安徽中考数学总复习教学案：第一章数与式

第一章数与式
第一章数与式第1讲实数及其运算
～安徽中考命题分析安徽中考命题预测
预测安徽省中考仍将主要
考查：有理数、数轴、相
反数、绝对值、平方根、
算数平方根、立方根、无
理数、实数、近似数等的
相关概念；有理数的加、
减、乘方运算；有理数的
大小比较，用科学记数法
表示数等．题型多以选择
题、填空题为主，偶尔也
有解答题出现，但难度都
属于基础题的要求．科学
记数法、实数的运算，都
是安徽中考的重点考查对
象，要求考生熟练掌握.
年份考察内容题型题
号
分
值
有理数的乘法选择题14
科学记数法填空题115
倒数选择题14科学记数法选择题24
有理数的加法选择题14
科学记数法填空题11 5
1．实数的有关概念
(1)数轴：规定了__原点__，__正方向__和__单位长度__的直线叫做数轴，数轴上所有
的点与全体__实数__一一对应．
(2)相反数：只有__符号__不同，而__绝对值__相同的两个数称为互为相反数．a ，b 互为相反数⇔a ＋b ＝__0__．
(3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的__商__，叫做这个数的倒数．a ，b 互为倒数⇔ab ＝__1__．
(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离开原点的__距离__，叫做这个数的绝对值．
|a |＝⎩⎨⎧ a ，（a ＞0） 0 ，（a ＝0） －a ，（a ＜0）
|a |是一个非负数，即|a |__≥0__． (5)科学记数法，近似数：
科学记数法就是把一个数表示成__±a ×10n __(1≤a ＜10，n 是整数)的形式；一个近似数，__四舍五入__到哪一位，就说这个数精确到哪一位．
(6)平方根，算术平方根，立方根：
如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，记作__x ＝±a __；正数a 的正的平方根，叫做这个数的算术平方根；如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，记作__x ＝3
a __.
(7)识记：
112＝________，122＝________，132＝________，142＝________，152＝________，162＝________，172＝________，182＝________，192＝________，202＝________，212＝________，222＝__________，232＝________，242＝________，252＝__________．
13＝________，23＝________，33＝__________，43＝________，53＝________，63＝__________，73＝________，83＝________，93＝__________，103＝________．
2．实数的分类
按实数的定义分类：
实数⎩⎪⎪
⎨⎪⎪⎧ 有理数
⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬
⎪⎫整数⎩⎨⎧ ⎭⎪⎬⎪
⎫ 正整数 零 自然数负整数分数⎩
⎪⎨⎪
⎧ 正分数
负分数
有限小数或无限循环小数
无理数⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫ 正无理数
负无理数 无限不循环小数
根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数⎩⎪⎨⎪
⎧正实数零负实数
3．零指数幂，负整数指数幂
任何非零数的零次幂都等于1，即__a 0＝1(a ≠0)__；任何不等于零的数的－p 次幂，等于这个数p 次幂的倒数，即__a －
p ＝1a
p (a ≠0，p 为正整数)__．
4．实数的运算
实数的运算顺序是先算__乘方和开方__，再算__乘除__，最后算__加减__，如果有括号，先算__小括号__，再算__中括号__，最后算__大括号__，同级运算应__从左到右依次进行__．
五种大小比较方法
实数的大小比较常用以下五种方法：
(1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大． (2)代数比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的数反而小．
(3)差值比较法：设a ，b 是两个任意实数，则：a －b ＞0⇒a ＞b ；a －b ＝0⇒a ＝b ；a －b ＜0⇒a ＜b .
(4)倒数比较法：若1a ＞1
b
，a ＞0，b ＞0，则a ＜b .
(5)平方比较法：∵由a ＞b ＞0，可得a ＞b ，∴可以把a 与b 的大小问题转化成比较a 和b 的大小问题．
1．(·安徽)(－2)×3的结果是( C )
A ．－5
B ．1
C ．－6
D ．6 2．(·安徽)－2的倒数是( A ) A ．－12 B .1
2
C ．2
D ．－2
3．(·安徽)下面的数中，与－3的和为0的是( A ) A ．3 B ．－3 C .13 D ．－13
4．(·安徽)据报载，我国将发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为__2.5×107__．
5．(·安徽)安徽省棉花产量约37800吨，将37800用科学记数法表示应是__3.78×104__．
实数的分类
【例1】 (·合肥模拟)实数π，1
5
，0，－1中，无理数是( A )
A ．π
B .1
5
C ．0
D ．－1
【点评】 判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循环小数，初中常见的无理数共分三种类型：(1)化简后含π(圆周率)的式子；(2)含根号且开不尽方的数；(3)有规律但不循环的无限小数．掌握常见无理数类型有助于识别无理数．
1．(1)(·安顺)下列各数中，3.14159，－3
8，0.131131113…，－π，25，－17
无理数
的个数有( B )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 (2)(·安庆模拟)下列各数中，为负数的是( B )
A ．0
B ．－2
C ．1
D .12
实数的运算
【例2】 (·重庆)计算：4＋(－3)2－0×|－4|＋(16)－
1.
解：原式＝2＋9－1×4＋6＝11－4＋6＝13
【点评】 实数运算要严格按照法则进行，特别是混合运算，注意符号和顺序是非常重要的．
2．(·东营)计算：(－1)＋(sin 30°)－
1＋(35－2)0－|3－18|＋83×(－0.125)3.
解：原式＝1＋2＋1－32＋3－1＝6－3 2
科学记数法与近似值、有效数字
【例3】 (1)(·芜湖模拟)餐桌上的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌
尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为( A )
A ．5×1010千克
B ．50×109千克
C ．5×109千克
D ．0.5×1011千克
(2)下列近似数中精确到千位的是( C ) A ．90200 B ．3.450×102 C ．3.4×104 D ．3.4×102
【点评】 (1)科学记数法一般表示的数较大或很小，所以解题时一定要仔细，确定n 的值时，把大数的总位数减1即为n 的值，较小的数表示时就数第1个有效数字前所有“0”的个数(含小数点前的那个“0”)即为n 的值；(2)科学记数法写出这个数后可还原成原数进行检验；(3)用有效数字表示的数，在确定其精确度时，要还原成原数后再进行处理判断．
3．(1)近似数2.5万精确到__千__位． (2)(·内江)一种微粒的半径是0.00004米，这个数据用科学记数法表示为( C )
A ．4×106
B ．4×10－
6
C ．4×10－
5 D ．4×105
与实数相关的概念
【例4】 (1)(·河北)－2是2的( B )
A ．倒数
B ．相反数
C ．绝对值
D ．平方根
(2)已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ＞b ＞c ，那么a ＋b －c ＝__2或0__．
【点评】 (1)互为相反数的两个数和为0；(2)正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；(3)两个非负数的和为0，则这两个数分别等于0.
4．(1)计算：－(－12)＝__12__；|－12|＝__1
2
__；
(－12)0＝__1__；(－12
)－
1＝__－2__． (2)若ab ＞0，则|a |a ＋|b |b －|ab |
ab
的值等于__1或－3__．
数轴
【例5】 (·呼和浩特)实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子中正确的是( D )
A ．ac ＞bc
B ．|a －b|＝a －b
C ．－a ＜－b ＜c
D ．－a －c ＞－b －c
【点评】 数形结合借助数轴找到数的位置，或由数找到在数轴上的点的位置及其相反数的位置，再根据数轴上右边的数大于左边的数，确定各数的大小或根据大减小为正，小减大为负，以及有理数的加法、乘法法则来确定数的运算后的符号．
5．(1)(·蚌埠模拟)在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A ，B 两点对应的实数分别是3和－1，则点C 所对应的实数是( D )
A ．1＋ 3
B ．2＋ 3
C ．23－1
D ．23＋1 (2)(·宁夏)实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是( D )
A ．a ＋b ＝0
B ．b ＜a
C ．ab ＞0
D ．|b|＜|a|
实数的大小比较
【例6】 (1)(·绍兴)比较－3，1，－2的大小，下列判断正确的是( A ) A ．－3＜－2＜1 B ．－2＜－3＜1 C ．1＜－2＜－3 D ．1＜－3＜－2
(2)(·河北)a ，b 是两个连续整数，若a ＜7＜b ，则a ，b 分别是( A ) A ．2，3 B ．3，2 C ．3，4 D ．6，8
【点评】 实数的大小比较要依据数值特点来灵活运用比较大小的几种方法来进行．
6．(1)(·阜阳模拟)比较大小：－2__＞__－3. (2)比较2.5，－3，7的大小，正确的是( A ) A ．－3＜2.5＜7 B ．2.5＜－3＜7 C ．－3＜7＜2.5 D .7＜2.5＜－3
第2讲整式及其运算～安徽中考命题分析安徽中考命题预测
预测安徽省中考仍将主要
考查：用字母表示数，代
数式的实际背景或几何意
义，求代数式的值，代数
式的分类，整式加、减、
乘、除运算，运用乘法公
式进行计算，整数指数幂
的简单计算，这里要重点
指出的是用字母表示数中
渗透合情推理思想，它是
安徽中考的一个重点，同
时也是难点，要求复习时
重点突破．
年份考察内容题型题
号
分
值
乘方运算选择题 2 4
整式加减解答题15 8
整式运算选择题 4 4乘方运算选择题 3 4
代数式的表示选择题 5 4
整式加减解答题15 8
1．单项式：由__数与字母__或__字母与字母__相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做__单项式的次数__，数字因数叫做__单项式的系数__．单独的数、字母也是单项式．
2．多项式：由几个__单项式相加__组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个__多项式的次数__，其中不含字母的项叫做__常数项__．3．整式：__单项式和多项式__统称为整式．
4．同类项：多项式中所含__字母__相同并且__相同字母的指数__也相同的项，叫做同类项．
5．幂的运算法则：
(1)同底数幂相乘：
__a m·a n＝a m＋n(m，n都是整数，a≠0)__；
(2)幂的乘方：
__(a m)n＝a mn(m，n都是整数，a≠0)__；
(3)积的乘方：
__(ab)n＝a n·b n(n是整数，a≠0，b≠0)__；
(4)同底数幂相除：
__a m÷a n＝a m－n(m，n都是整数，a≠0)__．
6．整式乘法：
单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．
单项式乘多项式：m(a＋b)＝__ma＋mb__；
多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝__ac＋ad＋bc＋bd__.
7．乘法公式：
(1)平方差公式：__(a＋b)(a－b)＝a2－b2__；
(2)完全平方公式：__(a±b)2＝a2±2ab＋b2__．
8．整式除法：
单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加．
一座“桥梁”
用字母表示数是从算术过渡到代数的桥梁，是后续学习的基础，用字母表示数能够简明地表示出事物的规律及本质特征．只有借助字母，才能把一些数量规律及数量更简洁、准确地表示出来．用字母表示数：(1)注意字母的确定性；(2)注意字母的任意性；(3)注意字母的限制性．
二种思维方法
法则公式既可正向运用，也可逆向运用．逆向运用和灵活变式运用既可简化计算，又能进行较复杂的代数式的大小比较．当直接计算有较大困难时，考虑逆向运用，可起到化难为易的功效．
1．(·安徽)x2·x4＝( B )
A．x5B．x6C．x8D．x9
2．(·安徽)下列运算正确的是( B )
A ．2x ＋3y ＝5xy
B ．5m 2·m 3＝5m 5
C ．(a －b)2＝a 2－b 2
D ．m 2·m 3＝m 6 3．(·安徽)计算(－2x 2)3的结果是( B ) A ．－2x 5 B ．－8x 6 C ．－2x 6 D ．－8x 5 4．(·安徽)某企业今年3月份产值为a 万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是( B )
A ．(a －10%)(a ＋15%)万元
B ．a(1－10%)(1＋15%)万元
C ．(a －10%－15%)万元
D ．a(1－10%－15%)万元
5．(·枣庄)如图，在边长为2a 的正方形剪去一边长为(a ＋2)的小正方形(a ＞2)，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( C )
A ．a 2＋4
B ．2a 2＋4a
C ．3a 2－4a －4
D ．4a 2－a －2
整式的加减运算
【例1】 (1)(·邵阳)下列计算正确的是( A ) A ．2x －x ＝x B ．a 3·a 2＝a 6 C ．(a －b)2＝a 2－b 2 D ．(a ＋b)(a －b)＝a 2＋b 2 (2)(·威海)已知x 2－2＝y ，则x(x －3y)＋y(3x －1)－2的值是( B ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4
【点评】 整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果．
1．(1)(·威海)下列运算正确的是( C ) A ．2x 2÷x 2＝2x B ．(－12a 2b)3＝－16a 6b 3
C ．3x 2＋2x 2＝5x 2
D ．(x －3)3＝x 3－9
(2)(·厦门)先化简下式，再求值：(－x 2＋3－7x)＋(5x －7＋2x 2)，其中x ＝2＋1.
解：原式＝x 2－2x －4＝(x －1)2－5，把x ＝2＋1代入原式，原式＝(2＋1－1)2－5＝－3
同类项的概念及合并同类项
【例2】 若－4x a y ＋x 2y b ＝－3x 2y ，则a ＋b ＝__3__．
【点评】 (1)判断同类项时，看字母和相应字母的指数，与系数无关，也与字母的相关位置无关，两个只含数字的单项式也是同类项；(2)只有同类项才可以合并．
2．(·淮南模拟)已知12x n －
2m y 4与－x 3y 2n 是同类项，则(mn)的值为( C )
A ．
B ．－
C ．1
D ．－1
幂的运算
【例3】 (1)(·济南)下列运算中，结果是a 5的是( A ) A ．a 3·a 2 B ．a 10÷a 2 C ．(a 2)3 D ．(－a)5
(2)(·芜湖模拟)计算(a 2)3÷(a 2)2的结果是( B ) A ．a B ．a 2 C ．a 3 D ．a 4
【点评】 (1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；
(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．
3．(1)(·)下列各式计算正确的是( D ) A ．a 2＋2a 3＝3a 5 B ．(a 2)3＝a 5 C ．a 6÷a 2＝a 3 D ．a ·a 2＝a 3
(2)(·随州)计算(－1
2xy 2)3，结果正确的是( B )
A .14x 2y 4
B ．－18x 3y 6
C .18x 3y 6
D ．－18
x 3y 5 整式的混合运算及求值
【例4】 (·绍兴)先化简，再求值：a(a －3b)＋(a ＋b)2－a(a －b)，其中a ＝1，b ＝－12.
解：原式＝a 2－3ab ＋a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋ab ＝a 2＋b 2＝1＋14＝5
4
【点评】 注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算．
4．(·合肥模拟)化简2[(m －1)m ＋m(m ＋1)][(m －1)m －m(m ＋1)]，若m 是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？
解：2[(m －1)m ＋m(m ＋1)][(m －1)m －m(m ＋1)]＝2(m 2－m ＋m 2＋m)(m 2－m －m 2－m)＝－8m 3.原式＝(－2m)3，表示3个－2m 相乘，或者说是一个立方数，8的倍数等
乘法公式
【例5】 (·芜湖模拟)如图①，从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，再沿着线段AB 剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．
(1)设图①中阴影部分面积为S 1，图②中阴影部分面积为S 2，请直接用含a ，b 的代数式表示S 1和S 2；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
(1)S 1＝a 2－b 2；S 2＝1
2(2b ＋2a)(a －b)＝(a ＋b)(a －b)
(2)(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2
【点评】 (1)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形： ①a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b)2＋2ab ；
③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.
注意公式的变式及整体代入的思想．
(2)算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，任何时候都要遵循先化简，再求值的原则．
5．(1)整式A与m2－2mn＋n2的和是(m＋n)2，则A＝__4mn__．
(2)(·广州)已知多项式A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3.
①化简多项式A；
②若(x＋1)2＝6，求A的值．
解：①A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3＝x2＋4x＋4＋2－2x＋x－x2－3＝3x＋3
②(x＋1)2＝6，则x＋1＝±6，∴A＝3x＋3＝3(x＋1)＝±3 6
第3讲因式分解
～安徽中考命题分析安徽中考命题预测
预测安徽省中考仍将主要考
查：用提取公因式法、公式
法(直接用公式不超过两次)
分解因式等．题型多以选择
题、填空题为主，偶尔也有
解答题出现，但难度都属于
基础题的要求．
年份考察内容题型题
号
分
值
因式分解选择题 4 4
因式分解填空题12 5
因式分解选择题 4 4
1．因式分解
把一个多项式化成几个__整式__积的形式，叫做因式分解，因式分解与__整式乘法__是互逆运算．
2．基本方法
(1)提取公因式法：
ma＋mb－mc＝__m(a＋b－c)__．
(2)公式法：
运用平方差公式：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；
运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．
3．因式分解的一般步骤
(1)如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；
(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；
(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；
(4)注意因式分解中的范围，如x4－4＝(x2＋2)(x2－2)，在实数范围内分解因式，x4－4＝(x2＋2)(x＋2)(x－2)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解．
思考步骤
多项式的因式分解有许多方法，但对于一个具体的多项式，有些方法是根本不适用的．因此，拿到一道题目，
先试试这个方法，再试试那个办法．解题时思考过程建议如下：(1)提取公因式；(2)看有几项；(3)分解彻底．在分解出的每个因式化简整理后，把它作为一个新的多项式，再重复以上过程进行思考，试探分解的可能性，直至不可能分解为止．
变形技巧
当n为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n；当n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n.
1．(·安徽)下列四个多项式中，能因式分解的是( B)
A．a2＋1B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2．(·毕节)下列因式分解正确的是( A)
A．2x2－2＝2(x＋1)(x－1)
B．x2＋2x－1＝(x－1)2
C．x2＋1＝(x＋1)2
D．x2－x＋2＝x(x－1)＋2
3．(·安徽)因式分解：x2y－y＝__y(x＋1)(x－1)__．
4．(·安徽)下面的多项式中，能因式分解的是( D)
A．m2－n B．m2－m－1
C．m2＋n D．m2－2m＋1
5．(·哈尔滨)把多项式3m2－6mn＋3n2分解因式的结果是__3(m－n)2__．
因式分解的意义
【例1】(·泉州)分解因式x2y－y3结果正确的是( D )
A．y(x＋y)2B．y(x－y)2
C．y(x2－y2) D．y(x＋y)(x－y)
【点评】因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底．
1．(·玉林)下面的多项式在实数范围内能因式分解的是( D )
A．x2＋y2B．x2－y
C．x2＋x＋1 D．x2－2x＋1
提取公因式法分解因式
【例2】阅读下列文字与例题：
将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：(1)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)；
(2)x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝x2－(y＋1)2＝(x＋y＋1)(x－y－1)．
试用上述方法分解因式：a2＋2ab＋ac＋bc＋b2＝__(a＋b)(a＋b＋c)__．
【点评】(1)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；(2)当某项正好是公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉；(3)公因式也可以是多项式．
2．(1)多项式ax2－4a与多项式x2－4x＋4的公因式是__x－2__．
(2)把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后，余下的部分是( D )
A．m＋1 B．2m
C．2 D．m＋2
运用公式法分解因式
【例3】(1)(·东营)3x2y－27y＝__3y(x＋3)(x－3)__；
(2)(·邵阳)将多项式m2n－2mn＋n因式分解的结果是__n(m－1)2__．
【点评】(1)用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为a2－b2的形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项；(2)用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征．
3．分解因式：
(1)9x2－1；
(2)25(x＋y)2－9(x－y)2；
(3)(·淮北模拟)a－6ab＋9ab2；
(4)(·湖州)mx2－my2.
解：(1)9x2－1＝(3x＋1)(3x－1)
(2)25(x＋y)2－9(x－y)2＝[5(x＋y)＋3(x－y)][5(x＋y)－3(x－y)]＝(8x＋2y)(2x＋8y)＝4(4x＋y)(x＋4y)
(3)a－6ab＋9ab2＝a(1－6b＋9b2)＝a(1－3b)2
(4)mx2－my2＝m(x2－y2)＝m(x＋y)(x－y)
综合运用多种方法分解因式
【例4】给出三个多项式：1
2x
2＋x－1，
1
2x
2＋3x＋1，
1
2x
2－x，请你选择其中两个进
行加法运算，并把结果分解因式．
解：(12x 2＋x －1)＋(12x 2＋3x ＋1)＝x 2＋4x ＝x(x ＋4)；(12x 2＋x －1)＋(1
2x 2－x)＝x 2－1＝(x
＋1)(x －1)；(12x 2＋3x ＋1)＋(1
2
x 2－x)＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2
【点评】 灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止．
4．(1)(·武汉)分解因式：a 3－a ＝__a(a ＋1)(a －1)__； (2)(·黔东南州)分解因式：x 3－5x 2＋6x ＝__x(x －3)(x －2)__；
因式分解的应用 【例5】 (1)(·河北)计算：852－152＝( D )
A ．70
B ．700
C ．4900
D ．7000 (2)已知a 2＋b 2＋6a －10b ＋34＝0，求a ＋b 的值．
解：∵a 2＋b 2＋6a －10b ＋34＝0，∴a 2＋6a ＋9＋b 2－10b ＋25＝0，即(a ＋3)2＋(b －5)2＝0，∴a ＋3＝0且b －5＝0，∴a ＝－3，b ＝5，∴a ＋b ＝－3＋5＝2
【点评】 (1)利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值；(2)一个问题有两个未知数，只有一个条件，根据已知式右边等于0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为0，则每个完全平方式都等于0，从而使问题得以求解．
5．(1)(·马鞍山模拟)若ab ＝2，a －b ＝－1，则代数式
a 2
b －ab 2的值等于__－2__．
(2)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 3＋ab 2＋bc 2＝b 3＋a 2b ＋ac 2，则△ABC 的形状是( C )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形
(3)(·北京)已知x －y ＝3，求代数式(x ＋1)2－2x ＋y(y －2x)的值．
解：原式＝x 2－2xy ＋y 2＋1＝(x －y)2＋1，把x －y ＝3代入，原式＝3＋1＝4
第4讲 分式及其运算
～安徽中考命题分析
安徽中考命题预测
预测安徽省中考仍将主要考查：分式的概念、分式的基本性质、约分与通分，分式的加、减、乘、除运算等，题型有选择题、填空题，也有解答题，但难度都属于基础题和中档题的要求．这里要重点指出的是分式的加减乘除运算，它一直是安徽中考的一个重点，这是因为分式的加减乘除运算几乎可以涵盖所有代数式的基本运算，因此考生一定要注意．
年份 考察内容 题型 题号 分值 分式方程的计算 填空题 13 5 分式方程的应用
解答题 20(2) 8 分式计算
选择题 6 4
1．分式的基本概念
(1)形如__A
B
(A ，B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)__的式子叫分式；
(2)当__B ≠0__时，分式A B 有意义；当__B ＝0__时，分式A
B 无意义；当__A ＝0且
B ≠0__时，分式A
B
的值为零．
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)__同一个不等于零的整式__，分式的值不变，用式子表示为__A B ＝A ×M B ×M ，A B ＝A÷M
B÷M
(M 是不等于零的整式)__．
3．分式的运算法则
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． 用式子表示：a b ＝－a －b ＝－a －b ＝－－a b ；－a b ＝a
－b ＝－a b .
(2)分式的加减法：
同分母加减法：__a c ±b c ＝a±b
c __；
异分母加减法：__b a ±d c ＝bc±ad
ac __．
(3)分式的乘除法： a b ·c d ＝__ac
bd __； a b ÷c d ＝__ad
bc __． (4)分式的乘方：
(a b )n ＝__a n
b
n (n 为正整数)__． 4．最简分式
如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式． 5．分式的约分、通分
把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质．
把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
6．分式的混合运算
在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．
7．解分式方程，其思路是去分母转化为整式方程，要特别注意验根．使分母为0的未知数的值是增根，需舍去．
两个技巧
(1)分式运算中的常用技巧
分式运算题型多，方法活，要根据特点灵活求解．如：
①分组通分；②分步通分；③先“分”后“通”；④重新排序；⑤整体通分；⑥化积为差，裂项相消．
(2)分式求值中的常用技巧
分式求值可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化．主要有以下技巧：①整体代入法；②参数法；③平方法；④代入法；⑤倒数法．
1．(·温州)要使分式x ＋1
x －2有意义，则x 的取值应满足( A )
A ．x ≠2
B ．x ≠－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－1 2．(·广州)计算：x 2－4
x －2，结果是( B )
A ．x －2
B ．x ＋2
C .x －42
D .x ＋2
x
3．(·安徽)化简x 2x －1＋x
1－x 的结果是( D )
A ．x ＋1
B ．x －1
C ．－x
D ．x 4．(·济南)化简m －1m ÷m －1
m 2的结果是( A )
A ．m
B .1m
C ．m －1
D .1
m －1
5．(·安徽)方程4x －12
x －2
＝3的解是x ＝__6__．
分式的概念，求字母的取值范围
【例1】 (1)(·贺州)分式2
x －1有意义，则x 的取值范围是( A )
A ．x ≠1
B ．x ＝1
C ．x ≠－1
D ．x ＝－1 (2)(·毕节)若分式x 2－1
x －1的值为零，则x 的值为( C )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．±1
【点评】 (1)分式有意义就是使分母不为0，解不等式即可求出，有时还要考虑二次根式有意义；(2)首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值．
1．(1)(·铜陵模拟)若代数式x
x －1有意义，则实数x 的取值范围是( D )
A ．x ≠1
B ．x ≥0
C ．x ＞0
D ．x ≥0且x ≠1
(2)当x ＝__－3__时，分式|x|－3
x －3
的值为0.
分式的性质
【例2】 (1)(·贺州)先化简，再求值：(a 2
b ＋ab)÷a 2＋2a ＋1
a ＋1
，其中a ＝3＋1，b ＝3
－1.
解：原式＝ab(a ＋1)·a ＋1
（a ＋1）2＝ab ，当a ＝3＋1，b ＝3－1时，原式＝3－1＝2
(2)(·济宁)已知x ＋y ＝xy ，求代数式1x ＋1
y
－(1－x)(1－y)的值．
解：∵x ＋y ＝xy ，∴1x ＋1
y －(1－x)(1－y)＝y ＋x xy －(1－x －y ＋xy)＝x ＋y xy －1＋x ＋y －xy
＝1－1＋0＝0
【点评】 (1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；
(2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．
2．(1)(·安庆模拟)下列计算错误的是( A ) A .0.2a ＋b 0.7a －b ＝2a ＋b 7a －b B .x 3y 2x 2y 3＝x y
C .a －b b －a
＝－1 D .1c ＋2c ＝3c
(2)(·广安)化简(1－1
x －1)÷x －2x 2－2x ＋1
的结果是__x －1__．
分式的四则混合运算
【例3】 (·深圳)先化简，再求值：(3x x －2－x x ＋2)÷x
x 2－4，在－2，0，1，2四个数中选
一个合适的代入求值．
解：原式＝3x （x ＋2）－x （x －2）（x ＋2）（x －2）·（x ＋2）（x －2）
x ＝2x ＋8，当x ＝1时，原式＝2
＋8＝10
【点评】 准确、灵活、简便地运用法则进行化简，注意在取x 的值时，要考虑分式有意义，不能取使分式无意义的0与±2.
3．(1)(·十堰)已知a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1
a
－2的值为( B )
A .5＋1
B ．1
C ．－1
D ．－5
(2)(·黄山模拟)先化简x 2－4x 2－9÷(1－1
x －3)，再从不等式2x －3＜7的正整数解中选一个使
原式有意义的数代入求值．
解：原式＝
（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －3）÷x －3－1x －3＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －3）·x －3
x －4
＝
（x ＋2）（x －2）
（x ＋3）（x －4），不等式2x －3＜7，解得x ＜5，其正整数解为1，2，3，4，当x ＝1
时，原式＝1
4
分式方程的解法
【例4】 (·舟山)解方程：x x ＋1－4
x 2－1
＝1.
解：去分母，得x(x －1)－4＝x 2－1，去括号，得x 2－x －4＝x 2－1，解得x ＝－3，经检验x ＝－3是分式方程的解
【点评】 (1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公分母．若分母为多项式时，应首先进行分解因式．将分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项；(2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式方程的某些分母为零，故应是原方程的增根，需舍去．
4．(1)(·阜阳模拟)若分式方程x x －1－m
1－x ＝2有增根，则这个增根是__x ＝1__；
(2)(·)解分式方程：3x 2－9＋x
x －3
＝1.
解：方程两边都乘(x ＋3)(x －3)，得3＋x(x ＋3)＝x 2－9，3＋x 2＋3x ＝x 2－9，解得x ＝－4，检验：把x ＝－4代入(x ＋3)(x －3)≠0，∴x ＝－4是原分式方程的解
第5讲 二次根式及其运算
～安徽中考命题分析 安徽中考命题预测
预测安徽省中考仍将主要考查：二次根式的加、减、乘、除运算(不要求分母有理化)，用有理数估计无理数的大致范围仍将是安徽中考的主要考察点．尤其是用有理
数估计无理数的大致范围是安徽中考的一个重点．题型以选择题、填空题居多．无论什么形式，计算的难度都不会太大，难度均属于基础题．
年份 考察内容 题型
题号 分值 用有理数估计无
理数的大致范围
选择题
6 4 二次根式有意义 填空题 11 5 － －
－
－
1．二次根式的概念
式子__a(a ≥0)__叫做二次根式． 2．二次根式的性质 (1)(a)2＝__a(a ≥0)__．
(2)a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪
⎧ a （a ＞0） ； 0（a ＝0） ； －a （a ＜0） Ｗ.
3．二次根式的运算
(1)二次根式加减法的实质是合并同类根式；
(2)二次根式的乘法：a·b ＝__ab(a ≥0，b ≥0)__； (3)二次根式乘法的反用：ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)； (4)二次根式的除法：
a
b
＝__a
b
(a ≥0，b ＞0)__；
(5)二次根式除法的反用：
a b ＝__a
b
(a ≥0，b ＞0)__． 4．最简二次根式
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根式，需满足两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
“双重非负性”
算术平方根a 具有双重非负性，一是被开方数a 必须是非负数，即a ≥0；二是算术平方根a 的值是非负数，即a ≥0.算术平方根的非负性主要用于两方面：
(1)某些二次根式的题目中隐含着“a ≥0”这个条件，做题时要善于挖掘隐含条件，巧妙求解；
(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零． 求值问题“五招”
(1)巧用平方；(2)巧用乘法公式；(3)巧用配方；(4)巧用换元；(5)巧用倒数．
1．(·安徽)设n 为正整数，且n ＜65＜n ＋1，则n 的值为( D ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
2．(·安徽)若1－3x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__x ≤1
3__．
3．(·徐州)下列运算中错误的是( A ) A .2＋3＝ 5 B .2×3＝ 6 C .8÷2＝2 D ．(－3)2＝3
4．(·福州)若(m －1)2＋n ＋2＝0，则m ＋n 的值是( A ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
5．(·内江)按如图所示的程序计算，若开始输入的n 值为2，则最后输出的结果是( C )
A ．14
B ．16
C ．8＋5 2
D ．14＋ 2
二次根式概念与性质
【例1】 (1)等式
2k －1
k －3
＝2k －1
k －3
成立，则实数k 的范围是( D ) A ．k ＞3或k ＜1
2 B ．0＜k ＜3
C ．k ≥1
2
D ．k ＞3
(2)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，试化简：
（a ＋b ＋c ）2＋（a －b －c ）2＋（b －c －a ）2＋（c －a －b ）2.
解：原式＝|a ＋b ＋c|＋|a －b －c|＋|b －c －a|＋|c －a －b|＝(a ＋b ＋c)＋(b ＋c －a)＋(c ＋a －b)＋(a ＋b －c)＝2a ＋2b ＋2c
【点评】 (1)对于二次根式，它有意义的条件是被开方数大于或等于0；(2)注意二次根式性质(a)2＝a(a ≥0)，a 2＝|a|的区别，判断出各式的正负性，再化简．
1．(1)(·达州)二次根式－2x ＋4有意义，则实数x 的取值范围是( D ) A ．x ≥－2 B ．x ＞－2 C ．x ＜2 D ．x ≤2
(2)如果（2a －1）2＝1－2a ，则( B ) A ．a ＜12 B ．a ≤1
2
C ．a ＞12
D ．a ≥1
2
二次根式的运算
【例2】 (1)(·济宁)如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝a
b
；②a b ·b
a
＝1；③ab÷
a
b
＝－b.其中正确的是( B ) A ．①② B ．②③
C ．①③
D ．①②③ (2)计算：24－32
＋23
－216
. 解：原式＝26－126＋136－136＝32
6
【点评】(1)二次根式化简，依据ab＝a·b(a≥0，b≥0)，a
b
＝a
b
(a≥0，b＞
0)，前者将被开方数分解，后者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平方数，即可将其移到根号外；(2)二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式．
2．(1)(·黄山模拟)若20n是整数，则正整数n的最小值为__5__．
(2)(·抚州)计算：27－3＝__23__．
二次根式混合运算
【例3】计算：
(10－3)·(10＋3).
解：原式＝(10－3)×(10＋3)×(10＋3)＝[(10－3)(10＋3)]×(10＋3)＝1×(10＋3)＝10＋3
【点评】(1)二次根式混合运算，把若干个知识点综合在一起，计算时要认真仔细；
(2)可以运用运算律或适当改变运算顺序，使运算简便．
3．(1)(·荆门)计算：24×1
3－4×
1
8×(1－2)
0；
解：原式＝26×
3
3－4×
2
4×1＝22－2＝ 2
(2)已知10的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
解：∵3＜10＜4，∴10的整数部分a＝3，小数部分b＝10－3.∴a2－b2＝32－(10－3)2＝9－(10－610＋9)＝－10＋610。