数学基础中的逻辑主义
数学三流派
数学哲学基础的三大流派一.数学与哲学自古以来，数学与哲学的联系是非常密切的。
人们在不断发展、运用数学的同时，提出了许多问题。
数学大厦的基础是否巩固？它的结构是否还有内在的缺陷？数学是否可以无条件的信赖？这些都是和数学有关的哲学问题。
另一方面，许多哲学观点的形成或展开，和数学又有不解之缘。
数学作为一门抽象的科学，对于一般的世界观和方法论有重大的影响。
因而，和数学有关的一系列的哲学问题，值得关心数学的人们深思。
二.现代数学基础的哲学挑战19世纪末到20世纪初，数学发展进入了一个激烈的变革时期。
在历史上，人们多次统一数学的企图均未成功。
19世纪70年代，德国数学家康托尔创立无穷集合论，为统一数学的尝试提供了新的基础。
在19世纪即将结束之际，数学分析基础注入严密性和精确性因集合论的应用而得以成功，数学概念的建立也因集合论的应用终于统一起来。
整个数学呈现出空前的繁荣景象。
在1940年第二届国际数学家会议上，当时数学界的领袖人物庞加莱宣布：“现在我们可以说，数学的完全严格性已经达到了。
”但是，这位数学权威的话音刚落，就爆发了极为深刻的、震撼整个数学大厦的第三次数学危机，从而导致了一场由许多数学家卷入的关于数学基础的哲学论战。
1902 年，罗素发现的一个悖论真正强烈地引起了数学家的恐慌。
罗素悖论可以表达为：所有不以自身为元素的集合所组成的集合。
罗素悖论之所以不能等闲视之是因为，只要将它的陈述形式稍作修改，就可以用最基础的逻辑形式表达出来。
因此，罗素悖论不仅触及集合论这一数学基础，而且也触动了逻辑学，因而使数学家和逻辑学家同时发出惊呼：数学基础发生危机了！三.三大主要学派的诞生数学基础的危机向数学家们提出了一个问题：如何解决数学基础的可靠性和基础性的问题？可是要解决这个问题，既有技术问题，又有哲学问题。
从技术上说，首先必须找到产生悖论的原因。
根据罗素对悖论成因的分析，他认为：集合论产生悖论的根源在于集合的定义出现循环定义，或者叫做非直谓定义，即一个对象集合包含着只能用该集合才能定义的元素；从哲学上说，就已经出现的悖论来看，都出现“所有......集合的集合”的情况，这是一个涉及无穷总体的问题，也就是说，它涉及对哲学理论中的无穷的认识问题。
罗素的逻辑主义及其在数理逻辑史上的地位
罗素的逻辑主义及其在数理逻辑史上的地位【张家龙】20世纪初, 在逻辑和数学中发现了许多悖论, 包括罗素本人所发现的悖论(后被称为罗素悖论) 。
这些悖论动摇了数学的基础, 史称第三次数学危机。
为了解决这一次数学危机, 罗素提出了逻辑主义的纲领, 并得到一些著名的逻辑学家的支持, 成为数理逻辑中的三大学派之一。
本文旨在对罗素的逻辑主义作出全面的科学的评述。
一、数学概念和数学定理的推导罗素的逻辑主义包含两个部分: (1) 数学概念可以通过显定义从逻辑概念推导出来; (2) 数学定理可以通过纯逻辑推演(即一阶逻辑演算) 由逻辑公理推导出来。
罗素所使用的逻辑概念有: 命题联结词(否定, 析取, 合取, 蕴涵) ; 函项和量词(全称量词和存在量词) ; 等词。
弗雷格成功地用逻辑概念定义了自然数, 而罗素独立于弗雷格也获得了相同的结果。
这种方法的关键在于, 自然数不是属于事物而是属于概念的逻辑属性(按罗素的定义, 数是某一个类的数, 而一个类的数是所有与之相似的类的类) 。
其它种类的数———正数、负数、分数、实数和复数, 不是用通常增加自然数的定义域的方法来完成的, 而是通过构造一种全新的定义域来实现的。
罗素在将数的概念向前推广时, 认为自然数并不构成分数的子集, 自然数3与分数3 /1不是等同的; 同样, 分数1 /2同与它相联系的实数也不是等同的。
关于正负整数, 罗素认为, + 1与- 1是关系, 并且互为逆关系。
+ 1是n + 1对n的关系, - 1是n对n + 1的关系。
一般地, 如果m是任何归纳数, 对任何n而言, +m是n +m对n的关系, - m是n 对n +m的关系。
+m与m不同, 因为m不是一个关系,而是许多类的一个类。
m /n被定义为, 当xn = ym时, 二归纳数x和y之间的一个关系。
m /1是x, y在x =my情形下所具有的关系。
这个关系如同关系+m一样决不能和m等同, 因为关系和一个类的类是完全不同的两个东西。
数学基础(研究整个数学的理论基础及其相关问题的学科)
现状
现状
数学上，数学基础一词有时候用于数学的特定领域，例如数理逻辑，公理化集合论，证明论，模型论，和递 归论。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题:在什么终极基础上命题可以称为真?占统治地位的数学范式 是基于公理化集合论和形式逻辑的。事实上，所有的数学定理都可以用集合论的定理表述。数学命题的真实性在 这个观点下，不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。
在数学基础的研究中，鲁宾孙，P.J.科恩自称为形式主义者（希尔伯特本人不认为自己是形式主义者），他 们认为数学所研究的不过是一些毫无内容的符号系统，“无穷集”，“无穷整体”等在客观上是不存在的。希尔 伯特的设想虽然没有实现，但却创立了证明论，又促进了递归论的发展，因此对数学基础的研究有很大的贡献。
古代由于科学技术发展水平的限制，无需专门研究数学基础，这种情况一直持续到牛顿、莱布尼兹创立微积 分的时代。非欧几何的出现使人们意识到必须为数学建立不依赖于直观的基础，必须研究数学的可靠性，特别是 无矛盾性，无公度线段的存在及集合论的悖论说明人们不能只依靠直观，而必须为数学建立严格的逻辑基础，解 决数学的哲学基础问题。因此数学基础是包括哲学方法论和逻辑等诸方面问题的学科，数学基础现已形成数学的 重要分支之一。
他们反对在无穷集合中使用排中律。他们不承认实无穷体，认为无穷是潜在的，只不过是无限增长的可能性。 可构造性对数理逻辑及计算技术的发展有重要作用。但直觉主义使数学变得非常繁琐复杂。失去了数学的美，因 而不被大多数数学家接受。
形式主义
希尔伯特以D.希尔伯特为代表，可以说是希尔伯特的数学观点和数学基础观点。希尔伯特主张捍卫排中律， 他认为要避免数学中的悖论，只要使数学形式化和证明标准化。为了使形式化后的数学系统不包含矛盾，他创立 了证明论(元数学)。他试图用有穷方法证明各个数学分支的和谐性。1931年K.哥德尔证明了不完全性定理，表明 希尔伯特方案不能成功。后来许多人对希尔伯特方案加以改进。W.K.J.基灵利用超限归纳法证明了算术的无矛盾 性。
逻辑与数学的关系
逻辑与数学的关系逻辑与数学是息息相关的两个学科，二者相互支撑、相互影响，共同构成了现代科学体系的重要组成部分。
逻辑是一种思维方式，是系统的思考和推理方法，而数学则是研究数量、结构、变化等规律的学科。
在逻辑和数学的交叉领域中，两者相互促进，相互补充，共同推动了人类认识世界、解决问题的能力不断提升。
首先，逻辑是数学的基础。
数学作为一门精密的学科，需要严密的推理和严谨的论证才能构建其体系。
而逻辑作为一种思维方式，能够帮助人们正确分析问题、准确推断结论，为数学研究提供了重要的方法论支持。
例如，在证明一个数学定理时，需要运用命题逻辑、谓词逻辑等推理方法，确保每一步推导都是严谨合理的。
逻辑的严密性为数学的发展奠定了坚实的基础，使得数学能够以严密的方法研究各种现象和规律。
其次，数学也反过来影响了逻辑的发展。
数学问题的复杂性和抽象性促使人们不断深化对逻辑原理的理解和运用。
在解决数学难题的过程中，人们发现传统逻辑体系的局限性，逐渐发展出模态逻辑、非经典逻辑等新的逻辑体系，以适应不同数学问题的推理需求。
同时，数学模型的建立和推导过程也在一定程度上推动了逻辑研究的发展，促使逻辑学家不断深化对逻辑基础的理解，拓展逻辑体系的应用范围，使其更好地服务于数学研究和实践。
逻辑和数学的关系还体现在它们共同推动了科学技术的发展。
逻辑思维使人们更好地理清问题的逻辑关系和因果链条，不断发展出新的科学理论和方法。
而数学作为科学研究的有力工具，在物理、化学、生物等各个学科领域都有着广泛的应用。
逻辑和数学的结合使得科学家们能够更有效地进行研究和实践，推动了科学技术的快速发展和应用。
总之，逻辑与数学是相辅相成的两个学科，在人类认知和实践活动中发挥着重要作用。
逻辑为数学提供了严密的推理框架，数学促使逻辑不断深化和拓展；二者共同推动了科学技术的发展，为人类认识世界和解决问题提供了重要的思维工具和方法论支持。
逻辑与数学的关系将在未来的发展中愈发密切，不断拓展人类认知和实践的新领域，为构建人类美好未来做出积极贡献。
数学史简答
30．简述莱布尼茨生活在哪个世纪、所在国家及在数学上的主要成就。
答：莱布尼茨于 1646 年出生在德国的莱比锡，其主要数学成就有：从数列的阶差入手发明了微积分；论述了积分与微分的互逆关系；引入积分符号；首次引进“函数”一词；发明了二进位制，开始构造符号语言，在历史上最早提出了数理逻辑的思想。
31．写出数学基础探讨过程中所出现的“三大学派”的名称、代表人物、主要观点。
答：一，逻辑主义学派，代表人物是罗素和怀特黑德，主要观点是：数学仅仅是逻辑的一部分，全部数学可以由逻辑推导出来。
二，形式主义学派，代表人物是希尔伯特，主要观点是：将数学看成是形式系统的科学，它处理的对象不必赋予具体意义的符号。
三，直觉主义学派，代表人物是布劳维尔，主要观点是：数学不同于数学语言，数学是一种思维中的非语言的活动，在这种活动中更重要的是内省式构造，而不是公理和命题。
32．简述刘徽所生活的朝代、代表着作以及在数学上的主要成就。
答：刘徽生活在三国时代；代表着作有《九章算术注》；主要成就：算术上给出了系统的分数算法、各种比例算法、求最大公约数的方法，代数上有方程术、正负数加减法则的建立和开平方或开立方方法；在几何上有割圆术及徽率。
33．花拉子米(什么时代、什么地方的数学家、代表着作和重要贡献)。
答：花拉子米是九世纪阿拉伯数学家，代表着作有：《代数学》和《印度的计算术》；主要贡献有：提出“还原”与“对消”的解方程的基本变形法则；给出了一次和二次方程的一般解法，用几何方法给出证明；给出了四则运算的定义和法则。
34．《周髀算经》(作者，成书年代，主要成就)答：该书出版于东汉末年和三国时代，但从史上考证应成书于公元前240 年至公元前156 年之间，可能是北汉平侯张苍修订和补写而成；书中记载的数学知识主要有：分数运算、等差数列公式及一次内插公式和勾股定理在中国早期发展的情况。
35．罗巴切夫斯基的非欧几何。
答：罗巴切夫斯基于 1825 年完成专着《平行线理论和几何原理概论及证明》标志着非欧几何的诞生，该理论是对几何原理中第五公设的研究提出命题“过直线外一点与已知直线平行的直线至少有两条”，并进行严格逻辑推理，得出的几何理论。
数理逻辑(Mathematical Logic)
数理逻辑（MathematicalLogic）数理逻辑(Mathematical logic)是用数学方法研究诸如推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性和计算的可行性等这类现象中的逻辑问题的一门学问。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。
以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。
历史背景“数理逻辑”的名称由皮亚诺首先给出，又称为符号逻辑。
数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。
某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和朗伯（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。
直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。
亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。
虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。
在整个20世纪里，逻辑中的大量工作已经集中于逻辑系统的形式化以及在研究逻辑系统的完全性和协调性的问题上。
本身这种逻辑系统的形式化的研究就是采用数学逻辑的方法.传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论证的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。
它同时包括“语法”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。
数理逻辑的重要著作有戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）、伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）等。
五年级下册数学逻辑思维
五年级下册数学逻辑思维数学逻辑思维在五年级下册的学习中占据着重要的地位，它不仅是数学学习的基础，也是培养学生思维能力和解决问题能力的重要手段。
在数学逻辑思维的学习中，学生需要掌握一定的数学知识，同时也需要具备较强的逻辑思维能力。
首先，数学逻辑思维需要学生具备一定的数学知识基础。
在五年级下册的数学学习中，学生已经学习了整数、分数、小数、几何等多个数学知识点，这些知识是数学逻辑思维的基础。
学生需要对这些知识点有深入的理解和掌握，才能更好地运用数学逻辑思维解决问题。
其次，数学逻辑思维需要学生具备一定的逻辑思维能力。
逻辑思维是指根据一定的规律和条件，进行推理、分析和判断的能力。
在数学学习中，学生需要通过观察、归纳、推理等方法，解决各种数学问题。
学生需要学会运用数学知识，结合逻辑推理，找出解决问题的方法，这样才能更好地理解和掌握数学知识。
在五年级下册的数学学习中，数学逻辑思维的培养主要体现在以下几个方面：1. 分析问题：学生需要学会分析问题，找出问题的关键点和规律，从而有针对性地解决问题。
通过分析问题，学生可以更快地找出解题思路，提高解题效率。
2. 归纳总结：学生需要学会归纳总结数学知识，总结解题的方法和思路，形成自己的学习方法和习惯。
通过归纳总结，学生可以更好地理解和掌握数学知识，提高学习效果。
3. 创新思维：学生需要学会创新思维，通过灵活运用数学知识和逻辑推理，解决新问题和复杂问题。
学生需要学会思维跳跃，从不同的角度思考问题，找出解决问题的新方法，培养学生的创新意识和思维能力。
数学逻辑思维的学习不仅有助于学生学习数学知识，还有助于培养学生的思维能力和解决问题的能力。
通过数学逻辑思维的学习，学生可以提高学习的主动性和学习的效果，培养学生的批判性思维和创新意识，为学生的学习和生活打下良好的基础。
学生在学习数学逻辑思维的过程中，需要不断学习、思考和实践，不断提高数学逻辑思维的能力，从而更好地学习数学知识，提高学习的效果，培养学生的综合素质，为学生的学习和生活奠定良好的基础。
数学的数理逻辑分支
数学的数理逻辑分支数理逻辑是数学的一个重要分支，它研究逻辑思维和推理的基本规律，在解决问题和证明定理中起到了关键作用。
本文将从数理逻辑的定义、历史和应用等几个方面进行探讨，以全面展示数理逻辑在数学领域的重要性。
一、数理逻辑的定义数理逻辑是研究命题、推理和证明的数学分支。
它主要包括命题逻辑、一阶谓词逻辑和模型论等相关内容。
数理逻辑通过形式化的方法来研究推理和证明的规则，以符号化的方式表达命题和推理过程。
二、数理逻辑的历史数理逻辑的起源可以追溯到古希腊时代的亚里士多德。
他在《篇章》中提出了演绎推理的基本规则，奠定了逻辑学的基础。
随着时间的推移，逻辑学逐渐发展为一个独立的学科，并且在数学研究中发挥着越来越重要的作用。
19世纪末到20世纪初，数理逻辑得到了重大的发展。
哥德尔的不完备性定理揭示了数学系统的局限性，给数理逻辑带来了巨大的冲击和启示。
同时，罗素和怀特海等逻辑学家开创了数理逻辑的公理化方法，使得逻辑推理得以在形式化的框架下进行研究。
三、数理逻辑的应用数理逻辑在数学研究中扮演着重要的角色。
它为数学家提供了一种形式化的推理工具，使得数学证明可以更加准确和严谨。
通过应用数理逻辑的方法，数学家可以构建更复杂的数学系统，并在其中进行精确的论证。
此外，数理逻辑在计算机科学领域也有广泛的应用。
计算机程序设计需要精确的逻辑思维和推理能力，而数理逻辑为程序员提供了相应的思维工具。
通过数理逻辑的分析和证明，可以验证程序的正确性和可靠性，提高计算机系统的安全性。
四、数理逻辑的发展前景随着科技的不断进步和应用的拓展，数理逻辑在各个领域的发展前景非常广阔。
在人工智能领域，数理逻辑被应用于知识表示和推理，实现机器的自动推理和决策能力。
在通信和密码学领域，数理逻辑被用于设计和分析加密算法，保障信息的安全。
在金融和经济学领域，数理逻辑被用于建立和分析数学模型，预测和解释市场的变化。
总之，数理逻辑作为数学的数学分支，具有重要的理论和应用价值。
数学基础问题的哲学观及其启示
、
数学基 础 问题 的 由来
“ 于数学 的逻辑及认 识论 的基 础 问题 至今 尚未 完全 解 决 。这 问题 无 论对 数学 家 或哲 学 家 都 关 是 至关紧 要的 ，因为在 ‘ 一切科 学 中最 可靠 的科 学 ’ 的基 础 中 ，任 何 一 点不 确 凿 性都 将 是 而作 出的各种努力中，还没有一种能称得上 已经解决 了困 难。这些努力主要是沿着三个方向：以罗素为主要倡议者的逻辑主义 ，布劳威尔所提倡的直觉主 义 ，和希 尔伯特 的形式 主义 。 ¨ 由于 １ 纪 的数 学思 想不严 密 ，过 分强 调直 观 的 、形 式 的计 ” Ｊ“ ８世
的逻辑演绎法从逻辑公理推导出来 。逻辑 主义认为 ：数学只不过是 由命题 Ａ推出命题 Ｂ的这种 演绎的总和。它认为数学研究 的对象是形式结构 ， 数学只有形式而无内容。逻辑主义哲学观点是
先有逻辑再有数学 ，数学建立在逻辑基础之上。以罗素为代表的逻辑主义学派认为 ，数学是由逻 辑派生出来的，即数学与经验事实无关 ，而是先验地从逻辑公理系统演绎出来的。数学是逻辑的 产物，否定数学是不依赖人们思维 的客观实在 ，具有唯心主义 的观点。哥德尔 的不完备性定理 ， 使逻辑主义者认识到 ： 从一个逻辑公理系统中演绎出整个数学是不可能的。因而宣告 了把数学全
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２８ ０ 年第３ （ 第７期） ０ 期 总 ９
数 学 基 础 问题 的哲 学 观及其 启 示 ’
张 其 亮
（ 安徽大学 数学科学 学院 ，安徽 合肥 ２ ０ ３ ） ３０ ９
摘
要
文章指 出了数学基础问题产生的历史背景 ，对三个主流学派关于数学问题论述的内
二 、关于数 学基 础 问题 的哲学 观
数学哲学原理
数学哲学原理数学哲学什么是数学哲学？•数学哲学是研究数学概念、原理和方法的哲学领域。
•它探究数学的本质、逻辑和语言，以及数学与现实世界之间的关系。
数学的起源•数学作为一门学科具有悠久的历史，最早可以追溯到古代的埃及、巴比伦等文明。
•古代数学家通过观察自然界和解决实际问题，逐渐发展了数学概念和方法。
数学的对象和方法•数学的对象可以是数、集合、函数、结构等。
•数学的方法包括推理、证明、计算等。
数学的逻辑基础•数学建立在严格的逻辑基础上，其中包括公理、定义和定理等概念。
•公理是不可证明的基本前提，定义是给出概念的准确描述，定理是基于公理和定义推导出来的结论。
数学的语言和符号•数学使用特定的语言和符号来描述和表达概念和关系。
•数学符号可以简洁地表示复杂的数学概念，提高了数学表达的效率和准确性。
数学与现实世界的关系•数学与现实世界存在着紧密的联系。
•数学的概念和方法在自然科学、工程技术以及经济金融等领域中具有广泛的应用。
数学的哲学问题•数学哲学探讨数学的本质、对象和方法是否存在独立于人类思维的客观实在。
•数学的发展是否受到人类语言和文化的影响？数学的真理是否相对和主观的？数学哲学的流派和观点•数学哲学的主要流派包括形式主义、直观主义、逻辑主义等。
•形式主义认为数学是一套形式系统，在逻辑上是自洽的；直观主义强调数学直觉和直觉证明的重要性；逻辑主义认为数学可以建立在逻辑基础上。
数学哲学的研究领域•数学哲学研究的领域包括数学基础、数学逻辑、数学语义等。
•数学基础研究数学的公理和定义，数学逻辑研究数学的推理和证明，数学语义研究数学的意义和解释。
数学哲学的意义和价值•数学哲学的研究有助于深化对数学的理解和认识。
•数学哲学还提供了关于数学真理和数学思维的哲学思考，对数学教育和研究具有重要的指导意义。
数学、逻辑与计算机科学的关系
数学、逻辑与计算机科学的关系数学、逻辑与计算机科学的关系数学、逻辑是与计算机科学密不可分的。
数学是基础材料，逻辑是⽀柱，计算机科学是⼤厦。
⾸先，是数学与逻辑的关系。
数学基础的讨论主要在19世纪末20世纪初，当时对数学的看法有许多流派，其中⼀派是逻辑主义学派，认为数学可以完全由逻辑得到。
但后来数理逻辑中的⼀些深刻结果则否定了这种观点。
事实上，数学不能完全由逻辑得到，即，如果要求数学是⽆⽭盾的，那么，它就不可能是完备的。
现在对数学看法的主流是源于Hilbert的形式主义数学的观点。
粗略地说，就是公理化的观点。
也就是说，⼈们可以从实际出发（也可以从空想出发），给出⼀组⽆⽭盾、不多余的公理，这种公理系统下就形成⼀种数学。
在建⽴公理以后的事情则属于逻辑。
所以，逻辑是数学的重要⽅法和基础，但不是数学的全部。
反过来，数学也不包括逻辑的全部。
逻辑学主要是（⾄少曾经是）哲学的⼀⽀，它不仅研究逻辑命题的推演关系，也研究这种关系为什么是对的，等等。
逻辑学中影响数学的主要是形式逻辑和数理逻辑，但涉及哲学思辨的部分就不在数学的范畴之中了。
其次，是数学与计算机的关系。
因为计算机是⼀种进⾏数值计算、逻辑推理、符号处理等⽅⾯信息加⼯的机器，有⼈就称它为数学的机器;近年由于计算机应⽤的拓⼴，其系统软件与应⽤软件发展很⼤，吸引了甚为巨⼤的社会⼈⼒与财⼒，形成了⼀种新兴的⼯业，⼈们认为这是继⼟⽊⼯程，机械⼯程、电⼦⼯程之后的⼀种新的⼯程—软件⼯程。
由于它具有数学的特征，即⾼度的精确性，⼴泛的应⽤性，与推理的严谨可靠性。
因此，计算机科学被称程序为具有数学性质的学科。
计算机科学是对计算机体系，软件和应⽤进⾏探索性、理论性研究的技术科学。
由于计算机与数学有其特殊的关系，故计算机科学⼀直在不断地从数学的概念、⽅法和理论中吸取营养;反过来，计算机科学的发展也为数学研究提供新的问题、领域、⽅法和⼯具。
近年来不少⼈讨论过数学与计算机科学的关系问题，都强调其间的密切联系。
介绍数学的三大哲学基础流派：逻辑主义、形式主义、直觉主义的书有哪些？
数学是一门哲学性极强的学科，它的发展不仅仅是基于实际问题的解决，更是基于数学本身的哲学思考。
而数学的哲学基础流派有三种，分别是逻辑主义、形式主义、直觉主义。
下面我们就来详细介绍一下这三种流派的书籍。
逻辑主义是数学哲学的一种基本流派，它的核心思想是数学是逻辑的一部分。
逻辑主义的代表人物是哥德尔、弗雷格、罗素等人。
其中罗素的《数学原理》是逻辑主义的经典之作。
这本书的主要内容是通过逻辑基础来建立数学的基础，从而证明数学的真实性和完备性。
这本书的重点在于证明数学的基础是逻辑的，而且逻辑的基础是自洽的。
这个证明是通过建立逻辑的公理系统来实现的，这个系统被称为罗素-怀特海公理系统。
这本书对于逻辑主义的发展和数学哲学的研究都有着重要的贡献。
形式主义是数学哲学的另一种基本流派，它的核心思想是数学是符号的游戏。
形式主义的代表人物是希尔伯特、冯诺依曼等人。
希尔伯特的《数学基础》是形式主义的经典之作。
这本书的主要内容是通过数学符号系统来建立数学的基础，从而证明数学的真实性和完备性。
这个证明是通过建立数学符号系统来实现的，这个系统被称为希尔伯特符号系统。
这本书对于形式主义的发展和数学哲学的研究都有着重要的贡献。
直觉主义是数学哲学的第三种基本流派，它的核心思想是数学是人类直觉的产物。
直觉主义的代表人物是布劳威尔、比舍尔等人。
布劳威尔的《数学的直觉基础》是直觉主义的经典之作。
这本书的主要内容是通过直觉来建立数学的基础，从而证明数学的真实性和完备性。
这个证明是通过建立直觉的基础来实现的，这个基础被称为布劳威尔直觉基础。
这本书对于直觉主义的发展和数学哲学的研究都有着重要的贡献。
总结一下，逻辑主义、形式主义、直觉主义是数学哲学的三大基本流派，它们分别以逻辑、符号、直觉为基础来建立数学的基础。
逻辑主义的代表作是罗素的《数学原理》，形式主义的代表作是希尔伯特的《数学基础》，直觉主义的代表作是布劳威尔的《数学的直觉基础》。
这些书籍对于数学哲学的研究都有着重要的贡献，对于我们理解数学的本质也有着深远的影响。
罗素的科学哲学贡献
罗素的科学哲学贡献罗素（Bertrand Russell）是20世纪最重要的哲学家之一，他对科学哲学的贡献被广泛认可。
他的思想和观点对于现代科学哲学的发展产生了深远的影响。
本文将从逻辑主义、数理逻辑、科学方法论和科学实在论等方面探讨罗素在科学哲学领域的贡献。
一、逻辑主义罗素是逻辑主义的重要代表之一。
逻辑主义认为数学和逻辑是科学的基础，所有科学理论都可以归结为逻辑和数学的推理。
罗素与怀特海合作，试图通过逻辑的形式化来建立数学的基础。
他们在《数学原理》一书中提出了逻辑主义的基本原则，即所有的数学理论都可以通过逻辑的推理来证明。
这一观点对于后来的数理逻辑的发展产生了重要影响。
二、数理逻辑罗素是数理逻辑的奠基人之一。
他与怀特海合作，提出了著名的罗素悖论，揭示了集合论的基本问题。
罗素悖论指出，如果假设存在一个包含所有不包含自身的集合的集合，那么这个集合既包含自身又不包含自身，形成了悖论。
这一发现对于集合论的发展产生了深远的影响，推动了数理逻辑的研究。
罗素还提出了类型论的概念，将数学中的悖论问题归结为类型的混淆。
他认为，悖论的产生是因为将不同类型的对象混淆在一起。
通过引入类型的概念，可以避免悖论的产生，从而建立起了一个更为严谨的数学基础。
三、科学方法论罗素对科学方法论的研究也具有重要意义。
他提出了科学的归纳方法，认为科学的推理应该基于归纳而非演绎。
他批判了亚里士多德的演绎方法，认为科学的推理应该基于观察和实验，通过归纳来得出普遍规律。
这一观点对于科学研究的方法和逻辑推理的发展产生了重要影响。
罗素还对科学的价值和目的进行了深入思考。
他认为科学的目的是追求真理和知识，而不仅仅是应用和技术。
他强调科学的自由和批判精神，反对任何形式的权威主义和迷信。
他的这些观点对于科学研究的发展和科学伦理的建立具有重要意义。
四、科学实在论罗素对科学实在论的研究也具有重要贡献。
他批判了康德的唯心主义观点，提出了外部世界的存在和独立性。
弗雷格 算术基础
弗雷格算术基础
《算术基础》（Grundgesetze der Arithmetik）是德国逻辑学家和数学家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的一部重要著作，首次出版于1884年。
在这本书中，弗雷格试图通过逻辑的方法来建立算术的基本原理，从而摆脱当时数学基础中存在的一系列问题。
弗雷格在《算术基础》中提出了逻辑主义（Logicism）的观点，认为算术应该建立在逻辑的基础上，而不是像当时许多人认为的那样，建立在直观的概念（如自然数）之上。
他认为，自然数和算术运算应该通过逻辑的方式来定义，而不是直接通过直观的数学概念。
为了实现这一目标，弗雷格在《算术基础》中定义了一种新的逻辑语言，称为“概念文字”（Begriffsschrift），通过这种语言，他试图用逻辑的形式来表达数学的概念和命题。
概念文字是一种形式化的语言，它摆脱了自然语言的模糊性，使得数学命题的表达更为精确和清晰。
在《算术基础》中，弗雷格定义了数的概念，并且通过逻辑推理得出了算术的基本运算法则。
他的工作为后来的数学哲学和分析哲学的发展奠定了基础，特别是对20世纪逻辑学、数学和哲学的影响深远。
虽然弗雷格的《算术基础》在当时并未得到广泛的认可，但随着时间的推移，特别是在逻辑实证主义和分析哲学的影响下，他的工作逐渐受到了重视。
尤其是在第二次世界大战后，他的思想在美国和欧洲的分析哲学圈中得到了广泛的传播和接受。
1。
罗素 数学原理
罗素数学原理
罗素数学原理是数学史上具有重大影响力的著作之一，由英国哲学家伯特兰·罗素于1910年出版。
这部著作深刻地影响了数学和哲学领域，引发了对数学
基础的深入思考和探讨。
在《罗素数学原理》中，罗素试图建立数学的严格逻辑基础，以解决数学中
的悖论和矛盾。
他引入了集合论和逻辑学的概念，提出了一种新的数学基础理论，即逻辑主义。
这一理论认为数学可以被归结为逻辑的推演，而数学的真理可以通过逻辑推理来证明。
罗素的工作对数学的发展产生了深远的影响。
他的逻辑主义理论为数学建立了
更为坚实的基础，使得数学的发展更加系统化和严谨化。
同时，他对集合论和逻辑学的研究也为后来的数学家和哲学家提供了重要的启发和指导。
然而，罗素的《数学原理》也引发了一些争议。
他的理论受到了一些数学家和
哲学家的质疑，认为逻辑主义无法完全解释数学的本质，而且在实际应用中也存在一些困难。
此外，罗素的理论也受到了哥德尔的不完全性定理的挑战，该定理指出任何包含基本算术的一致的公理系统都会存在无法证明的命题。
尽管如此，《罗素数学原理》仍然是一部具有重要意义的著作。
它为数学的
基础研究提供了新的思路和方法，激发了数学领域的深入探讨和发展。
罗素的工作为数学和哲学的交叉研究提供了重要的范例，对后世的学术研究产生了深远的影响。
数学基础研究 维特根斯坦
《数学基础研究》是后期维特根斯坦关于数学哲学的重要著作。
其主要内容是根据他后期的新的哲学理解，对当时流行的数学基础研究中的形式主义思潮、逻辑主义思潮、直觉主义思潮进行分析和批评。
维特根斯坦一生关注数学与逻辑的关系、数学与世界的关系等核心问题，在《数学基础研究》中，他深入地反思和批评了弗雷格和罗素的相关思想，并提出了自己的理解。
《数学基础研究》由三部分组成，第一部分是对数学基础研究的总体评价，第二部分是对数学基础的探讨，第三部分是对数学基础的总结。
维特根斯坦在书中指出，数学是语言的逻辑形式，是世界的结构，是世界的模型。
他认为数学的目的是为了描述和理解世界，而不仅仅是计算和预测。
因此，数学的基础必须是坚实的，否则整个数学体系就会崩溃。
维特根斯坦在《数学基础研究》中还探讨了数学与逻辑的关系。
他认为，数学和逻辑都是语言的逻辑形式，但数学和逻辑并不是相互独立的。
相反，数学和逻辑是相互依存的，数学的发展需要逻辑的支持，而逻辑的发展也需要数学的推动。
因此，数学和逻辑的基础也是相互依存的，必须同时得到重视和研究。
总的来说，《数学基础研究》是维特根斯坦对数学哲学的重要贡献之一。
它不仅对当时流行的数学基础研究进行了深入的探讨和批评，也对后来的数学哲学发展产生了深远的影响。
通过阅读《数学基础研究》，读者可以更深入地理解数学的哲学本质和维特根斯坦的哲学思想。
数学的哲学思考数学哲学的基本原理与思想
数学的哲学思考数学哲学的基本原理与思想数学的哲学思考：数学哲学的基本原理与思想数学作为一门学科，在很长一段时间里被视为一种严谨、抽象的工具，用于解决实际问题。
然而，数学的发展和应用越来越广泛，逐渐引起了人们对其背后的哲学思考和基本原理的关注。
数学哲学作为一个独立的学科领域，探讨了数学的本质、结构和形式，以及数学与现实世界之间的关系。
本文将从数学哲学的基本原理和思想进行探讨。
一、数学的哲学思考与基本原理1. 可靠性与推导：数学以其推导和证明的过程而闻名，可靠性是数学的基本原则之一。
数学家通过严谨的推理和逻辑，确保数学结论的正确性。
数学的可靠性建立在逻辑、公理和定义的基础上，这些基本原理构成了数学的逻辑框架。
2. 抽象性与普适性：数学的抽象性使其能够描述和分析各种现象和问题。
通过将具体问题转化为抽象的数学模型，数学家能够发现普遍规律和解决一般性的问题。
抽象性是数学与其他学科区别开来的特点之一。
3. 整体性与结构：数学家通过研究数学对象的内部结构和关系，探索出数学体系的整体性。
数学的结构性思维帮助人们理解数学概念之间的联系和相互作用，揭示出数学的内在美和优雅。
4. 创造性与发现：数学不仅仅是一门有规律的学科，也是一门充满创造力的艺术。
数学家通过发现新的定义、引入新的概念和构建新的数学理论，推动着数学的发展。
创造性是数学思维中的重要组成部分。
二、数学哲学的思想与观点1. 实在论与构造主义：实在论观点认为数学对象是独立存在的，数学的真理是客观的。
而构造主义则强调数学对象的构造过程和可验证性，强调数学的主观性和情境依赖性。
这两种观点在数学哲学领域引发了一系列的争论和讨论。
2. 形式主义与直觉主义：形式主义认为数学是一种形式系统，数学的真理建立在逻辑推导和符号操作的基础上。
而直觉主义则关注数学的直觉认识和人类思维的角度，认为数学是人类直觉和主观经验的产物。
3. 可证明性与完备性：可证明性是数学中一个重要的概念，指的是一个命题是否可通过严格的推理和证明得到。
罗素的数学逻辑主义思想研究
华南师范大学硕士学位论文罗素的数学逻辑主义思想研究姓名：***申请学位级别：硕士专业：逻辑学指导教师：***20020101中文摘要本文对伟大的数学家和逻辑学家伯特兰·罗素的数学逻辑主义思想进行了研究和探讨。
在前言中，简要地介绍了罗素的数学逻辑主义思想，认为它除了“将数学还原为逻辑”这一观点外，还包括了解决罗素悖论的工作。
第章介绍了罗素形成数学逻辑主义思想的历史背景及其提出数学逻辑主义论题的情况。
认为罗素形成数学逻辑卡义思想的历史背景在丁他对数学基础建立在数学理论的“算术化”的不满。
他认为，数学的基础应是逻辑，从而提ｍ他的数学逻辑主义论题：数学与逻辑等同，伞部数学Ｉ叮以化归为逻辑。
第．章详细介绍了罗素对其数学逻辑主义论题的证明。
罗素在弗雷格研究的基础上，提出逻辑类型论来解决罗素悖论，以非集合论理论为基础，以无穷公理和选择公理为前提，利用逻辑概念定义数学概念，并构造系统，通过逻辑演绎法从逻辑公理推导数学定理。
第三章对罗素的数学逻辑主义思想作Ｈ＿ｊ评论。
认为罗素的数学逻辑主义因为没有实现从纯逻辑出发、将数学化归为逻辑的目标，凼而是失败的。
失败原因主要是由罗素本人哲学思想的错误决定的。
但这种失败只是部分失败，其成功之处在于，罗素的数学逻辑主义研究对数理逻辑的发展作出了重要的贡献。
关键词：数学逻辑主义罗紊障论恶性循环原！Ｉｌ｜Ｊ逻辑类型论非集合理论无穷公理选择公理《罗素的数学逻辑主义．Ｉ出想研究》ＡＢＳＴＲＡＣＴＴｈｉｓｔｈｅｓｉｓｍａｋｅｓａｎｅｘｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓＩｏｇｉｃｉｓｍｔｈｏｕｇｈｔｏｆＲｕｓｓｅＩｌ，ｔｈｅｇＩ．ｅａｔｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎａｎｄｌｏｇｉｃｉａｎｉｎｐｈｙｌｏｇｅｎｙｏｆｌＯｇｉｃ．Ｉｎｐｒｅｆａｃｅ，Ｒｕｓｓｅｌｌ’ｓｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ１０２ｉｃｉｓｍｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｂｒｉｅｆ．ＩｔｉｓｔｈｏｕｇｈｔｔｏｂｅｉｎｃｌｕｄｅｎｏｔｏｎｌｙｔｈｅｉｄｅａＯｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｃａｎｂｅｄｅｏｘｉｄｉｚｅｄｔ０１０２ｉｃ，ｂｕｔａｌｓｏｔｈｅｗｏｒｋｏｆｓｅｔＵｅＲｕｓｓｅＵ’ｐａｒａｄｏｘ．Ｉｎｃｈａｐｔｅｒ０ｎｅ，ｉｔｇｉｖｅｓａｈｉｓｔｏｒｉｃａｌｉｎｔｒｏｄｕｃｔｊｏｎｔｏＲｕｓｓｅｌｌ，ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｌｏｇｉｃｉｓｍａｎｄｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｈｏｗＲｕｓｓｅ¨ｐｕｔｆｏｒｗａｒｄｌｌｉｓｉｄｅａ．Ａｓａｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎ．Ｒｕｓｓｅｌｌｉｓｃｒｉｔｉｃａｌｏｆａｒｉｔｈｍｅｔｉｚａｔｉｏｎｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｔｈｅｏｒｙｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇｔｈｅｂａｓｉｃｏｆｍａｔｌｌｅｍａｔｉｃｓ．ＩｎＲｕｓｓｅｌｌ’ｓｏｐｉｎｉｏｎ，１０２ｉｃｓｈｏｕｌｄｂｅｔｈｅｆｂｕｎｄａｔｉｏｎｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｔｈｅｎｈｅｐｕｔｆｂｒｗａｒｄｈｉｓｔｏｐｉｃｔｈａｔｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｉｓｔｈｅｓａｍｅａｓ１０２ｉｃａｎｄｉｔｃａｎｂｅｄｅｏｘｉｄｉｚｅｄｔｏ１０２ｉｃ．Ｉｎｃｈａｐｔｅｒｔｗｏ，ｈｏｗＲｕｓｓｅｌｌｐｒｏｖｅｄｈｉｓｔｏｐｉｃｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓＩｏ画ｃｉｓｍｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｄｅｔａｉＬｏｎｔｈｅｂａｓｅｏｆＦｒｅｇｅ’ｓｓｎｌｄｖ，ＲｕｓｓｅＵｐｕｔｆｏｒｗａｒｄｔｈｅｔｈｅｏｒｖｏｆｔｙｐｅｓｔｏｓｅｔｔｌｅＲｕｓｓｅ¨’ｓｐａｒａｄｏｘ．ｏｎｔｈｅｂａｓｅｏｆｎｏｎ．ｓｅｔ，ＲｕｓｓｅＩｌｂｒｏｕ２ｈｔｆｂｒｗａｒｄａｘｉｏｍｏｆｉｎｎｎｉｔｙａｎｄａｘｉｏｍｏｆｏｐｔｉｏｎａｓｔｈｅｐｒｅｍｉｓｅｓａｎｄｂｕｉｌｔａｓｙｓｔｅｍ．Ｈｅｔｌ‘ｉｅｄｔｏｄｅｆｉｎｅｄｔｈｅⅡｏｎ—ｎｅ２ａｔｉｖｅｉｎｔｅ足ｅｒｉｎＩｏ譬ｉｃｔｅｒｍｓａｎｄｄｅｒｉｖｅｔｈｅｔｈｅｏｒｅｍｓｏｆａｒｊｔｈｍｅｔｉｃｆｍｍｔｈｅｌａｗｓｏｆｌｏｇｊｃｂｙｄｅｄｕｃｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄ．Ｉｎｃｈａｐｔｅｒｔｈｒｅｅ，ｔｈｅａｕｔｈｏｒｍａｋｅｓａｃｏｍｍｅｎｔ０ｎＲｕｓｓｅｌｌ’ｓｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｌｏｇｉｃｉｓｍ．ＳｈｅｔｈｉｎｋｓｉｔｉｍｐｏｓｓｉｂｌｅｆｏｒＲｕｓｓｅＩｌｔｏｄｅｏｘｉｄｉｚｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｔｏｌｏｇｉｃｂｅｃａｕｓｅｈｅｃｏｕｌｄｎ’ｔｄｅｒｉｖｅａｒｊｔｈｍｅｔｉｃｆｔｏｍｐｕｒｅｌｖ１０２ｉｃｌａｗｓ．Ｉｎｔｈｉｓｍｅａｎｉｎ２，ｗｅｃａｎｓａｙｔｈａｔＲｕｓｓｅｌｌ’ｓｔｒｖｉｎ譬ｉｓｆｈｉｌｅｄ．Ｒｕｓｓｅｌｌ’ｓｆａｉｌｕｒｅｉｓｍａｉｎｌｙｄｕｅｔｏｈｉｓｍｉｓｔａｋｅｓｉｎｈｉｓｐｈｉｌｏｓｏｐｈｉｃａｌｉｄｅａｓ．Ｂｕｔｉｔｉｓｎｏｔａｗｈｏｌｅｆｈｎｕｒｅ．Ｒｕｓｓｅｌｌ’ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｌｉｅｓｉｎｈｉｓｓｔＩｌｄｖｏｆｍａｔｈｅｍａｔｊｃｓｌｏｇｉｃｉｓｍｐｒｏｍｏｔｉｎｇｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｌｏｇｉｃ．ＫＥＹＷｏＲＤＳ：ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｌｏｇｉｃｉｓｍＲｕｓｓｅｌｌ’ｓｐａｒａｄｏｘｖｉｃｉｏｕｓｃｉｒｃｌｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｌｏｇｉｃｔｈｅｏｒｙｏｆｔｙｐｅｓｔｈｅｏｒｙｏｆｎｏｎ－ｓｅｔａｘｉｏｍＯｆｉｎ厅ｎｉｔｙａｘｉｏｍｏｆｏｐｔｉｏｎ《岁素的数学逻辑主义思想研究》前言伯特兰·罗素（ＢｅｎｒａｎｄＲｕｓｓｅｕ，１８７２一１９７０），二十世纪的哲学巨匠，是英国著名的哲学家和数理逻辑学家，是著名的国际学者。
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而非 “ 无穷 ” （ 实 承认 无 限集合 是 一个 完 成 了的整 体 ） ，这一 思想 直 到近 代仍 为数 学 家所 秉 承 ，如 高 斯 （ ｈ ｎ ａｌ ｒ ｄｉｈＧ ｕ ｓ、布劳 维尔 （ ｒｕ ｅ） Ｊ ａ ｎＣ ｒ Ｆｉ ｒ ａｓ） ｏ ｅ ｅ Ｂｏ ｗ ｒ 、韦 尔 （ ｙ）等 。韦尔 曾 经说 ： “ 确 信并 Ｗｅ１ 我 不 存 在 明显 的证 据 以支 持 关 于 自然 数 总 体存 在 性 的信 仰 … … 自然数 序 永 远处 在 创造 着 的状 态 中 ，而 不 是 一个 本来 就存 在 的王 国。 ” １ ７世纪 ， 名 的意大 利 天文 学家 伽利 略 （ ａｉ ｏ 发 现 问题 ： 整数 １ ，３ ，５ ，７ ，９ 著 Ｇ ｌｅ ） ｌ 正 ，２ ，４ ，６ ，８ ，
人 们 对 于数 学 基础 的大讨 论 。在这 次 激 烈 的论 战 中 ，出现 了 三个 不 同 的派别 ，即逻辑 主 义学 派 、形
式 主义学 派 和直 觉 主义学 派 ．而 逻辑 主义 学 派可 以看 作是 接受 集合 论思 想 的直接 产物 。
１数 学 中 的 集 合 论 思 想
古 希腊 以来 ，无穷 的概 念 就 引起 了哲 学家 和 数 学家 的注 意 。但对 无 穷做 深 入 的探 讨 、理解 及产 生 问题 方 面 的研 究却 进 展 缓 慢 。希腊 早 期 数 学 家 毕达 格 拉 斯 学 派最 早 用 他们 的定 理 发 现 了无 理 数 ， 但 为 了避 免直 线无 限可分 中讨 厌 的 “ 穷 ” 无 ，而将 这一 伟 大发 现进 行 了强 行压 制 。亚 里 士多 德也 注 意
集 合 有两 个基 本 问题 。第 一 是集 合有 多 少个 元 素 ，如 太 阳系 的行 星 有 ８个 元 素 ， 自然 数 集 Ｎ有 无穷 多个 元 素 ；第 二 是 两个 集合 的元 素是 否 一样 多 ，例 如 太 阳系 的行 星集 合 和 Ｎ 有一 样 多 的 元 素 。 如果 我们 知 道 了两 个 集合 的元 素 各 是 多少 ，当然 也就 知 道 了它 们 的元 素是 否 一样 多 。但 判 断 两个 集 合 的元素 是 否一 样 多 并不 一定 需 要 知道 它 们各 有 多少 元 素 ，一 般 地 ，只需 要 在 两个 集合 间建 立一 种
于部 分 的基数 当作 标 准推 广到无 限集 合 。
康托 尔 的集 合理 论 刚一 出现 就 受到 了有 些数 学 家 的攻击 与 非难 ，他 的老师 克 郎尼 克 ｆ．ｒｎ ｃ — ＬＫ ｏ ｅｋ
ｅ） ｒ，集 合论 的激 烈反 对者 之一 ，指 责 “ 康托 尔走 进 了超穷 数 的地 狱 ” 。但 是 ，集合 论 也受 到 了绝 大部
然 地被 看 成数 学 的基 础 。这 是 因 为 ：不论 数 学 的 哪一 门类 ．首先 得 有 自己的研 究 对象 。这些 研 究 对 象 当然 是一 个集 合或 一些 集合 。例 如 ，几何 要研 究 点 、线 、面 的集 合 ；算术 研 究整 数 和分 数 的集合 ；
微 积分研 究 实数 和 函数 的集合 等等 。
统 问题 的需 要 。康 托 尔没 有 为集 合论 概 念 做精 确 定 义仅 仅作 了一般 性 描述 ：人们 把 感觉 中或 思维 中 的某些 确定 的 、能够 区分 的对 象 汇集 为一 个 整体 ，这 一整 体 就是 一个 集 合 。例 如太 阳系 这个 集 合是
水 星 、金 星 、地球 、火 星 、木 星 、土 星 、天 王 星 、海 王 星八 大行 星作 为 元 素组 成 的整 体 ；所 有 的 自
胡 光远
（ 东 师范 大学 哲学 系 ，上 海 华 ２ １０ ） ０ １ ０
摘 要： 康托 尔创 立集合 论 ， 进 了数 学 家对 于“ 穷” 推 无 的认 识 ， 是 却 引 出 了被 称 为 集合 论悖 论 的 第 但 三 次数 学危机 ， 次危机 导致 了人 们 对 于数 学基 础 的深 入研 究 。逻 辑 主义 学 派不仅 致 力 解决 集合 论悖 这 论 ， 决心将 数 学的基 础 建立在 逻 辑之 上 。该 学派 的工 作 虽然极 大地促 进 了数 学基 础 的研 究和 数理 逻 还 辑 的发展 ， 是 ， 但 将数 学 建立在 逻 辑上 的 目的却 没 有取 得 最终 的成功 。 关键词 ：集合 ；集合 论 悖论 ；数 学基 础 ：逻 辑主 义
自然 数 ，而 自然数 ｎ便可 以直接 用 空 集组 成 的类 进 行 集合 构 造 ，空集 ‘ 表 示 ０ ｛ ｝表示 １ ｛ ， Ｐ ， ‘ Ｐ ， ‘ ｐ
・
８ ・
｛｝ ‘ ）表示 自然 数 ２ 由 １＝ Ｐ ， ３ ｎＵｆ） 构造 出所 有 自然 数闭 ｎ可 。因此 全部数 学 可归 结 为集 合 。德 国数 学 与逻
许 多具有 １ Ｏ个元 素 的集合抽 象 而得 到 的 ，这 些 集合 元素 的个 数称 为 基数 。而这 些集 合有 同样 的元 素 正 是 因为 它们 的元素 之 间 能够 一 一对 应 。集 合元 素 间 的一 一对 应 并 不受 制 于有 限的元 素 个数 ，可 以
推 广至 无 限 ．只要有 同样 多 的元素 。因此集 合成 了研究 “ 穷 ”的基 础 。 无
２１ ０ ２年 第 ４期 第 ３ ０卷 （ 第 １ １期 ） 总 ４
毕
节 学 院 学
报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬＯＦ Ｂ Ｅ ＵＮ ＶＥ ＩＹ ＵＩ Ｉ ＲＳＴ
ＮＯ． ， ０１ ４ ２ ２ Ｖｏ ． ０ １ ３ Ｇｅ ｅ ａ ．４１ ｎ ｒ ｌＮｏ １
数 学基础 中的逻辑主义
中 图分 类号 ： ４ ０１ １ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ６ ３ ７ ５ （０ ２０ — ０ ７ ０ １ ７ — ０ ９２ １ ）４ ０ ０ — ５
现 代 数 学 的 基 础 问题 是 哲 学 问题 ，也 是 数 学 和 逻 辑 学 同 时 关 注 的 焦 点 。数 学 是 关 于 数 学 概念 （ 、形 …… ）和原 则 （ 数 公理 ）及 其 推演 的理 论 。数 学 中 的推演 比较 严格 ，但并 不 十分 严格 ，而且 一 般性 也 不 够 。逻 辑 就 是要 进 一 步对 上 述 推 演 进 行 抽 象 ，建 立 更严 格 、更 一 般 的形 式 系统 。 １ 纪 ９世
常混 淆二 者 。
在无 限 集合 中 ，集 合 论 中 的整 体 和部分 就 是集 合 与 它 的真 子集 ，它们 严 格遵 守 “ 整体 不 等 于部 分 ” 因为 真子 集 就 是通 过 它 不 等 于原 集 合而 定 义 的 。基 数 只 是集 合 的 一种 性 质 ，虽 然 在有 限集 合 ， 上 ， “ 体 不 等 于部分 ”恰好 体 现 在整 体 的基 数 不等 于 部分 的基 数 ，但 我们 不 能把 整 体 的基 数不 等 整
分数 学 家 的支持 ，当时杰 出 的数学 家希 尔伯 特 （ ． ｌｅｔ Ｄｈ ｂ ｒ）曾毫 不掩 饰地 宣称 ： 谁也 不 能把 我们从 康 ｉ “
托尔 创建 的乐 园 中赶 出去 ”１ ［ １
２数 学 基 础 与 集 合 论 悖 论
康 托尔 的集合 论但使 人 们认 识 了实在 的无穷 ，而且 自然 而
对 于两 个无 限集 合 ，如 “ 伽利 略 问题 ”所涉 ， 自然数 集 Ｎ和 无 限集 Ａ ｛２ｌ ＝ １ １ ｎ∈Ｎ ，尽 管集 合 Ａ １
是 自然 数集 Ｎ的真 子集 ，但 由于两 集 合元 素 问 的一 一 对应 关 系 ．故 这 两个 相 异 的无 限集 有 相 同 的基 数 。那 么 为什 么 人们 直 观 上认 为 集合 和 它 的真 子集 不 可有 同样 多 的元 素 呢？ 因 为人们 对 集合 性 质 的 直 观认 识 一 般 总是从 有 限集合 得 到 的 。在有 限集合 中 ，一个 集合 和它 的真 子 集 的元 素个 数 一定 不 相 等 ，而在 无 限集 合 中 ，两个 集合 Ａ＝ Ｂ与 Ａ、Ｂ集 合有 相 同的元 素 个数 是两 个 不 同 的概 念 ，而 人们 常
然 数也 是一 个 集合 。组成 集合 的对象 称 为集 合 的元 素 或成 员 。我 们 用 大写 英 文字 母 Ａ，Ｂ，Ｃ，…… 表 示集 合 ．再 多可 以 为字 母 增加 下 标 。若 Ｘ是集 合 Ｓ的一 个 元素 ，就称 “ 于 Ｓ ，记 作 Ｘ 。如 Ｘ属 ” ∈Ｓ
果 ｘ不是 集合 Ｓ的一个 元素 ．则称 “ 属于 Ｓ ，记作 Ｘ Ｓ ｘ不 ” 甓 。
… …
中只 有一 小 部 分 ，如 １ ，９ ６ ５ ６ ９ ４ １ ，４ ，１ ，２ ，３ ，４ ，６ ，８ ，… …是 某一 个 正 整 数 的平 方 数 （ 完
全平方数） 。应 该 说 ，正整 数 （ 整体 ） 比完全 平 方 数 多 。可 是 ，从 另 一 角 度看 ，对 于 任 意正 整 数 ｎ ， 又有 唯 一确 定 的 完全 平 方 数 ｎ 与 之相 对 应 。并 且 ，若 正整 数 ｎ≠ ｎ，则 完 全 平方 数 ｎ ｌ ≠ Ｉ 。 由于 ｎ
日臻 完善 的集 合论 利 用逻 辑 的 手段 成 功地 构 造 出 了数学 体 系 。数 学研 究 的是 形 与数 ，解 析几 何 可 以将 形 转化 为数 ，因此 数 学归 根 结底 要研 究 数 。数 有 复数 、实数 、有理 数 、整数 、 自然 数 ，但 复 数 可 以归 结 到 实数 对 ，实 数 可 以归 结 到有 理数 的分 割 ，有 理数 可 以归 结 为整 数 之 比 ，整数 可 归结 为
末 ，数学 的发 展 步入 异 常活跃 时 期 ，数学 各个 分 支 ，包括 几何 、代 数和 分析 ，都 得 到 了长 足 的发展 。
数 学 中的集 合 论思 想就 是 在 这一 背 景 下 产生 的 。集合 论 的 确立 以及进 一 步 的研 究 继 而又 引 发 了被人