概率统计总复习(含答案)

概率统计总复习
一填空选择题
考点1 掌握事件的关系与运算，会写样本空间
1．试验E 为抛一枚硬币,观察正面H ,反面T 出现的情况,则E 的样本空间S = .
2．设,,A B C 为随机事件,则,,A B C 中至少有一个发生可表示为 ,,A B C 同时发生可表示为
考点2古典概型的计算；
1.同时抛掷3枚均匀的硬币,则恰好有2枚正面朝上的概率是
2.袋中有5个球,其中3个新球,2个旧球,每次取一个,无放回地取两次,则两次取到的均为新球的概率为 .
3．一袋中装有6个球，其中3个白球，3个红球，依次从中取出2个球（不放回），则两次取到的均为白球的概率为 15。

4．从1,2,3,4,5五个数中任意取两个数,则这两个数中含偶数的概率是 考点3 概率的计算
A 概率的性质和事件的独立性综合计算
1．已知(),()0.2,()0.96P A a P B P A B ==⋃=，若事件AB 相互独立，则 a =1/20 2 设()0.4,()0.3P A P B ==，,A B 独立，则()P AB = ()____P A B -=. 3．设事件A 与B 相互独立,已知()0.5,()0.8P A P A B == , ()P AB = . B 条件概率相关计算
1．设事件A 与B 独立,且()0.4P A =,(|)0.5P B A =,则()P AB = 2．设()0.3P AB =,(|)0.4P B A =,则()P A = .
3．已知()0.5,()0.6,()0.4P A P B P B A ===，那么()P AB = __0.2_____，
()P AB =_0.4____, ()P A B ⋃=_______0.7_____.
C 正态分布概率相关计算
1．设随机变量~(1,1)X N ,则{02}P X <<= .（(1)0.8413Φ=）
2.已知2
~(1,)X N σ，{12}0.3P X <<=，则{0}P X <=____0.2_____.
3 设随机变量(1,4)X N ，则(13)P X -<<= ;若()0.5,P X a >= 则a = .
0.6826,1
4．随机变量),2(~2
σN X ，(04)0.3,<<=P X 则(0)<=P X 。

0.35
D 其它
设随机变量~(1,1),~(1,1)X N Y N -,且X 与Y 相互独立,则{0}P X Y +>= 考点4 分布函数、分布律、密度函数相关的性质：
1．设X 的分布函数为2
0,0(),021,2x F x Ax x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩
，则A =（1/4）.
2.设离散型随机变量的概率分布律为{},10,0,1,2,k P X k b b k λ==>>= ，则
λ=____1-b______.
3
则=a 。

4．设随机变量的概率密度函数为3,(0,1)
()0,cx x f x ⎧∈=⎨⎩其它
，则c =___4_______.
5．设X 的密度函数()1,0440,x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，则分布函数0,
01(),0444
1,x F x x x x ⎧≤⎪⎪
=<<⎨⎪≥⎪⎩
6设连续型随机变量X 的分布函数1
()arctan ()F x A x x π
=+-∞
<<+∞,则常数A = .
考点5 数字特征（数学期望，方差，协方差）：
1．设独立随机变量,X Y 同分布，21EX DX ==、，则
(2)_______,E X Y +=(2)______D X Y =－
答 (2)2426E X Y EX EY +=+=+=，2(2)2415D X Y DX DY =+=+=－
2．设()0.5E X =，则()2E X = 。

()2220.51E X EX ==⨯=
3．设)9,2(~N X ，则=)(2X E
222()()9213E X DX EX =+=+=
4．设随机变量~()X πλ,则2()E X = .
222()()E X DX EX λλ=+=+
5. 设~(2,2),~(1,1)X N Y N ,且X 与Y 独立,设Z X Y =-,则Z 服从
分布.
211EZ EX EY =-=-=
213DZ DX DY =+=+= ~(1,3)Z N
6．设随机变量X 服从(1,3)上的均匀分布,则(2)E X = .
31
(2)2242
E X EX +===
7．设随机变量X 服从二项分布(,0.4)B n ,且4.2)(=X E ,则()D X = . ()0.4 2.4E X np n =
=⨯=，(
)0.40.6 2.40.6 1.44D
X npq n ==⨯⨯=⨯= 8.设,X Y 为两个随机变量，1,6,cov(,)2,DX DY X Y ===则,X Y ρ=____，
(2)D X Y -=______.
,X Y ρ=
== (2)(2)()2ov(2,)
422ov(,)462222
D X Y D X D Y C X Y DX DY C X Y -=+-=+-⨯=+-⨯⨯=
9．设随机变量X 服从(1,3)上的均匀分布,则1
(
)E X
= 提示：1,
13()2
0,
x X f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩ 其它31111()()2E f x dx dx X x x ∞∞==⎰⎰＋－ 10.设随机变量X 服从参数为0λ>的泊松分布,且[(1)(2)]1E X X --=,则λ= 2 .
11．设随机变量X 的数学期望()3E X =，则[()]E E X = 3 .
考点6 中心极限定理（考的可能性较小）
1 设()~10000,0.1X B ，使用中心极限定理计算{}1030P X ≤≈ .
()()9772.02,8413.01=Φ=Φ 0.8413
考点7 分位数相关计算
1.已知)1,0(~N X ，则=≤)(05.0u X P 。

0.95 2．设随机变量2~
()X n χ,且132{()}P X n p χ<=,则=p .
考点7 几个重要的抽样分布及抽样分布定理
1．设1021,,,X X X 是来自总体X )1,0(~N 的样本,则随机变量10
21
i i X =∑
服从 分布.
10
22
1
()i i X n χ=∑
2．设1,,n X X 为取自总体X 的样本， ()
2
,X N μσ ，样本均值为X ，则
P X μ⎧
>=⎨⎩
.
考点8 估计量的评价准则（无偏估计量）
112,X X 是来自总体2(,)N μσ的样本,当,a b 满足___________时，12aX bX +是μ的无偏估计.
1a b +=．
2设12,X X 是来自总体X 的一个样本,且总体X 的数学期望()E X μ=,若
121
3
CX X +是μ的无偏估计量,则常数C = .
考点9 置信区间与假设检验：
1、设总体2
~(,)X N μσ，从该总体抽取容量16=n 的样本，计算得样本均值10=x ，样本方差16s =，写出正态总体方差2
σ的置信水平为95.0的置信区间
24024010:27.488 6.262⎛⎫
⎪⎝⎭。

2．设来自总体2
~(,4)X N μ容量为16的简单随机样本的样本均值5x =,则未知参数μ的置信度为95.0的置信区间长度为 3.92 .
3、设总体2
~(,)X N μσ，从该总体抽取容量16=n 的样本，计算得样本均值10=x ，样本方差16s =，写出正态总体方差2
σ的置信水平为95.0的置信区
间 。

39、设总体2~(,)X N μσ（σ未知），从该总体抽取容量16=n 的样本，则关于假设0010::H H μμμμ≤↔>的显著性水平0.05α=的检验拒绝域是 。

设总体2~(,)X N μσ（σ未知）
，从该总体抽取容量16=n 的样本，则关于假设0010::H H μμμμ≤↔>的显著性水平0.05α=的检验拒绝域是 1.753t ≥。

4．设总体2~(,)X N μσ,,μσ均未知,12,,,n X X X 为来自总体X 的样本,X 为样本均值,2
S 为样本方差,欲检验假设0010:,:H H μμμμ=≠,则检验水平为α
的检验拒绝域为
≥
二、求解下列概率问题
考点1 条件概率3大公式（考的概率较小）
1（本题10分）已知某电子元件的寿命X 服从参数为
1
1500
指数分布，求 （1）元件寿命超过1000小时的概率；（2）5个这样的元件使用1000小时，至少有一个损坏的概率.
(1) 100021500
3
{1000}P X e
e -
-
>== 5’
(2) 5
2103311e e --⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
5’
2、)15(分设一批产品中，A 、B 、C 三工厂生产的产品各占50%、30%、20%，次品率分别为0.02、0.04、0.05，现从中任取一件产品，⑴)10(分求取得的产品是次品的概率；(2) )5(分若已知取得的产品是正品，求该产品是A 工厂产品的概率。

解：设321,,A A A 分别表示产品取自C B A ,,三工厂，事件B 表取到产品为次品。

⑴)()()()()()()(332211A P A B P A P A B P A P A B P B P ++=
032.02.005.03.004.05.002.0=⨯+⨯+⨯=……………………................10分
⑵484245
032.015.098.0)(1)()()
()()()(11111=
-⨯=-==B P A P A B P B P A P A B P B A P ……………..5分 3、（15分）一袋中装有7个黑球，3个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）。

（1） 若第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率； （2） 求两次取出的都是黑球的概率； （3） 求第二次取出的是黑球的概率。

（1）23 （5分） （2）
715 （5分） （3）7
10
（5分） 考点2 求概率
1、（本题10分）设随机变量X 在[0,3]上服从均匀分布，求关于y 的方程
24420y Xy X +++=有实根的概率.
2．)10(分设()()()2
~10,2,614,
102X N P X P X ≤≤-≥求。

提示610101410
{614}{
}
222
(2)(2)2(2)10.9544
X P X P ---≤≤=<≤=Φ-Φ-=Φ-= .5分 ⑵
)1()1(1)12
10
()1210()1210(
)210(-Φ+Φ-=-≤-+≥-=≥-=≥-X P X P X P X P 3174.0))1(1(2=Φ-=……
3、（10分）设()1,2~N X ，求{}{}31,4≤≤>X P X P 。

提示：(4)1(2)0.0228(5)(13)2(1)10.6826(5)P X P X '>=-Φ='≤≤=Φ-=
4、（10分）设X 服从二项分布，即{}55(1),0,1,,5k k
k P X k C p p k -==-= ，已知{}51(0.6)P X ≥=，求{}2P X ≥。

提示： {
}5
010.61P X p ==-⇒= 5分）
{}{}{
}4
55
5
2110.65(10.6)P X P X P X ≥==≥-==-- （5分）
5．设随机变量X 在[0,3]上服从均匀分布,Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件
{1}X <出现的次数,求{2}P Y =.
提示： 由于~[0,3]X ,因此X 概率密度为13
()0,x f x ≤≤⎧=⎨⎩
其它.
1011
{1}33
p P X dx =<==⎰
由题知1~(3,)3Y B ，所以2
23
112
{2}1339
P Y C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ 考点3 离散型和连续型概率的求法与期望和方差的计算 1、（本题
(1) 求 1.5 1.5P X -<<; (2) 求分布函数()F x ; (3) 求出期望 方差()D X .
提示：
1.(1)()()()()51.5 1.51016
P x P X P X P X -<<==-+=+== ………4’
(2)
0,
21,2161,
10()25,0161,
1
x x x F x x x <-⎧⎪-≤<-⎪⎪⎪
-≤<=⎨⎪
≤<⎪⎪≥⎪⎩ ………4’
(3)()()()2
221711,4,()()42612
E X E X D X E X EX ''=-
==-= 2、（本题12分）设随机变量X 的密度函数,01()2,120,x x f x x x <<⎧⎪
=-≤<⎨⎪⎩
其他 ,
(1) 求()0.5P X ≥; (2) 求出期望(),E X 方差()D X . 提示：(1) 1
2
0.51
317
(0.5)(2)828
P X xdx x dx ≥=
+-=+=⎰⎰ ………4’
(2)()1
2
1
(2)1E X x xdx x x dx =
⋅+-=⎰
⎰ ………4’
1222220171
()()()(2)1166
D X E X EX x xdx x x dx =-=⋅+--=-=⎰⎰ (4)
3.设离散型随机变量X
⑴求常数a ;⑵设2
1Y X =-,求Y 的概率分布律.
提示：⑴由0.20.30.31a +++=,得0.2a =.
⑵Y 可能取值1,0,3- {1}{0}0.3P Y P X =-===,
{0}{1}{1}0.5P Y P X P X ===-+==, {3}{2}0.2P Y P X
===-=. Y 的分布律为
4. 设连续型随机变量X 的概率密度
,1231()2320,x
x f x x ⎧≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪
⎪⎪⎩
，其他. 求⑴分布函数()F x ;⑵{ 1.5}P X >;⑶()E X .
提示：⑴当1x <时，()0F x =; 当12x ≤<时，21
1()36
x
t x F x dt -=
=⎰
; 当23x ≤<时，2
1
211
()322
x t x F x dt dt -=
+=⎰
⎰;
当3x ≥时，()1F x =; （4分）
所以2
01
1,126
()1,2321,3x x x F x x x x <⎧⎪-⎪≤<⎪=⎨-⎪≤<⎪⎪≥⎩
，.
⑵5
{ 1.5}1{ 1.5}1(1.5)24
P X P X F >=-≤=-=.
⑶2312173
()3236
x E X x dx x dx =+=⎰⎰.
三、求解下列各题
考点1 求随机变量函数的分布（必考）： 1、（10分）设X 的概率密度()1,01
0,
x f x <<⎧=⎨⎩其它，1Y X =+，求Y 的密度函数。

解
00()0111x F x x x x ≤⎧⎪
=<<⎨⎪≥⎩
（5分）
112
()0
y y f y <<⎧=⎨
⎩ 其它（5分）
2、（本题8分）设随机变量X 的密度函数1,12()0,
x f x <<⎧=⎨⎩其他, 求2X
Y e =的概率密度.
1. ()21,12,
,()()()0,
x Y x f x F y P Y y P e y <<⎧==≤=≤⎨
⎩其他………3’
当0y <时，()0Y F y =; …………2’
当0,y ≥时，11
()(ln )(ln )22
Y F y P X y F y =≤=, ()().Y Y f y F y '=,
于是241,2()0,Y e y e
y f y others ⎧<<⎪=⎨⎪⎩
………3’
3．设二维随机变量(,)X Y 的概率分布律为
若X 与Y 相互独立, {0}P XY =;⑶设Z X Y =+,求Z 的概率分布律.
解：⑴
由于X 与Y α==1181
⑵1
{max(,)1}{1,1}{0,1}{1,1}3
P X Y P X Y P X Y P X Y ===-=+==+=== 1{0}{0,1}{0,1}{1,2}3
P XY P X Y P X Y P X Y ====+==+===
⑶Z 可能取值为：0123，
，， {0}
{1,1}1P Z P X Y ===-== {1}{0,1}{1,2}49P Z P X Y P X Y ====+=-== {2}{1,1}{0,2}518P Z P X Y P X Y ====+===
{3}{P Z P X ===考点2 数学期望,方差，协方差，相关系数的计算（必考）：
1． 设随机变量,X Y 相互独立，且()()()()1,2,2,4,E X E Y D X D Y ====求
()()2,,XY E X D XY ρ相关系数.
解.22()()()213E X D X EX =+=+=……………….3’
由于,X Y 相互独立，故0XY ρ= …………………..3’
()()22
222D(XY)=E XY (())()38420E XY E X Y EXEY -=-=⨯-= ……….2’
考点3 边缘分布： 1、（本题12分）设()Y X ,的联合概率分布为
（1）求边缘分布律；（2,)X Y .
2、)15(分设总体(,)X Y 的联合概率密度函数为：
⎩
⎨
⎧≤≤≤≤=其他02
1,10),(y x kxy y x f （1）)5(分求常数k ；（2）)4(分求)5.1,1(≤≤Y X P ；（3）)6(分求边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；并判断Y X 与是否独立。

解（1）344323),(11
2
1
1
=⇒====
⎰⎰⎰
⎰⎰+∞∞-+∞
∞
-k k dx kx kxydy dx dxdy y x f ⑵125
6534)5.1,1(1
1
05
.11===≤≤⎰⎰⎰dx x dy xy dx Y X P ……..…..4分
⑶10≤≤x 时，x dy xy
dy y x f x f X 234),()(2
1
===
⎰
⎰+∞
∞
-；⎩⎨
⎧≤≤=∴其他0
1
02)(x x x f X ..2分 21≤≤y 时，3234),()(1
y
dx xy dx y x f y f Y =
==
⎰
⎰+∞
∞
-；⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=∴其他0
2
132
)(y y
y
f Y …..…..2分
∴=)()(),(y f x f y x f Y X X 与Y 是相互独立 ..2分
四、求解下列数理统计问题 考点1 距估计：
1、（本题8
分）设总体X 的密度函数为
1
01
,()0,
x f x ≤≤=⎪⎩其他 ，
0θ>为未知参数,12,,,,n X X X 是取自总体的样本,求θ的矩估计.
提示 1
1
10
a EX x dx ==
=
⎰
……… 2’
2
11,1a a θ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
……3’
从而2
ˆ.1X X θ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
………3’ 2.设总体X 的概率密度为36(),0(;)0,x
x x f x θθ
θθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他
,其中0θ>为未知参
数,n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本.求⑴未知参数θ的矩估计量ˆθ;⑵ˆθ的方差
ˆ()D θ
. 提示 ：⑴113
6()()22
x
a E X x
x dx a θ
θ
θθθ
==
-=
⇒=⎰
,
X 代替1a ,得θ的矩估计值为ˆ2X θ
=. ⑵2223
063()()10x E X x x dx θθθθ=-=⎰,22
21()()[()]20
D X
E X E X θ=-= 211ˆ()4()4()5D D X D X n n
θ
θ=== 3（本题10分）设总体~(,)X B n p ，01p <<为未知参数.已知取得了样本值12(,,,)n x x x ，求p 的矩估计.
提示 ：EX np = 5’ ˆME x
p
n
= 5’ 4．（本题
01θ<<为未知参数。

已知取得了样本值1234，求的矩估计.
解. 32EX θ=- 3’ 1
(3)2x θ=- 3’
2x = 1’ 1
2
ME θ= 3’
考点2 最大似然估计：
1（本题8分）设总体X 的密度函数为
,()0,
x x e f x λλ->⎧=⎨
⎩其他， 0λ>为未知参数,12,,,,n X X X 是取自总体的样本,求λ的最大似然估计.
提示: 1
1
()ln ()ln i
n
n
X n
i i i L e
L n X λλλ
λλλ-===⇒=-∑∏……… 3’
令
ln ()0,d L d λλ=……… 3’ 得1ˆ.X
λ=………2’ 2（本题10分）设总体X 具有概率密度
1,1
()0,x x f x θθ--⎧≥=⎨
⎩其它
，0θ>为未知参数，12(,,,)n x x x 为其一组样本值. 求θ的最大似然估计.
提示:.1
111()()n
n
n i i i i L x x θθθθθ----==⎛⎫==⋅ ⎪
⎝⎭
∏∏ 3’
1
ln ()ln (1)ln n
i i L n x θθθ==-+∑ 2’
1
ln ()ln 0n
i i L n x θθθ=∂=-=∂∑ 2’ 1
ˆln MLE n
i
i n
x
θ==∑ 3’
3、（10分）设总体X 的密度函数为
(1)01
(;)0
x x f x θθθ⎧+<<=⎨
⎩其它 其中0θ>为未知参数，已知取得了样本值12,,n
x x x ，求θ的最大似然估计。

提示: 1()(1)()n n L x x θθθ=+ ˆ1ln i
n x θ
=--∑ 4、（本题10分）设总体X 具有概率密度
⎩
⎨
⎧<<+=其他
01
0)1();(x x x f θθθ，1->θθ为未知参数12(,,,)n x x x 为其一组样本值.
求θ的矩估计值.
解：2
1
21)1();()(10)2(1
01++=++=
+==
=+∞
∞-⎰⎰θθθθθθθθx dx x x dx x xf X E a 12111--=⇒a a θ 1
2112111--=--=⇒∧X X
A A θ… 121--=⇒∧x x θ…… 5、
0θ<<为未知参数。

已知取得了样本值321，求的最大似然估计值。

解：
42223213
1
)1(4)1()]1(2[)2()3()2();()(θθθθ
θθθ-=
--======∏=x p x p x p x p L i i
0142)(ln =--=∂∂θθθθL ⇒3
1
=∧θ. 6、（14分）设总体X
的概率密度101(;)
x f x
θ≤≤=⎪⎩其他 ，其中θ未知，θ>0，
1,n X X …，为取自总体的一个样本
（1） 求θ的矩估计量；
（2） 求θ的最大似然估计量.
提示:
2
2
1
1
2
2
ˆ(1)()()(7)
1ˆ(2)(),(7)
(ln )n
i X E X X n
L x x x θθθθ
'==+'==∑
)1ln(4ln 24ln )(ln θθθ-++=L
11 考点3 假设检验：
1.（本题8分）要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从这批元件中随机抽取25个，测得其寿命的平均值为950小时. 已知该种元件寿命服从标准差为100σ=小时的正态分布.试在显著性水平0.05α=下确定这批元件是否合格？设总体均值为,μ即检验假设 01:1000 H :1000H μμ≥↔<. ( 参考值：0.050.0251.645, 1.96u u ==) 提示： 拒绝域()(),, 1.645R u α=-∞-=-∞- …………3’
9501000 2.5 1.6451005-=
=-<- ………… 3’ 所以拒绝原假设0H ,即认为这批元件不合格. …………2’ 2（本题8分）已知某一试验，其温度服从正态分布()
2,N μσ，2,μσ均未知，现在测量了16个温度，其均值1259X =，样本标准差12S =，试检验下列假设(0.05)α=： 01:1277:1277H H μμ=↔≠。

提示：拒绝域()()
22,(1)(1),R t n t n αα=-∞--⋃-+∞ ()(), 2.1315 2.1315,=-∞-⋃+∞ 3’
125912776 2.1315124-==-<- ………… 3’ 所以拒绝原假设0H …………2’
3、（6分）设某种元件的寿命()σμσμ,,,~2N X 均未知，现从中抽取容量为16的一个样本，算得12,2x s ==，试检验：01:11.5:11.5H H μμ=↔≠。

()05.0=α 提示：
02.131(4),1 2.131,(6)T H '>'=< 拒绝域T 所以接受。