【数学】1.1.1 任意角-区域角

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第一章
三角函数
α (2)因为 30° ＋ k· 120° < <60° ＋ k· 120° (k∈ Z)． 3 α 当 k＝ 3n(n∈ Z)时， 30° ＋ n· 360° < <60° ＋ n· 360° ； 3 α 当 k＝ 3n＋ 1(n∈ Z)时， 150° ＋ n· 360° < <180° ＋ n· 360° ； 3 α 当 k＝ 3n＋ 2(n∈ Z)时， 270° ＋ n· 360° < <300° ＋ n· 360° ， 3 α 所以 是第一或第二或第四象限角． 3
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知识点 3 终边在阴影区域内的角的集合 【例 3】 如图所示
(1)写出终边落在阴影部分的角的集合 P(虚线表示不含边界)； (2)判断角 1 045° ，－410° 是否在集合 P 中． 思路点拨： 先表示终边落在边界的角， 再用不等式表示出终边 落在阴影部分的角．
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～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}；
第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍， 即得区间角集合．
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跟踪训练 3. 如右图，
(1)终边落在OB位置，且在－360°≤β≤360°内的角β的集合
是________．
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________． (3) 终边落在阴影部分 ( 含边界 ) 且在 0°≤β≤360°内的角 β 的 集合是________． (4)终边不落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．
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答案：(1){－45°，315°} (2){β|－45°＋k· 360°≤β≤120°＋k· 360°，k∈Z} (3){β|0°≤β≤120°或315°≤β≤360°} (4){β|－240°＋k· 360°<β<－45°＋k· 360°，k∈Z}
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• 【迁移1】 若将例3(2)题改为如图所示的图 形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相 同的角的集合如何表示？
解 ：
在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是
150°≤α≤225°，则满足条件的角α为
{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．
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•
(2)已知，如图所示．
•
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角 的集合． • ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角 的集合．
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解 ①终边落在OA位置上的角的集合为 {α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝ 135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上 的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z} ． • ②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的 角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的 与之终边相同的角组成的集合，故可表示为 {α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°， k∈Z}． •
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题型三 例3
区域角的表示 已知角α的终边落在阴影所表示的范围内 (包括边
界)，试写出角α的集合．
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【解】
在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为
90°≤α≤135°或 270°≤α≤315°.所以终边落在阴影所表 示的范围内的角α的集合为{α|90°＋k· 360°≤α≤135°＋ k· 360°，k∈Z}∪{α|270°＋k· 360°≤α≤315°＋k· 360°， k∈Z}＝{α|90°＋2k· 180°≤α≤135°＋2k· 180°，
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解： (1)因为终边为 OA 的角的集合为{α|α＝k· 360° －30° ，k∈Z}， 终边为 OB 的角的集合为{β|β＝k· 360° －45° ，k∈Z}， 故终边落在阴影部分的角的集合是 {α|k· 360° －45° ≤α＜k· 360° －30° ，k∈Z}． (2)因为 1 045° ＝3×360° －35° ，－410° ＝－1×360° －50° ，所 以 1 045° 在集合 P 中，－410° 不在集合 P 中． 方法点评：由图形区域求角的集合，注意找对边界．判断一个 角是不是在某个范围内，先把这个角表示为 360° 的整数倍与一个 角的和，然后进行判断．
k∈Z}∪{α|90°＋(2k＋1)· 180°≤α≤135°＋(2k＋1)· 180°
，k∈Z}＝{α|90°＋n· 180°≤α≤135°＋n· 180°，n∈Z}．
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【名师点评】
表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－ 360°
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互动探究
α 4．本例条件下，试分别确定 2α， 的终边所在位置． 3
解：因为α是第二象限角，所以 90°＋ k· 360°<α<180°＋
k· 360°(k∈Z)．
(1) 因为 180°＋ 2k· 360°<2α<360°＋ 2k· 360°(k ∈ Z) ，故 2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴的角．
2 抓信息 破难点
α (1)首先用不等式来表示第二象限角 α，再确定 的范围， 2 α 再用含 k 的不等式表示 . 2 α (2)再对 k 的可能取值讨论，确定 终边所在位置． 2
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【解】 ∵ α 是第二象限的角， ∴ 90° ＋ k· 360° <α<180° ＋ k· 360° (k∈ Z)． α ∵ 45° ＋ k· 180° < <90° ＋ k· 180° (k∈ Z)， 2 α 当 k＝ 2n(n∈ Z)时， 45° ＋ n· 360° < <90° ＋ n· 360° ； 2 当 k＝ 2n＋ 1(n∈ Z)时， α 225° ＋ n· 360° < <270° ＋ n· 360° . 2 α ∴ 是第一或第三象限的角． 2
(2)α是任意角；
(3)k· 360°与α之间用“＋”连接，如k· 360°－30°应看成－ 30°＋k· 360°，k∈Z； (4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们 相差周角的整数倍．相等的角终边一定相同．
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精彩推荐典例展示
名师解题 由角 α 所在象限确定α所在象限 2 α 例4 若 α 是第二象限的角，试确定 所在的象限．
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3． 如图所示的阴影部分是 45° 角(终边为 OA)与 300° 角(终边为 OB)的终边所夹的区域， 试写出阴影区域内的角的集合(虚线表示不 含边界)．
解：阴影区域内的角的集合是 S＝{α|k· 360° －60° ≤α≤k· 360° ＋45° ，k∈Z}．
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方法感悟
1．对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字 (1)要明确旋转方向； (2)要明确旋转的大小；
(3)要明确射线未作任何旋转时的位置．
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2．终边相同的角的四个注意点 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子α＋ k· 360°，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点： (1)k是整数，这个条件不能漏掉；
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• 【迁移2】 若将例3(2)题改为如图所示的图 形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角 的集合如何表示？
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解 由题干图可知满足题意的角的集合为 {β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°， k∈Z}∪ {β|k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285° ，k∈Z} • ＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°， k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋ 1)·180°＋105°，k∈Z} • ＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°， n∈Z} • 即所求的集合为{β|n·180°＋ 60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}． • •
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任意角---区域角
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典例 迁移
题型°是第________象限角 ． • 解析 －2 017°＝－6×360°＋143°，143° 是第二象限角，所以－2017°为第二象限角． • 答案 二
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• 5．已知，如图所示，
•
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集 合； • (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角 的集合．
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解 (1)终边落在射线OA上的角的集合是 {α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}． • 终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝ k·360°＋300°，k∈Z}． • (2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是 {α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}． •