高中数学一轮复习理数通用版：课时达标检测(三十二) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题含解析

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2021年高考数学一轮复习第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性同步检测文

2021年高考数学一轮复习第3讲二元一次不等式（组）与简单的线性同步检测文一、选择题1．不等式x －2y ＞0表示的平面区域是( )．解析将点(1,0)代入x －2y 得1－2×0＝1＞0. 答案 D2．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0.若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )．A ．14B ．16C ．17D ．19解析线性区域边界上的整点为(3,1)，因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于点(4,1)，3x ＋4y ＝3×4＋4×1＝16；对于点(3,2)，3x ＋4y ＝3×3＋4×2＝17，因此3x ＋4y 的最小值为16. 答案 B 3．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，5) B ．[7，＋∞)C ．[5,7)D ．(－∞，5)∪[7，＋∞)解析画出可行域，知当直线y ＝a 在x －y ＋5＝0与y 轴的交点(0,5)和x －y ＋5＝0与x ＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a <7.答案 C4．设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )． A.256B.83C.113D ．4解析由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b＝12，即a 3＋b 2＝1.∴2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋b 2＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256.答案 A5．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤a a >1，x －y ≤0，若目标函数z ＝x ＋y 取得最大值4，则实数a 的值为( )．A ．4B ．3C ．2D.32解析作出可行域，由题意可知可行域为△ABC 内部及边界，y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A 时，目标函数取得最大值4，此时A 点坐标为(a ，a )，代入得4＝a ＋a ＝2a ，所以a ＝2. 答案 C6．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 ( )． A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元解析设某公司生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，获利为z 元，则x ，y 满足的线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0且y ∈Z ，y ≥0且y ∈Z ，目标函数z ＝300x ＋400y .作出可行域，如图中四边形OABC 的边界及其内部整点．作直线l 0：3x ＋4y ＝0，平移直线l 0经可行域内点B 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，x ＋2y ＝12，得B (4,4)，满足题意，所以z max＝4×300＋4×400＝2 800. 答案 C 二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为________．解析画出可行域，如图所示，将直线y ＝3x －z 移至点A (0,1)处直线在y 轴上截距最大，z min ＝3×0－1＝－1.答案－18．若x ，y 满足约束条件⎝ ⎛x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x－y 的取值范围是________．解析记z ＝x －y ，则y ＝x －z ，所以z 为直线y ＝x －z 在y 轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC 区域所示．结合图形可知，当直线经过点B (1,1)时，x －y 取得最大值0，当直线经过点C (0,3)时，x －y 取得最小值－3.答案 [－3,0]9．设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．解析不等式组确定的平面区域如图阴影部分．设y x ＝t ，则y ＝tx ，求y x的最大值，即求y ＝tx 的斜率的最大值．显然y ＝tx 过A 点时，t 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.代入y ＝tx ，得t ＝32.所以y x 的最大值为32.答案3210．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________．解析目标函数z ＝x ＋my 可变为y ＝－1m x ＋zm，∵m >1，∴－1<－1m <0，z 与zm同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1时，取最大值，∴1m ＋1＋m 2m ＋1<2，又m >1，得1<m <1＋ 2.答案 (1,1＋2) 三、解答题11．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}． (1)求出x ，y 所满足的不等式； (2)画出点(x ，y )所在的平面区域．解 (1)已知条件即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y >0，x ＋1－x －y >y >0，y ＋1－x －y >x >0，化简即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋12<y <－x ＋1，0<y <12，0<x <12.(2)区域如下图．12．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x 、y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点；当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．14．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？项目用量产品工人(名)资金(万元)甲 4 20 乙85解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲－P 乙＝0.25，1－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4. (2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．作直线l 0：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，此时z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.所以，当x ＝2，y ＝3时，z 取最大值为2.5.!fnr0P# 35912 8C48 豈o3GnG。

高三江苏专版数学一轮复习课时作业(33)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.pdf

课题功课时两课时教学目标探究什么是物理学中的功，知道物体做功的两个必要条件，知道功在国际单位制中的单位。

能根据物体做功的两个必要条件判断力对物体是否做功，会用公式计算功的大小。

体会到简单机械给人们带来方便和快捷，能从功的角度理解使用简单机械“省力”和“省距离”之间的辨证关系。

教学重点与难点重点：功的概念和物体做功的两个必要条件；运用公式进行简单的功的计算。

难点：正确判断力是否对物体做功。

教具斜面、小车、砝码、木块、弹簧测力计、刻度尺教学过程互动与反馈第一课时：功的基础知识一、课题引入 1．回顾利用动滑轮提升重物，可以省力，但要费距离；利用定滑轮提升重物，不能省力，但也没有多移动距离。

2．分析杠杆省力与省距离之间的关系。

3．提出有没有既省力又省距离的杠杆？二、探究斜面 1．介绍所要探究的斜面的实验装置，并装配好。

2.提出问题： ⑴需要测量哪些物理量，可以解决我们需要探究的问题？（小车及砝码的重力、匀速拉动小车时的拉力、斜面的长度、斜面的高度） ⑵拉动小车时要注意什么？（平行于斜面，匀速拉动）请学生回答。

由学生先讨论再回答。

3．请同学们设计记录实验数据的表格：测量次数 F/N s/m G/N h/m Fs/(N·m) Gh/ (N·m) ⑴ ⑵ ⑶ 4．进行实验将实验数据纪录在表格中。

5．分析表格中的数据，引导学生得出实验结论。

三、关于功的概念 1．进一步分析实验结论，得出：不考虑摩擦等阻力影响，没有既省力又省距离的机械。

2．指出：力与物体在力的方向上通过的距离的乘积是一个有物理意义的量，物理学中称为机械功，简称功。

3．功的计算公式：W=Fs W表示功，F表示力，s表示物体在力的方向上通过的距离。

4．在国际单位制中，功的单位：焦耳，符号：J 1J=1N·m 功的单位是为了纪念英国物理学家焦耳在科学中的贡献而命名的。

高三数学一轮同步测试二元一次不等式(组)表示的平面区域 Word版含答案

. 二元一次不等式（组）表示的平面区域
．若点(, －)不在二元一次不等式＋－＜所表示的平面区域内，求实数的取
值范围．
．若点(，)和点(，)分别位于直线：－＋＝的两侧，求实数的取值范围．
．不等式－＜所对应的平面区域是(填图象的序号)．
．如果函数的图象与轴有两个交点，则点（，）在平面上的区域（不包含边界及轴）为(填序号)．
．设集合＝{(，)，，－－是三角形的三边长}，则所表示的平面区域
(不含边界的阴影部分)是(填图象的序号)．
① ②
③ ④
① ② ③ ④
．画出下列不等式组表示的平面区域．
（）（）
．用二元一次不等式组表示图中阴影部分．
－＋＝
－－＝
＋－＝
＋－＝
．如图，直线：＝（>）与直线：＝－之间的阴影区域（不含边界）记为，
其左半部分记为，右半部分记为．分别用不等式组表示平面区域和．
．在坐标平面上，求不等式组所表示的平面区域的面积．。

2019版高考新创新一轮复习理数江苏专版课时达标检测三

课时达标检测(三十二）不等式的性质及一元二次不等式[练基础小题——强化运算能力]1．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的序号有________． ①1a ＜1b ；②|a |＞|b |；③a ＋b ＜2ab ；④⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b.解析：∵a ＞b ＞0，∴1a ＜1b ，且|a |＞|b |，a ＋b ＞2ab ，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，∴⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b.答案：①②④2．(2018·启东中学月考)若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．解析：当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．答案：(－3,0]3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，2x 2－7x ＋6＞0的解集是________．解析：∵x 2－4x ＋3＜0，∴1＜x ＜3.又∵2x 2－7x ＋6＞0，∴(x －2)(2x －3)＞0，∴x ＜32或x ＞2，∴原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3)．答案：⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3) 4．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a ＞0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎨⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a＞0，即为－2x 2＋2x ＋12＞0，即x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B ＝________. 解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1＞0得x ＞1，即B ＝{x |x ＞1}，所以A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．答案：{x |1＜x ≤2}2．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的序号是________． ①ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；②a c ＞bc ⇒a ＞b ； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＜0⇒1a ＞1b ；④⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＞0⇒1a ＞1b . 解析：当ac 2＞bc 2时，c 2＞0，所以a ＞b ，故①正确；当c ＜0时，a c ＞bc⇒a ＜b ，故②错误；因为1a －1b ＝b －aab ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＞0，a ＜b 或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＜0，a ＞b ，故④错误，③正确．答案：①③3．已知a ＞0，且a ≠1，m ＝aa 2＋1，n ＝a a ＋1，则m ，n 的大小关系是________．解析：由题易知m ＞0，n ＞0，两式作商，得m n ＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a ＞1时，a (a －1)＞0，所以a a (a－1)＞a 0＝1，即m ＞n ；当0＜a ＜1时，a (a －1)＜0，所以a a (a－1)＞a 0＝1，即m ＞n .综上，对任意的a ＞0，a ≠1，都有m ＞n .答案：m ＞n4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x ＜－1或x ＞3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a ＞0，即a ＜－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4. 答案：[－4，＋∞)5．若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．解析：由Δ＝a 2＋8＞0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 6．(2018·无锡中学模拟)在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎫a c b d ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：由定义知，不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.答案：327．(2018·姜堰中学月考)若关于x 的不等式(2x －1)2＜kx 2的解集中整数恰好有2个，则实数k 的取值范围是________．解析：因为原不等式等价于(－k ＋4)x 2－4x ＋1＜0，从而方程(－k ＋4)x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ＝4k ＞0，且有4－k ＞0，故0＜k ＜4.又原不等式的解集为12＋k ＜x ＜12－k，且14＜12＋k ＜12，则1,2一定为所求的整数解，所以2＜12－k≤3，得k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤94，259. 答案：⎝⎛⎦⎤94，2598．若0＜a ＜1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0，由0＜a ＜1得a ＜1a ，∴a ＜x ＜1a. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a ＜x ＜1a 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为________．解析：若x ＞0，则－x ＜0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2－3x ＜4解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)10．(2018·盐城中学月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝－x 2－3x ，则不等式f (x －1)＞－x ＋4的解集是________．解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x ＞0，f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2－3(x －1)，x －1≤0，(x －1)2－3(x －1)，x －1＞0，即f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x ＞1，所以不等式f (x －1)＞－x ＋4可化为⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2＞－x ＋4，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋4＞－x ＋4，x ＞1，解得x ＞4. 答案：(4，＋∞) 二、解答题11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3. ∴不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}． (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3. 12．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x ＞0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f (x )x的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“对任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞.。

高考数学大一轮温习6.3二元一次不等式组与简单的线性计划问题课时作业理

课时作业39 二元一次不等式(组)与简单的线性计划问题一、选择题1．(2014·广东卷)若变量x ，y 知足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值别离为m 和n ，则m －n ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：画出如图阴影部份所示的可行域，易知z ＝2x ＋y 在点(2，－1)与(－1，－1)处别离取得最大值m ＝3和最小值n ＝－3，∴m －n ＝6，选C.答案：C2．(2014·湖北卷)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0肯定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2肯定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机抽取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )解析：由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部份的面积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P＝742＝78，选D.答案：D3．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封锁区域，则2x－y的最小值是( ) A．－6 B．－2C．0 D．2解析：由题中条件画出封锁区域如图中阴影部份所示．结合图形知，z＝2x－y在A(－2,2)处取得最小值，且z min＝2×(－2)－2＝－6.答案：A4．(2014·安徽卷)x，y知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )或－1 B．2或12C．2或1 D．2或－1解析：画出如图阴影部份所示的可行域，z＝y－ax表示的直线向上移动取到最大值，z ＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则当a>0时，z＝y－ax与2x－y＋2＝0平行．所以a ＝2，而当a<0时，z＝y－ax与x＋y－2＝0平行，所以a＝－1，综上a＝2或－1.答案：D5．(2014·福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49解析：由题意，画出可行域Ω，圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.所以圆心在直线y ＝1上，求得与直线x －y ＋3＝0，x ＋y －7＝0的两交点坐标别离为A (－2,1)，B (6,1)，所以a ∈[－2,6]．所以a 2＋b 2＝a 2＋1∈[1,37]，所以a 2＋b 2的最大值为37.故选C. 答案：C6．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量别离为36人和60人，租金别离为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：设旅行社租A 型车x 辆，B 型车y 辆，租金为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y ＝800(2x＋3y )．由题中条件可得约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ∈N 36x ＋60y ≥900x ＋y ≤21y －x ≤7据此画出可行域如图中阴影部份区域内的整数点．令z ′＝2x ＋3y ，结合图形知z ′＝2x ＋3y 在A (5,12)处取得最小值，且最小值为2×5＋3×12＝46，∴z 的最小值为800×46＝36 800.答案：C 二、填空题7．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，2x ＋y≤6，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是________．解析：平面区域如图中的阴影部份，直线2x ＋y ＝6交x 轴于点A (3,0)，交直线x ＝1于点B (1,4)，当直线x ＋y ＝a 与直线2x ＋y ＝6的交点在线段AB (不包括线段端点)上时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形．将点A 的坐标代入直线x ＋y ＝a 的方程得3＋0＝a ，即a ＝3，将点B 的坐标代入直线x ＋y ＝a 的方程得a ＝1＋4＝5，故实数a 的取值范围是(3,5)．答案：(3,5)8．若变量x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则x ＋y 的最大值为________．解析：由题中约束条件画出可行域如图中阴影部份所示．结合图形知，z ＝x ＋y 在A (4,2)处取得最大值，且z max ＝4＋2＝6. 答案：69．实数x ，y 知足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部份所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：21 三、解答题10．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为极点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程别离为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为：⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)按照题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，得a 的取值范围是－18<a <14. 故a 的取值范围是(－18,14)．11．变量x ，y 知足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图阴影部份所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝5－(－3)＝8.∴16≤z ≤64.1．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所肯定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为( )D ．1解析：在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →|＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 别离为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图：因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55，故选A.答案：A2．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 知足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3解析：由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos〈OA →，OB →〉＝2知〈OA →，OB →〉＝π3.不妨设OA →＝(2,0)，OB →＝(1，3)，OP →＝(x ，y )， ∵OP →＝λOA →＋μOB →，∴(x ，y )＝λ(2,0)＋μ(1，3)，则⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝y 3，λ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －y 3.由|λ|＋|μ|≤1得|3x －y |＋|2y |≤2 3. 作可行域如图阴影部份所示．则所求面积S ＝2×12×4×3＝4 3.答案：D3．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共肯定________条不同的直线．解析：由区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，画出可行域如图阴影部份所示．经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在A (0,1)处取得最小值，在线段BC 处取得最大值，而集合T 表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整数点，在取最大值时线段BC 上共有5个整点，别离为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T 中的点共肯定6条不同的直线．答案：64．已知实数x ，y 知足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，则x 2y的最小值是________．解析：可行域如图阴影部份所示，令x 2y ＝k ，所以y ＝x 2k.当k <0时抛物线的开口向下，不合条件．当k >0时，有两种情况：当k 取最小值即抛物线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.所以x 2y 的最小值是92；当抛物线y ＝x 2k 与直线x －y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫32<x <3相切时，联立方程组消掉y 取得x 2－kx ＋k ＝0，∴Δ＝k 2－4k ＝0，∴k ＝4，此时x 2y 的最小值是4.综上可知x 2y的最小值是4.答案：4。

2017届一轮复习全国通用二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件

主干知识回顾
2 , ��+2 2�� + ��+2
2
故 �� 2,
2 2�� , + ��+2 ��+2
2 .
2 2 , 2 2
而以线段��为直径的圆的圆心为�� 即
2 2 ��+2 2
, 所以有|��| ≤ 1,
第六章
第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
主干知识回顾
名师考点精讲综合能力提升
-5-
4.线性规划的相关概念及其解法
(1)线性规划的相关概念
名称目标函数约束条件可行解可行域最优解线性规划问题意义欲求最大值或最小值的函数目标函数中的变量所要满足的不等式组满足约束条件的解所有可行解组成的集合使目标函数取得最大值或最小值的可行解在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题
�� 距的最值间接求出 ��
z 的最值.要注意:当 b>0 时,y
��
�� 轴上的截距取 ��
最大值时,z 也取最大值;y 轴上的截距取最小值时,z 也取最小值. 当 b<0 时,y 轴上的截距取最大值时,z 取最小值;y 轴上的截距取最小值时,z 取最大值. ③求:求出使 z 取最值的点的坐标及 z 的最值; ④答:得到答案.
满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.

高考数学一轮复习第六章第2课时二元一次不等式课时作业理新人教版

第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的.我们把直线画成虚线以表示区域边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应边界直线,则把边界直线画成.(2)由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C所得到实数的符号都,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由Ax0+By0+C的即可判断Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.基础自测指点迷津◆区域的确定方法确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”的方法.◆两个注意(1)注意边界的虚实.◆线性规划应用的四步利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是:(1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形;(3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解;(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.考点透析【方法总结】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.变式训练考向二简单的线性规划问题(4)表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率值.变式训练考向三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克,B原料2千克.生产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司可获得的最大利润是().A..800元B..400元C..800元D..100元【审题视点】设甲产品x桶,乙产品y桶,根据题意列约束条件和目标函数,利用线性规划求解.【方法总结】 1.线性规划的实际应用问题的解法.线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,转化为简单的线性规划问题.2.求解步骤.(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所在的平行直线系中过原点的那一条直线l;(2)平移——将l平行移动,以确定最优解的对应点A的位置;(3)求值——解方程组求出点A的坐标(即最优解),代入目标函数,即可求出最值.变式训练3.某农户计划年产量/亩年种植成本/亩每吨售价种植黄瓜和韭为使一年的种值总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为().A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50真题体验参考答案与解析知识梳理1.(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2.一次最大值最小值一次线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值[基础自测]1.B2.A3.B4.-5<m<105.5【感悟考点透析】【例1】不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示,S△ABC=S△ABD+S△BCD=×2×(2+2)=4.变式训练经典考题真题体验。

高考数学一轮复习第六章第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题课时规范练文含解析北师大版

第六章不等式、推理与证明第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练 A 组——基础对点练1．下列各点中，与点(2，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3)D ．(2，－3)解析：点(2，2)使x ＋y －1＞0，点(－1，3)使x ＋y －1＞0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．答案：C2．(2020·铁岭模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，3x －y ＋1≥0，x －y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为(0，1)，(1，0)，(－1，－2)，验证知当直线z ＝2x ＋y 过点A (1，0)时，z 最大是2. 答案：B3．(2020·大连模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞B ．(0，1]C.⎣⎡⎦⎤1，43D．(0，1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析：不等式组⎩⎨⎧x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求得A，B两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1，0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是0＜a≤1或a≥43.答案：D4．若函数y＝log2x的图像上存在点(x，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3≤0，2x－y＋2≥0，y≥m，则实数m的最大值为()A.12B．1C.32D．2解析：如图，作出不等式组表示的可行域，当函数y＝log2x的图像过点(2，1)时，实数m有最大值1.答案：B5．(2020·石家庄模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，x －4y ≤0，x －y ＋3≥0则下列目标函数中，在点(4，1)处取得最大值的是( ) A ．z＝15x －yB ．z ＝－3x ＋yC ．z ＝15x ＋yD ．z ＝3x －y解析：画⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，x －4y ≤0，x －y ＋3≥0的线性区域，求得A ，B ，C 三点坐标为(4，1)、(1，4)、(－4，－1)，由于只在(4，1)处取得最大值，否定A 、B 、C.答案：D6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则m >－1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m )．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝⎛⎭⎫23－43m ，23＋23m . 因为S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )·⎣⎡⎦⎤（1＋m ）－⎝⎛⎭⎫23＋23m ＝13(m ＋1)2＝43，所以m ＝1或m ＝－3(舍去)，故选B. 答案：B7．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝y －1x ＋3的最大值为( )A ．2B ．3C ．－23D ．－53解析：作出可行域(图略)，问题转化为区域上哪一点与点M (－3，1)连线斜率最大，观察知点A ⎝⎛⎭⎫－52，52使k MA 最大，z max ＝k MA ＝52－1－52＋3＝3. 答案：B8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：法一：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0对应的平面区域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15，选A.法二：易求可行域顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15，9，故最小值为－15. 答案：A9．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为________．解析：直线kx －y ＋1＝0过点(0，1)，要使不等式组表示的区域为等腰直角三角形，只有直线kx －y ＋1＝0垂直于y 轴(如图(1))或与直线x ＋y ＝0垂直(如图(2))时才符合题意．所以S ＝12×1×1＝12或S ＝12× 22×22＝14.答案：12或1410．(2020·兰州诊断)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥03x ＋4y ≥4，y ≥0则x 2＋y 2的最小值是________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示，x 2＋y 2表示平面区域内的点到坐标原点的距离的平方．由题意知，当以原点为圆心的圆与直线3x ＋4y －4＝0相切时，x 2＋y 2取得最小值，即x2＋y 2＝|－4|5＝45，所以(x 2＋y 2)min ＝1625.答案：1625B 组——素养提升练11．(2020·太原模拟)已知点(x ，y )所在的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为( )A ．4B ．14C.53D ．35解析：因为目标函数z ＝ax ＋y ，所以y ＝－ax ＋z ，易知z 是直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距．分析知当直线y ＝－ax ＋z 的斜率与直线AC 的斜率相等时，目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数多个，此时－a ＝225－21－5＝－35，即a ＝35，故选D.答案：D12．(2020·开封模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝(12)x －2y 的最大值是( )A.132 B ．116C ．32D ．64解析：法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u ＝x －2y ，由图知，当直线u ＝x －2y 经过点A (1，3)时，u 取得最小值，即u min ＝1－2×3＝－5，此时z ＝(12)x －2y取得最大值，即z max ＝(12)－5＝32，故选C.法二：由题易知z ＝(12)x －2y 的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出顶点A ，B ，C 的坐标分别代入z ＝(12)x －2y，即可求得最大值．联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋2＝0，解得A (1，3)，代入可得z ＝32；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y ＋2＝0，解得B (1，－32)，代入可得z ＝116；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋2y ＋2＝0，解得C (－2，0)，代入可得z ＝4.通过比较可知，在点A (1，3)处，z ＝(12)x －2y 取得最大值32，故选C.答案：C13．(2020·福州模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，x ＋2y ≤2的解集记为D .有下面四个命题：p 1：任意(x ，y )∈D ，x －2y ≥2； p 2：存在(x ，y )∈D ，x －2y ≥3； p 3：任意(x ，y )∈D ，x －2y ≥23；p 4：存在(x ，y )∈D ，x －2y ≤－2. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3解析：不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝13，所以M (43，13)．由图可知，当直线z ＝x －2y 过点M (43，13)时，z 取得最小值，且z min ＝43－2×13＝23，所以真命题是p 2，p 3，故选A. 答案：A14．(2020·桂林模拟)若直线ax －y －a ＋3＝0将x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥0，x ＋y －1≥0，x －y ＋1≤0表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z ＝4x －ay 的最大值是( ) A ．－8 B ．2 C ．4D ．8解析：由直线ax －y －a ＋3＝0，得a (x －1)＋(3－y )＝0，此直线恒过点C (1，3)．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥0，x ＋y －1≥0，x －y ＋1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，x －y ＋1＝0，解得B (3，4)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，x ＋y －1＝0，解得A (－1，2)，可得C (1，3)是AB 的中点．若直线ax －y －a ＋3＝0将阴影部分所表示的平面区域分成面积相等的两部分，则直线过顶点M (0，1)．将M (0，1)代入ax －y －a ＋3＝0，解得a ＝2.z ＝4x －ay ＝4x －2y ，即y ＝2x －z2.易知当y ＝2x －z2经过点B 时，目标函数取得最大值，且最大值为4×3－2×4＝4.故选C.答案：C15．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝x ＋y ＋2x ＋1的范围是__________．解析：画出满足条件的平面区域，如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x ＋2y －5＝0，解得A (1，2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，x ＋2y －5＝0，解得B (3，1)，而z ＝x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，而z ＝y ＋1x ＋1的几何意义表示过平面区域内的点与C (－1，－1)的直线的斜率，显然直线AC 斜率最大，直线BC 斜率最小，k AC ＝2＋11＋1＝32，k BC ＝1＋13＋1＝12，所以z ＝x ＋y ＋2x ＋1的最大值是1＋32＝52，最小值为1＋12＝32.答案：⎣⎡⎦⎤32，5216．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________.甲乙原料限额 A (吨)3212B(吨)128解析：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x＋2y≤12，x＋2y≤8，x≥0，y≥0，目标函数为z＝3x＋4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．由z＝3x＋4y得y＝－34x＋z4，平移直线y＝－34x＋z4，由图像可知当直线y＝－34x＋z4经过点A时，直线y＝－34x＋z4在y轴上的截距最大，此时z最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x＋2y＝12，x＋2y＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝3，即A点的坐标为(2，3)，所以z max＝3x＋4y＝6＋12＝18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元．答案：18万元。

2020版高考数学(理科)北师大版一轮复习课时规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

课时规范练32二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固组1.若点(m,1)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域内,则m的取值范围是()A.m≥1B.m≤1C.m<1D.m>12.(2018安徽六安舒城中学仿真(三),3)若x,y满足则z=x+2y的最大值为()A.8B.7C.2D.13.(2018广东阳春一中模拟,4)若实数x,y满足不等式组则z=x2+y2的取值范围是()A.,2B.[0,2]C.D.[0,]4.(2018吉林长春高三质监(二),6)已知动点M(x,y)满足线性条件定点N(3,1),则直线MN斜率的最大值为()A.1B.2C.3D.45.(2018山东临沂沂水一中三模,11)已知实数x,y满足的取值范围为()A.-3,B.-3,C.-3,D.-6.(2018宁夏银川四模,6)已知实数x,y满足的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1]C.[1,+∞)D.,+∞7.(2018江西南昌联考,9)已知实数x,y满足:若目标函数z=ax+y(其中a为常数)仅在处取得最大值,则a的取值范围是()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(0,1)D.{-1,1}8.(2018江苏南通联考)已知实数x,y满足且(k-1)x-y+k-2≥0恒成立,则实数k的最小值是.9.(2018福建三明质检,15)若直线ax+y=0将平面区域Ω=划分成面积为1∶2的两部分,则实数a的值等于.10.(2018云南红河一模,14)已知则z=2x-y的取值范围是.11.(2018北京海淀区二模,13)A,B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个校区每位同学的往返车费及服务老人的人数如下表:根据安排,去敬老院的往返总车费不能超过37元,且B小区参加献爱心活动的同学比A小区的同学至少多1人,则接受服务的老人最多有人.综合提升组12.(2018江西南昌二模,6)已知点P(m,n)在不等式组表示的平面区域内,则实数m的取值范围是()A.[-5,5]B.[-5,-5]C.[-5,1]D.[-5,1]13.(2018江西南昌测试八,5)已知f(x)=x2+ax+b,0≤f(1)≤1,9≤f(-3)≤12,则z=(a+1)2+(b+1)2的最小值为()A. B. C. D.114.(2018山西太原一模,7)已知不等式ax-2by≤2在平面区域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立,则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为()A.4B.8C.16D.3215.(2018江西赣州一联,14)已知平面区域Ω:夹在两条斜率为-2的平行直线之间,则这两条平行直线间的最短距离为.创新应用组16.(2018河南一模,7)设不等式组表示的平面区域为D,若圆C:(x+1) 2+y2=r2(r>0)不经过区域D上的点,则r的取值范围为()A.(0,)∪(,+∞)B.(,+∞)C.(0,)D.[]17.(2018湖北武汉调研,10)若x,y满足|x-1|+2|y+1|≤2,则M=2x2+y2-2x的最小值为()A.-2B.C.4D.-参考答案课时规范练32二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.D由2m+3-5>0,得m>1.2.B作出题设约束条件可行域,如图△ABC内部(含边界),作直线l:x+2y=0,把直线l向上平移,z增加,当l过点B(3,2)时,z=3+2×2=7为最大值.故选B.3.B绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数表示坐标原点到可行域内点的距离的平方,则目标函数在点(0,0)处取得最小值:z min=02+02=0,目标函数在点A(1,1)处取得最大值:z max=12+12=2,故x2+y2的取值范围是[0,2].故选B.4.C画出线性条件表示的可行域,由可得M(2,-2),由可行域可知当M取(2,-2)时,直线MN的斜率最大值为=3,故选C.5.A先作出不等式组对应的可行域,如图所示,解方程组得A,2,=表示可行域内的点(x,y)到原点的直线的斜率,所以当点在A点时,斜率最大==,没有最小值,无限接近直线3x+y-6=0的斜率-3,所以的取值范围为-3,.故选A.6.D的几何意义为可行域内的点到原点的距离,画出可行域,根据几何图像中的距离,结合点到直线的距离公式,即可求出范围.根据题意作出可行域:此区域为开放区域,所以距离可以无限大,由图像可知最近距离为原点到直线x+y-1=0的距离,所以由点到直线距离公式可得:最短距离d==.故选D.7.A构造二次函数f(t)=t2-t,由函数的单调性可知,f(x)≤f(y),得到自变量离轴越远函数值越大,故≤-y,且0≤y≤,得到可行域为如图所示,直线斜率为-a,由图像可得到-1<-a<1即-1<a<1.故选A.8. 4画出表示的可行域,如图,直线(k-1)x-y+k-2=0过定点(-1,-1),若(k-1)x-y+k-2≥0恒成立,可行域在直线下面,当直线过(0,2)时,k-1有最小值=3, k最小值为4,故答案为4.9.或-绘制不等式组表示的平面区域如图所示,由题意可知,该平面区域的面积:S=×OB×AC=×1×2=1,直线ax+y=0的斜率为k=-a,当a<0时,如图所示,联立方程组:可得D,,此时S△OCD=×1×=,解得a=,由对称性可知,a=-也满足题意.综上可得:实数a的值等于或-.10.[-6,2]由z=2x-y⇒y=2x-z,则z表示直线y=2x+b在y轴上截距的相反数.如图,易知当直线过点A 时直线在y轴上的截距最小为-2,z取最大值为2;当直线过点B时直线在y轴上的截距最大为6,z取最小值为-6.所以,z=2x-y的取值范围是[-6,2].11.35设A,B两小区参加活动同学的人数分别为x,y,受到服务的老人人数为z,则z=5x+3y,且作出可行域,如图平移直线z=5x+3y,由图可知,当直线z=5x+3y过点M(4,5)时,z最大,∴当x=4,y=5时,z取得最大值为35,即接受服务的老人最多有35人,故答案为35.12.C作出约束条件所表示的平面区域,如图所示,由解得A(1,7),且点B(-5,0),又因为点P(m,n)在不等式组所表示的平面区域内,所以实数m的取值范围是[-5,1],故选C.13.B因为0≤f(1)≤1,9≤f(-3)≤12,所以作可行域,则z=(a+1)2+(b+1)2,其几何意义是可行域内点到定点A(-1,-1)距离的平方,其最小值为A到直线x+y+1=0距离的平方,即z min=2=,选B.。

河北省高考数学一轮复习：32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

河北省高考数学一轮复习：32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·南阳模拟) 已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A . [﹣1，2]B . [﹣2，1]C . [2，3]D . [﹣1，3]2. （2分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3|x|+y的取值范围为（）A . [-1,5]B . [1, 11]C . [5, 11]D . [-7, 11]3. （2分）已知实数满足，则的最小值为（）A . 2B . 3C . 4D . 54. （2分） (2015高三上·广州期末) 若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+ 分为面积相等的两部分，则k的值是（）A .B .C .D .5. （2分）已知满足约束条件，且的最小值为6.若实数则点落在上述区域内的概率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·宿州期中) 在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A .B .C .D . 27. （2分） (2019高三上·长春期末) 已知点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高三上·太原期末) 已知平面区域D= ，z=3x﹣2y，若命题“∃（x0 ， y0）∈D，z＞m”为假命题，则实数m的最小值为（）A .B .C .D .9. （2分）如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组：表示的平面区域的面积是（）A .B .C . 1D . 210. （2分）分别在区间,内各任取一个实数依次为m,n,则m>n的概率是（）A . 0.3B . 0.667C . 0.7D . 0.71411. （2分）变量x,y满足约束条件，则目标函数z=3x+y-3的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）如果点P在平面区域上，点Q在曲线上，那么的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共8分)13. （2分） (2019高三上·资阳月考) 已知x，y满足，若的最小值为________.14. （1分） (2020高一下·绍兴期末) 已知实数x、y满足，则的最大值为________.15. （2分） (2019高二上·丽水期中) 已知实数x，y满足，则目标函数z=3x+y的最小值是________，最大值是________．16. （1分）(2016·嘉兴模拟) 设，满足约束条件：的可行域为，若存在正实数，使函数的图象经过区域中的点，则这时的取值范围是________．17. （1分）已知满足不等式则的最大值为________．18. （1分）(2018·河北模拟) 已知满足，则的取值范围是________．三、解答题 (共4题；共30分)19. （5分） (2020高二上·黄陵期中) 用平面区域表示下列不等式组.（1）；（2）20. （10分） (2016高一下·海珠期末) 一个化肥厂生产甲种混合肥料1车皮、乙种混合肥料1车皮所需要的主要原料如表：原料磷酸盐（单位：吨）硝酸盐（单位：吨）种类甲420乙220现库存磷酸盐8吨、硝酸盐60吨，计划在此基础上生产若干车皮的甲、乙两种混合肥料．（1）设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数，试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）若生产1车皮甲种肥料，利润为3万元；生产1车皮乙种肥料，利润为2万元．那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，能够产生最大利润？最大利润是多少？21. （5分）北京某商厦计划同时出售空调和洗衣机，由于这两种产品供不应求，因此根据成本、工资确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．通过调查，得到有关数据如下表：试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？22. （10分） (2016高二上·成都期中) 某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如下表：分别用x，y表示搭载新产品A，B的件数．总收益用Z表示（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别搭载新产品A、B各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共8分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：。

高考数学一轮复习第七章不等式第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件理

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(2)对于选项 A，当 m＝－2 时，可行域如图①，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故 A 不正确；
对于选项 B，当 m＝－1 时图②，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故 B 不正确；
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(3)
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a＝0 时，只有 4 个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当 a＝－1 时，正好增加 (－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共 5 个整点．
答案：(1)A (2)B (3)－1
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线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的
双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角函数、概率、解析几何
等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新
颖别致，且主要有以下几个命题角度：
角度一：转化为截距(形如：z＝ax＋by)
[典题 2]
(1)设 x，y 满足约束条件xx＋－y3－y＋7≤1≤0，0， 3x－y－5≥0，
解方程组xx＝－3y＋，5＝0，得 A 点的坐标为(3,8)，代入 z＝(x＋ 1)2＋y2，得 zmax＝(3＋1)2＋82＝80.
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(2)法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y5－4|· 5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线 x＋2y－4＝0 的距离的 5倍．
则 z＝2x－y
的最大值为( )
A．10
B．8
C．3
D．2
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x＋y－2≤0， (2)(2015·新课标全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件x－2y＋1≤0，

2018-2019学年高中一轮复习理数通用版：课时达标检测(三十二) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

课时达标检测（三十二）二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题[小题对点练——点点落实]对点练(一) 二元一次不等式(组)表示的平面区域1．(2018·青岛月考)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3B ．52C ．2D ．2 2解析：选C 因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故|AB |＝2，|AC |＝22，所以其面积为12×|AB |×|AC |＝2.2．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选A 易知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y ＝k (x －1)－1 的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1)．3．(2018·山西临汾一中月考)不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )解析：选C 由y (x ＋y －2)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥0，x ＋y －2≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y (x＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项．4．(2018·河北卓越联盟联考)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( )A ．(－7,24)B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选A 由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以(a ＋7)·(a －24)<0，所以－7<a <24.5．(2018·山东潍坊月考)直线x ＋my ＋1＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y ≥0，x －2≤0表示的平面区域有公共点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤13，43 B ．⎣⎡⎦⎤－43，－13 C.⎣⎡⎦⎤34，3D ．⎣⎡⎦⎤－3，－34 解析：选D 由题意，知直线x ＋my ＋1＝0过定点D (－1,0)，作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示，当m ＝0时，直线为x ＝－1，此时直线和平面区域没有公共点，故m ≠0.x ＋my ＋1＝0的斜截式方程为y ＝－1m x －1m ，斜率k ＝－1m .要使直线和平面区域有公共点，则直线x ＋my ＋1＝0的斜率k >0，即k ＝－1m >0，即m <0，且满足k CD ≤k ≤k AD .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即C (2,1)，CD 的斜率k CD ＝0－1－1－2＝13.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即A (2,4)，AD 的斜率k AD ＝4－02－(－1)＝43，即13≤k ≤43，则13≤－1m ≤43，解得－3≤m ≤－34，故选D.对点练(二) 简单的线性规划问题1．(2018·河南八市重点高中联考)已知△ABC 中，A (1,1)，B (1,3)，C (1＋3，2)，若点(x ，y )在三角形内部(不包含边界)，则z ＝－2x ＋y 的取值范围是( )A ．(－3，－1)B ．(－1,1)C ．(－23，1)D ．(－1，3)解析：选C 如图，画出三角形ABC ，其内部即为可行域．当直线y ＝2x ＋z 经过点B 时，z max ＝－2＋3＝1，经过点C 时，z min ＝－2×(1＋3)＋2＝－2 3.故选C.2．(2017·河南郑州二模)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，且z ＝2x ＋y 的最小值为4，则实数b 的值为( )A ．1B ．2 C.52D ．3解析：选D 作出不等式组表示的平面区域如图阴影所示，由图可知z ＝2x ＋y 在点A 处取得最小值，且由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝4，2x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴A (1,2)．又由题意可知A 在直线y ＝－x ＋b 上， ∴2＝－1＋b ，解得b ＝3，故选D.3．(2018·山东泰安检测)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，已知点A (－1,2)，则直线AM 斜率的最小值为( )A ．－23B ．－2C ．0D ．45解析：选B作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0对应的平面区域如图四边形OBCD 及其内部，其中B (2,0)，C (4,6)，D (0,2)．点A (－1,2)，当M 位于O 时，AM 的斜率最小．此时AM 的斜率k ＝2－0－1－0＝－2，故选B. 4．(2018·四川南充高中模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －7≥0，y －3≤0，则z ＝yx ＋1的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示．z ＝yx ＋1的几何意义是可行域内的点与点D (－1,0)连线的斜率，由图象知直线AD 的斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －7＝0，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以A (1,3)，此时z ＝31＋1＝32，即为要求的最大值．答案：325．(2018·湖北黄石模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，则z ＝x －2y 的最大值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图所示，因为目标函数y ＝x2－z2的斜率小于y ＝x －1的斜率，所以目标函数在点A (1,0)时，纵截距－z2取到最小值，此时z 取到最大值为z ＝1－0＝1.答案：16．(2018·吉林省吉林市普通高中调研)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA ―→·OM ―→的取值范围是________．解析：由题中的线性约束条件作出可行域，如图．其中C (0,2)，B (1,1)，D (1,2)．由z ＝OA ―→·OM ―→＝－x ＋y ，得y ＝x ＋z .由图可知，当直线y ＝x ＋z分别过点C 和B 时，z 分别取得最大值2和最小值0，所以OA ―→·OM ―→的取值范围为[0,2]．答案：[0,2]对点练(三) 线性规划的实际应用1．(2018·江西上饶模拟)甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵．两厂具体收费如下表所示，则组委会定做奖品的费用最低为________元.解析：设甲厂生产一等奖奖品x 件，二等奖奖品y 件，x ，y ∈N ，则乙厂生产一等奖奖品3－x 件，二等奖奖品6－y 件．由题意得x 和y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，3－x ≥0，6－y ≥0，x ∈N ，y ∈N.设所需费用为z 元，则z ＝500x ＋400y ＋800(3－x )＋600(6－y )＝－300x －200y ＋6 000.作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分的整点所示．平移直线－300x －200y ＝0，即y ＝－32x ，由图知当直线z ＝－300x －200y ＋6 000，即y＝－32x ＋30－z 200经过点A 时，直线的纵截距最大，z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即A (3,1)，满足x ∈N ，y ∈N ，所以组委会定做奖品的费用最低为z ＝－300×3－200＋6 000＝4 900，故由甲厂生产一等奖奖品3件，二等奖奖品1件，其余都由乙厂生产，所需费用最低，最低费用为4 900元．答案：4 9002．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y .作出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点M 或其附近的整数点处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700.故最大利润是1 700元．答案：1 700[大题综合练——迁移贯通]1．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域 (包括边界与内部)．如图所示． (1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0，解得－18＜a ＜14. 故a 的取值范围是(－18,14)． 2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，可知z ＝12x －y ＋12，过A (3,4)时取最小值－2，过C (1,0)时取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．3．(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分． (2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。

河北省廊坊市高考数学一轮复习：32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

河北省廊坊市高考数学一轮复习：32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·武邑月考) 已知，、满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（）A .B .C .D .2. （2分）设x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为（）A . 5B . 3C . 7D . -83. （2分）若整数x,y满足，则2x+y的最小值为（）A . 3B . 4C . 5D . 64. （2分） (2017高二上·黑龙江月考) 在"家电下乡"活动中，某厂要将台洗衣机运往邻近的乡镇，现有辆甲型货车和辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用元，可装洗衣机台；每辆乙型货车运输费用元，可装洗衣机台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A . 元B . 元C . 元D . 元5. （2分）已知实数满足，则的取值范围为（）A . （-∞，-3]∪[1，+∞）B . [-3,1]C . （-∞，-4]∪[0，+∞）D . [-4，0]6. （2分）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）设x，y满足不等式若M＝3x＋y，N＝－，则M－N的最小值为（）A .B . －C . 1D . －18. （2分） (2019高二上·四川期中) 已知实数满足，则的最大值是A .B .C . 3D . 59. （2分）已知点P（3，3），Q（3，﹣3），O为坐标原点，动点M（x，y）满足，则点M所构成的平面区域的内切圆和外接圆半径之比为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高三上·西安开学考) 已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（）A . （﹣1，+∞）B . （﹣∞，﹣1）C . （1，+∞）D . （﹣∞，1）11. （2分） (2018高二上·六安月考) 若变量 (x,y)为区域 ,则的最大值是（）A .B .C .D .12. （2分）若实数x，y满足约束条件，则函数z=|x+y+1|的最小值是（）A . 0B . 4C .D .二、填空题 (共6题；共8分)13. （2分）(2018·全国Ⅰ卷理) 若，满足约束条件则的最大值为________.14. （1分）(2018·宣城模拟) 若实数满足，则的取值范围是________15. （2分） (2017高三上·嘉兴期末) 若满足，则的最大值为________．16. （1分）(2016·新课标Ⅱ卷理) 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．17. （1分）(2017·山西模拟) 甲、乙两位打字员在两台电脑上各自输入A，B两种类型的文件的部分文字才能使这两类文件成为成品．已知A文件需要甲输入0.5小时，乙输入0.2小时；B文件需要甲输入0.3小时，乙输入0.6小时．在一个工作日中，甲至多只能输入6小时，乙至多只能输入8小时，A文件每份的利润为60元，B文件每份的利润为80元，则甲、乙两位打字员在一个工作日内获得的最大利润是________元．18. （1分）(2016·嘉兴模拟) 设，满足约束条件：的可行域为，若存在正实数，使函数的图象经过区域中的点，则这时的取值范围是________．三、解答题 (共4题；共30分)19. （5分）（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件（2）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件+=1．20. （10分）某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨)电(千瓦时)A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦时，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？21. （5分）设约束条件所确定的平面区域为D．（1）记平面区域D的面积为S=f（t），试求f（t）的表达式．（2）设向量 =（1，﹣1）， =（2，﹣1），Q（x，y）在平面区域D（含边界）上， =m ，（m，n∈R），当面积S取到最大值时，用x，y表示m+3n，并求m+3n的最大值．22. （10分） (2019高二上·诸暨期末) 电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间.（1）设每周安排连续剧甲次，连续剧乙次，列出，所应该满足的条件；（2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共30分)20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

2020年数学新高考一轮复习(理)课时跟踪检测(六)二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

课时跟踪检测（六）二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题B . 0< z < 5D . z > 5解析：选D 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1不等式组■x + 3y > 4, i3x + y w 4所表示的平面区域的面积等于（4 C.4 解析：选C平面区域如图所示.x + 3y = 4, 解殳得A(1,1),3x + y = 4. 易得 B(0,4), C 0, 3 ,4 8|BC|=4― 3=2 .不等式(x — 2y + 1)(x + y — 3)w 0 )解析：选 C (x - 2y + 1)(x + y — 3)w 0?x — 2y + 1 > 0, 或x + y — 3w 0x — 2y + 1 w 0, x + y — 3 > 0.画出图形可知选 C. 3. （20佃杭州高三质检）若实数x ,y 满足不等式组2x + 3y — 9》0，设 z = x + 2y ,则x — 2y — 1 w 0,z < 03< z < 5 在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示）应是作出直线x + 2y = 0，平移该直线，易知当直线过点 A （3,1）时，z 取得最小值，Z min = 3 +2X 1 = 5,即卩 z >5.4.点（一2, t ）在直线2x — 3y + 6= 0的上方，贝U t 的取值范围是 _______ . 解析：因为直线2x — 3y + 6= 0的上方区域可以用不等式2x — 3y + 6v 0表示，所以由点 2(—2, t)在直线 2x — 3y + 6= 0 的上方得—4— 3t + 6v 0，解得 t >3.答案：|,+^x > 0,5. （2019温州四校联考）若实数x , y 满足约束条件」x + y < 2,则可行域的面积为i2x — y w 2,_______ , z = 2x + y 的最大值为 __________解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示, 所以A 3，3，易得|BC|= 4, 所以可行域的面积S = > 4X 4 =牛由图可知，当目标函数 z = 2x + y 所表示的直线过点 A 3, 2时，Z 取得最大值，且Z max=2x 3+2=10 3 .答案：810 3由 x + y = 2, 2x — y = 2,4x= 3,2—保咼考，全练题型做到咼考达标1,1. （2018金华四校联考）已知实数x, y满足i y< 2x —1, iX+ y w m.小值为一1,则实数m等于（）如果目标函数z= x—y的最A . 7B. 5C . 4D. 3解析：选B 画出x, y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得直线y= 2x—1与直线x + y= m的交点使目标函数z= x—y取得最2点P 关于x 轴的对称点为 P 1(— 1, — 1), |PA|+ |AB|=|P 1B|,过点P 1作直线x + y — 2 = 0的垂线,|— 1 — 1 — 2| r-则|P 1B|的最小值为 =2 2.小值，由 y = 2x — 1, i 解得 x +y = m,m +1 2m — 1 m +1 2m — 1,x = , y = —，代入 x — y =— 1,得— 厂=—1,2.在平面直角坐标系中, 若不等式组x + y — 1 > 0,■x — 1w 0, （a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为（B . 1解析：选D 因为ax — y + 1 = 0的直线恒过点（0,1），故看作直线绕点（0,1）旋转，不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分厶ABC.由题意可求得 A(0,1), B(1,0), C(1, a + 1),•/ S A ABC = 2, BC = |a + 1|, BC 边上的高为 AD = 1, 1 二 S A ABC = 2X|a + 1|X 1 = 2，解得 a =— 5 或 3,•••当a = — 5时，可行域不是一个封闭区域, 当a = 3时，满3. （2017浙江新高考研究联盟）过点P （ — 1,1）的光线经x 轴上点A 反射后，经过不等式 x — 2y + 4 > 0, 组』x + y — 2>0,所表示的平面区域内某点（记为B ）,则|PA|+ |AB|的取值范围是（）A . (2 2, 5) C . [2,5]B . [2 2, 5] D . [2 2, 5) x — 2y +4>0,解析：选B 不等式组1x + y — 2> 0,L 3X + y — 9W 0所表示的平面x — 2y + 4 = 0, 由得 B O (2,3),3x + y — 9 = 0则|P 1B|的最大值为|P 1B o | = R [2+ 1 2+ 3+ 1 2= 5. 故 2 2w |PA|+ |AB|W 5.4. (2018浙江名校联考)设x , y 满足i x + y — 2< 0,[ax — y — a < 0,的值为(B . 0解析：选C 法一：由z = 2x + y 存在最大值，可知a >— 1，显然a = 0不符合题意.作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线 2x + y = 0,平移该直线，易知，当平移到过直线x + y — 2= 0与ax — y — a = 0的交点时，z 取得最大值，由法二：由z = 2x + y 存在最大值，可知 a >— 1,显然a = 0不符合题意.作出不等式组所表示的平面区域，如图 1或图2中阴影部分所示，作直线 2x + y = 0，平移该直线，易知,x + y — 2 = 0, 当平移到过直线 x + y — 2= 0与ax — y —a = 0的交点时，z 取得最大值f ,由722x + y =-,3 x= 2, 代入 ax — y — a = 0,得 a = 1. 5. (2018余杭地区部分学校测试)若函数y = f(x)的图象上的任意一点P 的坐标为(x , y),且满足条件|x|> |y|,则称函数f(x)具有性质S ,那么下列函数中具有性质 S 的是( )若z = 2x + y 的最大值为7，则a「 a + 2 fa + 2x + y — 2 = 0,x= a + 1x = | 彳,丄 1 a+得<把｛ ax — y — a =aa1 y=a + 1 ,|y=a + 1代入 2x + y = 7，得 a = 1.时厂2=0、 M yfl=0 \T M •6vvx = 3, 得把1 | 1 y =2 y = 22xi-y=0 囲1\C国2r x + y — 2> 0,8. (2018金华十校联考)已知实数x , y 满足/x— 3y + 6》0,=|x + 5y — 6|的最大值为 ________ ;当m = _________ 时，x , y 满足的不等式组所表示的平面A . f(x)= e x- 1 B . f(x)= ln(x + 1) 2 C f(x)= sin x D . f(x) = |x — 1|解析：选C 作出不等式|x|> |y 所表示的平面区域如图中阴影部分所示，若函数f(x)具有性质S ,则函数f(x)的图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，易知f(x) = e x — 1的图象分布在区域①和③部分， f(x)=ln(x +1)的图象分布在区域②和④部分，f(x)= sin x 的图象分布在区域①和②部分，f(x)=|x 2— 1|的图象分布在①、②和③部分，故选C.x + 2y — 4w 0,6.当实数x , y 满足x — y — 1w 0,时，1w ax + y w 4恒成立, iX 》1则实数a 的取值范围解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由 K ax + y w 4恒成立，结合图可知，a > 0且在A(1,0)处取得最小值，在B(2,1)处取得最大值'所以a > 1'且2a + K 4,故a 的取值范围是 x — y — 3w 0, 7. (2018金丽衢十二校联考)若实数x , y 满足3x — y — 9>0, ly w 3, 则字的取值范围为解析：作出不等式组所表示的平面区域' 如图中阴影部分所示'辻1的几何意义为可行域内一点(x , y)与点(一1,— 1)连线的斜率,x I I答案：1 4 -4'5当m = 2时，zmx — y — 3w 0 m > f , 10 + 1 1 故由图可知, 取值范围为 3 + 1 4'a x = n =4, 故 F区域的面积为30.X + y - 2 > 0,解析：作出x - 3y + 6 >0,2x -y - 3 w 0易得 A(3,3)，B 舟，3，C(0,2),令 a = x + 5y - 6, 即卩 y = — + 5 + ga ,5 5 5显然当直线过 A(3,3)时，a 取得最大值，此时 a = 12, 当直线过B |, 1时，a 取得最小值，此时a =-8又z = |a|，所以z 的最大值为12. x - 3y + 6= 0,由方程组* 7mx - y - 3 = 0,x + y - 2= 0,由方程组*mx - y - 3 = 0,J 2m — 3 得 m + 1, m+ 1 ,如图，易得D(0,- 3),以m = f 或m =-令舍去).2答案：12 39.已知D 是以点A(4,1) ,B( - 1, - 6) ,C( - 3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部).如图所示.(1) 写出表示区域 D 的不等式组.(2) 设点 B( - 1,- 6), C( - 3,2)在直线 4x - 3y - a = 0 的异侧，求取值范围.解：⑴直线 AB , AC , BC 的方程分别为 7x - 5y - 23= 0, x + 7y - 11 = 0,4x + y + 10 = 0.|7x — 5y - 23< 0, 原点(0,0)在区域D 内，故表示区域 D 的不等式组为x + 7y - 11 w 0,所表示的平面得A '所以 S A A ' B ' C = S A A '1CD 一 S A B ' CD = 2 X 5X3m - 1 m + 1=30,即 9m 2+ 6m - 8 = 0,所4x + y+ 10> 0.(2)根据题意有[4 >< - 1) - 3 ” - 6) - a][ 4 ” - 3) - 3 >2 - a] v 0,即(14-a)( - 18-a)v 0,解得—18v a v 14.故a的取值范围是(一18,14).x + y> 1,10.若x, y满足约束条件(x-y>- 1, -2x - y w 2.1 1(1)求目标函数z= 2x - y+ 2的最值；⑵若目标函数z= ax+ 2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围.解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4), B(0,1), C(1,0).1 1平移初始直线2x- y+ 2 = 0，过A(3,4)取最小值—2,过C(1,0)取最大值1.所以z的最大值为1,最小值为—2.a⑵直线ax+ 2y= z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知—1v- ~v 2，解得—4v a v 2.故所求a的取值范围为(一4,2).三上台阶，自主选做志在冲刺名校y w x，则x + 3y的最大值为1. (2018浙江名校联考)设实数x, y满足泸0,,y w —2x+ 6,________ ；若x2+ 4y2w a恒成立，则实数a的最小值为___________y w x,解析：作出不等式组iy> 0, 所表示的平面区域如图1中阴影部分所示，由图1寻w—2x+ 6可知，当u= x+ 3y过点A(2, 2)时，u= x+ 3y取得最大值U max= 2 + 3> 2= 8.y w x ,2令x = x' , 2y= y'，则原不等式组等价于》’> 0,1 ,电，w - 2x，+ 6,2x ' - V 》0,即y '》0, 作出可行域如图 4x ' + y' — 12W 0,答案：8 20 2.某工厂投资生产 A 产品时，每生产一百吨需要资金 200万元，需场地200 m 2，可获利润300万元；投资生产 B 产品时，每生产一百吨需要资金 300万元，需场地100 m 2，可获利润200万元.现某单位可使用资金 1 400万元，场地900 m 2,问：应做怎样的组合投资，可使获利最大?解：先将题中的数据整理成下表，然后根据此表设未知数，列出约束条件和目标函数资金（百万兀）场地（百平方米）利润（百万兀） A 产品（百吨）2 23 B 产品（百吨）3 1 2限制 14 9 设生产A 产品x 百吨，生产 B 产品y 百吨，利润为 S 百万元,2x + 3y W 14,则约束条件为 2x + y w 9,x 》0, y 》0,目标函数S = 3x + 2y.作出可行域如图阴影部分所示，将目标函数 S = 3x + 2y 变形为y =—+多，这是斜率为—2,随S 变化而变化的一组平行直线.S 是直线在y 轴上的截距.由图知，使3x + 2y 取得最大值的（x,y ）是直线2x + y = 9与2x + 3y = 14的交点（3.25,2.50）, 此时 S = 3X 3.25 + 2X 2.50 = 14.75.•••生产A 产品325吨，生产B 产品250吨时，获利最大，且最大利润为 1 475万元. 2中阴影部分所示，由图2可知，x ' 2+ y ' 2的最大值为原点到点 a 的最小值为20.。

高中一轮复习理数课时达标检测(三十三)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

课时达标检测(三十三）二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题[练基础小题——强化运算能力]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．解析：平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43. 答案：432．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．作直线x ＋2y ＝0并上下平移，易知当直线过点A (0,1)时，z ＝x ＋2y 取最大值，即z max ＝0＋2×1＝2.答案：23．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P (－2，－3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92.答案：924．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.答案：45．(2018·常州月考)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则y －⎝⎛⎭⎫12x的最大值为________．解析：令z ＝y －⎝⎛⎭⎫12x ，作出不等式组对应的区域，作出指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，平移函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，可知当函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋z 的图象经过点A 时z 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＝1，得A (1,1)，所以x ＝y ＝1时，y －⎝⎛⎭⎫12x 取最大值12. 答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018·东台中学月考)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a ＝________.解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，所围成的区域如图所示．则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )，且a ＞－1，∵ S △ABC ＝2，∴ 12(1＋a )×1＝2，解得a ＝3.答案：32．(2018·江苏八市高三质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋c ≥0，目标函数z＝6x ＋2y 的最小值是10，则z 的最大值是________．解析：由z ＝6x ＋2y ，得y ＝－3x ＋z2，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y ＝－3x ＋z2经过点C 时，直线的纵截距最小，即z ＝6x ＋2y 取得最小值10，由⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋2y ＝10，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，即C (2，－1)，将其代入直线方程－2x ＋y ＋c＝0，得c ＝5，即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0，平移直线3x ＋y ＝0，当直线经过点D 时，直线的纵截距最大，此时z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＋5＝0，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即D (3,1)，将点D 的坐标代入目标函数z ＝6x ＋2y ，得z max ＝6×3＋2＝20.答案：203．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4，∴z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．答案：[4，＋∞)4．(2018·安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为________．解析：作出可行域如图所示，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2.答案：⎣⎡⎦⎤－12，2 5．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝________.解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，x ＋y ＝0得C (2，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得D (－1,1)．所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.答案：3 26．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a ＝0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率k ＝－a2＞k AC ＝－1，a ＜2.当a ＜0时，k ＝－a2＜k AB ＝2，∴ a ＞－4.综上可得－4＜a ＜2.答案：(－4,2)7．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________．解析：约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的虚线位置时，m 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝2x 得A 点坐标为(1,2)，∴m的最大值是1.答案：18．(2018·如东中学月考)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1所表示的区域如图所示，由1≤ax ＋y ≤4得，a ≥0，且在(1,0)点取得最小值，在(2,1)取得最大值，故a ≥1,2a ＋1≤4，故a 取值范围为⎣⎡⎦⎤1，32. 答案：⎣⎡⎦⎤1，32 9．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则x ＋y －6x －4的取值范围是________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0表示的平面区域如图所示，因为x ＋y －6x －4＝x －4＋y －2x －4＝1＋y －2x －4，而y －2x －4表示平面区域内的点与点A (4,2)连线的斜率，由图知斜率的最小值为0，最大值为k AB ＝－4－2－3－4＝67，所以1＋y －2x －4的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，137，即x ＋y －6x －4的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，137. 答案：⎣⎡⎦⎤1，137 10．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示． z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：21 二、解答题11．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，可知z ＝12x －y ＋12过A (3,4)时取最小值－2，过C (1,0)时取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．12．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万)甲 70 5 60 乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y . 考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6,3)．所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．。

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课时达标检测（三十二）二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题[小题对点练——点点落实]对点练(一) 二元一次不等式(组)表示的平面区域 1．(·青岛月考)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3B ．52C ．2D ．2 2解析：选C 因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故|AB |＝2，|AC |＝22，所以其面积为12×|AB |×|AC |＝2.2．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选A 易知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y ＝k (x －1)－1 的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1)．3．(·山西临汾一中月考)不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )解析：选C 由y (x ＋y －2)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥0，x ＋y －2≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y (x＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项．4．(·河北卓越联盟联考)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( )A ．(－7,24)B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选A 由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以(a ＋7)·(a －24)<0，所以－7<a <24.5．(·山东潍坊月考)直线x ＋my ＋1＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y ≥0，x －2≤0表示的平面区域有公共点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤13，43 B ．⎣⎡⎦⎤－43，－13 C.⎣⎡⎦⎤34，3D ．⎣⎡⎦⎤－3，－34 解析：选D 由题意，知直线x ＋my ＋1＝0过定点D (－1,0)，作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示，当m ＝0时，直线为x ＝－1，此时直线和平面区域没有公共点，故m ≠0.x ＋my ＋1＝0的斜截式方程为y ＝－1m x －1m ，斜率k ＝－1m .要使直线和平面区域有公共点，则直线x ＋my ＋1＝0的斜率k >0，即k ＝－1m >0，即m <0，且满足k CD ≤k ≤k AD .由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，x －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，即C (2,1)，CD 的斜率k CD ＝0－1－1－2＝13.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即A (2,4)，AD 的斜率k AD ＝4－02－(－1)＝43，即13≤k ≤43，则13≤－1m ≤43，解得－3≤m ≤－34，故选D.对点练(二) 简单的线性规划问题1．(·河南八市重点高中联考)已知△ABC 中，A (1,1)，B (1,3)，C (1＋3，2)，若点(x ，y )在三角形内部(不包含边界)，则z ＝－2x ＋y 的取值范围是( )A ．(－3，－1)B ．(－1,1)C ．(－23，1)D ．(－1，3)解析：选C 如图，画出三角形ABC ，其内部即为可行域．当直线y ＝2x ＋z 经过点B 时，z max ＝－2＋3＝1，经过点C 时，z min ＝－2×(1＋3)＋2＝－2 3.故选C.2．(·河南郑州二模)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，且z ＝2x ＋y 的最小值为4，则实数b 的值为( )A ．1B ．2 C.52D ．3解析：选D 作出不等式组表示的平面区域如图阴影所示，由图可知z ＝2x ＋y 在点A 处取得最小值，且由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝4，2x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴A (1,2)．又由题意可知A 在直线y ＝－x ＋b 上， ∴2＝－1＋b ，解得b ＝3，故选D.3．(·山东泰安检测)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，已知点A (－1,2)，则直线AM 斜率的最小值为( )A ．－23B ．－2C ．0D ．45解析：选B 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0对应的平面区域如图四边形OBCD 及其内部，其中B (2,0)，C (4,6)，D (0,2)．点A (－1,2)，当M 位于O 时，AM 的斜率最小．此时AM 的斜率k ＝2－0－1－0＝－2，故选B.4．(·四川南充高中模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －7≥0，y －3≤0，则z ＝yx ＋1的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示．z ＝yx ＋1的几何意义是可行域内的点与点D (－1,0)连线的斜率，由图象知直线AD 的斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －7＝0，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以A (1,3)，此时z ＝31＋1＝32，即为要求的最大值．答案：325．(·湖北黄石模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，则z ＝x －2y 的最大值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图所示，因为目标函数y ＝x2－z2的斜率小于y ＝x －1的斜率，所以目标函数在点A (1,0)时，纵截距－z2取到最小值，此时z 取到最大值为z ＝1－0＝1.答案：16．(·吉林省吉林市普通高中调研)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA ―→·OM ―→的取值范围是________．解析：由题中的线性约束条件作出可行域，如图．其中C (0,2)，B (1,1)，D (1,2)．由z ＝OA ―→·OM ―→＝－x ＋y ，得y ＝x ＋z .由图可知，当直线y ＝x ＋z 分别过点C 和B 时，z 分别取得最大值2和最小值0，所以OA ―→·OM ―→的取值范围为[0,2]．答案：[0,2]对点练(三) 线性规划的实际应用1．(·江西上饶模拟)甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵．两厂具体收费如下表所示，则组委会定做奖品的费用最低为________元.奖品收费(元/件)工厂一等奖奖品二等奖奖品甲500400乙800600解析：设甲厂生产一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，x，y∈N，则乙厂生产一等奖奖品3－x件，二等奖奖品6－y件．由题意得x和y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤4，3－x≥0，6－y≥0，x∈N，y∈N.设所需费用为z元，则z＝500x＋400y＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x－200y＋6 000.作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分的整点所示．平移直线－300x－200y＝0，即y＝－32x，由图知当直线z＝－300x－200y＋6 000，即y ＝－32x＋30－z200经过点A时，直线的纵截距最大，z最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，x＋y＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝1，即A(3,1)，满足x∈N，y∈N，所以组委会定做奖品的费用最低为z＝－300×3－200＋6 000＝4 900，故由甲厂生产一等奖奖品3件，二等奖奖品1件，其余都由乙厂生产，所需费用最低，最低费用为4 900元．答案：4 9002．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y .作出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点M 或其附近的整数点处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700.故最大利润是1 700元．答案：1 700[大题综合练——迁移贯通]1．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域 (包括边界与内部)．如图所示． (1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0，解得－18＜a ＜14. 故a 的取值范围是(－18,14)． 2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，可知z ＝12x －y ＋12，过A (3,4)时取最小值－2，过C (1,0)时取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．3．(·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料A B C 甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨，种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分． (2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。