2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第3章 1.1 导数与函数的单调性(第二课时)

第三章　§1　1.1　第2课时
1．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)在R 上为增函数，则( )
A ．b 2－4ac >0
B ．b >0，c <0
C ．b ＝0，c >0
D ．b 2－3ac ≤0
解析：由f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0，
知Δ＝4b 2－12ac ≤0，故b 2－3ac ≤0.
答案：D
2．若函数h (x )＝2x －＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )
k x k 3A ．[－2，＋∞)
B ．[2，＋∞)
C ．(－∞，－2]
D ．(－∞，2]解析：根据已知条件得h ′(x )＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2k x 22x 2＋k x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．
答案：A
3．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－2x ＋5在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≥
B ．a >16
16C ．a ＝D ．0<a <1616
解析：∵f ′(x )＝3x 2－6ax －2，f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－6ax －2<0在(0,1)内恒成立．
∴a >x －在(0,1)内恒成立．
121
3x ∵函数g (x )＝x －在(0,1)内是增函数，且g (x )<g (1)＝－＝，∴a ≥.1213x 12131616答案：A
4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 在区间[0，＋∞)上是增加的，则a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋a ，当x ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，即3x 2＋a ≥0恒成立，∴a ≥－3x 2.
又当x ≥0时，－3x 2≤0，∴a ≥0.
即a 的取值范围是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
5．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0.
(1)求f (x )的单调区间；
(2)求所有实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．解：(1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，∴x >0，
f ′(x )＝－2x ＋a ＝－
.a 2x (x －a )(2x ＋a )x ∵x >0，a >0，
∴f (x )的递增区间为(0，a )，递减区间为(a ，＋∞)．
(2)由题意，得f (1)＝a －1≥e －1，∴a ≥e.由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增．
要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要Error!解得a ＝e.。