处理平衡问题的八种方法

处理平衡问题的八种方法
一、力的合成法
物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反；力的合成法是解决三力平衡问题的基本方法。

二、正交分解法
物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解：F x合＝0，F y
合＝0。

为方便计算，建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则。

三、整体法与隔离法
整体法是把两个或两个以上物体组成的系统作为一个整体来研究的分析方法；当只涉
及研究系统而不涉及系统内部某些物体的受力和运动时，一般可采用整体法。

隔离法是将所确定的研究对象从周围物体(或连接体)系统中隔离出来实行分析的方法。

研究系统(或连接体)内某个物体的受力和运动情况时，通常可采用隔离法。

【典例1】如下图，有一直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表
面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环
间由一根质量可忽略，不何伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图
1所示，现将P环向左移一小段距离，两环将再达到平衡，那么将移动
后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力F N和细绳
拉力F T的变化情况是( )
A．F N不变，F T变大 B．F N不变，F T变小
C．F N变大，F T变大 D．F N变大，F T变小
【解析】采取先整体后隔离的方法。

以P、Q、绳为整体研究对象，
受重力、AO给的向上的弹力、OB给的水平向左的弹力、AO给的向
右的静摩擦力，由整体处于平衡状态知AO对P的向右的静摩擦力与
OB对Q的水平向左弹力大小相等；AO给P的竖直向上的弹力与整
体重力大小相等，当P环左移一段距离后，整体重力不变；AO对P竖直向上的弹力也不
变；再以Q环为隔离研究对象，受力如下图，Q环所受重力G、OB对Q的弹力F、绳的
拉力F T处于平衡，P环向左移动一小段距离的同时F T移至F′T位置，仍能平衡，即F T竖
直分量与G大小相等，F T应变小，B准确。

【答案】 B
四、矢量三角形法
对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的封闭
力三角形，进而处理物体平衡问题的方法叫矢量三角形法；矢量三角形法在处理动态平衡
问题时方便、直观，容易判断。

【典例2】 [多项选择]如下图，重物的质量为m ，轻细绳AO
与BO 的A 端、B 端固定，平衡时AO 水平，BO 与水平面的夹角为
θ，重力加速度为g ，AO 拉力F 1和BO 拉力F 2的大小是( )
A ．F 1＝mg
B ．F 1＝mg tan θ
C ．F 2＝mg sin θ
D ．F 2＝mg sin θ
【解析】 根据三力平衡特点，任意两个力的合力与第三个力等大
反向，可作出如下图的矢量图，由三角形知识可得F 1＝mg tan θ，F 2＝mg sin θ
，B 、D 准确。

【答案】 BD
五、相似三角形法
物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，力三角形与几何三角形对应成比例，根据比值便可计算出未知力的大小与方向。

【典例3】 固定在水平面上的光滑半球半径为R ，球心O 的正上方
C 处固定一个光滑定滑轮(大小可忽略)，细线一端拴一小球(可视为质点)
置于半球面上A 点，另一端绕过定滑轮，如图3所示，现将小球缓慢地
从A 点拉向B 点，则此过程中小球对半球的压力大小F N 、细线的拉力
大小F T 的变化情况是( )
A ．F N 不变，F T 不变
B ．F N 不变，F T 变大
C ．F N 不变，F T 变小
D ．F N 变大，F T 变小
【解析】 小球受力如下图，根据平衡条件知，小球所受支持力
F N 和细线拉力F T 的合力F 与重力是一对平衡力，即F ＝
G ，根据几
何关系知，力三角形F AF N 与几何三角形COA 相似，设滑轮到半球
顶点B 的距离为h ，线长AC 为L ，则有F N R ＝G R ＋h ＝F T L
，因为小球从A 点移向B 点的过程中，G 、R 、h 均不变，L 减小，故F N 大小不变，F T 减小，C 准确。

【答案】 C
六、正弦定理法
三力平衡时，如下图，三力构成一封闭三角形，由正弦定理可
知F 1sin θ2＝F 2sin θ3＝F 3sin θ1。

七、图解法
图解法就是在对物体实行受力分析(一般受三个力)的基础上，若满足有一个力大小、方向均不变，另有一个力方向不变时，可画出这三个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况的方法，图解法也常用于求极值问题。

【典例4】如下图，一小球在斜面上处于静止状态，不考
虑一切摩擦，假如把竖直挡板由竖直位置缓慢绕O点转至水平
位置，则此过程中小球对挡板的压力F1和小球对斜面的压力F2
的变化情况是( )
A．F1先增大后减小，F2一直减小
B．F1先减小后增大，F2一直减小
C．F1和F2都一直减小
D．F1和F2都一直增大
【解析】小球受力如图甲所示，因挡板是缓慢转动，所以小球处于动态平衡状态，在转动过程中，三力(重力、斜面支持力、挡板弹力)组成矢量三角形的变化情况如图乙所示(重力大小方向均不变，斜面对其支持力方向始终不变)，由图可知在此过程中斜面对小球的支持力持续减小，挡板对小球弹力先减小后增大，由牛顿第三定律知，B准确。

【答案】 B
八、对称法
若研究对象所受的力具有对称性，则求解时可把较复杂的运算转化为较简单的运算，或者将复杂的图形转化为直观、简单的图形。

所以在分析问题时，首先应明确物体受力是否具有对称性。

【专题训练】
1．如图6所示，细绳AO、BO等长且共同悬一物，A点固定不动，在手持B点沿圆弧向C点(OC水平)缓慢移动过程中，绳BO的张力将( )
A．持续变大 B．持续变小
C．先变大再变小 D．先变小再变大
解析：选D 选O点为研究对象，其受mg、F A、F B三力作用而平衡，
此三力构成一封闭的动态三角形如下图，能够看出，当F B与F A垂直即α＋
β＝90°时，F B取最小值，D准确。

2．如下图，绳与杆均不计重力，二者所承受弹力的最大值一定，A端用铰链固定，滑轮O在A点正上方(滑轮大小及绳间的摩擦均可忽略)，B端吊一重物P。

现施加拉力F T 将B端缓慢上拉(绳、杆均未断)，在杆达到竖直前，以下说法中准确的是( )
A．绳子越来越容易断
B．绳子越来越不容易断
C．杆越来越容易断
D．杆越来越不容易断
解析：选B
对B点实行受力分析如下图。

由相似三角形法知
F T G＝S
H，得F T＝
S
H·G
F N G＝L
H，得F N＝L
H·G由于S不断减小，L、H不变，可知F T减
小，F N不变，B正确，A、C、D错误。

3．如图所示，不计滑轮摩擦，A、B两物体均处于静止状态。

现加一水平力F作用在B上使B缓慢右移，试分析B所受力F的变
化情况。

解析：设绳子对B的拉力大小为F A(大小不变)，地面对B的支持力、摩擦力分别为F N、F f，B的质量为G B，斜线与水平面的夹角为θ，对物体B受力分析如图所示，建立如图直
角坐标系，在x轴上有
F x合＝F－F f－F A cos θ＝0①
在y轴上有
F y合＝F N＋F A sin θ－
G B＝0②
又F f＝μF N③
联立①②③得F＝F A(cos θ－μsin θ)＋μG B
可见，随着θ不断减小，水平力F将不断增大。

答案：增大
4．不可伸长的轻细绳AO、BO的结点为O，在O点悬吊电灯L，OA
绳处于水平，电灯L静止，如图所示，保持O点位置不变，改变OA的长
度使A点逐渐上升至C点，在此过程中绳OA的拉力大小如何变化？
解析：取O点为研究对象，O点受灯的重力F(大小等于电灯重力G)、OA绳的拉力F T1、OB绳的拉力F T2，如图所示，因为三力平衡，所以F T1、F T2的合力G′与G等大反
向，由正弦定理得F T1
sin θ＝G
sin α，即F T1＝G sin θ
sin α，由图知θ不变，α一直增
大(从小于90°增大到大于90°)，sin α先增大后减小，所以根据F T1式知F T1
先变
小后变大，当α＝90°时，F T1有最小值。

答案：先变小后变大。