第八章.点的合成运动

e
( 2 ) 相对运动的轨迹一定要容易确认.
例三. 图示偏心轮摇杆机构. 已知偏心轮半径为R , 以角速度 绕O 轴转动 , 图示瞬时,OC OO1 , = 60º . 求此瞬时摇杆O1 A 的角速度 1 . ( 参见习 7 – 20 ) A 解: 取轮心C 点为动点, O1A 杆为 动系, 速度分析如图示:
O´ O 三种运动:
M
x
绝对运动 相对运动 牵连运动
y
y´
V0
Ve Va Vr
绝对运动 : 动点M 相对于定系( 地面 ) 的运动. 相对运动 : 动点M 相对于动系的运动. ( 绕动系上O'点的圆周运动 ) 牵连运动 : 动系相对于定系的运动. ( 车厢及轮轴O' 相对于地面 的运动 )
O´ O
任意时刻t , 动点M在 静系、动系的位置关系如图示: y
M
y'
x'
o' 0 x
x xo x cos y sin y yo x sin y cos
x xo x cos y sin
习 7– 1 ( p 188 ) 先求M点的相对运动方程.

A C M
Vr 2
B
Vr 1
V M V1 V r 1 V M V2 V r 2
V1 V r1 V2 V r 2 1 将 ( 1 )沿铅直方向投影: V V cos V sin 1 2 r2 Vr 2 V1 csc V2ctg
合起来便有:



x




d r' Vr r ' dt
~ dVr d Vr 同 理: Vr ar Vr dt dt
d r' Vr r ' dt
( 5 ) 点的加速度合成公式
dVr ar Vr dt
( 3 ) Euler – poisson 公式
设动系绕静系的 z 轴 以 转 动 . 动 系 坐 标 原 点 O' 对 于 静 系 的 原 点 O 的 位 置 矢 量 为ro' i ' , j' , k ' 分 别 为 动 坐 标 系 的 单 矢 位量.
由 Euler 公式
dr r dt
即是,
Va Ve Vr
例一. ( 书上 例 7 – 4 ) P 178 刨床的急回机构如图示. 曲柄OA = r , 以匀角速 ω 绕O轴转动. 设两轴的 间距O O1= l . 求: 当OA 运动到水平位置时摇杆O1 B的角速度1 = ?
Va
B
Ve
O
θ
Vr
取套筒上的A 点为动点, O1B杆为动系, 速度 分析如图所示
当 00
V D y t 0 e
当 00 时, 顶 杆 的 速 度 为 e .
例五 (书上 例7 – 6 ) 矿砂从传送带A 落到另一个传送带B 上. 站在地面上观察 矿砂的速度为V1 = 4m/s , 方向与铅直线成30º . 已知水平传送带B 的传动 速度V2 = 3m/s . 求: 矿砂相对于传送带B 的速度. 解: 取矿砂M 为动点, 传送带B 为动系 A M V2 B V1 30º 速度分析如图示

' i ' x' i ' y ' j ' y' j' z ' k ' z ' k ' x ~ ' ~ ' dr dr ' ' ' ' ' ' x i y j z k r' dt dt
y 我们也可以用建立运动方程的办法来解此题.
A
顶杆为直线平动, 其上任意一点的运动都可代表顶 杆的运动. 我们选择的顶杆上的D 点也代表整体的 运动. ( 选B 点也可以 ) 设OC 线与水平成任意角 = t 建立坐标o y
D R
e
Bห้องสมุดไป่ตู้
C
t
D 点的运动方程为
y R e si nt y e cost
Vr
tg 而
Vr sin 3 3 Vr cos 5
46.10
y
Vr
5 3.6m / s 0 2 cos46.1
例六. ( 习 7 –13 ) 设一小环M 套在两个直杆上. 直杆AB 水平, 以速度V1 沿铅垂方 向向上移动; 直杆CD 与水平成 角, 以速度V2 沿垂直于CD 的方向向左上方 移动, 如图所示. 求: 小环M的速度大小. V1 V2 V2 V1 D 解: 以M 点为动点 , 分别以AB 杆 和CD 杆为动系, 速度分析如 图示 . 则速度合成公式分别有:
y 设某动点M 在动系上作相对运动, 其相对轨迹曲线为 AB , 在t 时刻和 t +Δt 时刻运动的位置如图示 t 时刻: B t +Δt 时刻: B M ´ M1
速度合成定理:
在点的合成运动中,动点在 任意瞬时的绝对速度等于它 的相对速度和牵连速度的矢 量和.
M
(M1 ) A
A x
Va Ve Vr
M
x´ x
▲注意: 动点的牵连速度 和牵连加速度并非为动点 本身所具有, 而是动点的 牵连点的速度和加速度. 牵连点的定义: 在给定瞬时, 与动点重合
动点的绝对速度和绝对加速度:
Va a a
Vr a r
的固连于动系上的点, 称
为该瞬时的牵连点. ‘ 牵连 ’ 一词来源于法文 entrainment





( 2 ) 动系上的相对矢径对时间的相对导数 ( 局部导数 ) 和绝对导数 设动系绕定轴转动. 动点M 沿动系的AB 边运动. y
t 时刻:
y´
M A
r '
M' B
x x´
y
t +t 时刻:
r (r ' )
r'
r1'
x
O ( O´ )
O ( O´)
相对矢径的 绝对导数
速度分析如图示.
Ve OA e tg Va Ve ctg e
Vr

R C
Va
A ω
动点A 的绝对速度 VA Va e
Ve
又, AB杆作平动 , A 点的速度就是 AB 杆的速度 .
O
★ 动点选取的两个原则: ( 1 ) 动点对于动系一定要有相对运动.
z´ y´
可得
d (ro' i ' ) (ro' i ' ) dt
d ro' dt
'

ro'
z
ro'
j
'
k
' x´
O´ O
i
'
同理可有:
di ' i dt
d k' k' dt
y x
d j' j' dt
( 4 ) 相对矢径的绝对导数和相对导数的关系
A
Va r
sin
Ve Va sin
r
θ O1
1
r2 l2 Ve r2 1 2 2 O1 A r l
( 方向如图示 )
例二. 如图所示, 半径为R 偏心距为 e 的凸轮, 以匀角速度ω 绕O 轴转动, 杆 的端点A 始终与凸轮接触. 求图示位置时, AB杆的速度. B 解: 取AB 杆上的A 点为动点, 凸轮为动系.
1 O1
Va 30º
30º
30º Ve60º
Va R Ve Vr Va R

C O
O1C 2 R Ve 1 O1 R 2
( 方向如图示 )
30º
Vr
例四. 习 7 – 10 ( p194) 平底顶杆凸轮机构, 凸轮的半径为R , 偏心距OC = e , 已知凸轮绕O 轴转动的角 速度为 , 求在OC 处水平位置时顶杆的速度. 解: 取凸轮上的C 点为动点 , 平底顶杆为动系
y yo x sin y cos
由已知条件可知, 动系的运动方程为
代入上述公式
xo ve t yo 0 0
0 ve t x 0 a coskt 0 y x v e t y a coskt
相对运动轨迹为:
r' d r lim t 0 t dt
'
这里:
r '
为 相对矢径相对于 静系的改变量.
t +t 时刻:
y
M
t +t 时刻:
r
y´ A
~ ' r
M
r1
这里: 动点M :
(M)
r'
O´ x 这里:
r
' 1
B
O ( O´)
r
~ ' 为 相对矢径相对于 r
动系的改变量.
x´
r
' ' MM' MM1 M1 M'
Vr
M
Va
Ve
M1 ´ A
(M1 ) A
Va
Vr
M
Ve
由在t 时刻的速度的定义:
' ' MM ' MM1 M1 M' lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
注意: 在点的合成运动的速度 分 析中, 无论平行四边形的形状如何 变化, 其对角线的大小方向恒表示 绝对速度, 两邻边分别表示相对速 度和牵连速度.