高中数学高考总复习-集合与函数概念知识点及习题

即本题的实质是由 a x b 求 x 2 的范围 即 f ( x) 与 f ( x 2) 中 x 含义不同
2． 求值域的几种常用方法 （ 1 ） 配 方 法 ： 对 于 （ 可 化 为 ） “二 次 函 数 型 ”的 函 数 常 用 配 方 法 ， 如 求 函 数
y sin 2 x 2 cos x 4 ， 可变为 y sin 2 x 2 cos x 4 (cos x 1) 2 2 解决
AB
子集 真子集
空集
A 中任意一元素均为 B 中的元素 A B 或 B A
A 中任意一元素均为 B 中的元 A B
素， 且 B 中至少有一元素不是
A 的元素 空集是任何集合的子集， 何非空集合的真子集
是任
A，
B（ B ）
三：集合的基本运算
①两个集合的交集 : A I B = x x A且 x B ;
4.（09 年无锡市高三第一次月考） 集合 A 中的代表元素设为 x ， 集合 B 中的代表元素设为 y ，
若 x B 且 y A ， 则 A 与 B 的关系是
[解析 ] B A 或 A B
；由子集和交集的定义即可得到结论
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5．(2008 年天津 ) 设集合 S x | x 2 3 ,T x | a x a 8 , S T R ， 则 a 的取值
x 的取值范围 A 叫做 y
f (x) 的定义域；
与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值， 函数值的集合 f ( x) x A 称为函数 y f ( x) 的值域。
(2) 函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念
设 A、 B 是两个集合， 如果按照某种对应法则
f ， 对于集合 A 中的任意元素， 在集合
P? n N f (n) P ， Q? n N f (n) Q ， 则 ( P? C N Q?) (Q? C N P?) ＝( )
A. 0,3 ; B. 1,2 ; C. 3,4,5 ; D. 1,2,6,7
[ 解析 ] A ；依题意得 P? 0,1,2 ， Q? 1,2,3 ， 所以 ( P? CN Q?) 0 ，
得
yx 2
2( y 1) x
2y
1
0，
若y
0，
则得 x
[ 例 3] 设集合 A x x 2 3x 2 0 ， B
x x 2 2(a 1) x (a 2 5) 0
（ 1） 若 A B 2 ， 求实数 a 的值； 若 A B A ， 求实数 a 的取值 范围
[新题导练 ]
7．已知集合 M ( x, y) x y 2 ， N ( x, y) x y 4 ， 那么集合 M N 为（ ）
是（ ）
A. 0 ； B. 1； C.2 ； D.无穷多个
★抢分频道
基础巩固训练：
1． 设全集 U R, A x x(x 3) 0 , B x x 1 , 则右图 U A
B
中阴影部分表示的集合为 ( )
A． x x 0 ；B． x 3 x 0 ； C． x 3 x 1 ； D． x x 1
3. 集合 { 1,0,1} 的所有非空子集个数为
a 2 x b 2 ， 所以函数 y f ( x) 的定义域是 [a 2, b 2]
[正解 ] 因为函数 y f (x 2) 的定义域是 [ a， b] ， 则 a x b ， 从而 a 2 x 2 b 2
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所以函数 y f (x) 的定义域是 [ a 2, b 2]
求解容易出错误
问题 1：已知函数 y f (x) 的定义域为 [ a， b] ， 求 y f ( x 2) 的定义域
[误解 ] 因为函数 y f (x) 的定义域为 [ a， b] ， 所以 a x b ， 从而 a 2 x 2 b 2
故 y f ( x 2) 的定义域是 [a 2,b 2]
[正解 ] 因为 y f ( x) 的定义域为 [ a， b] ， 所以在函数 y f ( x 2) 中， a x 2 b ，
会比赛的女运动员 } ， 则下列关系正确的是（
）
A ． A B B. B C C. A B C D. B C A
2 ． (2006 ? 山 东 改 编 ） 定 义 集 合 运 算 : A B z x2 y xy 2 , x A, y B , 设 集 合
A 1,0 , B 2,3 ,则集合 A B 的所有元素之和为
则下列关系中立的是 ( )
A． P Q ; B． Q P ;C ． P Q ;D ． P Q
m0
[ 解析 ]A ；当 m 0 时， 有
( 4m) 2
4 m ( 4)
，即
0
Q m R 1 m 0 ；当 m 0 时， mx 2 4mx 4 0 也恒成立， 故
Q m R 1 m 0 ， 所以 P Q
7. 设 f ( n) 2n 1( n N ) ， P 1,2,3,4,5 ， Q 3,4,5,6,7 ， 记
）
A． X Y ； B． Y X ； C． X Y ；D． X Y
[新题导练 ]
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1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行， 若集合 A={参加北京
奥运会比赛的运动员 } ， 集合 B={ 参加北京奥运会比赛的男运动员 } ， 集合 C={参加北京奥运
2．集合的表示法
（1）列举法要注意元素的三个特性； （ 2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性
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质， x y f ( x) 如 、 y y f ( x) 、 ( x, y) y f ( x) 等的差别， 如果对集合中代表元素
认识不清， 将导致求解错误：
问题：已知集合 M
[解析 ]D ； 2 x x2 0 0 x 2 ， ∴ A=[0， 2]， x 0 2 x 1 ， ∴ B=（ 1， ＋∞），
∴A∪B=[0, ＋∞）， A∩B=（1， 2]， 则 A× B＝ 0,1 U (2, )
1．函数的概念
第 2讲
函数与映射的概念 ★知识梳理
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(1) 函数的定义：
3． (2007 湖·北改编）设 P 和 Q 是两个集合， 定义集合 P Q x | x P, 且 x Q ， 如果
P=(0,3)， Q x x 1 ,那么 P Q 等于
4．研究集合 A x y x 2 4 ， B y y x2 4 ， C ( x, y) y x2 4 之间的关系
考点二：集合的基本运算
B 中都有唯一确定的元素与之对应， f :A B
那么这样的单值对应叫做从 A 到 B 的映射， 通常记为
★重、难点突破
重点：掌握 映射 的概念、函数的概念， 会求函数的定义域、值域
难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域
重难点： 1．关于抽象函数的定义域
求抽象函数的定义域， 如果没有弄清所给函数之间的关系，
A
（ 2）任何集合都是它本身的子集， 即 A A
（ 3）子集、真子集都有传递性， 即若 A B ， B C ， 则 A C
4．集合的运算性质
（ 1）交集： ① A B B A ；② A A A ；③ A
；④ A B A ， A B B
⑤ A B A A B； （ 2）并集： ① A B B A ；② A A A ；③ A
从而 a 2 x b 2 ， 故 y f ( x 2) 的定义域是 [ a 2,b 2]
即本题的实质是求 a x 2 b 中 x 的范围 问题 2：已知 y f ( x 2) 的定义域是 [a， b] ， 求函数 y
f (x) 的定义域
[误解 ] 因为函数 y f (x 2) 的定义域是 [ a， b] ， 所以得到 a x 2 b ， 从而
[例 1]（2008 年江西理）定义集合运算： A B z | z xy, x A, y B ．设
A 1,2 , B 0,2 ， 则集合 A B 的所有元素之和为（
）
A．0； B． 2；C．3； D． 6 题型 2：集合间的基本关系
[例 2]．数集 X ( 2n 1) , n Z 与 Y (4k 1) ,k Z 之的关系是（
A；④ A B A ， A B B
⑤ A B A B A；
（ 3）交、并、补集的关系
① A CU A ； A CU A U
② CU ( A B ) (CU A) (CU B) ； CU ( A B ) (CU A) (CU B)
★热点考点题型探析
考点一：集合的定义及其关系 题型 1：集合元素的基本特征
(Q? CN P?) 3 ， 故应选 A
8．（ 09 届惠州第一次调研考）设 A、B 是非空集合， 定义
A B { x x A B且x A B} ， 已知 A={ x | y
2x
x2 } ， B= { y | y
x
2 ,x
0} ，
则 A× B 等于（ ）
A． 0, ； B． 0,1 U 2, ； C． 0,1 U 2, ； D． 0,1 U (2, )
设 A、B 是两个非空的数集，
如果按照某种对应法则
f ， 对于集合 A 中的每一个数 x ，
在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应， 记为 y f ( x), x A
那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数， 通常
(2) 函数的定义域、值域
在函数 y f (x), x A 中， x 叫做自变量，
高中数学高考总复习 -集合与函数概念知识点及习题
第一章 集合与函数概念 知识网络
集合与函数概念
集合
映射
函数
集
集
集
映
函
函
合
合
合
射
数
数
表
的
的
的
及
基
示
关
运
概
其
本
法
系
算
念
表
性
示
质
列描图包相交并补
举述示含等集集集
函
法法法
数
子集与真子集
的
概
念
第一讲
集合
★知识梳理
一：集合的含义及其关系 1. 集合中的元素具有的三个性质 :确定性、无序性和互异性 ; 2. 集合的 3 种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 3. 集合中元素与集合的关系：
范围是（
）
A． 3 a 1； B． 3 a
C． a 3 或 a 1 ； D． a
1 3或 a
[解析 ]A ； S x | x 2 3 x x 1或x
1 5， T
x|a x a 8 ， S T R
a1
所以
， 从而得 3 a 1
a85
综合提高训练：
6． P m 1 m 0 , Q m R mx2 4mx 4 0对于任意实数 x恒成立
.
★重、难点突破
重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的
交、并、补三种运算。
难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，
准确进行集合
的 交、并、补三种运算。
重难点：
1. 集合的概念
掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，
要特别注意集合中元素的互异性，
在解题过程中最易被忽视， 因此要对结果进行检验；
②两个集合的并集 : A U B = x x A或 x B ;
③设全集是 U,集合 A U ,则 CU A x x U 且 x A
交
并
I
U
A I B { x | x A, 且 x B} A U B { x | x A,或x B}
CU A
补
x x U且x A
方法 :常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算
函
单
函
数
调
数
的
性
的
表
与
奇
示
最
偶
法
值
性
文字语言
属于
不属于
4. 常见集合的符号表示
数集
自然数集
正整数集
整数集
符号语言
有理数集
实数集
复数集
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符号
N
N 或N
Z
Q
R
CLeabharlann 二： 关系集合间的基本关系 表示
相等
文字语言
符号语言
集合 A 与集合 B 中的所有元素都 A B 且 B A
相同
A. x 3, y 1 ； B. (3, 1) ；C. 3, 1 ； D. (3, 1) 8．集合 A { x | ax 1 0} , B x | x2 3x 2 0 ,且 A U B B ,求实数 a 的值 .
备选例题 1：已知 M y y x 1 ， N ( x, y) x 2 y2 1 ， 则 M N 中的元素个数
（ 2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，
如函数
y log 1 ( x 2 2x 3) 就是利用函数 y log 1 u 和 u
2
2
x 2 2 x 3 的值域来求。
（ 3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数
2x 1
y
x2
2x
的值域
2
由y
2x 1 x2 2x 2
x2 y2
x
1 ,N
y x y 1 ,则 M N=（
）
94
32
A. ； B. (3,0), ( 0,2) ； C. 3,3 ； D. 3,2
(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法， Venn 图。
3．集合间的关系的几个重要结论
在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用
（ 1）空集是任何集合的子集， 即