求解软土地基一维非单调压缩固结问题的半解析法

z z g mi ( z ) = Ami sin µ i λ m + Bmi cos µ i λ m H H
(7c)
[ Am1 [Ami
Bm1 ] = [1 T Bmi ] = S i Am (i −1)
T
[
0]
T
Bm (i −1)
]
T
i = 2,3,⋅ ⋅ ⋅, n
(5)
至此，对任一时段 k 而言， 往复荷载作用下的单层地基一维非单调压缩固结问题就转化 为常荷载作用下土层数为 n 的成层地基一维线性固结问题， 因而可利用已有成层地基一维 线性固结解析解[8]得出该时段的半解析解。
3.2 半解析解
3.2.1 超静孔压 根据以上半解析法和现有成层地基一维固结解析理论[8]可得 t = tk 时刻土层 i 的超静孔 压 uik, 即：
(4)
由于 ∆tk 很小，可以将 ∆qk 理解为在时段 k 开始时（ tk −1 时刻）瞬时施加的荷载，于是 变荷载固结问题就简化为常荷载瞬时施加的固结问题。 (4) 土层参数确定。在任一时段 k 内（时间间隔为 ∆tk ），第 i 层土的土性参数可视为 常数，其压缩系数 avik 可按该层土中平均有效应力的大小来选取。当平均有效应力大于或等 于该层土历史上所受过的最大平均有效应力 σ i′max 时， 土体处于压缩状态， 压缩系数取为 av ； 当平均有效应力小于 σ i′max 时，该层土处于回弹－再压缩状态，压缩系数则应取为回弹系数
2.2 固结方程
于是，除加载条件和压缩系数外，作与 Terzaghi 一维固结理论相同的假定，就可得到单 层地基一维非单调压缩固结微分方程：
cvi ∂ 2 ui ∂ui = − f (t ) ∂zi2 ∂t i = 1, 2
（2）
式 中 cv1 = kv (1 + e0 ) /(γ w ae ) 为 处 于 状 态 1 的 土 层 （ 简 称 土 层 1 ） 的 固 结 系 数 ；
cv 2 = cv = kv (1 + e0 ) /(γ w av ) 为处于状态 2 的土层（简称土层 2）的固结系数； ae 为回弹－再压
缩系数； av 为压缩系数；e0 为土的初始孔隙比；γw 为水重度； f (t ) = dq / dt 为加载和卸载速 率（正为加载，负为卸载）。 其求解条件为： (1) u1
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建

q (t )
透水
cv1 , ae cv 2 , av
hc H
透水或不透水 图 1 一维非单调压缩固结问题计算模型
q qu q1
0
τ0
τ1
τ2
τ3
τ4
τ5
图 2 荷载与时间关系曲线
3. 非单调压缩固结问题的求解
3.1 半解析法
由于土层 1 和 2 的分界面深度 hc 是关于时间 t 的函数， 因此通过一般的分离变量法或其 他解析方法来求解上述固结方程相当困难。本文采用半解析法对其进行求解，即在文献[7] 研究的基础上，按离散和解析相结合的原则，将土层分成厚度足够小的薄层，同时将土体的 固结过程在时间上划分成足够小的时段， 利用已有解析解[8]获得每个薄层在当前时段的超静 孔压，进而根据该孔压计算有效应力，然后根据有效应力判断各薄土层所处的状态，从而确 定土体处于状态 1 和状态 2 的分界面， 并据此决定下一时段计算中各薄土层应采用的压缩系 数或固结系数。具体步骤如下： (1) 空间离散。 将厚度为 H 的单层地基均匀地划 分为 n 等份，则每一薄土层的厚度
-2-
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建

厚度 （简称为分界面深度，参见图 1），则单层地基一维非单调压缩固结问题实际上就是 上层土厚度（也即分界面深度 hc）随着时间的变化而不断变化的双层地基一维固结问题。
2
2
)+ (B
2
mi
− Ami
2
)(D
i +1
Bi +1 − Ci Ai ) + 2 Ami Bmi ( Ci − D
)
(7b)
β m = λm 2 cv1k / H 2
-4-
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建

1. 引 言
随着我国现代化建设事业的飞速发展，大量的高层建筑、大型储油罐、高速公路、高 速铁路、 机场等大型建筑物和构筑物兴建在东南沿海地区。 这些地区广泛分布着深厚的软粘 土沉积层，具有天然含水量高、孔隙比大、高压缩性、低渗透性等特点。对于这类地基的处 理已经有了多种工程手段，如排水固结法、复合地基等。但是对于在使用期间处于往复性变 化荷载 （如储油罐油面变化对下部地基产生的往复荷载、 高速公路和高速铁路在建成运营过 程中的交通荷载等）作用下的这类地基的变形和固结性状的研究还是很少。 在往复荷载作用下， 由于加荷和卸荷时土体的压缩性不同， 这就引发了非单调压缩固结 问题。虽然固结理论已历经长期的研究和发展，但目前在分析这类问题时还是将加载、卸载 过程中土体的压缩性参数视为同一常数[1-6]，并未与实际情况完全相符。然而，如考虑土体 加荷和卸荷时压缩性的不同， 就必须判别固结过程中哪些土体处于压缩状态？哪些处于回弹 或再压缩状态？对于这一复杂的非单调压缩固结问题，显然难以获得解析解。 本文拟以油罐地基的受荷历程为背景， 在前人工作的基础上， 基于半解析法提出能考虑 土体加载和卸载时压缩系数不同的单层饱和软土地基一维非单调压缩固结半解析解， 并编制 相应的计算程序。
qu τ (tk − tk −1 ) 0 0 ∆qk = qu − q1 − τ − τ (tk − tk −1 ) 2 1 qu − q1 τ − τ (tk − tk −1 ) 2 1
0 < t ≤ τ0 τ 0 < t ≤ τ 1， τ 2 < t ≤ τ 3，τ 4 < t ≤ τ 5 τ1 < t ≤ τ 2 τ3 < t ≤ τ 4

求解软土地基一维非单调压缩固结问题的半解析法1
单君 1，谢康和 1
1 浙江大学岩土工程研究所，杭州（310027）
E-mail：zdkhxie@
摘 要： 研究了往复性变化荷载作用下软土地基一维非单调压缩固结问题。 由于软土在加载 条件和卸载条件下具有不同的压缩特性， 对软土地基一维非单调压缩固结问题难以用解析法 求解， 本文基于现有成层地基一維 线性固结解析理论提出了求解该问题的半解析法， 得到了 相应的半解析解， 编制了计算程序， 并通过与一维单调压缩固结解的对比对半解析解和程序 进行了验证。 关键词：软土；非单调压缩；固结；半解析解 中图分类号：TU435
∆H = H / n 。
(2) 时间离散。 将土体的固结过程在时间上划分成足够小的时段，用 k 表示其中的任 一时段，则 k 时段的步长为 ∆tk = tk − tk −1 ，其中 k ＝1，2，3 ...，。 (3) 荷载离散。 由于时间的离散，作用在地基上的荷载也相应的被离散化，在时间间 隔 ∆tk = tk − tk −1 内，荷载增量可定义为：
(7d)
A B + d iC i Di Si = i i C i B i − d i Ai D i Ai = sin( µi λm
Ai D i − d i C i B i C i D i + d i Ai B i
i = 2,3,⋅ ⋅ ⋅, n
(7e)
zi −1 z ); Bi = sin( µi −1λm i −1 ) H H z z Ci = cos(µi λm i −1 ); Di = cos( µi −1λm i −1 ) H H
ae 。 由于此时该层土在 t = tk −1 时刻的平均有效应力 σ ′i ( k −1) 已知， 因此可用 σ ′i ( k −1) 来判别第 i 层土的应力状态，即： a v avik = ae σ ′i ( k −1) ≥ σ i max σ ′i ( k −1) < σ i max
∆qk = q (tk ) − q(tk −1 )
(tk −1 ≤ t ≤ tk，k = 1，2，3... )
-3-
(3)
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建

由式（1）和 (3) 可得出荷载增量的计算表达式：
2. 非单调压缩固结问题的描述
2.1 计算模型
图 1 为本文所考虑的单层地基一维非单调压缩固结问题的计算模型。 该地基所受的往复 荷载如图 2 所示，其数学表达式见式（1）。
1
本课题得到教育部博士点专项科研基金资助（项目名称：软粘土地基非单调压缩固结理论研究；批准号
20030335027）。 -1-
（1）
由于固结过程中离排水面越近的土体中有效应力变化越快， 离排水面越远的土体中有效 应力变化越慢， 因此在加载、 卸载过程中沿深度方向上土体会因有效应力大小的不同而处于 不同的状态， 即可能处于压缩状态也可能处于回弹－再压缩状态， 从而使得地基中土体由于 荷载的交替变化而分层， 其中一部分土层处于压缩状态， 而另一部分土层则处于回弹－再压 缩状态。例如，在单面排水条件下，虽然卸载前地基中土体均处于压缩状态，但卸载后靠近 排水面的土体一般处于回弹－再压缩状态（简称状态 1），远离排水面的土体则处于压缩状 态（简称状态 2），且两者的分界面随着时间的推移由上往下移动，而重新加载后两者的分 界面又随着时间的增加由下向上移动。 若记 hc 为 t 时刻地基中处于回弹－再压缩状态的土层
(8)
u i ( k −1) 为土层 i 在 tk −1 时刻的平均超静孔压，按下式计算：