数学---云南省曲靖一中2016届高三下学期期末考试(理)

云南省曲靖一中2016届高三下学期期末考试（理）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,1,2A =-，{}(2)(2)0B x x x =-+<，则A.{}1-B.{}1C.{}1,1-D.{}1,1,2- 2．已知复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．下列判断错误的是A ．“am 2＜bm 2”是“a ＜b ”的充分不必要条件B ．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是“32,10x x x ∃∈-->R ”C ．“若a ＝1，则直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的逆否命题为真命题D ．若p ∧q 为假命题，则p ,q 均为假命题4．已知向量a =(3,1),b =(1,3),c =(k ,-2)，若b c a //）（-，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是 A B ．C ．D ．15-5．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是 A ．3 B ． 2 C ．2 D ．36．已知函数f (x )=(1+cos2x )sin 2x ,x ∈R ，则f (x )是 A ．最小正周期为π2的偶函数 B ．最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是3231，则输入的a 为 A ．6 B ．5 C ．4 D ．38．某校投篮比赛规则如下：选手若能连续命中两次，即停止投篮，晋级下一轮．假设某选手每次命中率都是0.6，且每次投篮结果相互独立，则该选手恰好投篮4次晋级下一轮的概率为3i1iz +=-i z z 15A ．12518B ．62536C ．625108 D ．6252169．已知直线x+y=a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点，且|+|=||OA OB OA OB -，其中O 为原点，则实数a 的值为 A ．2B ．2-C ．2或2-D10．已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若对任意的11[,3]2x ∈，存在2[2,3]x ∈使得12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≥0D ．a ≤011．设F 1、F 21 (a >0，b >0)的两个焦点，P 在双曲线上，若＝0，＝2ac (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为ABC ．2D 12．设函数是偶函数f (x )(x R ∈)的导函数，在区间上的唯一零点为，并且当时，，则使得成立的的取值范围是 A ． B ． C ． D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 13．在5)2(xx -的二项展开式中，2x 的系数为_____． 14．直线y ＝x 与抛物线y ＝2－所围成的图形面积为__________．15．已知实数x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的取值范围为____________.16．已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |=2，|AC |=3，若AP=AB λ +AC ，且AP BC⊥，则实数λ的值为____________.三、解答题 ：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数f (x )=2sin x cos x +23cos 2x -.12PF PF ⋅ 12PF PF ⋅)(x f ')(x f ),0(+∞2)1,1(-∈x 0)()(<+'x f x f x 0)(<x f x )2,0()0,2( -),2()2,(+∞--∞ )2,2(-)1,1(-2x 3（1）求函数()f x 的单调减区间；（2）在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，已知π1,()6a b f A ==-=C.18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点. （1）求证：1//A B 平面1ADC ；（2）若AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =，求平面1ADC 与平面1ABA所成二面角的正弦值.19．（本小题满分12分）某超市从2016年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0,10]，(10，20]，(20，30]，(30，40]，(40，50]分组，得到频率分布直方图如下： 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（1）写出频率分布直方图（甲）中的a 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，22s ，试比较21s 与22s 的大小；（只需写出结论）（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（3）记X 表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X 的数学期望．20．（本小题满分12分）已知抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ,B 两点，过A ,B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M ．（1）求OA OB； （2）设直线MF 与抛物线交于,C D 两点，且四边形ACBD 的面积为2323p ，求直线AB 的斜率k ．21．（本小题满分12分）已知()ln(1)2(0)f x mx m =+-≠． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若0m >，4()()2g x f x x =++存在两个极值点x 1，x 2，且12()()0g x g x +<，求m 的取值范围．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上,延长BC 到D 使,过C 作圆O 的切线交AD 于E.若,. （1）求证：; （2）求BC 的长.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求△AOB 的面积．24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x ﹣a|．（1） 当a=﹣2时，解不等式f (x )≥16﹣|2x ﹣1|；BC CD =6AB =2ED =CE AD ⊥l 13x ty t =+⎧⎨=-⎩t 22cos sin θρθ=（2） 若关于x 的不等式()1f x ≤的解集为[0，2]，求证：()(2)2f x f x a ++≥．参考答案一、选择题：二、填空题： 13. 14． 15．[]0,8 16.127三、解答题17.解：(1) π2sin(2)3x =+. 由ππ3π2π22π232k x k +++≤≤，得π7π[π,π]1212x k k ∈++， 因此的单调递减区间为π7π[π,π]1212k k ++()k ∈Z 。

…………6分 (2) 由πππ()2sin(2())2sin 2663f A A A -=-+==又a b <，所以为锐角，则π6A =.由正弦定理得sin sin sin sin a b b A B A B a =⇒==当4B π=时，74612C ππππ=--=,当34B π=时34612C ππππ=--=.………12分 18. （1）证明：如图，连结1AC ，交1AC 于点E ，则点E 是1AC 及1AC 的中点，连结DE ，则1//DE A B ，因为DE ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC .…………5分（2）建立如图所示空间的直角坐标系A xyz -.则点(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),A B C 111(0,1,2),(,,0)22C D ，则11(,,0)22AD = ，1(0,1,2)AC = ，40292()2sin cos sin2f x x x x x x =+=()k ∈Z ()f x A设平面1ADC 的法向量(,,)m x y z =，则100m AD m AC ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，即1102220x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，不妨设(2,2,1)m =- ， 易得平面1ABA 的一个法向量(0,1,0)n AC == .故2cos ,3||||m n m n m n ∙<>==-，故平面1ADC 与平面1ABA3=.…………12分19. 解：（1）由各小矩形的面积和为1可得：(0.0100.0200.0250.03)101a ++++⨯=，解之得0.015a =；由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在2030-箱，故2212s s >． …………………………3分（2）设事件A ：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B ：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C ：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则()0.200.100.3P A =+=，()0.100.200.3P B =+=．所以 ()()()()()0.42P C P A P B P A P B =+=．………7分（3）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3．0033(0)0.30.70.343P X C ==⨯⨯=， 1123(1)0.30.70.441P X C ==⨯⨯=，2213(2)0.30.70.189P X C ==⨯⨯=，．所以X 的分布列为所以 X 的数学期望00.34310.44120.18930.0270.9EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．……12分20.解：（1）设直线AB 方程为1122,(,),(,)2py kx A x y B x y =+， 联立直线AB 与抛物线方程222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得2220x px p --=，则122122x x pk x x p +=⎧⎨=-⎩ ，2121234OA OB x x y y p =+=- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由22x py =，知x y p'=，∴直线在,A B 两点处的切线的斜率分别为12,x x p p ，∴AM 的方程为111()x y y x x p -=-，BM 的方程为222()xy y x x p-=-， 解得交(,)2pM pk - ∴1MF k k=-，知直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，2122(1)AB x p k =-==+，用1k -代k 得，212(1)CD p k=+， 四边形ACBD 的面积22221322(2)3S p k p k =++=，依题意，得221k k +的最小值为103，根据1()(0)f x x x x=+>的图象和性质得，23k =或213k =，即k =或3k =±．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．解：（1）由已知得 01>+mx ，()/1mf x mx =+. 10若0>m 时， 由得m x 1->,恒有()/0f x >，所以()f x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,1m 上单调递增； 20若0m <时，由01>+mx 得,恒有()/0f x <，所以()f x 在1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减. 综上：当0>m 时，()f x 在上单调递增； 01>+mx 1x m <-⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,1m当时，在上单调递减. …………5分 （2）， 所以.令， 当时，()0h x ≥，，所以不存在极值点；当时，令()0h x =，得12x x =-=， 由()g x 的定义域可知，所以12m ---≠-且， 解得. 所以为的两个极值点，即， 且，得 .令，， 10 当时，，所以.所以.所以在上单调递减，. 即当时，成立，符合条件. 20当时，，所以，得. 所以在上单调递减，.0m <()f x 1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()()()4ln 1202g x mx m x =++->+()()()2/24412mx m gx mx x +-=++()442-+=m mx x h 1m ≥()/0gx ≥()g x 01m <<21-≠->x m x 且12m ≠12x x ，()gx 12x x =-=()1212410,m x x x x m-+==()()()()12121244ln 12ln 1222g x g x mx mx x x +=++-+++-++()()()()2122121212124162ln 14=ln 2122421x x m x x m x x m x x x x m ++⎡⎤=++++--+-⎣⎦+++-21t m =-()22ln 2F t t t=+-102m <<10t -<<()()22ln 2F t t t =-+-()()/2210t Ft t-=<()F t ()0,1-()()10F t F <-<102m <<()()021<+x g x g 112m <<01t <<()22ln 2F t t t =+-()()/2210t F t t-=<()F t ()0,1()()10F t F >=即当时，，不符合条件. 综上所述，的取值范围为. ……………12分 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（1）连接，因分别为的中点，所以,又为圆O 的切线，，所以.…………5分（2）依题意易知,所以, 又,所以,从而.…………10分23.解：（1）由曲线的极坐标方程是：，得． ∴由曲线的直角坐标方程是：．由直线的参数方程，得代入中消去得：，所以直线的普通方程为.…………5分（2）将直线的普通方程代入曲线的直角坐标方程，得210160x x -+=，设两点横坐标分别为12,x x ，所以12AB x =-===而原点到直线的距离为所以AOB △的面积是.…………10分 24.解：(1)当a=﹣2时，不等式为|x+2|+|2x ﹣1|≥16，当x≤﹣2时，原不等式可化为﹣x ﹣2﹣2x+1≥16，解之得x≤﹣； 当﹣2＜x≤时，原不等式可化为x+2﹣2x+1≥16，解之得x≤﹣13，不满足，舍去；112m <<()()120g x g x +>m ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0C O ,C O ,BD AB ,AD OC //CE OC CE ⊥AD CE ⊥ABC CDE ∆∆ AB BC CD DE =BC CD =212BC AB DE =⋅=BC =C 22cos sin θρθ=22sin 2cos ρθρθ=C 22y x =l 13x t y t =+⎧⎨=-⎩3t y =+1x t =+t 40x y --=l 40x y --=l C 22y x =,A B 40x y --=d ==111222⋅=⨯=AB d当x＞时，原不等式可化为x+2+2x﹣1≥16，解之得x≥5；不等式的解集为{x|x≤﹣或x≥5}．…………5分（2）证明：f（x）≤1即|x﹣a|≤1，解得a﹣1≤x≤a+1，而f（x）≤1解集是[0，2]，所以，解得a=1，从而f（x）=|x﹣1|于是只需证明f（x）+f（x+2）≥2，即证|x﹣1|+|x+1|≥2，因为|x﹣1|+|x+1|=|1﹣x|+|x+1|≥|1﹣x+x+1|=2，所以|x﹣1|+|x+1|≥2，证毕．…………10分。