实验2 信号的时域采样与频域采样(讲稿)

实验2 时域采样与频域采样
知识要点：
（1）时域采样定理和频域采样定理
（2）信号的采样方法
连续时间信号的采样方法为T ()()s t n f t f t ==，理想采样信号的傅立叶变换可
用相应的采样序列的傅立叶变换得到，即ˆ()()j a
T
X j X e ωω=ΩΩ=，用DFT 近似计算
连续信号频谱的方法为()T DFT[()]a X k x n =⋅。

连续谱的离散化方法为在一个周期内对连续频谱进行N 点等间隔采样，即
2k k N
πω=，用DFT 计算离散信号频谱的方法为()DFT[()]X k x n =。

（3）用FFT 计算有限长采样序列的傅立叶变换（DFT ）
（4）连续时间信号的采样点数用公式p s N T F =⨯计算
（5）频域采样时，频率分辨率为p F=1，各采样点上的频率为(1)k p f T k =。

（6）FFT 函数的基本用法
FFT 函数格式为Xk= fft(xnt,M)，其中M 表示FFT 的点数。

实验内容1：时域采样理论的验证（非周期连续信号）
给定模拟信号
0()sin()()t a x t Ae t u t α-=Ω
式中444.128A =，α=，0rad s Ω=。

用DFT （FFT ）求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。

选取三种采样频率，即1kHz,300Hz 200Hz s F =，。

观测时间选64p T ms =。

采样点数用公式p s N T F =⨯计算。

设计方法：
（1）初始化设置（如观测时间、采样频率、采样间隔等）。

（2）计算时域采样点数。

（3）生成时域抽样信号。

（4）用fft 函数计算频谱。

（5）计算频域采样点上的频率，绘制频谱图。

程序运行结果：
（1）采样频率1000Hz s F =
n
x a (n T )
(a) F s =1000Hz,采样点数
=64
5001000
(b) DFT[x a (nT)],F s =1000Hz f(Hz)
幅
度
5001000
(c) T*DFT[x a (nT)],F s =1000Hz f(Hz)
幅度
图2-1 采样频率1kHz s F =
（2）采样频率300Hz s F =
n
x a (n T )
(a) F s =300Hz,采样点数=19
100
200
300
(b) DFT[x a (nT)],F s =300Hz f(Hz)
幅度
100
200
300
(c) T*DFT[x a (nT)],F s =300Hz
f(Hz)
幅度
图2-2 采样频率300Hz s F =
（3）采样频率200Hz s F =
n
x a (n T )
(a) F s =200Hz,采样点数
=13
50
100150
200
(b) DFT[x a (nT)],F s =200Hz
f(Hz)
幅度
50
100150
200
00.20.40.60.8
(c) T*DFT[x a (nT)],F s =200Hz f(Hz)
幅度
图2-3 采样频率200Hz s F =
实验结果分析：
时域采样理论的验证程序运行结果如图2-1至2-3所示。

由图可见，采样序列的频谱的确是以采样频率为周期对模拟信号频谱的周期延拓。

当采样频率为1000Hz 时频谱混叠很小；当采样频率为300Hz 时，在折叠频率150Hz 附近频谱混叠很严重；当采样频率为200Hz 时，在折叠频率100Hz 附近频谱混叠更严重。

实验内容2：频域采样理论的验证
给定信号如下：
1
013()271426
0n n x n n n else
+≤≤⎧⎪
=-≤≤⎨⎪⎩
编写程序分别对频谱函数[]()FT ()j X e x n ω=在区间[]0,2π上等间隔采样32点和16点，得到32()X k 和16()X k ： 23232()()0,1,2,31j k X k X e k ωπω=
== 21616
()()
0,1,2,15j k X k X e k ωπω=
==
再分别对32()X k 和16()X k 进行32点和16点IFFT ，得到32()x n 和16()x n ： []323232()IFFT ()0,1,2,31x n X k n == []161616
()IFFT ()0,1,2,15x n X k n ==
分别画出()j X e ω、32()X k 和16()X k 的幅度谱，并绘图显示()x n 、32()x n 和16()x n 的波形，进行对比和分析，验证总结频域采样理论。

设计方法：
（1）初始化设置（如FFT 点数、序列的位置向量等）。

（2）生成三角波序列。

（3）计算32点FFT 和16点FFT 。

① 直接调用MATLAB 函数fft 计算[]3232()FFT ()X k x n =就得到()j X e ω在
[]0,2π的32点频率域采样32()X k 。

② 抽取32()X k 的偶数点即可得到()j X e ω在[]0,2π的16点频率域采样
16()X k ，即1632()(2),0,1,2,,15X k X k k == 。

③当然也可以按照频域采样理论，先将信号()x n 以16为周期进行周期延拓，取其主值区（16点），再对其进行16点DFT （FFT ），得到的就是()j X e ω在[]0,2π上的16点频率域采样16()X k 。

（4）用ifft 函数恢复时域信号。

（5）绘制三角波波形图及其频谱图。

序列x(n)的1024点FFT 的幅度值可用于近似描述序列x(n)的幅度谱（FT ），其0-2π周期内的归一化频率可用k=0:1023;wk=k/1024; 描述。

（5）绘制32点FFT 和16点FFT 幅度谱及经IFFT 运算恢复的三角波信号波形图。

实验结果分析：
频域采样理论的验证程序运行结果如图2-4所示。

（1）对信号()x n 的频谱函数在[]0,2π上进行16（N=16）点等间隔采样时，得到的序列正是原序列()x n 以16为周期进行周期延拓后的主值区序列：
()IDFT[()]()()N N N N i x n X k x n iN R n ∞=-∞⎡⎤
==+⎢⎥⎣⎦
∑
由于N M <，所以发生了时域混叠失真，因此与()x n 不相同，如图2-4（c ）和（d ）所示。

（2）对信号()x n 的频谱函数在[]0,2π上进行32（N=32）点等间隔采样时，得到的序列正是原序列()x n 以32为周期进行周期延拓后的主值区序列，由于
N M >，所以不存在时域混叠失真，因此与()x n 相同，如图2-4（e ）和（f ）所
示。

程序运行结果：
0.51
0100
200(a) 原序列的频谱FT[x(n)]f=ω/2π
|X (e j ω)|
(b) 原
始三角波序列x(n)n
x (n )
(c) 16点DFT 频
域采样
k
|X 16(k )|
10
20
30
(d) 16点IDFT[X 16(k)]
n
x 16(n )
(e) 32点DFT 频域采样
k
|X 32(k )|
(f) 32点IDFT[X 32(k)]
n
x 32(n )
图2-4 频域采样理论的验证
思考题简答：
如果序列()x n 的长度为M ，希望得到其频谱()j X e ω在[]0,2π上的N 点等间隔采样，当N M <时，如何用一次最少点数的DFT 得到该频谱采样？ 答：先对原序列()x n 以N 为周期进行周期延拓后取主值区序列（原序列信息被叠加在主值区），即
()()()N N i x n x n iN R n ∞=-∞⎡⎤
=+⎢⎥⎣⎦
∑
再计算N 点DFT 则得到N 点频域采样：
2()DFT[()] =()
, 0,1,2,,1j N N N k N
X k x n X e k N ωπ
ω=
==-。