最新人教版 初二上册八年级数学《第12章全等三角形》单元测试题含答案解析

《第12章全等三角形》
一、填空题.
1．已知：△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=70°，AB=15cm，则∠C′=．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，E、F分别为DB、DC的中点，则图中共有全等三角形对．
3．已知△ABC≌△A′B′C′，若△ABC的面积为10cm2，则△A′B′C′的面积为cm2；若△A′B′C′的周长为16cm，则△ABC的周长为cm．
4．如图，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一个条件是（只添一个条件即可）．
5．如图，点F、C在线段BE 上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还需补充一个条件，依据是．
6．三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线一点，且该点在三角形部．
7．如图，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到口上，经两次反射后的出射光线O′B 平行于α，则角θ等于度．
8．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为．
二、选择题
9．如图，AE=AF，AB=AC，EC与BF交于点O，∠A=60°，∠B=25°，则∠EOB的度数为（）
A．60° B．70° C．75° D．85°
10．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，A、B分别与D、E对应，且AB=35cm，DF=30cm，则EF的长为（）
A．35cm B．30cm C．45cm D．55cm
11．如图是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在（）两点上的木条．
A．A、F B．C、E C．C、A D．E、F
12．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）
A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角
13．如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4
14．如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于F，并分别交OA、OB于CD，则CD（）P点到∠AOB两边距离之和．
A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定
三、解答题
15．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，延长BC至B′，使C B′=BC，连接A B′．
求证：△ABB′是等腰三角形．
16．已知如图，AC交BD于点O，AB=DC，∠A=∠D．
（1）请写出符合上述条件的五个结论（并且不再添加辅助线，对顶角除外）；
（2）从你写出的5个结论中，任选一个加以证明．
17．如图，画出一个两条直角边相等的Rt△ABC，并过斜边BC上一点D作射线AD，再分别过B，C作射线AD的垂线BE和CF，垂足分别为E，F，量出BE，CF，EF的长，改变D的位置，再重复上面的操作，你是否发现BE，CF，EF的长度之间有某种关系？并证明你的结论．
《第12章全等三角形》
参考答案与试题解析
一、填空题.
1．已知：△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=70°，AB=15cm，则∠C′=70°．【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质得出∠C′=∠C，代入求出即可．
【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=70°，
∴∠C′=∠C=70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，E、F分别为DB、DC的中点，则图中共有全等三角形 4 对．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】本题重点是根据已知条件“AB=AC，AD⊥BC交D点，E、F分别是DB、DC的中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由结论推出AB=AC，BE=DE，CF=DF，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．
【解答】解：∵AD⊥BC，AB=AC
∴D是BC中点
∴BD=DC，
∵AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
E、F分别是DB、DC的中点
∴BE=ED=DF=FC
∵AD⊥BC，AD=AD，ED=DF
∴△ADF≌△ADE（HL）；
∵∠B=∠C，BE=FC，AB=AC
∴△ABE≌△ACF（SAS）
∵EC=BF，AB=AC，AE=AF
∴△ABF≌△ACE（SSS）．
∴全等三角形共4对，分别是：△ABD≌△ACD（HL），△ABE≌△ACF（SAS），△ADF≌△ADE（SSS），△ABF≌△ACE（SAS）．
故答案为4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定．题目是一道考试常见题，易错点是漏掉△ABE≌△ACD，此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证．其中△ABE≌△ACD常被忽略．
3．已知△ABC≌△A′B′C′，若△ABC的面积为10cm2，则△A′B′C′的面积为10 cm2；若△A′B′C′的周长为16cm，则△ABC的周长为16 cm．
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的面积相等，全等三角形的周长相等解答．
【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，△ABC的面积为10cm2，
∴△A′B′C′的面积为10cm2；
∵△ABC≌△A′B′C′，△A′B′C′的周长为16cm，
∴△ABC的周长为16cm．
故答案为：10，16．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，是基础题，需熟记．
4．如图，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一个条件是CD=BD （只添一个条件即可）．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】由已知条件具备一角一边分别对应相等，还缺少一个条件，可添加DB=DC，利用SAS判定其全等．【解答】解：需添加的一个条件是：CD=BD，
理由：∵∠1=∠2，
∴∠ADC=∠ADB，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
故答案为：CD=BD．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
5．如图，点F、C在线段BE 上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还需补充一个条件AC=DF ，依据是SAS ．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】要使△ABC≌△DEF，已知∠1=∠2，AC=EF，添加边的话应添加对应边，符合SAS来判定．
【解答】解：AC=DF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故答案为：AC=DF，SAS．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线相交于一点，且该点在三角形外部．
【考点】角平分线的性质．
【分析】首先根据题意作图，然后根据角平分线的性质与判定，即可得三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线相交于一点，且该点在三角形外部．
【解答】解：如图：AP与CP是△ABC两外角平分线，
过点P作PE⊥AB于E，作PD⊥BC于D，PF⊥AC于F，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PD，
∴PB是△ABC第三个角∠ABC的内角平分线．
∴三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线相交于一点，且该点在三角形外部．
故答案为：相交于，外．
【点评】此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
7．如图，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到口上，经两次反射后的出射光线O′B 平行于α，则角θ等于60 度．
【考点】镜面对称．
【分析】利用反射的性质得到入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，再利用平行的性质把相应的角转移到一个三角形中求解．
【解答】解：
∵AO∥β，
∴∠1=∠θ（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠COO′
∴∠θ=∠COO′
同理∠θ=∠CO′O，
∵∠θ+∠COO′+∠CO′O=180°
∴∠θ=60°．
故填60．
【点评】本题考查了镜面对称问题；需注意利用反射的性质、平行的性质把相应的角转移到一个三角形中求解是正确解答本题的关键．
8．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为8 ．
【考点】平行线之间的距离；三角形的面积．
【专题】计算题．
【分析】根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，所以根据△ABD的面积可求出高，然后求△ACE的面积即可．
【解答】解：在△ABD中，当BD为底时，设高为h，
在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，
∵AE∥BD，
∴h=h′，
∵△ABD的面积为16，BD=8，
∴h=4．
则△ACE的面积=×4×4=8．
【点评】主要是根据两平行线间的距离相等求出高再求三角形的面积．
二、选择题
9．如图，AE=AF，AB=AC，EC与BF交于点O，∠A=60°，∠B=25°，则∠EOB的度数为（）
A．60° B．70° C．75° D．85°
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理．
【分析】已知可得△ABF≌△ACE，结合三角形内角和可得∠AFB=∠AEC=95°，在由外角性质可得，∠EOB=95°﹣25°=70°
【解答】解：∵AE=AF，AB=AC，∠A=60°
∴△ABF≌△ACE
∴∠C=∠B=25°
∴∠AEC=180°﹣60°﹣25°=95°，
∴∠EOB=95°﹣25°=70°
故选B．
【点评】主要考查了三角形中内角与外角之间的关系和全等三角形的判断和性质．此题主要运用了外角等于两个不相邻的内角和、全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理．
10．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，A、B分别与D、E对应，且AB=35cm，DF=30cm，则EF的长为（）
A．35cm B．30cm C．45cm D．55cm
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质得出AC=DF=30cm，EF=BC，求出BC，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，A、B分别与D、E对应，且AB=35cm，DF=30cm，
∴AC=DF=30cm，EF=BC，
∵△ABC的周长为100cm，
∴EF=BC=100cm﹣35cm﹣30cm=35cm，
故选A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
11．如图是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在（）两点上的木条．
A．A、F B．C、E C．C、A D．E、F
【考点】三角形的稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性选择不能构成三角形的即可．
【解答】解：A、A、F与D能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；
B、C、E与B能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；
C、C、A与B能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；
D、E、F不能与A、B、C、D中的任意点构成三角形，不能固定形状，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，观察图形并熟记三角形的定义是解题的关键．
12．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）
A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角
【考点】全等三角形的应用．
【分析】由已知可以得到∠ABC=∠BDE，又CD=BC，∠ACB=∠DCE，由此根据角边角即可判定△EDC≌△ABC．【解答】解：∵BF⊥AB，DE⊥BD
∴∠ABC=∠BDE
又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE
∴△EDC≌△ABC（ASA）
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．
13．如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4
【考点】全等三角形的性质．
【分析】利用三角形的三角的比，求出三角的度数，再进一步根据各角之间的关系求出∠BCM、∠BCN的度数可求出结果．
【解答】解：在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10
设∠A=3x°，则∠ABC=5x°，∠ACB=10x°
3x+5x+10x=180
解得x=10
则∠A=30°，∠ABC=50°，∠ACB=100°
∴∠BCN=180°﹣100°=80°
又△MNC≌△ABC
∴∠ACB=∠MCN=100°
∴∠BCM=∠NCM﹣∠BCN=100°﹣80°=20°
∴∠BCM：∠BCN=20°：80°=1：4
故选D
【点评】本题考查了全等三角形的性质；利用三角形的三角的比，求得三个角的大小是很重要的方法，要注意掌握．
14．如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于F，并分别交OA、OB于CD，则CD（）P点到∠AOB两边距离之和．
A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．
【分析】过P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则∠PED=∠PFD=90°，根据垂线段最短得出PC＞PE，PD＞PF，即可得出答案．
【解答】解：
过P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
则∠PED=∠PFD=90°，
所以PC＞PE，PD＞PF，
∴PC+PD＞PE+PF，
即CD大于P点到∠AOB两边距离之和，
故选B．
【点评】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，解此题的关键是推出PD＞PF，PC＞PE．
三、解答题
15．（12分）（2015秋•岱岳区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，延长BC至B′，使C B′=BC，连接A B′．
求证：△ABB′是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】只要证明△ABC≌△AB′C就可以证明三角形是等腰三角形．
【解答】证明：∵∠ACB=90°
∴∠ACB′=90° （1分）
在△ABC和△AB′C中，
∴△ABC≌△AB′C （SAS）
∴AB=AB′
∴△ABB′是等腰三角形．（6分）
【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理和全等三角形的性质和判定定理．
16．（2014秋•利通区校级期末）已知如图，AC交BD于点O，AB=DC，∠A=∠D．
（1）请写出符合上述条件的五个结论（并且不再添加辅助线，对顶角除外）；
（2）从你写出的5个结论中，任选一个加以证明．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】开放型．
【分析】首先证明△AOB≌△DOC，得出其对应边、对应角相等，再根据等边对等角得出∠OBC=∠OCB．【解答】解：（1）答：符合上述条件的五个结论为：△AOB≌△DOC，OA=OD，OB=OC，∠ABO=∠DCO，∠OBC=∠OCB．
（2）证明如下：
∵AB=DC，∠A=∠D，
又有∠AOB=∠DOC
∴△AOB≌△DOC
∴OA=OD，OB=OC，∠ABO=∠DCO
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，要熟练掌握并灵活应用这些知识．
17．（2015秋•岱岳区校级月考）如图，画出一个两条直角边相等的Rt△ABC，并过斜边BC上一点D作射线AD，再分别过B，C作射线AD的垂线BE和CF，垂足分别为E，F，量出BE，CF，EF的长，改变D的位置，再重复上面的操作，你是否发现BE，CF，EF的长度之间有某种关系？并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】计算题．
【分析】CF=BE+EF，理由为：由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及AB=AC，利用AAS得到三角形ABE与三角形CAF全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=AF，AE=CF，由AE=AF+EF，等量代换即可得证．
【解答】解：CF=BE+EF，理由为：
证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAF=90°，
∵∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，AE=CF，
∴CF=AE=AF+EF=BE+EF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．。