《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力

x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
梁的纵向对称平面内。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
4
三、弯曲实例 工厂厂房的天车大梁：
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩） 22
如以右侧梁作为研究对象，则：
FSc q 2a FBy
q
Mc
qa
C
FSc
MC FBy 2a 2qa a M 2
2qa2
M2 2qa2
B
a
FBy
为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。
23
M1 2qa2
q
M2 2qa2
剪力图和弯矩图——用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁 轴线的变化情况。
FS
(+)
(-)
M
(+)
x
注意：必须标明控制 截面上的内力值
(-)
x
40
FAY
MA
L
A
x
F(x)
M(x)
[例] 列出梁内力方程并画出内力图。
F B
解：①求支反力
FAY F ; MA FL ②写出内力方程
Fs (x) FAY F (0 x l)
0 x l
M x＝qx2 / 2 0 x l
x
ql 2 / 2
依方程画出剪力图和弯矩图
由剪力图、弯矩图可见。最
M
ql 2 / 8
大剪力和弯矩分别为
x
FS max＝ql
M max＝ql 2 / 2 42
目录
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
目录
§4-3 剪力和弯矩
一、弯曲内力的确定（截面法）：
[例]已知：如图，F，a，l。
a
F
求：距A端 x 处截面上内力。
A
B 解：①求外力（支座反力）
FAX A
l
X 0 , FAX 0
F B
mA 0 , FBYl Fa 0 Y 0 , FAY F FBY 0
FAY
FBY
FAX =0 以后可省略不求
2. 剪力： Fs 构件受弯时，横截面上存在
平行于截面的内力（剪力）。
FAX A FAY
A FAY
mF B
m x
FBY
Fs
C
M
Fs
F
M C FBY
19
二、弯曲内力的正负号规定:
① 剪力Fs : 左上右下，剪力为正
Fs(+)
Fs(+)
Fs(–)
Fs(–)
② 弯矩M： 左顺右逆，弯矩为正
M(+)
M(+)
n
n
n
n
M M i () M i () M i ( ) M i ( )
i 1
i 1
i 1
i 1
若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上 的力使该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的 力会使该截面上产生负号的弯矩;在此段梁上所有 顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正号的弯 矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上产 生负号的弯矩。
Fa
F (l a)
FBY l , FAY l
目录
②求内力
m FAX A
FAY
x
m
A
Fs
C
FAY
Fs
M C
F B
FBY
M F
研究对象：m - m 截面的左段：
Y 0, FAY Fs 0.
F (l a)
Fs FAY l
mC 0, M FAY x 0.
M
FAY x
F(l a) l
FBy 7KN
FAy 3KN
2、求D左、D右、B左、B右截面上的内力?
28
M0 8KN.m
A D
1m 1m
FAy
q=2KN/m
P=2KN
B
2m FBy 1m
C
1m
D左截面：
FSD左 Fy (左侧) FAy 3KN
M D左 M D (左侧) FAy 1
3KN.m 29
M0 8KN.m
线。
FBY
集中力作用处剪力图有突变，变 化值等于集中力的大小；弯矩图 上无突变，但斜率发生突变，折 x 角点。
x
44
目录
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
例题4-4
a
A x1
FAY
M /l
b
图示简支梁C点受集中力偶作用。
M
试写出剪力和弯矩方程，并画
C
B x2
出剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力
左上右下为正
M Mo (一侧)
左顺右逆为正
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 向截面形心简化所得到的主矢。
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 （力和力偶）向截面形心简化所得 到的主矩。
26
例题 一外伸梁受力如图所示。试求D、B截面上的内力。
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A D
FAy 1m
F F
5
起重机大梁
6
目录
车削工件
7
目录
火车轮轴
8
目录
火车的轮轴：
F
F
F
F
9
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
10
§4-2 受弯杆件的简化
一、梁支座的简化
a)滑动铰支座
b)固定铰支座
c)固定端
MR
FR
FRx
FRx
FRy
FRy
目录
二、载荷的简化
(a)集中荷载
பைடு நூலகம்F1
集中力
M
(b)分布荷载
q(x)
q
集中力偶
A D
1m 1m
FAy
q=2KN/m
P=2KN
B
2m FBy 1m
C
1m
D右截面：
FSD右 Fy (右侧) FAy 3KN
M D右 M D (右侧) FAy 1 M o 3 8
5KN m 30
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A D
1m 1m
FAy
B
2m FBy 1m
35
(5)集中力作用的截面上剪力有“跳跃” （突变），其跳跃的值就是这个集中力的 大小；集中力偶作用的截面上弯矩有”跳 跃”，其跳跃的值就是这个集中力偶的大 小．
36
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
1 剪力方程与弯矩方程 在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。
M0 8KN.m A
1m
B
FBy
2m
1m
C
1m
解： 1、根据平衡条件求支座反力
MA 0
FBy 7KN
MB 0
FAy 3KN
2、求B、D截面上的内力?
27
例题 一外伸梁受力如图所示。试求D左、D右、B左、B右截面
上的内力。 M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A D
FAy 1m
1m
B
FBy
2m
1m
C
1m
解： 1、根据平衡条件已求出支座反力
38
3 控制截面的概念 所谓控制截面,即外力规律发生变化的截面—集中力、集中
力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。
M0 8KN.m
A E
1m
1m
FAy
q=2KN/m
B
2m FBy 1m
P=2KN
F D
1m
因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的分界 点为各段梁的控制截面。
39
4 剪力图和弯矩图
E
q=2KN/m
C
B
P=2KN
F D
1m
1m
2m
1m
1m
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即
FS FS (x),
M M (x) 称为剪力方程和弯矩方程
37
2 内力与外力的相依关系
某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外 力相平衡；
在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变 化；
a
FBy
取左段梁为研究对象:
取右段梁为研究对象:
M C FAy 2a 2qa a M1 MC FBy 2a 2qa a M 2
2qa2
左顺右逆为正
2qa2
M Mo (一侧)
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和 力偶）向截面形心简化所得到的主矩。
25
FS Fy (一侧)
C
1m
B左截面：
FSB左 Fy (左侧) FAy q 3 3KN
M B左
M
B
(左侧)
FAy
4
M
0
q
3
3 2
5KN.m
31
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A D
B
C
1m 1m
FAy
B右截面：
2m FBy 1m
1m
与 B左截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FBy，故有：
面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数
和。
n
n
FS Fi () Fi ()
i 1
i 1
若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外 力会使该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外 力会使该截面上产生负号的剪力。
34
（4）梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面 左边（或右边）所有外力（包括力偶）对于这个 截面形心的力矩的代数和。
Fa / l
Fab / l
M
例题4-3
图示简支梁C点受集中力作用。
B
试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力
FBY
M A＝0， M B＝0
FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l
2．写出剪力和弯矩方程
x AC FS x1＝Fb / l 0 x1 a
M x1＝Fbx1 / l 0 x1 a
l
FBY
M A＝0， M B＝0
FAy＝M / l FBy＝ -M / l
2．写出剪力和弯矩方程
Ma / l
Mb / l
AC FS x1＝M / l 0 x1 a
M x1＝Mx1 / l 0 x1 a
CB FS x2 ＝M / l 0 x2 b
CB FS x2 ＝ Fa / l a x2 l
M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
x 3. 依方程画出剪力图和弯矩图43。
目录
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab / l
M
在某一段上若无载荷作用，剪力 B 图为一水平线，弯矩图为一斜直
FSB右 FSB左 FBy 3 7 4KN
M B右 M B左 FBy 0 M B左 5KN.m
亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。
32
四、小结(基本规律)
（1）求指定截面上的内力时，既可取梁的左段 为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果 一致（方向、转向相反）。一般取外力比较简单 的一段进行分析。
任意分布荷载
均布荷载
12
三、静定梁的分类（三种基本形式）
q(x)— 分布力 1、悬臂梁：
2、简支梁：
L M — 集中力偶
3、外伸梁：
L q — 均布力
F — 集中力
L
L
13
（L称为梁的跨长）
§4-2 受弯杆件的简化
火车轮轴简化
目录
§4-2 受弯杆件的简化
目录
§4-2 受弯杆件的简化
吊车大梁简化
第四章 弯曲内力
目录
第四章 弯曲内力
❖ §4-1 ❖ §4-2 ❖ §4-3 ❖ §4-4
❖ §4-5 ❖ §4-6
弯曲的概念和实例 受弯杆件的简化 剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 平面曲杆的弯曲内力
目录
一、弯曲的概念： 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
M(–)
M(–)
20
三、求指定截面上的剪力和弯矩
例题 一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）上的内力。
M1 2qa2 q
M 2 2qa2
A C
FAy
a
4a
B
a
FBy
解：1、根据平衡条件求支座反力
MA 0
FBy 3qa
MB 0
FAy qa
21
2、求C截面（跨中截面）上的内力
M1 2qa2 q
（2）在解题时，一般在需要内力的截面上把内
力（FS 、M）假设为正号。最后计算结果是正，则
表示假设的内力方向（转向）是正确的，解得的
FS、M即为正的剪力和弯矩。若计算结果为负，则
表示该截面上的剪力和弯矩均是负的，其方向 （转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体 图上假设的内力方向改过来）。
33
（3）梁内任一截面上的剪力FS的大小，等于这截
A
B
C
FAy
a
4a
a
FBy
取左段梁为研究对象:
取右段梁为研究对象:
FSc FAy q 2a qa
FSc q 2a FBy qa
左上右下为正
FS Fy (一侧)
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 向截面形心简化所得到的主矢。