四川省广安市岳池县中考数学二诊试卷(含解析)

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2017年四川省广安市岳池县中考数学二诊试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一项符合题目要求,将正确选项填在对应题目的空格中.)
1.﹣的倒数是()
A.﹣ B.C.﹣ D.
2.下列各式计算正确的是()
A.(a﹣b)2=a2﹣b2B.a8÷a4=a2(a≠0)C.2a3•3a2=6a5D.(﹣a2)3=a6
3.2016年春节黄金周海南旅游大幅增长,据统计,2月7至13日,全省共接待游客约3710000人次,将3710000用科学记数法表示为()
A.3.71×107B.0.371×107C.3.71×106D.37.1×106
4.下列说法正确的是()
A.随机抛掷一枚硬币,反面一定朝上
B.数据3,3,5,5,8的众数是8
C.某商场抽奖活动获奖的概率为,说明毎买50张奖券中一定有一张中奖
D.想要了解广安市民对“全面二孩”政策的看法,宜采用抽样调查
5.拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡比是1:,坝高BC=10m,则坡面AB的长度是()
A.15m B.20m C.10m D.20m
6.如图,⊙O是△ABC的外接圆,若∠ABC=40°,则∠AOC的度数为()
A.20° B.40° C.60° D.80°
7.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且==,则S△ADE:S四边形BCED的值为()
A.1:B.1:3 C.1:8 D.1:9
8.若关于x 的一元二次方程(m﹣2)2x2+(2m+1)x+1=0有解,那么m的取值范围是()A.m>B.m≥C.m>且m≠2 D.m≥且m≠2
9.已知三点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)均在双曲线y=上,且x1<x2<0<x3,则下列各式正确的是()
A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1C.y3<y1<y2D.y2<y1<y3
10.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;
③4a+2b+c<0;④若(﹣),()是抛物线上两点,则y1<y2其中结论正确的是()
A.①② B.②③ C.②④ D.①③④
二、填空题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,把正确答案填在题中的横线上.)11.如果分式的值为零,那么x= .
12.一元二次方程x2﹣2x=0的解为.
13.若二次函数y=x2+2m﹣1的图象经过原点,则m的值是.
14.如图:点A在双曲线上,AB丄x轴于B,且△AOB的面积S△AOB=2,则k= .
15.若点(a,1)与(﹣2,b)关于原点对称,则a b= .
16.一组数据3,4,6,8,x的平均数是6,则这组数据的中位数是.
17.已知圆锥的母线长为4,底面半径为2,则圆锥的侧面积为.
18.如图是一次函数的y=kx+b图象,则关于x的不等式kx+b>0的解集为.
19.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=4,AF交BC于E,交DC的延长线于F,且CF=1,则CE的长为.
20.观察下来等式:
第一层 1+2=3
第二层 4+5+6=7+8
第三层 9+10+11+12=13+14+15
第四层 16+17+18+19+20=21+22+23+24

在上述数字宝塔中,从上往下数,数字2016在第层.
三、计算题(第21题5分,第22题5分,共10分.解答时应按要求写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤.)
21.计算:(﹣)﹣2﹣(π﹣)0﹣|﹣2|+2sin60°.
22.解不等式组:.
四、解答题(第23,24,25,26,27,28题每题8分,第29题12分,共60分.解答时应按要求写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤.)
23.在▱ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,且AE=CF.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若DF=BF,求证:四边形DEBF为菱形.
24.如图,已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A(1,4)和点B(n,﹣2).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时,直接写出x的取值范围.
25.广安某网站调查,2016年网民们最关注的热点话题分别有:消费、教育、环保、反腐及其它共五类.根据调查的部分相关数据,绘制的统计图表如下:
根据以上信息解答下列问题:
(1)请补全条形统计图并在图中标明相应数据;
(2)若广安市约有900万人口,请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人?
(3)在这次调查中,某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题,现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈,则抽取的两人恰好是甲和乙的概率是多少.
26.某日,正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情,相关部门接到求救信号后,立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援.当飞机到达距离海面3000米的高空C处,测得A处渔政船的俯角为60°,测得B处发生险情渔船的俯角为30°,请问:此时渔政船和渔船相距多远?(结果保留根号)
27.某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本.
(1)请直接写出y与x的函数关系式;
(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元?(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少?
28.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,直线MN经过点C,过点A作直线MN的垂线,
垂足为点D,且AC平分∠BAD.
(1)求证:直线MN是⊙O的切线;
(2)若CD=4,AC=5,求⊙O的直径.
29.已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(﹣3,0),与y轴交于点C,点D(﹣2,﹣3)在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值;
(3)若抛物线上有一动点P,使三角形ABP的面积为6,求P点坐标.
2017年四川省广安市岳池县中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一项符合题目要求,将正确选项填在对应题目的空格中.)
1.﹣的倒数是()
A.﹣ B.C.﹣ D.
【考点】倒数.
【分析】直接根据倒数的定义求解.
【解答】解:﹣的倒数是﹣.
故选A.
2.下列各式计算正确的是()
A.(a﹣b)2=a2﹣b2B.a8÷a4=a2(a≠0)C.2a3•3a2=6a5D.(﹣a2)3=a6
【考点】完全平方公式;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法;单项式乘单项式.
【分析】A、原式利用完全平方公式展开得到结果,即可做出判断;
B、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果,即可做出判断;
C、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果,即可做出判断;
D、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断.
【解答】解:A、原式=a2+b2﹣2ab,错误;
B、原式=a4,错误;
C、原式=6a5,正确;
D、原式=﹣a6,错误.
故选C.
3.2016年春节黄金周海南旅游大幅增长,据统计,2月7至13日,全省共接待游客约3710000人次,将3710000用科学记数法表示为()
A.3.71×107B.0.371×107C.3.71×106D.37.1×106
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.
【解答】解:3710000=3.71×106,
故选:C.
4.下列说法正确的是()
A.随机抛掷一枚硬币,反面一定朝上
B.数据3,3,5,5,8的众数是8
C.某商场抽奖活动获奖的概率为,说明毎买50张奖券中一定有一张中奖
D.想要了解广安市民对“全面二孩”政策的看法,宜采用抽样调查
【考点】概率的意义;全面调查与抽样调查;众数.
【分析】根据概率是事件发生的可能性,可对A、C做判断;正确理解众数的定义可以判断B选项;结合调查的方式可确认选择何种调查方式从而判断D.
【解答】解:A:抛硬币是一个随机事件,不能保证反面朝上,所以A错误;
B:本组数据应该有两个众数,3、5都出现了两次,所以B错误;
C:获奖概率为是一个随机事件,所以C错误;
D:对长沙市民的调查涉及的人数众多,适合用抽样调查,所以D正确.
故选:D.
5.拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡比是1:,坝高BC=10m,则坡面AB的长度是()
A.15m B.20m C.10m D.20m
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
【分析】在Rt△ABC中,已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值,通过解直角三角形即可求出斜面AB的长.
【解答】解:Rt△ABC中,BC=10m,tanA=1:;
∴AC=BC÷tanA=10m,
∴AB==20m.
故选:D.
6.如图,⊙O是△ABC的外接圆,若∠ABC=40°,则∠AOC的度数为()
A.20° B.40° C.60° D.80°
【考点】圆周角定理.
【分析】由⊙O是△ABC的外接圆,若∠ABC=40°,根据圆周角定理,即可求得答案.【解答】解:∵⊙O是△ABC的外接圆,∠ABC=40°,
∴∠AOC=2∠ABC=80°.
故选:D.
7.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且==,则S△ADE:S四边形BCED的值为()
A.1:B.1:3 C.1:8 D.1:9
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】易证△ADE∽△ABC,然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方,继而求得S
:S四边形BCED的值.
△ADE
【解答】解:∵==,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,
∴S△ADE:S△ABC=1:9,
∴S△ADE:S四边形BCED=1:8,
故选C.
8.若关于x 的一元二次方程(m﹣2)2x2+(2m+1)x+1=0有解,那么m的取值范围是()A.m>B.m≥C.m>且m≠2 D.m≥且m≠2
【考点】根的判别式.
【分析】根据一元二次方程的定义以及方程有解,结合根的判别式即可得出关于m的一元二次不等式组,解不等式即可得出结论.
【解答】解:∵关于x 的一元二次方程(m﹣2)2x2+(2m+1)x+1=0有解,
∴,
解得:m≥且m≠2.
故选D.
9.已知三点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)均在双曲线y=上,且x1<x2<0<x3,则下列各式正确的是()
A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1C.y3<y1<y2D.y2<y1<y3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限,再由x1<x2<0<x3即可得出结论.
【解答】解:∵反比例函数y=中,k=4>0,
∴此函数图象的两个分支分别位于第一三象限,且在每一象限内y随x的增大而减小.
∵x1<x2<0<x3,
∴y2<y1<y3.
故选D.
10.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;
③4a+2b+c<0;④若(﹣),()是抛物线上两点,则y1<y2其中结论正确的是()
A.①② B.②③ C.②④ D.①③④
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】由抛物线开口方向得到a<0,有对称轴方程得到b=﹣2a>0,由∵抛物线与y轴的交点位置得到c>0,则可对①进行判断;由b=﹣2a可对②进行判断;利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),则可判断当x=2时,y>0,于是可对③进行判断;通过比较点(﹣)与点()到对称轴的距离可对④进行判断.
【解答】解:∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,
∴b=﹣2a>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴abc<0,所以①错误;
∵b=﹣2a,
∴2a+b=0,所以②正确;
∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣1,0),抛物线的对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),
∴当x=2时,y>0,
∴4a+2b+c>0,所以③错误;
∵点(﹣)到对称轴的距离比点()对称轴的距离远,
∴y1<y2,所以④正确.
故选C.
二、填空题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,把正确答案填在题中的横线上.)11.如果分式的值为零,那么x= ﹣2 .
【考点】分式的值为零的条件.
【分析】分式的值为0的条件是:(1)分子=0;(2)分母≠0.两个条件需同时具备,缺一不可.据此可以解答本题.
【解答】解:由题意可得x2﹣4=0,
解得x=2或﹣2,
x﹣2≠0,
解得x≠2.
∴x的值是﹣2.
故答案为﹣2.
12.一元二次方程x2﹣2x=0的解为x1=0,x2=2 .
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.
【分析】方程整理后,利用因式分解法求出解即可.
【解答】解:方程整理得:x(x﹣2)=0,
可得x=0或x﹣2=0,
解得:x1=0,x2=2.
故答案为:x1=0,x2=2
13.若二次函数y=x2+2m﹣1的图象经过原点,则m的值是.
【考点】二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征,把原点坐标代入解析式得到关于m的方程,然后解此方程即可.
【解答】解:∵二次函数y=x2+2m﹣1的图象经过点(0,0),
∴2m﹣1=0,
∴m=.
故答案为.
14.如图:点A在双曲线上,AB丄x轴于B,且△AOB的面积S△AOB=2,则k= ﹣4 .
【考点】反比例函数系数k的几何意义.
【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号,再根据S△AOB=2求出k的值即可.
【解答】解:∵反比例函数的图象在二、四象限,
∴k<0,
∵S△AOB=2,
∴|k|=4,
∴k=﹣4.
故答案为:﹣4.
15.若点(a,1)与(﹣2,b)关于原点对称,则a b= .
【考点】关于原点对称的点的坐标.
【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(﹣x,﹣y),即:求关于原点的对称点,横纵坐标都变成相反数.记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆.【解答】解:∵点(a,1)与(﹣2,b)关于原点对称,
∴b=﹣1,a=2,
∴a b=2﹣1=.
故答案为:.
16.一组数据3,4,6,8,x的平均数是6,则这组数据的中位数是 6 .
【考点】中位数;算术平均数.
【分析】首先根据平均数公式为6求出x的值,然后根据中位数的概念求解.
【解答】解:由题意得:
=6,
解得:x=9,
这组数据按照从小到大的顺序排列为:3,4,6,8,9,
则中位数为:6.
故答案为:6.
17.已知圆锥的母线长为4,底面半径为2,则圆锥的侧面积为8π.
【考点】圆锥的计算.
【分析】求出圆锥的底面圆周长,利用公式S=LR即可求出圆锥的侧面积.
【解答】解:圆锥的地面圆周长为2π2=4π,
则圆锥的侧面积为×4π×4=8π.
故答案为8π.
18.如图是一次函数的y=kx+b图象,则关于x的不等式kx+b>0的解集为x>﹣2 .
【考点】一次函数与一元一次不等式.
【分析】一次函数的y=kx+b图象经过点(﹣2,0),由函数表达式可得,kx+b>0其实就是一次函数的函数值y>0,结合图象可以看出答案.
【解答】解:由图可知:当x>﹣2时,y>0,即kx+b>0;
因此kx+b>0的解集为:x>﹣2.
19.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=4,AF交BC于E,交DC的延长线于F,且CF=1,则CE的长为.
【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
【分析】由两线段平行,同位角相等,即可证出三角形相似,根据相似三角形的对应边成比例,结合已有的量即可解决本题.
【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD=3,BC∥AD,
∵E为BC上一点,
∴CE∥AD,∠FEC=∠FAD,∠FCE=∠D,
∴△FCE∽△FDA,
∴==,
又∵CD=3,CF=1,AD=4,
∴CE=,
故答案为:.
20.观察下来等式:
第一层 1+2=3
第二层 4+5+6=7+8
第三层 9+10+11+12=13+14+15
第四层 16+17+18+19+20=21+22+23+24

在上述数字宝塔中,从上往下数,数字2016在第44 层.
【考点】规律型:数字的变化类.
【分析】观察发现:第n层的第一个数为n2,所以要看2016介于哪两个数的平方之间,计
算442=1936,452=2025,
由此得:数字2016在第44层.
【解答】解:由题可知:每一层的第一个数:第n层的第一个数为n2,
∵442=1936,452=2025,
∴数字2016在第44层,
故答案为:44.
三、计算题(第21题5分,第22题5分,共10分.解答时应按要求写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤.)
21.计算:(﹣)﹣2﹣(π﹣)0﹣|﹣2|+2sin60°.
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】根据负整数指数幂的意义,零指数的规定,绝对值的定义,锐角三角函数的定义即可求出该式子的值.
【解答】解:原式=(﹣2)2﹣1+(﹣2)+2×
=4﹣1+﹣2+
=1+2,
22.解不等式组:.
【考点】解一元一次不等式组.
【分析】解先求出各不等式的解集,再求其公共解集即可.
【解答】解:解第一个不等式去括号得2x+5≤3x+6,解得x≥﹣1;
解第二个不等式去分母得3x﹣3<2x,解得x<3;
∴不等式组的解集是﹣1≤x<3.
四、解答题(第23,24,25,26,27,28题每题8分,第29题12分,共60分.解答时应按要求写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤.)
23.在▱ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,且AE=CF.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若DF=BF,求证:四边形DEBF为菱形.
【考点】菱形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
【分析】(1)首先根据平行四边形的性质可得AD=BC,∠A=∠C,再加上条件AE=CF可利用SAS证明△ADE≌△CBF;
(2)首先证明DF=BE,再加上条件AB∥CD可得四边形DEBF是平行四边形,又DF=FB,可根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论.
【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C,
∵在△ADE和△CBF中,

∴△ADE≌△CBF(SAS);
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵AE=CF,
∴DF=EB,
∴四边形DEBF是平行四边形,
又∵DF=FB,
∴四边形DEBF为菱形.
24.如图,已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A(1,4)和点B(n,﹣2).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时,直接写出x的取值范围.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式,求出m的值,从而确定反比例函数的解析式,把B的坐标代入反比例函数解析式求出B的坐标,把A、B的坐标代入一次函数的解析式,即可求出a,b的值,从而确定一次函数的解析式;
(2)根据函数的图象即可得出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.
【解答】解:(1)∵反比例函数y=的图象过点A(1,4),
∴4=,即m=4,
∴反比例函数的解析式为:y=.
∵反比例函数y=的图象过点B(n,﹣2),
∴﹣2=,
解得:n=﹣2
∴B(﹣2,﹣2).
∵一次函数y=ax+b(k≠0)的图象过点A(1,4)和点B(﹣2,﹣2),
∴,
解得.
∴一次函数的解析式为:y=2x+2;
(2)由图象可知:当x<﹣2或0<x<1时,一次函数的值小于反比例函数的值.
25.广安某网站调查,2016年网民们最关注的热点话题分别有:消费、教育、环保、反腐及其它共五类.根据调查的部分相关数据,绘制的统计图表如下:
根据以上信息解答下列问题:
(1)请补全条形统计图并在图中标明相应数据;
(2)若广安市约有900万人口,请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人?
(3)在这次调查中,某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题,现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈,则抽取的两人恰好是甲和乙的概率是多少.
【考点】列表法与树状图法;用样本估计总体;条形统计图.
【分析】(1)根据关注消费的人数是420人,所占的比例式是30%,即可求得总人数,然后利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数;
(2)利用总人数乘以对应的百分比即可;
(3)利用列举法即可求解即可.
【解答】解:(1)∵调查的总人数是:420÷30%=1400(人),
∴关注教育的人数是:1400×25%=350(人),补全图形如下:

(2)900×10%=90万人,
∴估计最关注环保问题的人数约为90万人;
(3)画树形图得:
则P(抽取的两人恰好是甲和乙)==.
26.某日,正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情,相关部门接到求救信号后,立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援.当飞机到达距离海面3000米的高空C处,测得A处渔政船的俯角为60°,测得B处发生险情渔船的俯角为30°,请问:此时渔政船和渔船相距多远?(结果保留根号)
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【分析】在Rt△CDB中求出BD,在Rt△CDA中求出AD,继而可得AB,也即此时渔政船和渔船的距离.
【解答】解:在Rt△CDA中,∠ACD=30°,CD=3000米,
∴AD=CDtan∠ACD=1000米,
在Rt△CDB中,∠BCD=60°,
∴BD=CDtan∠BCD=3000米,
∴AB=BD﹣AD=2000米.
答:此时渔政船和渔船相距2000米.
27.某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本.
(1)请直接写出y与x的函数关系式;
(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元?(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少?
【考点】二次函数的应用;一元二次方程的应用.
【分析】(1)设y=kx+b,根据题意,利用待定系数法确定出y与x的函数关系式即可;(2)根据题意结合销量×每本的利润=150,进而求出答案;
(3)根据题意结合销量×每本的利润=w,进而利用二次函数增减性求出答案.
【解答】解:(1)设y=kx+b,
把(22,36)与(24,32)代入得:,
解得:,
则y=﹣2x+80;
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是x元,根据题意得:(x﹣20)y=150,
则(x﹣20)(﹣2x+80)=150,
整理得:x2﹣60x+875=0,
(x﹣25)(x﹣35)=0,
解得:x1=25,x2=35(不合题意舍去),
答:每本纪念册的销售单价是25元;
(3)由题意可得:
w=(x﹣20)(﹣2x+80)
=﹣2x2+120x﹣1600
=﹣2(x﹣30)2+200,
此时当x=30时,w最大,
又∵售价不低于20元且不高于28元,
∴x<30时,y随x的增大而增大,即当x=28时,w最大=﹣2(28﹣30)2+200=192(元),答:该纪念册销售单价定为28元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大,最大利润
是192元.
28.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,直线MN经过点C,过点A作直线MN的垂线,垂足为点D,且AC平分∠BAD.
(1)求证:直线MN是⊙O的切线;
(2)若CD=4,AC=5,求⊙O的直径.
【考点】切线的判定;圆周角定理.
【分析】(1)直接利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质得出OC⊥MN,进而得出答案;(2)利用相似三角形的判定与性质得出AB的长.
【解答】(1)证明:连接OC,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∵AC平分∠BAD,∴∠CAB=∠DAC,
∴∠OCA=∠DAC,
∴OC∥AD.
∵AD⊥MN,∴OC⊥MN.
∵OC为半径,∴MN是⊙O切线.
(2)解:∵∠ADC=90°,AC=5,DC=4,
∴AD=3,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ADC=∠ACB,
又∵∠CAB=∠DAC,
∴△ADC∽△ACB,
∴=,
∴=,
解得:AB=,
即⊙O的直径长为.
29.已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(﹣3,0),与y轴交于点C,点D(﹣2,﹣3)在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值;
(3)若抛物线上有一动点P,使三角形ABP的面积为6,求P点坐标.
【考点】抛物线与x轴的交点;待定系数法求二次函数解析式;轴对称﹣最短路线问题.【分析】(1)把A、D两点坐标代入二次函数y=x2+bx+c,解方程组即可解决.
(2)利用轴对称找到点P,用勾股定理即可解决.
(3)根据三角形面积公式,列出方程即可解决.
【解答】解:(1)因为二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(﹣3,0),D(﹣2,﹣3),所以,
解得.
所以一次函数解析式为y=x2+2x﹣3.
(2)∵抛物线对称轴x=﹣1,D(﹣2,﹣3),C(0,﹣3),
∴C、D关于x轴对称,连接AC与对称轴的交点就是点P,
此时PA+PD=PA+PC=AC===3.
(3)设点P坐标(m,m2+2m﹣3),
令y=0,x2+2x﹣3=0,
x=﹣3或1,
∴点B坐标(1,0),
∴AB=4
∵S△PAB=6,
∴•4•|m2+2m﹣3|=6,
∴m2+2m﹣6=0,m2+2m=0,
∴m=0或﹣2或1+或1﹣.
∴点P坐标为(0,﹣3)或(﹣2,﹣3)或(1+,3)或(1﹣,3).。

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