对数的运算 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
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= log33-1
=-1.
10
解：
11
2. 用lnx , lny , lnz 表示下列各式：
解：(1) lg(xyz)
=lgx+lgy+lgz.
(2)
=lgx+lgy2–lgz
=lgx+2lgy–lgz.
(1) lg(xyz);
= lg(xy2)–lgz
12
(1)利用计算工具求ln2, ln3的近似值;(2)由对数的定义,你能利用ln2, ln3的值求log23的值吗？(3)根据对数的定义, 你能用logca, logcb表示logab(a>0, 且a≠1; b>0, c>0, 且c≠1)吗？
ax =N logaN = x
5
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
设M=am , N=an,
因为aman=am+n, 所以MN=am+n.
根据指数与对数间的关系可得
logaM=m, logaN=n, loga(MN)=m+n.
3
复习回顾
1. 实数指数幂的运算性质
x = logaN ,
其中a叫做对数的底数，N叫做真数 .
2. 对数的定义
3. 两种特殊的对数
(1) 以10为底的对数叫常用对数, 并把
log10N记作lgN .
(2) 以无理数 e (e=2.71828…)为底的对数叫自然对数, 并把
logeN记作lnN .
(1) aras =ar+s (a>0 , r , s∈R);
解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2.
由lgE=4.8+1.5M, 可得
lgE1=4.8+1.5×9.0,
lgE2=4.8+1.5×8.0,
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级, 但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.
16
1.对数的运算法则：
(真数相乘, 对数相加)
如果a>0,且a ≠ 1, M>0, N>0 , 那么
(1) loga(MN)=logaM + logaN.
(3) logaMn = nlogaM (n∈R).
17
课堂总结
2. 对数换底公式 .
对数换底公式的推论：
(a>0, 且a≠1; b>0, c>0, 且c≠1).
(1)
(a>0, 且a≠1; b>0, 且n≠0).
设logab=x, 则ax=b,于是
logcax=logcb.
根据法则(3)得 xlogca=logcb, 即
(a>0, 且a≠1; b>0, c>0, 且c≠1).
上式叫做对数换底公式 .
ln2≈0.6931, ln3 ≈1.0986.
log23
≈1.5851.
13
在4.2.1的问题1中, 求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍, 就是计算x=log1.112的值, 由换底公式, 可得
法2 log3(27×92) = log3(33×34)
(1) log3(27×92);
(2) lg5+lg2;
(4) log35–log315.
真数不是一个数或一个字母时要加括号.
=3log33+4log33
=3+4
=7.
=log337
=7log33
=7.
(4) log35–log315
③如果a>0,且a ≠ 1, M>0,
对数的运算法则的推广：
loga(M1·M2· ··· ·Mn) = logaM1+ logaM2+ ··· + logaMn.
①如果Mi>0 (i∈N*), a>0,且a ≠ 1,则
8
例3 求下列各式的值：
解：(1)
(2) log2(47×25) = log247 + log225
由此可得, 大约经过7年, B地景区的游客人次就达到2001年的2倍.
对数换底公式的推论：
(1)
(a>0, 且a≠1; b>0, 且n≠0).
(2)
(a>0, 且a≠1; b>0, 且m≠0, n∈R).
(3) logab·logba=1
(a>0, 且a≠1; b>0, 且b≠1 ).
例5 尽管目前人类还无法准确预测地震, 但科学家通过研究, 已经对地震有所了解, 例如, 地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为
lgE=4.8+1.5M.
2011年3月11日, 日本东北部海域发生里氏9.0级地震, 它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍？(精确到1)
所以 loga(MN)=logaM + logaN.
仿照上述过程，利用am÷an=am-n和(am)n=amn,
可以自行推出对数运算的其他性质(课后完成).
一、对数的运算性质
6
如果a>0,且a ≠ 1, M>0, N>0 , 那么
(1) loga(MN)=logaM + logaN.
对数的运算法则：
(4) logab·logbc·logcd= logad
(a>0, b>0, c>0, d>0, 且a≠1, b≠1, c≠1).
14
3. 化简下列各式：
(1) log23×log34×log45×log52;
(2) 2(log43+log83)(log32+log92).
解：(1)原式=
15
(真数相除, 对数相减)
(真数乘方, 对数倍数)
课堂总结
②如果a>0,且a ≠ 1, M>0, n , p∈N* ,
③如果a>0,ห้องสมุดไป่ตู้a ≠ 1, M>0,
对数的运算法则的推广：
loga(M1·M2· ··· ·Mn) = logaM1+ logaM2+ ··· + logaMn .
①如果Mi>0(i∈N*), a>0,且a ≠ 1, 则
(3) logaMn = nlogaM (n∈R).
(真数相乘, 对数相加)
(真数相除, 对数相减)
(真数乘方, 对数倍数)
判断下列各式正确与否：
(1) log5[(-2)×(-3)] = log5(-2) + log5(-3);
(4) loga(MN)=logaM + logaN.
7
②如果a>0,且a ≠ 1, M>0, n , p∈N*,
(2)
(a>0, 且a≠1; b>0, 且m≠0, n∈R).
(3) logab·logba=1
(a>0, 且a≠1; b>0, 且b≠1 ).
(4) logab·logbc·logcd= logad
(a>0, b>0, c>0, d>0, 且a≠1, b≠1, c≠1).
=19.
=7log24 + 5log22
=7×2 + 5×1
loga(MN)=logaM + logaN
9
1. 求下列各式的值：
解：(1)法1 log3(27×92)=log327+log392
(2) lg5 + lg2=lg(5×2)
= lg10
=1.
= ln1=0.
=log333+log334
(2) (ar)s =ars (a>0 , r , s∈R);
(3) (ab)r =arbr (a>0 , b>0 , r , s∈R).
4
复习回顾
5. 对数的基本性质
(1) 0和负数没有对数;
(2) loga1=0; logaa=1.
4. 对数与指数之间的关系
(3)对数恒等式：
4.3.2 对数的运算
2
学习目标：
1. 理解对数函数的概念，理解对数的运算性质 .
重点：对数的概念与运算性质 .
难点：运算性质和换底公式的应用 .
核心素养：数学运算、数学建模 .
2. 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 .
3. 了解对数在简化运算中的作用 .
一般地，如果ax=N(a>0 , 且a≠1) , 那么数x叫做以a为底N的对数，记作
=-1.
10
解：
11
2. 用lnx , lny , lnz 表示下列各式：
解：(1) lg(xyz)
=lgx+lgy+lgz.
(2)
=lgx+lgy2–lgz
=lgx+2lgy–lgz.
(1) lg(xyz);
= lg(xy2)–lgz
12
(1)利用计算工具求ln2, ln3的近似值;(2)由对数的定义,你能利用ln2, ln3的值求log23的值吗？(3)根据对数的定义, 你能用logca, logcb表示logab(a>0, 且a≠1; b>0, c>0, 且c≠1)吗？
ax =N logaN = x
5
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
设M=am , N=an,
因为aman=am+n, 所以MN=am+n.
根据指数与对数间的关系可得
logaM=m, logaN=n, loga(MN)=m+n.
3
复习回顾
1. 实数指数幂的运算性质
x = logaN ,
其中a叫做对数的底数，N叫做真数 .
2. 对数的定义
3. 两种特殊的对数
(1) 以10为底的对数叫常用对数, 并把
log10N记作lgN .
(2) 以无理数 e (e=2.71828…)为底的对数叫自然对数, 并把
logeN记作lnN .
(1) aras =ar+s (a>0 , r , s∈R);
解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2.
由lgE=4.8+1.5M, 可得
lgE1=4.8+1.5×9.0,
lgE2=4.8+1.5×8.0,
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级, 但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.
16
1.对数的运算法则：
(真数相乘, 对数相加)
如果a>0,且a ≠ 1, M>0, N>0 , 那么
(1) loga(MN)=logaM + logaN.
(3) logaMn = nlogaM (n∈R).
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课堂总结
2. 对数换底公式 .
对数换底公式的推论：
(a>0, 且a≠1; b>0, c>0, 且c≠1).
(1)
(a>0, 且a≠1; b>0, 且n≠0).
设logab=x, 则ax=b,于是
logcax=logcb.
根据法则(3)得 xlogca=logcb, 即
(a>0, 且a≠1; b>0, c>0, 且c≠1).
上式叫做对数换底公式 .
ln2≈0.6931, ln3 ≈1.0986.
log23
≈1.5851.
13
在4.2.1的问题1中, 求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍, 就是计算x=log1.112的值, 由换底公式, 可得
法2 log3(27×92) = log3(33×34)
(1) log3(27×92);
(2) lg5+lg2;
(4) log35–log315.
真数不是一个数或一个字母时要加括号.
=3log33+4log33
=3+4
=7.
=log337
=7log33
=7.
(4) log35–log315
③如果a>0,且a ≠ 1, M>0,
对数的运算法则的推广：
loga(M1·M2· ··· ·Mn) = logaM1+ logaM2+ ··· + logaMn.
①如果Mi>0 (i∈N*), a>0,且a ≠ 1,则
8
例3 求下列各式的值：
解：(1)
(2) log2(47×25) = log247 + log225
由此可得, 大约经过7年, B地景区的游客人次就达到2001年的2倍.
对数换底公式的推论：
(1)
(a>0, 且a≠1; b>0, 且n≠0).
(2)
(a>0, 且a≠1; b>0, 且m≠0, n∈R).
(3) logab·logba=1
(a>0, 且a≠1; b>0, 且b≠1 ).
例5 尽管目前人类还无法准确预测地震, 但科学家通过研究, 已经对地震有所了解, 例如, 地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为
lgE=4.8+1.5M.
2011年3月11日, 日本东北部海域发生里氏9.0级地震, 它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍？(精确到1)
所以 loga(MN)=logaM + logaN.
仿照上述过程，利用am÷an=am-n和(am)n=amn,
可以自行推出对数运算的其他性质(课后完成).
一、对数的运算性质
6
如果a>0,且a ≠ 1, M>0, N>0 , 那么
(1) loga(MN)=logaM + logaN.
对数的运算法则：
(4) logab·logbc·logcd= logad
(a>0, b>0, c>0, d>0, 且a≠1, b≠1, c≠1).
14
3. 化简下列各式：
(1) log23×log34×log45×log52;
(2) 2(log43+log83)(log32+log92).
解：(1)原式=
15
(真数相除, 对数相减)
(真数乘方, 对数倍数)
课堂总结
②如果a>0,且a ≠ 1, M>0, n , p∈N* ,
③如果a>0,ห้องสมุดไป่ตู้a ≠ 1, M>0,
对数的运算法则的推广：
loga(M1·M2· ··· ·Mn) = logaM1+ logaM2+ ··· + logaMn .
①如果Mi>0(i∈N*), a>0,且a ≠ 1, 则
(3) logaMn = nlogaM (n∈R).
(真数相乘, 对数相加)
(真数相除, 对数相减)
(真数乘方, 对数倍数)
判断下列各式正确与否：
(1) log5[(-2)×(-3)] = log5(-2) + log5(-3);
(4) loga(MN)=logaM + logaN.
7
②如果a>0,且a ≠ 1, M>0, n , p∈N*,
(2)
(a>0, 且a≠1; b>0, 且m≠0, n∈R).
(3) logab·logba=1
(a>0, 且a≠1; b>0, 且b≠1 ).
(4) logab·logbc·logcd= logad
(a>0, b>0, c>0, d>0, 且a≠1, b≠1, c≠1).
=19.
=7log24 + 5log22
=7×2 + 5×1
loga(MN)=logaM + logaN
9
1. 求下列各式的值：
解：(1)法1 log3(27×92)=log327+log392
(2) lg5 + lg2=lg(5×2)
= lg10
=1.
= ln1=0.
=log333+log334
(2) (ar)s =ars (a>0 , r , s∈R);
(3) (ab)r =arbr (a>0 , b>0 , r , s∈R).
4
复习回顾
5. 对数的基本性质
(1) 0和负数没有对数;
(2) loga1=0; logaa=1.
4. 对数与指数之间的关系
(3)对数恒等式：
4.3.2 对数的运算
2
学习目标：
1. 理解对数函数的概念，理解对数的运算性质 .
重点：对数的概念与运算性质 .
难点：运算性质和换底公式的应用 .
核心素养：数学运算、数学建模 .
2. 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 .
3. 了解对数在简化运算中的作用 .
一般地，如果ax=N(a>0 , 且a≠1) , 那么数x叫做以a为底N的对数，记作