八年级数学上册第5章二次根式5.3二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加减运算教案1(新版)湘教版
八年级数学上册第5章二次根式湘教版
八年级数学上册第5章二次根式（湘教版）第5章二次根式二次根式第1课时二次根式的概念及性质1.了解二次根式的概念.2.理解并掌握二次根式的性质：(a)2＝a(a≥0)和a2＝a(a≥0).(重点)自学指导：阅读教材P155～157，完成下列问题.(一)知识探究1.形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.2.二次根式的性质：(1)(a)2＝a(a≥0)；(2)a2＝|a|＝a（a≥0），－a（a0）.(二)自学反馈1.下列各式中，一定是二次根式的是(C)A.－7 B＋x2 D.2x二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0.2.代数式x＋1有意义，则x的取值范围是(A)A.x≥－1B.x≠x≥1D.x≤－1二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于零. 活动1 小组讨论例1 当x是怎样的实数时，二次根式x－1在实数范围内有意义？解：由x－1≥0，解得x≥1.因此，当x≥1时，x－1在实数范围内有意义.例2 计算：(1)(5)2；(2)(22)2.解：(1)(5)2＝5.(2)(22)2＝22×(2)2＝4×2＝8.例3 计算：(1)（－2）2；(2)（－1.2）2.解：(1)（－2）2＝22＝2.(2)（－1.2）2＝1.22＝1.2.活动2 跟踪训练1.若（a－3）2＝a－3，则a的取值范围是(D)A.a3B.a≤a3 D.a≥32.把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)5＝(5)2；(2)3.4＝(3.4)2；(3)16＝(16)2；(4)x＝(x)2(x≥0)当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？(1)－x；(2)5－2x；(3)x2＋1.解：(1)由－x≥0，得x≤0.因此，当x≤0时，－x 有意义.(2)由5－2x≥0，得x≤52.因此，当x≤52时，5－2x有意义.(3)由x2＋1≥0，得x为任意实数.因此，当x为任意实数时，x2＋1都有意义计算：(1)(11)2；(2)（－6）2；(3)(－25)2；(4)－2（18）2.解：(1)11.(2)6.(3)20.(4)－活动3 课堂小结本节课你有什么收获？第2课时二次根式的化简1.了解最简二次根式的概念.2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.(重点)自学指导：阅读教材P157～159，完成下列问题.(一)知识探究1.积的算术平方根的性质：ab＝ab(a≥0，b≥0).化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外(注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数).2.最简二次根式应有如下两个特点：(1)被开方数中不含开得尽方的因数(或因式)；(2)被开方数不含分母.(二)自学反馈1.下列各式正确的是(D)A.（－4）×（－9）＝－4×－9B.16＋94＝16×＝4×D.4×9＝4×9运用积的算术平方根的性质ab＝ab化简时，注意a≥0，b≥0这一条件.2.把200化成最简二次根式是102.活动1 小组讨论例1 化简下列二次根式：(1)18；(2)20；(3)72；解：(1)18＝9×2＝9×2＝32.(2)20＝4×5＝4×5＝25.(3)72＝8×9＝2×22×32＝2×32＝62.例2 化简下列二次根式：(1)12；(2)解：(1)12＝1×22×2＝（12）2×2＝122.(2)35＝3×55×5＝（15）2×15＝活动2 跟踪训练1.下列二次根式中是最简二次根式的是(A)A.30B.12C.8D.122.实数0.5的算术平方根等于(C)A.2B.2C.22D.123.化简二次根式（－3）2×6得(B)A.－36B.36C.18 D化简下列二次根式：(1)12；(2)45；(3)72；(4)72.解：(1)23.(2)35.(3)62.(4)142.活动3 课堂小结本节课你有什么收获？5.2 二次根式的乘法和除法第1课时二次根式的乘法会逆用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算.(重难点)自学指导：阅读教材P161～162，完成下列问题.(一)知识探究积的算术平方根的性质：ab＝ab(a≥0，b≥0)，反过来，ab＝ab(a≥0，b≥0)，利用这一公式，可以进行二次根式的乘法运算.(二)自学反馈计算：(1)5×7；(2)13×9；(3)9×27.解：(1)35.(2)3.(3) (1)这里要用到公式：ab＝ab(a≥0，b≥0)；(2)计算9×27时，将27写成9×3，方便开平方.活动1 小组讨论例1 计算：(1)3×6；(2)13×72.解：(1)3×6＝3×6＝32×2＝32.(2)13×72＝13×72＝24＝22×6＝26.例2 计算：(1)23×521；(2)32×(－184).解：(1)23×521＝2×5×3×21＝1032×7＝307.(2)32×(－184)＝3×(－14)×2×18＝－342×18＝－92.例3 已知一张长方形图片的长和宽分别是37 cm和7 cm，求这张长方形图片的面积.解：37×7＝3×7＝21(cm)2.答：这张长方形图片的面积为21 cm2.活动2 跟踪训练1.计算2×3的结果是(B)A.5B.6C.23D.322.下列各等式成立的是(D)A.45×25＝85B.53×42＝20×32＝75 D.53×42＝200a的值是一个整数，则正整数a的最小值是(B)A.1B.2C.3 D一个直角三角形的两条直角边分别为a＝23 cm，b＝36 cm，那么这个直角三角形的面积为92cm2计算下列各题：(1)3×5；(2)12×3；(3)12×32；(4)32×27；(5)6×15×10；(6)68×(－32).解：(1)15.(2)6.(3)22.(4)614.(5)30.(6)－72.活动3 课堂小结本节课你有什么收获？第2课时二次根式的除法1.理解商的算术平方根的性质ab＝ab(a≥0，b＞0)，并能运用于二次根式的化简.(重点)2.能熟练运用二次根式的除法法则ab＝ab(a≥0，b ＞0)进行二次根式的除法运算.(重难点)自学指导：阅读教材P163～164，完成下列问题.(一)知识探究1.商的算术平方根的性质：ba＝ba(a＞0，b≥0)，可以利用它进行二次根式的化简.2.二次根式的除法规定：ba＝ba(a＞0，b≥0).(二)自学反馈1.下列各式成立的是(A)A.－3－5＝35＝B.－7－6＝－7－2－9＝2－9D.9＋14＝9＋14＝3122.计算123÷13的结果正确的是(B)A.3B.15C.5 D化简下列二次根式：(1)7100；(2)0.24；(3)315；(4)解：(1)710.(2)65.(3)455.(4)87.活动1 小组讨论例1 化简下列二次根式：(1)716；(2)解：(1)716＝716＝(2)95＝95＝35＝3×55×5＝例2 计算：(1)15÷3；(2)34256；(3)解：(1)15÷3＝153＝153＝5.(2)34256＝35426＝(3)146＝146＝73＝7×33×3＝2例 3 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广.已知电视塔高h(km)与电视节目信号的传播半径r(km)之间满足r＝2Rh(其中R是地球半径).现有两座高分别为h1＝400 m，h2＝450 m的电视塔，问它们的传播半径之比等于多少？解：设两座电视塔的传播半径分别为r1，r2.因为r＝2Rh，400 m＝0.4 km，450 m＝0.45 km，所以r1r2＝2Rh12Rh2＝h1h2＝0.40.45＝4045＝21035＝223.活动2 跟踪训练1.下列运算正确的是(D)A.50÷5＝10B.10÷25＝222＋42＝3＋4＝7 D.27÷3＝32.计算：123＝2如果一个三角形的面积为15，一边长为3，那么这边上的高为2计算：(1)40÷5；(2)322；(3)44876；(4)45÷2解：(1)22.(2)4.(3)827.(4)6.活动3 课堂小结1.商的算术平方根的性质.2.二次根式的除法法则二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加法和减法1.理解二次根式的加、减运算法则.2.会进行简单的二次根式的加、减运算.(重难点) 自学指导：阅读教材P167～168，完成下列问题.(一)知识探究在进行二次根式的加减运算时，应先将每个二次根式化简，然后再将被开方数相同的二次根式相加减.(二)自学反馈计算：(1)80－45；(2)28＋47；(3)18－32＋2；(4)(45＋18)－(8－125).解：(1)5.(2)1677.(3)0.(4)85＋2.活动1 小组讨论例1 计算：(1)58－227＋18；(2)218－50＋解：(1)原式＝102－63＋32＝132－(2)原式＝62－52＋5＝2＋5.二次根式的加减与合并同类项类似，进行二次根式的加减运算时，必须先将各个二次根式化简，再合并被开方数相同的二次根式.例2 如图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02 m2和150.72 m2，求圆环的宽度d(π取3.14).解：设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为S1，S2，由S1＝πR2，S2＝πr2可知R＝S1π，r＝S2π，则 d＝R－r＝S1π－S2π＝763.023.14－150.72＝243－48＝93－43＝答：圆环的宽度d为活动2 跟踪训练1.下列二次根式中，不能与2合并的是(C)A.12B.8C.24 D2.下列计算是否正确？为什么？(1)8－3＝8－3；(2)4＋9＝4＋9；(3)32－2＝22.解：(1)不正确.此式结果为22－3.(2)不正确.此式结果为5.(3)正确计算：(1)8＋18；(2)212＋27；(3)80－20＋5；(4)18＋(98－27)；(5)(75－54)－(108－96).解：(1)52.(2)73.(3)35.(4)102－33.(5)6－3.活动3 课堂小结怎样进行二次根式的加减计算？第2课时二次根式的混合运算会正确快速地进行二次根式的混合运算.(重难点)自学指导：阅读教材P169～171，完成下列问题.(一)知识探究1.二次根式的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里的，再算括号外面的. 2.与二次根式相关的乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a－b，(a＋b)2＝a＋2ab＋b，(a－b)2＝a－2ab＋b.(二)自学反馈计算：(1)(5＋1)2；(2)(13＋3)(13－3)；(3)(12－13)×3；(4)8＋182.解：(1)(5＋1)2＝(5)2＋25＋1＝5＋25＋1＝6＋25.(2)(13＋3)(13－3)＝(13)2－32＝13－9＝4.(3)(12－13)×3＝12×3－13×3＝36－1＝6－1＝5.(4)8＋182＝82＋182＝4＋9＝2＋3＝5.活动1 小组讨论例1 计算：(1)(6－38)×2；(2)(2＋2)(1－2).解：(1)(6－38)×2＝6×2－38×2＝6×2－38×2＝23－32＝323.(2)(2＋2)(1－2)＝2－22＋2－2×2＝2－22＋2－2＝－2.例2 计算：(1)(2＋1)(2－1)；(2)(2－3)2.解：(1)(2＋1)(2－1)＝(2)2－12＝1.(2)(2－3)2＝(2)2－22×3＋(3)2＝2－22×3＋3＝5－26.例3 计算：(1)(32＋2)÷2；(2)12＋3＋12－3.解：(1)(32＋2)÷2＝(42＋2)÷2＝52÷2＝5.(2)12＋3＋12－3＝2－3（2＋3）（2－3）＋2＋3（2＋3）（2－3）＝4（2＋3）（2－3）＝422－（3）2＝4.活动2 跟踪训练1.化简8－2(2－2)的结果是(D)A.－2B.2－2C.2D.42－22.估计20×15＋3的运算结果应在(C)A.1到2之间B.2到3之间到4之间 D.4到5之间3.计算：(27－13)×3＝计算：(1)(3＋5)(3－5)；(2)(3＋5)2.解：(1)－2.(2)8＋2计算：(1)3(2－3)－24－6－3；(2)23÷223×25－110.解：(1)原式＝6－3－26＋6－3＝－6.(2)原式＝23×38×25－110＝1010－1010＝0.活动3 课堂小结如何进行二次根式的混合运算？。
八年级数学上册二次根式二次根式的加法和减法小专题二次根式的计算与求值
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湘教八上数学5.二次根式的加法和减法课件
(2)“被开方數相同的最筒二次根式”在习惯上及相，关课外读
物上部称为“同类二次根式”.
感悟新知
例 1 下面的二次根式中与 2 3 是被开方数相同的 知1－讲 最简二次根式的是( D )
A. 18B. 2C . 9D. 27 3
导引：将四个选项中的二次根式先分别化成最简二 次根式，得 18=3 2， 2 = 6 = 6 ，9=3， 27 = 3 3，
S1 π
,
r
S2 π
.则
d Rr
S1 π
S2 π
763.02 3.14
150.72 3.14
243 48 9 3 4 3 5 3.
答：圆环的宽度d为5 3m.
感悟新知
总结
知2－讲
二次根式加减运算的技能： (1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中
含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，则要 化成分数，进而化为最简二次根式. (2)原式中若有括号，要先去括号，再将被开方数相同的 二次根式进行合并. (3)含字母的二次根式的加减运算的一般步骤：化简→判 断一合并.
号法则在二次根式运算中仍然适用 . 3.根号外的因数（或因式）就是这个二次根式的系数，二
次根式的系数是带分数的要化为假分数的情势 .
感悟新知
知2－讲
例2 计算： (1)5 8-2 27 18；(2)2 18 50 1 45. 3
解：(1)5 8 2 27 18 10 2 6 3 3 2 13 2 6 3. (2)2 18 50 1 45 6 2 5 2 5 2 5
3 93
只有选项D中的被开方数是3，故选D.
感悟新知
总结
知1－讲
判断几个二次根式是否为被开方数相同的最简 二次根式的步骤是：(1)将各二次根式化为最简二次 根式；(2)看被开方数是否相同.
八年级数学上第5章二次根式5.3二次根式的加法和减法2二次根式的混合运算授课湘教
D．3 2－ 2＝3
2．下列计算正确的是( B )
A．3 10－2 5＝ 5
B.
7 11·
11 7÷
111＝ 11
C．( 75－ 15)÷ 3＝2
5
1 D.3
18－3
89＝ 2
感悟新知
例2 计算：
2
(1 ) 2 1 2 1； (2 ) 23.
解： (1) 21
2
21 2 12 1.
其中结果正确的个数为( D ) A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列运算正确的是( C )
A．x－13x＝23
B．a3·(－a2)＝－a6
C．( 5－1)( 5＋1)＝4 D．－(a2)2＝a4
知2－练
课堂小结
二次根式的混合运算
1.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别
运算
二次根式的乘除法
二次根式的加减法
感悟新知
知识点 2 乘法公式在二次根式混合运算中的应用
知2－导
例 3 如图，扶梯AB的坡比为1：0.8，滑梯CD的坡比为1：
1.6，AE=
3 2
m，BC= 1
2
CD.一男孩从扶梯走到滑梯的
顶部，然后从滑梯滑下，经过的总路程是多少米(要求
先化简，再取近似值，结果精
确到0.01m)？
感悟新知
解 ： 在 RtAEB中 ， AE = 3 m , BE 3 0.8 15 (m ),
22 2 2 2 2.
知1－讲
感悟新知
总结
知1－讲
进行二次根式的混合运算时要注意以下几点：(1) 运算顺序；(2)运算法则；(3)运算律与法公式的灵活 运用；(4)最后结果要化到最筒.
感悟新知
新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的加法和减法教学设计
新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的加法和减法教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式，主要介绍了二次根式的加法和减法。
这部分内容是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识的基础上进行学习的，旨在让学生进一步理解二次根式的性质，并能灵活运用其性质进行二次根式的加减运算。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数、有理数、无理数等概念有一定的了解。
但是，对于二次根式的加减法，可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要引导学生理解二次根式的加减法实质，并通过大量的练习，让学生熟练掌握。
三. 教学目标1.让学生理解二次根式的加减法实质，掌握二次根式加减法的运算规则。
2.培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力，培养学生的数学素养。
四. 教学重难点1.二次根式的加减法实质的理解。
2.二次根式加减法运算规则的掌握。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、分组讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究，合作学习，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备教学课件，以便进行多媒体教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考二次根式的加减法实质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过课件，呈现二次根式的加减法运算规则，让学生初步感知。
3.操练（15分钟）学生分组进行练习，教师巡回指导，帮助学生掌握二次根式的加减法运算规则。
4.巩固（10分钟）教师通过出示一些典型例题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）教师出示一些拓展题目，让学生思考，提高学生的数学思维能力。
6.小结（5分钟）教师引导学生对所学内容进行小结，加深学生对二次根式加减法的理解。
7.家庭作业（5分钟）教师布置一些课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
8.板书（5分钟）教师对整个教学过程进行板书，以便学生回顾和复习。
湘教版八年级上册数学精品教学课件 第5章 二次根式 第1课时 二次根式的加减运算
第5章 二次根式
5.3 二次根式的加法和减法
第1课时 二次根式的加减运算
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 理解和掌握二次根式加减的运算法则及能正确地 对二次根式进行加减运算；（重点、难点）
2. 通过实例分析，从中正确地掌握二次根式加减运 算的基本步骤．
问题3 有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根 式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不 同的栅栏里吗？
能力提升： 6. 已知 a，b 都是有理数，现定义新运算：a*b= a 3 b，求 (2*3) - (27*32) 的值． 解：∵a*b = a 3 b ， ∴ (2*3) - (27*32)
= 2 3 3 27 3 32
= 2 3 3 3 3 12 2
= 11 2.
课堂小结
例5 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆 心的圆构成. 已知大圆和小圆的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆环的宽度 d (π 取 3.14). 解：设大圆和小圆的半径分别为 R，r，
面积分别为 S1，S2，由 S1 = πR2，
S2 = πr2，可得 R
S1，r π
二次根 式的加
减
法则 注意
一般地，二次根式的加减 时，可以先将二次根式化成最 简二次根式，再将被开方数相 同的二次根式进行合并.
运算原理 运算律仍然适用
运算顺序
与实数的运 算顺序一样
S2 . π
d
则 d R r S1 S2
ππ
763.02 150.72
3.14
3.14
243 48
9 34 3
八年级数学上册5.3二次根式的加法和减法5.3.1二次根式的加减法教案湘教版(new)
★⒉小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框, 为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为( ）米.
A．13 B． C．10 D．5
★★⒊如图所示,在 中， 点 从点 开始沿 边以1厘米/ 秒的速度向点 移动;同时，点 也从点 开始沿 边以2厘米/秒的速度向点 移动．问：几秒后 为35平方厘米？ 的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)
树立转化、分类的思想。
【教学过程】
一、复习引入
要进行二次根式加减运算，它们具备什么特征才能进行合并？（同类二次根式）
⑴说出 的三个同类二次根式；
⑵试举出一组同类二次根式；
二、典例精析
⑴下列各组根式中哪些是同类二次根式？
① ②
③ ④
⑵若最简二次根式 和 是同类二次根式，则 ______， __________。
六、课后练习
A层：教材P169A组⒈⒉
B层：学法大视野相应内容
七、教学反思
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
⑷若 = ,则 与 的关系是什么?并说明理由。
四、归纳小结
二次根式加减的问题，我们把它归为两个步骤:
第一步，先将二次根式化成最简二次根式；
八年级数学上册二次根式二次根式的加法和减法二次根式的混合运算
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湘教版八年级数学上册第5章 5.3 二次根式的加法和减法 第1课时 二次根式的加、减法
9. 如果最简二次根式 4a＋3b与b＋1 2a－b＋6 能
够合并，则( D )
A．a＝2，b＝2
B．a＝2，b＝1
C．a＝1，b＝2
D．a＝1，b＝1
10. 等腰三角形的两条边长为 2 3和 5
三角形的周长为( C )
A．4 3＋5 2 B．2 3＋5 2 C．2 3＋10 2 D．4 3＋5 2或 2 3＋10 2
解：∵2－1 3＝2＋ 3， ∴a＝3，则 b＝2＋ 3－3＝ 3－1. ∴a2－b2＝32－( 3－1)2＝5＋2 3.
18. 如图，面积为 48 cm2 的正方形的四个角均是面 积为 3 cm2 的小正方形，请动手操作，将四个角剪掉， 制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的底面 边长．
解：长方体盒子的底面边长为 48－2 3＝4 3－2 3
的个数为( B )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4. 计算：
(1)(2018·苏州)－12＋
9－
222；
解：原式＝12＋3－12＝3；
(2)2x 4x＋6x 9x－2x2 1x.
解：原式＝x x.
知识点 二次根式加减法的运用
5. 设三角形的三边边长分别是 4 50 cm，4 72 cm
16. 先化简，后计算：a＋1 b＋1b＋a（ab＋b），其中 a
＝
52＋1，b＝
5－1 2.
解：原式＝aba＋b（a2＋a＋abb＋）b2＝a（b（a＋a＋b）b）2 ＝aa＋bb.
当 a＝ 52＋1，b＝ 52－1时，原式的值为 5.
17.
已知2－1
的整数部分为 3
a，小数部分为
b，求
a2－b2 的值．
【精品推荐】2020年秋八年级数学上册第5章二次根式5.3二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加减法课件新
解：a＝2 10cm，b＝4 10cm， c＝9 10－a－b＝9 10－2 10－4 10＝3 10(cm)．
8．已知 a、b、c 满足|a－ 8|＋ b－ 18＋(c－ 32)2＝0. (1)求 a、b、c 的值； (2)以 a、b、c 为边能否构成三角形？并说明你的理由．
a－ 8＝0
a＝2 2
5－4y的值是
21 3
.
21 ，b＝ 4 .
4．计算： (1)(2 217＋ 1.25)－( 880－5 112)； 解：原式＝(29 3＋ 25)－( 25－563)＝1198 3； (2) 8＋ 0.75－ 0.5＋ 12； 解：原式＝2 2＋ 23－ 22＋2 3＝52 3＋322； (3)( 445－ 20－5 118)－(16 245－ 54)． 解：原式＝32 5－2 5－56 2－76 5＋ 25＝－65 2－76 5.
1．在下列二次根式中：2 2，21 80， 21，4 0.75，12 0.2.
(1)能与 3合并的是 4 0.75 ；
(2)能与 5合并的是
1 2
80，12
0.2
；
(3)能与 2合并的是
2 2，＋ 18＋ 18＝a＋b 2，则 a＝ 0
3．当 y＝23时，
8y＋4－
（2） 教学方程的意义，突出概念的内涵与外延。 “含有未知数”与“等式”是方程意义的两点最重要的内涵。“含有未知数”也是方程区别于其他等式的关键特征。在第1页的两道例题里，学生陆续写出了等式，也写出了不等式；写出了不含未知数的等式，也写出了含有未知数的等式。这些都为教学方程的意义提供了鲜明的感知材料。教材首先告诉学生： 像x+50=150、2x=200这样含有未知数的等式叫做方程，让他们理解x+50=150、2x=200的共同特点是“含有未知数”，也是“等式”。这时，如果让学生对两道例题里写出的50+50=100、x+50＞100和x+50＜200不能称为方程的原因作出合理的解释，那么学生对方程是等式的理解会更深刻。教材接着安排讨论“等式和方程有什么关系”，并通过“练一练”第1题让学生先找出等式，再找出方
2019秋八年级数学上册第5章二次根式5.3二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加减运算教案2
5.3 二次根式加法和减法第1课时 二次根式的加减运算教学目标：1.理解和掌握二次根式加减的方法．2.先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．重难难点：1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点：会判定是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入 学生活动：计算下列各式．（1）2x+3x ； （2）2x 2-3x 2+5x 2； （3）x+2x+3y教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．二、探索新知 学生活动：计算下列各式．（1） （2）（3老师点评：（1当成x ，不就转化为上面的问题吗？=（2+3表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式， 再将被开方数相同的二次根式进行合并．例1．计算 （1（2 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：（1=（2+3（2（4+8例2．计算 （1）（2））+解：（1）（12-3+6（2））+三、巩固练习 P169 练习1、2．四、应用拓展例3．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x ）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式， 再合并同类二次根式，最后代入求值．解：∵4x 2+y 2-4x-6y+10=0∴4x 2-4x+1+y 2-6y+9=0∴（2x-1）2+（y-3）2=0∴x=12，y=3原式=23+y当x=12，y=3时，原式=12五、归纳小结 本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．六、布置作业第一课时作业设计一、选择题1是同类二次根式的是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④217=1=2，其中错误的有（ ）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个二、填空题1293a 125323a a、0.2、是同类二次根式的有________．2．计算二次根式的最后结果是________．。
八年级数学上册第5章二次根式5.3二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加减运算教案1湘教版
5．3 二次根式的加法和减法第1课时 二次根式的加减运算1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法法则；2．掌握二次根式的加减运算．(重点，难点)一、情境导入计算：(1)2x －5x ； (2)3a 2－a 2＋2a 2.上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x 换成3，a 2换成5，这时上述两小题就成为如下题目： 计算： (1)23－53； (2)35－5＋2 5.这时怎样计算呢？二、合作探究探究点一：同类二次根式 下列二次根式中与2是同类二次根式的是( )A.12B.32 C.23D.18 解析：选项A 中，12＝23与2被开方数不同，故不是同类二次根式；选项B 中，32＝62与2被开方数不同，故不是同类二次根式；选项C 中，23＝63与2被开方数不同，故不是同类二次根式；选项D 中，18＝32与2被开方数相同，故是同类二次根式．故选D.方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式．探究点二：二次根式的加减【类型一】 二次根式的加法或减法(1)8＋32； (2)1223＋1332；(3)448－375； (4)1816－3296. 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． 解：(1)原式＝22＋42＝(2＋4)2＝62；(2)原式＝166＋166＝(16＋16)6＝63； (3)原式＝163－153＝(16－15)3＝3；(4)原式＝1866－32×46＝36－66＝－3 6. 方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并．【类型二】 二次根式的加减混合运算计算：(1)12－33－273； (2)324x －3x 9＋3x 1x ； (3)3123－45＋220－1260； (4)0.5－213－(18－75)． 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．解：(1)原式＝23－3－3＝0；(2)原式＝3x －x ＋3x ＝5x ；(3)原式＝15－35＋45－15＝5；(4)原式＝22－233－24＋53＝24＋1333. 方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．【类型三】 二次根式的加减的实际应用一个三角形的周长是(23＋32)cm ，其中两边长分别是(3＋2)cm ，(33－22)cm ，求第三边长．解析：第三边长等于(23＋32)－(3＋2)－(33－22)，再去括号，合并同类二次根式．解：第三边长是：(23＋32)－(3＋2)－(33－22)＝23＋32－3－2－33＋22＝(42－23)(cm)．方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算．三、板书设计二次根式的加减：合并同类二次根式通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习．引导学生归纳总结出二次根式加减运算的两个关键步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②合并同类二次根式．并让学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯．教学过程中，注重数学思想方法的渗透(类比)，培养学生良好的思维品质．。
八年级数学上册 第5章 二次根式5.3 二次根式的加法和减法第1课时 二次根式的加法和减法课件
因为正方形ABCD 和CEGH 的边长分别为 8 和 1 8 ，
所以 BE 的长度为 8 18 .
8 18 =2 23 2（化成最简二次根式）
= 23 2（分配律）
= 5 2.
第四页，共十三页。
知识点1 二次根式(gēnshì)的加减法法 则 1. 在进行(jìnxíng)二次根式的加减运算时， 通常应先将每个
第六页，共十三页。
例1 计算(jìsuàn)：
( 1 ) 5 8 - 2 2 7 + 1 8 ； ( 2 ) 2 1 8 - 5 0 + 1 3 4 5 .
解 ( 1 ) 58 - 22 7 +1 8
( 2 ) 2 18-
50
+
1 3
45
= 10 2- 6 3+3 2
= 6 2- 5 2+ 5
= 13 2- 6 3.
第十三页，共十三页。
= 2+ 5.
第七页，共十三页。
例2 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两 个(liǎnɡ ɡè)相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆 的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆 环的宽度 d（π取3.14）.
第八页，共十三页。
解 设大圆和小圆的半径分别(fēnbié)为R，r，面积分别为
第十节课的学习，你有什么收获？
第十二页，共十三页。
内容(nèiróng)总结
5.3 二次根式的加法和减法。因为正方形ABCD 和CEGH 的边长分别(fēnbié)为 和 ，。所以 BE 的长度为。知识点1 二次根式的加减法法则。二次根式化简，然后再将被开方数相同的二次根式 的。有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用.。知识点2 二次根式的加减混合运算。整式 加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则同样适用于二次根式的加减运算.。1. 计算： 。2. 计算：
临漳县五中八年级数学上册 第5章 二次根式5.3 二次根式的加法和减法第1课时 二次根式的加减运算
5.3二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加减运算【知识与技能】1.知道二次根式加减运算的步骤,2.会用合并同类二次根式正确进行二次根式的计算.【过程与方法】经历探究二次根式加减法法则的过程，体会类比的思想方法.【情感态度】通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美. 【教学重点】二次根式的加减法运算.【教学难点】被开方数是分数(式)或含字母的二次根式加减运算.一、情景导入，初步认知1.下列根式中，哪些是最简二次根式？2.计算下列各式：(1)2x+3x (2)3x-2y+y【教学说明】复习整式加减法的内容，为下面探究二次根式加减法的解法做铺垫.二、思考探究，获取新知1.二次根式的加减运算能否依据整式的加减法运算进行？【教学说明】在此过程中，使学生理解掌握二次根式加减法的解法，并体会类比的思想方法.2.如图，是由面积分别为8和18的正方形ABCD和正方形CEGH拼成，求BE的长.3.你能根据上面的计算过程总结二次根式加减法运算的步骤吗？【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望.在二次根式加减法的整个教学环节中，要及时纠正学生的错误认识.三、运用新知，深化理解1.教材P168例1、例2.2.下列二次根式中，能与127合并的二次根式是（B）7.有一艘船在点O 处测得一小岛上的电视塔A 在北偏西60°的方向上，船向西航行20海里到达B 处，测得电视塔在船的西北方向.问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？（结果保留根号）答案：()1031+【教学说明】独立完成，之后相互交流，纠错.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第1、2 题.将法则的教学与整式的加减比较学习.在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.巩固本节内容，作业分层布置，使不同层次学生都有发展和提高.通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美，通过题目练习，复习同类二次根式的概念，温故而知新.3 公式法第1课时用平方差公式进行因式分解【知识与技能】会用平方差公式进行因式分解.【过程与方法】经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性.【情感态度】在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.【教学重点】掌握公式法中的平方差公式进行分解因式.【教学难点】灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式,正确判断因式分解的彻底性.一.情景导入，初步认知填空：（1）（x+5）（x-5）=________；（2）（3x+y）（3x-y）=________；（3）（3m+2n）（3m-2n）=________________它们的结果有什么共同特征？尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：x2－25=________; 9x2－y2=_______; 9m2－4n2=______.【教学说明】对平方差公式进行复习，利于本节课的教学.二.思考探究，获取新知1.观察下列过程，谈谈你的感受.将多项式a2-b2进行因式分解:∵（a+b）(a-b)=a2-b2整式乘法∴a2-b2=（a+b）(a-b)因式分解【归纳结论】整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法.这种分解因式的方法称为运用公式法.2.找特征a2-b2=(a+b)(a-b)(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（）2－（）2的形式.(2)公式右边:（是分解因式的结果）分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.三.运用新知，深化理解1.见教材P99例1、例22.下列多项式能转化成（）2－（）2的形式吗？如果能，请将其转化成（）2－（）2的形式.（1）m2－81=m2－92;（2）1－16b2=12－(4b)2;（3）4m2+9;（4）a2x2－25y2=(ax)2－(5y)2;（5）－x2－25y2.3.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2答案：B4.(x＋1)2－9(x－1)2解：原式=4(2x－1)(2－x)5.将下列各式分解因式（1）a2b2-a2c2=a2（b2-c2）=a2（b+c）（b-c）；（2）-x5y3+x3y5=x3y3（-x2+y2）=x3y3（x+y）（-x+y）（3）（a+b）2-9（a-b）2=［（a+b）+3（a-b）］［（a+b）-3（a-b）］=（a+b+3a-3b）（a+b-3a+3b）=（4a-2b）（4b-2a）=4（2a-b）（2b-a）；（4） p4－1=（p2+1）（p2－1）=(p2+1)(p-1)(p+1).6.若a＋b=2011,a－b=1,求a2－b2的值.解：a2－b2=（a＋b）（a－b）=2011×1=20117.简便计算.(1)5652－4352=（565+435）（565-435）=1000×130=130000.【教学说明】在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现的错误情况.四.师生互动,课堂小结1. 本节课我们主要学习了,运用平方差公式进行因式分解，利用平方差公式时,先判断能否使用平方差公式进行因式分解，判断的依据：1) 是一个二项式（或可看成一个二项式）；2)每项可写成平方的形式；3)两项的符号相反.2.在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，后再用平方差公式分解因式.3.分解因式，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止.五.教学板书布置作业:教材“习题4.4”中第1、2 题.本节课下来能很好地完成了课前设定的目标，学生能利用平方差公式来进行因式分解.学生在课堂上和老师的互动也比较好。
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八年级数学上册第5章二次根式5.3二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加减运算教案1（新版）湘教版
第1课时二次根式的加减运算
1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法法则；
2．掌握二次根式的加减运算．(重点，难点)
一、情境导入
计算：
(1)2x－5x；(2)3a2－a2＋2a2.
上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x换成3，a2换成5，这时上述两小题就成为如下题目：
计算：
(1)23－53；(2)35－5＋2 5.
这时怎样计算呢？
二、合作探究
探究点一：同类二次根式
下列二次根式中与2是同类二次根式的是( )
A.12
B.3 2
C.2
3
D.18
解析：选项A中，12＝23与2被开方数不同，故不是同类二次根式；选项B中，3 2
＝
6
2
与2被开方数不同，故不是同类二次根式；选项C中，
2
3
＝
6
3
与2被开方数不同，
故不是同类二次根式；选项D中，18＝32与2被开方数相同，故是同类二次根式．故选D.
方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式．
探究点二：二次根式的加减
【类型一】二次根式的加法或减法
(1)8＋32； (2)1223＋1332； (3)448－375； (4)1816－32
96. 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．
解：(1)原式＝22＋42＝(2＋4)2＝62；
(2)原式＝166＋166＝(16＋16)6＝63
； (3)原式＝163－153＝(16－15)3＝3；
(4)原式＝1866－32
×46＝36－66＝－3 6. 方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并．
【类型二】 二次根式的加减混合运算
计算：
(1)12－3
3－273
； (2)32
4x －3x 9＋3x 1x ； (3)3123－45＋220－12
60； (4)0.5－2
13－(18－75)． 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．
解：(1)原式＝23－3－3＝0；
(2)原式＝3x －x ＋3x ＝5x ；
(3)原式＝15－35＋45－15＝5；
(4)原式＝22－233－24＋53＝24＋133
3. 方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．
【类型三】 二次根式的加减的实际应用
一个三角形的周长是(23＋32)cm ，其中两边长分别是(3＋2)cm ，(33－
22)cm ，求第三边长．
解析：第三边长等于(23＋32)－(3＋2)－(33－22)，再去括号，合并同类二次根式．
解：第三边长是：(23＋32)－(3＋2)－(33－22)＝23＋32－3－2－33＋22＝(42－23)(cm)．
方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算．
三、板书设计
二次根式的加减：合并同类二次根式
通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习．引导学生归纳总结出二次根式加减运算的两个关键步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②合并同类二次根式．并让学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯．教学过程中，注重数学思想方法的渗透(类比)，培养学生良好的思维品质．。