数学选修1-1第二章测试卷(含答案)

第二章测试卷 (本栏目对应学生用书P81)
一、选择题(每小题5分，共60分) 1．抛物线y ＝－2x 2的准线方程是( ) A ．x ＝－1
2
B ．x ＝1
2
C ．y ＝1
8
D ．y ＝－1
8
【答案】C
【解析】化成标准方程为x 2＝－12y ，所以准线方程为y ＝1
8
.
2．已知P ，Q 是椭圆9x 2＋16y 2＝1上的两个动点，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点O 到弦PQ 的距离必等于( )
A ．1
B ．2
C ．1
5
D ．3 【答案】C
【解析】选用特殊值法．选P ⎝⎛⎭⎫0，14，Q ⎝⎛⎭
⎫1
3，0即可． 3．设抛物线y ＝ax 2(a >0)与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)有两个公共点，其横坐标分别是x 1，x 2，而x 3是直线与x 轴交点的横坐标，则x 1，x 2，x 3关系是( )
A ．x 3＝x 1＋x 2
B ．x 3＝1x 1＋1
x 2
C ．x 1x 2＝x 2x 3＋x 1x 3
D ．x 1x 3＝x 2x 3＋x 1x 2 【答案】C
【解析】联立直线和抛物线的方程，得ax 2－kx －b ＝0，x 1x 2＝－b a ，x 1＋x 2＝k
a ，由直线方程x 3＝－
b
k
，结合得出答案． 4．若以x 2＝－4y 上任一点P 为圆心作与直线y ＝1相切的圆，那么这些圆必定过平面内的点( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(0，－1) D ．(－1，－1) 【答案】C
【解析】由抛物线的定义可得．
5．已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率是( )
A ．
52
B ．2
C ．3
D ． 5
【答案】A
【解析】由于直线2x ＋y ＋1＝0的斜率为－2，故k ＝14，∴x 24－y 2
＝1，由离心率e ＝
1＋b 2
a 2＝54
＝5
2
. 6．若抛物线y 2＝mx
与椭圆x 29＋y 2
5
＝1有一个共同的焦点，则m 的值为( )
A ．8
B ．－8
C ．±8
D ．±4
【答案】C
【解析】由已知椭圆的焦点为(2,0)，(－2,0)，∴m 4＝2或m
4
＝－2.∴m ＝8或m ＝－8.
7．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫b 2＋c 2
有四个交点．其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率范围是( )
A ．
55<e <3
5
B ．0<e <2
5
C ．25<e <3
5
D ．
35<e <45
【答案】A
【解析】数形结合可知圆与椭圆有四个交点，则满足b <b
2＋c <a ，结合b ＝
a 2－c 2可求得离心率的
范围是
55<e <35
. 8．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ∈[2，2]，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实
轴为角平分线的角为θ，则此角的取值范围是( )
A ．⎣⎡⎦⎤π6，π2
B ．⎣⎡⎦⎤π3，π2
C ．⎣⎡⎦⎤π2，2π3
D ．⎣⎡⎦⎤2π3，5π6
【答案】C 【解析】b a
＝
e 2－1∈[1，3]，
∴θ2∈⎣⎡⎦
⎤
π4，π3.∴θ∈⎣⎡⎦⎤π2，2π3.
9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2
b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的
三角形一定是( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形
【答案】C
【解析】双曲线的离心率e 21＝
a 2＋
b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 21e 2
2＝1，即a 2＋b 2a 2×m 2－b 2
m 2
＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2.
10．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A ．有且只有一条
B ．有且只有两条
C ．有无穷多条
D ．不存在
【答案】B
【解析】抛物线的焦点弦中最短的是通径，长为2p ＝4<5，所以这样的直线有两条．
11．(2015年菏泽模拟)设双曲线x 2m ＋y 2
n ＝1的离心率为2且一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，
则此双曲线的方程为( )
A ．x 23－y 2
＝1
B ．x 24－y 2
12＝1
C ．y 2－
x 2
3
＝1 D ．x 212－y 2
4＝1
【答案】C
【解析】抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，所以n >0>m ，n －m ＝4，
2
n
＝2.所以n ＝1，m ＝－3.故选C ． 12．(2015年太原模拟)已知P 是抛物线y 2＝2x 上动点，A ⎝⎛⎭⎫
72，4，若点P 到y 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )
A ．4
B ．9
2
C ．5
D ．112
【答案】B
【解析】因为点P 在抛物线上，所以d 1＝|PF |－12(其中点F 为抛物线的焦点)，则d 1＋d 2＝|PF |＋|P A |
－12≥|AF |－12
＝⎝⎛⎭⎫72－122＋42－12＝5－12＝92
，当且仅当点P 是线段AF 与抛物线的交点时取等号，故选
B.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知点(－2,3)与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离是5，则p ＝________. 【解析】抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫
p 2，0，由两点间距离公式，得⎝⎛⎭
⎫p 2＋22＋32＝5，解得p ＝4.
【答案】4
14．过(0,3)作直线l ，若l 和双曲线x 24－y 2
3＝1只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条．
【解析】直线与双曲线有一个公共点时有两种情况，一是相交，此时与渐近线平行，一是相切，要考虑全面．
【答案】4
15．过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线l 的倾斜角θ≥π
4，l 交抛物线于A ，B 两点且A 在x 轴上方，
则|F A |的取值范围是____________．
【解析】直线过焦点，AF 的长可转化为点A 到准线的距离，所以A 点的横坐标越大，AF 的长越大，最小在O 点时，|OF |＝14.最大是AF 的倾斜角为π
4时，设A (x 0，y 0)，过A 作x 轴的垂线，垂足为C ，
在△ACF 中，|AC |＝y 0，|CF |＝x 0－14.因为|AC |＝|CF |，即y 0＝x 0－14，结合y 20＝x 0，得y 0
＝2＋12，|AF |＝2y 0＝1＋
2
2
. 【答案】⎝⎛⎦⎤14
，1＋2
2
16．过椭圆x 25＋y 2
4＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则
△OAB 的面积为________．
【解析】由题意知右焦点坐标为(1,0)， 斜率为2的直线方程为 2x －y －2＝0.
则⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y －2＝0，x 25＋y 24＝1，
消去x ，得 3y 2＋2y －8＝0.
解得y 1＝－2，y 2＝4
3.
∴S △AOB ＝1
2×1×⎝⎛⎭⎫|－2|＋43＝53. 【答案】5
3
三、解答题(共70分)
17．(10分)指出方程(m －1)x 2＋(3－m )y 2＝(m －1)(3－m )所表示的曲线的形状． 【解析】当m ≠1，m ≠3时，把方程写成x 23－m ＋y 2
m －1＝1.
当1<m <3，m ≠2时，方程表示椭圆； 当m ＝2时，方程表示圆；
当m <1或m >3时，方程表示双曲线； 当m ＝1时，方程表示x 轴； 当m ＝3时，方程表示y 轴．
18．(12分)已知圆(x ＋1)2＋y 2＝16的圆心为B 及点A (1,0)，点C 为圆上任意一点，求线段AC 的垂直平分线l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程．
【解析】如图，因为P 在AC 的垂直平分线上，所以|P A |＝|PC |，半径R ＝4
＝|BC |＝|PC |＋|PB |，所以|P A |＋|PB |＝|PC |＋|PB |＝4>|AB |＝2.
所以P 点轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，此椭圆中a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，方程为x 24＋y 2
3
＝1.
19．(12分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x －1截得的弦长为15，求抛物线方程．
【解析】设抛物线方程为y 2＝ax ，直线与抛物线的两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2y 2)，
联立方程得⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x －1，
y 2＝ax ，消去y 得4x 2－(4＋a )x ＋1＝0，
x 1x 2＝1
4，x 1＋x 2＝4＋a 4，
|AB |＝
1＋k 2|x 1－x 2|
＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝ 5 ×
⎝⎛⎭
⎫1＋a 42－1＝15， 解得a ＝－12或a ＝4，所以抛物线方程为y 2＝－12x 或y 2＝4x .
20．(12分)设双曲线方程与椭圆x 227＋y 2
36＝1有共同焦点且与椭圆相交，在第一象限的交点为A 且A
的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
【解析】由椭圆方程x 227＋y 2
36＝1得
椭圆的两个焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． ∵椭圆与双曲线的交点A 的纵坐标为4， ∴这个交点为A (15，4)．
设双曲线方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
42a
2－(15)2b 2＝1，
a 2＋
b 2＝32，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2
＝5.
故所求双曲线方程为y 24－x 2
5
＝1.
21．(12分)若抛物线y ＝－x 2－2x ＋m 和直线y ＝2x 相交于不同的两点A ，B . (1)求m 的取值范围； (2)求|AB |；
(3)求线段AB 的中点坐标． 【解析】联立方程得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝2x ，
y ＝－x 2－2x ＋m ，消y 得x 2＋4x －m ＝0. (1)∵直线与抛物线有两个相异交点， ∴Δ>0，即42－4(－m )>0. ∴m >－4.
(2)当m >－4时，方程x 2＋4x －m ＝0有两个相异实根，设为x 1，x 2，由根与系数的关系x 1＋x 2＝－4，x 1·x 2＝－m ，
∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2
(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝2
5m ＋20.
(3)设线段AB 的中点坐标为(x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝－4
2＝－2，
y ＝y 1＋y 22＝2x 1＋2x 2
2
＝－4，
∴线段AB 的中点坐标为(－2，－4)．
22．(2014年新课标Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点
且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .
(1)若直线MN 的斜率为3
4
，求C 的离心率；
(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .
【解析】(1)根据c ＝
a 2－
b 2
及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .由MN 的斜率为34，可得b 2
a 2c ＝34
，即2b 2＝3aC ．
将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为1
2
.
(2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1
的中点，故b 2
a
＝4，即b 2＝4A ．
①
由|MN |＝5|F 1N |， 得|DF 1|＝2|F 1N |.
设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则 ⎩⎪⎨
⎪⎧
2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝－32
c .y 1＝－1.
代入C 的方程，得9c 24a 2＋1
b 2＝1.
②
将①及c ＝
a 2－
b 2代入②，
得9(a2－4a)
4a2
＋1
4a
＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2 7.。