北京市西城区北京师范大学附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题(含答案解析)

北京市西城区北京师范大学附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题（含答案解析）
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北京市西城区北京师范大学附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题（含答案解析）
1 已知集合，则A∩B=（）
A. {－1,0,1}
B. {0,1}
C. {－1,1}
D. {0,1,2}
【答案解析】 A
【分析】
先求出集合B再求出交集.
【详解】，
∴，则，
故选A．
【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.
2 如果，那么下列不等式成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案解析】 D
【分析】
由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论．
【详解】由于，不妨令，，可得，，故不正确．
可得，，，故不正确．
可得，，，故不正确．
，故D正确.
故选：．
【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．
3 下列函数中，值域为(0，+∞)的是（）
A. B.
C. D.
【答案解析】 D
【分析】
求出每一个选项的函数的值域判断得解.
【详解】A. 函数的值域为，所以该选项与已知不符；
B. 函数的值域为，所以该选项与已知不符；
C. 函数的值域为，所以该选项与已知不符；
D.函数的值域为(0，+∞)，所以该选项与已知相符.
故选：D
【点睛】本题主要考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4 已知,若,则（）
A. 10
B. 14
C. －6
D. －14
【答案解析】 D
【分析】
由题意，函数,求得,进而可求解的值. 【详解】由题意，函数,
由,即,得,
则，故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的求解问题，其中解答中涉及到函数的奇偶性和函数的解析式的应用，合理应用函数的奇偶性和准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5 设，则“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案解析】 D
【分析】
先化简“”和“”，再利用充分必要条件的定义分析判断得解.
【详解】由得，
由得，
所以“”不能推出“”，
所以“”是“”的非充分条件；
因为“”不能推出“”，
所以“”是“”的非必要条件.
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6 函数在区间(1，3)内的零点个数是（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案解析】 B
【分析】
先证明函数的单调递增，再证明，即得解.
【详解】因为函数在区间(1，3)内都是增函数，
所以函数在区间(1，3)内都是增函数，
又
所以，
所以函数在区间(1，3)内的零点个数是1.
故选：B
【点睛】本题主要考查零点定理，考查函数单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7 已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A.( －∞,－1)
B. (－1,3)
C. (－3,+∞)
D. (－3,1)
【答案解析】 B
【分析】
原命题等价于恒成立，故即可，解出不等式即可.
【详解】因为命题“，使”是假命题，所以
恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．
故选B．
【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。

而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.
8 设函数f(x)的定义域为R，满足，且当时，.
若对任意，都有，则m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案解析】 B
【分析】
因为，所以，分段求解析式，结合图象可得．
【详解】因为，
，
，时，，，
，时，，，，；
，时，，，，，
当，时，由解得或，
若对任意，，都有，则．
故选：．
【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．
9 已知，，则值为____________.
【答案解析】 24
【分析】
由题得即得解.
【详解】由题得.
故答案为：24
10 已知，是方程的两个根，则____________. 【答案解析】 32
【分析】
由题得的值，再把韦达定理代入得解.
【详解】由题得.
所以.
故答案为：32
【点睛】本题主要考查一元二次方程的韦达定理的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
11 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是__________．
【答案解析】 30
【详解】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30.
点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
12 已知函数，若，则x=___________
【答案解析】－3
【分析】
当时，,当时，由可得结果.
【详解】因为函数，
当时，,
当时，,
可得（舍去），或，故答案为.
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，以及分类讨论思想的应用，属于简单题.
13 若二元一次方程，，有公共解，则实数
k=_____________.
【答案解析】 4
【分析】
由题意建立关于，的方程组，求得，的值，再代入中，求得的值．
【详解】解得，
代入得，
解得．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
14 已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)的解集是
___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
【答案解析】 (1,4) ；
分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的
取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.
详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)的解集是
当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
15 已知集合，.
⑴若，求A∩B.
⑵若，求实数的取值范围.
【答案解析】 (1) ;(2) .
【分析】
（1）把的值代入确定出，再求出B, 求出与的交集即可；（2）根据与的并集为，确定出的范围即可．
【详解】(1) 把代入得：，
或，
；
（2），或，且，
，
解得：，
则实数的范围是．
【点睛】本题主要考查集合的交集和并集运算，考查根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16 已知函数f(x)的定义在R上的偶函数，且当时有.
⑴判断函数f(x)在[0,+∞)上的单调性，并用定义证明.
⑵求函数f(x)的解析式(写出分段函数的形式).
【答案解析】 (1)单调递增，证明见解析；（2）.
【分析】
（1）运用函数的单调性的定义证明；（2）运用偶函数的定义，求出的表达式，即可得到的解析式．
【详解】（1）函数在，上单调递增．
证明：设，则，
，
又，所以，，，
所以．
则，即，
故函数在，上单调递增；
（2）由于当时有，
而当时，，
则，
即．
则．
【点睛】本题考查函数的单调性的判断和证明，函数的解析式的求法，考查运算能力，属于基础题．
17 已知关于x的不等式的解集为A，且.
（I）求实数a的取值范围；
（II）求集合A.
【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
试题分析：（Ⅰ）因为，所以将3代入后，可求得的取值范围；（Ⅱ）将不等式整理为，再讨论以及三种情况，确定三种情况后，再求二次不等式对应的二次方程的实根，讨论实根的大小，从而确定不等式的解集.
试题解析：（I）∵，∴当时，有，即.
∴，即a的取值范围是.
（II）
当a=0时，集合；
当时，集合；
当时，原不等式解集A为空集；
当时，集合；
当时，集合.
考点：含参的一元二次不等式的解法
18 函数的定义域为_____.
【答案解析】 [－1,3]
【详解】由题意得，
即定义域为.
19 已知函数则
__________.
【答案解析】
【分析】
先证明，求出的值，再求解.
【详解】由题得，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查求函数值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
20 设，则的最小值为______. 【答案解析】
【分析】
把分子展开化为，再利用基本不等式求最值。

【详解】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为。

【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。

21 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
【答案解析】①130 ②15.
【分析】
由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.
【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即
元.
所以的最大值为15.
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
22 设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数m，使得对任意，都有，则称f(x)为D上的“m型增函数”，已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当时，
．若f(x)为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是
________．
【答案解析】 (－∞,5)
【分析】
先求出函数的解析式，再对a分类讨论结合函数的图像的变换分析解答得解.
【详解】∵函数是定义在R上的奇函数且当时，，
∴，
∵为R上的“20型增函数”，
∴，
当时，由的图象(图1)可知，向左平移20个单位长度得的图象显然在图象的上方，显然满足．
图1 图2
当时，由的图象(图2)向左平移20个单位长度得到的图象，要的图象在图象的上方．∴，∴，
综上可知：.
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数图像的变换和函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
23 已知关于x的一元二次方程.
(1)若方程有实数根，求实数k的取值范围；
(2)如果k是满足(1)的最大整数，且方程的根是一元二次方程
的一个根，求m的值及这个方程的另一个根.
【答案解析】（1）（2）m=3，方程的另一根为4
【分析】
(1)解不等式即得解；（2）先根据已知求出m的值，再解方程求方程的另外一个根. 【详解】(1)由题意得，所以，解得.
(2)由(1)可知k=2，
所以方程的根.
∴方程的一个根为2，
∴，解得m=3.
∴方程，
解得或.
所以方程的另一根为4.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况的判定，考查一元二次方程的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
24 已知函数，其中，
（1）若f(x)的图象关于直线对称，求a的值；
（2）求f(x)在区间[0，1]上的最小值.
【答案解析】（1）（2）
【分析】
（1）由题得，解方程即得解；（2）把对称轴与区间[0，1]分三种情况讨论求函数的最小值.
【详解】（1）因为，
所以，的图象的对称轴方程为.
由，得.
（2）函数的图象的对称轴方程为，
①当，即时，
因为在区间(0，1)上单调递增，
所以在区间[0，1]上的最小值为.
②当，即时，
因为在区间(0，)上单调递减，在区间(，1)上单调递增，
所以在区间上的最小值为.
③当，即时，
因为在区间(0，1)上单调递减，
所以在区间[0，1]上的最小值为.
综上：.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，考查二次函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
25 对于区间[a,b](a若函数同时满足：①f(x)在[a,b]上是单调函数，②函数
在[a,b]的值域是[a,b]，则称区间[a,b]为函数f(x)的“保值”区间
（1）求函数的所有“保值”区间
（2）函数是否存在“保值”区间？若存在，求m的取值范围，若不存在，说明理由
【答案解析】（1）[0,1]；（2）.
【分析】
（1）由已知中的保值区间的定义，结合函数的值域是，可得，从而函数在区间上单调，列出方程组，可求解；
（2）根据已知保值区间的定义，分函数在区间上单调递减和函数在区间单调递增，两种情况分类讨论，即可得到答案.
【详解】（1）因为函数的值域是，且在的最后综合讨论结果，即可得到值域是，所以，所以，从而函数在区间
上单调递增，
故有，解得 .
又，所以.所以函数的“保值”区间为 .
（2）若函数存在“保值”区间，则有：
①若，此时函数在区间上单调递减，
所以，消去得，整理得 .
因为，所以，即.又，所以.
因为，所以.
②若，此时函数在区间上单调递增，
所以，消去得，整理得.
因为，所以，即.
又，所以.
因为，所以 .
综合①、②得，函数存在“保值”区间，此时的取值范围是
.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性，函数的最值与值域等性质的综合应用，其中正确理解所给新定义，并根据新定义构造满足条件的方程（组）或不等式（组），将新定义转化为数学熟悉的数学模型求解是解答此类问题的关键，着重考查了转化思想和分类讨论思想的应用，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
26 已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A.( －∞,－1)
B. (－1,3)
C. (－3,+∞)
D. (－3,1)
【答案解析】 B
【分析】
原命题等价于恒成立，故即可，解出不等式即可.
【详解】因为命题“，使”是假命题，所以
恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．
故选B．
【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。

而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.。