高二数学选修1-2(文)
人教课标版高中数学选修1-2：《反证法》教案-新版
2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力2．学习目标（1）理解反证法的概念（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤（3）会用反证法证明简单的命题3．学习重点对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．4．学习难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．二、教学设计（一）课前设计【学习过程】1．预习任务任务1预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？任务2反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？2．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】由反证法的定义可知应选C．2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．两个都是非负数D．至少有一个是正数答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数D．abc<0答案：C4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解答案：D（二）课堂设计1．知识回顾著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾．所以假设不成立,李为苦李．2．问题探究问题探究一反证法的概念●活动一1．什么是反证法？引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°．∆的三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，证明：假设ABC则有∠A <60°，∠B < 60°，∠C <60°，∠A+∠B+∠C<180°这与三角形内角和等于180°相矛盾．所以假设不成立，所求证的结论成立．先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．这种证明方法就是——反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法也称归谬法●活动二1．常用词语的反义词从上面的引例可以看出：用反证法证明问题时，都是得到一系列矛盾结果，会出现一些反义词，因此，同学们要注意常见词语的反义词，你知道哪些反义词呢？下面是一些常见反义词：问题探究二反证法的证题的基本步骤●活动一反证法的证明过程从前面的引例中你可以总结出反证法证明问题有哪些步骤？反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立．●活动二归谬矛盾的方法思考一下，归谬矛盾的方法有哪些？归谬矛盾主要有以下方法：（1）与已知条件矛盾．（2）与假设矛盾或自相矛盾．（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾．●活动三反证法证明问题的适用范围同学们知道用反证法证明问题的范围有哪些吗？是不是所有的问题反证法都适用？反证法证明问题的适用范围（1）否定性命题；（2）限定式命题；（3）无穷性命题；（4）逆命题；（5）某些存在性命题；（6）全称肯定性命题；（7）一些不等量命题的证明；（8）基本命题；（9）结论以“至多……”“至或少……”的形式出现的命题等．问题探究三反证法可以解决哪些问题？●活动一用反证法证明否(肯)定式命题例1 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的零点，命题的否定，反证法；数学思想：函数与方程】详解：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c 为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．点拔：（1）此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．（2）对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．●活动二用反证法证明“唯一性”命题例2 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【知识点：函数的零点，函数的单调性，命题的否定，反证法】详解：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0，假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，且n ≠m ．，使f (n )＝0，若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾；若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．点拔：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．●活动三 用反证法证明“至多、至少”问题例3 已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2．求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解： 假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2．∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x ．∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )．即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y ＞2矛盾．∴1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．点拔：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等．例4 设二次函数2()f x x px q =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12． 【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】 详解：假设(1),(2),(3)f f f 都小于12，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．点拔：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行．议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？●活动四利用反证法证题时，假设错误而致误例5 已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a ＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【知识点：方程的根，反证法】【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0．相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．点拔：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．3．课堂总结【知识梳理】(1)反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．(2)反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．(3)反证法的基本步骤是：①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．【难点突破】用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏．（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性．（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．（4）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．（5）归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．4．随堂检测1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是（）A．3a＝3bB．3a＜3bC．3a≤3bD．3a≥3b答案：C【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a ≤3b ”．2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为（ ）A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角答案：A【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．答案：a ≠1或b ≠1．【知识点：命题的否定，反证法】∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1．4．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根．【知识点：命题的否定，反证法】证明：∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根，则⎩⎨⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ② 由①－②得2(x 1－x 2)＝0，∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根．三、智能提升★基础型 自主突破1．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设（ ）A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°答案：B三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．2．实数a，b，c不全为0等价于（）A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D【知识点：命题的否定，反证法】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D．3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2．用反证法证明时，可假设p＋q≥2．(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：D【知识点：命题的否定，反证法】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案是D4．下列命题不适合用反证法证明的是（）A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1答案：C【知识点：命题的否定，反证法】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D 中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是_____________．答案：三角形中最少有两个内角是直角【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．能力型 师生共研1．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中（ ）A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案：C【知识点：基本不等式，命题的否定，反证法】假设都大于－2，则1116a b c b c a+++++>-，又()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，同理12b b +≤-，12c c +≤-， 故1116a b c b c a+++++≤-，矛盾．即a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中至少有一个不大于－2,所以答案C ． 2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________． 答案：a 、b 不全为0【知识点：命题的否定，反证法】“a 、b 全为0”即“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0，3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】4．甲乙丙三位同学中，有一位同学做了一件好事，这时候老师问他们三人，是谁做的？甲说："丙做的．”丙说：“不是我做的．”乙也说：“不是我做的．”如果知道他们三个人中，有两人说了假话，有一人说真话，你能判断出是谁做的吗？【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：每人讲的话中都有一句真话，一句假话．乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”说明乙丙两人中有一人做了这件事，甲一定没做而甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”前一句是真的，后一句一定是假的．所以，是乙做的这件好事！5．用反证法证明：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根，则⎩⎨⎧ Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－8(6－m )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．6．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0．【知识点：不等式的证明，命题的否定，反证法】证明: 假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．探究型 多维突破1．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【知识点：推理与证明，实数非负性，命题的否定，反证法】解：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0．而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，所以a ＋b ＋c >0．这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0．2．如下图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【知识点：线面垂直，面面垂直，异面直线，命题的否定，反证法】解：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝2．∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF．∴MG⊥GN．∴MN＝MG2＋GN2＝6．(2)证明假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN．由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF．又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF．∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．（四）自助餐1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可以被7整除，则a，b中至少有一个能被7整除”，其假设正确的是（）A．a，b都能被7整除B．a，b都不能被7整除C．a不能被7整除D．a，b中有一个不能被7整除答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】“至少有一个”的否定是“一个也没有”．所以选B．2．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】①错，应为a≤b．②对．③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．即选B．3．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于（）A．1 3B．1 2C．3 4D．2 5答案：A【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设a，b，c中至少有一个数不小于x的反命题成立，即假设a，b，c都小于x，即a＜x，b＜x，c＜x，∴a＋b＋c＜3x．∵a＋b＋c＝1，∴3x＞1．∴x＞13，若取x＝13就会产生矛盾．故选A．4．下列命题错误的是（）A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数答案：D【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．因此选D．5．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则（）A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B．6．以下各数不能构成等差数列的是（）A．3，4，5B．2，3， 5C．3，6，9D．2，2， 2答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【知识点：命题的否定，反证法】“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的奇偶性，推理与证明，命题的否定，反证法】证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c．①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．9．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．【知识点：线面平行，线线平行，推理与证明，命题的否定，反证法】证明：证明：假设b，c不是异面直线，则①b∥c；②b∩c＝B．①若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，与a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B，∵c⊂β，∴B∈β．又A∈β，A∈b，∴b⊂β．又b⊂α，∴α∩β＝b．又α∩β＝a，∴a与b重合．这与a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b与c是异面直线．10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【知识点：判别式，不等式组的解法，命题的否定，反证法】解：设三个方程均无实根，则有⎩⎨⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a <－1，或a >13，－2<a <0，所以－32<a <－1． 所以当a ≥－1，或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．11．已知函数f (x )＝x 22x －2，如果数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，求证：当n ≥2时，恒有a n <3成立．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】证明：法一(直接证法) 由a n ＋1＝f (a n )得a n ＋1＝a 2n 2a n －2， ∴1a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －122＋12≤12， ∴a n ＋1<0或a n ＋1≥2；(1)若a n ＋1<0，则a n ＋1<0<3，∴结论“当n ≥2时，恒有a n <3”成立；(2)若a n ＋1≥2，则当n ≥2时，有a n ＋1－a n ＝a 2n 2a n －2－a n ＝－a 2n ＋2a n 2(a n －1)＝－a n (a n －2)2(a n －1)≤0， ∴a n ＋1≤a n ，即数列{a n }在n ≥2时单调递减；由a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3， 可知a n ≤a 2<3，在n ≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n ≥2时，恒有a n <3成立．法二：(用反证法) 假设a n ≥3(n ≥2)，则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n 2a n －2， ∴当n ≥2时，a n ＋1a n＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n －1≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34<1，(∵a n －1≥3－1)， 又易证a n >0，∴当n ≥2时，a n ＋1<a n ，∴当n >2时，a n <a n －1<…<a 2；而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，∴当n ≥2时，a n <3；这与假设矛盾，故假设不成立，∴当n≥2时，恒有a n<3成立．三、数学视野边际分析法是这一时期产生的一种经济分析方法，同时形成了经济学的边际效用学派，代表人物有瓦尔拉(L．Walras)、杰文斯(W．S．Jevons)、戈森(H．H．Gossen)、门格尔(C．Menger)、埃奇沃思(F．Y．Edgeworth)、马歇尔(A．Marshall)、费希尔(I．Fisher)、克拉克(J．B．Clark)以及庞巴维克(E．von Bohm-Bawerk)等人．边际效用学派对边际概念作出了解释和定义，当时瓦尔拉斯把边际效用叫做稀缺性，杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，说的都是微积分中的“导数”和“偏导数”．西方经济学中,边际分析方法是最基本的分析方法之一,是一个比较科学的分析方法．西方边际分析方法的起源可追溯到马尔萨斯．他在1814年曾指出微分法对经济分析所可能具有的用途．1824年，汤普逊(W．Thompson)首次将微分法运用于经济分析，研究政府的商品和劳务采购获得最大利益的条件．功利主义创始人边沁(J．Bentham)在其最大快乐和最小痛苦为人生追求目标的信条中，首次采用最大和最小术语，并且提出了边际效应递减的原理．边际分析法是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点．如果组织的目标是取得最大利润，那么当追加的收入和追加的支出相等时，这一目标就能达到．边际分析法的数学原理很简单．对于离散discrete情形，边际值marginal value为因变量变化量与自变量变化量的比值；对于连续continuous情形，边际值marginal value为因变量关于某自变量的导数值．所以边际的含义本身就是因变量关于自变量的变化率，或者说是自变量变化一个单位时因变量的改变量．在经济管理研究中，经常考虑的边际量有边际收入MR、边际成本MC、边际产量MP、边际利润MB等．。
高二数学选修1、2章末
a → → 的 坐 标 是 (x0 ， y0)， 由AM ＝ λ AB 得 x0＋e ，y0 ＝
第二章
圆锥曲线与方程
a x0＝ (λ－1) e 所以 ， y0＝λa x2 y2 0 0 因为点 M 在椭圆上，所以a2＋b2＝1，
a (λ－1)2 e
第二章
圆锥曲线与方程
章末归纳总结
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法，它是用代数
的方法研究几何问题． 本章介绍了研究圆锥曲线问题的基本思路，建立直角 坐标系，设出点的坐标，根据条件列出等式，求出圆锥曲 线方程，再通过曲线方程，研究曲线的几何性质．
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
[例1]
已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个
人 教 A 版 数 学
焦点作过A，B的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方
人 教 A 版 数 学
点题型．
第二章
圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
人 教 A 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
∵以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0)， ∴kAD·BD＝－1， k y1 y2 即 · ＝－1， x1－2 x2－2 ∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0， 3(m2－4k2) 4(m2－3) 16mk 2 ＋ 2 ＋ 2＋4＝0， 3＋4k 3＋4k 3＋4k 7m2＋16mk＋4k2＝0， 2k 解得 m1＝－2k，m2＝－ 7 ，且满足 3＋4k2－m2>0.
高二数学选修1-2全册课件2、2章末
第二章
推理与证明
[例4] 已知a、b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. [证明] 因为b2＋c2≥2bc，a>0， 所以a(b2＋c2)≥2abc.
人 教 A 版 数 学
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，
所以b(c2＋a2)≥2abc. 因为a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
人 教 A 版 数 学
殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，
推理形式正确，得到的结论就正确． 3．合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相 辅相成，前者是后者的前提，后者证明前者的可靠性．
第二章
推理与证明
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
[例3] 求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时， 圆的面积比正方形的面积大．
人 教 A 版 数 学
第二章
推理与证明
[证明] 的面积为
设正方形和圆的周长都为 L，依据题意，圆
L L 2 π2π ，正方形的面积为4 2.因此，只需证明
－2(4＋2p＋q)＝2. 1 (2)假设|f(1)|， |f(2)|， |f(3)|中至少有一个不小于2不成立， 1 则|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 ，则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2，而 2 |f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p ＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，这与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2 相矛盾， 从而假设不成立，原命题成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少 1 有一个不小于2.
高二文科数学选修1-1、1-2试卷
高二文科数学选修1-1、1-2试卷命题：福安十中 余智华一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．化简ii-+11的结果是（ ）。
（A ）1（B ）i -（C ）—1（D ）i本题考查复数简单计算，正确答案为：【D 】 2．“0a >”是“a ＞0”的（ ）。
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 本题考查充要条件的基本知识，正确答案为：【A 】3．已知命题 R x p ∈∀:，2≥x ，那么命题p ⌝为（ ）。
（A ）2x x ∀∈≤R ， （B ）2x x ∃∈<R ， （C ）2x x ∀∈≤-R ， （D ）2x x ∃∈<-R ， 本题考查全称命题与特称命题之间的转化，正确答案为：【B 】4. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ）。
（A ） 2 （B ）4 （C ） 6 （D ）10 本题考查抛物线的定义，正确答案为：【C 】5．若2m <，则方程22152x y m m+=--所表示的曲线是（ ）。
（A ）焦点在x 轴上的椭圆 （B ）焦点在y 轴上的椭圆 （C ）焦点在x 轴上的双曲线 （D ）焦点在y 轴上的双曲线 本题考查椭圆的定义，正确答案为：【A 】6．椭圆171622=+y x 的左右焦点为21,F F ，一直线过1F 交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）。
（A ）32（B ）16（C ）8（D ）4本题考查椭圆的定义运用，正确答案为：【B 】 7．下表是关于出生男婴与女婴调查的列联表那么，A 、C 的值分别是（ ）。
（A ）47、53 （B ）47、88（C ）53、88 （D ）82、88本题考查联表数据之间的关系，正确答案为：【B 】8．在独立性检验中，统计量2K 有两个临界值：3.841和6.635；当2K ＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当2K ＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当2K ≤3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的2K =20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间（ ）。
新课标高二数学文同步测试（9）（选修1-2第四章）
普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—1（文科）[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学同步测试（9）（1-2第四章）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．192．有一堆形状、大小相同的珠子,其中只有一粒重量比其它的轻,某同学经过思考,他说根据科学的算法,利用天平,三次肯定能找到这粒最轻的珠子,则这堆珠子最多有几粒（）A．21 B．24 C．27 D．303．“对于大于2的整数，依次从2～n 检验是不是n的因数，即整除n的数。
若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数”，对上面流程说法正确的是（）A．能验证B．不能验证C．有的数可以验证，有的不行D．必须依次从2～n－1检验4．“韩信点兵”问题：韩信是汉高祖手下大将，他英勇善战，谋略超群，为建立汉朝立下不朽功勋。
据说他在一次点兵的时候，为保住事秘密，不让敌人知道自己里的事实力，采用下述点兵方法：先令士兵1~3报数，结果最后一个士兵报2；又令士兵1~5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵1~7报数，结果最后一个士兵报4；这样韩信很快算出自己士兵的总数。
士兵至少有多少人（）A．20 B．46 C．53 D．395．注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，连线标位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．196．“烧开水泡壶茶喝”是我国著名数学家华罗庚教授作为“统筹法”的引子，虽然是生活中的小事，但其中有不少的道理。
北师版数学高二-选修1-2教案条件概率与独立事件
2.1条件概率与独立事件学习目标 1.理解条件概率的定义及计算方法.2.了解两个事件相互独立的概念.3.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决问题．知识点一条件概率思考(1)3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？(2)如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？梳理(1)概念：已知事件B发生的条件下，A发生的概率称为B发生时A发生的条件概率，记为________．(2)公式：当P(B)>0时，P(A|B)＝P(AB) P(B).知识点二相互独立事件思考在一次数学测试中，甲考满分对乙考满分有影响吗？梳理(1)定义：对两个事件A，B，如果P(AB)＝________，则称A，B相互独立．(2)性质：如果A，B相互独立，则A与B，A与________，A与B也相互独立．(3)如果A1，A2，…，A n相互独立，则有P(A1A2…A n)＝____________________.类型一条件概率例1甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是多少？反思与感悟在概率的求解题目中，若出现“已知在…前提下(条件下)”等字眼时，一般需用到条件概率；若题中出现“事件B的发生受事件A发生的影响”时，也需利用条件概率解决．跟踪训练1甲、乙、丙、丁4人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“甲独自去一个景点”，则P(A|B)＝________.类型二独立事件的判定及概率计算命题角度1独立事件的判定例2对于下列给出的事件：①甲、乙两同学同时解一道数学题，事件A表示“甲同学做对”，事件B表示“乙同学做对”；②在某次抽奖活动中，记事件A表示“甲抽到的两张奖券中，一张中一等奖，另一张未中奖”，事件B表示“甲抽到的两张奖券均中二等奖”；③一个布袋里有3个白球和2个红球，记事件A，B分别表示“从中任意取一个是白球”与“取出的球不放回，再从中任取一球是红球”；④在有奖储蓄中，记甲在不同奖组M和N中所开设的两个户头分别中一等奖为事件A和B.其中事件A和事件B相互独立的是________．(填序号)反思与感悟事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件称为相互独立事件．跟踪训练2掷一枚骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是()A．互斥但不相互独立B．相互独立但不互斥C．互斥且相互独立D．既不相互独立也不互斥命题角度2相互独立事件同时发生的概率例3甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．反思与感悟求P(AB)时注意事件A、B是否相互独立，求P(A＋B)时同样应注意事件A、B 是否互斥，对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路：①分类讨论；②求对立事件，利用P(A)＝1－P(A)来运算．跟踪训练3某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．1．下列说法正确的是() A ．P (B |A )<P (AB ) B ．P (B |A )＝P (B )P (A )是可能的 C ．0<P (B |A )<1D ．P (A |A )＝02．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1与A 2是( ) A ．互斥事件 B ．相互独立事件 C ．对立事件D ．不相互独立事件3．甲，乙，丙三人独立去破译一个密码，分别破译出的概率为15，13，14，则此密码能破译出的概率是( ) A.160 B.25 C.35 D.59604．已知A 、B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (A B )＝________；P (A B )＝________.5．在感冒流行的季节，设甲、乙两人患感冒的概率分别为0.6和0.5，则他们中有人患感冒的概率是________．1．条件概率的前提条件是：在知道事件A 必然发生的前提下，只需局限在A 发生的范围内考虑问题，在事件A 发生的前提下事件B 发生，等价于事件A 和B 同时发生，由古典概型知，其条件概率为P (B |A )＝n (AB )n (A )＝n (AB )n (Ω)n (A )n (Ω)＝P (AB )P (A )，其中，n (Ω)为一次试验可能出现的所有结果数，n (A )为事件A 所包含的结果数，n (AB )为AB 同时发生时的结果数．2．P (AB )＝P (A )P (B )使用的前提条件是A ，B 为相互独立事件；当事件A 与B 相互独立时，事件A 与B 、A 与B 、A 与B 也相互独立．3．求事件的概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率问题，可考虑用他们的对立事件求解．答案精析问题导学 知识点一思考 (1)最后一名同学抽到中奖奖券的概率为13，不比其他同学小．(2)按照古典概型的计算公式，此时最后一名同学抽到中奖奖券的概率为12.梳理 (1)P (A |B ) 知识点二 思考 没有影响．梳理 (1)P (A )P (B ) (2)B (3)P (A 1)P (A 2)…P (A n ) 题型探究例1 解 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则： (1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18＝0.67. (2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.20＝0.60. 跟踪训练1 29解析 甲独自去一个景点，有4个景点可选，其余3人每人都有3种选择，可能性为3×3×3＝27(种)．故甲独自去一个景点的可能性为4×27＝108(种)， 4人去不同的景点的可能性为4×3×2×1＝24(种)． 故P (A |B )＝24108＝29.例2 ①④ 解析跟踪训练2B例3解记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件，(1)“2人都射中”的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72，所以2人都射中目标的概率是0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中(事件A B发生)，另一种是甲未击中、乙击中(事件A B发生)．根据题意，事件A B与A B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.所以2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.(3)方法一“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为P＝P(AB)＋＝0.72＋0.26＝0.98.方法二“2人至少有一人射中”与“2人都未射中”为对立事件，“2个都未射中目标”的概率是P(A B)＝P(A)P(B)＝(1－0.8)(1－0.9)＝0.02，所以“两人至少有1人射中目标”的概率为P＝1－P(A B)＝1－0.02＝0.98.(4)方法一“至多有1人射中目标”包括“2人都未射中”和“有1人射中”，故所求概率为P＝P(A B)＋P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.方法二“至多有1人射中目标”的对立事件是“2人都射中目标”，故所求概率为P＝1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－0.72＝0.28.跟踪训练3 解 设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A ，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB .(1)由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A 与B 相互独立．于是由独立性可得两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝0.05×0.05＝0.002 5.(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A B )∪(A B )表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义，可得所求事件的概率为 P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095. 即恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095.(3)方法一 “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB )∪(A B )∪(A B )表示．由于事件AB ，A B 和A B 两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义，可得所求事件的概率为P (AB )＋P (A B )＋P (A B )＝0.002 5＋0.095＝0.097 5. 方法二 1－P (A B )＝1－(1－0.05)2＝0.097 5. 即至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.0975. 当堂训练1．B 2.D 3.C 4.16 165.0.8。
高二数学(文科)选修1-1、1-2、4-4重要知识点
高二数学（文科）知识点 第一部分 简单逻辑用语
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.
2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.
3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”
4、四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．
利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；
6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.
7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“”表示；
全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；
特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；
第二部分 圆锥曲线
1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2。
2020最新人教版高二数学选修1-2电子课本课件【全册】
பைடு நூலகம்
实习作业
2020最新人教版高二数学选修1－2 电子课本课件【全册】
2020最新人教版高二数学选修1 －2电子课本课件【全册】目录
0002页 0084页 0113页 0202页 0241页 0276页 0352页 0389页 0466页 0513页 0576页 0587页
第一章 统计案例 1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 小结 第二章 推理与证明 阅读与思考 科学发现中的推理 小结 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 复习参考题 4.1 流程图 信息技术应用 用word2002绘制流程图 复习参考题
第一章 统计案例
2020最新人教版高二数学选修1－2 电子课本课件【全册】
1.1 回归分析的基本思想及其 初步应用
2020最新人教版高二数学选修1－2 电子课本课件【全册】
1.2 独立性检验的基本思想及 其初步应用
人教版高二数学(文科)选修1-2单元测试题(八)及答案
2010级高二数学（文科）选修1-2单元测试题（八）班级______________姓名______________参考公式：2K =n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )， n =a ＋b ＋c ＋d一、选择题（42080''⨯=）1．[ ]利用独立性检验来考察两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 与Y 有关系”的可信程度．如果K 2≥A ．97.5% B ．75% C ．25% D ．2.5%2．[ ]用独立性检验来考察两个分类变量x 与y 是否有关系，当统计量K 2的观测值k A ．越大，“x 与y 有关系”成立的可能性越小 B ．越大，“x 与y 有关系”成立的可能性越大 C ．越小，“x 与y 没有关系”成立的可能性越小 D ．与“x 与y 有关系”成立的可能性无关3．[ ]检验两个分类变量是否相关时，可以用____粗略地判断两个分类变量是否有关系． A ．散点图 B ．独立性检验 C ．等高条形图 D ．以上全部都可以4．[ ] 下面是一个2×2列联表：则表中a ，b 处的值分别为 A ．94,96 B ．52,50 C ．52,60 D ．54,525．[ ]为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K 2＝99.9，根据这一数据分析，下列说法中正确的是 A ．有99.9%的人认为该栏目优秀B ．有99.9%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系C ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为电视栏目是否优秀与改革有关系D ．以上说法都不对6．[ ]在2×2列联表中，下列两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大的是A ．a a ＋b 与c c ＋dB ．a c ＋d 与c a ＋bC ．a a ＋d 与c b ＋cD ．a b ＋d 与c a ＋c7．[ ]据测算，50岁以上的人的年龄x (单位：岁)和收缩压y (单位：毫米汞柱)具有线性相关关系，二者的回归方程为 y ^＝1.2x ＋80．若测得一位60岁老人的收缩压为160毫米汞柱，则他的实际血压相对于估计血压的残差为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．98．[ ]分类变量X 和Y 的列联表如下：则A ．ad －bc 越小，说明X 与Y 的关系越弱B ．ad －bc 越大，说明X 与Y 的关系越强C ．(ad －bc )2越大，说明X 与Y 的关系越强D ．(ad －bc )2越接近于0，说明X 与Y 的关系越强9．[ ]下列说法正确的是 ①回归方程适用于一切样本和总体 ②回归方程一般都有时间性③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围 ④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③10．[ ]下列说法错误的是A ．在独立性检验中，K 2的值越大，说明确定两个量有关系的把握越大B ．计算误差，测量误差都将影响到残差的大小C ．在回归分析中R 2的值越大，说明拟合效果越好D ．球的体积与它的半径具有相关关系11．[ ]已知变量x 、y 呈线性相关关系，且回归直线为 y ^＝3－2x ，则x 与y 是 A ．线性正相关关系 B ．线性负相关关系C ．非线性相关D ．无法判定其正负相关关系12．[ ]已知某车间加工零件的个数x 与所花时间y (单位：h)之间的线性回归方程 为 y ^＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要A ．6.5 hB ．5.5 hC ．3.5 hD ．0.5 h13．[ ]男女大学生，在课余时间是否参加运动，得到下表所示的数据，从表中数据分析，认为大学生的性别与参加运动之间有关系的把握有A．95% B．97.5% C．99% D．99.9%14．[ ]关于复数z的方程31z-=在复平面上表示的图形是A．圆B．直线C．抛物线D．椭圆15．[ ]已知复数1z i=-，则21zz=-A．2B．2-C．2i D．2i-16．[ ]在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13”．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则“正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的．”A．21B．31C．41D．3217．[ ]下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是A.①③B.①④C.②③D.①②④18．[ ]用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是A．假设三内角都不大于60︒B．假设三内角都大于60︒C．假设三内角至多有一个大于60︒D．假设三内角至多有两个大于60︒参加运动不参加运动合计男大学生20 8 28女大学生12 16 28合计32 24 5619．[ ]下列各图是由一些火柴棒拼成的一系列图形，如第1个图中有4根火柴棒组成，第2个图中有7根火柴棒组成，则在第51个图中的火柴棒有A .150根B ．153根C ．154根D ．156根20．[ ]把数列{2n ＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数，… 循环分别为（3）， （5，7）， （9，11，13）， （15，17，19，21）， （23），（25，27）， （29，31，33）， （35，37，39，41）， （43）， （45，47），… 则第104个括号内各数之和为 A ．2036 B ．2048 C ．2060D ．2072二、填空题（4520''⨯=）21．某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现K 2的观测值k ＝6.023，根据这一数据查表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系，这一断言犯错误的概率不超过_________________．22．对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为_________________________．23．复数=+4)2222(i ________________．24．在复平面内，O 是原点，,,OA OC AB u u u r u u u r u u u r表示的复数分别为,51,23,2i i i +++-那么BC uuu r表示的复数为 ．25．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段长度相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_______________________________________________”．2010级高二数学（文科）选修1-2单元测试题（八）班级______________姓名______________三、解答题（10550''⨯=）说明：26、27、28题直接写出答案； 29、30题要有解答过程． 26．1212⨯=221334⨯⨯=⨯ 32135456⨯⨯⨯=⨯⨯4213575678⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，…… 以此类推，第n 个等式为 .27．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，则，，，，91269363S S S S S S S ---成等差数列． 类比以上结论有：设等比数列}{n b 的前n 项积为n T ，则3T ， ， ， 成等比数列．28．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩 上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心 点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角 形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，若按此 规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．512122图229．在对人们休闲的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动． (1) 根据以上数据建立一个2×2的列联表； (2) 检验性别与休闲方式是否有关系．30．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x (万元)和需求量y (t) 之间的一组数据为：(1) 画出散点图；(2) 求出y 对x 的线性回归方程；(3) 如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)．参考公式：2121xn x yx n yx b n i i ni ii --=∑∑==； 参考数据：已知∑5i ＝1x i y i ＝62，∑5i ＝1x 2i ＝16.6．2010级高二数学（文科）选修1-2单元测试题（八）参考答案一、选择题（42080''⨯=） 1----------5 ABCCC 6---------10 ACCDD11--------15 BAAAA 16--------20 CBBCD二、填空题（4520''⨯=） 21．0.02522．y ^＝－10＋6.5x 23．－124．i 44-25．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等三、解答题（10550''⨯=）26．解：()()()21321122n n n n n ⨯⨯⨯⨯-=+⨯+⨯⨯L L ---------10分 27．解：9126936T T T T T T ，， ----------------------------------------10分28．解：35 --------------------------------------5分10 --------------------------------------10分29．解：(1) 2×2分(2) 根据列联表中的数据得到2K 的观测值为k =124×(43×33－27×21)270×54×64×60≈6.201------------------------------8分 因为k=6.201>5.024所以有97.5%的把握认为休闲方式与性别有关系．-----------------10分30．解 (1)散点图如图所示：----------------------3分(2) 因为x ＝15×9＝1.8，y ＝15×37＝7.4 ---------------4分∑5i ＝1x i y i ＝62，∑5i ＝1x 2i ＝16.6 所以b ^ ＝∑5i ＝1x i y i －5x y ∑5i ＝1x 2i －5x 2＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－11.5--------------------6分 a ^＝y －b ^ x ＝7.4＋11.5×1.8＝28.1---------------------------------------7分 故y 对x 的线性回归方程为y ^＝－11.5x +28.1------------------------------8分(3) y ^＝－11.5×1.9+28.1＝6.25(t)．-----------------------------------------10分。
高二数学选修1-2全册课件2、3章末
数系的扩充与复数的引入
章末归纳总结
人 教 A 版 数 学
第三章
数系的扩充与复数的引入
人 教 A 版 数 学
第三章
数系的扩充与复数的引入
本章在小学、初中和高中所学知识的基础上，介绍复 数的概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容．
人 教 A 版 数 学
第三章
数系的扩充与复数的引入
本章共分两大节．第一大节是“数系的扩充与复数的
，所以 m＝0
所以 m＝0 时，z 为纯虚数
第三章
数系的扩充与复数的引入
m(m－1)＝2 (3)由题意可得 2 m ＋2m－3＝5 m＝2或m＝－1 解得 m＝－4或m＝2
，∴m＝2
人 教 A 版 数 学
所以当 m＝2 时，复数 z 为 2＋5i.
第三章
数系的扩充与复数的引入
人 教 A 版 数 学
第三章
数系的扩充与复数的引入
人 教 A 版 数 学
概念”．第二大节是“复数的运算”．在第一大节中，首 先简要地展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指 出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大 量代数方程无法求解，于是就产生了要开拓新数集的要求，
人 教 A 版 数 学
从而自然地引入虚数i，复数由此而产生，接着，介绍了复
数的有关概念和复数的几何表示．主要涉及的概念有：复 数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、 复数的模等．
人 教 A 版 数 学
(2i) ＝－4.本题主要考查复数的基本知识， 利用复数代数形式 的运算法则解决此类问题.
第三章
数系的扩充与复数的引入
[例3]
在复平面内，点P，Q对应的复数分别为z1，z2，
高中数学选修1-1 1-2 1-3 高二文综合数学
高中数学选修1-1 1-2 1-3 高二文综合数学考试第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1.下面几种推理中是演绎推理．．．．的是 A ．由金、银、铜、铁可导电得到结论：金属都可导电； B ．猜想数列111,,,122334⨯⨯⨯的通项公式为1(1)n a n n =+()n N +∈；C ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= ．D ．所有的平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分． 2.下列关于流程图和结构图的说法不正确的是 A ．流程图用来描述一个动态过程 B ．结构图是用来刻画系统结构的C ．结构图只能用带箭头的连线表示各元素的从属关系或逻辑上的先后关系D ．流程图只能用带箭头的流程线表示各元素的先后关系3.已知某样本的频率分布直方图如图所示,样本组距是相等 的，则组距是A.0.5B.1C.32D. 2 4.有五条线段，长度分别为1,3,5,7,9，从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为 A.13 B.49 C.25 D.3105.设,,,a b c d R +∈，且,||||a d b c a d b c +=+->-，则A.ad bc =B.ad bc <C.ad bc >D.ad bc ≤6.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n m n m S S S ++=，且11a =，那么10a = A.55 B.10 C. 9 D. 17.设 ,x y 满足约束条件30,0,2,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则 22x y + 的最大值为则该数阵中第行第个数为A ．48B ．97C ．50D ．101 9.若函数32() f x x x ax =--在区间1[,2)2内单调递增，则a 的取值范围是A ．1(,]4-∞-B ．1[,)4-+∞ C ．1(,]3-∞- D ．3[,)16+∞ 10.下列结论正确的是①在独立性检验时，两个变量的22⨯列联表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大；②线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强; ③若事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，则称这两个事件为互斥事件; ④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有c b a >>c A ．③④ B ．②④ C ．①②④ D ．①②③④11.设a b >，函数2()()y x a x b =--的图象可能是12.设函数1()ln 3f x xx =+, 则()f x A ．在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点 B ．在区间1(,1)e 内有零点,在区间(1,)e 内无零点C ．在区间1(,1)e内无零点,在区间(1,)e 内有零点 D ．在区间 1(,1),(1,)e e 内均无零点第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应题的横线上． 13.某种细菌在培养过程中，每30分钟分裂一次（一个分裂为2个），经过4个小时，这种细菌由一个可繁殖成__________个. 14.已知,x y 的取值如下表所示：如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为ˆ2ybx =+，则6x =时y 的估计值为_________. 15.若0,0a b <<，则不等式1a b x<<-的解集为__________.16.已知0,0,,,,x y x a b y >>成等差数列，,,,x c d y 成等比数列，则2()a b cd+的最小值是__________.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题共两个小题，每小题6分，共12分） （1）求证：5321232log 19log 19log 19++<．（2）已知函数()f x 在定义域内是单调减函数，证明函数()f x 的图象与x 轴至多有一个交点.18. （本小题满分12分）某企业生产一品牌电视投入成本是1800元/台．当电视售价为2400元/台时，月销售m 万台；根据市场分析的结果表明，如果电视销售价提高的百分率为x (01)x <<，那么月销售量减少的百分率为2x ．记销售价提高的百分率为x 时，电视企业的月利润是y （元）． （Ⅰ）写出月利润y （元）与x 的函数关系式； （Ⅱ）试确定电视销售价，使得电视企业的月利润最大． 19. (本小题满分12分)已知关于x 的一元二次方程222(1)160x a x b ---+=．（Ⅰ）若,a b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； （Ⅱ）若[1,5],[0,5]a b ∈∈，求方程没有实根的概率．20.（本小题满分12分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知328S =，且123,,4a a a -构成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令211(2)n n b a n n -=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（本小题满分13分）已知函数2()3f x x x =+．（Ⅰ）若存在[2,2]x ∈-，使2()3f x m ≥-成立，求m 的取值范围； （Ⅱ）解关于x 的不等式：()26af x x <+．22. (本小题满分13分)已知直线l 与函数x x f ln )(=的图象相切于点)0,1(，且l 与函数2721)(2++=mx x x g )0(<m 的图象也相切. （Ⅰ）求直线l 的方程及m 的值；（Ⅱ）若函数()4()()h x f x xg x '=-（其中()g x '是()g x 的导函数）与直线3y t =-有两个不同的交点，求t 的取值范围.高二文科数学参考答案一.选择题： 每小题5分共60分 ,,DCBDB DCDAB AB 二.填空题：13. 256 14. 5.5 15. 11{|}x x x a b<>-或 16. 4 三：17(1) (6分)证明：因为1log log a b b a=……1分 所以左边191919log 52log 33log 2=++ ……2分231919log (532)log 360=⨯⨯= ……4分因为1919log 360log 3612<= 所以5321232log 19log 19log 19++< ． ……6分（2）证明：假设函数()f x 的图象与x 轴至少有两个交点12(,0),(,0)x x …………1分 当12x x <时，∵函数()f x 在定义域内是单调减函数，∴12()()f x f x >与12()()0f x f x ==矛盾， ……3分当12x x >时，∵函数()f x 在定义域内是单调减函数，∴12()()f x f x <与12()()0f x f x ==矛盾， ……4分∴两个交点不可能，同理两个以上也不可能，所以假设不成立，故函数()f x 的图象与x 轴至多有一个交点. ……6分18解：（Ⅰ）依题意，销售价提高后为2400(1)x +元/台，月销售量为2(1)m x -台…1分 则 2(1)[2400(1)1800]y m x x =-+- (01)x << ………3分 即 32600(441)(01)y m x x x x =--++<< ………5分（Ⅱ）/2600(1224)y m x x =--+令0y '=，得2620x x +-=，解得12,(23x x ==-舍去）． ………8分当10,0;2x y '<<>时 当11,0.2x y '<<<时 ………10分当12x =时，y 取得最大值． 此时销售价为3240036002⨯=元答：电视的销售价为3600元时，电视企业的月利润最大． ………12分19．解：（Ⅰ）基本事件(,)a b 共有36个，………2分方程有正根等价于210,160,0a b ->->∆≥，即221,44,(1)a b a b >-<<-+≥16。
高二数学选修1-2全册课件2、4章末
第四章
框
图
[解析] 小美的工作安排如下：
先用3分钟洗水壶，然后烧开水用10分钟；在等水开的 过程中，再洗茶壶、洗茶杯、取茶叶，做这三件事情总共 需2＋5＋1＝8(分钟)，少于水烧开所需时间，水开了后就 沏茶，共用了3＋10＝13(分钟).
人 教 A 版 数 学
第四章
框
图
[例2]
《数学1》第1章“集合与函数概念”中的“集
人 教 A 版 数 学
题的途径，开阔了知识视野，增强了创新能力，结构图区
别于流程图，主要描述了一个静态的过程，描述系统的结 构，同样，结构图明了、直观地表达各种系统结构，有利 于提高抽象概括能力和逻辑思维能力．
第四章
框
图
在学习过程中要注意以下几点：
1．完成一件事情，怎样规划安排才能用时最少，用费 最省，路线最近等，像这种用最少的投放，获取最好的效 果的一类问题叫做统筹与优化问题． 2．解答统筹与优化问题，要注意联系实际，把题目中
人 教 A 版 数 学
第四章
框
图
人 教 A 版 数 学பைடு நூலகம்
第四章
框
图
人 教 A 版 数 学
第四章
框
图
人 教 A 版 数 学
第四章
框
图
[例1] 小美招待客人，要烧水沏茶． 洗开水壶要3分钟，烧开水要用10分钟， 洗茶壶要用2分钟，洗茶杯要用5分钟，
人 教 A 版 数 学
拿茶叶要用1分钟．
小美估算了一下，完成这些工作要用21分钟． 为了使客人早点喝上茶，怎样安排，多少分钟能沏好 茶？
第四章
框
图
章末归纳总结
人 教 A 版 数 学
第四章
高二数学选修1、1-2充分条件与必要条件
人 教 A 版 数 学
第一章
常用逻辑用语
若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件
人 教 A 版 数 学
若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件
人 教 A 版 数 学
论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，
则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．
第一章
常用逻辑用语
4．充要条件的传递性
若A⇒B，B⇒C，C⇒D，则A⇒D，即A是D的充分条件， 利用这一结论可研究多个命题之间的充要关系． 5．充要条件的证明 证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，
( A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
)
[答案] A
第一章
常用逻辑用语
[解析]
本题考查充分、必要条件的概念以及解不等
|x|－3>0， 1 式的能力． log2(|x|－3)>0 等价于 p： 即 3<|x|<4. |x|－3<1，
所以－4<x<－3 或 3<x<4. 5 1 q：x －6x＋ 6>0，即 6x2 －5x＋1>0 即(2x－1)(3x－
2
人 教 A 版 数 学
1 1 1)>0，所以 x> 或 x< ，故 p⇒q 但 q⇒/ p，所以 p 是 q 的 2 3 充分而不必要条件．故选 A
第一章
常用逻辑用语
[点评] 1.判断p是q的什么条件其实质是判断“若p则q”
高中数学选修1-1 1-2 1-3高二数学文科2
元 频率 组距 20 30 40 50 60 0.01 0.0360.024高中数学选修1-1 1-2 1-3高二期终模块考试文倾向数学第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.有一段推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内的所有直线；已知直线b ∥平面α，直线⊂a 平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误2.已知在一次试验中，()0.7P A =，那么在4次独立重复试验中，事件A 恰好在前两次发生的概率是 A ．0441.0 B ．2646.0 C ．1323.0 D ．0882.03.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽 出了一个容量为500的样本，其频率分布直方 图如右图所示，其中支出在)60,40[元的同学有 A ．150 B ．180 C ．280 D ．3304.在各项都为正数的等比数列｛}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则345a a a ++等于A ．189B ．84C ．72D ．335.在吸烟与患肺病这两个事件的统计计算中，下列说法正确的是A.若2χ的观测值为6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误；D.以上三种说法都不正确.6.若点)1,2(-A 在直线210(,)ax by a b --=∈R 上，则ab 的取值范围是A ．]41,(-∞ B ．]161,(-∞ C ．]0,41(- D ．),161[+∞7.若0,0>>b a ，则不等式b x a <<-1解集为A ．)1,0()0,1(b a Y -B ．)1,1(a b -C ．)1,0()0,1(a b Y -D ．),1()1,(+∞--∞ba Y 8.在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+00202y y x y x 内任取一点P ，则点P 落在单位圆221x y +=内的概率为A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π 9.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知0,01514><S S ，则此数列的前n 项和取得最小值时n 的值为A ．7B ．8C ．13D ．1410.若函数x cx x x f +-=232)(有极值点，则实数c 的范围为 A ．),23[+∞ B ．),23(+∞ C ．Y ]23,(--∞),23[+∞ D ．Y )23,(--∞),23(+∞ 11.掷红、蓝两颗骰子.事件{=A 红骰子的点数大于}3，事件{=B 蓝骰子的点数大于}3.则事件{=B A Y 至少有一颗骰子点数大于}3发生的概率为A ．41B ．43C ．163D ．167 12.某快递公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物,一个大集装箱能够装所托运货物的总体积不能超过324m ，总质量不能低于650千克．甲、乙两种货物每袋的体积、质量和可获得的利润，A ．4 袋 1袋B ．3 袋 2袋C ．4 袋 2袋D ．3 袋 1袋第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13.函数52)(24--=x x x f 在]2,1[-上的最小值为_____________________.14.某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：度）与气温x （单位：c ︒）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 由表中数据得线性回归方程：a x y +-=2.当气温为c ︒20时，预测用电量约为度． 15.已知偶函数 ()f x 满足对于任意两个不同的实数12,(0,)x x ∈+∞，总有1212()()0f x f x x x ->-，且 (1)0f =，则不等式 ()()0f x f x x+-< 的解集为 ． 16.观察下列等式11= 第一个式子9432=++ 第二个式子2576543=++++ 第三个式子4910987654=++++++ 第四个式子K K照此规律，第n 个等式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题共包括2个小题，每小题7分，满分14分）证明下列命题：（1）已知0>x ，求证：212122-+≤-+xx x x . （2）已知y x ,为正实数，且2>+y x ，求证：21<+x y 和21<+y x 至少有一个成立.18.（本小题满分10分）矩形横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比.现有半径为R 的圆木，其断面如图所示，设断面宽为x ，横梁的强度函数为)(x f ，要将圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应各是多少？19.（本小题满分12分）对甲、乙两种商品重量的误差进行抽查，测得数据如下（单位：mg ）：甲：1110132114918161513乙：1622191114181281210（Ⅰ）画出样本数据的茎叶图，并指出甲，乙两种商品重量误差的中位数；（Ⅱ）计算甲种商品重量误差的样本方差；（Ⅲ）现从重量误差不低于15的甲、乙两种商品中随机各抽取一件，求两件商品重量误差的差的绝对值大于3的概率．20.（本小题满分12分）在数列}{n a 中，c c a a a n n (,111+==+为常数，)*∈N n ，521,,a a a 构成公比不等于1的等比数列.记 11+=n n n a a b （)*∈N n . （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）设}{n b 的前n 项和为n R ，是否存在正整数k ，使得k k R 2≥成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数22)(2-+-=m x mx x f .（Ⅰ）若),0(+∞∈∃x ，使0)(<x f 成立，求m 的取值范围；（Ⅱ）解关于x 的不等式：m x f 2)(<22.（本小题满分14分）已知函数)1()(2+-+=a ax x e x f x ，其中a 是常数.(Ⅰ) 当1=a 时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 是单调递增函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程k e x f x +=)(在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.一.选择题： 每小题5分共60分 BA BDCAD AADBC ,,二.填空题：13. 6- 14. 20 15. )1,0()1,(Y --∞16. 2)12()23()2()1(-=-+++++n n n n n K三：17（本题共包括2个小题，每小题7分，满分14分）（1）证明：要证原式成立，只需证212122++≤++x x x x 只需证2222)21()21(++≤++x x x x 成立， 2分 整理得22121xx x x +≤+ 3分 只需证2222)12()1(x x x x +≤+，即证2122≥+xx 成立， 5分而0)1(21222≥-=-+x x xx 显然成立，所以原命题得证。
高二文科数学选修1—2综合试卷(北师大版)
同仁中学2010--2011学年度高二第二学期数学试题班级______________姓名_____________注意事项：答题前，考生务必将自己的班级、姓名、写在答题纸的相应位置处．答题时，答案写在答题纸上对应题目的空格内。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ ） A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上 2．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ）A ．28B ．27C ．33D ． 323. 复数25-i 的共轭复数是（ ） A ．i +2 B ．i -2 C ．-i -2 D ．2 - i 4．下面框图属于（ ）A ．流程图B ．结构图C ．程序框图D ．工序流程图5．若n n n a a a a a -===++1221,6,3，则33a = （ ） A .3 B .-3 C .-6 D .6 6．下列表述正确的是 （ ） ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
A ．①②③；B ．②③④；C ．②④⑤；D ．①③⑤。
7．用反证法证明：“a b >”，应假设为（ ）.A.a b >B.a b <C.a b =D.a b ≤ 8．变量x 与y 具有线性相关关系，当x 取值16,14,12,8时，通过观测得到y 的值分别为11,9，8,5，若在实际问题中，y 的预报最大取值是10，则x 的最大取值不能超过 （ ） A ．16 B ．17 C ．15 D ．12 9．根据右边程序框图，当输入10时，输出的是（ ）A ．12B ．19C ．14.1D ．-3010．在复平面内，复数2)31(1i iiz +++=对应的点位于 （ ）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 2 3 y 1 3 5 7则y 与x 的线性回归方程为y =bx +a 必过点12．在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 对应的复数分别 是1+3i,-i,2+i,则点D 对应的复数为_________. 13、如果根据性别与是否爱好运动的列联表，得到841.3852.3>≈k ， 所以判断性别与运动有关，那么这种判断出错的可能性为（ ） 14．设计算法，输出1000以内能被3和5整除的所有正整数， 已知算法流程图如右图，请填写空余部分：① _________ ；②___ _______。
高二数学选修1-2全册课件2、1章末
a＝70
c＝35
b＝30
d＝65
100
100
合计
105
950×65－35×30)2 K2 ＝ ≈24.56 100×100×105×95
由于K2>10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A
后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”． [点评] 本题比较新颖，将统计学与古典概型、组合 联系在一起，难度不大，但考查知识全面，而且还需要一 定的识图表能力，是今年命题一热点方向．
人 教 A 版 数 学
10
^ a≈7.37－0.1752×44.5＝－0.4175. ^ ∴回归直线方程为y＝0.1752x－0.4175.
第一章
统计案例
[例2] 想象一下一个人从出生到死亡，在每个生日都 测量身高，并作出这些数据散点图，这些点将不会落在一 条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回 归来分析．下表是一位母亲给儿子作的成长记录. 年龄/周岁 身高/cm 年龄/周岁 身高/cm 3 4 5 6 7 8 9 90.8 97.6 104.2 110.9 115.6 122.0 128.5 10 11 12 13 14 15 16 134. 140. 147.6 154.2 160.9 167.5 173.0 2 8
R2≈0.999，
所以残差平方和为4.53，相关指数为0.999，故该函数
模型能够较好地反映年龄与身高的关系.
人 教 A 版 数 学
第一章
统计案例
[例3]
(2010·辽宁理，18)为了比较注射A，B两种药
物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这
200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药 物A，另一组注射药物B. 下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．(疱 疹面积单位：mm2)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
模拟试卷
第I 卷
一、选择题（每题5分）
1.【张平】下列两个量之间的关系是相关关系的为（ ）
A ．匀速直线运动的物体时间与位移的关系
B ．学生的成绩和体重
C ．路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少
D ．水的体积和重量 2.【张平】复数2
5
-i 的共轭复数是
（ ）
A ．i +2
B ．i -2
C ．-i -2
D ．2 - i
3.【张平】双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线方程是20x y ±=，则其离心率为（ ）
A
B
．
2
C
D ．5
4.【张平改编】下面的程序框图的作用是输出两数中的较大者，则①②处分别为（ ）
A ．输出m ；交换m 和n 的值
B ．交换m 和n 的值；输出m
C ．输出n ；交换m 和n 的值
D ．交换m 和n 的值；输出n
5.【周红粉】若n n n a a a a a -===++1221,6,3，则33a = （ ） A.3 B.-3 C.-6 D.6
6．【周红粉】下表为某班5位同学身高（单位：cm ）与体重（单位kg ）的数据，
若两个量间的回归直线方程为
1.16y x a =+，则a 的值为（ ） A ．-121.04 B ．123.2 C ．21 D ．-45.12
7.【张平】用反证法证明命题：“,,,a b c d R ∈，1a b +=，1c d +=，且1a c b d +>，
则,,,abc d 中至少有一个负数”时的假设为（ ）
A ．,,,a b c d 中至少有一个正数
B ．,,,a b c d 全为正数
C ．,,,a b c d 全都大于等于0
D ．,,,a b c d 中至多有一个负数 8. 【张平】在复平面内，复数2)31(1i i
i
z +++=
对应的点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9．【张平改编】已知{}n a 是公差为2的等差数列，且134,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前9
项和等于
A ．0
B ．8
C ．144
D ．162
10.【张平原创】如图，第n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…) 则在第n 个图形中共有（ ）个顶点。
A ．(n+1)(n+2) B. (n+2)(n+3) C. 2n D. n
11.【张平】已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B
两点．若MA ·MB
＝0，则k ＝( )．
A ．1
2 B ．2 C D ．2
12.【周红粉改编】将2216x y +=的横坐标压缩为原来的1
2
倍，纵坐标伸长为原来的2倍曲线的方程变（ ）
A ．
22134x y += B ．221342
x y += C ．22
2112x y += D ．22213x y +=
第II 卷
二、填空题（每题5分）
13．【周红粉改编】数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为______
14.【周红粉】设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程为________．
15.【周红粉原创】已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若2
1
1=
a ，S 2=a 3，则a 2=______，S n =_______。
16．【周红粉】如果椭圆19362
2
=+y
x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是
三、解答题(每题10分)
17．【程卜】（1）已知方程03)12(2
=-+--i m x i x 有实数根,求实数m 的值。
(2)C z ∈,解方程i zi z z 212+=-⋅
18.【张平】已知数列{}n a 的通项公式2
1
()(1)n a n N n +=∈+，记12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，
试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值，并证明你的结论.
19．【周红粉改编】已知等差数列{}n a 满足：73=a ，2675=+a a ，{}n a 的前n 项和为n S （Ⅰ）求n a 及n S ；
（Ⅱ）令1
12-=n n a b （*
N n ∈），求数列{}n b 的前n 项和为n T
20.【程卜改编】某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，喜欢玩电脑游戏的同学认
为作业多的有18人，认为作业不多的有9人，不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有8人，认为作业不多的有15人，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少？
21.【张平原创】同一坐标系中，已知伸缩变换⎩
⎨⎧='='y y x
x 42:ϕ
（1）求点A(-3,4)经ϕ变换所得A '点的坐标。
（2）点B 经ϕ变换后得到点)2
1,3(-'B ,求点B 的坐标。
（3）求直线x y 2=经过ϕ变换后得到直线l '的方程。
（4）求双曲线164
:2
2
=-y x C 经过ϕ变换后所的曲线C '的焦点坐标。
22.【程卜原创】已知12(1,0),(1,0)F F -为平面内的两个定点，动点P
满足12PF PF +=记点P 的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）设点O 为坐标原点，点A ，B ，C 是曲线Γ上的不同三点，且0OA OB OC ++=
．
试探究：直线AB 与OC 的斜率之积是否为定值？证明你的结论.。