双曲线及其标准方程练习题答案及详解

双曲线及其标准方程练习题高二一部数学组刘苏文2017年5月2日
一、选择题
1．平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是()
A．双曲线B．一条直线C．一条线段D．两条射线
2．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是()
A．－1<k<1 B．k>0C．k≥0 D．k>1或k<－1
3．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为()
A．双曲线的一支B．圆C．抛物线D．双曲线
4．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是
A.－y2＝1 B．y2－＝1C.－＝1 D.－＝1
5．“ab<0”是“曲线ax2＋by2＝1为双曲线”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是()
A.－＝1
B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
7．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是() A．±1 B．1C．－1 D．不存在
8．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6，
则曲线方程为()
A.－＝1
B.－＝1(y>0)
C.－＝1或－＝1
D.－＝1(x>0)
9．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是()
A．16 B．18C．21 D．26
10．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为()
A．m－a B．m－b C．m2－a2 D.－
二、填空题
11．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线标准方程是________．
12．过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________．13．如果椭圆＋＝1与双曲线－＝1的焦点相同，那么a＝________. 14．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
三、解答题
15．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
16．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且·＝0，求点M到x轴的距离．
答案及详解
1、D
2、A由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1<k<1.
3、A设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，
由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，
由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．
4、B由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，双曲线方程为y2－＝1.
5、C ab<0?曲线ax2＋by2＝1是双曲线，曲线ax2＋by2＝1是双曲线?ab<0.
6、C∵c＝，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，
∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.
7、A验证法：当m＝±1时，m2＝1，对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.
对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，故当m＝±1时，它们有相同的焦点．
直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.∴m2＝1，即m＝±1.
8、D由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6
的双曲线的右支，其方程为：－＝1(x>0)
9、D|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，
∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.
10、A设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2，
由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2.∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，∴|PF1|·|PF2|＝m－a.
11、－＝1
12、∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，∴c＝，该弦所在直线方程为x＝，
由得y2＝，∴|y|＝，弦长为.
13、1由题意得a>0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1.
14、－＝1(x≤－2)设动圆圆心为P(x，y)，由题意得|PB|－|P A|＝4<|AB|＝8，
由双曲线定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点，且2a＝4，a＝2的双曲线的左支．
其方程为：－＝1(x≤－2)．
15、椭圆＋＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：－＝1(a>0，
b>0)，
又点A(x0,4)在椭圆＋＝1上，∴x＝15，又点A在双曲线－＝1上，∴－＝1，
又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5，所求的双曲线方程为：－＝1.
16、解法一：
设M(x M，y M)，F1(－，0)，F2(，0)，＝(－－x M，－y M)，＝(－x M，－y M)
∵·＝0，∴(－－x M)·(－x M)＋y＝0，
又M(x M，y M)在双曲线x2－＝1上，∴x－＝1，
解得y M＝±，
∴M到x轴的距离是|y M|＝.
解法二：连结OM，设M(x M，y M)，∵·＝0，
∴∠F1MF2＝90°，∴|OM|＝|F1F2|＝，
∴＝①又x－＝1②
由①②解得y M＝±，∴M到x轴的距离是|y M|＝.。