中心对称及图案设计(讲练8题型)(原卷版)

中心对称及图案设计
中心对称和中心对称图形
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个
图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
题型1：中心对称和中心对称图形
1对于以下说法，其中正确的有（）
①对角线相互垂直的四边形是菱形；②成中心对称的两个图形是全等形；③平行四边形的对称中心是对角线的交点；④正方形的对角线平分一组对角．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式13】近年来，我国新能源汽车产业快速发展，生产和销售稳定增长．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
题型2：中心对称的性质求角度
2.如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称，要得到△DEF，需要将△ABC绕点O旋转角是
【变式21】
△△△△△ABC△△△O△AC△△△△△CDA△△ABC△△△O△△△△△△AB=6△△BAC=40°△△CD△△△△ △△ACD△△△△ °。

【变式22】
△△△△△△△△△△△O△△△△△a△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△a△△△△△△△△
°°°°
3.如图是一个以O 为对称中心的中心对称图形，若∠A=30°， ∠C=90°，OC=1，则AB 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．23
D ．43
【变式31】
△△△△△ABCD△△△△AC△BD△△△O△△△BOC△△△C△△180°△△△B'O'C△△AC=2△AB′=5△△△△AB CD△△△△△ △
A.3
B.4
C.√15
D.√17
【变式32】如图，BO 是等腰三角形ABC 的底边中线，2,4,AC AB PQC ==与BOC 关于点C 中心对称，连接AP ，则AP 的长是（ ）
A ．4
B ．42
C ．25
D ．26
题型4：确定对称中心及中心对称作图
4.如图，在正方形网格中，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，J 是网格线交点，ABC 与DEF 关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点G B．点H C．点I D．点J
【变式41】如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，点A的对称点为点A′，请你用尺规作图的方法，找出对称中心O，并作出△A′B′C′．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【变式42】如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称.
（1）作出它们的对称中心O，并简要说明作法；
（2）若AB=6，AC=5，BC=4，求△DEF的周长；
（3）连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．
关于原点对称的点的坐标特征
关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.
5.平面直角坐标系中，点()9,2-关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．()9,2- B ．()9,2-
C ．()2,9
D ．()2,9--
题型6：关于原点对称的点的坐标特征及应用
6.若点()3P m m --，关于原点对称的点在第二象限，则m 的取值范围为（ ） A ． 3m > B ．03m << C ． 0m < D ． 0m <或3m >
【变式62】在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC 的顶点
均在格点上，点C 的坐标为（0，1），请按要求画图与作答：
△请画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1；
△请画出△ABC绕着点C顺时针旋转90°后的△A2B2C2；
△求△A2B2C2的面积．
中心对称、轴对称、旋转对称
1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：
2.中心对称图形与轴对称图形比较：
注意：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.
题型7：综合利用平移、轴对称、旋转进行图案设计
7.风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，才能在风口处平稳旋转．现有一长条矩形硬纸板（其中心有一个小孔）和两张全等的矩形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车．正确的粘合方法是（）
A．B．
C．D．
【变式71】如图，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形.（用阴影表示）
（1）使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；
（2）使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图；
（3）使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
【变式72】如图，从正三角形出发，利用旋转，作一个飞鸟图．请你也利用正三角形用旋转设计一个图案．
题型8：利用轴对称和中心对称设计方案
8.认真观察图（1）﹣（4）中的四个图案，回答下列问题：
（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：；特征2：（2）请你在图5中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．
【变式81】如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出ABC，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：
（1）图①中所画的三角形与ABC组成的图形是轴对称图形；
（2）图②中所画的三角形与ABC组成的图形是中心对称图形．
【变式82】在下列正方形网格中，点A是⊙O上一点（点A和圆心O均为格点）.
（1）在图1中不过点A画⊙O的3条弦（要求弦的端点均为格点），使3条弦与⊙O组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）在图2中不过点A画⊙O的3条弦（要求弦的端点均为格点），使这3条弦与⊙O组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（3）在图3中不过点A画⊙O的5条弦（要求弦的端点均为格点），使这5条弦与⊙O组成的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形.
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．将两张全等的正方形透明纸片叠放在一起，并使其中心重合，得到如图所示的图形，则该图形（ ） A ．既是轴对称图形又是中心对称图形 B ．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 C ．是轴对称图形但不是中心对称图形 D ．是中心对称图形但不是轴对称图形
3．下列命题是假命题的是（ ）
A ．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C ．四边形的内角和是360︒
D ．旋转不改变图形的形状和大小
4．在平面直角坐标系中有三个点()1,1A -､()1,1B --､()0,1C ，点()0,2P 关于A 的对称点为11,P P 关于B 对称点22,P P 关于C 的对称点为3P ，按此规律继续可以以､､A B C 为对称中心重复前面的操作，依次得到456,,P P P ，
，则点2020P 的坐标是（ ）
A ．()0,0
B ．()2,2--
C ．()2,4-
D ．()4,2-
5．如果一个正多边形绕着它的中心旋转60后，能与原正多边形重合，那么这个正多边形（ ） A ．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B ．既是轴对称图形，又是中心对称图形 C ．是中心对称图形，但不是轴对称图形 D ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 二、填空题
要求的图形所对应的序号）
8．如图，∠A 1B 1C 1是∠ABC 关于点O 成中心对称的图形，点A 的对称点是点A 1，已知AO ＝4cm ，那么AA 1＝ cm ． 三、解答题
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点()()()5,2,4,5,3,3A B C ---． (1)在平面直角坐标系中画出ABC ；
(2)若111A B C △与ABC 关于原点O 成中心对称，请在平面直角坐标系中做出111A B C △并写出111,,A B C 三点的坐标．
10．如图，在6×6的方格纸中，请按要求画出以AB 为边的格点四边形（端点在格点上） (1)画出一个以线段AB 为边的四边形ABGH ，使其是中心对称图形且面积9． (2)画出一个以线段AB 为边的四边形ABMN ，使其满足仅有一对对角都为直角．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知∠ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣4，3），B （﹣3，1），C （﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①平移∠ABC ，使点A 的对应点A 1的坐标为（﹣4，﹣3），请画出平移后的∠A 1B 1C 1； ②∠A 2B 2C 2与∠ABC 关于原点O 中心对称，画出∠A 2B 2C 2．
（2）若将∠A 1B 1C 1绕点M 旋转可得到∠A 2B 2C 2，请直接写出旋转中心M 点的坐标 ．。