1,4， a = 1， a = 4, 或』 4= 4h= 1.则方差 s 2=才(1 — 4)2 + (3 — 4)2 + (5 — 4)2 + (7 — 4)2] = 5. 答案：C9. ____ 一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数 为 ________ .解析：由频率分布直方图可得第一组的频率是 0.08，第二组的频率是0.32, 0 1 第三组的频率是0.36,则中位数在第三组内，估计样本数据的中位数为10+ 036又a,3,5,7的平均数是b.即a + 3；5+ 7 = b ,所以』 a= 1，符合题意, 4 = 4910.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至答案:100350度之间，频率分布直方图如图所示.(2)在这些用户中，用电量落在区间［100,250)内的户数为_________ .解析：(1)由频率分布直方图总面积为1,得(0.001 2+ 0.002 4X 2+ 0.003 6+ x+ 0.006 0)X 50 = 1,解得x= 0.004 4.(2)用电量在［100,250)内的频率为(0.003 6+ 0.004 4+ 0.006 0)X 50= 0.7,故所求户数为100X 0.7= 70.答案：(1)0.004 4 (2)7011. 已知x是1,2,3, x,5,6,7这七个数据的中位数且1,2, x2, —y这四个数据1的平均数为1,则y—°的最小值为__________ .入解析：由题意可知1 + 2 + x2—y=4,所以y=x2— 1.由中位数定义知，3<x<5,1 2 1 2 1所以y — -=x —1 — -，当x€ ［3,5］时，函数y= x —1与y=— -均为增函数，所以x x x1 f 1 \ 1 23y= x2— 1 —x 在［3,5］上为增函数，所以y—x min = 8—3=3.23答案：2312. (2017届广东珠海高三摸底)2016年8月7日，在里约奥运会射击女子10米气手枪决赛中，中国选手张梦雪以199.4环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金，俄罗斯选手巴特萨拉斯基纳获得银牌. 下表是两位选手其中10枪的成绩.(1) 请计算两位射击选手的平均成绩，并比较谁的成绩较好； (2) 请计算两位射击选手成绩的方差，并比较谁的射击情况比较稳定. 1解：⑴ x 张=10(10.2+…+ 9.2)= 10, — 1x 巴 = 10(10.1 +…+ 9.7)= 9.9, 可知张梦雪的成绩较好.(2)s 张=秸(0.21 2 + 0.32+ 0.22 + 0.12 + 0+ 0.72+ 0.92 + 0.12+ 0.32+ 0.85= 0.222, s 巴=110(0.22+ 0.12 + 0.5?+ 0.3?+ 0.7 + 0.7?+ 0.6? + 0.3?+ 0.4?+ 0.2?) = 0.202, 因为s 张>s £，可知巴特萨拉斯基纳成绩较稳定.［能力提升］1. (2017届北京东城模拟)甲、乙两名篮球运动员在 4场比赛中的得分情况 如图所示.V 1, V 2分别表示甲、乙二人的平均得分，S 1, S 2分别表示甲、乙二人 得分的方差，那么V 1和V 2, S 1和S 2的大小关系是()甲乙9 04 31 3 022A . V 1>V 2, S 1>S 2 C . V 1>V 2, S 1<S 2 解析：由茎叶图得，1V 1 = 4(9+ 13+ 14+ 20)= 14,11 2 2 2 2 31 S 1 =4【(9 — 14)2 + (13 - 14)2 + (14- 14)2 + (20 - 14)] =?, s 2 = J[(8 - 13)2 + (9 - 13)2+ (13- 13)2+ (22- 13)2]=号. 二 V 1>V 2, S 1VS 2，故选 C. 答案：C2.为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后B . V 1<V 2, S 1>S 2D . V <V ,V2=4(8+ 9+ 13 + 22)= 13,组频数和为62,设视力在4.6到4.8之间的学生数为a,5组数据中最大频率为0.32, 则a 的值为（解析：前两组的频数为100X （0.05+ 0.11）= 16.因为后五组频数和为62,所以前三组为38.所以第三组频数为22.又最大频率为0.32的最大频数为0.32X 100= 32.所以a = 22 + 32= 54.答案：B3. （2017届山东淄博一模）某校女子篮球队7名运动员身高 仲位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为 175 cm ,但记录中有一名运动员身高的 末位数字不清晰，如果把其末位数记为 x ,那么x 的值为 ____________ .一 1解析：由题意可知，170+7X （1+ 2 + x + 4+ 5 + 10+ 11）= 175, 又因为这组数据的方差等于1,12 2 2 2 2 2所以 7【(a 1— a 4) + (a 2 — a 4) + (a 3— a 4) + (a 4— a 4) + (a 5— a 4) + (a 6— a 4) + (a 72〔2 22 2 2 2-a 4) ] = 7(9d + 4d + d + 0+ d + 4d + 9d ) = 1,即4d 3 4 = 1，解得d = ±3即7X (33 + x)= 5,即 33+ x = 35,解得 x = 2. 答案：2解析: 这组数据的平均数为a 〔 + a 2+ 43 + a 4+ a s + 比+ a 7 7a 47 = 7a 4, B . 5418 3 答案：±5. (2018届张掖重点中学联考)张掖市旅游局为了了解大佛寺景点在大众中 的熟知度，随机对15〜65岁的人群抽样了 n 人，问题是“大佛寺是几 A 级旅游 景点？”统计结果如下图表:(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人；(3)在⑵抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第 3组人的 概率.9解：(1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为036= 25,25再结合频率分布直方图可知，n = 0025X 10= 100, 所以 a = 100X 0.01 X 10X 0.5= 5,4. 已知一组数据：a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7构成公差为d 的等差数列, 且这组数据的方差等于1,则公差d 等于 ___________ .(1)分别求出a , b , x ,b= 100X 0.03X 10X 0.9 = 27,x= = 0 9 y = = 0 21 00X 0.02X 10 * ' 丫100X 0.015X 10 --(2)因为第2,3,4组回答正确的共有54人, 所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为第 2 组：58x6= 2;第3 组：|7x 6= 3;9第 4 组9x 6= 1.(3)设第2组的2人为A i, A|；第3组的3人为B i, B|, B3；第4组的1人为C i.则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为(A i, A2), (A i, B i), (A i, B2), (A i, B3), (A i, C i), (A2, B i), (A2, B2), (A2, B3), (A2, C i), (B i, B2), (B i, B3), (B i, C i), (B2, B3), (B2, C i), (B3, C i),共i5 种，其中恰好没有第 3 组人的共3种.3 i所以所抽取的人中恰好没有第3组人的概率卩=不=7.i5 5。