2.4 等边三角形课件设计二

等边三角形
开启
智慧
一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？ 一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？
你认为有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？ 你能证明你的结论吗？
A A
600
A
B
600
CB
CB
600
C
与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.
我能行
1
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
′
A
你能规范地写出证明过程吗？ 你的证题能力有所提高吗?
隋堂练习 3
2.已知:如图,点P,Q在BC上,且 BP=AP=AQ=QC=a,∠PAQ=600,AH⊥BC于H. (1)求证:AB=AC; (2)试在图中标出各个角的度数; (3)求出图中各线段的长度,并说明理由.
′
B
A
P H Q
C
胜利属于敢想敢干的人！ 你能与同学们交流探索证题的全 过程吗?
我能行
4
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等 A 于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300. 300 1 求证:BC= 2 AB. 证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD. B C D 在△ABC中,∵∠ACB=900,∠A=300(已知), ∴∠B=600(直角三角形两锐角互余). 又∵ ∠ACB=900, (已知), ∴∠ACD=900(平角意义). 在△ABC与△ADC中 ∵BC=DC（作图）, ∠ACB=∠ACD（已证）, AC=AC（公共边）, ∴△ABC≌△ADC（SAS）. ∴△ABD是等边三角形(有一个角600是的等腰三角形是等边三角形) 1 1 ∴BC= 2 BD=2 AB(等式性质).
隋堂练习 2
含300角的直角三角形
1.已知:如图, 在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D. 求证:BD=AB/4.
C 分析:因为∠A=300,所以 BC=AB/2.要证明BD=AB/4,只 要能使BD=BC/2即可,此时若 B D ∠BCD=300就可以了.而由“ 双垂直三角形”即可求得.
● ●
小结

拓展



等边三角形的判定: 定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角 形. 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. 特殊的直角三角形的性质: 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于 斜边的一半,那么它所对的锐角等于300. 老师提醒: 反证法还认识你吗?
B A
300
′
C
试一试P14 2
1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别 是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得 A落在EF上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么∠ADG 等于多少度?你能证明你的结论吗?
B E C F B E A G A (1) D A (2) D C F
已知:如图,在△ABC中AB=AC,∠B=600. A 求证:△ABC是等边三角形. 证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知), B 0.(等边对等角). ∴∠C=∠B=60 ∴∠A=600(三角形内角和定理). ∴∠A=∠B（等式性质）. ∴ AC=CB（等角对等边）. ∴AB=BC=AC（等式性质）. ∴ △ABC是等边三角形(等边三角形 意义).
心动
不如行动
命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜 边的一半,那么它所对的锐角等于300.是真命题吗? 如果是,请你证明它. 已知:如图,在△ABC中 ∠ACB=900,BC=AB/2. 求证:∠A=300.
B A
300
C
心动
不如行动
证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD. 在△ABD中,∵∠ACB=900(已知), ∴AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两 端的距离相等). 又∵BC=AB/2(已知), B BC=BD/2(作图), ∴AB=BD(等量代换). ∴AB=BD=AD(等式性质）. ∴△ABD是等边三角形(等边三角形意义). ∴∠B=600(等边三角形意义). ∴∠A=300(直角三角形两锐角互余).
600
C
回顾反思 1
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. 在△ABC中, ∵AB=AC,∠B=600(已知). ∴△ABC是等边三角形( 有一个角是600的等腰三 角形是等边三角形).
A
′
B
600
C
这又是一个判定等边三角形的根据之一.
问:三个角都相等的三角形是等边三角形吗?.
我能行
独立 作业
P9习题1.3 1,2,3题.
祝你成功！
习题1.3
1.已知:如图,△ABC是等边三角 形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E. 求证: △ADE是等边三角形. D 证明1: B ∵△ABC等边三角形(已知), ∴ ∠A＝∠B=∠A＝600(已知),
A
1 2
F
E C
又∵ DE∥BC(已知), ∴∠1=∠B=600,∠2=∠C=600 (两直线平行, 同位角相等). ∴ ∠A =∠1=∠2(等量代换). ∴ △ADE是等边三角形 (三个角相等 的三角形是等边三角形).
过它的三个顶点分别作对边的平行 52 线,得到一个新的△DEF,△DEF是等 B 边三角形吗?你还能找到其它的等边 三角形吗?请证明你的结论.
C
下课了!
•
结束寄语
•
严格性之于数学家,犹如道德之 于人. 证明的规范性在于：条理清晰 ，因果相应,言必有据.这是初 学证明者谨记和遵循的原则.
2
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C. 求证:△ABC是等边三角形. A 证明:∵∠A=∠B (已知), ∴ BC=AC,(等角对等边). 又∵∠B=∠C(已知), ∴ AB=AC,(等角对等边). B ∴AB=BC=AC(等式性质). ∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义). 在△ABC中, ∵∠A=∠B=∠C(已知), ∴△ABC是等边三角形(三个角都相 等的三角形是等边三角形).
试一试P14 2
1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分 别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使 得A落在EF上(如图(2)中A1),折痕交AE于点G,那么 ∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗? B C 0. 答:∠ADG等于15 证明:∵DF=DC/2(中点意义), A1 E F A1D=AD=CD(正方形各边都相等), 300 ∴DF=A1D/2(等量代换). G ∴∠DA1F=300 (在直角三角形中, 如果一条直 A D 角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300). (2) 又∵AD∥EF(中点意义), ∴∠A1DA=∠DA1F=300 (两直线平行,内错角相等). ∴∠ADG=∠A1DA/2=150(角平分线意义).
过它的三个顶点分别作对边的平行 52 线,得到一个新的△DEF,△DEF是等 B 边三角形吗?你还能找到其它的等边 三角形吗?请证明你的结论.
C
独立作业
2
习题1.3
4 1
E 1.已知:如图,△ABC是等边三角形,
A
F
过它的三个顶点分别作对边的平行 52 3 线,得到一个新的△DEF,△DEF是等 B C 边三角形吗?你还能找到其它的等边 三角形吗?请证明你的结论. D 答:(1)△DEF是等边三角形; (2)△ABE,△ACF,△BCD也都是等边三角形. 请同学们来证明(2)中的结论 .
习题1.3
E 1.已知:如图,△ABC是等边三角形,
4 1
A
3FΒιβλιοθήκη D 答:(1)△DEF是等边三角形;(2)△ABE,△ACF,△BCD也是等边三角形. 证明(1):∵△ABC是等边三角形(已知), ∴∠1＝∠2=∠3＝600(等边三角形的三个角都相等并且每个 角都等于600 ). 又∵EF∥BC,DE∥AC(已知), ∴∠4＝∠2＝600,∠5＝∠1＝600(两直线平行,内错角相等). ∴∠E＝600(三角形内角和定理). 同理,∠D=600,∠F＝600. ∴ ∠D＝∠E=∠F＝600(等量代换). ∴△DEF是等边三角形(三个角相等的三角形 是等边三角形).
回顾反思 3 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在△ABC中, ∵∠ACB=900,∠A=300. 1 ∴BC= 2 AB.(在直角三角形中, 300角 所对的直角边等于斜边的一半).
A
B
300
′
C
这又是一个判定两条线段成倍 分关系的根据之一.
A
300
C
D
回顾反思 4 定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于 斜边的一半,那么它所对的锐角等于300. 在△ABC中 ∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知), ∴∠A=300(在直角三角形中,如 果一条直角边等于斜边的一半, 那么它所对的锐角等于300). 这是一个通过线段之间的关系 来判定一个角的具体度数(300) 的根据之一.
例题欣赏 1
例2.已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 求:腰上的高. 分析:如图,在△ABC中 AB=AC=2a,∠B=∠ACB=150,CD⊥AB于D. A 求:CD=? 150 150 B D
C
′
解:∵∠B=∠ACB=150(已知), ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一个外 角,等于和不相邻的两内角的和). 1 1 ∴CD= 2 AC= 2 ×2a=a(在直角三角形中, 如果有一个 锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半 ). 这里有一个化归的数学思想——即 把问题转化为一个纯数学问题.